portafolio_2011-2012

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MATME/PF/M11/N11/M12/N12

10 pginas Para utilizar en la evaluacin final en 2011 y 2012

MATEMTICAS

Nivel Medio

Tareas de la carpeta

Para utilizar en 2011 y 2012

Organizacin del Bachillerato Internacional, 2009

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2 MATME/PF/M11/N11/M12/N12

Para utilizar en la evaluacin final en 2011 y 2012

NDICE

Introduccin

Tareas de tipo I Suma infinita

Nmeros estelares

Tareas de tipo II

Tendencias demogrficas en China

Tolerancia a la fuerza G

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Introduccin

Cul es el propsito de este documento?

Este documento contiene tareas nuevas para la carpeta de matemticas NM. Estas tareas han sido

preparadas por el IB para que los profesores las utilicen a lo largo de 2011 y de 2012. Ntese que,

despus de la convocatoria de noviembre de 2010, todas las tareas preparadas y publicadas por el IB

con anterioridad a estas incluidas las tareas que aparezcan en cualquier material de ayuda al

profesor y las incluidas en el documento Tareas de la carpeta para utilizar en 2009 y 2010

dejarn de ser vlidas para la evaluacin. Encontrar copias de todas las tareas publicadas por el IB

en materiales de ayuda al profesor en el Centro pedaggico en lnea (CPEL), en la seccin

Evaluacin interna, en el documento Tareas publicadas antes de 2008. Dichas tareas no debenutilizarse en su forma original ni con modificaciones.

Qu sucede si se utilizan estas tareas antiguas?

La inclusin de estas tareas antiguas en la carpeta har que esta no cumpla los requisitos. Una

carpeta as conllevar una penalizacin de 10 puntos. Los profesores pueden continuar utilizando

las tareas antiguas como prcticas, pero no debern incluirlas en la carpeta para la evaluacin final.

Qu otros documentos debo utilizar?

Todos los profesores deben disponer de la gua de matemticas NM (septiembre de 2006), incluido

el apndice con las notas para los profesores, y el material de ayuda al profesor (septiembre

de 2005). Puede encontrar ms informacin, incluidas notas adicionales sobre cmo aplicar los

criterios, en el Centro pedaggico en lnea (CPEL). Tambin en el CPEL se publican noticiasimportantes, as como las Notas para coordinadores del Programa del Diploma, que contienen

informacin actualizada sobre una amplia variedad de temas.

Qu tareas puedo utilizar en 2011?

Las nicas tareas creadas por el IB que pueden enviarse para la evaluacin en 2011 son las que se

incluyen en este documento. (Estas tareas pueden utilizarse tambin en 2012, junto con las tareas

para 2012 y 2013 que se publicarn a ms tardar en enero de 2011.) No es obligatorio utilizar las

tareas creadas por el IB, y no existen restricciones temporales para utilizar las tareas creadas por

los profesores.

Puede utilizar estas tareas antes de mayo de 2011?

Estas tareas solo deben enviarse para la evaluacin final en las convocatorias de mayo y noviembre

de 2011 y mayo y noviembre de 2012. Los alumnos no deben incluirlas en sus carpetas antes de

mayo de 2011, pues su inclusin conllevar una penalizacin de 10 puntos. Tenga en cuenta que

estas fechas se refieren a las convocatorias de examen y no a la fecha de realizacin del trabajo.

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SUMA INFINITA

Objetivo: En esta tarea, se investigar la suma de progresiones infinitasn

t , donde

2 3

0 1 2 3

( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln )1, , , ,

1 2 1 3 2 1 !

n

n

x a x a x a x at t t t t

n

= = = = =

.

Una notacin que puede ser de utilidad en esta tarea es la notacin factorial !n , que se define de la

siguiente manera:

! ( 1)( 2)....3 2 1n n n n= Por ejemplo: 5! 5 4 3 2 1 ( 120)= = Ntese que 0! 1=

Considere la siguiente progresin de trminos, donde 1x = y 2a = .

2 3(ln 2) (ln 2) (ln 2)

1, , ,

1 2 1 3 2 1

Calcule la suman

S de los primeros n trminos de esta progresin para 0 10n . D sus

respuestas con una aproximacin de seis cifras decimales.

Utilice algn medio tecnolgico para representar grficamente la relacin entren

S y n. Describa lo

que observa a partir de su grfica. Qu sugiere esto acerca del valor den

S a medida que n tiende

a ?

Considere otra progresin de trminos, donde 1x = y 3a = .

2 3(ln3) (ln 3) (ln3)

1, , ,1 2 1 3 2 1

Calcule la suma de los primeros n trminos de esta nueva progresin para 0 10n . D sus

respuestas con una aproximacin de seis cifras decimales.


S y n. Describa lo



a ?

Considere ahora una progresin general donde 1x = .

2 3(ln ) (ln ) (ln )

1, , ,1 2 1 3 2 1

a a a

Calcule la suman

S de los primeros n trminos de esta progresin general para 0 10n ,

para distintos valores de a. D sus respuestas con una aproximacin de seis cifras decimales.

