La representacin fasorial de la potencia en circuitos AC monofsicosG. Aguirre-Zamalloa1, N. Vidal-Lekue21 Departamento de Ingeniera ElctricaETSIB, Universidad del Pas Vasco2Departamento de Electricidad y ElectrnicaFacultad de Ciencia y Tecnologa, Universidad del Pas VascoCreesquelosqueestnashanvistootracosa[..]sinolassombras proyectadas por el fuego sobre la pared de la caverna que est frente a ellos?[]Entoncesnohayduda-dije-dequetaleshombresno tendrnporrealningunaotracosamsquelassombrasdelos objetosPlatn, Libro VII de La RepblicaResumenSedefinelapotenciareactivainstantneaq(t)para circuitosACmonofsicosenrgimenpermanente.Esto permite obtener la potencia compleja instantnea s=p+jq,lacualadmiteasuvezunainterpretacinfasorial extremadamentetilqueseestudiaconciertodetalle.A continuacinproponemosunageneralizacindeestas magnitudesinstantneasparaelcasotransitoriopor medio de los vectores espirales de Yamamura.Palabras claveFasores,vectoresespirales,potenciacompleja, transitorio, potencia reactiva instantnea (PRI).1. IntroduccinFue Steinmetz [1] a finales del S. XIX quien introdujo el empleodelapotentenotacinfasorial(compleja)para analizarcircuitosAC.Estamejoradelformalismo matemticopropiciunnotableavancedebidoaque permitiaplicardirectamentealoscircuitosAClos mtodosdesarrolladospararesolvercircuitosDC.Otra ventaja decisiva de los fasores reside en su interpretacin geomtrica directa: los diagramas fasoriales que muestran lasrelacionesentrecorrientesytensionesson herramientas de representacin muy comunes y tiles. En laactualidadestasrepresentacionesgrficasyanose empleancomoherramientasdeclculosinocomo recursosmnemnicos,cualitativos,quepermitencaptar inmediatamenterelacionesentrevariascantidadesde maneramuchomsdirectaquemedianteunaecuacin algebraica, por ejemplo.Aunque la representacin fasorial de seales sinusoidales puras(ondasdetensin,corriente,fuerzas magnetomotrices,etc.)estrivial,hayotrasmagnitudes elctricasdegranimportanciaqueaparentementenola admiten,comolapotenciaporejemplo.Es indudablementeciertoquelapotenciainstantnea absorbida por un dipolo elctrico) ( ) ( ) ( t i t u t p =por ser elproductodedossealesmonocromticaspresenta naturalmentelamezcladefrecuencias(funcin heterodina): t t t t ) cos( ) cos( sin sin 22 1 2 1 2 1e e e e e e + = (1)porloquenopuedeserrepresentadapormediodeun fasorestndar.Noobstante,enestetrabajonos proponemosdemostrarqueparaelcasoe e e = =2 1si que puede obtenerse una representacin cuasi-fasorial por mediodefasoresexcntricos.Creemosqueesta representacinesmuyilustrativademodoquevamosa definirla cuidadosamente y a estudiar sus propiedades.Enelao1984AkagiyNabae[2]introdujeronlos conceptosdepotenciaactivay reactiva instantneas para el anlisisdelproblemade latransmisindepotencia en sistemastrifsicos,emplendoloenconcretopara demostrarlasposibilidadesdemejoraderendimientoy compensacinmedianteelementosnoalmacenadoresde energa. A partir de ese momento varios otros grupos han trabajadosobreelmismotema,ampliandoy generalizando los conceptos y herramientas, por lo que se hageneradounaabundantebibliografa[3-4]. Mencionemosbrevementequesegnestosautoresla potenciaactivainstantnea(enadelantePAI)para sistemas trifsicos AC se define como:) ( ) ( ) ( t i t u t p =y elvectorpotenciareactivainstantneasedefinecomo: ) ( ) ( ) ( t i t u t q = ,donde| |Tt u t u t u