potencia, eje radical, secciÓn Áurea

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

POTENCIA.Eje radical y centro radical

Sección Áurea Rectángulo Áureo

O1

O3

O2

A

B

P

D

C

er

EJE RADICAL

DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.

er

O1

O2

El EJE RADICAL de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros. Según la posición relativa de las dos circunferencias obtendremos el eje radical

por un procedimiento u otro

EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS SECANTES.

Es la recta que pasa por los puntos de intersección de ambas, cuya potencia

respecto de cada una de ellastiene el mismo valor, cero.

Es perpendicular a la línea que une los dos centros de las circunferencias dadas

EJE RADICAL


er

er

O1 O2

O2O1

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES.

Tanto si son tangentes interiores como si son tangentes exteriores,

el eje radical es la perpendicular a O1O2

que pasa por el punto comúnde tangencia, cuya potenciarespecto de ambas es cero.

EJE RADICAL



EXTERIORES

1er PROCEDIMIENTO:

Se trata de conecer, como en los casos anteriores, un puntoque tenga la misma potenciarespecto de las dos dadas.

O1

O2

EJE RADICAL


O1

O3

O2


EXTERIORES

1er PROCEDIMIENTO:

1. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar O3

que cortará a las dos dadas en los puntos A,B,C y D

A

B

D

C

EJE RADICAL


O1

O3

O2


EXTERIORES

1er PROCEDIMIENTO:

2. Hallamos los ejes radicalesde cada una de las circun-

ferencias dadas con la circun-ferencia auxiliar.

Ambos ejes radicales, e1 y e2

se cortarán en el punto P

A

B

P

D

C

EJE RADICAL


O1

O3

O2


EXTERIORES

1er PROCEDIMIENTO:

3. Unimos los centros O1 y O2

A

B

P

D

C

EJE RADICAL


O1

O3

O2


EXTERIORES

1er PROCEDIMIENTO:

4. El eje radical soluciónserá la perpendicular a la

recta que une O1 O2 desde P

A

B

P

D

C

er

EJE RADICAL



EXTERIORES

2º PROCEDIMIENTO:

1. Hallamos una recta tangente exterior, por el procedimiento ya aprendido al estudiar las

tangentes

A

B

T1

T3

O1

O2

t1

EJE RADICAL



EXTERIORES

2º PROCEDIMIENTO:

2. Trazamos la mediatriz delsegmento que va de un punto

de tangencia al otro

A

B

T1

T3

t1

O1

O2

M

EJE RADICAL



EXTERIORES

2º PROCEDIMIENTO:

3. Trazamos una perpendiculara O1O2 desde el punto

medio del segmento

A

B

T1

T3

t1

O1

O2

M

er

POLARIDAD


LA RECTA POLAR de un punto P (que se denomina polo) y una circunferencia

de centro O (también llamada circulo director) es el eje radical de esa circunferencia y otra cuyo diámetro es PO.

Si el polo es interior al círculo director, la polar es una recta exterior a éste. Si el polo pertenece al contorno del círculo director, la polar es

la tangente al círculo director por el polo.

P

Polar de P respecto a O

O

POLARIDAD


Los puntos donde la recta polar corta a la circunferencia, T1 y T2, son los puntos de tangencia de las rectas tangentes de P a O

P


O

T1

T2

POLARIDAD


Una posible forma de trazar la recta polar es:

1. Trazamos la recta OP

P

O

POLARIDAD



2. Trazamos dos secantes

simétricas a OP, que cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D

P

A

C

DB

O

POLARIDAD



3. Unimos los puntos de corte opuestos AD,

dando la recta que los une el punto F al cortar

la recta OP

P

A

C

D

F

B

O

POLARIDAD



4. La perpendicular a OP en F es la polar de P

respecto a O

P

A

C

D

F

B

O


POLARIDAD


OP

Segunda forma de trazar la recta polar:

