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U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E T R U J I L L O
ESCUELA DE POST GRADO
SECCIÓN DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
PROPUESTA DE MODELO DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL
CURSO DE RAZONAMIENTO LÓGICO DESTINADO AL 1º, 2º Y 3º DE
SECUNDARIA EN EL C.E.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” U.N.T.
Investigador:
Bach. Jacinto E. Córdova Guimaray Profesor Principal UNT
Asesor de Tesis:
Dr. Gilberto E. Roldán Paredes Director de la Sección de Post
Grado de Educación UNT
UNT - 2008
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INDICE
RESUMEN 4
ABSTRACT 5
I. INTRODUCCIÓN
1. Antecedentes y Justificación 9
2. Formulación del Problema de Investigación 12
3. Formulación de objetivos 12
II. MARCO TEÓRICO
LÓGICA DE PROPOSICIONES CONECTADAS
1. OBJETO DE ESTUDIO 13
2. PROPOSICIONES 15
2.1ORACIONES QUE NO SON PROPOSICIONES 16
2.2 JUICIO Y PROPOSICION 18
2.3TIPOS DE PROPOSICIONES SIMPLES 21
2
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3. FORMALIZACIÓN 23
3.1EL NEGADOR 25
3.2EL CONJUNTOR 27
3.3EL DISYUNTOR 29
3.4EL CONDICIONADOR SUFICIENTE 31
3.5EL CONDICIONADOR NECESARIO 33
3.6EL BICONDICIONADOR 35
3.7EL DISYUNTOR EXCLUYENTE 37
4. VERDAD 39
4.1PROPOSICIÓN NEGATIVA 40
4.2PROPOSICIÓN CONJUNTIVA 41
4.3PROPOSICIÓN DISYUNTIVA 42
4.4PROPOSICIÓN CONDICIONAL SUFICIENTE 43
4.5PROPOSICIÓN CONDICIONAL NECESARIO 46
4.6PROPOSICIÓN BICONDICIONAL 49
4.7PROPOSICIÓN DISYUNTIVA EXCLUYENTE 50
5. EQUIVALENCIAS 55
5.1UN SISTEMA BÁSICO K 55
5.2LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS 59
5.3TODAS LAS LEYES DE EQUIVALENCIA 63
5.4REDUCCIÓN DE FÓRMULAS 66
5.5CIRCUITOS LÓGICOS 68
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6. INFERENCIAS 73
6.1 CON UNA PREMISA 74
6.2 CON DOS PREMISAS 75
6.3 CON TRES PREMISAS 77
6.4 CON TRES FIGURAS 78
6.5 CON SILOGISMOS 80
7. VALIDEZ SINTÁCTICA 82
7.1 DEMOSTRACIÓN DIRECTA 82
7.2 PRUEBA CONDICIONAL 84
7.3 DEMOSTRACIÓN INDIRECTA 84
7.4 SILOGISMOS 85
7.5 SILOGISMOS A LA LUZ DE LA LÓGICA MATEMÁTICA 89
8. VALIDEZ SEMÁNTICA 91
8.1 TABLAS DE VERACIDAD 91
8.2 MÉTODO ABREVIADO 92
III. MATERIAL Y MÉTODOS 94
1. Método de Investigación 94
2. Diseño de Investigación 94
3. Población 95
4. Instrumentos de recolección y
procesamiento de datos 98
4
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IV. RESULTADOS 99
IV.1 Propuesta de modelo de contenidos curriculares del
1º año de secundaria 99
IV.2 Propuesta de modelo de contenidos curriculares del
2º año de secundaria 107
IV.3 Propuesta de modelo de contenidos curriculares del
3º año de secundaria 117
V. CONCLUSIONES 120
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
6.1. DOCUMENTOS EN INTERNET 122
6.2. LIBROS SIGNIFICATIVOS 123
VII. ANEXO 126
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RESUMEN
La presente tesis de postgrado propone un modelo de contenidos
curriculares sistematizados del curso de Razonamiento Lógico destinados al 1º,
2º y 3º grado del nivel de educación secundaria, específicamente, del Centro
de Educación Experimental “Rafael Narvaez Cadenillas” de la Facultad de
Educación de la Universidad Nacional de Trujillo, durante el año 2007, con el
objetivo de optar el grado de Maestro en Educación, mención en Pedagogía
Universitaria.
El contenido del marco teórico de esta tesis es, principalmente, la
descripción y precisión lo más cuidadosa y minuciosa posible, de los diferentes
conceptos de la ciencia de la lógica formal, base filosófica del curso de
Razonamiento Lógico del nivel de educación secundaria, del nivel
preuniversitario y del nivel universitario.
Los resultados de la presente tesis, además del aporte del docente con
definiciones, ejercicios y problemas de cada tema, necesitan
insoslayablemente, ser validadas con sendas investigaciones de carácter
experimental, al menos por un año escolar.
EL AUTOR
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ABSTRACT
This postgraduate thesis proposes a model of curricula contains that are
systematized of the Logical Reasoning course for the 1st, 2nd and 3rd
grade in secondary education, specifically,in the Center for Experimental
Education "Rafael Narvaez Cadenillas" of the Faculty of Education
National University of Trujillo, in the year 2007, with the purpose of
getting the degree of Master in Education, mention in University
Pedagogy.
The content of the theoretical frame of this thesis, is, mainly, the result of
the description and possible the most careful and meticulous precision, of
the different concepts from the science of the formal logic, philosophical
bases of the course of Logical Reasoning of the level in secondary
education, preuniversity level and university level.
The results of the present thesis, in addition to the contribution of the
teacher of Logical Reasoning, with definitions, exercises and problems of
each subject, needs to be validated with individual investigations of
experimental character at least by a scholastic year
.
The Author
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SECUNDARIA EN EL C.E.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” U.N.T.
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I. INTRODUCCIÓN
1. Antecedentes y justificación
Como Profesor Principal de la cátedra de Lógica del Departamento de
Filosofía y Arte de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación de
la Universidad Nacional de Trujillo (UNT) y, como Directivo del Centro de
Educación Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” de la UNT, he revisado
detalladamente los módulos de aprendizaje del sub-área Razonamiento Lógico
del área Lógico Matemático desde el 1º hasta el 3º grado del Nivel Secundario.
Esta tarea habría resultado rutinaria si no me hubiera percatado que
para elegir los temas y elaborar dichos módulos, todos los docentes solo han
tomado en cuenta, taxativamente, los temas que contienen el libro LÓGICA
(Raz. Lógico) o los cuadernillos del curso de Lógica y Razonamiento Lógico,
elaborado por docentes varios del Centro Pre universitario de la Universidad
Nacional de Trujillo (CEPUNT), soslayando la enorme diferencia didáctica que
hay entre un curso del nivel secundario de otro de nivel preuniversitario.
De esto se colige que era obligatorio y urgente, en lo que a mi me
compete, sistematizar un modelo de contenidos curriculares que tome en
cuenta al menos tan siquiera una estructura base de nivel progresivo –de lo
simple a lo complejo- para desarrollar satisfactoriamente el curso de
Razonamiento Lógico. Sin embargo, mi compromiso ha tenido que ver,
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fundamentalmente y por principio, solo con elegir los contenidos curriculares de
1º, 2º y 3º grado del nivel de Educación Secundaria, ya que, objetivamente, los
alumnos y docentes del 4º y 5º grado de secundaria ya usan justificadamente
los cuadernillos preuniversitarios del CEPUNT.
En esta tesis, como diagnóstico, he desarrollado un marco teórico
específico de la Lógica de Proposiciones Conectadas a base de la siguiente
estructura fundamental:
Objeto de estudio
Proposiciones
Formalización
Verdad formal
Equivalencias
Inferencias
Validez sintáctica
Validez semántica
Como tendencia, he elaborado un modelo de contenidos curriculares
novedoso que debe permitir actualizar, innovar y sistematizar los módulos de
aprendizaje del curso de Razonamiento Lógico del 1º al 3º grado del nivel
secundario. Me estoy basando en los más de 20 años de experiencia docente
del curso de lógica en la Escuela de Educación Secundaria de la Facultad de
Educación UNT desde 1982, a raíz de mi trabajo académico como docente y
coordinador del curso de Razonamiento lógico en el CEPUNT - Ciclo I desde
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1992 y, ahora recientemente, con la participación en el Concurso Nacional del
Libro Universitario organizado por la ANR.
Considero que esto debe colmar las expectativas de los docentes que
lean esta tesis, ya que el objetivo o interés prioritario de todo docente, que
enseña el curso de Razonamiento Lógico, es que sus alumnos inicien el
estudio de dicho curso, con una información rigurosa de esta parte fundamental
la ciencia de la Lógica Formal.
Además del estudio profundo de los métodos que han sido utilizados
históricamente, ha predominado el criterio juicioso de experto profesional para
la determinación y estructuración coherente del contenido del subárea
Razonamiento Lógico del área Lógico Matemático, estableciendo vínculos
entre los conocimientos antecedentes, concomitantes y prospectivos,
definiendo jerárquicamente su sistema conceptual desde lo más simple a lo
más complejo.
También es mi deseo evitar que se disipe la concepción filosófica del
razonamiento lógico, que junto al concepto lógico y el juicio lógico son los tres
tipos del pensamiento cualidad exclusiva del ser humano y objeto de estudio de
la Lógica, que es una disciplina filosófica con pleno sentido, principalmente, con
el paradigma aristotélico y no solo con el paradigma euclidiano o pitagórico; es
decir, no se debe obviar que Aristóteles, el creador de la lógica formalizada es
ante todo filósofo.
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2. Formulación del problema de investigación
¿Cómo mejorar el actual cartel de contenidos curriculares para el curso de
Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de educación Secundaria
en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” 2007?.
3. Formulación de objetivos
(1) Analizar los actuales carteles de contenidos curriculares para el curso de
Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de educación
Secundaria en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez
Cadenillas” 2007?.
(2) Plantear una propuesta de mejora de los modelos de contenidos
curriculares para el curso de Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y
3º grado de educación Secundaria en el Centro Educativo Experimental
“Rafael Narváez Cadenillas” 2007?.
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II. MARCO TEÓRICO
LÓGICA DE PROPOSICIONES CONECTADAS
1. OBJETO DE ESTUDIO
La lógica es una ciencia filosófica, cuyo objeto de estudio es el pensamiento
humano que es el que dirige la teoría de todo conocimiento y el método de todo
conocimiento. Esta teoría y método estudia el proceso de desarrollo de la
verdad de los pensamientos acerca de la realidad objetiva que también
objetivamente se desarrolla sin cesar. Si hace énfasis en el camino que
conduce a encontrar dicha verdad, se le llama Metodología del conocimiento
científico; y si hace énfasis en la teoría que ilumina ese camino se le llama
Teoría del conocimiento científico.
Desde la lógica formal de Aristóteles, la estructura de los pensamientos dista
mucho de los mismos pensamientos; por eso se destaca, releva, distingue,
deslinda, etc. ya bien el contenido cognoscitivo (ontológico - lógico -
gnoseológico) o imagen racional de un cierto fragmento del mundo objetivo en
lenguaje terminológico (lo cognoscitivo) ya bien la forma estructural o lenguaje
de la ciencia en fórmulas (lo formalizado). Luego, en cada ciencia, la lógica es
una teoría y un método que sirve a los intereses de la ciencia proceso
(actividad científica) como lógica cognoscitiva, elaborando los conceptos,
juicios y razonamientos científicos; y sirve a los intereses de la ciencia
resultado (saber) como lógica matemática, organizando los pensamientos
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científicos de acuerdo con leyes y reglas de la lógica conectativa que estudia
las proposiciones conectadas con los conectadores y de la lógica
cuantificativa que estudia las proposiciones cuantificadas con los
cuantificadores.
En lógica, a diferencia de la lingüística, la estructura de las proposiciones
hipotéticas o compuestas son más fáciles de analizar que la estructura de las
proposiciones categóricas o simples; a ello se debe que siempre primero, todos
estudiamos las proposiciones hipotéticas con la llamada lógica conectativa y
sólo después, estudiamos las proposiciones categóricas con la llamada lógica
cuantificativa.
La lógica cognoscitiva es la ciencia que siempre
estudia el mismo pensamiento (=contenido lógico del lenguaje verbal); es
decir, e
l sentido lógico de las palabras del lenguaje verbal: los tipos de pensamiento: el
concepto, el juicio y el razonamiento.
Es su objeto de estudio relevante, ante todo, la veracidad objetiva de los
pensamientos o significado lógico del lenguaje verbal.
Ejemplos:
El término “felino” incluye a “perro“, es falsa
La proposición: “Los trujillanos son ecuatorianos”, es falsa
La argumentación: Si: “Todo el que estudia, trabaja”, y:“Toledo estudia”, luego:
“Toledo trabaja” es válida
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LaLa lógica matemática lógica matemática es la ciencia que sólo es la ciencia que sólo
estudia la estudia la forma del pensamiento (=estructura lógica del lenguaje formal)forma del pensamiento (=estructura lógica del lenguaje formal);;
es decir, el ses decir, el sentido lógico de las fórmulas del lenguaje formal: entido lógico de las fórmulas del lenguaje formal: los tipos de
pensamiento estable y su estructura
Es su objeto de estudio relevante, ante todo, la solidez (verdad y validez)
formal o significado lógico del lenguaje formal.
Ejemplos:
S ⊂ P≡ - S ∪ P
Si A es verdadera, su negación es falsa
Si A y B son ambas verdaderas, entonces se infiere que A es verdadera
2. PROPOSICIONES LÓGICAS
Del universo de todas las oraciones solo podremos decir que son
proposiciones, aquellas en las cuales podremos afirmar con certeza que son
verdaderas o falsas pero no ambas a la vez.
15
Oraciones = Juicios
Orac. Interrogativas
Orac. Exclamativas
Orac. Dubitativas
Orac. Desiderativas
Oraciones V o F pero no ambas a la vez
1PROPOSICIONES
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Ejemplos:
1. Eduardo es Ingeniero Industrial.
2. x + 3 = 11, si x = 8
3. ¿Qué hora es?
4. Batman vive en ciudad gótica (Personaje ficticio)
5. Superman es un personaje de tiras cómicas
6. Vino de Puerto Rico (¿quién vino de Puerto Rico?)
Nota: Los ejemplos 3, 4 y 6 NO SON PROPOSICIONES ya que no podemos
afirmar con certeza si son verdaderas o falsas.
(a) ORACIONES QUE NO REPRESENTAN PROPOSICIONES
1) Oraciones Interrogativas
- ¿Qué hay hoy de almuerzo?
- ¿Cómo llego a tu casa?
2) Oraciones Exclamativas
- ¡Gol de universitario!
- ¡Por fin ingresé a la UNT!
3) Oraciones Dubitativas(DUDAS)
- ¿Viajo a Lima o a Cajamarca?
- ¿Perderé mi empleo?
4) Oraciones Desiderativas(DESEOS)
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- Ojalá ingrese este año
- Quisiera casarme de blanco
5) Oraciones que utilizan Personajes Ficticios
- Batman es el hombre murciélago
- Ulises cegó a Polifemo
6) Oraciones donde no se hace uso correcto de los niveles de lenguaje
Cuando deben llevar comillas (“”) para identificar que se quiere definir
- Queso es bisilábico
- La nieve es blanca consta de 4 palabras
7) Enunciados Abiertos
Cuando el valor de la incógnita o variable no satisface un único valor de
verdad
- x + 4 = 15
- 1x;4yx2 ==+
- 1x2 −<
- Consiguió un empleo (¿Quién?)
- Fue un gran científico
- x + 1 = x (OJO , SI ES PROPOSICION)
8) Verbos en infinitivo
Terminaciones en AR, ER, IR
Amar
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Correr
Sonreír
9) Doxas o Juicios Valorativos
- Para mí Alan García fue un buen presidente
- Los mejores jugadores de básket son los Lakers
10) Refranes y/o Proverbios
- Al pan, pan y al vino, vino
- Agua pasada no mueve el molino
11) Creencias Populares
- El hombre lobo se transforma en las noches de luna llena
- Báñate con ruda para que tengas suerte todo el día
12) Sin Sentidos
- Los cerros son raíces cuadradas
- Si sumamos madera mas fierro obtenemos carpetas unipersonales
13) Oraciones que encierran ambigüedades
- Miguel perdió los papeles y agredió a la multitud
- Andrea lleva los pantalones en su hogar
(b) JUICIO Y PROPOSICIÓN
Los juicios dan sentidos lógicos a los diversos tipos de oraciones (sentences) o
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enunciados (statements) tales como las declarativas, interrogativas,
desiderativas, imperativas, exclamativas, etc. Luego una oración o enunciado
es la indicación verbal de un pensamiento llamado juicio con las palabras de
cualquier idioma. Es el significado o verdadero o falso de las oraciones
declarativas, aquello a lo que llamamos proposiciones (propositions); es decir,
no toda oración es una proposición sino sólo las oraciones declarativas o
verdaderas o falsas. Empero “ya que en toda lengua como fenómeno social
humano domina factores psíquicos y sociales diversos, en el lenguaje natural
opera una lógica polivalente. Es obvio que ninguno se deja convencer
encerrado en tan solo 2 valores verdadero o falso, sino en el carácter posible,
necesario, casual, real y sus negaciones por lo menos”. (Zierer,1981).