t u ) ( ), ( ), ( ) (3 2 1= e | |Tt i t i t i t i ) ( ), ( ), ( ) (3 2 1= .Contodalgicasedefinela potenciareactivainstantnea(PRI)comoelmdulodel vector PRI.Estasdefiniciones,sinembargo,nosoncompletamente trasladablesalcasomonofsico.As,aunquela definicinde PAIes lacorrecta:) ( ) ( ) ( t i t u t p = ,laPRI resulta idnticamente nula0 ) ( = t q , lo cualno puede ser ciertoengeneral.Anosotrosnonosconstaqueninguna definicinsatisfactoriadelaPRImonofsicahayasido publicadahastalafecha.Enelpresentetrabajovamosa proponeruna definicinvlidade PRIparasistemas AC monofsicosenrgimenpermanentequees independientedeladefinicinpreviamentemencionada, yquevamosageneralizarinmediatamentealrgimen transitorio.Enestetrabajononosvolveremosaocupardelas potenciastrifsicas.Sinembargo,conrespectoaesta cuestin no queremos dejar pasar la ocasin de comentar un prometedor desarrollo del formalismo matemtico que en el futuro podra muy bien ser la va para la unificacin ygeneralizacindeestosconceptos.Nosestamos refiriendoallgebrageomtrica(AG)queesun formalismo que abarca, generalizay simplifica el clculo de matrices, de nmeros complejos, de cuaternionesy de espinoresporejemployquetuvosuorigenenlos trabajosdelosmatemticosGrassmanyClifford[5]. ComoilustracinsealemosqueenAGsedefineun nuevo producto de vectores, el producto geomtrico:b a j b a b a b a b a + = . + = (2)donde" ". indicaelproductoexteriory" " j esel pseudoescalardellgebra,queestalque12 = j .La sumadeescalaresyvectores(multivectores)nosolamenteesposible,sinoqueesinmensamente beneficiosa;as,porejemplo,elproductogeomtricode losvectorestensinycorrientetrifsicosnosda automticamenteel(multivector)potencia.Entrelas bondadesdelproductogeomtricodestacaremosquees generalizableacualquierdimensineinvertible,porlo que se nos va a permitir dividir entre vectores! Aunque a primeravistalaexpresin(2)parezcaincorrectala realidadesque,yestopuedeserunaautnticasorpresa paraalgunos,laestamosempleandocontinuamenteal manejar nmeros complejos (dimensin 2); as,( )( ) ( )2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1*b a b a j b a b a jb b ja a b a + + = + =(3)es esencialmente equivalente a (2).Esteartculoestestructuradodelamanerasiguiente: despusdeestaintroduccindefinimoslaPRI monofsica) (t qen el rgimen permanente en la seccin 2.Esteeselresultadocentraldeltrabajoporloque dedicamoselrestodelaseccinasujustificacinya demostrarsusprincipalespropiedades.Enlaseccin3 presentamos con cierto detalle el diagrama fasorial de las potenciasydamosalgnejemplo,siempreenrgimen permanente.Laseccin4introducebrevementeel formalismodelosvectoresespiralesACdeYamamura. En la seccin 5 elaboramos una redefinicin de las PAI y PRIentrminosdevectoresespiralesparapoder generalizarestosresultadosalrgimentransitorio,yse presentanalgunosejemplosms.Enlaseccin6se elaboran las ms importantes conclusiones.2. Definiciones en rgimen AC permanenteEneseapartadoanalizamoselrgimenpermanentede circuitosalternossinusoidalesmonofsicos. Establezcamosenprimerlugarlanotacincontoda claridad.Lasletrasminsculas,conosindependencia temporalexplcitadenotanvaloresinstantneosmientras quelasmaysculasindicanvaloresconstantes.Los smbolossubrayadossoncomplejosysinoloestnson reales.Lasvariablescomplejasinstantneaslas escribimosnormalmenteennotacinexponencial.As, porejemplo,) (t i i = ,) (t u u = sonfuncionesperidicas