(Esta tarea contina en la pgina siguiente)

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S y n. Describa lo



a ?

Utilice las observaciones que realiz en estas investigaciones para hallar una proposicin generalque represente la suma infinita de esta progresin general.

Ahora ampliaremos nuestra investigacin, para determinar la suma de la progresin infinita tn,

donde

2 3

0 1 2 3

( ln ) ( ln ) ( ln )1, , ,

1 2 1 3 2 1

x a x a x at t t t = = = =

.

Defina ( , )n

T a x como la suma de los primeros n trminos, para diversos valores de a y x;

por ejemplo: 9 (2, 5)T es la suma de los primeros nueve trminos cuando 2a = y 5x = .

Sea 2a = . Calcule9

(2 , )T x para diversos valores positivos dex. Utilice algn medio tecnolgico

para representar grficamente la relacin entre9

(2 , )T x y x. Describa lo que observa a partir de

su grfica.

Sea 3a = . Calcule 9 (3, )T x para diversos valores positivos dex. Utilice algn medio tecnolgico

para representar grficamente la relacin entre9

(3, )T x y x. Describa lo que observa a partir de

su grfica.

Contine con este anlisis, para hallar la proposicin general para ( , )n

T a x a medida que n tiende

a .

Compruebe la validez de la proposicin general tomando otros valores para a yx.

Discuta el alcance y/o las limitaciones de la proposicin general.

Explique cmo obtuvo la proposicin general.

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NMEROS ESTELARES

Objetivo: En esta tarea se considerarn figuras geomtricas que llevan a nmeros especiales.

Entre ellos, el ejemplo ms sencillo lo constituyen los nmeroscuadrados 1, 4, 9, 16, que pueden

ser representados mediante cuadrados de lados 1, 2, 3 y 4 respectivamente.

Los siguientes diagramas muestran un diseo triangular de puntos uniformemente espaciados.

Los nmeros de puntos en cada diagrama son ejemplos de nmeros triangulares (1, 3 , 6 , ) .

1 3 6 10 15

Complete la progresin de nmeros triangulares con tres trminos ms.Halle una proposicin general que represente al ensimo nmero triangular, en funcin de n.

Considere las figuras estelares (con forma de estrella) de p vrtices, que llevan a los nmerosp-estelares. A continuacin se observan, en cuatro etapas, S1S4, las primeras cuatro

representaciones correspondientes a una estrella de seis vrtices. El nmero 6-estelar en cada etapa

es el nmero total de puntos que contiene el diagrama.

S1 S2 S3 S4

Halle el nmero de puntos (es decir, el nmero estelar) en cada etapa, hasta la S 6. Organice la

informacin de manera que pueda reconocer y describir patrones o regularidades.

Halle una expresin para el nmero 6-estelar en la etapa S7.

Halle una proposicin general para el nmero 6-estelar en la etapa Sn, en funcin de n.

Repita ahora los pasos anteriores para otros valores dep.

A partir de lo anterior, elabore la proposicin general, en funcin dep y n, que genere la progresin

de nmeros p-estelares para cualquier valor dep en la etapa Sn.

Compruebe la validez de la proposicin general.

Discuta el alcance o las limitaciones de la proposicin general.

Explique cmo obtuvo la proposicin general.

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TENDENCIAS DEMOGRFICAS EN CHINA

Objetivo: En esta tarea, se investigarn distintas funciones que modelizan ms adecuadamente la

poblacin de China de 1950 a 1995.

La siguiente tabla1

muestra la poblacin de China de 1950 a 1995.

Ao 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Poblacin

en millones554,8 609,0 657,5 729,2 830,7 927,8 998,9 1070,0 1155,3 1220,5

Defina claramente todos los parmetros y variables pertinentes. Utilice algn medio tecnolgico

para situar los puntos dados en esta tabla, en una grfica.

Haga algn comentario sobre las tendencias sugeridas por la grfica. Qu tipos de funciones

podran modelizar el comportamiento de la grfica? Explique sus elecciones.

Desarrolle analticamente una funcin modelo que se ajuste a los puntos de su grfica.

En un nuevo sistema de ejes, grafique su modelo y los datos originales. Haga algn comentario

sobre el grado de ajuste de su modelo a los datos originales. De ser necesario, revise su modelo.

Un investigador sugiere que la poblacin, P, correspondiente al tiempo t, se puede modelizar

mediante

( )1 e

Mt

KP t

L

=

+

, donde K,L yMson parmetros.

Utilice algn medio tecnolgico para estimar e interpretar los valores de K, L y M. Construya el

modelo del investigador, utilizando estas estimaciones.

En un nuevo sistema de ejes, grafique el modelo del investigador y los datos originales. Haga algn

comentario sobre el grado de ajuste de este modelo a los datos originales.

Discuta las implicaciones de cada uno de estos modelos en lo que respecta al crecimiento de la

poblacin de China en el futuro.


1 Datos extrados del programa land use change and agriculture, publicado por elInternational Institute for Applied Systems Analysis.

