posicionamiento geodesico

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INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICAGEOGRAFIA E INFORMATICA


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NorA DEL TRADUCTOR

Este trabajo es parte de l esfuerzo que DETENAL est haciendocon el prop6sito de elevar el nivel de lo s conocimientos geodsicosdentro y fuera de la Instituci6n. Debe pues, agradecerse la d i s p ~sici6n y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, parti-cularmente de aquellas responsables de l rea de Geodesia, que alfacilitarnos medios y personal, hicieron posible que stas notasran la luz del da.

Debe agradecerse profundamente la gentileza de los autores,Dr. E. J . Krakiwsky y Dr. D. B. Thomsn, de la Universidad deNew Brunswick, al dar su autorizacin para la traducci6n y divulg.!ci6n de su obra en espaol.

El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de laSrita. Concepcin Vega Ch de la Oficina de Apoyo Bsico. El Sr.Julio Bueyes Oliva, de la Oficina de Apoyo Vertical, tuvo la respon-sabilidad de t razar los diagramas y escribir las f6rmulas qu e a p a r ~cen en stas notas.

M. C. Rafael Sosa Torres .


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P R E F A C I O

El propsito de estas notas es dar la teora y el uso de algu-nos mtodos de clculo de posicin geodsica de puntos sobre un elipsoi-de de referencia y sobre el terreno. La justificaciJi por las primeras -t res seccines de estas notas de lectura, qu e t ratan el problema clsicodel "Clculo de posicin geodsica sobre la superficie de un elipsoide",no es fcil de determinar. Solamente puede ser establecido qu e la intencin ha sido producir un paquete independiente que contenga el desarrollocompleto de algunos mtodos representativos qu e existen en la literatura.La ltima seccin es una introduccin a los mtodos de clculo t ridimen-sionales y es ofrecida como un a alternativa al mtodo clsico. Muchos-problemas y su respectiva solucin son presentados.

El enfoque que se da aqu es real izar derivaciones completas,esto es, alejado de la prct ica de dar una l ista de frmulas a usarse en -la solucin de un problema. Se espera que este enfoque dar el lectoruna apreciacin para el fundamento en que estn basadas las frmulas yal final, las frmulas mismas.

Las notas se desarrol laron de las conferencias preparadas -por E.J. Krakiwski y del t rabajo de investigacin realizado por D. B. -Thomson en afios recientes en U. N. B. Los autores reconocen el uso -de ideas contenidas en las conferencias de los profesores Urho A. Uotilay Richard H. Rapp. del Departamento de Ciencia Geodsica de la Universidad del Estado de Ohio, Columbus, Ohio. Otras fuentes usadas para :-detalles importantes estn referidas dentro del texto.

Los autores desean reconocer la contribucin hecha por losestudiantes de post grado de Ingeniera Topogrfica de 1975, para el me-joramiento de estas notas por el descubrimiento de errores topogrficos.

Mr. C. Chamberlain es particularmente reconocido por su -crt ica constructiva y su asistencia en la preparacin de este manuscritopara su publicacin.

E. J. KrakiwskyD. B. Thomson

Febrero 14 de 19 7 4.

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TABLA DE CONTENiDOS

Prefacio - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - -Lista de ilustraciones - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Introduccion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Seccin 1: Geometra Elipsoidal - - - - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- ---1. - El Elipsoide de Rvolucion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1. 1. - Parmetros Elipsoidales - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1.2. - Radio de Curvatura -------:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - -1. 2.1. - Radio de Curvatura de l Meridiano - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1. 2. 2. - Radio de Curvatura de l Primer Vert ica l - - - - - - - - - - - - - -1. 2. 3. - Radio de Curvatura en cualquier Azimut - - - - - - - - - - - - - -1. 3. - Curvas sobre la superficie de un Elipsoide - - - - - - - - - - - - -1. 3. 1. - La Seccin Normal - - - - - -- - - - - -- - - - -- - - - - - -- - - -- - - -1.3.2 . - La Geodsica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Seccin n. - Reduccin de Observaciones Geodsicas Terrestres - - -2. - Reducci6n a la Superficie del Elipsoide de Referencia - - - - - - --2.1. Reducci6n de Direcci6nes Horizontales (o ngulos) - - - - - - - -2.1. 1. - Efectos Geomtricos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.1. 2. - Efectos Gravimtricos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.2. - Distancias Zenitales - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - -2.3.:" Distancias Espaciales - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.4. - Reduccin de Cantidades G e o d ~ s i c a s calculadas al terrenoSeccin 1II. - Clculos de Posiciones Geodsicas sobre el ElipSOide

de Referencia. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. - Frmula de Puissant. - Lneas Cortas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. 1. - Introducci6n -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3.2. - Problema directo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. 3. - Problema InverSO - - - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- -- - - - -3.4. - Resumen de Ecuaciones para la soluci6n de Problemas Di-rectos e inversos usando la F6rmula de Puissant. - - - - - - -3.5. - F6rmula de Gauss! - Latitud Media - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3.6. - Otras frmulas de l nea eor la - - - - - - - : - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4. - F6rmula de Bessel. - Lneas Largas - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - -4. '.- Introducci6n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4.2. - Relaciones Fundamentales - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4. 3. - Soluci6n de la Integral Elptica - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4.4. - Probrema Directo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4.5. - Problema Inverso - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4.6. - Otras frmulas para l neas largas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

i i

Pginai

ii11121212141518202424263030313135363637

373939394245464647474752585961

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TABL.A DE CONTENIDO (CONT)Pigina

Secci6n IV. - Clculo de Posiciones Geod6sieaaen TresI i j ~ o n e s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 615. - Problemas Directo e Inverso en Tred DlmeDSianes - - - - - - 625.1. -Problema Directo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 625.2. -Problema InV1!lrBO - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - 66

6. - Problemas de Intersecci6n en Tres Dimensiones - - - - - - - 676.1. - Inter. . ci6n Asimutal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 676.2. - Intersecci6n en las m- .nc ias Espaciales - - - - - - 737. - A manera de concluswn - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75Referencias - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - '- - - - - - - 77

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FIG. No.1

2

3

4

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91011

12

1314

1516171819

LISTA DE I L U S T R A C I 0 1 ~ E S

El Elipsoide de RevolucinSeccin Normal Meridiana Mostrando el -radio de curvatura de l meridiano (M) Seccin Normal al primer vertical mos -trando la curv:atura del primer vertical (N)Radio de curvatura del meridiano (M)Radio de curvatura del primer vertical (N)Seccin normal en un Azimut Cualquiera C!Indicatrz para la solucin de RaSeccin a travs de PP' (o) para la solu -cin de RaSolucin de Z para solucionar RoSecciones con normales recpr,o.casSeccin Triangular co n normal recprocaSeparacin Angular entre seccines con Normal Recproca. -GeodsicaEcuacin Diferencial de una Geodsica sobrela superficie de un Elipsoide de Revolucin.Separacin entre Seccin Normal y GeodsicaCorreccin por Normal OblicuaCorreccin por Desviacin de la VerticalReduccin de Distancia EspacialFrmula de Puissant para Problema Directo.

iv

PAJINA13

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1617192121

22232425

2627

293D

32343639

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FIG. No.2021

22232425262728

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Frmula de Puissant para Problema InversoRelaciones fundamentales para el desarrollode la frmula de Bessel.Esfera Reducida y Elipsoide.Solucin deSolucin de d1./ dASoluci6n de Longitud de Arco (J'"Problema Directo (Geodsico Local)Problema Directo (Astron6mico Local)Vectores Unitarios en el Sistema Geodsi-co LocalIntersecci6n Azimutal en Tres Dimensiones.Intersecci6n de Distancia Espacial en TresDimensiones.

PAGINA44

49495257596365

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I N T RODU CC ION

Las primeras tres secciones de estas notas tratan del clculode posiciones geodesicas sobre un elipsoide. En el primer cap-tulo, se da una revisi6n a la geometri'a elipsoidal ya que en el desarroUo de f6rmulas posteriores puede ser muy til. Comn a to :-dos los clculos elipsoidales clicos es la necesidad de reducirlas observaciones geodsicas al elipsoide. por lo tanto un captUlo completo es empleado en ste t6pico.

Dos clsicos problemaa de clculo de geodesia geomtrica -son tratados; Ellos son los llamados problemas geodsicos "D i -recto'" e "Inverso n "Hay varios mtodos que pueden adoptarse para la solucifut deestos problemas. Generalmente estn claslficados en trmino def6rmula de lnea "Corta" "mediana" o "Larga". Cada uno deellos involucra apro:ld.maaiones diferentes que restringen la dis-tancia entre estaciones sobre las que algunas f6rmulas son muy -tiles para una exactitud dada.La ltima secci6n de las notas trata de los clculos de posi -ciones geodsicas en tres dimensiones. Primero son desarrollados los problemas directo e inverso y luego dos problemas. espe-:ciales (ambos de intersecci6n de Azimut y de distancia espacial )son tratados. Estas soluciones ofrecen una alternativa a los mtodos clicoe de c6leuloe de posici6n geodaiea. -

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SECCJOK 1: GEOMETRIA ELIPSOTDAL.

l . - El Elipsoide de Revolucin.Ya que un elipsoide de revolucion (Elipsoide de Re-ierencia) es generalmente considerado como la mejor aproxima-

cin al tamafio y a la forma de la t ierra , es usado como la super-ficie sobre la cual se hacen los clculos. Inmediatamente des -pus ~ s t u d i a m o s muchas propiedades geomtricas de un elipsoidede revolucion que son de especial inters para los geodestas.

En part icular , el radio de curvatura de puntos sobre lasuperficie del elipsoide y algunas curvas sobre su superficie, sondescritos.

1. 1. - Parmetros Elipsoidales.La figura 1 muestra un elipsoide de revoluciono Los parmetros de un elipsoide de referencia que describen su tamat'l.o ysu forma son:i ) El semieje mayor (a)

i i ) El semieje menor (b)La ecuacin de cualquier curva m eridiana (Interseccin

de un plano meridiano con la superficie del elipsoide) es: (Ver -Fig. 1) .

por:

X2 Z2.- + - -=1 - - - - - - - 10 2 b2

La superficie de un elipsoide de revolucion est dada -

Z2+ - -=1 - - - - - - - 10b2

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zp

E ~ - - - - - - - - - - ; + - - ~ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - ~

p'

FIGURA 111 EL ELIPSOIDE DE REVOLueION 11

E ~ V

Los puntos F y F r en la figura 1 son los focos de laelipse meridiana que pasa po r los puntos p . E' p '. E . Losfocos son equidistantes de l centro geomtrico () de la elipse.Las distancias PF y PF' sonigual al Semi eje mayor (a). Esta informacin es usada ahora para ayudar a describir propie ::-dades posteriores de un elipsoide.El achatamiento elipsoidal (Polar) est dado por:

a-bf = - a - ------2

otras dos importantes propiedades que son descritaspara un a seccin meridianade un elipsoide son: La primera -excentricidad.