deperiodo et 2= T .Tambin t je I t i i = =e2 ) ( , | | i i i = = Re e222i I I = = .Finalmenteresultamuy convenienteintroducirlassiguientesabreviaturas: )4( ) (Tt f t f y)4( ) (Tt f t f + .Recordemosquepordefinicinlapotenciacompleja consumida por un dipolo esjQ P I U S + = *, donde Peslapotenciapromedio(potenciaactiva)absorbidaque vale| |*Re ) ( ) ( ) ( I U t u t i t p P = = = .Estaltima expresinnaturalmentenosinvitaaexaminarlafuncin de correlacin cruzada entre corriente y tensin:et et t t t etsin cos ) () )( (41) ( ) ( ) (Q Pcc e i cc u t i t uj+ = + + = + =(4)dondeccdenotaconjugacincompleja.Entrminos generalesunafuncindecorrelacincruzadanos dauna medidadelgradodesemejanzadelasfunciones.Enel presente caso se trata una funcin sinusoidal de periodo Tque verificaP = ) 0 ( obviamente y tambinQT= )4( . Deestemodosejustificalaintroduccindelafuncin auxiliar)4( ) ( ) (Tt i t u i u t + = cuyaspropiedades vamosaestudiaracontinuacinparacomprobarsise tratadeun buen candidato paraidentificarlo comoq(t)o potenciareactivainstantnea.Encualquiercaso, debemostenerpresentequepormuyinciertoqueseasu sentido fsico, su definicin matemtica, dada ms arriba, es clara y distinta. Esta funcin) (t tiene las siguientes propiedades: 1. Es dimensionalmente homognea a una potencia.2. TalycomosehademostradoQ t = ) ( ,dondeQdenota la potencia reactiva absorbida por el circuito.3. ElteoremaTellegen[6]garantizaque ==Rkkt10 ) ( , donde R indica el nmero total de ramas del circuito.Delacombinacindelaspropiedades2y3resultauna pruebadelaparteimaginariadelteoremadeBoucherot [6]. Adems, al verificarse las relaciones siguientes:| | | |*4Im Re Re i i j e i iTj= =(((

=e (5a)y tambin| | | | | |*Im Re Re Re i i jdti didtddtdie e = =((

= = (5b)se puede probar que:4.} } } == = = di u dtdtdiuTdt tTQT Tt e 21 1) (10 0 (6)Esta ltima propiedad revela el significado fsico del rea limitadaporlaelipseinclinadadescritaporelpunto ( ) u i, ,talycomosepodramedirmedianteun osciloscopio.Podemosahondaralgomsenla interpretacindeesteresultadotomandolasiguiente analoga mecnica: un mvil de masa unidad( ) 1 = mque sedesplazaseporelplano( ) y u x i = = , siguiendolas oscilacionesdetensinycorrienteenunaimpedancia Z = Z Zestara localizado en el punto:y t U x t I t r cos 2 ) cos( 2 ) ( + = e eanimado de velocidad:y t U x t I t sin 2 ) sin( 2 ) ( v = e e e ePor lo que su momento angular se conservara:Q UI p r Mzz = = = e e 2 sin 2 5. Medianteunrazonamientodualaldelapartado4, podemosllegaralaconclusindequeelrea limitadaporlacurvacerradadescritaenelplano ( ) u i,(y medida con un osciloscopio digital) es P, la potencia activa:} } } == = = u d i dtdtu diTdt i uTi u PT Tt e 21 1 10 0(7)Laexpresindelasfuncionesauxiliares) (t paralos diferentes elementos ideales es muy convincente:6. Resistencia:( )221i Rdtdi i RRe = = y0 =R (8)Unaresistencianoimponeningncriteriode continuidad.7. Inductancia: L Lw i Ldtdii L t e e 2212 ) (2= = =y por lo tanto: L L Lw Q e 2 = = (9)La continuidad de la funcin Li conlleva la de Lw(y por consiguiente la de Lw) lo que implica que Les tambincontinua; sin embargo Lu (ypor tanto Lp ) pueden presentar discontinuidades finitas.8. Capacidad: C Cw u C u u Cdtu du C t e e e 2 ) (2 = = = =C C Cw Q e 2 = = (10)(hemosaplicadoquederivacintemporalyretraso conmutan)Lacontinuidaddelafuncin Cu conlleva lade Cw loqueimplicaque