POLARIDAD


OP


1. Unimos P y O mediante una recta

POLARIDAD


OP

M


2. Trazamos la mediatriz de OP = M

POLARIDAD


OP

M

A

B


3. Trazamos la circunferencia de diámetro OP, obteniendo así A y B

POLARIDAD


OP

M

A

B


4. Unimos A y B y obtenemos la recta polar buscada

POLARIDAD


OP

M

A

B


5. Podemos comprobar que las rectas PA y PB son

las tangentes de P a la circunferencia O

POLARIDAD

Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O


O

r

POLARIDAD


Trazamos el radio OT,siendo T uno de los puntos

de intersección entre la rectar y la circunferencia O


O

r

T

POLARIDAD



O

r

T

Trazamos la tangente a la circunferencia O en el punto T

POLARIDAD



O P

r

T

Trazamos la perpendicular a la recta r que pasa por el

centro O. Dicha perpendicularcorta a la tangente en el

punto P, polo que buscamos

POLARIDAD



O

r

POLARIDAD



O

Q

r

1. Trazamos la perpendicular a r desde O

POLARIDAD



O

r

M

2. Hallamos la mediatriz Mde OQ

Q

POLARIDAD



O

r

M

B

A

Q

3. Trazamos la circunferenciade diámetro OQ, que corta

a la circunferencia dada en A y B

POLARIDAD



O

P

r

M

B

A

Q

3. Uniendo AB obtenemos el eje radical de las dos circun-

ferencias, que corta a OQ en el punto P, polo buscado

POLARIDAD



O

P

r

M

B

A

Q


Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm

Ejercicios de Potencia y eje radical

La media proporcional x a los segmentos a y b se obtiene sabiendo que la potencia de un punto respecto de una

circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada desde el punto a la circunferencia, es decir,

x = a·b

a = 64

b = 30

2




a = 64

b = 30

1. Situamos el segmento a, y en la misma recta situamos b,

haciendo coincidir uno de los extremos de cada segmento

a

b

A C B




a = 64

b = 30

2. Se traza la circunferencia CB, que es la diferencia de a-b.

a

b

A C BO




a = 64

b = 30

3. Se traza la recta tangente ala circunferencia O desde

el punto A, obteniendo así elpunto T

A

T

C BO




a = 64

b = 30

4. El segmento AT es x, la mediaproporcional entre a y b,la solución del problema

A

T

x

C BO


Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2

O1

O2




O1

O2


Sabemos que:

El radio de O2 es 0.

El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta cuyos puntos tienen la misma potencia respecto a

las dos circunferencias.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.

Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias

iniciales, se encuentran en la circunferencia



O1

O2


1. Trazamos la recta que une O1 y O2



O1

M

T1O2


2. Desde O2, dado que tiene de radio 0, se determina la tengente a O1.

Obtenemos el punto de tangencia T1



O1

M

T1

PO2


3. El eje radical, er, se obtiene trazando por el punto medio P, de esta tangente, la perpendicular a la recta que une los

centros O1 O2



O1

M

T1

PO2


3. El eje radical, er, se obtiene trazando por el punto medio P, de esta tangente, la perpendicular a la recta que une los

centros O1 O2

er



O1

M

T1

T2

P

Q

O2

er


El valor de la potencia de un punto cualquiera Q, perteneciente al eje radical

er, respecto a la circunferencia de centro O2, es igual al cuadrado del segmento

tomado sobre una de las tangentes trazadas desde Q cuyos extremos son Q y el punto de tangencia T2, es decir, QT2 = K.

La potencia de dicho punto Q respecto a la circunferencia de centro O2 y radio 0 es el cuadrado de la distancia entre los puntos

Q y O2

K

K


Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2

se ve bajo un ángulo de 30º

O1

O2





O1

O2


Sabemos que:

El arco capaz de un segmento O1O2 bajo un ángulo a es el conjunto de puntos desde los cuales se ve el segmento O1O2 bajo un ángulo a.

El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.

Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias iniciales, se encuentra en una circunferencia




O1

O2


1. Se traza la recta que une los centros O1 y O2




O1

O

O2


2. Se traza el arco capaz (centro O) del

segmento O1O2 bajo el ángulo de 30º

30º




O1

O

O2


3. Trazamos una tangente exterior

cualquiera a las dos circunferencias, quenos da los puntos de

tangencia T1y T2

30º

T1T2

RO2-RO1




O1

O

O2


30º

T1 M T2

4. Hallamos el punto medio M del

segmentoT1T2




O1

O

T1 M T2

O2


30º

5. Trazamos la perpendicular a la recta que une O1 y O2 desde el punto M, y obtenemos

el eje radical er de las dos circunferencias

er




O1

O

T1 M T2

O2


6. El eje radical er corta al arco capaz en el punto

P que buscamos. Este punto tiene la misma

potencia K respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2 se ve bajo un ángulo de 30º

30º

er

P




O1

O

30º

T1 M T2

O2





30º

er

P




O1

O

T1

T3

T4

M T2

O2





30º

er

P

K K


Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r

O1

r


O2



O1

C

O2

r


1. Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias O1 y O2, como ya se ha estudiado anteriormente,

mediante una circunferencia auxiliar OA



O1

P

C

O2

r



mediante una circunferencia auxiliar C



O1

P

e1

C

O2

r



mediante una circunferencia auxiliar C



O1

P

e1

C

O2

r= e2


2. En segundo lugar, buscamos el eje radical e2, entre O1 y la recta dada. Como ya se ha

estudiado al comenzar el tema, el eje radical entre

una circunferencia y una recta está en la

propia recta, que es una circunferencia con centro

en el infinito.



O1

P

e1

C

Cr

O2

r= e2


3. El Centro Radical de O1, O2 y r es la

intersección entre los

ejes radicales e1 y e2



O1

P

e1

C

Cr

O2

T2

T1

T4

T3 r= e2


Si trazamos tangentes del Cr a las dos

circunferencias podremos trazar una circunferencia

con centro en Cr que pasará por todos los puntos de tangencia


Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3

O1

O3

O2


Sabemos que:El radio de la circunferencia de centro O3 es 0

El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.

Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias iniciales, se encuentra en una circunferencia.

El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias y se obtiene hallando el punto de intersección de los tres ejes radicales, tomando las circunferencias de

dos en dos



O1

O3

O2


1. Comenzamos trazando el eje radical

e1, de las circunferencias O1 y O3. En primer lugar unimos ambos centros



O1

O3

O2


2. Desde O3, que es una circunferencia de radio 0, trazamos la tangente a O1.

El punto de tangencia es R



O1

R

O3

O2


3. Trazando por el punto medio de la tangente RO3, punto Q, una

perpendicular a la recta que une O1 y

O2, obtenemos el eje radical e1



O1

R

Q

e1

O3

O2


4. En segundo lugar, hallamos el eje

radical e2, entre las circunferencias O1 y O2.

Para ello, comenzamos uniendo O1 y O2



O1

R

Q

e1

O3

O2


5. Trazamos la tangente exterior a las dos circunferencias O1 y O2, cuyos puntos de tangencia respectivos son

N y M



O1

R

MN

Q

e1

O3

O2


Ro2 - RO1

6. Trazando la perpendicular a O1O2

desde el punto medio P de la tangente trazada anteriormente, obtenemos el eje

radical 2, e2



O1

R

P MN

Q

e1

e2

O3

O2


Ro2 - RO1

7. El punto Cr de intersección de los dos ejes radicales es el centro radical que

buscamos



O1

R

P MN

Q

Cr

e1

e2

O3

O2


Ro2 - RO1

Si trazamos una circunferencia de centro Cr y radio CrO3, dicha

circunferencia pasará por los cuatro puntos de tangencia de las tangentes de

Cr a O1 y O2



O1T1 T2

T3

T4

R

P MN

Q

Cr

e1

e2

O3

O2


Ro2 - RO1


El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas

O2

O3

Cr

O1



O2

O3

Cr

O1

RECUERDA: Los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde el centro radical a las circunferencias iniciales, se encuentran en

una circunferencia




O2

O3

Cr

O1

T1

T2

1. Desde el centro radical Cr, se trazan las tangentes a la circunferencia O1,obteniéndose

así los puntos de tangencia T1 y T2




O2

O3

Cr

O1

T1

T2

2. T1 y T2 pertenecen a una circunferencia de centro Cr y radio k, por tanto dicha

circunferencia pasará por los puntos de tangencia de Cr con las otras dos circunferencias




