portafolioo de mateee

7/28/2019 Portafolioo de Mateee

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FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

Curso de nivelacin del SENECYT

Carrera:

Contabilidad y Auditora

Portafolio de:

Matemticas

Profesora:

Ing. Sara Cruz

Nombre:

Srta. Jennifer Mariuxi Guaillas Prez

Ao Lectivo

2013 2014


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JUSTIFICACIN

Es necesario poder comunicarnos de manera inteligente conlos dems; se requiere del personal capacitado para adquirirnuestra capacidad para analizar los argumentos de nuestrosdirigentes y legisladores; necesitamos ser bastantes creativospara captar o entender aseveraciones de los anunciantes. Biensea que nos agrade o no, el tema ya que es una parteimportante a lo que vamos a aprender y as podamos resolver

a lo que se nos llegue a presentar ms adelante.


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INTRODUCCIN

No cabe la menor duda de que la importancia y dedicacin que

se concedan a esta fase de la formacin del alumno sern

determinantes para la mayor o menor integracin de su

entorno laboral.

Esto debe constituir uno de los indicadores de la calidad de la

enseanza de cada centro, su proyeccin laboral y del estado

de salud de cada ciclo formativo, y como no, de los docentes

responsables.

Esto nos ha llevado a plantear que es muy interesante hacer

un seguimiento del grado de insercin laboral de los alumnos,

para poder revisar y actualizar los planteamientos formativos

recogidos en las programaciones para adaptarlos anualmente

y as mejorar la calidad de enseanza.


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OBJETIVOS GENERALES

Complementar los conocimientos, habilidades y destrezasadquiridos en el centro educativo con el fin de que los

alumnos alcancen niveles de cualificacin profesional.

Fomentar en el alumno la autonoma, creatividad profesional

y responsabilidad para resolver cuestiones que se presentan

en la realidad laboral y buscar soluciones con la necesaria

independencia.

Adaptar los conocimientos adquiridos por el alumno/a en el

centro educativo a las necesidades reales de su entorno

productivo.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Poder desempear nuestras habilidades.

Complementar la cualificacin ya adquirida por los jvenes

en el centro educativo mediante el conocimiento de los

procesos productivos reales.

Obtener experiencia con lo que hemos aprendidos durante

el curso de nivelacin.


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NDICE

CAPTULO 1

LGICA MATEMTICA1. PROPOSICINES......................................................................................10

1.1 Negacin...................................................................................................10

1.2 Conjuncin................................................................................................10

1.3 Disyuncin................................................................................................11

1.4 Disyuncin exclusiva.................................................................................12

1.5 Disyuncin exclusiva de proposicin........................................................13

1.6 Condicional...............................................................................................14

1.7Bicondicional..............................................................................................16

1.8 Tablas de verdad......................................................................................17

1.9 Implicacin lgica......................................................................................19

1.10 Leyes de los operadores.........................................................................20

1.11RAZONAMIENTO....................................................................................21

1.12 Validez de un razonamiento...................................................................21

1.13 Conjuntos................................................................................................26

1.14 Cardinalidad............................................................................................26

1.15 Cuantificadores.......................................................................................28

1.16 Cuantificador universal...........................................................................28

1.17 Cuantificador existencial.........................................................................28

1.18 Subconjunto propio.................................................................................29

1.19 Conjunto potencia...................................................................................29

1.20 Relaciones entre conjuntos.....................................................................30

1.21 Igualdad..................................................................................................30

1.22 Unin entre conjuntos.............................................................................30


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1.23 Interseccin.............................................................................................30

1.24 Diferencia................................................................................................31

1.25 Diferencia simtrica................................................................................31

1.26 Complementacin...................................................................................31

1.27 Demostracin de propiedades del lgebra de conjuntos........................35

1.28 Predicados de una variable....................................................................43

1.29 Conjuntos de verdad de un predicado....................................................43

1.30 Producto cartesiano.........................................................................45

1.31 Par ordenado..........................................................................................46

1.32 Relaciones..............................................................................................46

1.33 Dominio de una relacin.........................................................................50

1.34 Rango de una relacin............................................................................50

1.35 Funciones...............................................................................................52

1.36 Tipos de Funciones.................................................................................52

1.37 Funcin inyectiva....................................................................................52

1.38 Funcin sobreyectiva..............................................................................53

1.39 Funcin biyectiva....................................................................................53

1.40 Funcin inversa.......................................................................................61

1.41 Funcin compuesta.................................................................................62

CAPTULO 2

NMEROS REALES

Introduccin....................................................................................................66

2.1 Nmeros naturales....................................................................................67

2.2 Nmeros enteros......................................................................................67

2.3 Nmeros racionales..................................................................................67

2.4 Nmeros reales.........................................................................................67


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2.5 Nmeros irracionales................................................................................67

2.6 Nmeros periodos.....................................................................................67

2.7 Propiedades de la operacin binaria........................................................68

2.8 Dominio de variables................................................................................71

2.9 Relacin de orden de nmeros enteros...................................................73

2.10 Nmero primo.........................................................................................73

2.11 Mximo comn divisor............................................................................73

2.12 Mnimo comn mltiplo...........................................................................73

2.13 Nmeros pares e impares.......................................................................74

2.14 Expresin algebraica..............................................................................74

2.15 Valor absoluto.........................................................................................79

2.16 Ecuaciones o igualdades........................................................................83

2.17 Ecuacin lineal........................................................................................83

2.18 Ecuacin cuadrtica................................................................................85

2.19 Suma algebraica de las races de la ecuacin cuadrtica......................882.20 Producto algebraico de las races de la ecuacin cuadrtica.................88

2.21 Ecuaciones con valor absoluto...............................................................89

2.22 Ecuaciones con radicales.......................................................................89

2.23 Planteo de ecuaciones............................................................................90

2.24 Desigualdad............................................................................................98

2.25 Inecuacin...............................................................................................98

2.26 Inecuaciones lineales.............................................................................98

2.27 Inecuaciones cuadrticas.......................................................................99

2.28 Inecuaciones con valor absoluto...........................................................101

2.29 Factorial................................................................................................106

2.30 Combinatoria.........................................................................................106

2.31 Principio de la suma (Aditivo)...............................................................107


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2.32 Principio de la multiplicacin (Multiplicativo).........................................108

2.33 Permutaciones......................................................................................109

2.34 Combinaciones.....................................................................................110

2.35 Teorema del binomio............................................................................112

2.36 Sucesiones...........................................................................................113

2.37 Progresiones aritmticas......................................................................114

2.38 Progresiones geomtricas....................................................................116

CAPTULO 11

ESTADSTICAS Y PROBABILIDADES

Introduccin..................................................................................................119

3.1 La estadstica..........................................................................................120

3.2 La estadstica descriptiva........................................................................120

3.3 La estadstica inferencial........................................................................120

3.4 El mtodo estadstico..............................................................................120

3.5 Errores estadsticos................................................................................120

3.6 Elemento o ente......................................................................................1213.7 Poblacin................................................................................................121

3.8 Muestra...................................................................................................121

3.9 Variable...................................................................................................121

3.10 Media aritmtica....................................................................................126

3.11 Mediana................................................................................................127

3.12 Experimento aleatorio...........................................................................1293.13 Probabilidad clsica..............................................................................130

3.14 Conjuntos y probabilidades...................................................................132

CAPTULO 4

TRIGONOMETRA

Introduccin..................................................................................................132

4.1 Semirrecta..............................................................................................135


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4.2 ngulo.....................................................................................................136

4.3 Unidades angulares................................................................................137

4.4 Consecutivos..........................................................................................138

4.5 Adyacente...............................................................................................138

4.6 Complementarios....................................................................................138

4.7 Suplementarios.......................................................................................138

4.8 Opuesto por el vrtice.............................................................................138

4.9 Relaciones entre grados sexagesimales y radicales..............................139

4.10 Funciones trigonomtricas....................................................................140


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1. Proposicin -Una proposicin es una unidad semntica que, o slo esverdadera o slo es falsa.

V 1 - T

Lgica simblica

F 0 F

Ejemplo:5 es un nmero primo. (0)

1.1 Operadores lgicos.-su funcin es negar la proposicin y se la representacon este smbolo .

a a

0 1

1 0

a: tengo un billete de cinco dlares

a: no tengo un billete de cinco dlares

1.2 Conjuncin.-este operador lgico relaciona dos proposiciones para formaruna nueva en la cual la proposicin resultante es verdadera solamente cuando elvalor de verdad de ambas proposiciones es verdadero; se representa con lostrminos gramaticales y, pero, ms (ab).

Ejemplos resueltos en clase:a: obtengo buenas notas

b: gano una beca

ab: obtengo buenas notas y gano una beca

a: trabajo demasiado

b: recibo bajo sueldo

ab: trabajo demasiado pero recibo bajo sueldo

A B C0 0 0

0 1 01 0 01 1 1


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Ejemplos

Trabajo en la maana y estudio en la noche

a: trabajo en la maanab: estudio en la noche

ab: trabajo en la maana y estudio en la noche

Escucho msica y me pongo a bailara: escucho msicab: me pongo a bailar

ab: escucho msica y me pongo a bailar.Sntesis

En conjuncin entiendo que las dos proposiciones deben ser verdaderas para que laresultante te de verdadera y se representa con los trminos gramaticales (y, pero,ms).

1.3 Disyuncin.-este operador lgico relaciona dos proposiciones para formaruna nueva en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valorde verdad de ambas proposiciones es falso se lo representa (ab) y se leegramaticalmente como: o.

Ejemplos resueltos en clase:

a: tengo un libro de trigonometra

b: tengo un libro de algebra

ab: tengo un libro de trigonometra o tengo un libro de algebra

a b ab0 0 0

0 1 1

1 0 11 1 1


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Ejemplos:

Tengo que ir al colegio o tengo que o tengo que ir de comprasa: tengo que ir al colegio

b: tengo que ir de compras

a b: tengo que ir al colegio o tengo que ir de compras.