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y la segunda excentricidad:

Como un ejemplo de las magnitudes de stos parmetros para un elipsoide de referencia geodsico, presentamos - aqui los valores de l Elipsoide de Clarke de 1866 que es usado enel presente para la mayora de los clculos de posicin geodsica en Norte Amrica. (Bomford 1971, p 450):

Usando 2a= 6378206.4mb= 6356583.8mf= 0.00339006

El cual es dado a menudo en la forma de 1-, que en -este caso es ';. = 294.97869 ffUsando 3 y 4 respectivamente, tenemos:

e2 =0.00676865---e,2 = 0.00681478----

Los cuatro parmetros a, b, e, ( o e' ) y f; Y las relaciones entre ellos son los principales usados en el desarrollo dems frmulas geodsicas.

1. 2. - Radio de Curvatura.Sobre la superficie de un elipsoide un nmero infinito de

planos pueden dibujarse a travs de un puntos sobre la superficieque contiene la normal en ese punto. Estos planos son conocidoscomo "Planos Normales". Las curvas de intersecci6n de los planos normales y las superficies del elipsoide son l lamadas "Seccio" -es Normales En cada punto hay dos secciones normales mutuamente perpendiculares cuyas curvaturas so n mximas y mnimasy son llamadas las "secciones normales p r i n c i p a l e s ~ ' Estas secciones principales son las "Secci6nes Normales del Meridiano" y deC"pr imer vertical" y sus radios de curvatura son denotados por (M)y (N) respectivamente (figuras 2 y 3). En la figura 2 puede verseque el radio de curvatura de l meridiano aumenta de l ecuador al polo y el radio de curvatura, del primer vertical se comporta similarmente (Fig. 3) . La razn de esto ser visto pronto, una vez :hayan sido desarrolladas las frmulas para (M) y (N).

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1.2.1. - Radio de Curvatura de l Meridiano.Consideramos una secci6n meridiana de un elipsoide

de revoluci6n (Figura 4) dado por:

El radio de curvatura de sta curva en cualquier punto"p" est dado por:

~ - - PLANO TANG&ITE

FIGURA 2SECCION NORMAL MERIDIANA MOSTRANDOEL RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO(M).

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FIGURA 3SECCION NORMAL DEL PRIMER VERTICALMOSTRANDO EL RADIO DE CURVATURA DELPRIMER VERTICAL (N).

(Ph1Ups. 1957. pp . 194-197)M: [1+ IF)Z]"I_______ 5

./zdTEn el caso de una elipse meridiana!

dz X b2-:-- --------6dx Z a l 'dz.2 Z ...2 Z X"""""17:---( -Z:X ) --------7

dlz b l x2 b2- - : - -- (Z+-o--)----7adx2 , a2 z2 Z 0 2

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De la figura 4, podemos ver tambin que la pendientede la tangente en "P" est dada por:,1.. dztan (900 +.,.)=-:x:: - cot q, - - - ------ 8

Jraalando 6 y 8 tenemos:X ~ .-cotq,:-T 7 ----------------9o tanq,:: ~ ! -------------90Sustituyendo J

Itzbao (I-e')----------- 9b

en 9a; tenemos:Zo: x( 1-. ' ) ton q, ------- - - - 10

Entonces. despus de sustituir ) y (z) en 1 con-9b Y 10 respectivamente, y de algunas simples manipulaci6-nes nos resulta que: z

FIGURA 4RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO (M)

90"+ x

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Sustituyendo la expresi6n anterior para X en la ecuaci6n10 , da la f6rmula:z= o(t-l} sen!

{ t - r sen'cp} - - - - - - - 12Finalmente, s u s t t u y e n ~ (X) y (Z) en (6) y (7a) y colocan

do estos valores en (5) para y - - } - la expresi6n para el radio de ::curvatura del meridiano 8e c o n ~ e r t e : d .o(t-r)M = ' : ; " : " : ' -=- ' ' ' - - - - ------ 13

En la ecuaci6n (13) el nico parmetro variable es la latitudgeodsica 4> por lo qu e en el ecuador ( cp= c:1" );

M=a(t- .z}------ 130yen el polo (cp=900 )

M= o -- - 13b( H f ) ~ tEl radio de curvaturadl meridiano aumenta en longitud a -mettida que el punto sobre el meridiano se mueve del ecuador al polo.

6;

1.2.2. - Radio de Curvatura del Primer Vertical.De la figura 5 . -

coscp=+ -------14

XN = ~ - - - - - - - - - 14 0

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z

PARALELO DE LATI

~ - - - - - - - - - - - - - r f 7 L - L - - - ~ - - - - ~ - - - - ~ - - - - ___ x

FIGURA 5RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL (N)

Sustituyendo la expresi6n para X (11) en (14a), nos da la ex-presi6n para el radio de curvatura del primer vertical:

N ~

Como solamente el parmetro variable en (15) es el> ,N - -variar entonces con el> Cuando el> '" O" (ecuador) N 11 8.; Y cuando -el> =90 (polos)

N"'al (1-."'1 . 11 M - - - - - - - 15aUna cantidad importante que es usada muy a menudo en cl -culos de geodi geomtrica es el "Radio Medio Gaussiano de Curvatura" - que est dado por:

R =f o -- ----16

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En muchas instancias el radio medio es suficientemente preciso para clculos de posicin. -Otro radio de curvatura que puede ser necesitado de vez en

cuando, es el de un paralelo de latitud. Cualquier paralelo de latitud visto _desde el polo norte de l elipsoide (eje Z) describe un crculo. Este radio, _comp puede verse en la Fig. 5. es igual a la coordenada X (en el sistema ,_del plano meridiano X - Z). Entonces, de la ecuacin (14a) el radio de curvatura de un paralelo de latitud est dado por:I cp =N cos C p ~ - - ----- 17

Se ve fcilmente que cuando cp=OO (ecuador); RCP=N10 tanto Rcp=a ya que N = a para cp=O") y en cualquier polo (cos cp =O; Y el radio desaparece

; Porcp =90):

1. 2. 3. - Radio de Curvatura en un Azimut Cualquiera.Como se mc:lEtr6 en las seccines 1. 2. 1 Y 1. 2. 2. El radio

de curvatura mximo y mnimo de un punto cualquiera P, sobre la superficiede un elipSoide de revoluci6n est en los planos meridianos y primer verticalrespectivamente.En algunos casos, los clculos geodsicos requieren el radio

de curvatura en otro plano que no sea el principal (fig. 6), . La secci6n no!.mal en algn azimut a tiene un radio de curvatura en un punto cualquiera -P, designado por Ra Este se resuelve usando el Teorema de Euler (Lipachutz, 1969 pago 196) Y es llamaQo el 'tRadio de Curvatura de Euler".

En la fig. 6, el punto P en el cual es requerido el radio Ra ,est mostrado sobre la seccin normal PP: solamente una parte diferencialde la curva de secci6n normal (ds) es mostrada, de manera que el azimut ade sta secci6n pequefia es equivalente al azimut de una seccin normal de -cualquier longitud.

El teorema de Euler se resuelve como sigue. En el punto -P, dibujamos un plano tangente y paralelo a el, otro plano (fig. 7) que intersecta la superficie del elipSoide. El ru.timo plano visto a travs de la normalque pasa por P, forma una elipse en el plano BB 'donde el plano tangente in -tersecta la superficie de l elipsoide. Los elementos de sta'\ndicatriz" so n -mostrados en la fig. 7. Si vemos este plano a travs del punto P: en el azimut a , la seccin resultante es la Fig. 8, recordamos que la ecuacin de -una elipse es:

Xl yl- - +--= 1- - - - - - - - -1al b2

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r - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ - - ~ ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - y

FIGURA 6SECCION NORMAL EN UN AZIMUT CUALQUIERA

A :;:=p== ' ~ _ B: O ~ B ' II I

IIIII

n

y

r - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - - xm

FIGURA 7INDICATRIZ PARA LA SOLUCION DE Ra

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p

p'o

Ro

FIGURA 8SECCION A LO LARGO DE PP ' a)

PARA LA SOLUCION DE Ra

De la Fig. 7.X=ds sen a-Y=ds cos a------- 17

Entonces (1) se convierte;

Usando la Fig. 9, podemos escribi-r.

ySen. e= . l - -- - - - 19e

2- eSen. e =.2__ - - - - - - - - 200RaDe lo que resulta:

c2z = - ----------212RaDe manera que si pp 'es W1a distancia diferencial muy pequena entoncesC ds y podemos escribir .

. dszZ =-- - - - - - - - - - - - 222Ra22 INE

GI.

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Cuando a =: 0 ; (S) es igual a (n) n2y Z=2M----- 23Cuando . 2a = 90 (S) es igual a (m ) y z =_m__ ------- --242NCombinando (22) Y (23); y (22) Y (24) tenemos:

y2 drn = ' M - - - - - - - - - - 2 5

_..:ds=-2_.N _________ 26Ra

FIGURA 9SOLUCION DE Z PARA LA SOLUCION DE

RaSustituyendo n 2 y m 2 en (18) da:

Ra sen2a + Ra cos2 a = 1- __________ 27N M

p'

Finalmente despus de arreglar los trminos de (27), tenemos la expresinpara el radio de curvatura de Euler.

M. NRa =- - -= - - - - - : - - - . r - - -- --- -- 28M sen 2 a +Ncos 2 a

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1. 3. - Curvas sobre la Superficie de un Elipsoide.Hay dos curvas principales sobre la superficie de un Elip -soide, que son de especial inters en geodesia geomtrica. Ellas son la - -"Curva de Secci6n Normal" y la "Curva Geodsica" descritas abajo.1.3.1. - La Secci6n Normal.En la Secci6n 1. 2 la seccin normal fue definida como la - lnea de interseccin de un plano normal (en un punto P) y la superficie del-

elipsoUie. Considerese dos puntos sobre la superficie de un elipaoide (Pl yP2) que estn sobre meridianos diferentes y sobre diferentes latitudes. LaSecci6n Normal de Pl a P 2 (Secci6n Normal Directa) no coincide con la - -secci6n normal de P 2 a P l (Secci6n Normal Inversa). Figura 10.

El plano normal de la Secci6n Normal Directa conteniendo -los puntos P1, n-1 y P J contiene la normal en PI ye l plano normal inver-so, P2 n2 PI ' contiene normal en P 2 y el punto PI' Si las Secci6nes - Normiles PI P 2 Y P2 PI fueran coincidentes, entonces las normalesPI n 1 y P2 n..2' en SUS respectivos planos meridianos podra intersectarel eje menor en erm1smo purlto.