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He aqu datos adicionales sobre las tendencias demogrficas en China, tomados del documento

Perspectivas para la economa mundial de 2008, publicado por el Fondo Monetario Internacional

(FMI).

Ao 1983 1992 1997 2000 2003 2005 2008

Poblacin

en millones 1030,1 1171,7 1236,3 1267,4 1292,3 1307,6 1327,7

Haga algn comentario sobre cmo se ajusta cada uno de los modelos anteriores a los datos del FMI

para los aos 19832008.

Modifique el modelo que mejor se ajuste a los datos del FMI, para que se pueda aplicar a todos los

datos dados, de 1950 a 2008. Haga algn comentario sobre el grado de ajuste de su modelo

modificado a todos los datos.

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TOLERANCIA A LA FUERZA G

Objetivo: En esta tarea, se desarrollarn funciones modelo que representen la tolerancia humana a

las fuerzas G a medida que transcurre el tiempo.

Introduccin y antecedentes

Cuando se aplican diferentes fuerzas sobre un objeto, fuerza G es un trmino que se utiliza para

describir la aceleracin resultante, y est en relacin con la aceleracin debida a la gravedad (g).

As, una fuerza G equivalente al doble de la fuerza de la gravedad ser de 2g.

Los astronautas han desarrollado su propia terminologa, basndose en las sensaciones. A la

aceleracin hacia delante, en la que la fuerza G empuja el cuerpo hacia atrs, se la denomina a

menudo eyeballs-in (literalmente: globos oculares hacia adentro), mientras que a la aceleracin

hacia atrs se la denomina eyeballs-out (literalmente: globos oculares hacia afuera). De manera

similar, a la aceleracin vertical hacia arriba se la denomina blood towards feet (la sangre hacia

los pies).

En general, el ser humano tiene una mayor tolerancia a la aceleracin hacia delante que a la

aceleracin hacia atrs, porque los vasos sanguneos de la retina parecen ser ms sensibles en esta

direccin. Los primeros experimentos que se llevaron a cabo revelaron que una persona sin

entrenamiento poda tolerar una fuerza de 17g hacia delante (comparado con una fuerza de 12g

hacia atrs) durante varios minutos, sin perder el conocimiento y sin sufrir daos aparentes

prolongados. El cuerpo humano tambin est considerablemente mejor preparado para sobrevivir a

las fuerzas G horizontales, es decir, perpendiculares a la columna vertebral.

Ciertos juegos de las ferias de diversiones tales como las montaas rusas someten al ser humano a

una variedad de fuerzas en diferentes direcciones. Por regla general, estos juegos no exponen al serhumano a mucho ms de aproximadamente 3g de fuerza horizontal durante alrededor de tres

segundos. Hay excepciones que alcanzan un mximo de 4,5g durante a lo sumo 1,3 segundos.

La tarea

La siguiente tabla ilustra la tolerancia de los seres humanos a la fuerza G horizontal. La notacin+Gx representa una aceleracin positiva en la direccin horizontal, es decir, globos oculares

hacia adentro, de manera que una fuerza de +Gx de 20 significa una aceleracin hacia delante de

20 (que los seres humanos pueden tolerar durante 0,1 minutos).

Tiempo (min) +Gx (g)0,01 35

0,03 28

0,1 20

0,3 15

1 11

3 9

10 6

30 4,5


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Defina variables y parmetros adecuados, e identifique las restricciones sobre los datos.

Utilice algn medio tecnolgico para situar los puntos dados en una grfica. Haga algn

comentario sobre las tendencias sugeridas por la grfica.

Qu tipo de funcin modeliza el comportamiento de esta grfica? Explique por qu eligi esta

funcin. Cree una ecuacin (un modelo) que se ajuste a la grfica.

En un nuevo sistema de ejes, grafique su funcin modelo y los puntos dados como datos. Haga un

comentario sobre las diferencias que observe. De ser necesario, revise su modelo. Discuta las

implicaciones de su modelo en lo que respecta a la accin de las fuerzas G sobre un ser humano.

Utilice algn medio tecnolgico para hallar otra funcin que modelice los datos. En un nuevo

sistema de ejes, dibuje con precisin su funcin modelo y la funcin que hall mediante el uso de

recursos tecnolgicos. Haga un comentario sobre las diferencias que observe.

La siguiente tabla ilustra la tolerancia de los seres humanos a las fuerzas G verticales. La notacin+Gz representa una aceleracin positiva en la direccin vertical, o sea, la sangre hacia los pies.

Tiempo (min) +Gz (g)0,01 18

0,03 14

0,1 11

0,3 9

1 7

3 6

10 4,5

30 3,5

Qu tan bien se ajusta su primer modelo a estos nuevos datos?

Qu cambios habra que introducir en su modelo (si es que hace falta introducir alguno) para que

se ajuste a estos nuevos datos?

Discuta las limitaciones que presenta su modelo y las implicaciones de su modelo en lo que respecta

a la accin de las fuerzas G sobre un ser humano.

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