Tengo que ir a estudiar o tengo que trabajara: tengo que ir a estudiarb: tengo que trabajara

b: tengo que ir a estudiar o tengo que trabajar

Sntesis

En la conjuncin las dos proposiciones deben ser falsas para que la resultante seafalsa y se representa gramaticalmente (o).

1.4 Disyuncin exclusiva.-Este operador lgico relaciona dos proposicionespara formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera cuandosolamente una de ellas sea verdadera.

se presenta la disyuncin exclusiva a b puede expresarse como: (a b) (a b)

Ejemplos: 4 es menor que 8 y 6 no es un nmero primo

c: 4 es menor que 8

d: 6 es un nmero primo

a b a v b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0


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Representacin lgica (c d)c d d (c d)0 0 1 00 1 0 0

1 0 1 11 1 0 0

Machala es la provincia de El Oro y Cuenca no es capital deAzuay

e: Machala es la provincia de El Oro

f: Cuenca no es la capital de Azuay

Representacin lgica (e f)e f e (e f)0 0 1 00 1 0 01 0 1 11 1 0 0

SntesisEn la disyuncin exclusiva dice que una proposicin debe ser verdadera y la otrafalsa para que la resultante te de verdadera.

1.5 Disyuncin exclusiva de proposicin.-Este operador lgico tambin sedenomina enunciacin hipottica o implicacin. En la proposicin ab, a es elantecedente, hiptesis o premisa; b es el consecuente, conclusin o tesis; y laproposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad del

antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

La Recproca, es representada simblicamente por: ba.

La Inversa, es representada simblicamente por: ab.

La Contrarrecproca, es representada simblicamente por: ba.


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Ejemplos:

Karina tendr un telfono solo si lo compran

g: tendr un telfonoh: si le compran

Representacin lgica (g h)

g h (g h)0 0 10 1 11 0 01 1 1

Claudia se ira de viaje solo si compra el boleto

i: se ir de viaje

j: compra el boleto

Representacin lgica (i j)

i j (ij)

0 0 10 1 11 0 01 1 1

Sntesis

En la disyuncin exclusiva de proposicin dice que la proposicin a, es elantecedente mientras que la proposicin b, es el consecuente y para que laresultante te de falsa el antecedente (a) debe ser verdadero y consecuente (b) debeser falso y se obtendr una resultante falsa.

1.6 Condicional.-Este operador lgico tambin se denomina enunciacinhipottica o implicacin. En la proposicin ab, a es el antecedente, hiptesis opremisa; b es el consecuente, conclusin o tesis; y la proposicin resultante serfalsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valorde verdad del consecuente sea falso.


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Ejemplos:

Juan tendr un reloj solo si lo compran

m: tendr un reloj

n: si le compran

Representacin lgica (m n)m n (m n)0 0 10 1 11 0 01 1 1

Karen se ira de paseo solo si pide permiso

o: se ira de paseo

p: pide permiso

Representacin lgica (o p)

o p (o p)0 0 10 1 11 0 01 1 1

Sntesis

En la condicional la resultante debe ser falsa solamente cuando el antecedente seaverdadero y la consecuente sea falsa.

a b ab

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1


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1.7 Bicondicional.-Este operador lgico tambin se denomina doble implicacin.La proposicin ab ser verdadera cuando los valores de verdad de ambasproposiciones sean iguales.

Ejemplos resueltos en clases:

Dadas las proposiciones:

a: Un tringulo es equiltero.

b: Un tringulo es equingulo.

La Bicondicional entre a y b es:

ab: Un tringulo es equiltero si y slo si es equingulo.

Ejemplos:

3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.d: 3 + 2 = 7e: 4 + 4 = 8.Representacin lgica (de)

Londres est en Inglaterra si, y solamente si, Pars est enFrancia.n: Londres est en Inglaterrao: Pars est en FranciaRepresentacin lgica (no)

a b ab0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

DE d

e

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

N O no0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


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Sntesis

En la Bicondicional la resultante ser verdadera solamente cuando ambas seaniguales.

1.8 Tablas de verdad y formas proposiciones.- Una tabla de verdad esuna representacin de los posibles valores de verdad que podra tomar unaproposicin. Ejemplos resueltos en clases:

a: [(pq)(rp)]rp q r pq p rp [(pq)(rp)] r0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1

Ejemplos:

a (b c)a b c b c a (b c)0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1


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m (no)m n o m o m (n o)0 0 0 0 1

0 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Sntesis:Las tablas de verdad y forma proposiciones es la representacin de valores deverdad lo cual hacemos una tabla y vamos realizndolo.

1.9 Implicacin Lgica.-Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que Aimplica lgicamente a B, denotado por AB, si y slo si AB es una tautologa.Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad

de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGA.

Ejemplos resueltos en clases:p(qp) p(qp)

p q qp p(qp)0 0 1 10 1 0 11 0 1 11 1 1 1

(pq) (qp)P q pq q p qp (pq)(qp)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1


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Ejemplos:

o b(cb) b(cb)

b c cb b(cb)0 0 1 10 1 0 11 0 1 11 1 1 1

o (bc) (cb)B c bc c b cb (bc)(cb)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1

Sntesis:

La implicacin lgica son dos formas proposicionales la cual a, implica lgicamenteb, a solo si b, y a si solo y si b vendra a ser una tautologa.

1.10 Leyes de los operadores.-Las operaciones lgicas definidas entre lasformas proposicionales y algunas de sus ms importantes propiedades se incluyenen las denominadas Leyes del lgebra de Proposiciones o Leyes Lgicas. Acontinuacin se presentan las de uso ms frecuente:

Equivalencia lgica

CONJUNCIN DISYUNCIN(pq) (qp) CONMUTATIVA (pq) (qp)

[(pq)r] [p(qr)] ASOCIATIVA [(pq)r] [p(qr)](pp) p IDEMPOTENCIA (pp) p(p1) p IDENTIDAD (p0) p(p0) 0 ABSORCIN (p1) 1

: se llama Bicondicional


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Leyes de los Operadores Fundamentales Conjuncin y Disyuncin.

0 11 0

Negacin

(p) p Doble negacin o involutivap(qr) (pq)(pr)p(qr) (pq)(pr)

Distributivas

(pq) (pq)(pq) (pq)

De Morgan

(pp) 1 Tercero excluido(pp) 0 Contradiccin

(pq) (qp) Contrapositiva oContrarrecproca

(pq) (pq)(pq) (pq)

(pq) (pq)

Implicacin

[(pr)(qr)] [(pq)r][(pq)(pr)] [p(qr)]

[(pq)r] [p(qr)] Exportacin(pq) [(pq)0] Reduccin al absurdo

(p q) [(pq)(qp)] Equivalencia

Ejemplos resueltos en clases:La ley de Morgan se aplica solo en la conjuncin y el la disyuncin .(pqr(pq) rAplico la ley de la implicacin (pq)rTraduzca al lenguaje formal.No quiero ir al estadio, ni ver televisin.a: quiero ir al estadiob: ver televisin(ab)Mi equipo gana el juego de ftbol y obtiene los tres puntos, o pierde y trata de ganar

el prximo juego.a: mi equipo ganab: obtiene los tres puntos los tres puntosc: mi equipo pierded: mi equipo trata de ganar el prximo juego(a b) (c d)


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Ejemplos: No quiero trabajar, ni quiero estudiar.a: quiero trabajarb: quiero estudiar

(ab) Si estoy enfermo, necesito un doctor; o se recupera y trata de

mejorarse.

e: estoy enfermo

f: necesito un doctor

g: se recupera

h: trata de mejorarse

(ef) (gh)

Sntesis

Las operaciones lgicas entre las formas proposicionales y algunas de sus msimportantes propiedades solo se incluyen en las denominadas Leyes del lgebra deProposiciones o Leyes Lgicas.

1.11 Razonamientos.- Son proposiciones compuestas que pueden serrepresentadas por la conjuncin de proposiciones denominadas premisas ohiptesis, la condicional como operador lgico principal; y, una proposicin finaldenominada conclusin.Las premisas o hiptesis corresponden al antecedente de la implicacin, mientrasque la conclusin es su consecuente.

[H1H2H3 ...Hn] CConjuncin de hiptesis Condicional o Conclusin

ANTECEDENTE OPERADOR LGICO CONSECUENTE

1.12 Validez de un razonamiento.-Un razonamiento es vlido cuando laforma proposicional que representa su estructura lgica es una tautologa. Si dichaforma proposicional es una contradiccin o contingencia, entonces el razonamientono es vlido, en cuyo caso se denomina falacia.



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Determine si el siguiente razonamiento es vlido:

Si Pablo recibi el e-mail, entonces tom el avin y estar aqu al medioda. Pablono tom el avin. Luego, Pablo no recibi el e-mail.

Solucin:

Se procede primero a identificar las proposiciones simples:

a: Pablo recibi el e-mail.

b: Pablo tom el avin. [H1H2Hn] Cc: Pablo estar aqu al medioda.

H1: a(bc) =p(qr)H2: b = q

C: c = r

[H1 H1]C[(p(qr))q]p

p q r qr p(qr) q H1H2 p[H1H2]C

0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 1

El razonamiento es verdadero cuando es tautologa.

Determine si el siguiente razonamiento es vlido:

Si el crimen ocurri despus de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlocometido. Si el crimen ocurri a las 04h00 o antes, entonces Carlos no pudo haberlocometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometi. Por lo tanto,el crimen involucra a dos personas.

a: El crimen ocurri despus de las 04h00.

b: Pepe pudo haber cometido el crimen.


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c: Carlos pudo haber cometido el crimen.

d: El crimen involucra a dos personas.