FIGURA 10SECCIONES DE NORMAL RECIPROCA.

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Puede mostrarse que el punto de interseccin Zn de cu al -quier seccin normal elipsoidal intersecta al ej e menor en:(Zacatov, 1 9 5 3 p 39 - 40).

Si dos puntos tienen longitudes diferentes y CPP < cpP2(Fig. 10) entonces Zn, < Zn2 y las normales P, n, y ' . n noestn en el nrlsmoplano. Ellas se dice que son "Normales S e s g a J a s ~ . Sin-embargo, siCPPI' es igual a


24/78

.... " ," , , " .... ...., , IIP" .... '....

z

....,

FIGURA 12SEPARACION ANGULAR ENTRE SECCIONES DE

NORMAL REeIPROCAS.

Donde. 4>,n= 4?1 + P,.z ---- ----- 312y 0-= SNm

y Nm= NI + NI - - - - - ----- 31a.2Por ejemplo, un a lnea P1 P2 con 200 km. de longitud y - condici6nes mximas ( 4+rF 0 y a..z= 45 ): 6. =0'.'36. Ya que muchas poligonales- '0 ' lneas de triangulaci6n son ms cortas que sta y -

debido a que la situacin mxima no siempre ocurre, el valor de 6. es ge- .neralmente una cantidad pequefta y en ltima instancia, prcticamen te des -preclable.

1.3.2. - LaGeodsica.

La geodsica o lnea geodsica entre dos puntos cualquierasobre la superficie de un elipabide es la curva nica sobre la superficie entre los dos puntos. En un punto cualquiera a lo largo de la geodsica, el radio principal de l vector de curvatura es coincidente con la normal elipsoidi..

La geodsica (Fig. 13) entre dos puntos P 1 , P2 es la d i s t ~cia menor sobre la superficie entre esos dos puntos.26

INEGI.

Clculos

de

Posicio

namiento

Geodsico


25/78

L a posicin de la geodsica respecto de las secciones norma -les directas e inversas se muestra en la Fig..13 .Para describir matematicamente la geodsica, desarrollaremoslas ecuaciones diferenciales para lneas geodsicas, sobre una superficie

de revolucin; la diferencial bsica geomtrica requerida para esto puedefundamentarse en Phillips 1957 y Lipschuts 1969 La ecuacin ge-neral para una superficie de revolucion puede ser expresada como:

FIGURA 13GEOOESICA

F(X,Y,Zl: 0--------- 32Las ecuaciones paramtricas para una geodsica sobre esta supe!.ficie son:

Los cosenos directores de la normal a la sup erficie son:aF aF OF

Coso Q: OX . cos o : . OY . cos {3.: a - - - - - - 341-'1 o ' 1-'2 o ' oId [a F 2 a Z o 1]Don e.o: (--1 +(--) +(--) --- - - - - - -35ax ay az

Los cosenos directores de la norI!B.l principal a la curva (33) son:

cosf3 :R d2X . cos/3. =R.J:...... cosf3. = R ~ - - - - - - 3 6"1 dS2 ' N2 dSt' NS ds"27

INEGI.Clculos

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Geodsico


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Donde R es el radio principal de curvatura de la superficie. Enla definicion de la geodsica se estableci que en cualquier punto sobre lacurva, la normal a la superficie y el radio vector principal (normal principal) estn siendo coincidentes. Para satisfacer esto, igualamos ( 34 ) Y( 36 ) lo que se reduce a:

OF OF OFOX ay a z~ =-- : ; -= /z - - - - - - - - - - -37ds2 7 dT

Como estamos tratando co n un elipsoide de revolucin, la superficie la podemos"tepresentar por la ecuacion:X' + y2 + tZl=O - - - - - - - - - 38

Entonces:OF OF OF,- - = 2X - - = 2Y - -=HZI - - - - - -39Ox ' OY , OZLas cuales cuando se sustituyen en (37) tenemos:

d2x /y .Y-- -X--= 0--------- 40ds! di 'Integrando (40) tenemos:

Ydx- Xdy =CcIs----- - - - - - 41Donde C es la constante de integracin.En la Fig. 14, la lfnea PP' representa una parte diferencial de una geodsica sobre la superficie del elipSoide. Teniendo las coordenadas cartesia-

nas de P ( X, Y,Z ) podemos calcular las coordenadas de pi ( X+dx Y+dYiZ+dz ) ya que ds es una distancia muy pequena. Las coordenadas de A(Proy.ecci6n de Pi) (sobre el plano de l . paralelo de latitud de P) son en-tonces X+dx: Y+dy. Z El radio de ste paralelo es simbolizado porr. El area del tringtO CPA es:Area CPA t (YdX-XdYI-- - - - - - - - -42ye l rea de l sector PP" Ces :Area PP .. C t r.ds. sen a - - - - - - - 43Cuando ds es muy pequefto:Area CPA ,. Area PP" C:Entoncesl

28INEGI.

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y sustituyendo (41) en (44) tenemos:

o

z

r----------------------yz

FIGURA 14ECUACION DIFERENCIAL DE UNA GEODESICA SOBRE

LA SUPERFICIE DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCION.Cds=r. sen a ds - - - - - - - -45r sen a = e ----- - - - - - - 46

Finalmente, sustituyendo (17) en (46) encontram


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La ,!'Se para W1a lnea de 600 kms. en longitud es aproximadamen-te de 9 X 10m. lo que es obviamente despreciable para todos los prop6sitos prcticos. -

FIGURA 15SEPARACION ENTRE LA SECCION NORMAL y LAGEODESICA.

SECCION I I : REDUCCION DE OBSERVACIONES GEODE-SICAS TERRESTRES.2 - Reducci6n a la Superficie del Elipsoide de Referencia.Mediciones geodsicas (direcciones terrestres , distancias, dis-tancias zenitales) son hechas sobre la superficie de la t ierra. Los clcu-los de las posiciones geodsicas son hechas sobre el elipsoide de referen -cia. Por lo tanto las mediciones deben ser reducidas de la superficie de lat ierra al elipsoide de referencia. Cuando se reducen cantidades medidas,hay dos conjW1tos de efectos que deben considerarse - efectos geomt'ricosy los efectos de las variaciones en el campo de gravedad de la t ierra.Debe notarse que las reducciones desarrolladas aqu pueden apli-carse de W1a menera inversa. Esto es, calculadas las cantidades geodsicaselipsoidales (distancias, por ejemplo), pueden ser "Reducida" a la superficiede la t ierra (2 .4 . ) .

30INEGI.

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2.1. - Reducci6n de Direcciones Horizontales (o ngulos).Cuando medimos direcciones sobre la superficie de la t ierra, n i

velamos el instrumento hasta asegurar que el eje vertical Sea coincidente -co n el vector de gravedad local. Sabemos que el vector de gravedad local yla normal al elipsoide, generalmente no coinciden. Para referir las direc-ciones a la normal elipsoidal, es necesaria una correcci6n por desviaci6n -de la vertical.

Otras dos consideraciones son aquellas de la geometra elipsoidal.Primero, las normales en dos puntos sobre un elipsoide son "desviadas" unacon respecto a la otra, asi cuando un punto est sobre el elipsoide, este punto no est en el mismo plano de la proyecci6n normal de l punto sobre el eliEsoide.La correcci6n asociada con este fen6menose llama correcci6n dela normal desviada. Seguida:meate deseamos tener las direcci6nes geodsi-

cas y no las direcciones de las secciones, normales, por lo que se necesitauna correcci6n geodsica - secci6n normal.2.1.1. - Efectos G e o m ~ t r i e o sLa Fig. 16 muestra la situaci6n sobre la superficie de la tierra -de mediciones de direcci6nes, despus .de que han sido quitados los efectos

de gravedad (2.1.2. ) En sta figura, P1' , es la estaci6n de tnedida, que es-t.sobre la normal P 1 n1' P'2 es visado a la altura h sobre el punto elipso.!.da l P 2 Si h2 =O, la direcci6n medida (mostrada agui oomo un azimut, - -Le. a12 ;' d12 + ZI I . donde Z12 se asume aue es :un parmetro de orientaci6n co-nocida). Ser entre los planos P,Z", y P, p. esto eS"'li1.\2' el azimut de lasecci6n normal directa. En la prctica h 1: O, por lo que la direcci6n medidaa12 debe ser corregida. La reducci6n por ste efecto, llamada la reducci6npor'normal derivada" 6 por "altura de l punto visado", debe ser aplicada.

De (29)

y

Donde

"1 "2 =a el (cp,-4>lcos cpm - - - - -- - - ~(cp _cp 1= S cos a l2 - - - - - - - -- 51I I MmMm = MI +M,2 Tenemos:- 2 S cp" " I = a e -cosa cos m -- - - - --52I Mm 12

Donde S es el arco de longitud P1 P2.31INE

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Geodsico


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Ahora para encontrar la reducci6n ah procedemos como sigue:Primero calculamos:

FIGURA 16 nzCORRECCION POR NORMAL SESGADA

R"'=","I cos epi: o e 2 ~ cos a J " ~ 2 . - - - - - 53Mm , ...-- "'2.Donde cpm ha sido sustituida por epz Ya que la diferen-cia nos da un efecto despreciable. Entonces, el ngulo en est dado por:

oel S cos a'l tOSI epido: - - - - . . . . : ; : : . = : - - ! - ~ - - - - - - - ---- 54Mm' P,:1tAhora si aproximamos la longitud Pz Rcon el semieje mayor a, (54)se convierte:

do - e2 ~ cos a cosl . - - - - - - 55Mm 12 ' t"lAhora, usando (55) calculamos ~ P," como:p ~ " : h el _ S_ cos a casi . - - - - - 5502 2 I Mm 1I 't"l

Entonces para el tringulo PI P I ~ ' podemos escribir (considerando un tringulo plano).

I:>h Po e"_ ...:z.....L______ 56sen(az,-1801 s

32INEGI.