Consiguientemente un juicio tiene mayor amplitud que una proposición.
Una proposición verbal simple o atómica –que carece de al menos un
conectador- es una oración declarativa o verdadera o falsa; por ejemplo, la
proposición: “RECORD, es una academia estatal”, es falsa, ya que el Centro de
Educación Preuniversitaria RECORD es una academia privada; “la lógica es la
ciencia del pensamiento”, es verdadera, aquello de lo cual se habla es “la
lógica” y lo que se dice sobre ella es “ciencia del pensamiento”; por ejemplo, la
verdad de “El ser social determina la conciencia social”, o “El río Amazonas se
encuentra en América del Sur”, etc., se determinan en los marcos de la filosofía
y de la geografía, respectivamente.
Sea A, una proposición simple que contiene lo siguiente: definiciones, ideas,
teorías, hipótesis, leyes, convicciones, creencias, conocimientos, posiciones,
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enfoques, puntos de vista, etc., ya sea cotidiana o ya sea ideológica (filosófica,
científica, ética, axiológica, religiosa, jurídica, política, etc.), expuesta, en un
discurso o exposición de un mismo autor o en un mismo libro. Luego, entonces
en todo A , se dan los dos siguientes tipos de relación o conexión lógica:
(a) Próxima. Es la relación entre el concepto sujeto y el concepto predicado
en una proposición. En este caso se da a conocer qué conceptos deben
unirse o deben separarse y cómo esos conceptos deben relacionarse
entre sí. Esta relación lógica, se determina según las reglas de la
gramática de cualquier idioma. La relación lógica próxima se refiere al
análisis de la proposición simple, cuya verdad, naturalmente, resulta de
constatar la existencia de al menos un referente objetivo tanto del
concepto de al menos un sujeto así como del concepto de al menos un
predicado; asimismo, verificar si la oración corresponde al menos a un
estado de cosas del mundo objetivamente real.
(b) Remota. Es la relación que aparece entre varias proposiciones
relacionadas entre sí de alguna manera, tal como entre premisa y
conclusión, entre causa y efecto, entre el género y la especie, entre las
partes y el todo, etc. Esta relación lógica se determina según el sentido y
el significado de los conectadores o de los cuantificadores. La relación
lógica remota se refiere al análisis de las proposiciones moleculares,
cuya verdad, artificialmente, resulta del convenio de los lógicos
matemáticos del mundo, acerca de la significación y el sentido de los
conectadores o de los cuantificadores.
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En las ciencias fácticas, la verdad de las proposiciones atómicas que carecen
de conectadores, constituyen el contenido y el objetivo de toda investigación
científica y son contrastables (confirmables o refutables), principalmente, con
los mismos hechos con métodos empíricos o teóricos, ya que su referente es
algún objeto de la realidad circundante; si estas proposiciones describen
(¿cómo es?) y explican (¿por qué es?) adecuadamente los hechos, son
verdaderas, sino son falsas. Por ejemplo, la proposición “Jacinto es docente de
Lógica en la UNT” es verdadera si y solo si, realmente, Jacinto es docente de
lógica en la UNT.
La división fundamental de las proposiciones es como sigue
*Proposiciones simples, tienen a lo más un objeto del sujeto y del predicado
*Proposiciones complejas, tienen aunque sólo sea (al menos) dos objetos del
sujeto o del predicado. Estas proposiciones moleculares, con al menos un
conectador, son objetos de estudio de la lógica simbólica.
(b) TIPOS DE PROPOSICIONES SIMPLES
1) Por su significado son:
• Proposiciones verdaderas: “El triángulo es un polígono”
• Proposiciones falsas: “Trujillo es la capital del Perú”
2) Por su estructura son:
• Proposición existencial: “Hay profesores principales en el departamento
de filosofía”, “Existe suficiente capacidad instalada en el frigider”
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• Proposición atributiva. Asigna propiedades, cualidades, rasgos,
características, propiedades, etc. a uno o más objetos (descripción
cualitativa) Ej. “Roy es responsable”, “El oro es un metal precioso”
• Proposición relacional. Es un pensamiento simple cuando relaciona,
compara, distingue, describe objetos. Ej. “José y María se aman”, “2 >
4”, "Roy y Karina son hermanos gemelos”.
3) Por su calidad (o modalidad) son:
• Proposición de realidad. Son denominadas asertóricas, sintéticas,
fácticas: "Trujillo es una ciudad peruana"
• Proposición de necesidad. Son denominadas necesarias, apodícticas,
analíticas o simbólicas: "Todo cuadrado es un polígono"
• Proposición de posibilidad. Son denominadas también probables: "Es
posible que Roy y José Luis viajen a Lima"
4) Por su cantidad son:
• Proposición singular: "Marte es un planeta"
• Proposición individual: “Marte es el planeta que posee luz roja”
• Proposición singular exclusivo: “Sólo hay un planeta cuyo satélite es la
Luna”
• Proposición particular indeterminado: "Algunos (en el sentido de al
menos un) planetas tienen satélites"
• Proposición particular determinado: "Algunos (en el sentido de solo
algunos) planetas tienen anillos"
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• Proposición universal registrador: Pequeño o reducido número de
elementos de una clase o conjunto: “Todo planeta gira alrededor del
sistema planetario solar”
• Proposición universal no registrador: "Todos los astros tienen
movimiento de traslación"
Basta que una proposición verbal atómica, que carece de al menos un
conectador, tenga al menos uno, para que se convierta en proposición
molecular, que tiene su correspondiente fórmula proposicional, los que son
objetos de estudio de la lógica simbólica o matemática.
Ejemplo:
- Mariela estudia Derecho y es natural de Chimbote.
- Luis estudia Medicina o Veterinaria.
- Si Trujillo es la capital de la primavera entonces el clima es bueno.
NOTA: Las palabras resaltadas con negrita son las explicitaciones de los
conectores lógicos.
3. FORMALIZACIÓN
Fórmula proposicional, es una representación simbólica convencional,
organizada de una determinada forma, constituida por una serie de símbolos
llamadas variables proposicionales, conectadores y signos auxiliares; todos
ellos se relacionan entre sí para construir una estructura abreviada de cada
proposición verbal compuesta
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Variables proposicionales, son letras a ser sustituidas por una proposición
simple
Conectadores proposicionales, son los símbolos de cada término de enlace
que determinan el nombre de cualquier fórmula proposicional
Sea la proposición verbal:
(1) “Siempre que la luna gira alrededor de la tierra, entonces la tierra gira
alrededor del sol” Su forma o estructura proposicional es el conectador
proposicional: “Siempre que... entonces...” y su símbolo es el implicador: →
La primera proposición verbal es: “La luna gira alrededor de la tierra” y su
símbolo es una letra llamada variable proposicional en lenguaje objeto: p o
en metalenguaje: A
La segunda proposición verbal es: “La tierra gira alrededor del sol” y su símbolo
es la variable proposicional q ó B.
La fórmula proposicional de la proposición condicional (1) es:
p → q ó A → B
Mientras que una proposición verbal simple carece de conectadores y siempre
es o verdadera o falsa objetivamente; las proposiciones compuestas, se
caracterizan por ser o verdaderas o falsas no solo objetivamente sino también
formalmente, de allí que se requieren formalizarlos en fórmulas que nos
permiten analizar dicha forma – estructura
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Las proposiciones verbales compuestas contienen al menos un conectador
verbal explícito: no, y, o, si...entonces..., solo si...entonces..., ...si y sólo si..., o
bien...o bien..., que conectan proposiciones verbales.
Las proposiciones formales moleculares, contiene al menos un conectador
formal o simbólico implícito: ¬, ∧,∨,→, ←,↔,⊕, que conectan proposiciones
formales.
Las fórmulas proposicionales o bien son atómicas si son fórmulas de una
proposición verbal simple o bien son moleculares si son fórmulas de una
proposición verbal compuesta.
3.1EL NEGADOR
El negador es un conectador unario que realiza la operación lógica de la
negación y da como resultado a una fórmula proposicional NEGATIVA
Símbolos: ¬, ~, A', -A
La proposición verbal: "no es así que Eduardo sea abogado" se FORMALIZA o
simboliza como: "¬E", donde el símbolo del negador: "¬" se verbaliza en
nuestro ejemplo en idioma castellano como: "no es así que" y la variable
proposicional "E" se traduce como: "Eduardo es abogado".
En otras palabras, la fórmula proposicional: "¬E" se TRADUCE o verbaliza
como: "no es así que Eduardo sea abogado"
Si A es una fórmula, con el negador, inversor, opositor o dualizador, se realiza
la operación de la negación, inversión, oposición o dualización formal,
obteniendo como resultado una fórmula negativa, inversa, opositora o dual: ¬A
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NEGADORES
es absurdo que A; es falso que A; es inconcebible que A; no ocurre (no acaece,
no se da el caso de, no es verdad, no es cierto) que A; es negable que A; es
inadmisible que A; es objetable que A; carece de todo sentido de que A; de
ninguna forma, modo, manera A; es refutable que A; A es insostenible; en
modo alguno se da que A; es incompatible que A; en absoluto se da que A; en
ningún caso se da A; nunca se da que A, etc.
PROPOSICIONES NEGATIVAS:
1. "Manuel Pinto no llegó temprano ayer"
2. "No es el caso de que La UNT es una institución estatal"
3. "No, no pude llegar más temprano con un terno más estilístico"
4. "Nunca aprenderás lo suficiente jamás"
5. "Nunca no enseñarás"
6. "Este edificio no es asísmico"
7. "No todos los hombres no son mortales"
SOLUCIÓN
1. ¬M, donde M= "Manuel Pinto llegó temprano ayer"
2. ¬U, donde U= "La UNT es una institución estatal"
3. ¬T, donde T= "Pude llegar más temprano con un terno estilístico" (no hay 2
negadores lógicos a pesar de que hay 2 adverbios de negación)
4. ¬A donde A= "Tú aprenderás lo suficiente" (nunca jamás = ¬)
5. ¬ ¬E, donde E= "Tú enseñarás"
6. ¬¬S, donde S= "Este edificio es sísmico"
7. ¬¬H, donde H= "Todos los hombres son mortales"
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3.2 EL CONJUNTOR
El conjuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de la
conjunción y da como resultado a una fórmula proposicional
CONJUNTIVA.
Símbolos: ∧ , &, pq, p.q
La proposición verbal: "Eduardo y Karina son profesionales" se FORMALIZA o
simboliza como: "E ∧ K", donde el símbolo del conjuntor: "∧" se verbaliza en
nuestro ejemplo en idioma castellano como: "y" mientras que la variable
proposicional: "E" se traduce como: "Eduardo es profesional" y la variable
proposicional: "K" se traduce como: "Karina es profesional".
En otras palabras, la fórmula proposicional: "E ∧ K" se TRADUCE o verbaliza
como: "Eduardo es profesional y Karina es profesional"
Si A y B son fórmulas, con el conjuntor, compatibilizador o juntor, se realiza la
operación de la conjunción, compatibilización o junción, obteniendo como
resultado una fórmula compatible, conjuntiva o juntora: A ∧ B, A ∧ ¬B, ¬A ∧ B y
¬ A ∧ ¬B
CONJUNTORES
A sino B; no solo A también B; A del mismo modo (forma, manera) B; A pero
(aunque, empero, sin embargo) B; A incluso, tal como, al igual que, también B;
tanto A como (cuanto) B; cierto es que A lo mismo que B; siempre ambos A con
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B; A a pesar de que B; A así como (al mismo tiempo, ambos a la vez) B; es
compatible que A y B; etc.
Son conjunciones negativas: Karina y José no estudian ¬ K ∧ ¬J
Son negaciones conjuntivas: No es cierto que Karina y José estudian ¬ (K
∧ J)
PROPOSICIONES CONJUNTIVAS:
1. "Carola ama a Roy pero Roy a Vivian"
2. "A Isabel, ni le gusta la música ni le gusta la pintura"
3. "Nicolás tiene vocación de lógico aunque desprecia la literatura"
4. "No solo Juan estudia sino que María también lo hace"
5. "No solamente Jacinto no enseña sino que tampoco Carlos lo hace"
SOLUCIÓN
1. C ∧ R, donde C = "Carola ama a Roy" y R = "Roy ama a Vivian"
2.¬M ∧ ¬P, donde M = "A Isabel le gusta la música" y P = "A Isabel le gusta la
pintura"
3. N ∧ L, donde N = "Nicolás tiene vocación de lógico" y L = "Nicolás desprecia
la literatura"
4. J ∧ M, donde J = "Juan estudia" y M = "María estudia"
5. ¬J ∧ ¬C, donde J = "Jacinto enseña" y C = "Carlos enseña"
3.3EL DISYUNTOR
El disyuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de la
disyunción y da como resultado a una fórmula proposicional DISYUNTIVA
Símbolos: ∨, +
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La proposición verbal: "Eduardo es profesor a no ser que sea ingeniero" se
FORMALIZA o simboliza como: "P ∨ I", donde el símbolo del disyuntor: "∨" se
verbaliza en nuestro ejemplo en idioma castellano como: "a no ser que"
mientras que la variable proposicional: "P" se traduce como: "Eduardo es
profesor" y la variable proposicional: "I" se traduce como: "Eduardo es
ingeniero".
En otras palabras, la fórmula proposicional disyuntiva: "E ∨ K" se TRADUCE o
verbaliza como: "Eduardo es profesor o Eduardo es ingeniero"
Si A y B son fórmulas, con el disyuntor, alternador o disyuntor incluyente, se
realiza la operación de la disyunción, alternación o disyunción incluyente,
obteniendo como resultado una fórmula alternativa o disyuntiva incluyente: A ∨
B, A ∨ ¬B, ¬A ∨ B y ¬ A ∨ ¬B
DISYUNTORES
a menos que A, B; A a menos que B; A ya bien B; A o también B; A salvo que
B; A excepto que B; A o incluso B; A a no ser que B; salvo que A, B; A y bien o
también B; A y/o B; al menos uno de los dos A ó B; A o sinó B; A o en todo
caso B; A alternativamente B; etc.
Los conectadores lógicos A MENOS QUE, SALVO QUE, A NO SER QUE,
son disyuntores o bien al inicio de la proposición o bien entre las 2
proposiciones componentes de la proposición disyuntiva
A MENOS QUE A , B
A A MENOS QUE B
Son disyunciones negativas:
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Karina o José no estudian ¬ K ∨ ¬J
Son negaciones disyuntivas:
No es cierto que Karina o José estudian ¬ (K ∨ J)
PROPOSICIONES DISYUNTIVAS:
1. "A menos que Luis venga iremos al cine"
2. "Ingresaremos a la U a no ser que recesen el año"
3. "Estudiaré excepto que clausuren el CEPUNT"
4. "Roy es ingeniero de sistemas salvo que sea industrial"
5. "Jacinto sí enseña Razonamiento Lógico o bien Lógica"
SOLUCIÓN
1. L ∨ C, donde L = "Luis viene" y C = "Nosotros iremos al cine"
2. I ∨ R, donde I = "Nosotros ingresaremos a la U" y R = "Recesan el año"
3. E ∨ C, donde E= "Yo estudio" y C= "El CEPUNT se clausura"
4. S ∨ I, donde R="Roy es ingeniero de sistemas" e I="Roy es ingeniero
industrial"
5. R∨ L, donde R="Jacinto enseña Razonamiento Lógica" y L="Jacinto enseña
Lógica"
3.4EL CONDICIONADOR SUFICIENTE
El condicionador es un conectador binario que realiza la operación lógica
del condicionamiento y da como resultado a una fórmula proposicional
CONDICIONAL.
Símbolos: →, ⊃
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La proposición verbal: "Si Karina es profesora de lenguas extranjeras,
entonces ella enseña el idioma alemán" se FORMALIZA o simboliza como: "P
→ A", donde el símbolo del condicionador: "→" se verbaliza en nuestro ejemplo
en idioma castellano como: "si..., entonces..." mientras que la variable
proposicional: "P" se traduce como: "Karina es profesora de lenguas
extranjeras" y la variable proposicional: "A" se traduce como: "Karina enseña el
idioma alemán".