H1: a(b) =p(q)

H2: (ac) =(pr)

H3: (cd) =(rs)

C: d

(H1) (H2) (H3) C

[(pq)

(pr))

((rs)]s

p q r s q H1 p r H2 H3 H1H2 H3 [H1 H2 H3] C0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 10 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1


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Ejemplos:

o Si Sandra recibi el mensaje, entonces tom el auto bus yestar aqu en la

Tarde. Sandra no tom el auto bus. Luego, Sandra no recibiel mensaje.

a: Sandra recibi el mensaje.

b: Sandra tom el auto bus. [H1H2Hn] Cc: Sandra estar aqu en la tarde.

H1: a(bc) =p(qr)H2: b = q

C: c = r

[H1 H1]C[(p(qr))q]p

p q r q

r p(q

r) q H1

H2 p

[H1H2]C0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 1

o Si el accidente ocurri despus de las 06h00, entoncesCristhian no pudo haber ocasionado el accidente. Si elaccidente ocurri a las 06h00 o antes, entonces Joao no pudohaber ocasionado el accidente. El accidente involucra a dospersonas, si Cristhian no lo cometi. Por lo tanto, el accidenteocasionado culpa a dos personas.

a: El accidente ocurri despus de las 06h00.


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b: Cristhian pudo haber ocasionado el accidente.

c: Joao pudo haber ocasionado el accidente.

d: El accidente ocasionado culpa a dos personas.

H1: a(b) =p(q)

H2: (ac) =(pr)

H3: (cd) =(rs)

C: d

(H1) (H2) (H3) C

[(pq) (pr)) ((rs)]sp q r s q H1 p r H2 H3 H1H2 H3 [H1 H2 H3] C0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 10 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

Sntesis

Son proposiciones compuestas solamente las que pueden ser representadas por laconjuncin de proposiciones las cuales se les denomina premisas o hiptesis, lacondicional es el operador lgico principal; y, una proposicin final se la llama

conclusin.Adems si el razonamiento te da todo verdadero recibe el nombre de tautologa.


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26

1.13 Conjuntos.-Un conjunto es una coleccin, reunin o agrupacin de objetosque poseen una caracterstica o propiedad comn bien definida.Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: Los nmeros enteros. Los habitantes de la Luna.

Los animales en extincin. Los nmeros primos. Los paquetes de software. Los operadores de telefona celular.Todas estas agrupaciones poseen una caracterstica que puede ser verificable conprecisin. Para decir quexes un elemento del conjunto A, escribiremos x A. Paradecir quexno est en A, escribiremos x A.La descripcin de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras:

PorCOMPRENSIN, para referirnos a alguna caracterstica de los elementos. PorEXTENSIN o TABULACIN, cuando se listan todos los elementos.

Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlogrficamente.

Por COMPRENSIN:A = {x/xes consonante de la palabra amistad}Por EXTENSIN o TABULACIN:A = {d, m, s, t}

Por DIAGRAMAS DE VENN: note que:A dA

b A

Es una agrupacin de objetos que posee una caracterstica. Los conjuntos tambinse puede realizar de la siguiente manera: comprensin, extensin o tabulacin y

diagramas de venn.

1.14 Cardinalidad.-Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denotapor el s A = {x/xes un dgito impar en el sistema de numeracin decimal}

N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

Conjuntos relevantes

t d

m s


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A es VACO si no tiene elementos. El smbolo que se utiliza para representar alconjunto vaco es . N(A) = 0 A es UNITARIO si tiene un nico elemento. N(A) = 1

A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.

A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos.

A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos quedeseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todolo que no interesa al problema. El smbolo que se utiliza para representar a esteconjunto es Re o U. Ejemplos:

Conjunto VACO: A = {x/xes un nmero par e impar a la vez}

Conjunto UNITARIO: A = {*}

Conjunto FINITO: A = {x/xes habitante del Ecuador}

Conjunto INFINITO: A = {x/xes nmero entero}

Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO:A = {x/xes una letra del alfabeto espaol}

Ejemplos realizados en clases:

Determine cul de los siguientes conjuntos es vaco:

a) A = {{}} b) D = {} c) B = {,{}} d) C = {, } e) M = { x/xx}Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) N(A) = N(D) (1)

b) N(D) = N(C) (1)

c) N(C) = N(M) (0)

d) N(C) = 1 (0)

Ejemplos:

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

o N(E) = N(F) (1)

o N(A) =1 (0)


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Sntesis

Siempre tenemos que observar para saber cul elemento es el que pertenece ocuales son y los que no pertenecen para poder descifrar.

Vaco es la que no tiene elementos, unitario solo tiene un nico elemento. N(A) = 1,finito es la que si tiene una cantidad finita de elementos, infinito es la que no tieneuna cantidad finita de elementos y referencial o universo cuando contiene todos loselementos de un problema.

1.15 Cuantificadores

Existen tres tipos de frases o expresiones, a continuacin:

1. Expresiones que son proposiciones verdaderas

5 + 3 = 8

2. Expresiones que son proposiciones falsas

5 + 3 = 10

2 >6

3. Expresiones indistintas o abiertas

5x+ 3y= 8

2x


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1.18 Subconjunto propio

Si A es subconjunto de B si y slo si los elementos de A estn contenidos en B.Simblicamente, este concepto se representa por:

Representacin lgica (A B)x[(xA)(xB)](A B) [(AB) (A=B)(x) F0p V

A VA

A V

1.19 Conjunto potencia.- es aquel que est formado por todos lossubconjuntos posibles de A. El smbolo que se utiliza para este conjunto es P(A), ypara contar se ve de la siguiente manera 2N(A).

Ejemplo:

P(A) ={B/B A}A = {*, +, a}

P(A) = {, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}.{*, +} A

{*, +} P(A)P(A)

Observe que N(P(A)) = 23 = 8.

B = {*, +, a},

P(B) = {, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}.P(B) = {, {1}, {{*, +}}, B}.

Observe que N(P(B)) = 22 = 4.


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1.20 Relaciones entre conjuntos:

1.21 Igualdad.-dos conjuntos A y B son iguales si y slo si tienen los mismoselementos.

(A = B)[(A B)(B A)]

Traduccin a la lgica proposicional universal

(A = B)x[(xA)(xB)]1.22 Unin entre conjuntos.-La unin entre los conjuntos A y B es un nuevoconjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

Se denota.por AB y se define como:AB = {x/(xA)(xB)} Re

1.23 Interseccin.-La interseccin entre los conjuntos A y B es un nuevoconjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.Se denota por AB y se define como:

AB = {x/(xA)(xB)} ReA B

A B


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31

1.24 Diferencia.-La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjuntoformado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen alconjunto B. Se denota por AB y se define como: Re

AB = {x/(x

A)

(x

B)}

1.25 Diferencia simtrica.-La diferencia simtrica entre los conjuntos A y B esun nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o alconjunto B. Se denota por AB.

AB = {x/[(xA)(xB)][(xB)(xA)]}Re

1.26 Complementacin.-La complementacin de un conjunto A es un nuevoconjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A.

Se denota por Ay se define como:

A= {x/(xRe)(xA)}Re

Ejercicios resueltos en clases:

Re: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A

A B

A B


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A: {1, 2, 3, 4, 5} Re

B: {2,4, 6, 8}

C: {1, 3, 6, 7}

a) A: {6, 7, 8}

b) AC: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}A C

c) AC: {1, 3} A C

d) BC: {2, 4, 8} B C

A B

e) AB: {1, 3, 5, 6, 8}

1 234 5

246 8

2 4

5

6

7

2 4

8

1 3

5

6

8

A

1 2 3 6

4 5 7 8

A

1 2

3 45


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33

Ejemplos:

UninA B A B

A: {a, b, c, d, e, f, g} aB: {a, b, c, j, k} b

AB:{a, b, c, d, e, f, g, j, k} c

A B

A:{gato, silla, mesa, tiza, cara} sillaB::{silla, foto, tabla, tiza} tiza

AB:{gato, silla, mesa, tiza, cara, foto, tabla}

Sntesis

El conjunto de dos o ms elementos es la unin.

A B

InterseccinAB

A:{0, 2, 4, 6, 8, 10} 2B::{2, 6, 7, 9} 6

AB:{2, 6}

A B

A:{piso, tela, dedo, ua}B::{casa, ua, tinta} ua

AB:{ua}

04 810

d e

f g

jk

gatomesa

cara

fototabla

piso

tela

dedo

casa

tinta

7

9


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34

Sntesis

La interseccin es cuando se repiten as como el ejemplo anterior y la respuesta esla que solo se repite.

Diferencia AB

A B

A: {perro, loro, gato}B: {loro, gato, libro}AB: {perro, gato}

A B

A: {caa, mata, torta}B: {arete, torta, piso}AB: {caa, mata}

SntesisLa diferencia es que si le ponemos en el conjunto A o le ponemos en el

conjunto B porque no podemos poner en los dos, slo tiene que ser en unconjunto.

Diferencia SimtricaAB A B

A: {A, B, C, D, E, F,G} AB: {M, N, O, F, A} F

AB: {B, C, D, E, M, N, O}

A B

A: {pelo, mono, piso, cama}B: {piso, silla, gorra, gafas} piso

AB: {pelo, mano, silla, gorra, gafas}

perrogato

caamata

B CD E

M N

O

pelomanocama

sillagorragafas


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35

Sntesis

La diferencia simtrica es el nuevo conjunto formado por los elementos quepertenecen o al conjunto A o al conjunto B.

Complementacin A Re

Re: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A: {1, 2, 3, 4, 5, 9, 11}

A : {6, 7, 8}

Re: {a, b, c, d, e, f, g, h} Re

A: {a, b, c, d, j, k, l}

A : {e, f, g, h}

1.27 Demostracin de propiedades del lgebra de conjuntos.

AB=BA (Conmutatividad)x(AB)(xA)(xB) Definicin de Unin.

(xB)(xA) Ley Conmutativa de la Disyuncin.(A B)= A B Aplicando la ley de organx(AB) (xRe)(x(AB)) Ley de Complementacin.N(AB) = N(A) + N(B)N(AB)N(A) = N(AB)+N(AB) Su cardinalidad es la suma.