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La cual finalmente nos da, despus de algunos arreglos, la frmula final para la correccin de la normal sesgada._ " ( h2 2on - p - - e sen O cos O cos2 A. 1 - - - - - - 57Mm 12.12 't'2

Cuando 4>z = 45Yh2 = 200m y 1000m. 8h, es igual a 0.00 s" y 0.05,respectivamente. Cl:>viiirilente habr casos aonoe el efecto sea significativo y deba ser tomado en cuenta. Esto es particularmente cierto en trabajos de clculo de posiciones geodsicas de orden s u p e r i o D ~

El segundo efecto geomtrico a considerar en la reduccin de mediciones de direcci6n es aquel de la diferencia entre la secci6n normal, anla cual tenemos ahora reducidas nuestras mediciones, y la geodsica. Esta correccin, la cual se deriva simplemente por la combinaci6n de las e _cuaci6nes (30) y (48), se expresa como:

Cuando c/>m=O"; 0 12 =45 y S= 200 Km, 100 Km, 50Km8g es 0.12"; 0.02", Y . 0.006" Este efecto podra ser signi-ficativo y debera tomarse en cuenta para trabajos geOdsicos .Algunos puntos finales de acuerdo a estos efectos geomtricos sondescritos inmediatamente abajo.1 - En la ecuaci6n (57) la altura elipsoidal h puede ser sustituida por la altura Ortomtrica H sin un efecto significativo sobre 8h.2 - En casos extremos 8h y 8g sernde aproximadamente - igual magnitud y de signo contrario. Ellas debern calcularse, sinembargo, particularmente para c ~ c u l o s de posici6n geodSica p r ~ :cisa.3 - Las ecuaciones (57) y (58) a menudo son expresadas en otraformal' dando resultados Eiquivalentes,pero en las cuales puedenincluirse aproximaciones posteriores. Como un ejemplo, la (57)puede expresarse como (Bomford, 1971, No. 122)

LI_8h_=_h_2_e_,2_sen_0 _ 1 ; _ ~ _ O S _ 2 _ c / > _ m__ ,I _______ 59y la (58) como (Bomford, 1971, p 124.).

I SKm 2 l'g =+0.02S (\'00) sen 20 cos2 c/>m -----+f;O33

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F IGURA 17

CORRECCION POR DESVI.ACION DE LA VERTICAL.

34

INEGI.

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2.1.2.- "Efectos Gravimtricos".Un teodolito se nivela respecto al vector de gravedad local y noa la normal elipsoidal. Una correcci6n para el ngulo (desviaci6n de la -vertical) entre el vector de gravedad y la normal elipsoidal, es necesaria.La Fig. 17 describe la correcci6n qu e debe ser aplicada. Este punto es -

tratado con profundidad en Vanicek, 1972, p. p. 164 - 166 Nosotrossolamente establecemos aqu la f6rmula reducida como:8 =-8cot Z = - ( ~ sen a-'TJ cosa )cotZ - - - - - - 618 1 I t 1 12

Donde ~ es la componente meridiana de la desviaci6n de la vertical "l T, es la componente de l primer vertical de la desviaci6n de la ve ;t ical , :Z es la distancia cenital. El efecto de sta reducci6n puede va :r iar desde una cantidad insignificante (s i 8!: O O si Z = O ) a valores de magnitud 2" - 311 cuando por ejemplo 8 =20 11 Y Z = 0 ~

Para aplicar sta correcci6n y la requerida en 2. 2 , son requeridas las desviaciones de la vertical en dada punto. Estas pueden obtenerse de varias formas '(Vanicek 1 9 7 1 , ~ V a n i e k 1972), pero dos mtodos -son usados comunmente llamados:, '1. - Teniendo las coordenadas astron6micas ( ~ . A ) en cada e,!taci6n. lo cual puede se r una tara dificil.2. - Usando una contempornea tcnica de clculo del geoide(Vanicek y Merry 1-973) Y clculando ~ y 'TJ en cada punto.

2.2. - Distancias Cenitales.-El nico efecto sobre una medici6n de distancia cenital est sobre las variaciones en el campo de gravedad. Esto es, las desviaciones de

la vertical. Como en 2. 1. 3., estableceremos solamente aqu la f6rmula -reducida como:ZR= Zm + cos a l l + TJI sen a lz ) -------- 62

Donde Zm 'es el valor medido de la distanCia cenital.Este tema es discutido en (Vanicek 1972, p. 170 Y Heiskanen -

and Moritz, 1967 p. 173 - 175) Y no ser discutido aqu posteriormente.

35INEGI.Clculos

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2.3. - Distancias Espaciales.En sta secci6n trataremos la reducci6n de una distancia espacial

medida sobre la . superficie de la t ierra a la superficie del elipsoide. Despues de tener hechas varias correcciones instrumentales y atmosfricas a -la distancia medida electrnicamente nos quedamos con una distancia eapa -cial en lnea recta

C

"1" (Fig. 18). Esta distancia espacial es entonces reducida al elipsoide. La reducci6n.es lograda cmo sigue :

Luego,

Donde

Primero se calcula:RI +Rt= - - - - - 632Donde R y ~ . son los radios de curvatura de Euler ( ecode l tringulo PI L 1>'2 , O Y por la ley de los cosenos tenema3:

J

28).

Las cuales so n las alturas elipsOidales y son iguales a la suma desus respectivas alturas ortogmtricas ( HI Y Hz ) Y sus alturas geoida-les ( NI Y Nz ).S ~ t u y e n d o . ~

cos ~ =1- sen! -2- ------- - 66en (64) y reordenando los trminos tenemos:

oFIGURA 18

REDUCCION DE LA DISTANCIA ESPACIAL.36

INEGI.

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2 2 hl h2 2 \ji=(h - h ) + 4 R (1 + - ) (1+ - )sen - - - - - - - - 672 1 R , R 2Del tringulo P,P2'10' la ley de los cosenos y la frmula de unsimi-ngulo tenemos:

oponiendo(67) se convierte:

y rearreglando:

Ahora:

=2R sen i ---- -- 682,1, -1't ' = 2 sen . . / ; ! : ! . - - - - - - - - -68a2R02 "2 (hl h 2 0 2" =uh + I+--}{ I+--) "0--------70R R

[ t - b.h 20= (1+:hL) (1+ JiLJ 2 - - - -- - - 71R RI So: RI/I= 2R se l i%- I ------ ----72

Entonces usando (71) y (72) podemos reducir una distancia es -pacial a la superficie del elipsoide. Estas frmulas so n suficientementerigurosas para trabajos n o r ~ e s de geodesia (Thomson and Vanicek 1973).Note qte para una reduccin rigurosa de distancia la altura geoi

dal N. es necesaria. Hay varios mtodos de calcular N, uno de los cualesest desarrolando por U.N.B. (Vanicek and Merry 1973).No s ha hecho mencin aqu de las consideraciones de las lineas

base precisas. La razn de esta omisin es que las lneas base precisas noestn siendo medidas por nadie mas excepto para instrumentos de calibra -cin. EDM. para los cuales no es necesario la reduccin al elipsoide.

Finalmente, puede notarse que hay muchas frmulas de reduccinde distancias en uso. algunas de las cuales han sido desarrolladas para elipsoides de referencia especificos o regiones de paises.2.4 - Reduccin al Terreno de Cantidades Geodsicas Calculadas.

La situacin ocurre frecuentemente en la prctica donde las cantidades geodsicas calculadas, llamadas distancias y ngulos, pueden ser - medidas sobre el terreno. Estas no pueden ser comparadas generalmente -directament e co n los valores calculados, ya que estos usualmente sondados sobre la superficie de l elipsoide de referencia, entonces ellos puedens e r " reducidos'" al terreno.

Para reducir los ngulos requeridos uno procede como sigue:37

INEGI.Clculos

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Primero, calcule las direcciones (azimutes) entre los puntos involucrado,SLuego usando las ecuaciones (57) (58) Y (61) calcular las cantidades 8 ~ ;80 y 8 respectivamente.

Estas correcciones son entonces aplicadas a la direccin calcula-da ai ; con "signos opuestos" a los que fueran usados para la rduc -ci6n al elipsoide para obtener la direccin que deber se r medida a ~ eObviamente uno no sera capaz de medir esta direccin ( ngulo) exacta-mente y la medida tomada tendr algunas desviaciones normales. Un proce-dimiento similar es usado para reduccin de distancia. Un simple reorde -namiento de trminos en la ecuacin (72) nos d .

= 2R sen ~ -- -----2RY similarmente (71) no s da :

720

2 (h l h2~ = [ I + F r ~ h : I + - r l ] : - - - - - - 7 1 0Entonces podemos calcular la distancia espacial sobre el terreno( \ ) dando la distancia elipsoidal So Rapidamente otra vez, como con la

direccin, podra ser .

38INEGI.

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SECCION III - C A L C P ~ " O DE POSICIONES GEODESICAS SOBREEL ELIPSOIDE DE REFERENCIA.

3 - Frmula de Puissant - Lneas Cortas . -3 .1 . - Introduccin.Estas frmulas son l lamadas as en honor del matematico, Francs a quien se acredit su desarrollo. Su derivacin est basada sobre una

aprmd.macin esfrica. Estas frmulas generalmente estn consideradasco n precisin de 1 ppm. en 100 km . ms aUa de lo cual ellas quiebranhacia abajo rapidamente (40 p. p. m. en 250 kms. cuando 4> =60) (Bom-ford, 1971, p. 134) Por lo tanto, decimos que la frmula de Puissant esuna frmula de l inea "corta".

3.2 - Problema Directo.Dadas las cantidades geodsicas z A2 Y a 2 , En la derivacin, cal-culamos primero


38/78

La frmula anterior obviamente no nos dar la solucin requeridapuesto que dep aparece en el lado derecho de la ecuacin. Para comenzara solucionar este problema, usamos otra vez la aproximacin esfrica y obtendremos: -

SIZdep;" --- cos al l - - - - - - - - - 81NISustituyendo (82) en (81) nos da:

. S'I szl sfa d.l.ldep: -cos all-::::-:r tan4>t- -.- cosa12+ - -- cosZo.1tan epl+ ~ +- - - 82NI 2NI 6N I 2N, 6Del (82) anterior podemos obtener ahora una aproximaci6n ms -precisa para dep (despreciando los trminos mayores que la segunda potencia nombrada)

. Sil 1d.l.: - cos a ll- - - tan.l.l(I-cos al) +--,.------ 83~ NI 2Nf ~ ,La cual puede simplificarse como:

d . l . = . ! ! L . C O S t l - ~ t a n ' ' l s e n l a +---------84~ ~ '1 2 N ~ ~ ~Elevando al cuadrado (84) y despreeialdo los trminos mayores que la ter-cera potencia nos da : .

1 S'64"= ~ c : o s I a - ~ COSClttsentalltan ep,+-------85I t

Y posteriormente.dep':1: ~ cos'cl +-------- 86

I t

Finalmente sustituyendo (85) y (86) en (80) y reordenando los trmi -nos nos da ;S SI S ' S2dep :1: .....!!.. cos a12 - -!!.a tan epi - ~ cos a12+ ~ cosa alz tan 4>1 -NI 2NI 6N I 2N,, ,- ~ cosa senza tan!.I. + cosla +---- --- 872Nr 12 I1 12

ReSUmiendo t ~ I ' m i n o s nos da:

s'- ~ cos tL senZ a - - -- - - - - - 88-. z 12

40INEGI.