En otras palabras, la fórmula proposicional: "P → A" se TRADUCE o verbaliza
como: "Si Karina es profesora de lenguas extranjeras, entonces ella enseña el
idioma alemán".
El condicionador indica una afirmación condicionada del consecuente; es decir,
si el antecedente no se cumple, se actúa como si no hubiese la tal condición.
Si A y B son fórmulas, con el condicionador, condicionador suficiente,
implicador o hipotetizador, se realiza la operación de la condicionamiento,
implicación o hipótesis, obteniendo como resultado una fórmula implicativa,
condicional o hipotética: A → B, A → ¬B, ¬A → B y ¬ A → ¬B
CONDICIONADORES
si A entonces B; siempre que A por consiguiente B; con tal de que A es obvio
que B; cuando A así pues B; toda vez que A en consecuencia B; cada vez que
A consiguientemente B; en el caso de que A en este caso B; con la condición
de que A esto trae consigo B; bajo la condición de que A luego se puede decir
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B; dado que A por eso B; como quiera que A por lo cual B; en la medida que A
de allí que B; en cuanto A por tanto B; al (de, una vez que) A luego B; en el
supuesto caso de que A en tal sentido B; suponiendo que A con ello B; puesto
que A naturalmente B; ya que A es evidente B; desde el momento en que A
inmediatamente B; en virtud de que A es evidente que B; de A deviene B; de A,
derivamos (deducimos, concluimos en, llegamos a, inferimos en, imponemos)
B; B es porque A; A sólo si cumple B; B es condición necesaria (única) para A;
B es insuficiente (no es suficiente) para A, B no implica a A; A implica a B; B
está implicado por A; es necesario B pero es suficiente A; el que B depende de
A; A es innecesario y B es insuficiente; etc.
La implicación: A → B, indica que A es el antecedente (condición suficiente) y
B es el consecuente (condición necesaria) La condición suficiente está
indicada por la explicitación verbal del conectador lógico SI, o bien al inicio de
la proposición o bien entre las 2 proposiciones componentes de la proposición
condicional
“Si yo estudio, entonces trabajo” E→T
“Yo estudio, si trabajo” E← T
PROPOSICIONES CONDICIONALES:
1. "Si vienes temprano, compraremos boletos de ida"
2. "Si no es el caso de que estudias, entonces no triunfarás"
3. "No es el caso de que si estudias, entonces triunfas"
4. "No es el caso de que estudies y triunfes porque eres inteligente"
5. "No es bueno que fumes puesto que el cigarro es dañoso"
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SOLUCIÓN
1. V →B, donde V = "Tú vienes temprano" y B = "Compraremos boletos de ida"
2. ¬E → ¬T, donde E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"
3. ¬ (E → T), donde E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"
4. I → ¬(E ∧ T), donde I="Eres inteligente", E = "Tú estudias" y T = "Tú
triunfas".
Esta proposición se formaliza también así: ¬ (E∧T) ← I
5. D → ¬F, donde D = "El cigarro es dañoso" y F = "Tú fumas"
También esta proposición se formaliza así: ¬F ← D
3.5 EL CONDICIONADOR NECESARIO
EL REPLICADOR es decir es un conectador binario que realiza la
operación lógica de la replicación y da como resultado a una fórmula
proposicional REPLICATIVA o recíproca.
Símbolo: ←
La proposición verbal: "Sólo si José estudia portugués, entonces Luis estudia
quechua", se FORMALIZA o simboliza como: "J ← L", donde el símbolo del
replicador: "← " se verbaliza en nuestro ejemplo en idioma castellano como:
"sólo si..., entonces..." mientras que la variable proposicional: "J" se traduce
como: "José estudia portugués" y la variable proposicional: "L" se traduce
como: "Luis estudia quechua".
En otras palabras, la fórmula proposicional: "J ← L" se TRADUCE o verbaliza
como: "Sólo si José estudia portugués, entonces Luis estudia quechua".
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Si A y B son fórmulas, con el replicador, reciprocador o condicionador
necesario se realiza la operación de la replicación o reciprocación, obteniendo
como resultado una fórmula replicativa o recíproca:A ← B, A ← ¬B, ¬A ← B y
¬ A ← ¬B
REPLICADORES
Sólo si A entonces B; únicamente si A, entonces B; A porque B; porque B,
entonces A; el que A depende de que B; A es una condición necesaria para B;
A es insuficiente para B; B es suficiente para A; B es condición suficiente para
A; se cumple B sólo si A; es necesario A para B; es suficiente B para A; sólo
si A siempre que B; si solamente A cada vez que B; A si B; solamente
(únicamente, necesariamente) si A entonces B; etc.
El replicador ←, indica que B es el antecedente y A es el consecuente. La
condición necesaria está indicada por la explicitación verbal del conectador
lógico SOLO SI, o bien al inicio de la proposición o bien entre las 2
proposiciones componentes de la proposición condicional
“ SOLO SI yo estudio, trabajo” E ← T
“Yo estudio, SOLO SI trabajo” E→ T
En ningún caso las explicitaciones verbales como ENTONCES son
condicionadores lógicos
PROPOSICIONES REPLICATIVAS
1. "Sólo si yo ingreso, entonces yo estudiaré",
2. "Renunciaré sólo si me ausento por largo tiempo"
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3. "Violeta fue a Cajamarca únicamente porque Arístides viajó a Chimbote",
4. "El hecho de que yo triunfe depende solamente de que yo estudie mucho",
5. "El que yo viaje a Lima es insuficiente para que yo viaje a Miami"
SOLUCIÓN
1. I ← E, donde I="yo ingreso" y E="yo estudio"; o también E → I
2. A ← R, donde R="Yo renunciaré" y A="Yo me ausento por largo tiempo
3. A ← V, donde V="Violeta va a Cajamarca" y A="Arístides viaja a Chimbote"
4. E ← T, donde T="Yo triunfo" y E="Yo estudio mucho"
5. L ← M, donde L="Yo viajo a Lima" y M="Yo viajo a Miami"
3.6 EL BICONDICIONADOR
El bicondicionador es un conectador binario que realiza la operación
lógica del bicondicionamiento y da como resultado a una fórmula
proposicional bicondicional.
Símbolo: ↔
La proposición verbal: "Si y sólo si José estudia matemáticas, entonces él
estudia razonamiento matemático", se FORMALIZA o simboliza como: "M ↔
R", donde el símbolo del biimplicador: "↔" se verbaliza en nuestro ejemplo en
idioma castellano como: "si y sólo si..., entonces..." mientras que la variable
proposicional: "M" se traduce como: "José estudia matemáticas" y la variable
proposicional: "R" se traduce como: "Luis estudia razonamiento matemático".
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En otras palabras, la fórmula proposicional: "M ↔R" se TRADUCE o verbaliza
como: "Si y sólo si José estudia matemáticas, entonces él estudia
razonamiento matemático".
Si A y B son fórmulas, con el bicondicionador, biimplicador, coimplicador o
equivalorador, se realiza la operación de la biimplicación, coimplicación o
bicondicionamiento, obteniendo como resultado una fórmula bicondicional,
biimplicativa, coimplicativa o equivalente: A ↔ B, A ↔ ¬B, ¬A ↔ B y ¬ A ↔ ¬B
BICONDICIONADORES
A si y sólo si B; A siempre y cuando B; A se define lógicamente como B; A por
lo cual y según lo cual B; A siempre que y sólo cuando B; si y sólo si A,
entonces B; A implica y está implicado por B; A es la definición lógica de B; A
equivale a o es la equivalencia lógica de B; etc.
El biimplicador ↔, indica que A es el antecedente y consecuente
(condición suficiente y necesaria) y B es el consecuente y antecedente
(condición necesaria y suficiente)
El conectador lógico SI Y SOLO SI es un biimplicador o bien al inicio de
la proposición o bien entre las 2 proposiciones componentes de la proposición
bicondicional
Si y solo si yo estudio, trabajo
PROPOSICIONES BICONDICIONALES:
1. "Estudias cuando y siempre cuando triunfas"
2. "Triunfas siempre y solamente porque estudias"
3. "Si y sólo si estudias, entonces triunfas"
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4. "Estudias porque y solo porque triunfas"
5. "Necesariamente estudias y necesariamente triunfas"
SOLUCIÓN Sean E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"
1. E ↔ T; 2. T ↔ E; 3. E ↔ T; 4. E ↔ T; 5. E ↔ T
3.7 EL DISYUNTOR EXCLUYENTE
El bidisyuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de
la bidisyunción y da como resultado a una fórmula proposicional
BIDISYUNTIVA, disyuntiva fuerte, disyuntiva excluyente.
Símbolos: ⊕, >----<
La proposición verbal: "O bien Eduardo estudia matemáticas o bien él estudia
razonamiento matemático", se FORMALIZA o simboliza como: "M ⊕ R", donde
el símbolo del bidisyuntor: "⊕" se verbaliza en nuestro ejemplo en idioma
castellano como: "o bien... o bien..." mientras que la variable proposicional: "M"
se traduce como: "Eduardo estudia matematicas" y la variable proposicional:
"R" se traduce como: "Eduardo estudia razonamiento matemático".
En otras palabras, la fórmula proposicional: "M ⊕ R" se TRADUCE o verbaliza
como:"O bien Eduardo estudia matemáticas o bien él estudia razonamiento
matemático".
Si A y B son fórmulas, con el bidisyuntor, bialternador, disyuntor fuerte,
contravalorador o exclusor, se realiza la operación de la bialternación,
bidisyunción, disyunción fuerte, contravaloración o exclusión, obteniendo como
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resultado una fórmula bidisyuntiva, bialterna, disyuntiva fuerte, contravalente o
excluyente: A ⊕ B
BIDISYUNTORES
A o solamente B, A o necesariamente B, A u obligatoriamente B, o bien A o
bien B, salvo que necesariamente A, B; a no ser que solamente A, B; excepto
que A necesariamente B. El bidisyuntor es la negación del bicondicionador; es
decir: no A si y solo si B, es una estructura bidisyuntiva.
PROPOSICIONES BIDISYUNTIVAS
1. "Tú estudias o bien sólamente trabajas"
2. "Salvo que necesariamente yo estudie, ya no trabajo"
3. "No estudio excepto que solo trabajo"
4. "O bien no estudias o bien no triunfas"
5. "O bien no es cierto que trabajas o bien es cierto que estudias"
SOLUCIÓN
Sean: E = "Tú estudias" y T = "Tú trabajas"
1. E ⊕ T,
2. E ⊕ ¬T
3. ¬E ⊕ T
4. ¬E ⊕ ¬T
5. ¬T ⊕ E
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4. VERDAD FORMAL
Las tablas de verdad, (de veracidad, veritativas o veritacionales) tienen la
siguiente figura:
Variables Proposicionales Fórmula Proposicional
Arreglos (casos) de valores de
verdad
Función de veracidad
Arreglos (casos) de valores de verdad, son todas las posibles combinaciones
entre valores de verdad
Valor de verdad, es el conjunto V = 1.0, donde 1 = valor de verdad
verdadero, y 0 = valor de verdad falso Cualquier variable proposicional es
verdadera con tal que su significado sea igual a "1" y es falsa si su significado
es igual a "0".
Función de verdad, es el resultado de una operación binaria al relacionar
todos los arreglos de variables con un conectador. Por ejemplo, la función de
verdad de ¬A → B, será = 1110
Si esta función de verdad es el resultado final de toda la fórmula (con el
conectador de más alta jerarquía) se llama matriz.
EJEMPLO
A B (B ∧ A) ↔ ( A ∧ B )
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
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0 1 0 1 0
0 0 0 1 0
Las letras A y B más a la izquierda son las variables, las dos primeras
columnas son los cuatro arreglos, la tercera columna es la función de verdad
de (B ∧ A), la última columna es la función de verdad de ( A ∧ B ) y la cuarta
columna en negrita, es la función de verdad principal o matriz de la fórmula (B
∧ A) ↔ ( A ∧ B )
4.1PROPOSICIÓN NEGATIVA
La fórmula proposicional:"¬A" significa lógico formalmente 0, si A significa 1 y
viceversa; es decir: si A significa 0, ¬A significa 1.
Y en una tabla de verdad:
A ¬A
1 0
0 1
Convenimos que A y B, simbolizan lógicamente a cualquier proposición.
Al añadir el negador “no” a una proposición simple obtenemos una nueva
proposición que se lee "no A". Su valor de verdad será exactamente el
contrario del valor de verdad de A. Lo expresaríamos en palabras diciendo que
si "p" es verdadera, entonces "no A" es falsa, y viceversa.
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La negación es una operación lógica que forma una proposición compuesta
invirtiendo una sola proposición con ayuda del negador.
Una proposición negativa es FALSA, siempre y cuando la proposición
negada es VERDADERA y viceversa.
4.2PROPOSICIÓN CONJUNTIVA
La fórmula proposicional conjuntiva o compatible: "A ∧ B" significa 1 siempre
que y solamente si (sii) A significa 1 y B significa 1 siendo 0 en el resto de los
casos (arreglos)
Los 4 casos son:
A=1 y B=1, A=1 y B=0,
A=0 y B=1, A=0 y B=0.
Y en una tabla de verdad:
A B A ∧ B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Relacionando dos proposiciones con el conectador “y” obtenemos una nueva
proposición molecular conjuntiva que se lee A y B. Su valor de verdad estará
en función de que ambas proposiciones sean verdaderas. Luego por ejemplo,
sería una proposición falsa: "La Tierra gira alrededor del Sol y el Sol no tiene
luz propia", por más que la primera proposición sea verdadera.
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La conjunción es una operación lógica que forma una proposición compuesta
uniendo dos proposiciones con ayuda del conjuntor. Una proposición
conjuntiva es VERDADERA, siempre y cuando las DOS proposiciones son
VERDADERAS.
Las proposiciones conjuntivas son auténticas, si todas sus proposiciones
conjuncionadas son verdaderas.
4.3PROPOSICIÓN DISYUNTIVA
La fórmula proposicional disyuntiva o alternativa: "A∨ B" significa 0 sii A
significa 0 y B significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.
Y en una tabla de verdad:
A B A ∨ B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Debe tenerse gran cuidado con el término "o" del lenguaje natural, porque a
más del presente tiene otros sentidos. Aquí usamos "o" en el sentido de
"necesariamente uno u otro o ambos a la vez". Verbigracia, cuando decimos
"para ser secretario hay que saber inglés o hay que saber francés".
La disyunción débil es una operación lógica que forma una proposición
compuesta uniendo dos proposiciones con ayuda del disyuntor incluyente.
Una proposición disyuntiva inclusiva es FALSA, siempre y cuando las DOS
proposiciones son FALSAS
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Las proposiciones disyuntivas inclusivas son verdaderas, si al menos una de
ellas es verdadera; pueden ser todas verdaderas pero no todas falsas.
4.4PROPOSICIÓN CONDICIONAL SUFICIENTE
La fórmula proposicional implicativa: "A → B" significa 0 sii A significa 1 y B
significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.
Y en una tabla de verdad:
A B A → B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
El condicionador suficiente indica una afirmación condicionada del
consecuente; es decir, si el antecedente no se cumple, se actúa como si no
hubiese la tal condición. La condición es suficiente pero no necesaria, pues el
efecto puede conseguirse por otras causas; por ejemplo “Si una persona
falsifica billetes de Banco, será condenado a prisión”, en este caso otras
condiciones pueden ser el homicido, el robo, etc. A la proposición condicional
suficiente que resulta de la operación lógica del condicionamiento A → B, se le
llama implicación extensiva, base lógica de las hipótesis de pronóstico. A
indica la condición suficiente y B indica la condición necesaria.
EJEMPLOS
(a) “Siempre que Jacinto tome jugo, entonces podrá aplacar la sed”
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(b) "Siempre que se aplica al paciente con la enfermedad A, el tratamiento T,
entonces él se sanará".
(c) ”Siempre que se varíe el color del salón, entonces aumenta el nivel de
actividad lúdica de los niños”
(d) “Siempre que los estudiantes universitarios carecen de medios económicos,
entonces abandonan sus estudios”
La inversión de estas proposiciones no es admisible. Por ejemplo (a) queda
invertida así: “Siempre que Jacinto no tome jugo, entonces no podrá aplacar la
sed”; obviamente Jacinto aplaca la sed si igualmente toma cerveza Brahma,
agua Cielo, gaseosa Oro, chicha de jora, etc.
El condicionador suficiente indica una afirmación condicionada del
consecuente; es decir, si el antecedente no se cumple, se actúa como si no
hubiese la tal condición. La condición es suficiente pero no necesaria, pues el
efecto puede conseguirse por otras causas; por ejemplo “Si una persona
falsifica billetes de Banco, será condenado a prisión” , en este caso otras
condiciones pueden ser el homicido, el robo, etc.
