PP

TC

ES

003M

T21

-A15

V1

Clase

Operatoria en racionales

MT-21

Aprendizajes esperados

• Transformar decimales finitos, periódicos y semiperiódicos en fracción, justificando la transformación. • Ubicar y ordenar números racionales en la recta numérica. • Aproximar números racionales mediante redondeo, truncamiento y aproximación por exceso.

• Establecer equivalencias entre números racionales mediante la simplificación y amplificación de fracciones.

• Establecer la prioridad de las operaciones (PAPOMUDAS)

• Aplicar operaciones (adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones) con números racionales.

Pregunta oficial PSU

10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto

C es un punto tal que AC = . ¿En cuál(es) de ellas C = ?

I)

II)

III)

A) Solo en I.B) Solo en II.C) Solo en III.D) Solo en I y en II.E) En I, en II y en III.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015.

3

AB3,0

A C B

0,3 0,4

A C B

0,33 0,34

A C B

0,333 0,444

1. Definición

2. Transformación

3. Orden

4. Aproximaciones

5. Operatoria

1. Definición

El conjunto de los racionales es un conjunto infinito, ordenado y denso, definido de la siguiente manera:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

13; 0; -2; -3; 8

0,391; 3,19-1; 3

12; 5

14, 0

NO es racional

a: numerador y b: denominador

Ejemplos:

Recordando

2. Transformaciones

2.1 Fracción a decimal

Para transformar una fracción a número decimal se divide el numeradorpor el denominador hasta obtener resto 0.

5´:0´,1́325:3215

321Ejemplo:

0

´21´10

2.2 Decimal finito a fracción

Para transformar un número decimal finito a fracción, se debe contabilizar la cantidad de dígitos decimales, tal que el denominador de la fracción será una potencia de 10 con tantos ceros como dígitos decimales.

354,2Ejemplo: 3 dígitos decimales Potencia de 10 con 3 ceros

1000

354.2

2,64

2. Transformaciones

2.3 Decimal periódico a fracción

Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte entera, y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifrastenga el periodo.

Ejemplo:1,2

9

2219

19

25,14 99

141425

99

1411

Período: 1

Período: 25

Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

2. Transformaciones

2.4 Decimal semiperiódico a fracción

Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribeen el numerador todo el número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo la parte entera y el anteperíodo), y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplo:

32,5

90

52523

90

471

471,2

990

21147.2

990

126.2

Período: 3

Período: 47

Se llama anteperíodo a la parte decmal que no se repite

Anteperíodo: 2

Anteperíodo: 1

2. Transformaciones

2.5 Fracción impropia a número mixto

Para transformar una fracción impropia a número mixto se divideel numerador por el denominador hasta obtener un cociente entero.Luego, se anota tal valor acompañado por una nueva fracción de igualdenominador que la inicial, tal que el numerador corresponde al resto de la división.

5´:1́325:321Ejemplo:

´211 Resto

Cociente entero

Luego se tendrá:

5

164

5

321 Número MixtoFracción impropia

64

3. Orden

3.1 Comparación

Al momento de ordenar números racionales en la recta numérica, resulta conveniente estudiar sus valores en formato decimal, dado que las fracciones solo son comparables en forma directa si los numeradores son iguales.

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor los números , y 13

12

15

14

17

16

Se transforman las fracciones en decimal

...92307,013

12...93333,0

15

14 ...94117,0

17

16

Notando el valor de la centésima de cada decimal se tendrá:

17

16

15

14

13

12

• Fracción en decimal

3. Orden

3.2 Comparación

Para comparar u ordenar en la recta numérica dos fracciones, se deben multiplicar en forma cruzada los denominadores con los numeradores, y según el valor del producto obtenido resulta posible finalmente establecer qué fracción es mayor.

Ejemplo: Se tienen dos fracciones y , ¿cuál de ellas será menor?

12

117

6

Se multiplica cruzado denominadores por numeradores.

Luego, según lo anterior se tendrá que:

• Dos o más fracciones

12

11

7

6? 711 612? 77 72>

12

11

7

6>

4. Aproximaciones

4.1 Aproximación por exceso

• Al aproximar por exceso a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad.

Aproximar por exceso a la centésima 2,132

132,2

Centésima

Cifra (n+1) ésima

Por tanto, la aproximación será:

Ejemplo:

14,2

• Una aproximación es una representación inexacta (aunque muy cercana) de un número, mediante la eliminación de cifras decimales.