N(AB) = N(A)N(AB) Se obtiene esta expresin til.

A

1 2 3 6

4 5 7 8

A

1 2 3

4 5 9

11

12 3 4

5

A

a b c e f

d g h

A

a b c d jk l


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Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisin dondepreferan ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:

N(Re) 1000 personas

N(T) 620 Teleamazonas

N(C) 400 Canal 1

N(E) 590 Ecuavisa

N(TC) 195 Teleamazonas y Canal 1

N(CE) 190 Canal1 y Ecuavisa

N(TE) 400 Teleamazonas y Ecuavisa

N(TE)N(C) 300 Teleamazonas y Ecuavisa pero no canal 1

Re

N(TE)N(C): 300

N(C): N(TE)300 Frmula

N(C): 400 300 AB: N(A) + N(B)N(AB)N(C): 100

N(T) N(C) N(E): TCETCE: N(T) + N(C) + N(E) N)N(CE) N(TE) {N(TE) N(C) }TCE: {620 + 400 + 590 195 190 400 + {400 300}TCE: 75 no ven

N(TC): 195 100= 95

N(CE): 190 100= 90

T C

E 75

620 95 400

100

190

590


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37

N(TE): 400 100= 300

N(T): 620 300 100 95= 125

N(C): 400 90 100 95= 115

N(E): 590 90 100 300= 100

Re: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A: {1, 2, 3, 4, 5}

B: {2, 4, 6, 8}

C: {1, 3, 6, 7}

a) (A B) (C B)b) (A B) (C B)

* (A B (C B)Re

A B= {1, 2, 3, 4, 6, 8}C= {2, 4, 5, 8}

B= {1, 3, 5, 7}

C B= {5}

(A B) (C B )={5}(C B )= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

(A B) (C B )= {1, 2, 3, 4, 6, }* (A B) (C B)

A B

1

2 2

4 5

3 13 6 6

7

4 8

C

8 5

7


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38

A B= {1, 3, 5}

C = {2, 4, 5, 8}

C B= {5}

(A B) (C B)= {1, 3, 5}A={1,2}

B={1, 2, 3}

C={1,2}

D={3, 4, 5}

Determinara) A=B falsob) A=C verdaderoc) B y D son distintas verdaderod) A=D falso

A={1,2, 3} 2^3= 8

P(A)=?

P(A)={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}Determinar

A= {x, y,{x}} 2^3= 8

P(A)= {, {x}, {y},{x}, {x, y}, {x, {x}}{y, {x}}A }a) x P(A) falsob) x P(A) verdaderoc) {{x}}

P(A) verdadero

d) {{{x}}} P(A) falsoe) 0 P(A) verdaderoC= 2^0=1 falsoN(P(C))=0

P(C)= {}Determinar

a) (ABC) C falso A={1, 2, 3, 4, 5}


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b) [(AB) C] A falso B={3, 6, 7, 8, 9}c) A(BC) falso C={2,3,4,7,8,10,11,12,13}d) [C (AB)] (AB)] verdaderoe) (AC)

(BC) falso

a) (ABC){1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

(ABC) C= {1, 5, 6, 9}b) [(AB) C] A

(AB)= {1, 2, 4, 5}

(AB)= {3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

[(AB) C]= {3, 7, 8, 10, 11, 12, 13}

[(AB) C] A= {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

b) [(AB) C] A

(AB)= {1, 2, 4, 5}

(AB) = {3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

[(AB) C]= {3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

[(AB) C] A= {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

c) A (BC)

BC={6, 9}

A B

C


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40

(BC) = {1,2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13}

A (BC) = {1, 2, 3, 4, 5}

c) [C (AB)] (AB)]C = {1, 5, 6, 9}

AB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}[C (AB)]= {1, 5, 6, 9}AB= {3}

[C (AB)] (AB)]= {1, 3, 5, 6, 9}En una encuesta a 500obtienen:

220 estudian matemticas

180 estudian fsica

300 estudian qumica

150 estudian fsica y qumica

120 estudian matemtica y fsica

60 estudian matemtica y fsica50 estudian las tres materias

Cuntos estudiantes no revisan materia alguna?

80

Matemticas fsica

50120

qumica

80

190

80

20


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41

N(M)= 220

N(F)= 180

N(Q)= 300

N(F Q)= 150

N( Q)= 120

N( F)= 60

N( F Q)= 50

N(M F Q)= N(M) + N(F) + N(Q)N(F Q) N( Q) N( F) + N( F Q)

N(M F Q)= 220 + 180 + 300 + 150 + 120 60 + 50N(M F Q)= 420N(M F Q)= 500 420N(M F Q)= 80N( F)= 60 50= 10

N( Q)=120 50= 70

N(F Q)= 150 50= 100

N(M)= 220 70 50 10= 90

N(F)= 180 10 50 100= 20

N(Q)= 300 7050 100= 80


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42

Ejemplos:

Dado un conjunto A, los elementos de P(A) son subconjuntosdel conjunto A.A:[1,2, 3] 2^3: 8P(A): [, [1], [2], [3], [1,2], [2,3], [3,1] A]

Se entrevista a 90 personas

50 escuchan msica

20 ven pelculas

60 escuchan msica o ven pelculas

Cuntas personas realizan las dos actividades?

Re= 90

N(M)= 50

N(P)= 20

N(M

P)= 60

N(MP)= N(M) + N(P)N(P)60= 50 N(MP)Re 90

70 N(MP)= 670 60= N(P)

N(P)= 10 (interseccin)

N(M

P)= N(M) + N(P) N(M

P)

N(MP)= 50 + 20 10N(MP)= 70 10N(MP)= 60N(MP)= ReN(MP)N(MP)= 90 60N(MP)= 30 (referencial)

Msica pelcula

80

50 10 20


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43

N(M)= 50 10= 40

N(P)= 20 10= 10

N(MP)= 70 10= 60

Sntesis

Las operaciones entre conjuntos nos permite una gran facilidad ya que podemosgraficarlo mediante uno, dos o ms diagramas de venn para que as lo podamosresolver fcilmente eso s con sus leyes de conjuntos e ir aplicndolos cada uno.

1.28 Predicados de una variableSon expresiones en trminos de una variable que al ser reemplazadas por loselementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si xrepresenta a cualquier elemento de Re, entonces la expresin p(x) se definir comopredicado.La notacin para los predicados ser: p(x), q(x), r(x), etc.

Re= {1, 2, 3, 4, 5}

p(x)= x es impar

q(x)= x es par

Ap(x)= {1, 3, 5} si es impar Ap(x)={7}

Aq(x)= {2, 4, 6} si es par Aq(x)= {8}

Re= {Quito, Lima, Bogot, Caracas, Santiago}

a) p(x)x= x es capital de Ecuador

P(Quito) Quito= Quito es capital de Ecuadorb) q(x)= x + 2= 5

No es un conjunto de verdad

Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

1.29 conjuntos de verdad de un enunciado

Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado

se convierte en una proposicin verdadera. La notacin a utilizar para este conjuntoes Ap(x).


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44

Ap(x)= {2, 4, 6, 8, 10}

{Ap(x)= {a } Re/p(a)= 1}Ap(x) = ACp(x)

A(p(x) q(x))= Ap(x) Aq(x)A(p(x) q(x))= Ap(x) Aq(x)

A(p(x) q(x))= A p(x) Aq(x)Re= {4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

p(x)= x es un nmero primo

q(x)= x


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45

Hallar

a) Ap(x)= {0, 1, 2, 3, 4, 5}b) A(p(x)q(x))={5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4}c) Ap(x) r(x)=A p(x)

Ar(x)

=A p(x)= {0, 1, 2, 3, 4, 5}

d) A(p(x)q(x))={0, 1, 2, 3, 4, 5}

Re= {1, 2, 3, 4, 5}

p(x) x= x es divisor de 12 Ap(x)= {1, 2, 3, 4}= A p(x)= {5}

q(x) x= x primo Aq(x)= {2, 3, 5}

a) x[p(x)] q(x)]= {1, 2, 3, 4, 5}b) x[p(x)] q(x)]= {2, 3}c) x[p(x)] q(x)]= {5}

1.30 Producto cartesiano.- Sean dos conjuntos A y B, no vacos,denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los paresordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al

conjunto B. Simblicamente, lo representaremos como: A x B.

(x,y)= x es su primera componente

y= y es su segunda componente

(2,3) (3,2)

Teorema= (x,y)=(y,x) si y slo si x=y

Ejemplos resueltos en clase:

A = {*, &, #}

B = {@, $, }

A x B = {(*,@), (*,$), (*,), (&,@), (&,$), (&,), (#,@), (#,$), (#,)}

La resultante es N(A x B) = 9.


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46

Ejemplos:

Resolver el siguiente producto cartesiano.

A = {m, n}B = {1, 2, 3}

A x B= {(m,1}, (m,2), (m,3), (n,1), (n,2), (n,3)}

La resultante es= N(A x B)= 6.

A = {d, e}

B = {6, 7}

A x B= {(d,6), (d,7), (e,6), (e,7)}

La resultante es N(A x B)= 4

Sntesis

En el producto cartesiano siempre va a ver dos componentes como ya conocemosson A y B. Primeramente debemos darnos cuenta, cuntos elementos estn dentrodel conjunto A y del conjunto B, luego debemos ir resolviendo y ah te obtendrs tu

resultante.

1.31 Par ordenado.- Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b,que tiene un orden; al elemento a se lo denomina primera componente y alelemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simblicamente

por: (a, b).

Como el par es ordenado, no es lo mismo (a, b) que (b, a).

1.32 Relaciones (AB).-Una relacin establece la correspondencia entre loselementos de dos conjuntos no vacos A y B. Usualmente, al conjunto A se lodenomina conjunto de partida, y al conjunto B, de llegada. Simblicamente, larelacin se representa por R y se cumple que:

R A x B


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47

Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relacin.