A la proposición condicional suficiente que resulta de la operación lógica del
condicionamiento A → B, se le llama implicación extensiva, base lógica de las
hipótesis de pronóstico A indica la condición suficiente y B indica la condición
necesaria.
Los siguientes razonamientos son válidos.
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La condición suficiente es un presupuesto que en todos los casos da lugar a B
(pero no solo entonces) nada se dice de que B solo puede ser provocada
precisamente por A o también por otras condiciones.
Esto significa que B debe ocurrir siempre que ocurra A. Nada se dice sobre si B
puede ocurrir también cuando no ocurre A; es decir, B puede ocurrir también
cuando no ocurre A o cuando ocurre A.
De A se llega solo a B (pero nunca a no B); que ocurra A es suficiente (una
alternativa de dos o más igualmente aceptables) para B.
Sin embargo, también de no A se llega a B. Luego A no es necesario para
llegar a B; B también puede obtenerse a partir de no A.
Siempre que A, entonces B. Nada se dice de que B solo si A. Por lo tanto B
también ocurre con no A. Ahora bien, nada me obliga a B, ya que mi
compromiso A → B se refiere únicamente a B; sin A puede ocurrir B o no B.
El antecedente es una alternativa de otras condiciones. Pensemos A → B
como un compromiso condicionado suficientemente por A. Si no ocurre A,
quedo libre de todo compromiso; es decir, puedo B o no B. El compromiso A
→ B no se cumplirá únicamente en el caso de que ocurra A y no ocurra B. A es
una condición suficiente para B, pero no es necesaria para que B, puede
también ocurrir B sin A por otras condiciones.
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Todas las condiciones necesarias están incluidas en la condición suficiente, A
es una circunstancia con cuya presencia el acontecimiento B debe ocurrir
insoslayablemente.
4.5PROPOSICIÓN CONDICIONAL NECESARIO
La fórmula proposicional replicativa: "A ← B" significa 0 sii B significa 1 y A
significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.
Una proposición condicional necesaria es FALSA, siempre y cuando el
antecedente es FALSO y el consecuente es VERDADERO
Y en una tabla de verdad:
A B A ← B
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
“Las condiciones necesarias pero no suficientes, son requisitos indispensables,
pero que deben ir unidos a otras causas: la consecuencia no es segura, pero
se hace posible (“si llevas el pasaporte, podrás cruzar la frontera”)” (Sanguineti
p. 121)
A la proposición condicional necesaria que resulta de la operación lógica de la
replicación o reciprocación A ← B, se le llama también implicación intensiva,
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base lógica de las hipótesis de explicación. A indica la condición necesaria y B
indica la condición suficiente.
EJEMPLOS:
(a) “Sólo si Jacinto es docente universitario, entonces será llamado catedrático”
(b) "Sólo si el paciente tiene el microbio "leichamania donovani", entonces
presenta el cuadro sintomático observado de la uta".
(c) “Sólo si hay presencia de un cromosoma extra en el par 21, entonces se
produce el síndrome de Down”
(d) “Sólo si una persona ha cumplido 18 años, será condenado por delito”
La inversión de estas proposiciones sí es admisible. Por ejemplo (a) queda
invertida así: “Sólo si Jacinto no es docente universitario, entonces no será
llamado catedrático”
A la proposición condicional necesaria que resulta de la operación lógica de la
replicación o reciprocación A ← B, se le llama también implicación intensiva,
base lógica de las hipótesis de explicación. A indica la condición necesaria y B
indica la condición suficiente.
Los siguientes razonamientos son válidos.
La condición necesaria es un presupuesto sin el cual en ningún caso puede
darse B (pero no es así siempre) nada se dice de que B siempre puede ser
provocada precisamente por A, de A también puede llegarse a no B.
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Esto significa que B debe ocurrir solo si es que ocurre A; es decir puede ocurrir
A y no siempre ocurre B.
Solo de A se llega siempre a B (pero nunca de no A); que ocurra A es
necesario (una sola alternativa) para B.
Sin embargo, también a no B se llega de A. Luego A, no es suficiente para
llegar a B; no B también puede obtenerse a partir de A.
Solo si A, entonces B. Nada se dice de que B siempre que A. Por lo tanto no
B también ocurre con A. Ahora bien, puede ocurrir perfectamente A, y, sin
embargo, no ocurre B, ya que mi compromiso A ← B no me obliga a que B. Se
refiere únicamente a que en ningún caso solo ocurrirá B cuando ocurra A, con
A puede ocurrir B o no B.
El antecedente es una sola alternativa. Pensemos A ← B como un
compromiso condicionado necesariamente por A. Si ocurre A, quedo libre de
todo compromiso; es decir, puedo B o no B.
El compromiso A ← B no se cumplirá únicamente en el caso de que ocurra B y
no ocurra A. A es una condición necesaria para B, pero no es suficiente para
que B,; es decir no tiene porqué ocurrir necesariamente B cuando A. Puede
haber varias condiciones necesarias para producir B, la cual es una
circunstancia en cuya ausencia es absurdo que deba ocurrir un acontecimiento.
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4.6PROPOSICIÓN BICONDICIONAL
La fórmula proposicional biimplicativa "A ↔ B" significa 1 sii A y B tienen
significados iguales.
Una proposición bicondicional es VERDADERA, siempre y cuando las dos
proposiciones son ambas FALSAS o ambas VERDADERAS
Y en una tabla de verdad:
A B A ↔ B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Se trata, pues, no de una mera condición suficiente tal como la condicional, ni
de una mera condición necesaria tal como la réplica sino de una condición
suficiente y necesaria.
EJEMPLOS
(a) “Si y solo si se aprueba el examen de Admisión UNT, se ingresa a los
estudios universitarios UNT”
(b) “Si y solo si se ejerce la autoridad conforme a la ley, entonces el que
depende de ella está obligado a acatarla”
La inversión de estas proposiciones sí es admisible. Por ejemplo (b) queda
invertida así: “Si y solo si no se ejerce la autoridad conforme a la ley, entonces
el que depende de ella no está obligado a acatarla”
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El sentido filosófico del razonamiento lógico consiste en que estamos en la
obligación forzosa, como científicos, de usar proposiciones verdaderas. Por
ejemplo: “6=4+2 o 3+4=8” es verdadera aunque la proposición categórica
“3+4=8” sea falsa.
No es que estemos prohibidos usar por ejemplo ni la proposición disyuntiva
inclusiva falsa “9=4+2 o 3+4=8” ni la proposición conjuntiva falsa: “Los
animales y los seres humanos tienen pensamiento”; lo que quiero decir es que
no conviene a ninguna persona y menos a científico alguno, razonar a partir de
premisas (proposiciones) falsas.
4.7PROPOSICIÓN DISYUNTIVA EXCLUYENTE
La fórmula proposicional bialternativa o bidisyuntiva: " A ⊕ B " significa 1 sii A y
B tienen significados distintos.
Y en una tabla de verdad:
A B A ⊕ B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
En castellano "o' se usa también con sentido exclusivo, cuando puede
sustituirse por una expresión como "lo uno o lo otro, pero no las dos cosas a la
vez". Por ejemplo, "José Luis es huaracino o trujillano". En otras ocasiones, se
usa también este término para expresar una alternativa necesaria en el sentido
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de "necesariamente lo uno o lo otro, pero no los dos a la vez". Por ejemplo,
cuando decimos "Roy Eduardo es rubio o no lo es".
La disyunción fuerte es una operación lógica que forma una proposición
compuesta uniendo dos proposiciones con ayuda del disyuntor excluyente.
Una proposición disyuntiva exclusiva es VERDADERA, siempre y cuando
una proposición es FALSA y la otra VERDADERA y viceversa. Las
proposiciones disyuntivas exclusivas son auténticas, si a lo más una de ellas es
verdadera; no pueden ser todas verdaderas ni todas falsas.
La fórmula proposicional incompatible: "A / B" significa 0 siempre que y
solamente si (sii) A significa 1 y B significa 1 siendo 1 en el resto de los casos.
Esta fórmula es la negación de la tabla de veracidad del conjuntor.
La fórmula proposicional inalternativa: "A ↓ B" significa 1 sii A significa 0 y B
significa 0 siendo 0 en el resto de los casos. Esta fórmula es la negación de la
tabla de veracidad del disyuntor.
La verdad formal es una propiedad de las proposiciones moleculares. En
resúmen, la semántica lógica de los conectadores y su sentido convencional
es como sigue:
A es verdadera sii A=1
A ∧ B es verdadera sii tanto A=1 como B=1
A ∨ B es verdadera sii cuando menos A=1 ó B=1
A → B es verdadera sii no es el caso de que A=1 y B=0
A ← B es verdadera sii no es el caso de que B=1 y A=0
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A ↔ B es verdadera sii A y B tienen valores iguales
A ⊕ B es verdadera sii A y B tienen valores desiguales
A ↓ B es verdadera sii tanto A=0 como B=0
A / B es verdadera sii cuando menos A=0 ó B=0
La falsedad formal es una propiedad de las fórmulas proposicionales o
proposiciones formales cuyo sentido convencional es el siguiente:
A es falsa sii A=0
A ∧ B es falsa sii al menos A=0 ó B=0
A ∨ B es falsa sii A=0 y B=0
A → B es falsa sii A=1 y B=0
A ← B es falsa sii A=0 y B=1
A ↔ B es falsa sii A y B tienen valores desiguales
A ⊕ B es falsa sii tanto A como B tienen valores iguales
A ↓ B es falsa sii al menos A=1 ó B=1
A / B es falsa sii tanto A=1 como B=1
Una fórmula proposicional atómica no es que sea verdadera formalmente sino
que tiene asignada un valor de veracidad: verdadero, o tiene asignada un valor
de veracidad: falso. Una fórmula proposicional molecular es verdadera
formalmente, cuando y siempre cuando la función de verdad de su estructura,
determinada por el conectador de más alta jerarquía, es una tautología; siendo
falsa formalmente de otro modo, es decir, es contradictoria.
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En la lógica de conectadores proposicionales una proposición formal debe
indicar de modo explícito la función de verdad de las variables que entran en
ellas. Por ejemplo la proposición formal "A→ B" es falsa, siendo A = 1 (función
de verdad verdadero) y B = 0 (función de verdad falso). En la semántica de la
lógica conectativa bivalente, tanto la verdad como la falsedad formal de los
distintos conectadores se definen como una función de verdad.
Para establecer la verdad o falsedad de las fórmulas proposicionales
moleculares, que están determinadas por los conectadores lógicos, éstos se
definen de modo convencional (todos los lógico - matemáticos del mundo se
han puesto de acuerdo) como función de verdad de cada variable atómica o
molecular; por ejemplo la fórmula disyuntiva, tiene la función de verdad
siguiente: 1110
(a) Cuando la función de verdad se compone tan solo de 1s., solo de verdades,
es una tautología (proposiciones universalmente verdaderas o idéntico
verídicas)
(b) Cuando la función de verdad se compone tan solo de 0s., solo de
falsedades, es una contradicción (proposiciones universalmente falsas o
idéntico falsas)
(c) Cuando la función de verdad se compone de al menos una verdad es una
consistencia (proposiciones no contradictorias) o de al menos una falsedad
es una contingencia
Todas las funciones de verdad con 2 variables son: *
1111 tautología
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1110 disyunción
1101 replicación
1100 1ra. variable A
1011 implicación
1010 2da. variable B
1001 biimplicación
1000 conjunción
0111 función NAND:¬(A∧B)≡A / B
0110 bidisyunción
0101 negación de variable B
0100 negación de implicación
0011 negación de variable A
0010 negación de replicación
0001 función NOR:¬(A ∨ B) ≡ A↓B
0000 contradicción
* Esta tabla aparece en Schönig, p. 27.
EJEMPLO:
Arreglos A B ( B ∧ A ) → ( A → B )1° 1 1 1 1 12° 1 0 0 1 03° 0 1 0 1 14° 0 0 0 1 1
Verticalmente, la función de verdad de B ∧ A es 1000, la función de verdad de
(A → B) es 1011, y la función de verdad principal o matriz de la fórmula
proposicional: (B ∧ A) → (A → B) es 1111.
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5. EQUIVALENCIAS
Las equivalencias lógicas, son las fórmulas bicondicionales tautológicas; es
decir, sólamente algunas bicondicionales son equivalencias. También se les
llama leyes de definición, leyes de producción, leyes de reducción.
5.1 UN SISTEMA BÁSICO K
Siempre que in latu sensu: Fi ≡ Gn, entonces in strictu sensu Fk ≡ G5
donde F = una fórmula proposicional cualquiera y G = otra fórmula
proposicional cualquiera.
La lectura de "Fi ≡ Gn " es: una fórmula i = n variables y m conectadores
equivale a n = número exacto de otras fórmulas.
y la lectura de "Fk ≡ G5 " es:
Una fórmula F del sistema K = {{A,B},{¬, ∧,∨,→ }} equivale a 5 otras fórmulas.
(a) TODAS LAS FÓRMULAS de K
El subsistema K1, con ¬ y conjuntor ∧, tiene 8 fórmulas diferentes:
A ∧ B, ¬(A ∧ B),
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¬A ∧ B, ¬(¬A ∧ B),
A ∧ ¬B, ¬(A ∧ ¬B),
¬A ∧ ¬B, ¬(¬A∧¬B).
El subsistema K2, con ¬ y disyuntor ∨, tiene 8 fórmulas diferentes:
A ∧ B, ¬(A ∨ B),
¬A ∧ B, ¬(¬A ∨ B),
A ∧ ¬B, ¬(A ∨ ¬B),
¬A ∧ ¬B, ¬(¬A ∨ ¬B).
El subsistema K3, con ¬ y condicionador →, tiene 8 fórmulas diferentes:
A → B, ¬(A → B),
¬A → B, ¬(¬A → B),
A → ¬B, ¬(A → ¬B),
¬A → ¬B, ¬(¬A → ¬B).
Como estas 24 fórmulas tienen tan solo 8 tablas de verdad distintas, entonces
podemos formar 8 grupos de 3 fórmulas equivalentes.
LEYES - la lectura de =df. es: "...se define lógico formalmente como..."
(Ng.¬) NEGACIÓN DE NEGADOR: ¬(¬A) =df. A
Una proposición simple, por ejemplo, "Carlos ama a Karina" por Ng.¬ equivale
a: "No es cierto que sea absurdo que Carlos ame a Karina".
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(Ng.∧) NEGACIÓN DE CONJUNTOR:
¬(A ∧ B) =df. ¬A ∨ ¬B
La negación de una proposición conjuntiva, por ejemplo, "No es cierto que
Eduardo ama a Mariela y asimismo a Gina", por Ng.∧ equivale a: "Eduardo no
ama a Mariela o bien no ama a Gina"
(Ng.∨) NEGACIÓN DE DISYUNTOR:
¬(A ∨ B) =df. ¬A ∧ ¬B
La negación de una proposición disyuntiva, por ejemplo, "No es cierto que
Eduardo ama a Ana o a Karla", por Ng.∨ equivale a: "Ni Eduardo ama a Ana ni
Eduardo ama a Karla"
(Df.→) DEFINICIÓN DE IMPLICADOR:
A → B =df. ¬A ∨ B
Una proposición implicativa, por ejemplo, "Siempre que haya Sol hoy,
entonces nosotros iremos a la playa" por Df.→ equivale a: "Hoy no habrá Sol o
nosotros iremos a la playa"
(Ng.→) NEGACIÓN DE IMPLICADOR:
¬(A → B) =df. A ∧¬ B
La negación de una proposición implicativa, por ejemplo "No es cierto que si
Juana estudia triunfará en la vida" por Ng.→ equivale a: "Juana estudia y no
triunfa en la vida"
(Cp.) CONTRAPOSICIÓN:
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A → B =df. ¬B → ¬A
Una proposición implicativa, por ejemplo, "Siempre que haya Sol hoy,
entonces nosotros vamos a la playa" por Cp. equivale a: "Siempre que hoy no
vayamos a la playa, entonces hoy no habrá sol"
(Conm.) CONMUTACIÓN:
A ∧ B =df. B ∧ A también A ∧ B =df. B ∧ A
Usando estas leyes, podemos producir lógico formalmente cinco (5)
fórmulas proposicionales equivalentes lógicamente a cualquiera de las 24
fórmulas de este sistema.
Como en K hay 3 conectadores binarios y el negador, entonces a cada una de
las 24 fómulas del sistema K le encontramos las otras 2 fórmulas con los otros
conectadores binarios, así:
A → B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)
A continuación basta aplicar conmutación a las fórmulas con conjuntor y
disyuntor; y aplicar contraposición a las que tienen implicador, ya sea de modo
directo o al interior de los paréntesis.