4. Aproximaciones

4.2 Aproximación por defecto (truncamiento)

Al aproximar por defecto a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), independiente del valor de este.

Aproximar por defecto a la décima 0,998

998,0

Décima

Cifra (n+1) ésima

Por tanto, la aproximación será:

9,0

Ejemplo:

4. Aproximaciones

4.3 Aproximación por redondeo

Ejemplo:

Al aproximar por redondeo a la n-ésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y si el decimal en la posición (n + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la posición n se aumenta en una unidad.

Aproximar por redondeo a la diezmilésima 3,25321.

2532,3 1

Diez milésima

Cifra (n+1) ésima menor que 5.Por lo tanto, la aproximación

será: 2532,3...253200,3

5. Operatoria en Q

5.1 Amplificación y simplificación

• Amplificación

Amplificar una fracción significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número.

Ejemplo:

2∙3∙

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

= 12

18

Al amplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

5. Operatoria en Q

5.1 Amplificación y simplificación

Simplificar una fracción significa dividir, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreductibles.

Al simplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

3

3=

9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

• Simplificación

Ejemplo:

5. Operatoria en Q

5.2 Operaciones en Q

Existen distintas maneras de sumar y/o restar fracciones. Las ejemplificaremos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+

7

15=

11

15

4

15–

7

15=

–3

15y

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

• Adición y sustracción

5. Operatoria en Q

5.2 Operaciones en Q

3. Si los denominadores son primos entre si:

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

En este conjunto, para la adición se cumplen las mismas propiedades que en Z.

• Adición y sustracción

5. Operatoria en Q

5.2 Operaciones en Q

Se multiplican numeradores y denominadores entre sí. Los productos pasan a ser el nuevo numerador y el nuevo denominador.

–4

5

7

8= ∙

–28

40

PropiedadesPara la multiplicación se cumplen las mismas propiedades que en Z, solo se agrega la siguiente:

Elemento inverso multiplicativo o recíproco: Todo número racional, distinto de cero, posee un elemento recíproco, que cumpla

a ∙ a-1 = 1 = a-1 ∙ a

El inverso multiplicativo o recíproco de 2

9es

9

2

•Multiplicación

Ejemplo:

Ejemplo:

5. Operatoria en Q

5.2 Operaciones en Q

Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

–4

5 ∙

8

7=

–32

35

–4

5 :

7

8=

Antes de multiplicar las fracciones conviene simplificar lo más posible.

•División

Ejemplo:

Pregunta oficial PSUPregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

D

10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto

C es un punto tal que AC = . ¿En cuál(es) de ellas C = ?

I)

II)

III)

A) Solo en I.B) Solo en II.C) Solo en III.D) Solo en I y en II.E) En I, en II y en III.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015.

3

AB3,0

A C B

0,3 0,4

A C B

0,33 0,34

A C B

0,333 0,444

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 C Números racionales ASE

2 B Números racionales ASE

3 B Números racionales ASE

4 C Números racionales Aplicación

5 D Números racionales ASE

6 D Números racionales ASE

7 C Números racionales Aplicación

8 E Números racionales ASE

9 A Números racionales Aplicación

10 C Números racionales Aplicación

11 A Números racionales Aplicación

12 C Números racionales Aplicación

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

13 E Números racionales Aplicación

14 D Números racionales Aplicación

15 A Números racionales Aplicación

16 C Números racionales Aplicación

17 D Números racionales ASE

18 D Números racionales Aplicación

19 B Números racionales Aplicación

20 C Números racionales ASE

21 D Números racionales ASE

22 E Números racionales Aplicación

23 B Números racionales Aplicación

24 C Números racionales ASE

25 C Números racionales ASE

Síntesis de la clase

Reales

Racionales

IrracionalesUn subconjunto

de los reales son los…

Un subconjunto de los reales son

los…Transformación

Decimal finito, decimal periódico y decimal

semiperiódico.

Aproximación

Por redondeo, por exceso y por truncamiento.

Operatoria

Amplificación y simplificación

Multiplicación

Igual denominador

Distinto denominador

Adición y sustracción

División

b

ca

bd

bcad

db

ca

cb

da

Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, estudiaremos Resolución de problemas en los

racionales

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Equipo Editorial Matemática