O2

O3

Cr

O1

T1

T2T3

T4

T5

T6

3. Hallamos los puntos de tangencia entre O2 y O3 y la circunferencia de centro Cr




O2

O3

Cr

O1

T1

T2T3

T4

T5

T6

4. Teniendo los puntos de tangencia, podemos trazar las dos circunferencias que

pide el problema




Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento

cuya sección áurea es el segmento x


x

O

M





x

O

M

1. Calculamos el segmento m, que tiene por sección áurea el segmento conocido x.

Hacemos la mediatriz de x.

M

A

C





x

O

M

2. Trazamos el arco AM, obteniendo así el punto B

M

A

B

C





x

O

M

3. Trazamos la circunferencia de radio BA haciendo centro en B

M

B

A

C





x

O

M

4. Trazamos el segmento CB y lo prolongamos hasta que corte a la

circunferencia anterior en D

m

A

B

M

A

C

D




5. El segmento CD es m, segmento del cual es sección áurea x


x

O

M

m =

k

m

B

M

A

C

D




6. Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro C que pasa por M y es secante a la circunferencia dada O, calculamos el eje radical er. Primero

trazamos la circunferencia auxiliar que pasa por M


x

O

C

M

m =

k

m

B

M

A

C

D





x

O

C

M

m =

k

m

7. Trazamos el eje radical e1 de C y O, que está en la intersección de ambas

e1

B

M

A

C

D





x

O

C

M

e1

e2

m =

k

m

8. Trazamos el eje radical e2 de C y M, que está

en la tangente a C en el punto M. La intersección de e1 y e2 produce el centyro radical Cr

B

M

A

C

D Cr





x

O

Cr

C

M

e1

e2

e3

m =

k

m

9. Uniendo O y M por una recta y trazando una perpendicular

a la misma desde Cr obtenemos e3, el tercer eje radical que buscamos.

B

M

A

C

D





x

O

C

M

P

e1

e2

e3

m =

k

m = k

m

10. Trazando un arco desde M con la distancia m de radio, obtenemos

el punto P, que pertenece a e3 y dista la distancia m de M

B

M

A

C

D Cr


Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical

respecto de las tres circunferencias


O2

O3

O1

1. Trazamos la circunferencia auxiliar de centro C, secante a las tres circunferencias

dadas.





O2

O3

O1

C

2. Hallamos el eje radical e1 entre O1 y O2





O2

O3

O1

e1

C

3. Hallamos el eje radical e2, entre O1 y O3. En la intersección de O1 y O2 estará el

centro radical Cr





O2

O3

O1

Cr

e1

e2C





O2

O3

O1

T

Cr

e1

e2C

4. La raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radicalrespecto de las tres circunferencias es el segmento CrT,

siendo T el punto de tangencia entre Cr y O1


El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros O1 y O2. Calcula el radio de esta última.


O1

Cr

O2

O




O1

Cr

O2

O

1. El segmento CrO es K, raiz cuadradade la potencia del punto Cr respecto de

las dos circunferencias O1 y O2

K




O1

Cr

O2

O

T

2. Desde O2 trazamos una tangente a la circunferencia trazada desde Cr

K




O1

Cr

O2

O

T

3. el punto de tangencia T pertenece a la circunferencia que buscamos, por tanto ya podemos trazarla