Las 5 fórmulas equivalentes a: ¬A∧¬B son:
(1) ¬(A ∨ B) Ng. ∨
(2) ¬(¬A → B) Df. al interior del paréntesis de 1 ó Ng. →
(3) ¬B ∧ ¬A Conm.
(4) ¬(B ∨ A) Ng. ∨ ó conm. al int. de 1
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(5) ¬(¬B → A) Ng. → de 3;Df. → al int. de 4 ó Cp. al int. de 2
Donde a la derecha de cada una de las fórmulas equivalentes, se encuentra la
abreviatura de la ley que se ha aplicado y el número de la fórmula a la que se
ha aplicado dicha ley. Si no aparece un número, se entiende que se ha
aplicado la ley a la fórmula original base objeto de análisis lógico formal.
5.2 LAS 4 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Las 4 proposiciones categóricas de Aristóteles son las siguientes:
Universal afirmativa A: Todo S es P
Universal negativa E: Ningún S es P
Particular afirmativa I: Algún S es P
Particular negativa O: Algún S no es P
Las fórmulas de las proposiciones categóricas, con los símbolos del Cuadrado
de Oposición, de la lógica cuantificativa, de las formas típicas, de la lógica
conectativa, y de la lógica clasial, respectivamente, son:
A ∀x(Sx → Px), SaP, S → P, S⊂ P
E ∀x(Sx ¬Px), SeP, S→¬P, S⊄ P
I ∃x(Sx ∧ Px) SiP, S ∧ P, S ∩ P
O ∃x(Sx ∧ ¬Px) SoP, S ∧ ¬P, S ∩ - P
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Donde S, es el símbolo del término sujeto y P, es el símbolo del término
predicado.
Si usamos sólo lógica conectativa, es decir sin cuantificadores, el secreto de
la lectura es como sigue:
• Fórmulas con los conectores: →, ∨, se lee como una cuantificada
universalmente; algunas explicitaciones verbales son: `todo, cada uno,
cualquier, los, etc.
• Fórmulas con el conector: ∧, se lee como una cuantificada
existencialmente; algunas explicitaciones verbales son: `algunos',
`existe (hay) al menos un x', `pocos', `muchos', `la mayoría`, `la
minoría', `varios', `ciertos', `bastantes', “determinados”, "casi todos", etc.
En lo siguiente hacemos abstracción del valor de veracidad (concepto
semántico) de cada proposición categórica, destacando tan sólo su estructura
formal (concepto sintáctico)
Siendo P = "político" y H = "honesto", ejemplos verbales de las 4 proposiciones
categóricas y sus fórmulas son:
"Todo político es honesto" = P → H
"Ningún político es honesto (el político no es honesto"=P→¬H
"Algún (hay o existe) político es honesto" = P ∧ H
"Algún político no es honesto" = P ∧ ¬H
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Las equivalencias de las 4 proposiciones categóricas son como sigue
La proposición categórica universal afirmativa: "Todo abogado es bueno" se
formaliza como: A → B, donde A = "abogado" y B = "bueno" y sus equivalentes
lógicos son:
(1) ¬ A ∨ B Df. → "Todo profesional no es abogado o es bueno"
(2) B ∨ ¬ A Conm. de (1) "Todo profesional es bueno o no es abogado"
(3) ¬ B → ¬ A Cp. "Ningún profesional que no es bueno es abogado"
(4) ¬ (A ∧ ¬ B) Ng. ∧ de (1) "No es verdad que algún abogado no sea
bueno"
(5) ¬ ( ¬ B ∧ A) Ng. ∧ de (2) "Es falso que algún profesional que no es bueno
sea abogado"
Donde la palabra profesional es el universo del discurso y se considera para
una buena redacción verbal pero no se formaliza. Un universo del discurso es
una clase cuyas subclases entran en una determinada consideración. En
nuestro caso las clases "abogado" y "bueno" están incluídas en la clase
"profesionales".
La proposición categórica universal negativa:
"Ningún político es honesto" o "Todo político es deshonesto" se formaliza
como: P → ¬Q, donde P = "político" y H = "honesto" y sus equivalentes lógicos
son:
(1) ¬P ∨ ¬H Df. → "toda persona no es política o no es honesta"
(2) ¬H ∨ ¬P Conm. (1) "toda persona no es honesta o no es política"
(3) ¬(P ∧ H) Ng. ∧ (1) "No es cierto que haya políticos honestos"
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(4) ¬(H ∧ P) Ng. ∧ (2) "Es absurdo que algunas personas sean honestas y a
la vez sean políticas"
(5) H → ¬P Cp. "ninguna persona honesta es política" o también "toda
persona honesta no es política"
OTRO EJEMPLO: “Ningún perro es gato” = P → ¬G, equivale a:
“Todo animal no es perro o bien no es gato”= ¬ P∨¬G df.→
“Es falso que haya al menos un animal que sea a la vez perro y sea gato” =
¬(P ∧ G) Ng.∧
Luego se aplica Cp. A la fórmula base, y conm, directa a 1 y al interior de los
paréntesis a 2
La proposición categórica particular afirmativa:
"Algún P es Q" se formaliza como: P ∧ Q y sus equivalentes lógicos son:
(1) Q ∧ P Conm. "Algún Q es P"
(2) ¬(¬P ∨ ¬Q) Ng. ∨
"Es falso que todo x no es P o no es Q"
(3) ¬(¬Q ∨ ¬P) Ng. ∨ (1)
"Es falso que todo x no es Q o no es P"
(4) ¬(P →¬Q) Df. al int. (2)
"Es falso que ningún P es Q"
(5) ¬(Q → ¬P) Cp. al int. (4)
"Es falso que ningún Q es P"
Donde las x son los elementos del universo del discurso.
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La proposición categórica particular negativa:
"Algún P no es Q" se formaliza como: P ∧ ¬Q y sus equivalentes lógicos son:
(1) ¬Q ∧ P Conm. "Algún x que no es Q es P"
(2) ¬(¬P ∨ Q) Ng. ∨ "Es falso que todo x no es P o es Q"
(3) ¬(Q ∨ ¬P) Conm. al int. (2) "Es falso que todo x es Q o no es P"
(4) ¬(P → Q) Df. → (2) "Es falso que todo P es Q"
(5) ¬(¬Q → ¬P) Cp. al int. (4) "Es falso que ningún x que no es Q es P"
5.3TODAS LAS LEYES DE EQUIVALENCIA
Tautología (T) P∧P =df. Py P ∨ P =df. P
Negación (Ng.) ¬P =df. P / P ó P↓ P
Negación de Negador (Ng.¬)
¬ ( ¬P) = df. P,
¬ ( ¬P↔S) = df. P↔S,
¬ ( ¬P⊕S) = df. P ⊕ S
Negación de Conjuntor (Ng.∧) ¬(P ∧ S) =df. ¬ P ∨ ¬ S
Negación de Disyuntor (Ng.∨) ¬(P ∨ S) =df.¬ P ∧ ¬ S
Negación de Inalternador (Ng.↓) ¬(P ↓ S) =df. ¬P / ¬S
Neg. de Incompatibilizador (Ng./) ¬(P / S) =df.¬P ↓ ¬S
Negación de Implicador (Ng.→) ¬(P → S) =df. P ∧ ¬ S
Negación de Biimplicador (Ng.↔)
¬ (P ↔ S) =df. P ⊕ S,
¬(P →S) ∨ ¬(S → P),
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(P ∧ ¬S) ∨ (S ∧ ¬P) ,
(P ∨ S) ∧ (¬P ∨ ¬S),
(¬P ↔ S) ∧ (P ↔ ¬S),
¬P ↔ S, P ↔ ¬S.
Definición de Conjuntor (Df.∧) P ∧ S =df. ¬ (P/S)
Definición de Disyuntor (Df.∨) P ∨ S =df. ¬ (P ↓ S)
Definición de Inalternador (Df.↓) P ↓ S =df. ¬ (P ∨ S)
Definición de Incompatibilizador (Df./) P / S =df. ¬ (P ∧ S)
Definición de Implicador (Df.→) P → S =df. ¬ P ∨ S
Definición de Biimplicador (Df.↔)
P ↔ S =df.
(P → S) ∧ (S → P),
(¬P ∨ S) ∧ (¬S ∨ P),
(P ∧ S) ∨ (¬P ∧ ¬S),
¬(P ⊕ S),
¬P ⊕ S,
P ⊕ ¬S
Contraposición (Cp) P → S =df. ¬S → ¬P,
Transposición (Tp)
P ⊕ S =df. ¬P ⊕ ¬S, ¬S ⊕ ¬P y
P ↔ S =df. ¬P ↔ ¬S, ¬S ↔ ¬P
Conmutación (Conm) P ∧ ∨ ↔ ⊕ / ↓ S =df. S ∧ ∨ ↔ ⊕ / ↓ P
Absorción (Abs)
P ∧ (P ∨ S) =df. P P ∨ (P ∧ S) =df. P,
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Complemento (Compl)
P ∨ ¬P =df. 1, P∧ 1 =df. P,
P ∧ 0 =df. 0, 0 → P =df. 1,
P → 1 =df. 1, P ∧ ¬P =df. 0,
P ∨ 1 =df. 1, P ∨ 0 =df. P
Mutación (Mut) P → (S → T) =df. S → (P → T)
Exportación (Exp) P ∧ S → T =df. P → (S → T)
Asociación (Asoc)
P ∧ (S ∧ T) =df. (P ∧ S) ∧ T,
P ∨ (S ∨ T) =df. (P ∨ S) ∨ T
Distribución (dist.)
P ∧ (S ∨ T) =df. (P ∧ S)∨ (P∧ T),
P → S ∨ T =df. (P → S) ∨ (P→ T),
P → S ∧ T =df. (P → S) ∧ (P → T),
P ∨ (S ∧ T) =df. (P ∨ S) ∧ (P ∨ T)
5.4 REDUCCIÓN DE FÓRMULAS
Aplicando cualquiera de las leyes de equivalencia lógica, se trata de reducir
una fórmula muy extensa.
EJEMPLO 1 ¬(C ∧ L) → ¬(R ∧ L)
Traduciendo:
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"Cada vez que sea falso que haya crisis universitaria y libertad de cátedra, sólo
entonces es absurdo que haya reforma universitaria y libertad de cátedra"
(b) (C ∧ L) ∨ ¬(R∧L) Df. →
(c) (C ∧ L) ∨ (¬R ∨ ¬L) Ng. ∧
(d) (C ∨ ¬R ∨ ¬L) ∧ (L ∨ ¬R ∨ ¬L) Dist.
(e)(¬R∨C∨¬L) ∧(L∨¬L∨¬R) Asoc.
(f) (¬R ∨ C ∨ ¬L) ∧ (1 ∨ ¬R) Tercio Excluido: A ∨ ¬A ≡ 1
(g) (¬R ∨ C ∨ ¬L) ∧ 1 1 ∨ A ≡ 1
(h) ¬R ∨ C ∨ ¬L A ∧ 1 ≡A
(i) (¬R ∨ ¬L) ∨ C Asoc.
(j) ¬(¬R ∨ ¬L) → C Df. →
(k) R ∧ L → C Ng. ∨
Verbalizando la proposición formal reducida (k): "Siempre que haya reforma
universitaria y libertad de cátedra, hay crisis universitaria"
EJEMPLO 2 [(p ↔p) ∧ (r ∨ ¬r)] → [(t ∧ s) ∨ s]
Traduciendo: “Siempre que yo publico si y solo publico y a la vez río o no río,
entonces trabajo y sonrío o bien sonrío”
[(p ↔p) ∧ (r ∨ ¬r)] → s absorción
[(p ↔ p) ∧ 1] → s A∨¬A≡ 1
¬[(p ↔ p) ∧ 1] ∨ s Df. →
[(p ⊕ p) ∨ 0] ∨ s Ng. ∧
(p ⊕ p) ∨ s A ∨ 0 ≡ A
[(p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬p)] ∨ s Df. ⊕
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(p ∧ ¬ p) ∨ s A ∨ A ≡ A
0 ∨ s A∧¬A ≡ A
s 0 ∨ A ≡ A
Luego:
[(p ↔p) ∧ (r∨¬r)] → [(t ∧ s) ∨ s] ≡ s
Verbalizando la proposición formal reducida: “Yo sonrío”
En las siguientes fórmulas: de izquierda a derecha, son cada vez más
complejas para la computadora; mientras que de derecha a izquierda, lo son
cada vez más complejas para el lector humano.
A / B ≡ ¬A ∨ ¬B ≡ ¬(A ∧ B) ≡ A → ¬B
Por ejemplo:
(A ↔ B) ⊕ A ≡ ¬B ≡ B ⁄ B ≡ B ↓ B
COMPLEJA BREVE MONOTONAS
SENCILLAS
Fórmulas sencillas para el humano (brevedad) son complejas para la
computadora y viceversa; es decir, fórmulas complejas para el humano, son
sencillas para la computadora (monotonicidad). La fórmula en lenguaje
monótono para las tautologías es: A / (A/A), y en lenguaje muy monótono es:
(A↓(A↓A)) ↓ (A(A↓A)). La fórmula en lenguaje monótono para las
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contradicciones es A↓(A↓A), y en lenguaje muy monótono es: (A/(A/A)) /
(A(A/A))
5.5 CIRCUITOS LÓGICOS
Son dispositivos electrónicos utilizados por la informática con fines de toma de
decisiones, es decir, para ejecutar tareas ordenadas por un computador.
Una aplicación de todo lo que hasta aquí hemos aprendido se da a través del
diseño de circuitos eléctricos. Ya que la función de verdad de las fórmulas
proposicionales es verdadero o falso, vamos asociando la función de verdad
verdadera a un conmutador cerrado, encendido o que circula corriente; y la
función de verdad falsa a un conmutador abierto, apagado o que no circula
corriente.
En general a los circuitos los podemos clasificar en:
(a) CIRCUITOS A CONMUTADORES
Un conmutador es un dispositivo que permite o no el paso de corriente.
Pueden estar en:
SERIE: Representan a fórmulas conjuntivas.
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Ejemplo:
Representar la proposición: ¬A ∧ B mediante un circuito a
conmutadores
Solución: ¬A B
Existe relación de los circuitos lógicos con las leyes lógicas de veracidad. La
función de verdad del conjuntor es análogo al diseño de un circuito eléctrico
en serie que enciende (es verdadero) un foco si y sólo si en ambos
interruptores pasa luz o corriente eléctrica; y la función de verdad del disyuntor
incluyente es análogo al diseño de un circuito eléctrico en paralelo que
enciende un foco si y sólo si en al menos un interruptor pasa luz o corriente
eléctrica.
Circuito en Serie
A∧B = 1 si y solo si A=1 y B=1, de otro modo = 0
1 = foco encendido 0 = foco apagado
Todos los conmutadores cerrados ( pasa corriente )
A B
Al menos un conmutador abierto (no pasa corriente)
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Circuito en Paralelo
A ∨ B = 0, si y solo si A = 0 y B = 0, de otro modo = 1
Al menos un conmutador cerrado (pasa corriente)
Todos los conmutadores abiertos (no pasa corriente)
(b) CIRCUITOS A COMPUERTAS
Fórmula Lógica
Sistema
ASA
Sistema ISO
Función u Operador
¬A NOT
A ∧ BAND
A ∨ B
70
≥1
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OR
A ∨ BXOR
A ↔ B
NXOR
A / BNOTAND
A ↓ BNOTOR
¬(A∧B)NOTAND
¬(A∨B)NOTOR
Las compuertas lógicas son dispositivos que procesan la entrada de datos (que
están dados por las variables del esquema) y permiten una sola salida.
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=1
=
≥1
&
≥1
V&
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Ejemplo:
Dado el siguiente esquema molecular:
¬(¬A ∨ B) ∨ (A↔B)
representarlo mediante un circuito a compuertas en el sistema ASA.
Solución:
El siguiente Circuito diseñado a compuertas ASA, se puede simplificar usando
la técnica de reductibilidad de fórmulas complejas.
La fórmula que corresponde a este circuito es:
¬(¬A ∨ B) ∧ ¬ ¬(A ∨ B)
Aplicando:
Ng.∧ y DN (A ∧¬B) ∧ (A ∨ B)
Distribución: (A ∧¬B ∧A) ∨ (A ∧¬B ∧B)
Tautología y complemento: (A ∧¬B) ∨ (A ∧ 0)
Complemento: (A ∧ ¬B) ∨ 0 ≡ A ∧ ¬B
Luego, su diseño asi simplificado es:
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AB
A ∧ ¬B
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6. INFERENCIAS
Las inferencias lógicas, son las fórmulas condicionales tautológicas; es decir,
sólamente algunas condicionales son inferencias. También se les llama reglas
de implicancia, reglas de derivación, reglas de deducción, reglas de inferencia.