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Simplificaciones Il,layores so n realizadas para obtener:

La cual cuando es colocada en (88) finalmente no s da :5,2 2dep - ~ cos a,! - ~ tan epi sen a, cos a,z sen2ala (1 +3 tan! ep,) - - - - 90

La ecuacin ( 90 ) no es una solucin rigurosa puesto, que e l-radio de curvatura a travs de la seccin normal de Ff a P2 se estatomand como un valor constante NI , cuando de hecho, cambia cmlalati tud (N=t.


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d \ _ d '; _ SIZ1\ + --- -(-- - - - __ o) (sen O sec--- 1036 6N: 6N: 12 2_ SI2 d';dA- -- sen a l2" sec4>z- -- sen a sec 4> + - - - -- - 1030Nz 12 z 6

Ahora, de los dos primeros trminos de (103 a) (despreciando los trminos mayores a la tercera potencia).d = Srz sen s a sec s 4> + - - - - - - - - - - 104IZ 2

Lo qu e nos da :dA'=p'l [ ~ s e n Q secA-. {1 -L ( I - s en 2 Q sec2 A-.)}]--------105Nz IZ 't'z IZ 't'2

La cual cuando es colocada en ( 101 ) da la solucin para >"2 Aunque a ZI es tamb in una parte del problema directo, la deri -vacin para su solucin se da e.n la seccin siguiente.

3.3. - Problema Inverso.Aqu estamos dando las cantidades 4>1. >"1 de r::, y 4>2' >"z de P2(Fig. 20). Las cantidades requeridas son SI2. a IZ y a 21 comenzamos-por determinar a21 Usando una aproximacin esfrica.

P' = 360 a 21 - - - - - - - - 106yi ( P'plPZ +i: p 'p p)=_I_(a +360-a ) - - - - - - - - -1072 2 1 2 IZ 21

Donde da es el trmino que expresa la convergencia de los m eridianos entre los puntos P1 Y P2' Usando la figura 20, podemos escribir:

a21 : 0;2 + 180" - - - - - - - - - 109Y sustituyendo CJ{t Pllt .(lOS ' l ! & ~

Luego sustituyendo-a zl en (107) por (109 a):

42INEGI.

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La cual se reduce a;~ = M 3e2sen p,cosp,dep ' ( I -e 2 sen2.p,) ----- - - 95La cual al sustituirla en (92) nos da :

Mm = M ~ , + _ ( ~ M - L I +.;...d.;:.:M.--'IL.) = M +_d_M_,_ - - - - _____ 962 '2Mm= M, dM d"+'"+ - - ' - ( ~ ) --- - --- 960dep, 2p"

Mm=M,+2..M, e2 senp' COSPI ( ~ ) - - - - - 9 72 (I-sen ep) pI'_ 1 _ = _ 1 _ [ 1_2- e25ef1cP,COSPI dcP"Mm M, 2 (1 - eZsen'- ) p" 1] -------98e(97):

La cual cuando la colocamos en (91) nos da. el resultado final:

dep"=[ p"( S,ZCOS a,zMI S ~ ton epi sen! a,z2 MI NI

Donde d4> 11 en el ltimo trmino de (99) es calculado usando la e -cuacin (90) (multiplicada por p").Finalmente, calculamos epI por:

tpz = pl + d tp - - - - - - - - - - 100La longitud de P2 puede calcularse de :

).,+ --- --------- --101De la Fig. 19 usando una aproximacin esfrica, . la ley de los senos nosda:

o

sen dS'2sen ~

sen d>.. = sen.L sen a l ! sec epz- - -- - - - - 1020NzAhora, aproximando los trminos senoidales sobre cada lado de - (102 a) por una serie de Taylor, podemos escribir (despreciando los trminos mayores a la tercera potencia).

43INEGI.Clculos

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FIGURA 20FORMULA DE PUISSANT PARA PROBLEMA INVERSO_1- ( ~ P ' P. P- + P'F! P. ) = 900 _ ~ ---- --- 11002 ' I 2 2 I 2

Usando trigonometra esfrica, la ley de las tangentes nos da :0_ ~ _ A cos + (900-epz) _(900_epl)]tan (90 ) - cot 2 I o --- - - - - 1112 cosT [(90-ep2)+(90-ep,l]

La cual se reduce a [Invirtiendo ambos lado s (111 ) ](900 f r ' ~ 2 )da cos --2- dA

tan -2 -= --1--=----- tan -2----- ---- 112cos 2" (epi - epl)I

tan da = Sen "2 (pi + Pz) ton ~ --- - - - - - 11202 dep 2cos - -Enseguida d e ~ a r r o l l a m o s los trminos tangentes sobre ambos la-dos de (112 a) que pueden ser expresados por (despreciando los trininosmayores a la tercera potencia).

da d ~ dA d ~tan - = s e n epm sec ~ ( - - + -- + ----)------1132 2 2 24t o n ~ = --+ das + - - - - - - 1 1 42 2 24

y

La cual nos da la ecuacin final.

44INEGI.

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d " ,,[ A.. dA.. dXS A.. d A.. dA.. ]


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1 . - Calcule MI COil (13) y ~ \ ] 1 Y N2 usa1do (15);2 . - Calcule a l2 con (118).3 . - Calcule da" C01 (115), luego aZI usaado (109 a).4 . - Usando cualquiera (116) o (117) calcular S'Z

3.5 . - La Frmula de la Latitud Media de Gauss.Estas formulas se publicaron primero en Ingls en 1861. Estn ba-

sadas sobre una aproximacin esfrica de la t ierra y solamente podr usarsepara puntos separados por me 10S de 40 kms. y con latitudes menores de 80 o(Allan et al, 1968) Las frmulas son (Allan et al, 1968) ,

dQI I :d ) , . " sen4>m-- - - - - 119d..l1:p"( S'2sen a m ) - - - - - - -121

Nm cos


45/78

4. - Frmulas de Bessel - Lneas Largas.4 .1 . - Introduccin.

Las frmulas para los problemas geodsicos directos e inversosdesarrol lados abajo han sido acreditados a Bessel (Jordon 1962). La deri ..vacin est basada en la Geodsica sobre el elipsoide. Este hecho distin -gu e las frmulas de Bessel de las frmulas que estn basadas sobre una -aproximacin esfrica (ej. la de Puissant) o tambin de las frmulas basadas elipsoidalmente, pero que usan la curva de seccin normal como fundamento para la derivacin (ej. Robbins 1962). La exctitud de las frmulasde Bessel no est l imitada po r la separacin entre los dos puntos en cues -tin 6 por la localizacin de los puntos sobre la t ierra . La exctitud est l imitada simplemente por el nmero de trminos que uno desee retener en lasseries desarrolladas de las diversas expresiones.

Las siguientes derivaciones comienzan por desarrollar las rela -ciones entre los elementos correspondientes sobre la esfera y el elipsoide -(no una aproximaci6n esfrica, sino un tratamiento riguroso). La soluci6n deuna integral elptica es entonces real izada. Finalmente son enunciados los -" 'problemas directos e inversos.

4.2. - Relaci6n Fundamental.Comenzamos estableciendo algunas relaciones rigurosas entre los

parmetros sobre la esfera y los parmetros sobre el elipsoide. En la seccin (1. 3. 2.) desarrollamos la propiedad bsica de una geodsica (47) la que

47INEGI.Clculos

de

Posicio

namiento

Geodsico


46/78

sobre una esfera puede ser expresada como.cos{3sena: cos {30--------- 122

Donde {3 es la latitud reducida (Krakiwsky arid Wells, 1971,p.23) Y {30 es llamada la latitud reducida del "Punto de Giro" ( a - 9 0 ) .De la figura 21 a a sobre la esfera reducida es igual a a sobre el elip -sOide, como estn {3 en la esfera reducida y {3 en el elipsoide entoncespodemos escribir para ambas:

cos {3 sen a :: cos {30 - ---- - --- - 1220Desarrollamos ahora alguna relacin difer81cial con la ayuda de -

la Fig. 21b. De los triangulos en las figuras esfricas podemos escribir:o do- cos a12: od {3

-- - -- ------- 123y odo- sen al!: o cos{3' d A

Donde (a ) es el radio de la esfera reducida (Fig. 22) Y (do- ) es -el ngulo subtendido (en el origen de la esfera) por las normales en P y PI.Similarmente de los tringulos de la figura elipsoidal podemos escribir:

yds cos a 12 : Md


47/78

De la figura 22 y de la ecuacin (17)N'cosep'= o cos {3'- --- --- - 126

La cual al se r sustituida en (125) da: ds dl--=0-- - - - - - - - 127da- dAPOLO

ESFERA REDUCIDA

FIGURA 21aRELACIONES FUNDAMENTALES PARA EL DESARROLLODE LAS FORMULAS DE BESSEL.

~p ~ \fQ.

o cos (3'

' \ !~ ~,.-

F I G U R A 22ESFERA REDUCIDA Y ELIPSOIDE

49INEGI.Clculos

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namiento

Geodsico


48/78

o

FIGURA 21b.RELACIONES FUNDAMENTALES PARA EL DESARROLLO DE

LAS FORMULAS DE BESSEL.

d i , ds~ =-0 - d'


49/78

y (l a curvatura en el polo - ecuacin (5 a .C : ~ ------ 133bElevando al cuadrado (123) Y rearreglando los trminos nos da:

d! o---:-- -- --- -- 134dA Ve ( l -e 2)donde

M : _C_ - - - - - - -- 135VUna reduccin mayor de (134) usando (13.3), (3) y 131, finalmente da:~ : _ I - : _ I - ~ - - - - - - 1 3 6dA VadO "

Antes de procesos posteriores, derivaremos (132) de (131).coscp:(-{-)Veos/3------ 137La qu e cuando la elevamos al cuadrado da: eos2 cp = v 2 e o s 2 /3 ---- 13700 2o

Sustituyendo (137b) en (137)V 2: [1 +e '2 ( I - l l yleas2 /3]----- - 138

Lo qu e se reduce a:V[1_e I2(1_ e2 ) cas2 /3] =1- - - - - -- 138oAhora de las ecuaciones (3) y (4)

(l-e,l) ( l+e2 )= 1- --- --- 139yLa que al se r sustituida en (138a) da:

V I (I-e2 col /3) =1-------- 140o

Retornando a nuestro problema entre manos,Sustituyendo (140 a) en (136) obtenemos:

y~ :(I-e2cos2 /3)Y!--- - - 141dA

~ : o (I-e2 COSE /31/1 -- - - - 142dO"respectivamente. -

51INEGI.Clculos

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50/78

4.3. - Solucin de la Integral Elptica.Enseguida resolvemos (141) y (142) Y 10 hacemos as como porintegracin. Comenzamos por resolver (142) para obtener una solucin -para ds/ dcr. De la Fig. 23, usamos la le y de los senos de la trigonome -t r a esfrica y obtenemos.

sen O,Z =sen (soo-f301

sen '300 - - - - - 143o

cos /30 =sen altcos f31 - - - - - - - - - 1430La propiedad fundamental de una geodsica y de un crculo principal. Posteriormente usando la regla de Napiers de partes circulares:-

FIGURA 23SOL UCION DE ds

cos Clz = coto; ton f31 -- - - - - - 144o tono; = tonB - - - - - - - - 1440cos a lzy otra relacin requerida.

sen f32 = en (0;+ a;. 1 senf30 - - - - -- -- 145

dT

Generalizamos (145) por propsitos de integracin (entre los puntos PI Y P2Fig. 23) como:

52INEGI.

