Los postulados de la mecánica cuántica

Juan Ramirez

9 de agosto de 2012

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1. Introducción

La mecánica cuántica puede estructurarse de una forma axiomática, esdecir que se puede de�nir un conjunto mínimo de postulados, desde los cualesse puede deducir el comportamiento de los entes cuánticos. La formulación delos postulados de la mecánica cuántica pueden variar entre diversos autoresaunque debieran ser, en principio, equivalentes.

Los postulados aquí descritos parten de tres conceptos fundamentales:sistema, observable y estado. El sistema es la parte del universos sobre laque se centra el estudio. Los observables son magnitudes medibles del siste-ma. Cuando al medir un observable de un sistema en instantes diferentes seobtienen valores diferentes se dice que el sistema está en estados distintos.

La discusión del signi�cado de estado en mecánica cuántica puede exten-derse aún más, diferenciandolo del signi�cado que adquiere en la mecánicaclásica. Utilizando ideas clásicas, un estado es un conjunto de valores numé-ricos conocidos de todas las coordenadas y velocidades de todas las compo-nentes de las partes del sistema en un momento determinado, entonces elmovimiento entero del sistema está completamente determinado. Desde elpunto de vista cuántico, el estado de un sistema puede de�nirse como unmovimiento invariante que está restringido por tantas condiciones o valo-res teóricamente posibles sin interferencia mutua o contradicción entre estascondiciones.

2. Postulado No. 1

Cualquier estado de un sistema queda completamente descrito por unvector ψ que pertenece a un estado de Hilbert H. Además todo vector φ ∈ Hrepresenta algún estado del sistema, y si φ = cψ entonces ψ y φ representanel mismo estado. El número c es un complejo cualquiera.

2.1. Observaciones al postulado No. 1

Debido a que ψ y cψ representan el mismo estado siempre se escogeráun vector ψ tal que su magnitud sea uno como representante del sistema||ψ|| = 1.

El primer postulado puede espresarse por medio de la notación de Diracde la siguiente forma:

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Cualquier estado de un sistema queda completamente descrito por unket |ψ〉 ∈ H donde H es un espacio de Hilbert. A todo ket |ψ〉 sele hace corresponder un bra 〈| y cumplen con 〈φ|ψ〉 = 〈φ|ψ〉∗ y estacorespondencia es antilineal. Además todo ket |ψ〉 representa algúnestado del sistema y si |φ〉 = c|ψ〉 entonces |ψ〉 y |φ〉 representan elmismo estado.

3. Postulado No. 2

Todo observable sobre un sistema queda completamente descrito por unoperador hermítico A : H → H.

3.1. Observación al Postulado No. 2

Los vectores propios de un operador hermítico como el descrito puedenformar una base ortonormal de H. En mecánica cuántica siempre setrabaja con alguna base ortonormal de H, esta base consiste en todoslos kets propios de algún observable.

4. Postulado No. 3

Los únicos valores que pueden obtenerse en la medición de un observableson los valores proipios del operador hermítico que representan al observable.

4.1. Observación al postulado No. 3

Para calcular los valores propios debe resolverse la ecuación

A|ψ〉 = a|ψ〉 (1)

5. Postulado No. 4

Si el estado de un sistema está en |ψ〉 y se medirá algún observabe laprobabilidad de encontrar el sistema en un estado |φ〉 es

P = |〈φ|ψ〉|2 (2)

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En caso que se trabaje con un índice contínuo la densidad de probabilidades

f = |〈φ|ψ〉|2 (3)

Al producto 〈φ|ψ〉 se le llama amplitud de probabilidad o amplitud de

densidad de probabilidad

6. Postulado No. 5

Cuando se mide un observable sobre un sistema, se ocasiona un cambiosobre el estado del sistema de tal forma que el sistema queda en un ket propiodel observable correspondiente al valor propio obtenido.

7. Postulado No. 6

Cuando un sistema evoluciona respecto al tiempo su estado depende deltiempo |ψ(t)〉 y H(t) el observable de la energía total del sistema, tambiéndepende del tiempo por medio de la siguiente ecuación

ih̄∂

∂t|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉 (4)

La ecuación 4 es conocida como la ecuación de Schrodinger dependientedel tiempo.