La cantidad mxima de relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntosno vacos A y B es: 2N(A)N(B).

R A x BR(A x B)= 2

A = {?}B = {a, b}

El nmero de relaciones de A en B es= = 16R1 R2

{}A B A B

R3 R4

A B A B

?

a

b

?

a

b

a

b

a

b

?

?


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48

R5 R6

A B A B

R7 R8

A B A B

R9 R10

A B A B

R11 R12

a

b

a

b

a

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a

b

a

b


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49

A B A B

R13 R14

A B A B

R15 R16

A B A B

?

?

?

?

a

b

a

b

a

b

a

b

ab

a

b

?

?


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50

El producto cartesiano tiene las siguientes propiedades:

N(A x B)= N(A) N(B)

Ax (B C)= (A x B) (A x C)

Ax (B C)= (A x B) (A x C)Ax (B C)= (A x B) (A x C)

Ax (B C)= (A x B) (A x C)A= {1, 2, 3} B= {a, b}

A x B= {(1,a),(1,b ), (2, a), (2,b), (3, a), (3, b)}

B= {x, y, z} A= {a, b}

B x A= {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}

A= {(a, b)} B= {1, 2}

B x A= {1 (a, b), 2 (a, b)}

A= {2, 4, 5}

B= {1, 3, 5}

R= {(x, y)/x + y es nmero primo}R= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3)}

1.33 Dominio de una relacin.- A y B, los elementos del conjunto A queestablecen correspondencia constituyen dominio de la relacin. Se representasimblicamente por: dom R.

1.34 Rango de una relacin.- A y B, los elementos del conjunto B que serelacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relacin. Serepresenta simblicamente por: rg R.


A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B = {(0,0), (3,1), (4,2), (6,3), (8,4)}

Condicin: a= b + c

0 + 0= 0


51/142

51

3 + 1= 4

4 + 2= 6

6 + 3= 9

8 + 4= 12 no

R = {0, (0,0), 4, (3,1), 6, (4,2), 9, (6,3) }

Re

A B

R = {0, 4, 6, 9} partida

rgR = {(0,0), (3,1), (4,2), (6,3)} llegada

A= {a, b, c} R1: {(a,1), (b,2), (c,2), (d,3)}

B= {1, 2, 3} R2: {(a,1), (b,2), (b,3), (d,1)}Re 1

A B

0

123456789

(0, 0)

(3, 1)

(4, 2)

(6, 3)

(8, 4)

abcd

1

2

3


52/142

52

Re 2

A B

1.35 Funciones.-Una relacin de A en B es una funcin si y slo si el dominio de

la relacin es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio lecorresponde un nico elemento en el rango. Simblicamente, esta definicin serepresenta por:

Para denotar funciones usualmente se utiliza la letra f.

1.36 Tipos de funciones

1.37 Funcin Inyectiva.-cada elemento es la imagen exclusiva

N(A) N(B)

A = {2, 4, 5}

B = {8, 64, 125, 216}

f: AB, yes el cubo dex

f= {(2, 8), (4, 64), (5, 125)}

A f B

abcd

1

2

3

245

8

64

125

216


53/142

53

dom f= A

rg f = {8, 64, 125}

1.38 Funcin Sobreyectiva.-desde el punto de partida pueden llegar dos dellegada.

f: si rg f= B N(A) N(B)

A = {1, 0, 1}

B = {0, 1}

f: AB, y es el cuadrado de x

f= {(1, 1), (0, 0), (1, 1)}

A f B

rg f = {0, 1}

1.39 Funcin Biyectiva.- desde el punto de partida con el de llegada se puedeformar una x.

A = {Guayas, El Oro, Los Ros}

B = {Machala, Guayaquil, Babahoyo}

f: AB, y es capital de x

0

11

0

1


54/142

54

f = {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los Ros, Babahoyo)}

A f B

rg f = {Machala, Guayaquil, Babahoyo}

Determina si es parte de A y B

A= {a, b, c} AB

B= {2, 4, 6, 8}

a) r=

V

b) r= {(a,2), (b,6), (c,8)} Vc) r= {(2,a), (2,b), (2,c)} F

R= {(a,2), (a,4), (a,6), (a,8), (b,2), (b,4), (b,6), (b,8), (c,2), (c,4), (c,6), (c,8)}

A= {a, b, c, d}

B= {2, 4, 6, 8}

r =AB

R={(a,2), (a,4), (a,6), (a,8), (b,2), (b,4), (b,6), (b,8), (c,2), (c,4), (c,6), (c,8), (d,2),(d,4), (d,6), (d,8)}

GuayasEl OroLos Ros

Machala

Guayaquil

Babahoyo


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55

R= {(a,2), (b,2), (b,8), (c,4)}

A f B

A= {1, 2, 3, 4}

B= {1, 4, 9,12 16}

r:A B {(x, y)/ y=}f: {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}

A f B

A= {2, 3, 4}

B= {4, 5, 7}

r : AB

1. x es divisor de y

R= {(2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,5), (3,7), (4,4), (4,5), (4,7)}

f : {2,4), (4,4)}

abcd

2

4

6

8

1234

1491216


56/142

56

A f B

A= {a, b, c}

B= { , }

R1: {(a, ), (c, )}

R2: = {(b, )}

A R1 y R2 B

Ejemplos:

Funcin inyectiva:

A ={2, 4, 6, 8}

B ={4, 16, 36, 48}

f:AB y es el cuadrado de x

f: {(2,4), (4,16), (6,36), (8,48)}

234

457

abc


57/142

57

A f B

dom f= A

Rg f= {4, 16, 36, 48}

A ={3, 4, 5, 6}

B ={27, 64, 125, 216}

f:AB y es el cubo de x

f: {(3,27), (4,64), (5,125), (6,216)}

A f B

dom f= ARg f= {27, 64, 125, 216}

Sntesis

La funcin inyectiva se entiende que el dominio tiene que tener su propia imagen.

Si no lo tiene no es funcin inyectiva.

2468

416

3648

3456

2764

125216


58/142

58

Ejemplos:

Funcin biyectiva:

A ={Eloy, Fidel, Galileo}

B ={Galilei, Alfaro, Castro}

f:AB, y es apellido de x

f: ={(Eloy, Alfaro), (Fidel, Castro), (Galileo, Galilei)}

A f B

Rg f= {Galilei, Alfaro, Castro}

A ={Manab, Cuenca, Los Ros}

B ={Azuay, Portoviejo, Los Ros}

f:AB, y es capital de x

f: ={(Manab, Portoviejo), (Cuenca, Azuay), (Los Ros, Los Ros)}

A f B

EloyFidel

Galileo

CastroAlfaroGalilei

ManabCuencaLos Ros

AzuayPortoviejoLos Ros


59/142

59

Rg f= {Azuay, Portoviejo, Los Ros}

Sntesis

En la funcin biyectiva se entiende que la forma de las flechas debe ser cruzadas, sino tiene esa forma no es funcin biyectiva.

Ejemplos:

Funcin sobreyectiva:

A = {4,2, 2}B = {16, 4}

f: AB, y es el cuadrado de x

f= {(4,16), (2,4), (2,4)}

A f B

Rg f= {16, 4}

Rq f= B

422

164


60/142

60

A = {5,3, 3}B = {125, 27}

f: AB, y es el cubo de x

f = {(5,125), (3,27), (3,27)}

A f B

Rg f= {125, 27}

Rq f= B

Sntesis

En la funcin sobreyectiva como ya vemos en el ejemplo planteado se dice que alllegar al punto llegada puede haber dos o ms perteneciendo solo a una de ellas

all se ve que es funcin sobreyectiva.

A: {1, 2, 3,4}

B: {2, 4, 6, 8}

f: {(1,2), (1,4), (1,6). (1,8), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,2), (3,4), (3,6), (3,8), (4,2), (4,4),(4,6), (4,8)}

A f B

533

259

1234

2468


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61

A: {1, 2, 3,4}

B: {x, y, z, w}

f:AB

f: {(1,x), (1,y), (1,z), (1,w), (2,x), (2,y), (2,z), (2,w), (3,x), (3,y), (3,z), (3,w), (4,x), (4,y),(4,z), (4,w)}

A f B

1.40 Funcin Inversa.-Esta nueva funcin permite invertir el sentido de lacorrespondencia y se la representa .f(x): (, )

(

,

)

A: {1, 2, 3,4}

B: {x, y, z, w}

: {(x,1), (x,2), (x,3), (x,4), (y,1), (y,3), (y,4), (z,1), (z,2), (z,3), (z,4), (w,1), (w,2),(w,3), (w,4)}

1234

xyzw


62/142

62

B f A

x: {a, b, c, d}

y: {1, 2,3,4}

f:xy

f: {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (d,1), (d,2),(d,3), (d,4)}

A f B

1.41 Funcin Compuesta.- es una relacin que se denota de la siguientemanera:

f:AB

g:BC

x

yzw

1

234

abcd

1234


63/142

63

f gA B C

f A o B: {( ,),( , )}gof: {(

,

),(

,

)}

BC: {( ,),( , )}A: {1, 2, 3,4}

B: {2, 4, 6, 8}

C: {3, 6, 9, 12}

f:AB: {(1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,2), (3,4), (3,6), (3,8),(4,2), (4,4), (4,6), (4,8)}

g:BC: {(2,3), (2,6), (2,9), (2,12), (4,3), (4,6), (4,9), (4,12), (6,3), (6,6), (6,9), (6,12),(8,3), (8,6), (8,9), (8,12)}

f: {(1,8), (2,4), (3,6), (4,2)}

g:{(2,12), (4,6), (6,9), (8,3)}

gof

A f B g C

gof: {(1,3), (2,6), (3,9), (3,10)}

1234

2468

369

12


64/142

64

f:AB {(1,b), (2,a), (3,d), (4,c)}

A: {1, 2, 3, 4}

B: {a, b, c, d}

A f B

: {(b,1), (a,2), (d,3), (c,4)}

BA gof

A f B A

A: {1, 2, 3, 4}

B: {2, 4, 6, 8}

f:AB

g: BA

f: {(1,6), (2,4), (3,8), (4,2)}

g: {(2,4), (4,3), (6,2), (8,1)}

1

2

3

4

a

b

c

d

123

4

abc

d

123

4


65/142

65

fog

B g A f B

:{(2,2), (4,8), (6,4), (8,6)}

A: {-1, -2, -3} B: {3, 6, 9} C: {2, 4, 6}

f:AB f(-1)= 3

g: CA f(-2)= 6 fog: {(2,9), (4,6), (6,3)}

f(-3)= 9

fogC g A f B

g: {(2,-3), (4,-2), (6,-1)}

2468

1234

2468

246

-1-2-3

369


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66

NMEROSREALES

INTRODUCCIN

En este nuevo captulo aprenderemos a recordar lo que yahemos visto durante el colegio como los nmeros naturales,enteros, racionales e irracionales, etc.