C estambin continua;sinembargo Ci (yportanto Cp )pueden presentar discontinuidades finitas.Llegadosaestepuntodelanlisisconsideramosque disponemos de argumentos suficientes como para afirmar quelafuncinauxiliari u= puedeidentificarse razonablemente con la potencia reactiva instantnea q.Comoconsecuenciainmediatadelanlisisrealizadose desprende la siguiente definicin de la potencia compleja instantnea vlida para circuitos monofsicos en rgimen AC permanente: + = + i ju ui q j p s| | | | + =*Im Re i u j i u s*i u s = (11)Estaexpresinquegeneralizalindamentelaecuacin *I U S estambinalgosorprendenteporsufaltade simetra,perotngaseencuentaquelaaparentemente msintuitivadefinicin(?)*i u s = noesenabsoluto correcta(esunaconstantecompleja!).Laecuacin(11) indicaquelapotenciacomplejainstantneas esun autnticofasorcuyaextremidaddescribeuna circunferenciaenelsentidodelasagujasdelreloj(la corriente est conjugada) en el plano( ) q p,con centro en Q j P q j p s S + = + = = ,radioS yperiodo 2T.Al serladistanciadelorigenalcentroigualalradio,la circunferenciapasapor elorigenopivotaenelorigeny lasllamaremosCPOparaabreviar.Esteeselprimer resultadobsicodeltrabajo.Apartirdeestepunto debemosinterpretarloeilustrarloantesdepoder generalizarloalrgimentransitorio.Parafijarlasideas vamosaconcentrarnosenelanlisisdecircuitos sencillos.EnlaFigura 1puedeapreciarseclaramentecmoestaconstruccingeneralizayenriqueceel tringulo de potencias clsico.3. Diagramafasorialdelapotencia: propiedades y ejemplos.Laprimerapropiedadquequeremosdestacaresla superposicin:puedefcilmentedemostrarseapartirde (11) que dados dos subcircuitos 1 y 2 conectados en serie oenparalelo,lapotenciainstantneatotalsecalcula como 2 1s s sT+ = .Figura1: Tringulodepotencias,fasorpotenciaypotencia activa instantneaTabla 1: Puntos singulares del diagrama fasorial RL( ) 0 , 0 o ( ) Q P C ,( ) 0 , 2P o ( ) 0 , P q( ) Q 2 , 0 | ( ) Q , 0 c||.|

\|22222,2SQ PSPQo||.|

\|22224,4SQ PSPQ||.|

\| 22222,2SQ PSPQ||.|

\| 22222,2SQ PSPQvEsta situacin queda ilustrada por la Figura 2 en la que se hanrepresentadolascircunferenciasdextrgirasy sncronasdescritasporlaspotencias Rs consumidapor R, Ls consumidaporLylatotal L R RLs s s + = paraun circuito RL serie simple.En cada instante la proyeccin sobre el eje p nos indica la potenciainstantneaabsorbidaporcadaelemento. Adems,lasuperficiecoloreadacorrespondeal intervalo duranteelcualelcircuitodevuelvepotenciaalafuente. En este ejemplo hemos puesto0 =RLsen0 = tParaobtenerelmximopartidodelarepresentacin convienefamiliarizarseconlaestructurageomtricadel diagrama. En la Tabla 1 hemos indicado las coordenadas delospuntossingulares,esdecirdelospuntosde interseccindelascircunferenciasyenlaFigura3los hemosrepresentado (setratadelmismocasosencillode uncircuitoRL).Hayqueadvertirsindemoraque interseccin noquierenecesariamente decircoincidenciaoencuentrosimultneo;lascondicionesdecoincidencialasvamosaestudiarmsadelante.Dospuntosopuestos porundimetroencualquieradelosCPOestn separados en el tiempo por 4T segundos.Figura2:Fasoresdepotenciaypotenciasinstantneasenun circuito RL serie en el rgimen permanente AC.Sobre la Figura 3 puede apreciarse cmo las rectasooy oo |Cson perpendiculares, como lo son las rectasC oy ov (esta ltima es tangente al CPO RLs en el punto o )Laconstruccingeomtricaponedemanifiestolas