Clculos

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Posicio

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51/78

sen /3 = sen (o ; ter) sen /30 - - - - ---- - 1450De modo que si er es variable. medida

cualdo er= er2 ; /3= /32 y cua ldo er= o. /3,Describieldo (142) como:( 2 2/3)'/Zs=o I-e cos der - - - - - - - - - - 146

desde PI- Note que

y resolvie ld o eltonces para cosz /3 de (145a) por:cos2/3= l-senZ{o;+er) senz /30 ---- - - - 147

en la que sustituimos O; = er y X=a; te r (una nueva variable para integracin) e' l tolces dl(= der y reescribimos (147) como:

cosz /3= l -senZXsen l /30 - - - - - - - - - 1470La que finalmente da :

ds = o (l-ez+e2 enz /30 senzX dx ---- 148de (3) y (4)

2e'I+e'! y '_el = -- '- - - - - - 149'_e /2

Los que cuando se sustituyen en (148) da:ds =0 [-- ' + ~ sen! /30 sen! xl'.z dI( - - - - - - 1480l- e /2 l+e,2 Jods=

Puesto que _b_=Q --- --- 150

y obteniendo: k2= ,2 sen2/30 - - - - - - - - - - 15/I(149) se convierte finalmente: ds= b ( l + k 2 s e n 2 X l ~ d x ------- 152

Esta expresin es integrada ahora y evaluada para nuestros parmetrosparticulares. los que:

1( = a ; + ~f 2 2 \reS::b ( I+k sen Xl dI( ------- 153x= ;En matemticas sta es conocida como una integral elptica (


52/78

y cuandoC T =CTri X=o tCTr - - - - - - -154bResolviendo la ecuacin (153), sabemos que debido a que k 2 es pequefiaentonces. Iz 1 1 k6lI+ k2sen 2 X1 2 = 1+ - k2 sen2X - - k4 sen 4 X t - sen6 X ------ 1552 8 ~Usando las identidades trigonomtricas:

s8n 2 X = .L (1 cos 2 Xl sen4 X = - - - - etc - - - - - 1562 'Y sustituyendo en (155) da:(ltk2sen2Xl\l2= [Ii-J. - ~ - k +----]+[- _,- k2t _,- k4 + - - - - -Jcos4 64 4 16

Recolocando :

En (153) da :

. k4- 64 cos4X+-- - - - - -155a

k2 3 4A= I+----k' t------ 1574 64B= _ 1 k2- _1- k4 t - - - - 157a4 16c= ~ t-----------157b640:------- - - - - - - - - - 1 5 7 c

s fO +CTr fa+CTT otCTr-b- =A dx-B cos 2Xdx-C cos 4Xdx- - - - - - - - -158

X -

o a oAntes de obtener la integracin actual de (157) consideraremos la solucinde la integral general .l o t CTr o: +0:cos n xdx =-1.sen nx I T - - - - - 159a na, ]= sen (o tCTr , - sen n o - - - - - - - - 159aOtra sustitucin da una forma mejor, nombrada:

sen nx - sen ny = 2cos1!...l X+v) sen JL \X-V' - - - - - -1602 2La que cuando las asociamos con nuestro problema tenemos:X=o;+CTr , V=o - - - - - - -161entonces xtV = 2o tCTr - - - - - - - - - 161ay X-V= CTrAhora, en (159a) el lado derecho se convierte:

54INEGI.

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53/78

Esta representa la integracin de la distancia sobre el elipsoiderespecto a la distancia sobre la esfera.

(141) . Ahora regresamos nuestra atencin a la solucion deReescribiendo (141) obtenemos:

De la Fig. 24.

o

2 2 '1.=(I-e cos (3) 2 dA - - - - - - 1410

dA cos (3 =dO" sen 0'2 - - - - - - - 167

dA= sen 0'2 . dO- ------1670cos (3Aplicando la ley de los senos (Trigonometra Esfrica).sen ct sen 900'2 =____ - - - - 1 6 8

s e n ( 9 0 ~ f 3 0 ) sen (90-(3)o cos (30sen a, - - - - - - - - 1680cos (3La que cuando es sustituida en (167a) da :

dA= cos {30 .,,0"-------- 167bcos2 (3Sustituyendo para dA en (141a) obtenemos:

R 2 2 (3 '/2 COS (30d,l. =O-e cos ) - -_ . O" ---- -cos2 (3Enseguida tomamos menos (16Th) lo que nos da :

169

l,Desarrollando ( l-e2 cos 2 (3 ) 2---- ] dO" - - - --- 170

cos2 (3en una serie nos da:

'1. e2 e4 e6(I-e 2 cos2 (3)2 =1- - cos2 (3 - - - cos4 (3 - - - cos f3 - - - - - -1712 8 16

55INEGI.Clculos

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54/78

senn(O"+a: l -sennO" = 2 c o s ~ ( 2 0 " + a : lsen..!!-a: - - - - - - - 162IT I 2 IT 2TAhora evaluando (158) obtenemos.rO; +CTTJa: dx = CTT - - - - - - - 163I

rOj+CTTces 2Xdx=cosl2a:+a: lsena: ---------- 1630o I T T a;+O"T 1cos 4Xdx = -2 cos l4Oj+2o;.1sen 20;. - - - - 163boetc.

Poniendo.o;. =OZ-O - - - - - - - - -164

Entonces:

o

y

o

20; +0;-= 20;+CT2-a --------- 1640

o +CT2 -----------164c22CTm = 2a +CTT ---- - - - - - - 164d

Cuando sustituimos en (163 la solucin para (158) es:S e o- =Aa: - B cosO" sena: - - cos 4CT sen 2a:-- cos 6CT sen 3a:T - - - - - - - - 165b T m T2 m T3 m

De (164) obtenemos una solucin para CTT como:S 8 eo;. =Ab +A ces 2CTm sen CTT+"2A cos 4CTm sen 20;. ------ - - - 166

Donde: A = k2 31+-- - - - k4 + - - - - -4 64 B = -+- k2 - + 4 +---------.C = _1_ k4 + _____ _64 'D=E = 565536

56INEGI.

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55/78

FI G U R A 24SOLUCION DE ~ dA

La que cuando la dividimos por cos 2 f3 da:1 el e4 e61 = -2 - - - - - coszf3 - - cos 4 f3 - - - - - - - 171 acosf3 2 8 16

La ecuacin (170) es ahora:[ e2 e4 eS ]d,(=dA- cos f30 - + - cos 2 f3 + - cos f3+---- - do- - - - - 1722 8 16o

e [ e 2 e ]dl=dA--cosf3o 1+-cos2 f 3+ - co s4f3+---- do- - - - - -172a2 4 8Para la solucin de (172a) sustituimos cos 2 f3 , cos f3 , etc.por cos2 f3 = 1- sen2 f30 sen! X- - - - - - - 173y

cos 4 f3 = 1- 2 sen! f30 sen2 X+ sen 4 f30 sen4 X- - - - -- - 1730(X est definida en la pago 43), los que cuando so n sustituidos en (172a) nosda:

La expresin anteriDr es simplificada y adecuada para integracinen mucho de la misma manera como fu hecho para la solucin de ds / do-.Los resultados son como sigue. La diferencia de longitud sobre el elipsoide , est dada por: -

LzL= f d. l- ------- 175

L, 57INEGI.Clculos

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Posicio

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56/78

y sobre la esfera por:

Entonces:

Donde:

y

A= A2 dA ________ _A,

1750

2 [ ra +o-T ]L= A-1- cos {30 Jo: (A+B'cos2X +C' cos4X+----)dx - - - - - - -176,

, e2 2 e4 2 e4 4B= - s e n {30+-sen {3o - - - s e n 130-------17708 8 16

I e4C = - sen 4 130 + - - - - - - 177 b64D/= - - - - - - - - - - - - -El resultado es dado entonces por:

L= A-.f.. cos /30 [AO: +B'seno: cos20: + sen 20: cos40: + JL sen 30- COS 60: + -- -- -J ---- -1782 T T m2 T m3' m-

Ahora con todas las relaciones neces arias desarrolladas, retornamo s nuest ra atenci6n a los problemas directos e inversos.

4.4. - Problema Directo.-Recordamos que para el problema directo debemos conocer las

coordenadas geosicas ep, ,A, del primer punto P 1 Y la distancia geodsica S'2 ye l azimut a'2 al otro punto P2' entonces resolvemos -para ep2' A. de ~ y , Las etapas en la soluci6n son como sigue:1. - Calcule la latitud reducida 13, usando (128).2. - Calcule el Azimut de la geodsica en el ecuador que es:

sen a = sen a,. cos 13,--- ---- -_ . 122058 INE

GI.

Clculos

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Geodsico


57/78

3. - C a l c ~ e el a;-co. esfrico a ~ r o x i m a d o 00 de (166) usando solamenteel pnmer ternnno, (e . g. 00 =--)A ) luego calcule 0]+1 por:o: =0-0+ --cos20- sen m +-------1+1 A m I

Donde la primera iteracin CT = 0-0 Y recordando que:20-m = 2o + o -- ----En la que 0- 1 es resuelta por (142a) sta etapa se repite hasta decir

100n-0;1'"0.0000"4. - Calcule f32 por (145) donde f30 es calculado usando (l43a).5. - Calcule ep2 usando (128)6. - Calcule la diferencia de longitud esfrica A usando la ley de los senos(Fig. 24), la que da:

sen A= sen o- sen a 2 _ _ _ _ _ _ _ _ 180cos f3z

Luego usando A de (180). calcular a cos 2 o-m. cos 4


58/78

cos O" : sen {3, sen {3z + os {3, cos {3z cos A -- - - - - - 181o sen 0": [( sen Acos {32 )2+ (sen {32 cos {3, - sen {3, cos {3z cos A lj - - ---- -- -- 1810Ya que ste es un problema iterativo, (181) se resuelve primero usandoA :: L en la primera aproximacin calculamos entonces:

sen A COS{32sen a lz : ---------- 182sen O"Para calcular el azimut de la geodsica en el ecuador a , combinamos(143a) y (182) 10 que nos da :

sen a lz cos{3, =senacosO o - - - - - - - -183o sen asena : - - - - - - - - 1 830'2 cos ft,Lo que cuando es sustItuida en (182) da:cos {3, cos f3z sen Asen a : - - - - - - 184

sen O"Otra vez. sen a es solamente una primera aproximacin ya qu e A'; L Luego calcule:

cos 2o: : COS O" _ 2sen {3, sen /3zm cos 2a --------185cos 4am: 2 cos 2 2 am- 1 - - - - - - - - - - - - - 1850

y cos 6 O" :o 4 cos3 2 O" - 3 cos 2 O" - - - - - - 185 bm m mUsamos entonces (179) para calcular ( A- L ). Despus de completar estaetapa, calculamos:

