Postulados de Euclides: Geometría no-euclidiana

Javier Leiva

24 Abril 2015

Matemática

Introducción.

Postulados de Euclides

Nacido en el siglo 300 a.C., fue el matemático más famoso de todos los tiempos a pesar del hecho que poco se sabe de su vida, y lo poco que se sabe es gracias a un historiador griego llamado Proclo. Se sabe que enseño en Alejandría, Egipto.

Los elementos de Euclides, un trabajo introductorio a la geometría elemental y otros tópicos, y otros trabajos de su género a tal magnitud que ahora se saben sólo por referencia indirecta. Los elementos empiezan por definiciones, postulados, y axiomas, incluso el famoso quinto postulado que una y solo una línea recta puede ser dibujada a través de un punto a una paralela dada.

La decisión de Euclides de hacer de esta suposición indemostrable lo llevó a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo XIX que se modificó el quinto postulado para desarrollar la geometría no-euclideana. Los elementos se dividen en 13 libros. Los primeros 6 son sobre la geometría plana; los libros del 7 al 9 son sobre la teoría del número; el libro 10 se trata de la teoría de Eudoxus y del 11 al 13 sobre la geometría sólida, finalizando con una discusión de las propiedades de los cinco poliedros regular y una prueba de que pueden haber más que estos cinco. Los elementos de Euclides son notables por la claridad con que los teoremas y problemas son seleccionados y ordenados.

Las proposiciones proceden lógicamente y rigurosamente. Euclides no es conocido por haber hecho descubrimientos muy originales y los elementos se basan en el trabajo de sus predecesores, se asume que alguna son suyas propias y que es responsable por su excelente arreglo.

Sobre miles de ediciones de su trabajo se ha publicado desde la primera primera impresión en 1482.

Los otros trabajos incluyen datos, en divisiones de figuras, phaenomena, ópticas, sitios de la superficie, porisms, la sección cónica, libro de falacias y elementos de música. Solo los primeros cinco sobreviven.

Quinto postulado de Euclides:

El libro de la geometría (y podemos decir de las matemáticas) más importante es sin duda “Elementos” y su autor es Euclides. Este libro se utilizaba hasta hace poco en Inglaterra como libro de texto. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones matemáticas más controvertidas de la historia de las matemáticas.

Euclides parte de 23 axiomas (axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración) y 5 postulados (postulado es una proposición no evidente que se admite sin probar) y demuestra muchos teoremas (teorema es una proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados).

El quinto postulado dice: que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están (ángulos) menores que dos rectos.|

Esta formulación, que original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: “por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta.

El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas:

La existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada; y que esta recta es única.

Por lo tanto el quinto postulado puede negarse totalmente o negar sólo la segunda parte.

El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrar con teoremas, pero no han conseguido (y no conseguirán). Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el postulado.

El primero en sospechar fue Gauss pero no se atrevió a publicar nada.

Lobachewski(1792-1856) matemático ruso formulo una nueva geometría (en su libro Nuevos elementos de la geometría en 1855) partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella, demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente. La geometría que obtenía (aunque consistente) le parecía tan contraria que la califico de imaginaria. A esta geometría se le llama hoy geometría hiperbólica.

Bolyai (1802-1860) también demostró la imposibilidad de probar el quinto postulado y la existencia de geometría no euclideas. El padre de Bolyai envío el trabajo a Gauss de su hijo y Gauss albando el trabajo de su hijo y diciéndole que el había llegado hacia tiempo a la misma conclusión pero que no sé atrevía a publicar nada por miedo de ser mal interpretado.

Bernhard Riemann (1826-1866) partiendo del postulado “por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela” desarrollo la geometría elíptica.

A estas se les llamaba geometría no euclideas. A la euclideas se le llamaba también geometría parabólica.

En la geometría euclidea la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, en la elíptica la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180° y en la hiperbólica, es menor que 180°.

Geometría no euclidiana

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.

La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.

La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.

Geometría hiperbólica

A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).

La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

Modelo del disco Poincaré para la geometría hiperbólica con una teselación {3,7} de rombos truncados.

Geometría elíptica

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann de curvatura positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Un modelo clásico de geometría elíptica n-dimensional es la n-esfera.

En la geometría elíptica las líneas geodésicas tienen un papel similar a las líneas rectas de la geometría euclídea, con algunas importanes diferencias. Si bien la mínima distancia posible entre dos puntos viene dada por una línea geodésica, que además son líneas de curvatura mínima, el quinto postulado de Euclídes no es válido para la geometría elíptica, ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una línea geodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodésica que no corte a la primera.

La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, losmeridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.

Geometría euclídea

La geometría euclídea es claramente un caso límite intermedio entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. De hecho la geometría euclídea es una geometría de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espacio geométrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nula es localmente isométrico al espacio euclídeo y por tanto es un espacio euclídeo o idéntico a una porción del mismo.