ligadurascontodaclaridad.Siinicialmenteelcircuito fueseresistivopuro,la R RLs s = describeuna circunferencia tumbada, con su centro sobre el eje p. Al ir incrementandoelvalordeLsucedenvariascosas simultneamente.Elcirculovarasuradioperosobre todo pivota en torno alorigen de modo que al abandonar su centro el eje horizontal lacircunferenciava a penetrar en la zona 0 < py va a ganar un Q (q promedio) no nulo. Yestosefectossehacenmsimportantescuantomayor esL.Dehechoelintervalodetiempoduranteelcualse cedepotenciaalafuenteeselquetardaenrecorrerel arco| C ode valor 2 : ett = =222T.Todavaquedaporexaminarenqucondicionesla superposicin (suma)dedos CPO daorigen aotra CPO: vamosacomprobarqueenrealidadhayrestriccionesde fase bien definidas.Figura3:Puntossingularesyrelacionesgeomtricasdel diagrama fasorial RLSeanlosCPO ( )k kt jkjk ke C e C t su e ++ =2) ( con2 , 1 = k , donde los Z Cson los centros de las circunferencias, Cson sus radiosy losufijan un origen de fases. Paraque lasuma 2 1s s + seaunCPOelradiodebeserigualala distancia del centro al origen. Esto solo ocurrir si( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1cos cos u u u u = = (12)Veamosunosejemplos.Ejemplo 1:Conexindebobina 21t = y condensador 22t = .Ademssi quiero que en0 = tLsest en el origen pondr 21tu =y de (12) obtengo 22tu = comounanicasoluciny ( ) ( )t jC L LCe Q Q j t se 21 ) ( = , esto es la compensacin deenergareactiva.Ejemplo2:conexinderesistencia 01 = ,t u =1coninductancia 22t = .Enestecaso dos sonlos valoresde 2uquesatisfacen(12): 22tu = y 22tu = .Vamosaverquecorrespondenalas conexiones serie y paralelo respectivamente.Circuito RL serieEn un circuito serie los elementos ven la misma corriente ydiferentestensionesporloquelos *i e sk k = tienenla misma fase y por lo tanto estn alineados sobre rectas que pasan por elorigen. Esta situacin queda ilustrada por la Figura 4ypuedecomprobarsemediantelosdatos recogidosenlaTabla2,lacualindicalasposicionesde losfasores sR,sLysRLparainstantesdetiempo seleccionados.Tabla 2: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL en un circuito RL serie.tRsLsRLs Descripcin0 vo 0 0 = = = e q peo | |0 0 = = p ii retrasa respecto e4TC' oc'qv ' emin/max ( ) 0 = ee 2o o4T+eo o oi min/max ( ) 0 = ies decir0 = qMediante la notacin yx' nos referimos al punto opuesto a x enlacircunferenciaconcentroeny ;as,por ejemplo C' ' | o oq .Tabla 3: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL en un circuito RL paralelotRsLsRLs Descripcin0 o o o 0 0 = = = e q peoco' |0 0 = = p ii retrasa respecto e4To |C' o emin/max ( ) 0 = ee 2verCGverCG4T+eqo ' o oi min/max ( ) 0 = ies decir0 = qCircuito RL paraleloEnuncircuitoRLparaleloequivalenteauncircuitoRL serietendremosexactamentelamismaconstruccin geomtrica(circunferencias,intersecciones),perolos CPOssLysRsonrecorridosdemododistinto(distintas relacionesdefaseydistintascoincidencias).Estaesla caractersticaquevamosaexplorar ahoraycuyos resultadosseilustranenlaFigura4yserecogenenlas Tablas 2 y 3.Re ei e sR R**= = y R L LsLRj i e se= =*sonclaramenteperpendiculares.DefiniendoahoraP s sRauxR2 = y P s sRLauxRL2 = vamosaverque auxRLs , auxRs y Ls son paralelosentresi. ComoLauxRauxRLs s s + = bastar comprobarque auxRs y Ls sonparalelos.Retomandoahoralaecuacin(2)ponemos 0 // = LauxR LauxRs s s s ( ) | | 0 2 Im*= L Rs P s .Ellectorpuedefcilmente