Tambin veremos algunas de las propiedades y aplicaremosen algunos ejemplos, empezaremos a realizar ejercicios en locual debemos sacar el mnimo comn mltiplo y en otros casos

ser el mximo comn divisor y ya que en este captulo sedefine a nmeros reales lo cual incluye los diez casos defactorizacin, valor absoluto, ecuaciones cuadrticas.

Es muy importante recordar las clases que ya se han visto locual nos ayuda a seguir teniendo ms conocimiento a cadauno de nosotros.


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67

Nmeros Reales

2.1 Nmeros naturales.- son todos aquellos nmeros que hemos visto desdela, primaria, secundaria y en fin son nmeros infinitos.

2.2 Numeras enteros.-son todos aquellos nmeros que no tienen fraccin aello le llamamos nmeros enteros y se lo representa con la letra Z.

2.3 Nmeros racionales.-Un nmero racional es aquel que puede expresarsecomo una fraccin p q entre dos nmeros enteros: p (numerador) y q(denominador), con denominador q diferente de cero. Y se lo representa con la letraQ.

(p/q= q0)2.4 Nmeros reales.-Los nmeros reales racionales tienen representacionesdecimales con una cantidad finita de dgitos, o con cierto nmero de dgitos queaparecen indefinidamente siguiendo algn patrn de repeticin.

2.5 Nmeros irracionales.- Los nmeros reales irracionales tienenrepresentaciones decimales que no terminan ni tienen un patrn de repeticin.

2.6 Nmeros periodos.-son aquellos que se repiten, por ejemplo:

= 0,1616161616= 0, 16.

=3, 141562

-2 -1 0 1 2

2,784=

Representar:

3,1269=

3,1269=

=


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68

0,0042828

0,00428=

=

=

a) = irracionalb) 1,232323= 1,23= peridico irracional

c) / 4= irracional

d) = irracional

2.7 Propiedades de las operaciones binarias:

Propiedades operadores

La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacin binaria debepertenecer al conjunto que se toma como referencia.

a, b P, a*b PLa propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importanteal realizar la operacin.

Binaria conmutativaa, b P, a*b = b*a

La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma loselementos de la operacin.

Binaria asociativa

a, b, c

P, a*(b*c) = (a*b)*c

La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma loselementos de la operacin.

La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizarla operacinentre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo modificaal primero.

Elemento neutro

n

P

a

P, a*n = n*a = a


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69

La propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizarla operacin entrecualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, se obtiene elelemento neutro. Esta propiedad slo deber probarse en caso de existir elementoneutro.

Elemento inverso Ci= i inverso a

a P ; P, a*i= i*a= nEjemplo: S= { , , }

B= {1, 2, 3}

Resultado: 1*3= 3

3*3= 1

a*b= 2ab++ propiedad clausurativab*a=2ab++a*b= b*a

2ab++= 2ab++ propiedad conmutativa(2ab++) *c= (+2ab++2(2ab++)(c)+(+4b+6+4a+++)+(4abc+2c+2c+

*

* 1 2 3

1 3 2 3

2 2 3 2

3 3 2 1


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70

(a*b)*c= (2ab++) *c= +4b+6+4a++2+2c+2c+4abc+2(2ab++)c++(2ab++4abc+2+2c+++4b+6+4a+(+2ab+ +6+4a 2 3 4 a*(b*c)= a*(2bc+ )2a (2bc+ +(2bc+ +4abc+2a+2a+( +(4abc+2a+2a++4c+6+4b++

(a*b)*c a*(b*c)Demostrar si es racional

+ 4=

+

=

=

= 4.5 no es irracional

a*n= n*a= a

2an+ + = 0 propiedad neutron nico propiedad viceversa


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71

2.8 Dominio de variables.- a partir de las actividades anteriores podemosdefinir que es un dominio.

2 + 1 = 2 + 13 + 1 3 + 1

1 + 1 1 + 11 + 1 2 + 1

2 2

2 + 1 = 2 + 1 = 2 + 1 =

3 + 1 3 + 1 3 + 1

1 + 1 1 + 2 3 + 2

3 3 32

2 + 1 = 2 + 1 = 2 + 1 =3 + 1 3 + 3 15 + 3

5 5 53

2 + 5 = 36 + 5 = 41= 2.2777718 18 18

Mdulo 4

S = {0, 1, 2, 3}

i, j, k S: i + j = k, donde k es el residuo de la divisin de i + j para 4.i, j, m S: i .j = m, donde m es el residuo de la divisin de i. j para 4.As:

2 + 3 = 1 ya que 2 + 3 = 5, que dividido por 4, da residuo 1.

2. 3 = 2 ya que 2. 3 = 6, que dividido por 4, da residuo 2.

2 + 3= 5 5 4 2 + 3= 1

1

2.3= 2 6 4 2.3= 62


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72

1 = 1 = x = xx 1 1 1 (x+1)(x-1)

x x

x = x = x = x=1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + x

1 + 1 x + 1 x x + 1x x x

x = x = = 2x +

2

2

x x

3x = x(x-3) = x(x-3) = -x + 3x (x-3) -(x-3)

-5x+6 = (x-2)(x-3) = x-3-2x x(x-2) x

+ 3+3x+1 = (x+1 = = x+1+ 2+x x (+2x+1) x(x+1 x

1. -3x = x(x-3) = x(x-3) = -xx (3-x) - --(x+3)

2. +x-2 = (x+2)(x-1) = x+2 = (x+2)(x-1) = x+2--x+1 (x-1)-1(x-1) (-1) (-1)(x-1) -1

3. -9+ = (x-3)(x+3) = x-3+2x-15 (x-3)(x+5) x+5

4. 1 + 2x - 1 = (x-1)+2x-(x+1) = 2xx+1

-1 x-1 (x+1)(x-1)


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73

2.9 Relacin de orden de nmeros enteros.- Observando la rectanumrica se aprecia que los enteros estn ordenados, de tal modo que un nmeroes mayor que otro mientras ms a la derecha se encuentre de l.

+-3 -2 -1 0 1 2 3 4

2.10 Nmero primo.-un nmero es primo si es mayor que uno y es divisiblepara s mismo y para la unidad.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

2.11 Mximo Comn Divisor.-El M.C.D. de un conjunto de nmeros enteros

es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nmeros del conjunto.

En el conjunto de los nmeros 24, 36, 48:

24 2 36 2 48 212 2 18 2 24 2

6 2 9 3 12 23 3 3 3 6 21 1 3 3

1

. = 24 . = 36 . = 48M.C.D.: ()(3)= 12

2.12 Mnimo Comn Mltiplo.- El m.c.m. de un conjunto de nmeros enteros

es el menor entero positivo que es el mltiplo de cada uno de los nmeros dados.

En el conjunto de los nmeros 2, 6, 10:

2 6 10 21 3 5 3

1 1 5m.c.m.: (2)(3)(5)= 30


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74

2.13 Nmeros pares e impares.-se dice que a es:

Nmero par: a = 2n, n ZNmero impar:

a = 2n + 1, n

Z

Ejemplo:

12 es par porque 12 = (2)(6)

5 es impar porque 5 = (2)(3) + 1

0 es par porque 0 = (2)(0)

31 es impar porque 31 = (2)(15) + 1

140 es par porque 140 = (2)(70)

81 esimparporque81 = (2)(40) + 1

a es imparsolo:

= Elevando al cubo.A es parsolo:

= Elevando al cuadrado.

2.14 Expresin algebraica.-Es la combinacin de smbolos (nmeros yletras), a travs de las diferentes operaciones fundamentales. Los trminos de laexpresin algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales estnseparadas entre s por los signos + o .

Ejemplo:

Por qu es verdadera la igualdad (a+b).c=a.c+b.c?

Porque es una propiedad asociativa

El valor de verdad de la proposicin ( )a) Verdadero b) Falso


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75

Una de las siguientes proposiciones es falsa, identifquela:

a) 8 1

> verdaderac) 22 < 8 verdadera

d) 10.16666... = 6

0.166666=15

0.16= 16-1= 15 = 190 90 6

306

e) verdaderaDos grupos de turistas tienen 60 personas cada uno. Si

del primer grupo. Y

del segundo toman un autobs para ir al museo, cuntas personas ms delprimer grupo toman el autobs que del segundo?

= primer grupo: 45

= segundo grupo: 40


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76

Las personas que tomaron fueron 5

Si a y b son nmeros primos y M un entero positivo, tal que M = a3 b2,entonces M tiene doce divisores.

M= . = M= (27)(25)= M= 675 3

225 375 325 55 51

El mximo comn divisor de 72, 108 y 90 es 90.

a) Verdadero b) Falso

72 2 108 2 90 236 2 54 2 45 3

18 2 27 3 15 39 3 9 3 5 53 3 3 3 11 1

72= . 108= . 90= 2. M.C.D.= 2.. 5= 90


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77

Ejemplos:

.