A=L+(A-L) - - - - - -186Y regresamos a (181) y recalculamos las cantidades CT,a, 20"m '

40"m , 60"m , usando (181). (184), (185). (185a) y (l85b) respectivamente. Despus de recalcular (A-U Usando (179) ensayamos 1< A-UI+,-< A-L \.1 S 0.00001". Cuando esta prueba pasa, i + I procedemos a c a l c ~la r a'2' az, y 5'2 . El azimut de adelante es calculado usando -(l83a) que es reescri ta aqu como:

ysen acos {3,sen acos {32

- - -- - - - 186

Alternativamente los azimutes pueden calcularse por:

60 INEGI.

Clculos

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ton Q'2= sen ,8zCos ,8, - cos >.. sen ,8, cos,82sen >.. cos /32 ------------ 187

y- - - - - - - - 187 o

Para completar el problema, la distancia S12 es calculada usando (165)4.6 . - "Otras F6rmulas para Lineas Largas".Muchos mtodos para la soluci6n de los problemas directos e in-versos para puntos ampliamente separados sobre un elipsoide de referencia, estn disponibles en la literatura. Como con las f6rmulas de lneas"cortas" y "medias", ellas generalmente dan los nombres de sus descubridores. Dos de stas, que han sido usadas por los autores, son los :-mtodos de Rainsfotd (Rainsford, 1955) y Sodano (Sodano 1963). Lasf6rmulas de Rainsford estn desarrolladas sobre los mismos principiosque las de Bessel . La diferencia mayor es que los coeficientes de la di -ferencia de longitud (179) estn desarrollados en trminos de (f) ya que -

e ~ o s convergen ms rpidamente que cuando son dados en funci6n de -(e. ). La diferencia principal entre el Mtodo de Sodano y stos de Be -ssel y Rainsford es que tanto el problema directo como el inverso puedenresolverse en una manera no iterativa.SECCION IV. - CALCULO DE POSICIONES GEODESICAS ENTRES DIMENSIONES.La posici6n geodsica de un punto del terreno puede describirse -matemticamente en trminos de una triada de coordenadas cartesianas(X, Y, Z,) referidas a los sistemas de coordenadas terrestre promedio,geodsico, geodsiCO local, o astron6mico local o por latitud geodsica( 4> ), longitud ( A ) y altura elipsoidal ( h ) referidas a algn elipsoide dereferencia. En las secci6nes previas en las q'IE furon presentados los -clculos clsicos de posicionainiento bidimensional, las posiciones geodsicas furon descritas solamente por dos coordenadas, llamadas la lati :-

tud y la longitud geodesicas. La tercera componente. altura elipsoidal, -fue usada solamente para la reducci6n de mediciones terrestres al eUpso.!.de de referencia.

Los clculos de posici6nes geodsicas en tres dimensiones difieredel clsi. co proceso bidimensional en dos formas significativas: La primera es que ste ltimo se basa en la geometra elipsoidal mientras que eCprimero se basa sobre los principios Euclidianos Tridimensionales y em -plea el algebra vectorial y matricial. La segunda es que el mtodo clsi-co requiere el uso de distancias geodsicas y azimutes para clculos rig.!!

61INEGI.Clculos

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rosos mientras que distancias espaciales en l nea recta (cuerdas)y azimutstridimensionales de la seccin normal son usados en clculos tridimensio-nales. Considerando el azimut aqu usado, deber notar se que se refiere ala seccin normal que pasa a travs de los puntos del terreno en cuestion -y no de la seccin que pasa a travs de los puntos proyectados sobre de lelipsoide. En vista del tratamiento diferente de las observaciones en clculo de posicin tridimensional, no se considera un captulo especial para presentarlas. En su lugar, so n dadas explicacines a fondo, donde se requie :-ran, dentro de l contexto del desarrollo de los prcblemas directo, inverso, -interseccin azimutal e interseccin en la distancia espacial.

5. - PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO EN TRES DIMENSIONES.5.1. - Problema directo.El problema directo puede definirse como: Dadas las coordenadas

(Xi, Yi . Zi) o (4)., A. , h. ) de un punto ( i) y la distancia espacial terrest re , azimut y nguo vrtibal (o diferencia de altura) a un segundo punto :-(j) calcular las coordenadas (Xj. Yj . Zj,) o ( 4>. ,A. , h. ) Dos casos -del problema directo pueden surgir . dependienaoJde 4ueJel azimut y el ng.!!10 vertical sean referidos al sistema de coordenadas geodsico local (nor -mal. elipsoidal) al astronmico local (vertical de la gravedad). Entonces-denotando los azimutes y los ngulos verticales en el sistema geodsico lo-cal por ( a ) y (a ) y de la misma manera en el sistema astronmico localpor ( A ) Y ( V ) respectivamente. (Fig. 26).El mtodo mas simple de solucin de problemas tridimensionaleses usar coordenadas cartesianas. Si las coordenadas que se requieren en

lo s clculos son dadas por (4), A. h ) una simple transformacin de coorde-nadas (krakiwsky and Wells, 1971) da las coordenadas cartesianas. Simi-larmente si el resultado requerido es el de latitud, longitud y altura elip -soidal, entonces las coordenadas cartesianas so n transformadas a (q>,A.,h).despus de que los clculos de posicin son completados (Krakiwsky and -Wells, 1971).El vector entre dos puntos terrestres en un sistema de coordena-das geodsicas est dado por la expresin.

- - - - - - - - /88

62 INEGI.

Clculos

de

Posicio

namiento

Geodsico


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O'lw

Z6L

YGlJk i

ECUADOR ELIPSOIDAL.

XG

ZGL (NORMAL ELlPSOIDALl

VGL(ESTE)

a) . - Sistema Geodsico y Sistema Geodsico Local. b) . - Distancia Espacial ( di j )

FIGURA 26

Azimut ( a;1 ) y Angulo Vertical(aij) en el Sistema Geodsico Local.

PROBLEMA DIRECTO ( GEODESICO LOCAL) .INEGI. C

lculosde

Posicionamiento

Geodsico


62/78

Ahora el vector de posicin de un punto (J) en el sistema geodsicolocal en (i)(Fig. 26) est dada por:cos aj j ",a]

:ij IGL" djj cos aj j sen a jjdjj sen aj j

- - - - - - - - 189

y (rij)G puede escribirse(fj IG =R3 (180-ATI R2(90-


63/78

en01

ZAL

XII

a) . - Sistemas Geodsico y AstronmicoLocal.

VAL

FIGURA

ZAL

VAL

b) . - Distancia Espacial (dij) Azimut (Aij)y ngulo vertical (Vij) en el SistemaAstronmico Local.

27

PROBLEMA DIRECTO (ASTRONOMICO LOCAL)INEGI. C

lculosde

Posicionamiento

Geodsico


64/78

Note que en ste caso (192) el vector de posicin est girado directa-mente de l sistema astronmico local al sistema geodsico. Una trans-formacin alternativa es posible va el sistema geodsico local usando -la expresin:

(r . ) =Rf180- A.) R (90-,.1.) P R (A . - a. j )Rf- f ) R.("",) (r:')A L ------ - 1941) G ;j 1 2 't 2 5 1) 1 1 l ' I 1) .En la expresin anterior (194), Aij Y aij son los azimutes astronmico y geodsico respectivamente y las cantidades y 'T) i son las doscomponentes de la desviacin de la vertical en el punto i.5 2 - Problema Inverso. -En ste caso, las triadas de coordenadas (


65/78

A.hora, para determinar la distancia espacial, el azimut y el ngulovertical en (i) usamos las componentes de l vector (rij) en las expresiones: G. L -[2 2 2 I'zdi) = 6X ij + 6Yij + 6Z ij - - - - - - - 199

-1 [ 6Yij ]ij = ton 6Xi j -------200-1 [ 6Zij ]jj = sen dijy - - - - - - - - 2 0 1

Las expresiones correspondientes para determinar el azimut a ye lngulo vertical aji en el sistema geodsico local en ( j ) son: JI

.y

(r . ) = p. R (A . . -90) R(A.-180) (r . ) --- ---- 202)1 GL 2 2 '"t') a ) )1 Ga =ton-1r 6Yji J --------203ji t 6XjiOji = sen- I [ ~ J -- ------ 204dij

6. - Problemas de Intersecci6n en Tres Dimensiones. -El problema de determinar las coordenadas de un punto sobre un plano

usando una intersecci.6n de dos azimutes o distancias de dos puntos (coordenados) conocidos. es un proceso directo (Faig. 1972) Este tipo deproblemas no es tratado genralmente para cllculos sobre un elipsoide dereferencia. El problema de intersecci6n para la determinaci6n de las - -coordenadas geodsicas ( ep, A ) puede ser tratado con harta simplezausando el lgebra vectorial. Son presentados aqu dos casos. cada una -requiere en formaci6n similar a la que se requerira para dos clculos dimensionales rigurosos. -

6.1. - Intersecci6n A.zimutal.-El problema es definido como: Dadas las tr iadas de coordenadas ( - -( ep., A., h. ) Y ( epi ' A , h J ) para dos puntos en el terreno

(O y (h Yos azimutes de la s ~ c c i 6 n normal de l terreno aik y ak delos puntos conocidos al punto desconocido (k) calcular las coordenadas - -geodsicas epk y Ak del punto desconocido k. Note que la altura -elipsoidal aproximada hk es requerida para los clculos.

Para comenzar la solucion es necesario defi-w-r un vector unitario en -un azimut cualquiera. Este v e c t ~ r es denotado fa y se expresa en tr -minos de los vectores unitarios fLx y ; y que son respectivamente lasdirecciones Norte y Este de l sistema geoa.sico local. (Fig. 28)

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~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ ~ - - - - ~

ECUADOR ELIPSOIDAL

F I GU R A 2 8VECTORES UNITARIOS EN EL SISTEMA GEODESICO

LOCAL.