En general Pn ⇒ C donde: P = premisa, C = conclusión y ⇒ =se deduce
(infiere, concluye, colige o deriva). La lectura es: “Una conclusión
necesariamente verdadera se deduce de un número n (1 ó +) de premisas
suficientemente verdaderas” o bien también: “Es suficiente que al menos una
premisa sea verdadera para que necesariamente la conclusión sea verdadera”.
AXIOMA : Pn ⇒ C donde:
P = premisas siempre verdaderas
C = conclusión sólo verdadera
⇒ es el signo de la implicancia
Dado que Pn → C es una tautología, luego: Pn ⇒ C. Es decir es una
Implicancia Logica o Inferencia Deductiva
Una regla de implicancia, como fórmula proposicional implicativa se tiene:
[(P1 ∧ P2) ∧ P3] ∧ ... ∧ Pn → C
Como forma de argumentación o fórmula argumentativa, tenemos
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P1P2..___C
Esta relación de tránsito, paso o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es la inferencia
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6.1 CON UNA PREMISA
(S) SIMPLIFICACIÓN
Como implicancia: A ∧ B ⇒ A, B
Y como fórmula argumentativa
A ∧ B
A
B
Dada la siguiente premisa: P1 “La célula vegetal posee pared celular y la célula
animal posee mitocondrias”, se infiere lógicamente en la siguiente proposición:
(1) “La célula animal posee mitocondrias”
(2) “La célula vegetal posee pared celular”
(C) CONJUNCIÓN
Como implicancia: A, B ⇒ A ∧ B
Y como fórmula argumentativa
A
B
A ∧ B
(NF) NUEVO FACTOR O ADICIÓN
Como implicancia: A ⇒ A ∨ B
Y como fórmula argumentativa
A_
A ∨ B
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Dada la siguiente premisa: P1 “Las palabras agudas llevan tilde en la última
sílaba” se infiere lógicamente en la siguiente proposición:
(1) “Las palabras graves no llevan tilde o las agudas llevan tilde en la última
sílaba”
(2) “Las palabras agudas llevan tilde en la última sílaba a no ser que en la
penúltima"
6.2CON DOS PREMISAS
AFIRMANDO AFIRMO (AA) O PONENDO PONENS
Como implicancia: A → B , A ⇒ B
Y como fórmula argumentativa
A → B
A
B
Asimismo, como implicancias: A ↔ B, A ⇒ B y A ↔ B, B ⇒ A
NEGANDO AFIRMO (NA) O TOLLENDO PONENS
Como implicancia: A ∨ B, ¬A ⇒ B
Y como fórmula argumentativa
A ∨ B
¬ A
B
Asimismo, como implicancias: A ∨ B, ¬B ⇒ A, A ⊕ B, ¬A ⇒ B y
A ⊕ B, ¬B ⇒ A
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AFIRMANDO NIEGO (AN) O PONENDO TOLLENS
Como implicancia: A ⊕ B, A ⇒ ¬B
Y como fórmula argumentativa
A ⊕ B
A
¬B
Asimismo como implicancia: A / B, A ⇒ ¬B
NEGANDO NIEGO (NN) O TOLLENDO TOLLENS
Como implicancia: A → B, ¬B ⇒ ¬A
Y como fórmula argumentativa
A → B
¬ B
¬A
Asimismo, como implicancias: A ↔ B, ¬B ⇒ ¬A y A ↔ B, ¬A ⇒ ¬B
SILOGISMO HIPOTÉTICO (sh) o regla de transitividad
Y como implicancia: A → B, C → A ⇒ C → B
*Dadas las siguientes premisas: P1 “Si toda ecuación es una igualdad, luego
2+5=8, es una ecuación” y P2 “Si 2+5=8 es una ecuación, entonces tiene 2
miembros”, se infiere lógicamente en la siguiente proposición:
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A → B o también B → CB → C A → B_____ ______A → C A → C
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(1) “Siempre que toda ecuación es una igualdad, luego tiene 2 miembros”
(2) “Basta que toda ecuación sea una igualdad, sólo así luego tiene 2
miembros”
6.3CON TRES PREMISAS
Un método J de resolución dilemática desde 3 premisas es como sigue. Un
dilema es un razonamiento lógico a partir de 3 premisas cuya estructura lógico
matemática es la siguiente: Las 2 primeras premisas pueden usar los
conectores: bicondicionador ↔, bidisyuntor ⊕, condicionador → o disyuntor ∨;
pero la tercera premisa, así como la conclusión, usan el disyuntor ∨. Es con
las variables de la tercera premisa que se aplica una de las reglas de inferencia
apropiadas al caso tan solo al observar la variable que se repite.
Veamos este hecho tan interesante en un ejemplo.
Premisa 1: A ⊕ P,
Premisa 2: V ↔ S,
Premisa 3: A ∨ ¬ V
Aplicando la regla de inferencia del AN a A ⊕ P (premisa 1) y A (parte de
premisa 3) deducimos ¬P; y aplicando NN a V ↔ S y ¬V derivamos ¬S; luego
la conclusión es: ¬P ∨ ¬S
6.4 CON 3 FIGURAS
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De otro modo, podemos formular las reglas de inferencia usando las 3 figuras
de todo razonamiento, que se distinguen por la colocación del término medio
en las premisas.
Vamos a realizar una convención o a ponernos de acuerdo en un convenio: De
ahora en adelante, en todas las figuras usaremos las variables A, B y C. Queda
claro que la variable B que se repite en las premisas es el término medio, la
variable A que aparece como antecedente (si se trata de una implicación) o en
primer lugar (si se trata de una conjunción) en la conclusión es el sujeto,
siendo la otra variable C el predicado.
FIGURA I FIGURA II FIGURA III
A B C B B C
B C A B B A
A C A C A C
En la figura I el término medio está en diagonal sea inclinada a la derecha o ya
sea a la izquierda; es decir la figura I puede ser formulada correctamente de
este otro modo:
B C
A B
A C
En la figura II el término medio está como predicado en las dos premisas y en
la figura III lo está como sujeto.
FIGURA I
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(SH) Silogismo hipotético o categórico
Si: A ↔ B y B ↔ C, entonces: A ↔ C
"Si y solo si estudio, triunfaré" y "Si y solo si triunfo, seré feliz" llego
necesariamente a la conclusión:"Si y solo si estudio seré feliz"
Si: A → B y B → C, entonces: A → C
Si:"Si Maruja viaja a Otuzco, entonces visitará a su hermana", y:"Si visita a su
hermana, entonces pasará buenas vacaciones". Por lo tanto: "Si Maruja viaja a
Otuzco, entonces pasará buenas vacaciones"
Un ejemplo formal con equivalentes de las premisas.
De: ¬F ∨ L ≡ F → L y de: ¬L ∨ M ≡ L → M,
se deduce: ¬F ∨ M ≡ F → M
y en palabras: De las premisas: "Jacinto no enseña Filosofía o enseña Lógica
en la UNT" y "Jacinto no enseña lógica o enseña Metodología" deducimos
lógico formalmente que: "Jacinto no enseña Filosofía o enseña Metodología"
FIGURA II
Modus Tollendo Tollens o regla que negando niega Si: A→ B y ¬B, luego: ¬A
Modus Ponendo Ponens o regla que afirmando afirma Si: A↔ B y B, luego: A
Modus Tollendo Ponens o regla que negando afirma
Si: A ∨ B y ¬B, luego: A Si: A ⊕ B y ¬B, luego: A
Modus Ponendo Tollens o regla que afirmando niega Si: A ⊕ B y B, luego: ¬A
FIGURA III
79
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Modus Ponendo Ponens o regla que afirmando afirma
Si: A → B y A, luego: B
Si: A ↔ B y A, entonces: B
Modus Tollendo Ponens o regla que negando afirma
Si: A ∨ B y ¬A, entonces: B
Si: A ⊕ B y ¬A, entonces: B
Modus Ponendo Tollens o regla que afirmando niega
Si: A ⊕ B y A, entonces ¬B
Modus Tollendo Tollens o regla que negando niega
Si: A ↔ B y: ¬A, luego: ¬B
Ejemplo: Si: "Si y sólo si María va a la playa, tomará helados" y "En este caso
María no toma helados", deducimos lógicamente que: "En este caso María no
va a la playa"
6.5CON SILOGISMOS *
SILOGISMO CONJUNTIVO
A no puede ser B y C a la vez.
Es B, luego no es C.
Es C, luego no es B
SILOGISMO DISYUNTIVO
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Ponendo tollens
A, o es B o es C.
Es B, luego no es C.
Es C, luego no es B.
Tollendo ponens
A, o es B o es C.
No es B, luego es C.
No es C, luego es B.
SILOGISMO HIPOTÉTICO
Condición solo necesaria
Si es A, puede ser B
Es B, luego es A
No es A, luego B no será
Condición siempre suficiente
Si es A, es B
Es A, luego es B
No es B, luego no es A
Condición necesaria y suficiente
Si y solo si es A, es B
Es A, es B; no es A, no es B
Es B, es A; No es B, no es A
*((2002) Sanguineti pp. 142-143
7. VALIDEZ SINTÁCTICA
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Una fórmula conclusión de una argumentación es la deducción, conclusión o
consecuencia lógica que se deriva de una o más premisas, en cuya forma se
encuentra encubierta, mediante la aplicación ingeniosa y creativa de las reglas
de inferencia o de las leyes de definición lógica. La validez de las fórmulas
conectadas, se demuestra por diversos métodos.
7.1 DEMOSTRACIÓN DIRECTA
La demostración directa, es el conjunto de operaciones (transformaciones
formales) lógicas con las que derivamos, inferimos deductivamente o
imponemos la forma lógica de la conclusión o tesis a ser demostrada. Otros
nombres son: Derivación formal, inferencia lógica, deducción o cálculo
proposicional. La inferencia formal o consecuencia lógica es uno de los
conceptos fundamentales de la lógica matemática, que expresa la relación
entre las proposiciones, la que a su vez depende de la estructura lógico
matemático de dichas proposiciones. “El concepto de consecuencia lógica no
del todo se corresponde con el uso intuitivo de este término en la práctica del
conocimiento científico. Esta falta de correspondencia se manifiesta en las
llamadas “paradojas” de la ilación (de un enunciado contradictorio se
desprende cualquier otro y lo lógicamente verdadero se desprende de cualquier
enunciado)”.(DF p.84)
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En una argumentación formalizada, dada la forma lógica de una conclusión que
se quiere demostrar que es una consecuencia de una o más premisas, se
procede a analizar la forma lógica de cada una de las premisas y se aplican las
reglas y leyes en un punto determinado y en el momento oportunamente
adecuado, tan sólo con el objeto de llegar hasta la forma lógica de dicha
conclusión. Por ejemplo:
Demostrar: B ∧ C
{1} (1) A → B premisa
{2} (2) A ∧ B premisa
{3} (3) B → C premisa
{2} (4) A S 2
{1,2} (5) B AA 1,4
{1,2,3} (6) C AA 3,5
{1,2,3} (7) B ∧ C C.5,6
Donde "B ∧ C" es la conclusión que se debe demostrar que se deriva, deduce,
infiere deductivamente, concluye o es la consecuencia lógica de las premisas
(1), (2) y (3). Asimismo (4), (5) y (6) son las nuevas premisas, con indicaciones
a la derecha de cada una de ellas, de las abreviaturas de la regla o ley a las
que se ha aplicado, seguidas del número de la premisa o premisas a las que se
ha aplicado dicha regla o ley. Los números más a la izquierda entre llaves,
indican la dependencia de las premisas y de las nuevas premisas, la última de
las cuales debe depender del conjunto de las premisas DESDE las que se ha
partido.
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7.2 PRUEBA CONDICIONAL
La llamada prueba condicional (PC) se requiere cuando la conclusión de una
argumentación es una fórmula condicional; si éste es el caso estamos
permitidos y nos es posible introducir el antecedente de dicha conclusión como
una nueva premisa adicional (NP); con tal de que con esta ayuda logremos con
nuestro método de demostración directa deducir la conclusión, queda
demostrada la validez o correccion de toda la argumentación. Por ejemplo:
(SH) Demostrar por PC: A → C
{1} (1) A → B P
{2} (2) B → C P
{3} (3) A NP (nueva premisa-antecedente de conclusión)
{1,3} (4) B AA, 1, 3
{1,2,3} (5) C AA,2,4
(1,2} (6) A → C PC, 3, 5
Aquí (6) depende sólo de las 2 premisas originales.
7.3 DEMOSTRACION INDIRECTA
La PC se necesita para las demostraciones indirectas o por reducción al
absurdo (RAA). Introducimos la negación de la FCE conclusión; con tal de que
logremos una FCE de la forma: A ∧ ¬A, en alguna de las premisas nuevas de
la cadena de premisas queda demostrada la validez de la forma de la
argumentación objeto de análisis.
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Por ejemplo: Demostrar: w→ ¬r
{1} (1) p → t Premisa
{2} (2) t → ¬w Premisa
{3} (3) p ∧ ¬s Premisa
{4} (4) ¬(w → ¬r) Ng. conclusión
{4} (5) w ∧ r Ng.→, 4
{4} (6) w S. 5
{4} (7) r S. 5
{2,4} (8) ¬t NN. 2,6
{1,2,4} (9) ¬p NN. 1,8
{3} (10) p S. 3
{3} (11) ¬s S. 3
{1,2,3,4} (12) p ∧ ¬p C. 9,10
{1,2,3,4} (13) ¬(w → ¬r) → p ∧ ¬p PC. 4,12
{1,2,3} (14) w → ¬r RAA. 4,12,13
7.4 SILOGISMOS
Estas inferencias son los razonamientos lógicos a partir de 2 premisas cuyas
estructuras lógico matemáticas son como en las 2 siguientes situaciones
formales:
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1º Caso ALFA. O bien las 2 premisas son universales afirmativas, o bien de las
2 premisas, una es universal afirmativa y la otra es universal negativa. Se
aplica la regla del silogismo hipotético (SH).
Ejemplo.
Si:“Toda deducción es una operación apodíctica”
Y:“Ninguna operación apodíctica es una observación inductiva”
Luego “Ninguna deducción lógica es una observación inductiva”
Luego de formalizarlo tenemos
Si: D → A y A → ¬O luego: D →¬ O
Esta estructura, de acuerdo a la simbolización de proposiciones categóricas sin
cuantificadores, tiene la siguiente lectura:
Si: Todo D es A y: Ningún A es O Luego: Ningún D es O
En este caso ALFA, luego de formalizar las dos premisas hay que buscar que
su estructura corresponda a la regla de inferencia lógica del silogismo
hipotético puro, silogismo categórico o ley de transitividad (SH).
A → B
B → C
A → C
Obsérva la posición del término medio B, el cual también puede estar como:
B → C
A → B
A → C
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Esta situación es completamente lógica porque entre premisa y premisa hay un
conjuntor y ésta es susceptible de conmutarse.
La primera estructura, de acuerdo a la simbolización de proposiciones
categóricas sin cuantificadores, tiene la siguiente lectura:
Si: Todo A es B
y: Todo B es C
Luego: Todo A es C
Ahora bien, la estructura formal de las premisas de un razonamiento silogístico
no siempre coincide con las estructuras standard de las reglas de inferencia,
por eso ya sabemos que cada premisa proposicional categórica tiene a lo más
5 equivalentes lógico formales.
Resuelve el siguiente razonamiento lógico silogístico.
Si: "Toda persona no es cariñosa o bien es sincera"
y: "Es falso que exista una persona sincera que no es respetuosa"
Luego: "Todos los cariñosos son respetuosos".
Formalizando los términos: C = "cariñoso", S = "sincero" y R = "respetuoso"
Si: "Todo persona no es C o bien es S"
y: "Es falso que exista una persona S que no es R"
Luego: "Todos los C son R"
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2º Caso BETA. De las 2 premisas, no solo una de ellas es universal afirmativa
o es universal negativa, sino también la otra es particular afirmativa o es
particular negativa. Se aplica la regla del AA o del NN según sea la forma de la
argumentación.
Ejemplo (x)
Si: "todo abogado es bachiller"
y: "algunos científicos no son bachilleres",
luego: "algún científico no es abogado"
Formalizándolo tenemos: P1 A → B P2 C ∧ ¬B
Observamos que
• una de ellas es universal afirmativa y, asimismo, la otra premisa es
particular negativa.
• B es la variable que se repite, tal variable simboliza al llamado término
medio.