comprobar que esta igualdadse verifica. Estas relaciones tienenunainterpretacingrficamuysencilla:los extremosdelosfasores RLs y Rs seencuentransobre una recta que pasa por el puntoo al tiempo que el fasor Ls esparaleloaestarecta(valedecirtambinqueel segmento L RLs s esperpendicularadicharecta).Estas relaciones se muestran en la Figura 4.Figura 4: ConstruccinGrfica depotencias instantneaspara circuitos RL serie y paraleloPor no aumentar la complejidad del esquema no todos los puntosrecogidosenlaTabla 3aparecenenlaFigura 3. Sin embargo todos pueden obtenerse fcilmente mediante la mencionada construccin grfica (CG). Adems de las indicadasexistenotrasrelacionesimportantesqueel lectorinteresadopuedefcilmenteencontrar;sealemospor ejemplo que co ' (resp. qo' ) corresponde tambin a la interseccin del CPO sL(resp. sR) con la recta tangente al CPO sRL por| (resp.o ).4. Vectores espirales ACUnvectorespiral[7]esunnombreevocadorpara designaraunfasorconexponentecomplejoelcualpermitetratarelclculodelrgimentransitoriode circuitos AC exactamente del mismo modo que el clculo delrgimenpermanente.Aunqueestateoraes completamentegeneral,aquvamosapresentar solamenteelclculoparasistemasde1y2orden.La idea encerrada por este mtodo queda bellamente captada porelpasajedelmitodelacavernaplatnicocitadoal principio:lascosasenestemundo(larealidad)parecen complicadasporquesonsombras,esdecir,proyecciones de objetos de otro mundo, ms simples.Queremosintegrarlasiguienteecuacindiferencialreal de segundo orden:( ) e e qe + = + + t F x x xo ocos 2 22 (13)concondicionesiniciales ox y ox ,donde0 > q .Podemoscomplexificarelproblemadefiniendo:(1)la variablecomplejay j x z + = ,talque| | z x Re = ,donde yesunavariablerealdelaquenovamosaocuparnosy (2)laconstantecompleja 21 q e qe o + o oj . Entoncespuedefcilmentedemostrarseque(13) correspondealaproyeccinrealdelaecuacin diferencial lineal (compleja) de primer orden:t je F z z = eo 2 (14)donde Z = F Fy cuya solucin general viene dada por la superposicin de la solucin de la ecuacin homognea y de una solucin particular de la ecuacin completa:t j te B e A z + =e o con o ojFBqee e e 222 2+ = (15)enlaqueA esunaconstantecomplejaadeterminara partirdelascondicionesiniciales,esdecir: | | B A xo+ = Re y| | B j A xoe o + = Re ,dondetenemos encuentaquelosoperadoresproyeccinrealyderivada respectodeltiempoconmutan.Laecuacin(15)admite unarepresentacingrficamuyclara:elprimertrmino esunfasoramortiguado,aperidico,quegiraala velocidadangular 21 q e e o dcayendoenespiral haciaelorigen.Elsegundotrminoesunfasorde mduloconstante quegiraconvelocidad angulare .En casodesobreamortiguamiento( 1 > q ) de deviene imaginario puro y el vector espiral no girara.Para resolver la ecuacin de primer orden:( ) et+ = + t G x x cos 21 (16)podemosservirnosdelasexpresionesanteriores poniendo1 = q , te1=oyG j F |.|

