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La trigonometra se cre para ayudar a resolver problemas en los que intervienen ngulos y las longitudes de lados de los tringulos. Ya no son las aplicaciones ms importantes los problemas de este tipo, sin embargo, siguen surgiendo en la fsica aplicaciones donde intervienen los tringulos. De hecho muchos instrumentos de avanzada tecnologa, que se usan en distintas faenas, han utilizado elementos de esta rama de las matemticas para su construccin.

Dado un tringulo rectngulo ABC de lados, a, b,c y el ngulo , como muestra la figura, se definen las razones trigonomtricas para el ngulo como:

En los problemas debemos considerar dos conceptos importantes : Angulo de Elevacin y Depresin : Como se ve en la fig1 si un observador en un punto X avista un objeto, el ngulo que forma la lnea visual con la horizontal L, es el ngulo de elevacin del objeto, siempre que ste se halle arriba de la horizontal. Se llamar ngulo de depresin del objeto, si ste est debajo de la horizontal. Es decir, el ngulo de depresin es el que forma la horizontal que pasa por el ojo del observador y la visual, cuando el objeto se encuentra debajo de la horizontal .

Se usa esta terminologa en las dos Figuras siguientes :

Angulo de Elevacin: Es el ngulo que se mide entre la horizontal y la visual, cuando el objeto est arriba de la horizontal.

Angulo de Depresin: Es el ngulo que se mide entre la horizontal y la visual cuando el objeto est debajo de la horizontal.

Si un tringulo es rectngulo y se conocen uno de sus ngulos agudos y un lado o dos de sus lados, se pueden encontrar las partes restantes aplicando las razones trigonomtricas. Este proceso recibe el nombre " resolver el tringulo"

1.-Calcular la altura de un rbol, si el ngulo de elevacin a la copa del rbol es de 37 y la distancia a la que se encuentra el observador de la base del rbol es de 6mt .

2.-Calcular la altura a la que se eleva una cometa si el cordel mide 200m y el ngulo de elevacin a la cometa es de 60 .

3.- Un observador se encuentra parado en frente de un ro y quisiera cruzarlo pero necesita calcular el ancho que tiene, entonces desde un punto de un lado del ro observa con un ngulo de 56 los puntos (en el mismo lado del ro ) y ( en el lado opuesto), luego camina desde C a A en lnea recta avanzando 40 m. Cul es el ancho del ro ?

4.-Dos personas caminan en un prado observando el lugar. De pronto estn uno frente al otro, en lnea recta y uno de ellos pregunta ser posible que determinemos a qu distancia te encuentra t del alerce que se ve all lejos, si el ngulo que se forma al observarte a t y al alerce es de 80 ?

Uso de los Rumbos 5.-De un puerto salen dos barcos al mismo tiempo, uno de ellos con el rumbo N 23 E, a una velocidad de 11 mi/h; el segundo navega en direccin S 67 E, a 15 mi/h. Calcule aproximadamente el rumbo desde el segundo barco hacia el primero, una hora despus.

Se desea obtener el rumbo de B a A. Ntese que :

Por consiguiente, el tringulo ACB es rectngulo en C.

Se ha redondeado al grado ms cercano, ya que los lados de los tringulos aparecen con dos cifras significativas.

Observando la figura: Podemos afirmar:

Por consiguiente, el rumbo de B a A es, aproximadamente, N31O

Para resolver otro tipo de tringulos es conveniente usar dos teoremas llamados Teorema del Seno y Teorema del Coseno, respectivamente: Teorema del Seno : " En cualquier tringulo ABC los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos". Es decir

Problemas de Aplicacin del Teorema del Seno 1)Localizacin de un banco de peces: Una embarcacin pesquera comercial utiliza equipo de sonar para detectar un banco o cardumen, de peces a 2 millas al este de la embarcacin, el cual se mueve en direccin N 51O a razn de 8 millas por hora. a)Si la embarcacin navega a 20 millas por hora, calcule la direccin en que debe dirigirse para interceptar el cardumen. b)Hallar el tiempo que tardara en interceptar el banco de peces.

Problema 2 Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las orillas opuestas de un ro. Se traza un segmento de recta (A y C estn del mismo lado del ro) de una longitud de 240 yardas y se encuentra que los ngulos BAC y ACB miden 6320' y 5410', respectivamente. Aproxime la distancia de A a B.

Teorema del Coseno " En cualquier tringulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ngulo que forman."

Problemas de Aplicacin del Teorema del Coseno 1)Un poste vertical de 40 pies de altura se encuentra en la ladera de una colina que forma un ngulo de 17 con la horizontal. Determinar la longitud mnima del cable de retenida necesario para unir la parte superior del poste con un punto directamente abajo de la colina, a 72 pies de la base del poste. 2) Se desea calcular la distancia exactaentre dos rboles A y B, que estn en lados opuestos de un galpn.Una persona C est localizada de tal forma que AC mide 130 pies y BC mide 210 pies; el ngulo ACB mide 6820.Calcular la distancia AB.

2)Un crucero viaja en la direccin N47E desde una isla hacia un punto en tierra firme que est a 150 millas de distancia. Despus de navegar a travs de corrientes muy fuertes hacia el oeste, el capitn encuentra que se ha salido de la ruta y est en la posicin , N33E a 80 millas de la isla. a)Calcule la distancia del barco al puerto. b)En qu direccin debe enfilar el navo para corregir su rumbo?