/ .

/

. / .

/ .

/ .

/

(ab-a++-b++b-+a)(ab-+b+a-b+++-+a

ab-a++-b+b+a- ab+-b-a+b--- a =

2+2a = 2a(+ = 2a- -

-5 - 1 -5 - 1 -5-(x+1)-1 x-1 = (x+1)(x-1) x-1 = (x+1)(x-1)

1 - 4 x+1-4 x-3x+1 x+1 x+1 x+1

-5-x-1 (-x-6) (x-3)(x+2)(x+1)(x-1) = (x+1)(x-1) = (x+1)(x-1) = (x+1)(x-3)(x+2) = x+2

x-3 x-3 x-3 (x-3)(x+1)(x-1) x-1x+1 x+1 x+1


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78

Sntesis

La expresin algebraica se dice que es la combinacin de smbolos de nmeros yletras y para poder resolver estos casos debemos saber primeramente los diezcasos de factorizacin.

x,y= variables independientesn,m= enteros positivos

= 1 = =

= = =

= = =

=

= = -

= .

=

=


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79

Ejemplos:

=

=

= = = = = = = = = .= = = = = = = = = = = = 2.2= 4 = = =

=

= 1

2.15 Valor absoluto.- El valor absoluto de un nmeroxse representa por |x| yes un nmero no negativo, tal que:Todo nmero se caracteriza por dos elementos: su valor absoluto y su signo y se lorepresenta de la siguiente manera:

(x)= , -

Tipos de intervalos: Intervalo cerrado:

[a, b] = {xR/a x b} +

[a b]


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80

Intervalo abierto:

(a, b) = {xR /a


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81

c) # es una operacin conmutativa. (1)

Si es una propiedad conmutativa

d)

a

S, a # 0 = |a| 2 (1)

| | 2=|| 2|| 2= || 2

e) a S, a # a = a (0)| | 2= a|| 2= a-2= a

Ejemplos realizados en clases:

a) |7| + |3| |5|

7+3 - |5|

9 5

4

b) |6 9| + |10 4| + |5| |5|

|-3|+|6|+|5|-|5|

3+6+5-5

9

c) |4 8| |6| + |14 11| |8|

|4| - |6| + |3| - |8|

4 6 + 3 83

d) |3(1) (1)| |2(1) (1)| |3 (1)|

|3+1| - |2+1| - |3+1|

|2| - |1| - |4|


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82

2 1 4

-3

e) 2(1) 3 |3(1) 2(2)| + |4 5(2)|

2 3 - |3-4| + |4+10|

-1 - |1| + |14|

- 1 1 + 14

12

f) |3(0) 1| [3(4) + 6] |3 2(4)|

|0-1| - [-12+6] - |-3+8|

|-1| - [-6] - |5|

1 + 6 5

2

Ejemplos:

|6| + |2| |4|

6+2 - |4|

8 4

4

|3 7| |5| + |13 10| |7|

|4| - |5| + |3| - |7|4 5 + 3 76

Sntesis

Se entiende que el valor absoluto es necesario conocer el concepto de intervalo yadems se caracteriza por dos elementos los cuales son: su valor absoluto y susigno.


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83

2.16 Ecuacin o igualdad.-Una ecuacin o igualdad condicional, es aquellaque es verdadera slo para algn o algunos valores de las variables del conjuntoreferencial que corresponda.

=

Expresin 1= Expresin 2

2.17 Ecuaciones lineales.-Una ecuacin lineal o de primer grado, correspondeal tipo ms simple de ecuacin, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:

a, b a 0ax+ b = 0

ax+ b b = 0 b

ax+ 0 = b

ax= b

=

7x 5 = 4x + 7

7x 4x= 7 + 5

3x= 12

x=

x= 4

Comprobacin: x= 4

7(4) 5= 4(4) + 7

28 5= 16 + 7

23= 23

3 -

3 = 12


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84

3 - = 22

3 - = 2

3

= 2

= 2

19 + x= 18

x= 18 19

x= -1

Comprobacin: x= -1

3 -

3 = 12

3 -

3 = 12

3 = 1

2


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85

= 1

2

= 1 = 1

1= 1

2.18 Expresiones cuadrticas.- Una ecuacin cuadrtica o de segundo

grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma:p(x) : ax2 + bx+ c = 0 a, b, c a 0

+5x-6= 0(x+6)(x-1)= 0

x+6= 0, x-1= 0

= -6 ;= 1Comprobando, tenemos que:

=+5(-6)-6= 036-30-6= 0

0= 0

=

+5(1)-6) 0

1+5-6= 0

0= 0

-11x+6= 0 determine Ap(x).

= 0

(x-3)(3x-2)= 0

= 3 ; 3x= 2


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86

= Comprobando, tenemos que:

= 3

-11(3)+6= 0

3(9)-33+6= 0

27-33+6= 0

0= 0

= 3-11+6=n0

3

-11

+6= 0

- -

+ 6= 0

= 0

= 0

0= 0

Frmula general

x=

= b2 4ac (Discriminante)

x=

x= Interpretacin del discriminante de una ecuacin cuadrtica+bx+c= 0

Si el discriminante es mayor que cero, existen dos soluciones reales y diferentes.Si el discriminante es igual a cero, hay una solucin real duplicada.

Si el discriminante es menor que cero, no existe solucin real.

Sea Re = 5x + 1= 0, determine Ap(x).a= 3

b= -5

c= 1


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87

x=

x=

x=

= =

-24x+9= 0, determine Ap(x).a= 16

b= 24 x=

c= 9

x=

x=

x=

x=

= = - - -4x+2= 0, determine Ap(x).

a= 3

b= -4 x=

c= 2

x=

x=


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88

x=

= =

2.19 Suma Algebraica de las Races de la Ecuacin Cuadrtica.

La suma de las races de la ecuacin cuadrtica viene dada por la frmula:

=

2.20 Producto Algebraico de las Races de la Ecuacin Cuadrtica.

El producto de las races de la ecuacin cuadrtica viene dado por la frmula:

=

()

=

Encuentre el valor de k en la ecuacin para quela suma de sus soluciones sea el triple de su producto.


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89

a= 1 = = =

b= -8 -3k= -8-3= c= (k-1)

2.21 Ecuaciones con valor absoluto.-Una ecuacin con valor absoluto esuna expresin algebraica que incluye el valor absoluto.

Ejemplo:

Sea Re= R y p(x): | | , determine Ap(x)| | | | | | v| | (x= -1) v (x= 3)

Comprobando tenemos:

p(-1): ||= 5-2= 3p(3): ||= 5-2= 3Por lo tanto, Ap(x)= }

2.22 Ecuaciones con radicales.-Una ecuacin con radicales es unaexpresin algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raz cuadrada. Elnico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que

posea el radical para eliminarlo.

Sin embargo, con este procedimiento la ecuacin no se transforma en una ecuacinequivalente, ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se necesita quetengan exactamente las mismas soluciones.

Sea Re= R y p(x): + = ( )= ( )

()

()( ) ( )=

2x+1


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90

()( ) ()( )

()

( )

4x, (x+1)= 0

(4x= 0) v (x+1= 0)

v

2.23 Planteo de ecuaciones:

Una de las aplicaciones ms importantes que podemos encontrar con el estudio dellgebra es la solucin de problemas de las ciencias de la ingeniera, la economa, laadministracin, las finanzas, la medicina, y otros del mundo real, los cuales puedenplantearse en trminos algebraicos y resolverse con las tcnicas anteriormenteestudiadas.

Considere las siguientes reglas bsicas para la resolucin de problemas delenunciado verbal:

Lectura y compresin del enunciado del problema: Antes de iniciar laresolucin de un problema, es necesario que hayamos comprendido bien suenunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como seanecesario, para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cmo serelaciona la informacin dada.

Designacin de la(s) incgnita(s) del problema: Para designar la(s)Incgnita(s) debemos prestar atencin a la pregunta que se formula en elproblema. Sin embargo, es conveniente tambin tener presente lasrelaciones existentes entre los datos y la incgnita, pues ello puede permitirplantear una ecuacin ms simple. Generalmente las incgnitas serepresentan con letras minsculas del alfabeto espaol.

Traduccin del texto del problema al lenguaje matemtico: Exprese entrminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema.

Expresin de relaciones por medio de ecuaciones: Identifique la(s)condicin(es) del problema que relaciona(n) dos o ms de las expresionesestablecidas en el paso anterior. Plantee una ecuacin (o ecuaciones) queexprese(n) las condiciones del problema.

Resolucin de las ecuaciones y anlisis de las soluciones encontradas:Resuelva la(s) ecuacin(es) y verifique que sus soluciones satisfagan alproblema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que

responda a la pregunta que se plante en el problema.


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91

Problemas de plante de ecuaciones:

La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 72. Encuentre el mayor deellos.

x: nmero menor 1, 2, 3

x+1: nmero central x+1

x+2: nmero mayor 23+1= 24

x+(x+1)+(x+2)= 72 x+2

3x+3= 72 23+2= 25

3x= 72-3 23+24+25= 72

El nmero mayor es 25

x= 23

Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes leedel libro y el mircoles lee

del resto. Si para los restantes das de la semana

todava le quedan 64 pginas de lectura, Cul es el nmero total de pginasdel libro?

x: nmero de pginas del libro

x= lunes y martes


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92

8x= 64(15) (120)= 24

8x= 960 24+(120-24)

24+32+64= 120x= 120

Entre el lunes y el martes ley

de 120 pginas, es decir, 24 pginas.

Y el mircoles ley de 96 pginas, es decir, 32 pginas.

Los restantes das ley 64 pginas.

El total de pginas ledas es la suma de 24, 32, 64, es decir, 120.

Una solucin de sal se hizo al 10% y otra al 25%. Cuntos litros de cada unase deben mezclar para obtener 20 litros de solucin al 16% de sal?

x: nmero de litros al 10%.20 x: nmero de litros al 25%.