\| + = et1.Adems, al ser en este casooreal, la parte imaginaria de A que ha quedado indeterminada, no influye en absoluto sobre z.5. Propuestadegeneralizacinparael rgimen transitorio. Ejemplos.Enestaseccinvamosaproponeryexaminar sumariamenteunanuevadefinicinde) (t q (yporlo tanto de) (t s ) vlidapara el rgimen transitorio AC. Por unladoestclaroquemientraselrgimenpermanente peridiconoseinstaleladefinicinquemanejbamospreviamente: )4( ) ( ) (Tt i t u t q + notienesentido.Por otroladoesevidentequelanuevadefinicindebe reducirsealaprimeraenelrgimenperidico,elcual todosloscircuitosestables,amortiguados,acabanpor alcanzar tardeotemprano.Loquenosotrosproponemos esescribirtodava *i u q j p s = + = pero reinterpretandoahoralascantidadescomplejascomo vectoresespiralesenelsentidodeYamamura. Laparte real de dicha ecuacin coincide naturalmente con el valor delPAI,mientrasquelaparteimaginariadefineelPRI. Adems,enelrgimenperidico,permanente recuperamos la definicin original. TomemoselejemplodelcircuitoRLserieparaelque podemos escribir el vector espiral:L j Re Ee A it j t + + = eet2con RL= t (17)Ademsdisponemosdelacondicininicial||.|

\|+ =ZEA io2Re dondeL j R Z + = e ,que imponelacontinuidaddelacorrienteodichodeforma equivalente,lacontinuidadde) (t p .Quedaclaro entoncesqueparasistemasdeprimerordentodava disponemosdeungradodelibertad(A2)parapoder garantizarlacontinuidadde) (t q .Siporejemploel sistema parte del reposo en0 = tpodemos poner:ZEA =2||.|

\|= tett je eZEi2(18)Porloqueacabamosdesealardebequedarclaro tambin que para sistemas de2 orden no vamos a poder garantizarengenerallacontinuidadde) (t q . Esteesun aspectoquedebesertratadoconelmayordetalleyque sepresentarenotrapublicacin.EnlaFigura 5 mostramoslosvectoresespirales depotencia transitorios delaconexindel mismocircuitoRLseriequeseha estudiadoenelrgimenpermanente.Cabedestacarque en = 0 t elsistemase encontrabadesenergizado,porlo quenopuedecruzarelejeq inmediatamente.Para cualquiercombinacindevaloresdelosparmetrosse verifica que la rbita partedel origen del plano( ) q p,es decir hay continuidad de p y q.6. ConclusionesSe ha escritoy justificado una expresin para la potencia reactiva instantnea en el rgimen AC permanente. Se ha introducidolarepresentacinfasorialdelapotencia.Se haanalizadolaestructuradelosdiagramasdecircuitos deprimerorden.Hemosrecordadoloquesonlos vectoresespiralesdeYamamurayporfinenbaseal anlisisanteriorhemospropuestounaexpresinpara la potenciainstantneatransitoriaqueresultaser extremadamentesatisfactoriaparacircuitosdeprimer orden. Su extensin a circuitos de orden superior debe ser analizadaconmsprofundidad. Hemosintroducido herramientasgrficasyanalticasnuevasquecreemospuedenresultartilesparaelanlisisdecircuitosenla academia.Invitamosatodoslosinvestigadorese investigadoras a aplicarlas y a compartir sus experiencias.Figura5:Ejemplodevectoresespiralesdepotenciaenel rgimen transitorio AC de un circuito RL serie.Referencias[1]CharlesProteusSteinmetz,LecturesonElectrical Engineering,Vol.I-III(DoverPhoenixEditions),Dover Publications (2003) [2]H.Akagietal.,Instantaneousreactivepower compensatorscomprisingswitchingdeviceswithout energy storage components, IEEE Trans. Ind. Appl., 20, 625-630 (1984)[3]J.L.Willems,AnewinterpretationoftheAkagi-Nabaepowercomponentsofnonsinusoidalthree-phase situations,IEEETrans.Instrum.Meas., 41,523-527(1992)[4]FangZhengPengetal,Generalizedinstantaneous reactivepowertheoryforthreephasepowersystems, IEEE Trans. Instrum. Meas., 45, 293-297 (1996)[5]DavidHestenes,NewFoundationsforClassical Mechanics, Reidel Publishing Co, (1986)[6]JesusFraileMora,Electromagnetismoycircuitos elctricos(3ed.),UniversidadPolitcnicadeMadrid (1995)[7]SakaeYamamura,SpiralVectorTheoryofAC CircuitsandMachines(MonographsinElectricaland Electronic Engineering, No 26), Clarendon Pr (1992)