Para obtener la conclusión, hacemos abstracción de una parte de la fórmula
conjuntiva: C ∧ y aplicamos negando niego (NN) a las fórmulas A → B y ¬B,
por ser B la variable que se repite. Es así como obtenemos: ¬A; és ésta
fórmula la que con C ∧ configura la conclusión que buscamos; es decir: C ∧
¬A
Ahora sea el ejemplo (y)
Si: "todo abogado no es bachiller" = ("ningún abogado es bachiller"),
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y: "algunos abogados son científicos"
Luego: "algunos científicos no son bachilleres"
Formalizándolo, tenemos P1 A → ¬B P2 A ∧ C
Para obtener la conclusión, hacemos abstracción de una parte de la fórmula
conjuntiva: ∧C, le aplicamos afirmando afirmo (AA) a las fórmulas A →¬B y A,
por ser A la variable que se repite. Es así como obtenemos: ¬B, es ésta
fórmula, la que con ∧C, configura la conclusión; es decir: ¬B ∧ C ≡ C ∧ ¬B por
Conm.
7.5 SILOGISMOS A LA LUZ DE LA LÓGICA MATEMÁTICA
FIGURA I
S → M S → M
M → P M → ¬ P
S → P S → ¬P
FIGURA II
M → P M → P
M ∧ S M ∧¬ S
S ∧ P ¬S ∧ P
FIGURA III
P → M P → ¬M
S ∧ ¬ M S ∧ M
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S ∧ ¬ P S ∧ ¬ P
A estos 6 modos válidos demostrables posibles se puede hacer las
permutaciones entre las 2 premisas y asimismo aplicar conmutación a las
proposiciones particulares y contraposición a las proposiciones universales.
El silogismo es un razonamiento típico de la lógica tradicional aristotélica o
clásica. Aristóteles creía que el razonamiento humano inteligente consiste en la
combinatoria de las 4 proposiciones categóricas, de allí su indiscutibilidad;
estas combinaciones son 4 figuras y 256 modos posibles. Con los
procedimientos de la lógica formal solo es posible demostrar la validez de 15
de esos modos.
Los quince modos demostrables con el intrumental de la lógica formal como
válidos son:
AAA-1 EAE-2 AII-3 AEE-4
EAE-1 AEE-2 IAI-3 IAI-4
AII-1 EIO-2 OAO-3 EIO-4
EIO-1 AOO-2 EIO-3
Los 4 modos tradicionales invalidados, que son los que tienen las dos premisas
universales y particular la conclusión, son:
AAI-3 AII-4 EAO-3 EAO-4
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La lógica formal valida estos modos mediante la llamada “premisa
existencial” (PE) y reivindican la validez para 5 modos más; de manera que a
los 15 modos válidos se agregan estos 9 con los que suman 24 modos validos
en la lógica moderna. Estos nueve modos son:
Agregando la premisa existencial S:
AAI-1 EAO-1 AEO-2 EAO-2 AEO-4
Agregando la premisa existencial P: AAI-4
Agregando la premisa existencial M: AAI-3 EAO-3 EAO-4
8. VALIDEZ SEMÁNTICA
8.1 TABLAS DE VERACIDAD
El método de las tablas de veracidad sirve para demostrar la validez de una
argumentación formal, al probar que su matriz resulta ser una TAUTOLOGÍA.
Si consideramos a las reglas de verdad formal en las tablas de verdad, ellas
nos van a permitir calcular en forma ALGORÍTMICA o mecánica, la validez de
cualquier argumentación, al que se le ha construido su FPI asociada, por más
complicada que ésta sea, con tal que sólo se conozca que el número de filas
de arreglos, casos o combinaciones de valores de veracidad resulta de la
fórmula 2n donde 2 es el número de valores de veracidad que permanece
constante en la lógica conectativa bivalente y "n" es el número de variables con
que cuenta la FPI asociada a la argumentación cuya validez estamos
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demostrando. Obviamente con argumentaciones que contienen varias
variables, las tablas suelen ser cada vez más difíciles de manejar.
¿Cómo se elabora una FPI?. El antecedente de dicha FPI es la premisa o la
conjunción de las fórmulas premisas de la forma de una argumentación, siendo
el consecuente, la fórmula conclusión. Cuando la argumentación formal tiene
más de dos premisas, ante todo se pone en conjunción las dos primeras
premisas, éstas a su vez se conjuncionan con la tercera premisa y, así
sucesivamente, asociándolas de izquierda a derecha.
8.2 MÉTODO ABREVIADO
El método abreviado sirve para demostrar la validez de una FPI, al probar que
suponiéndola falsa encontramos al menos una CONTRADICCIÓN.
Dada una argumentación se formaliza como una FPI asociada a la misma.
Suponemos que la conjunción de las premisas de la argumentación, que
figuran en el antecedente de la FPI, son verdaderas y que la conclusión es
falsa como en el siguiente esquema, donde los valores de veracidad de los
conectadores van encima y los de las variables van debajo.
1 1 1 0
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ........∧.Pn → C
1 1 1 1 1 0
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Si NO logramos probar esta única posibilidad que falsifica la FPI, entonces la
argumentación formalizada es válida.
Por ejemplo:
1 1 1 0
[(A ∧ B) ∧ ¬B] → ¬A
1 1 0 1
Como en la premisa aparece que la fórmula B=1 y ¬B=1, lo cual es
contradictorio, luego la argumentación es válida ya que NO hemos logrado
confirmar nuestro supuesto de que el antecedente de la FPI es verdadero y el
consecuente es falso.
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III. MATERIAL Y MÉTODOS
1. Método de investigación
En el desarrollo de la presente investigación se ha empleado principalmente el
método de la descripción, además del análisis (descubrimiento de la estructura
lógica de una proposición) y la deducción.
2. Diseño de investigación
Descriptivo, es decir, se enumeran las características de los contenidos
curriculares de los actuales módulos de aprendizaje para el curso de
Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de Educación
Secundaria en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez
Cadenillas” 2007?.
Donde:
P = Población
O = Observación
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P - O
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3. Población
Está constituida por el conjunto de los actuales carteles de contenidos
curriculares de los módulos de aprendizaje para el curso de Razonamiento
Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de Educación Secundaria en el Centro
Educativo Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” 2007.
ACTUAL CARTEL DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL 1º AÑO
TRIMESTRE I
• Introducción a la lógica: objeto de estudio, importancia
• Principios Lógicos, ejemplos
• Proceso del conocimiento
• La realidad: clases, ejemplos
• El Lenguaje: definición, clases, características
• Formas del pensamiento: concepto, juicio y razonamiento, ejemplos en
forma general
• El concepto: definición, características, clases: por su contenido,
cantidad, por su naturaleza
TRIMESTRE II
• Relaciones: definición, clases: inclusión, exclusión e intersección
• Relación entre intensión y extensión. Ordenación por intensión creciente
y por extensión creciente y decreciente
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• Operaciones con conceptos: Limitación: definición, características,
clases. Generalización: definición, características, clases. Definición:
definición, clases. Clasificación: definición, clases. La división: definición,
características.
TRIMESTRE III
• El juicio, características, clases
• El razonamiento: definición, características, clases: por el número de
premisas (mediatos e inmediatos), por su forma de derivar (inducción y
deducción)
• Inferencia inductiva: definición, características, clases.
ACTUAL CARTEL DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL 2º AÑO
TRIMESTRE I
• El juicio y la proposición. La proposición: definición, características,
enunciados que no son proposiciones. Clases: por las propiedades
intrínsecas (apodícticas, problemáticas y asertóricas), por la conectiva
(simples y moleculares)
• Formas lingüísticas de las conectivas lógicas (20 de cada conectiva
lógica) construcción de proposiciones con las formas lingüísticas de las
conectivas
TRIMESTRE II
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• Formalización de proposiciones. Definición, características, elementos
para la formalización. Formalización con dos variables proposicionales.
Formalización con tres variables proposicionales. Formalización con
cuatro variables proposicionales.
TRIMESTRE III
• Verdad formal: tablas de verdad. Tablas de verdad de fórmulas lógicas
con dos y tres variables proposicionales
• Valor de verdad de estructuras y variables proposicionales usando los
criterios de las conectivas lógicas
• Equivalencias con tablas de verdad
ACTUAL CARTEL DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL 3º AÑO
TRIMESTRE I:
RAZONAMOS CON PROPOSICIONES LÓGICAS
1. La proposición. Definición, características y clasificación
2. Conectores lógicos. Nombres, símbolos y formas linguísticas
3. Formalización. Copncepto de formalización y formalización de
proposiciones.
TRIMESTRE II
RAZONAMOS CON EQUIVALENCIAS LÓGICAS
1. Deducciones inmediatas con propiedades de los conectores
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La conmutación
La contraposición
La ley de “De Morgan”
Asociación
Idempotencia
Distribución
Absorción
Mutación
Exportación
Expansión
TRIMESTRE III
RAZONAMOS CON CIRCUITOS LÓGICOS
1. Reducción de proposiciones. Concepto y ejercicios
2. Circuitos lógicos. Definición, simbolización, diseño y reducción
4. Instrumentos de recolección y procesamiento de datos
Se hará en forma directa a través de la descripción de la población mediante el
registro de las características observables, realizadas profesionalmente, sin la
influencia de opiniones o emociones y con juicio de experto, de los carteles de
contenidos curriculares de cada uno de los tres trimestres (unidades didácticas)
en los que se ha dividido el curso de Razonamiento Lógico del 1º, del 2º y del
3º de secundaria.
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IV. RESULTADOS
(1) Propuesta de Modelo de Contenidos Curriculares del Primer
año de Educación Secundaria
INTRODUCCIÓN
1. Lógica formal. Tipos de oraciones. Imperativas, desiderativas,
exclamativas, interrogativas y declarativas. Definición de Proposición.
Oraciones Declarativas. Ejercicios. Proposiciones y oraciones.
Proposiciones y no proposiciones
FORMALIZACIÓN
2. Proposiciones atómicas y negativas. Formalización (simbolización) y
verbalización (traducción)
¬A
3. Proposiciones conjuntivas con a lo más 2 variables: Formalización y
verbalización
Α∧Β
¬Α∧Β
Α∧¬Β
¬Α∧¬Β
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4. Proposiciones disyuntivas con a lo más 2 variables: Formalización y
verbalización
Α∨Β
¬Α∨Β
Α∨¬Β
¬Α∨¬Β
5. Proposiciones condicionales con a lo más 2 variables: Formalización y
verbalización
Α→Β
¬Α→Β
Α→¬Β
¬Α→¬Β
6. Proposiciones conjuntivas negadas con a lo más 2 variables:
Formalización y verbalización
¬(Α∧Β)
¬(¬Α∧Β)
¬(Α∧¬Β)
¬ (¬Α∧¬Β)
7. Proposiciones disyuntivas negadas con a lo más 2 variables:
Formalización y verbalización
¬(Α∨Β)
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¬(¬Α∨Β)
¬(Α∨¬Β)
¬(¬Α∨¬Β)
8. Proposiciones condicionales negadas con a lo más 2 variables:
Formalización y verbalización
¬(Α→Β)
¬(¬Α→Β)
¬(Α→¬Β)
¬ (¬Α→¬Β)
VERDAD FORMAL
9. Proposiciones conjuntivas con a lo más 2 variables: tablas de verdad
10. Proposiciones disyuntivas con a lo más 2 variables: tablas de verdad
11.Proposiciones condicionales con a lo más 2 variables: tablas de verdad
12.Proposiciones negativas. Negación de conjuntor, disyuntor o implicador
13.Proposiciones conjuntivas negadas con a lo más 2 variables: tablas de
verdad
14.Proposiciones disyuntivas negadas con a lo más 2 variables: tablas de
verdad
15.Proposiciones condicionales negadas con a lo más 2 variables: tablas
de verdad
EQUIVALENCIAS
16.Definición de equivalencia: Fórmulas bicondicionales tautológicas
101
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A ↔ B A ≡ B
17. Doble negación y tautología. Formalización y verbalización
¬¬A≡Α
A∧A≡A
¬A∧¬A≡¬A
A∨A ≡A
¬A∨¬A≡¬A
18.Definición de condicionador. Formalización y verbalización
A→Β≡¬Α∨Β
¬A→Β≡Α∨Β
A→¬Β≡¬Α∨¬Β
¬A→¬Β≡Α∨¬Β
y viceversa
19. Definición de conjuntor con disyuntor. Formalización y verbalización
A∧B≡¬(¬A∨¬B)
¬A∧B≡¬(A∨¬B)
A∧¬B≡¬(¬A∨B)
¬A∧¬B≡¬(A∨B)
y viceversa
20.Definición de conjuntor con condicionador. Formalización y verbalización
A∧B≡¬(A→¬B)
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OSGRADO
¬A∧B≡¬(¬A→¬B)
A∧¬B≡¬(A→B)
¬A∧¬B≡¬(¬A→B)
y viceversa
21. Negación de conjuntor con disyuntor. Formalización y verbalización
¬(A∧B)≡¬A∨¬B
¬(¬A∧B)≡ A∨¬B
¬(A∧¬B)≡¬A∨B
¬(¬A∧¬B)≡ A∨B
y viceversa
22.Negación de conjuntor con condicionador. Formalización y verbalización
¬(A∧B)≡A→¬B
¬(¬A∧B)≡ ¬A→¬B
¬(A∧¬B)≡A→B
¬(¬A∧¬B)≡ ¬A→B
y viceversa
23. Conmutación de conjunciones. Formalización y verbalización
A∧B≡B∧A
¬A∧B≡B∧¬A
A∧¬B≡¬B∧A
¬A∧¬B≡¬B∧¬A
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24.Conmutación de disyunciones. Formalización y verbalización
A∨B≡B∨A
¬A∨B≡B∨¬A
A∨¬B≡¬B∨A
¬A∨¬B≡¬B∨¬A
25.Contraposición de condicionales. Formalización y verbalización
A→B≡¬B→¬A
¬A→B≡¬B→A
A→¬B≡B→¬A
¬A→¬B≡B→A
INFERENCIAS
26.Definición de inferencia: Fórmulas condicionales tautológicas
A → B A⇒B
27.Simplificación. Formalización y verbalización
A∧B⇒ ó A ó B
¬A∧B⇒ ó ¬A ó B
A∧¬B⇒ ó A ó ¬B
¬A∧¬B⇒ ó ¬A ó ¬B
28. Nuevo factor o adición. Formalización y verbalización
A ⇒ A ∨ B
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A ⇒ A ∨ ¬B
¬A ⇒ ¬A ∨ B
¬A ⇒ ¬A ∨ ¬B
29.Afirmando afirmo. Formalización y verbalización
(Α→Β) ∧ Α ⇒ Β
(Α→¬Β) ∧ Α ⇒ ¬Β
(¬Α→Β) ∧ ¬Α ⇒ Β
(¬Α→¬Β) ∧ ¬Α ⇒ ¬Β
30.Negando niego. Formalización y verbalización
(Α→Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(¬Α→Β) ∧ ¬B ⇒ A
(Α→¬Β) ∧ B ⇒ ¬A
(¬Α→¬Β) ∧ B ⇒ A
31.Negando afirmo. Formalización y verbalización
(Α∨Β) ∧ ¬A ⇒ B
(¬Α∨Β) ∧ A ⇒ B
(Α∨¬Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B
(¬Α∨¬Β) ∧ A ⇒ ¬B
(Α∨Β) ∧ ¬B ⇒ A
(¬Α∨Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(Α∨¬Β) ∧ B ⇒ A
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(¬Α∨¬Β) ∧ B ⇒ ¬A
VALIDEZ SEMANTICA
32. Demostrar con el método de las tablas de verdad las leyes del sistema
K.
HORARIO
Curso anual: 8 MESES, 32 semanas con 2 horas semanales, son 64 horas
pedagógicas de 45 minutos.
Como el total de temas son 32, tenemos entonces 2 horas para cada tema.