La cantidad de sal en la mezcla final debe ser igual a la suma de las cantidades desal que hay en las soluciones iniciales. La cantidad de sal en cada solucin es elporcentaje dado del nmero de litros de ellas.

10% dex+ 25% de (20 x) = 16% de 20

+ =

x / (20 x) / 20 /

10% 25% 16%


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Reemplazando:

Por lo tanto, se deben mezclar 12 litros de la solucin al 10% con 8 litros de lasolucin al 25% para obtener 20 litros de una solucin al 16%.

David puede pintar una habitacin en 6 horas. Su amigo Jos puede pintar lamisma habitacin en 8 horas. Cunto demorarn en pintarla si trabajanjuntos?

x: nmero de horas que demoran en pintarla juntos.

En 1 hora: David pinta de la habitacin

Jos pinta de la habitacin

David y Jos juntos pintan de la habitacin

Como la suma de las partes que realizan por separado debe ser iguala la parte deltrabajo que realizan trabajando juntos, entonces se tiene la siguiente ecuacin:

4x+3x= 24

7x= 24

Trabajando juntos, David y Jos demoran horas en pintar lahabitacin.Un consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios, mientras que su asistentegana en una hora el equivalente en dlares a los del nmero total de horas


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trabajadas por el consultor. Si en un trabajo, en el cual el consultor trabaj 3horas ms que su asistente, la cuenta total fue de $ 880, encuentre el nmerode horas trabajadas por el consultor.

Seaxel nmero de horas trabajadas por el consultor.

El asistente trabajx-3 horas y gan $

en cada una de esas horas. Se plantea laecuacin 25x+

= 880

v v a= 1b= 62

c= -2288


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95

Ejercicio:

a+b= 7, a*b= 12 determinar el valor numrico de 3+4= 7, 3*4= 12 = 91Ecuacin:

Como se trata del total de horas, tomamos el valor positivo, lo cual significa que elconsultor trabaj 26 horas.

La suma de dos cifras de un nmero entero positivo es 9. Si al invertir el ordende las cifras se obtiene un segundo nmero que excede en 9 al cudruplo delnmero original, encuentre el nmero original.

Sea u la cifra de las unidades y dla cifra de las decenas.

Segn las condiciones del problema, debe cumplirse que:

u + d= 910u + d= 4(10d + u) + 9

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene u = 8, d= 1.Por lo tanto, el nmero es 18.

La suma de las cifras 1 y 8 efectivamente es 9; al invertir el nmero se obtiene 81, elcual excede en 9 unidades al nmero 72 = 4 (18).


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96

A la presentacin de una pelcula asistieron 600 personas. El costo de losboletos para adulto fue de $ 5 mientras que los nios pagaron solamente $ 2.Si la taquilla del cine recibi $ 2400, encuentre la diferencia entre el nmero deadultos y el nmero de nios.

Si n es el nmero de nios que asistieron a la funcin, el nmero de adultoses600-n.Con los datos del problema se plantea la siguiente ecuacin:

5(600 n) + 2n = 2400 n = 200. La diferencia entre el nmero de adultos y elnmero de nios es || || De las 600 personas, 200 eran nios y 400 eran adultos. Los nios contribuyeron ala taquilla en (200)(2)= $ 400, mientras que los adultos pagaron (400)(5) = $ 2000.

Hace 4 aos, la edad de Hernn era la raz cuadrada de la edad que tendrdentro de 2 aos. Determine la edad actual de Hernn.

x: edad actual de Hernn.

x-4: edad de Hernn hace 4 aos.

x+ 2: edad de Hernn dentro de 2 aos.

Segn las condiciones del problema, se puede plantear la siguiente ecuacin:

v v La respuestax= 2 no tiene validez en el contexto del problema. La respuesta x= 7

significa que la edad actual de Hernn es de 7 aos. Hace 4 aos, Hernn tena 3aos y dicho valor es la raz cuadrada de9, que es la edad que l tendr dentro de 2aos, luego la edad actual de Hernn es 7 aos.

De 5 futbolistas donde ninguno tiene el mismo nmero de anotaciones se sabe que:

Javier tiene 2 goles ms que Mario

Gabriel tiene 2 goles ms que Roberto pero 1 menos que Mario

Juan tiene ms goles que Roberto pero menos que Mario


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Cuntos goles menos que Javier tiene Juan?

6x= Javier

4x= Mario

3x= Gabriel

2x= Juan

1x= Roberto

6x+4x-3x+x-2x-4x= 0

10x 4x - 2x = 0

6x - 2x = 0

4x= 0

x= 4

Ejemplos:

| |

| |


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Sntesis

Antes de iniciar la resolucin de un problema, es necesario que hayamoscomprendido bien su enunciado. Tenemos que leer cuidadosamente elproblema tantas veces como sea necesario, para poder aclarar nuestrasdudas sobre lo que se pide resolver y cmo se relaciona la informacin dada.

2.24 Desigualdad.- Una desigualdad es un enunciado que compara dosexpresiones matemticas. Dichas expresiones estn separadas por alguno de lossiguientes smbolos: >, 0.

2.p(x): ax+ b


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99

Ejemplo:

Sea Re =R y el predicadop(x): 4x+ 3 12x 13, determine Ap(x).

4x 12x3 13

8x 16

x 2 Ap(x) = (, 2].

Sea Re = y p(x): determine Ap(x).

Mcm: 24 , -2.27 Inecuaciones cuadrticas.-Una inecuacin cuadrtica es aquella quepuede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los nmeros reales,mediante una de las siguientes formas:

1.p(x) : ax2 + bx+ c >0

2.p(x) : ax2 + bx+ c


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100

Un producto de dos factores es negativo si ambos factores poseen signosdiferentes.

Estas propiedades de las desigualdades se las puede resumir en la siguiente tabla:

1 2

En el caso 1, la solucin de la inecuacin sera:

En este punto se puede observar que tenemos cuatro inecuaciones lineales, lascuales pueden ser resueltas con el mtodo indicado en la seccin anterior.

Debe recordarse que la conjuncin de predicados involucra la interseccin entre susconjuntos de verdad; y, la disyuncin de predicados involucra la unin de susconjuntos de verdad. Si las inecuaciones tienen los smbolos o ,al resolver lainecuacin lineal se debe incluir el extremo del intervalo en las desigualdadesprecedentes.

Sea Re= R yp(x) determine Ap(x). Al representar grficamente en la recta real:

- [ [ +-1 0 2

- ] ] +-1 0 2

- ] [ +-1 0 2

2.28.- Inecuaciones con valor absoluto.- Para resolver este tipo deinecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto, las cualesse deducen a continuacin.Considere los siguientes predicados:


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101

1. p(x):||a, a 0Podemos observar en el grfico, que:

- ( ) +-a 0 a

Por lo tanto,Ap(x) = }

2. : || Podemos observar en el grfico que:

- ) ( -a 0 a

Por lo tanto,Ap(x)= }3. : ||

}4. : ||

}Si :

1.

: ||

Como el valor absoluto de un nmero es siempre positivo, la inecuacin no tienesolucin.

2. : || Un valor absoluto siempre es mayor o igual que un nmero negativo, por lo cual, lainecuacin tiene como solucin el conjunto de los nmeros reales.

Expresiones como |x| 0, |x| 0, |x| > 0 y |x| < 0, se resuelven empleando laspropiedades del valor absoluto. El lector puede verificar que la solucin de estasinecuaciones es , {0}, {0} y , respectivamente.

|| || || ||


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Sea Re = R yp(x): xab

| |

: | |

: [ ]

Ap(x) Aq(x)p(x): |x+4|


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103

Representacin grfica:

-

)

-6 -3] -2 0 [3

:Ejemplos:

Jenny quiere invertir $ 50000. Ella puede escoger el banco A que ofrece uninters anual del 8%, o con un mayor riesgo, escoger el banco B que ofrece uninters anual del 10%. Qu cantidad mnima deber invertir en el banco B, demodo que reciba una rentabilidad anual total de al menos $ 4400?Datos:

Cantidad inv. Bco. B Cantidad Bco. AB(10%) + A(8%)44000.1x+0.08(50.000- ) 44000.1x+4000-0.08x44000.1x-0.084400-40000.02x400x20000Un promotor artstico quiere realizar un concierto. El costo del mismo puedeser cubierto con un pago nico de $ 2440, o un pago de $ 1000 ms el 40% delo que se obtenga por la venta de las entradas. l pronostica que asistirn 800personas. Cunto podra cobrar por el boleto de manera que la segundaforma de pago no sea ms elevada que el pago nico?

Datos:

= precio de la entradaPago nico: 2440

Segunda forma: 1000+0.40 (800x)


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104

: | |

:


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105

| | : | | :

:

: - +

-2 0

3

2.29 Factorial.-Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de lasiguiente manera:

{


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106

A este esquema de definicin se lo denomina recursivo. La recursin es la formaen la cual se especifica un proceso basado en su propia definicin.

Ejemplo:

Al encontrar el valor de 6! se obtiene:

Cuntas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas?, esenmero es 52! Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que eseste nmero, alrededor de 8.065817517094 x .Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 ceros.Comparando ese nmero con otros nmeros enormes, es mayor que el cuadradodel nmero de Avogadro, 6.022 x

, el nmero de tomos omolculas, etc., que

hay en un mol y est en el mismo orden de magnitud que el nmero de tomos en laVa Lctea.

2.30 Combinatoria.-Sean n, m enteros no negativos tales que n m, el smbolo que se lee combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez, secalcula de la siguiente manera:

Ejemplo:

Al encontrar el valor de , se obtiene:


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107

720

720x24= 17.280

Propiedades de las Combinatorias

2.31 Principio de la suma (Aditivo).-Supongamos que un eventoA se puederealizar de m maneras diferentes, y otro evento B se puede realizar

portafolioo de mateee

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