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ATQ

A/'-v

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Este est dado por la ecuacin.,to = fLx cos o + Ly sen o - - - - - - - 205donde:

y,Usando las expresiones para fLx y fLy' (205) puede ser reescri-ta como:

[; = [ - : ; ; : ~ : ~ ~ ~ ~ : : ~ ~ - - - - - - - - - 208tz cosq, cos o ~ I- G-L -G-LAhora un vector unitario perpendicular al azimut o es de-finido por:

A A At =u cos(ot90l+1L sen (0+90 l - - - - - - - -2090+90 ' x 'YPara resolver para q,k Y Ak , deben ser formuladas dosecuaciones donde aparezcan explcitamente estas dos cantidades.Primero, dos productosescalaresson formados, cada uno involu

cra un vector en un plano definido por un par de puntos en el terreno y el origen del sistema coordenado, y un segundo vector que est en un azimut a90 de ste plano, (Fig. 29). Los dos productos bsicos son:

(rk -r i l ~ a i k +90=0 - -- --- - 210y

_ _ fI( rk - r j l - tOjk +90=0-- - - - - - - - -211

donde:

U I ' l X i ~I'lYik - - - -- 214lIZik69

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~ ~ - - ~ ~ - - - + - - - - - - T - - - - - t - - - - - ~

FIGURA 2 9

INTERSECCION AZIMUTAL EN TRES DIMENSIONES.

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y iGYjk ------- 2158ZjkEn las ecuaciones (214) .y (215) las coordenadas para (i) y (j ) son -consideradas constantes, mientras que aquellas para (k) son consideradas

dadas por tres funciones desconocidas (Krakiwsky and Wells, 1971)._ ~ X ~ [ces {3k cos Ak + hk cos k cosA jrk = Yk = a cosf:3k senAk +hk cosk senAk ------ 216

Zk b sen f:3k + hk sen k

Primeros trminos de (216) dan las coordenadas de (k) sobre la su-perficie del elipsoide (def"wido por los semiejes mayor y menor (a) y (b)-respectivamente) en trminos de la latitud reducida ( f:3k ) Y la longitud geodsica (Ak ). Los segundos trminos se toma en cuenta el hecho de -::qu e el punto (k) sobre el terreno est localizado en una altura elipsoidal -(hk ) sobre el elipsoide de referencia, y estn expresados en trminos dela latitud geodsica k y longitud Ak

Ahora las ecuaciones (210) y (211) pueden reescribirse como:

t = AX'k t, + tJ.Y.k t , + b.Z'k t . = O - - ---- 217I I XI I yl I ZI fe = b.Xj!I\J +8V,k I ' + .Z jk tz' = O - - - - - 218Las cantidades desconocidas en las ecuaciones Jari1erioreJ son las -coordenadas de k y en trminos de estas (217) y (218) son no lineales.-La siguiente etapa en la soluci6n es aproximar las ecuaciones (217) y

(218) por un a serie lineal de Taylor usando valores aproximados para lalatitud reducida y longitud denotadas por f:3k y A"k respectivamente,entonces: 0'1 t:J Ot, .t =f + -- d""k+ -- dAk +- - - - - =0 - - - - - - - - -219I I af:3k OAk

yf =fO+ afz d f : 3 k + ~ d A k + - - - - - - - = O ------ 220e 2 af:3k oAk

DondefO=b.X t + 8VO t + b.ZO t - - - - - - - - - 221I ik xi ik yi ik zi

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y

AXo = ocos f3 0 cos >..0 + hO cos,4..o cos >..0 - X - - - - - - 223Ik k k k 't'k k iAY'k =o cos f3k sen >"k +h'k cos epk sen >"k - Y - - - - - - 224AZfk = bsen f3'k + h'k sen ep'k - Zi - - - - - - - - - - - - - - - 225

f : . X ~ =o cos f3 0 cos >..0 + h'" cos epo cos >..0 - X --- - - - - - 226k k k k k k jf:.Yk =o cos 9; sen -k + h; cos 4>k sen >"'k. - '1 ------ - 227r.zo =bsen F3+hosenepo -Z --------------228jk k k k JO '= xi 1 a sen f3k cos >"k - hk en "k 1+,

+ tyi( - a sen f3k sen ;...k - h'k sen sen >"k 1 ++tzilbcos 9k +h'k cOs..+tyY>.. - - - - - - - - - - 2 3 4Se notar que tomando derivadas parciales, la latitud geodsica "k sean despreciables ( < O, 0001 ") .El valor de la latitud geodsica


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1- 1p_k_=_to_'_[_ ton , 8J - - - - - - - - - - 237

6.2. - Interseccin en la Distancia Espacial . -La deternnacin de la latitud geodsica (epk ) Y la longitud (Ak )de un punto en el terreno usando dos distancias espaciales terrestres , -se resuelve de un a manera sinlar a la usada para una interseccin azimutal ( 6 .1 ) . Son dadas las dos tr iadas de coordenadas ( epi I A I h )"Y ( epo I Ao I h o ) y dos distancias espaciales terrestres rk y r"kde lo;} punths donocidos al punto desconocido ( k ) . Adems, un a J tu raelipsoidal aproximada h"k se requiere (Dentro de los 100 m del valor de

hk es suficiente).La llave para la solucin es la formacin de dos ecuaciones linea -les que estn expresadas en trminos de los parmetros conocidos y des

conocidos (Fig. 30). Comenzamos con las relaciones. -[ 2 2 2Jf l " (Xk- X) +(Yk-Y) HZk-Z ) -rk =0----------238[ 2 2 2 ] ~ 2(Xk-X j ) + ( Y k - ~ ) + ( Z k - Z j ) -rjk=0--------239Donde ( Xk Yk I Zk ) estn dadas por (216). Las ecuaciones an-teriores son no l ineales en trllnos de,8k y Ak por lo que so n apro:a;imadas por una serie lineal de Taylor usando valores aproximados para la latitud reducida,,8; y la lonltitud geodsica La formalineal de las ecuacines (238) y (239) estn dadas por:

f = O + ~ d,8 + dA +---- =0 - - - - - - - 240I I a,8k k aAk kyDonde:

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F 1 G U R A 30INTERSECCION DE LA DISTANCIA ESPACIAL EN

TRES DLMENSIONES.tlO = rik - rik - ------ 242t; = rjk - rjk -- - - - - - - 243~ =_1- [lX O-X.l OXk +lYo -Y.l OYk +(ZO - y ) ~ J -------- 244Of3k rk k I Of3k k I af3k k i Of3k

-..L =_1 [lXO -X.) ~ +lYo-y.) OYk + lZo -y.) OZk ] - - - - - --- 245OAk rik k I OAk k I OAk k I OAk-.L. =_1- [lX O -X. l OXk +lYo-y.) OVk + lZo -Y.l OZk ] - - - - - - - - -246Of3k rjk k 1 Of3k k 1 af3k k 1 Of3k~ =_1- [(Xk Xjl OXk + (yo -y, ) OYk + (ZO - Y.) OZk ] - - - __ - ___ 24 7OA2 rjk OAk k 1 OAk k 1 OAk

Ahora los trminos en las ecuaciones (244) - (247) son derivadas de(216) y estn dadas por:

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OXk-- : -0 sen 13 COSAo -he sencj> cos AO =X - -- - - - - 248iJf3k k k k k k f3-..xL =-o sen f3k en A'k - h'k sen cj>'k sen A'k =Y{3 - - - - - - 249iJ{3k~ =b cos{3 +ho coscj> =Zf3 - - - -------- - - - 250O{3k k k k .

iJXk =_ o cos {30 sen AO - hO cos cj>0 senA" =X - - -- -- - - 251iJAk k k k k k AiJYk- - = a cos {30 cos>e + hOcoscj> cos AO =Y, - - - - - - - - - 252iJAk k k k k k 1\OZk-- = 0 - - - - - - - - - - - - - -- - - - -- - - - 253iJAk

Como en el caso de la intersecci6n azimutal. , la latitud geodsica,4>k ' fu considerada sinonima con 1 a latitud reducida {3k

Ahora (240) y (241) son reescri tas para la solucin como:f. = r++ IlXik X ~ A Y i k Y{3 +AZ ik l3]d{3k++[AXikXA+AYik YA] dAkr ~ * - - - - 254

------255

Las correccines dB. y dA. se resuelven usando un procedimientoi terativo. Cuando las correccines se convierten en despreciables -( 0.0001") se obtienen los valores finales de B. y A. ,cj>. se obtieneusando (237).

7. - A Manera de Conclusin.A primera vista, parece que el mtodo clsico de clculos de posi

cin geodsica sobre la superficie de un elipsoide de revolucin deberaser abandonado en favor del mtodo tridirrensional.

Las frmulas para este ltimo son mas simples de derivar e implementar y en el caso de los problemas directo e inverso, estn dadas en -forma definida. Adems, si las coordenadas curvilneas (problema directo) o la distancia elipsoidal y azimutes de seccin normal (problema inve!.so) so n requeridos, frmulas de transformacin rigurosa estn disponi -bIes para obtenerlas (Krakiwsky and Wells 1971, Seccin II).

La dificultad mayor para usar el mtodo tridimensional yace en lasobservables geodsicas o en su carencia. Esto es particularmente ciertoen el caso del problema directo o en cualquier problema donde es requerido el ngulo vertical (90 distancia zenital). Debido a los problemas de -refraccin, la distancia zenital no puede obtenerse mejor que 2: 1" 1 0 -

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que sobre una lnea de 10 kms. da una desviacin estandar en altura de10 cms. (Heiskanen and Moritz, 1967) Este error obviamente -podra afectar los clculos de las coordenadas tridimensionales ( X, Y,Z) ( cf>, x. ,h ) de un punto requerido. El problema puede ser su -perado co n nivelacin geomtrica pero es improbable que stas observaciones se hicieran siempre disponibles. -

Los dos problemas de interseccin que han sido presentados mues-tran como el mtodo tridimensional puede usarse para resolver directamente las coordenadas curvilineas. Sera obvio que si fuera disponiblesuficiente informacin observada ( P . ej, distancias triespaciales) los -problemas podran ser formulados y resueltos diarectamente en trmi"\nos de las coordenadas cartesianas tridimensionals.

Finalmente se notar que una cantidad equivalente de informacin -observada se requiere para los mtodos clsicos y tridimensional. Ladiferencia principal es que para los clculos elipsoidales (P. ej , proble-ma directo) la altura elipsoidal no necesita, ser conocida en forma tan -precisa como en los clculos tridimensionales. Sin embargo, no importa que mtodo se use, transfornaciones rigurosas mostrarn que los resultados son equivalentes. Esto es, las coordenadas cartesianas (X , -Y, Z ) darn un conjunto ( cf>, x., h ) en que la latitud geodsica (cf> )y la longitud (X . ) son iguales a las obtenidas por clculos clsicos.An ms las distancias espaciales y los azimutes de ' las secciones normal de l terreno obtenidos de clculos tridimensionales (Proble :-ma inverso) y reducidos rigurosamente al elipsoide de referencia.. son i -guales a las distancias elipsoidales y azimutes geodsicos obtenidos delproblema inverso resuelto sobre el elipsoide.

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