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(2) Propuesta de Modelo de C ontenidos Curriculares del
Segundo año de Educación Secundaria
INTRODUCCIÓN
1. Tipos de oraciones. Imperativas, desiderativas, exclamativas,
interrogativas y declarativas. Definición de Proposición. Oraciones
Declarativas. Ejercicios. Proposiciones y oraciones. Proposiciones y no
proposiciones
FORMALIZACIÓN
2. Proposiciones conjuntivas y sus negaciones. Formalización y
verbalización
Α∧Β
¬Α∧Β
Α∧¬Β
¬Α∧¬Β
¬(Α∧Β)
¬(¬Α∧Β)
¬(Α∧¬Β)
¬(¬Α∧¬Β)
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3. Proposiciones disyuntivas y sus negaciones. Formalización y
verbalización
Α∨Β
¬Α∨Β
Α∨¬Β
¬Α∨¬Β
¬(Α∨Β)
¬(¬Α∨Β)
¬(Α∨¬Β)
¬(¬Α∨¬Β)
4. Proposiciones condicionales y sus negaciones. Formalización y
verbalización
Α→Β
¬Α→Β
Α→¬Β
¬Α→¬Β
¬(Α→Β)
¬(¬Α→Β)
¬(Α→¬Β)
¬(¬Α→¬Β)
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5. Proposiciones bicondicionales y sus negaciones. Formalización y
verbalización
Α↔Β
¬Α↔Β
Α↔¬Β
¬Α↔¬Β
¬(Α↔Β)
¬(¬Α↔Β)
¬(Α↔¬Β)
¬(¬Α↔¬Β)
6. Proposiciones bidisyuntivas y sus negaciones. Formalización y
verbalización
Α ⊕ Β
¬Α ⊕ Β
Α ⊕ ¬Β
¬Α ⊕ ¬Β
¬(Α ⊕ Β)
¬(¬Α ⊕ Β)
¬(Α ⊕ ¬Β)
¬(¬Α ⊕ ¬Β)
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7. Proposiciones complejas. Formalización y verbalización
(Α↔Β) ∧ (¬Α→¬Β)
(¬Α∧Β)→¬ (Α∨Β)
¬ (¬Α∧¬Β) ∨ (Α→Β)
(¬Α∨Β) → (Α→¬Β)
(Α∨¬Β) ⊕ (¬Α∨¬Β)
:
:
8. Proposiciones complejas negadas. Formalización y verbalización
¬[ (Α↔Β) ∧ (¬Α→¬Β)]
¬[ (¬Α∧Β)→¬ (Α∨Β)]
¬[¬ (¬Α∧¬Β) ∨ (Α→Β)]
¬[ (¬Α∨Β) → (Α→¬Β)]
¬[ (Α∨¬Β) ⊕ (¬Α∨¬Β)]
VERDAD FORMAL
9. Proposiciones negativas o conjuntivas, disyuntivas o condicionales y sus
negaciones. Tablas de verdad
10. Proposiciones bidisyuntivas o bicondicionales y sus negaciones. Tablas
de verdad
EQUIVALENCIAS
11. Definiciones del condicionador, disyuntor y conjuntor. Formalización y
verbalización
(Df. →) Definición de condicionador
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A→Β =df ¬Α∨Β
A→Β =df ¬(Α∧¬Β)
(Df. ∨) Definición de disyuntor
A∨B =df ¬(¬A∧¬B)
A∨B =df ¬A→B
(Df. ∧) Definición de conjuntor
A∧B =df ¬(¬A∨¬B)
A∧B =df ¬(A→¬B)
12. (Df. ↔)Definiciones del biimplicador. Formalización y verbalización
A ↔ B =df. ¬(A ⊕ B)
A ↔ B =df. ¬A ⊕ B
A ↔ B =df. A ⊕ ¬B
A ↔ B =df. (A→B) ∧ (B→A)
A ↔ B =df. (¬A∨B) ∧ ( ¬B∨ A)
A ↔ B =df. (A∧B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
13. (Df. ⊕) Definiciones del bidisyuntor. Formalización y verbalización
A ⊕ B =df. ¬(A ↔ B)
A ⊕ B =df. ¬A ↔ B
A ⊕ B =df. A ↔ ¬B
A ⊕ B =df.¬[(A→B) ∧ (B→A)]
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A ⊕ B =df. (A∨B) ∧ ( ¬A∨ ¬B)
A ⊕ B =df. (A∧¬B) ∨ (B∧¬A)
14. Negaciones. Formalización y verbalización
(Ng. ¬) Negación de negador
¬(¬A) =df. A
(Ng. ∧) Negación de conjuntor
¬(A∧B) =df. ¬A∨¬B
¬(A∧B) =df. A→¬B
(Ng. ∨) Negación de disyuntor
¬(A∨B) =df. ¬A∧¬B
¬(A∨B) =df. ¬(¬A→B)
(Ng. →) Negación de condicionador
¬(A→B) =df. ¬(¬A∨B)
¬(A→B) =df. A∧¬B
15.Conmutación. Formalización y verbalización
(Conm.) Conmutación
A∧B =df B∧A
A∨B =df B∨A
A ↔ B =df . B ↔ A y
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A ⊕ B =df. B ⊕ A
16. Contraposición. Formalización y verbalización
(Cp.) Contraposición
A→B =df ¬B→¬A
A ↔ B =df. ¬A ↔ ¬B y ¬B ↔ ¬A
A ⊕ B, =df. ¬A ⊕ ¬B y ¬B ⊕ ¬A
17.Binegaciones. Formalización y verbalización
(BNg. ↔) Binegación de biimplicador
¬(¬A ↔ B) =df.A ↔ B
¬(A ↔ ¬B) =df.A ↔ B
(BNg. ⊕) Binegación del exclusor
¬(¬A ⊕ B) =df. A ⊕ B
¬(A ⊕ ¬B) =df. A ⊕ B
INFERENCIAS
18. Afirmando afirmo. Formalización y verbalización
(Α→Β) ∧ Α ⇒ Β
(Α↔Β) ∧ Α ⇒ Β
(Α↔¬Β) ∧ Α ⇒ ¬Β
(¬Α↔Β) ∧ ¬Α ⇒ Β
(¬Α↔¬Β) ∧ ¬Α ⇒ ¬Β
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19. Afirmando afirmo. Formalización y verbalización
(Α↔Β) ∧ B ⇒ A
(Α↔¬Β) ∧ ¬B ⇒ A
(¬Α↔Β) ∧ B ⇒ ¬A
(¬Α↔¬Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
20.Negando niego. Formalización y verbalización
(Α→Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(Α↔Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(¬Α↔Β) ∧ ¬B ⇒ A
(Α↔¬Β) ∧ B ⇒ ¬A
(¬Α↔¬Β) ∧ B ⇒ A
21.Negando niego. Formalización y verbalización
(Α↔Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B
(¬Α↔Β) ∧ A ⇒ ¬B
(Α↔¬Β) ∧ ¬A ⇒ B
(¬Α↔¬Β) ∧ A ⇒ B
22.Negando afirmo. Formalización y verbalización
(Α∨Β) ∧ ¬A ⇒ B
(Α ⊕ Β) ∧ ¬A ⇒ B
(¬Α ⊕ Β) ∧ A ⇒ B
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(Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B
(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ A ⇒ ¬B
23. Negando afirmo. Formalización y verbalización
(Α ∨ Β) ∧ ¬B ⇒ A
(Α ⊕ Β) ∧ ¬B ⇒ A
(¬Α⊕Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(Α⊕¬Β) ∧ B ⇒ A
(¬Α⊕¬Β) ∧ B ⇒ ¬A
24. Afirmando niego. Formalización y verbalización
(Α ⊕ Β) ∧ A ⇒ ¬B
(¬Α ⊕ Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B
(Α ⊕ ¬Β) ∧ A ⇒ ¬B
(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬A ⇒ B
25. Afirmando niego. Formalización y verbalización
(Α ⊕ Β) ∧ B ⇒ ¬A
(¬Α ⊕ Β) ∧ B ⇒ A
(Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A
(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬B ⇒ A
VALIDEZ SEMÁNTICA
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26. Demostrar con el método de las tablas de verdad algunas leyes de
equivalencia y algunas reglas de inferencia
27.Demostrar con el método abreviado algunas leyes de equivalencia y
algunas reglas de inferencia
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
28.Formalización de las cuatro (4) proposiciones categóricas
29.Equivalencias de la proposición universal afirmativa. Formalización y
verbalización
30.Equivalencias de la proposición universal negativa. Formalización y
verbalización
31.Equivalencias de la proposición particular afirmativa. Formalización y
verbalización
32.Equivalencias de la proposición universal negativa. Formalización y
verbalización
HORARIO
Curso anual: 8 MESES, 32 semanas con 2 horas semanales, son 64 horas
pedagógicas de 45 minutos.
Como el total de temas son 32, tenemos entonces 2 horas para cada tema.
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(3) Propuesta de Modelo de C ontenidos Curriculares del Tercer
año de Educación Secundaria
INTRODUCCIÓN
1. Lógica cognoscitiva y matemática. Tipos de Pensamiento. El
lenguaje formal y verbal
FORMALIZACIÓN
2. Formalización y verbalización de proposiciones negativas,
proposiciones conjuntivas, proposiciones disyuntivas incluyentes
3. Formalización y verbalización de proposiciones condicionales
suficientes y necesarias
4. Formalización y verbalización de proposiciones bicondicionales y
proposiciones disyuntivas excluyentes.
VERDAD FORMAL
5. Proposiciones negativas o conjuntivas y sus negaciones. Tablas de
verdad
6. Proposiciones disyuntivas o condicionales y sus negaciones. Tablas
de verdad
7. Proposiciones bidisyuntivas o bicondicionales y sus negaciones.
Tablas de verdad
EQUIVALENCIAS
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8. Todas las equivalencias con implicador, conjuntor y disyuntor, de
una fórmula bicondicional: Formalización y verbalización
9. Todas las equivalencias implicador, conjuntor y disyuntor, de una
fórmula bidisyuntiva: Formalización y verbalización
10.Todas las equivalencias de las fórmulas proposicionales del sistema
R con el bicondicionador y con el bidisyuntor: Formalización y
verbalización
11. Todas las Leyes de Equivalencia con dos variables. Formalización y
verbalización
12. Todas las Leyes de Equivalencia con tres variables. Formalización y
verbalización
13. Reducción o minimización de fórmulas complejas.
14.Reducir una fórmula proposicional compleja a una sencilla, a una
breve y a una monótona
15.Leyes de equivalencia con el incompatibilizador y con el inalternador
16. Convertir una fórmula proposicional al sistema de Post y Frege
17. Convertir una fórmula proposicional al sistema de Nicod y Sheffer
CIRCUITOS LÓGICOS
18. Circuitos a conmutadores.
19. Circuitos a compuertas ASA.
20. Circuitos a compuertas ISO.
21.Circuitos lógicos equivalentes a una fórmula proposicional
22.Circuitos lógicos equivalentes a otro circuito
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INFERENCIAS
23. Inferencias a partir de una premisa. Formalización y verbalización
24. Inferencias a partir de dos premisas. Formalización y verbalización
25. Inferencias a partir de tres premisas. Formalización y verbalización
26. Todas las Reglas de Inferencia. Formalización y verbalización
VALIDEZ SINTÁCTICA
27.Demostración Directa a lo más desde 2 premisas.
28. Demostración con la prueba condicional.
29. Demostración Indirecta = reducción al absurdo a lo más desde 2
premisas.
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
30. Equivalencias de las cuatro proposiciones categóricas
31.Silogismos Caso ALFA
32.Silogismos Caso BETA
HORARIO
Curso anual: 8 MESES, 32 semanas con 2 horas semanales, son 64 horas
pedagógicas de 45 minutos.
Como el total de temas son 32, tenemos entonces 2 horas para cada tema.
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V. CONCLUSIONES
1. El modelo de contenidos curriculares del primer año de educación
secundaria se basan en el siguiente esquema didáctico:
Introducción
Formalización
Verdad Formal
Equivalencias
Inferencias
Validez Semántica
2. El modelo de contenidos curriculares del segundo año de educación
secundaria se basan en el siguiente esquema didáctico:
Introducción
Formalización
Verdad Formal
Equivalencias
Inferencias
Validez semántica
Proposiciones Categóricas
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3. El modelo de contenidos curriculares del tercer año de educación
secundaria se basan en el siguiente esquema didáctico:
Introducción
Formalización
Verdad Formal
Equivalencias
Circuitos Lógicos
Inferencias
Validez ssintáctica
Proposiciones Categóricas
4. El marco teórico apropiado de la parte de la Lógica proposicional, existente,
actualmente, en el Departamento de Filosofía y Arte – UNT, considero que
ha sido necesario aunque aún no suficiente para elegir los distintos temas o
contenidos del modelo de contenidos curriculares del curso de
Razonamiento Lógico del 1º al 3º año de Secundaria en el CEE “Rafael
Narváez Cadenillas”.
5. La selección minuciosa de conceptos apropiados a cada grado del nivel de
educación secundaria, se ha elaborado para que los docentes del curso de
Razonamiento Lógico, desde el 1º al 3º grado del nivel secundario, lo
puedan desarrollar creativamente con:
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• Definiciones (teoría y procedimientos didácticos de cada tema)
• Ejercicios (ítems de prueba, de complemento único o múltiple,
desarrollados) y
• Problemas (ítems de prueba propuestos con claves).
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
6.1 DOCUMENTOS EN INTERNET
* PROPUESTA DE MODELO DE CONTENIDOS CURRICULARES PARA UN CURSO GENERAL DE GEOGRAFÍA HUMANA DESTINADO AL PRIMER CICLO DE ENSEÑANZA UNIVERSITARIA. Autora: Carmen Carranza Ruiz Localización: El profesor y la experimentación curricular: actas VI Jornadas de Estudio sobre la Investigación en la Escuela, año 1988 / coord. por Rafael Porlán Ariza, Pedro Cañal de León, 1988, ISBN 84-404-3485-5 , pags. 199-204
* LA LÓGICA DIALÉCTICA EN EL PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN
CIENTÍFICA. Autor: Miguel Martínez Miguélez
* EL MATERIALISMO DIALÉCTICO Y EL CÁLCULO. Autores: Dr. C. Héctor
Manuel Pupo Sintras, Dr. C. Angel Luis Romero Romero, Universidad de
Holguín. Cuba.
* LAS INFERENCIAS LÓGICAS: UNA VÍA PARA DESARROLLAR EL
APRENDIZAJE DEL ESCOLAR DE SECUNDARIA BÁSICA.. Autores: Lic.
Osmany Carmenates Barrios, MsC: Mauricio Amat Abreu, Lic. Michel Enrique
Gamboa Grau. Universidad Pedagógica “Pepito Tey”, Las Tunas. Cuba.
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* ESTRUCTURAS, SISTEMAS Y MODELOS (REFLEXIONES SOBRE UNA
BASE LÓGICA EN INVESTIGACIÓN EDUCATIVA). Autor: José Padrón Guillén
* EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO DE LOS ESTUDIANTES A TRAVÉS
DE LA ENSEÑANZA. Autores: Miguel E. Zaldívar Carrillo y Yamilka Sosa Oliva
Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz y Caballero”, Cuba
* LA ELABORACION DE CONCEPTOS EN LA ESCUELA Y EL DESARROLLO
DE LOS PROCESOS LÓGICOS DEL PENSAMIENTO. Autores: Dr.C. Raúl
Hernández Heredia y Ms.C. Teresa Velázquez Garrido.
6. 2 LIBROS SIGNIFICATIVOS
• 1979: Benson Mates, LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL, Edit. Tecnos,
Madrid, 250 pp.
• 1985: Copi Irving, LÓGICA SIMBÓLICA, Edit. Continental, México, 407 pp.
• 2000: Córdova Jacinto, Lógica (Matemática Bivalente y Objetiva Dialéctica)
UNT, 147 pp.
• 2005: -------------- LÓGICA para la Investigación Científica, UNT 127 pp.
• 2006: -------------- RAZONAMIENTO LÓGICO, UNT, 62 pp.
• 2005: Córdova Roy, LÓGICA - Raz. Lógico (2da. Edición) RECORD, 165
pp.
• 1981: Dynnik M, HISTORIA DE LA FILOSOFIA, Edit. Grijalbo, México,
Tomos I, II, III, IV, V, VI y VII
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BIBLIO
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• 1978: Fedoséev P. y otros, METODOLOGIA DEL CONOCIMIENTO
CIENTIFICO, Edit. CCSS, La Habana, 445 pp.
• 1984: Garrido Manuel, LOGICA SIMBOLICA, Ed. Tecnos, Madrid, 424 pp.
• 1966: Kursanov G., EL MATERIALISMO DIALECTICO Y EL CONCEPTO,
Edit. Grijalbo 293 pp
• 1997: Martinez L., DICCIONARIO DE FILOSOFIA, Edit. Panamericana, 604
pp
• 1980: Miró Quesada Francisco, LOGICA (filosofía de las matemáticas), Edit.
I.Prado, Lima, pp.3-296
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BIBLIO
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L DE P
OSGRADO
• 2007 OEI-Revista Iberoamericana de Educación (en CD)
INFLUENCIA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
OTONIEL RIVERÓN PORTELA
JUAN ANTONIO MARTÍN ALFONSO
IDALIA GONZÁLEZ COMPANIONIS
ÁNGEL GÓMEZ ARGÜELLES
Universidad de Ciego de Ávila, Cuba /CD Temas pedagógicos,
DERRAMA MAGISTERIAL, PERÚ
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Bach. Jacinto E. Córdova Guimaray
Profesor Principal D.E. del DepartamentoAcadémico de Filosofía y Arte
MAESTRISTA
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Dr. Gilberto Roldán Paredes
Director de la Sección de Post Grado de EducaciónASESOR DE TESIS
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