K

Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB

A B



A B

1. Trazamos una perpendicular a AB desde uno de sus

extremos



A M B

2. Trazamos la mediatriz de AB



A M B

C

½ AB

3. Se traza el arco BM, que corta a la primera perpendi-cular trazada en el punto C



A M B

½ AB

C

4. Unimos A con C mediante una recta



A M B

D½ AB

C

5. Trazamos el arco CB, que corta a la recta

anteriormente trazadaen el punto D



A M B

D½ AB

C

BA aeruá nóicces

6. El segmento AD es laSECCIÓN ÁUREA de AB.



A M B

D½ AB

C

sección áurea AB

7. Abatimos AD sobre ABpara tener la sección áurea

sobre el segmento



A

A

M B

D½ AB

C

sección áurea AB

8. Para calcular el segmento delcual es sección áurea AB, completamos el arco CBD

en una circunferencia



A

A

M B

D

E

½ AB

C

sección áurea AB

9. La recta que pasaba por A, Dy C, se prolonga y corta la

circunferencia trazada en elpunto E



A

A

M B

D

E

½ AB

C

sección áurea AB

segmento del que es sección áurea AB

10. El segmento AE es el segmento del cual es sección

áurea AB



Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos

A

Ejercicios de Sección Áurea

C



A

C


1. Primero hallaremos la sección áurea de AC, En primer lugar, por el punto C

levantamos una perpendicular a la diagonal diagonal AC



A

M

C

O


2. Calculamos la mitad de AC, punto M, y trazamos el arco CM, mediante el cual obtenemos el punto O sobre la primera

perpendicular trazada



A

M

C

O


3. Trazamos, con centro en O, el arco de radio OC (OC = 1/2 diámetro)



A

M

P

C

O


4. Trazamos el segmento AO, que corta al arco anterior en el punto P



A

M

P

C

O


5. El segmento AP = l, es la sección áurea de AC, por tanto es el lado que

buscamos



A

M

P

B

C

O


6. Haciendo centro en A y C respectivamente, se trazan sendos

arcos de radio l (AP), que se cortarán en el punto B, vértice del pentágono.



A

M

P

E

D

B

C

O


7. Desde A y C, y con radio igual a la diagonal dada (AC), trazamos sendos

arcos que cortarán a los arcos trazados anteriormente en los puntos que faltan

para completar el pentágono, D y E



A

M

P

E

D

B

C

O


8. Uniendo los vértices A, B, C, D y E,

definimos el pentágono.


Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm





28 mmAP

1. Situamos el segmento AP de 28 mm.




28 mmAP

N 2. Trazamos el arco PA, que corta a la perpendicular

trazada desde P en el punto N




28 mmAPM

N 3. Hallamos la mitad de AP, punto M




28 mmAPM

N




28 mmAP

BM

N 4. Trazamos el arco MN, y obtenemos, sobre la

prolongación de AP, el punto B, segundo vértice

del rectángulo




28 mmAPM

N




28 mmA

CD

PB

M

N

5. Trazamos la paralela a AB desde N, y las

perpendiculares a AB desde dichos puntos.

Así obtenemos el rectángulo completo


Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB


A BB




A BB

1. Trazamos una perpendicular a AB desde uno de sus

extremos




A M B

2. Trazamos la mediatriz de AB




A M B

C

½ AB

3. Se traza el arco BM, que corta a la primera perpendi-cular trazada en el punto C




A M B

½ AB

C

4. Unimos A con C mediante una recta




A M B

D½ AB

C

5. Trazamos el arco CB, que corta a la recta

anteriormente trazadaen el punto D




A M B

D½ AB

C

BA aeruá nóicces

6. El segmento AD es laSECCIÓN ÁUREA de AB.




A M B

D½ AB

CBA

aer

uá

nói cc

es

7. Trazamos una perpendicularen A con medida AD

(sección áurea de AB)




A M B

D½ AB

C

F E

BA

aer

uá

nói cc

es

8. Trazamos el rectángulo ABEF


Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado


B Am




B A

1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x

m




B Am





B

x

Am





B

x

x

Am





B

DC

x

x

Am

2.Teniendo x y m, podemos trazar el rectángulo




B

D NC

x

x

x

m

Am

3. Para trazar el cuadrado equivalente al rectángulo ABCD, debemos tener en cuenta que el lado l del cuadrado ha

de ser media proporcional de m y x




B

DC

x

x

x

m

Am

4. AN es l : lado del cuadrado que buscamos, el cateto media proporcional entre x y m (en

este caso se ha utilizado el teorema del cateto)

N

l




B

DC

x

x

x

m

Am

5. Una vez tenemos un lado, trazamos elresto del cuadrado

N

l

potencia, eje radical, secciÓn Áurea

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