Analisis Real¿Por que menos por menos es mas?

Milton Torres Espana

8 de noviembre de 2013

Durante nuestra etapa de aprendizaje en el campo de las matematicas, en la escuela oen el colegio, nos encontramos con ciertas mal llamadas ((reglas)). Se obliga a memorizar alos alumnos estas ((reglas)) tomandolas como verdades incuestionables. El estudio de las ma-tematicas es para la mayorıa de los estudiantes de primaria o secundaria un suplicio, lo quehace que eviten detenerse a cuestionar la razon de dichas reglas. Un ejemplo de esto es la((regla de los signos)). En las proximas lıneas presentare dos explicaciones que a mi parecerson indicadas, en dos posturas diferentes.

Comprendamos donde radica el problema. El concepto de multiplicar esta arraigado conla nocion de expansion o crecimiento, de hecho cuando ninos nos ensenan que esta opera-cion matematica no es mas que sumar un numero tantas veces como indica otro numero.Si bien esta concepcion de multiplicacion funciona para una edad temprana, pues conoce-mos solamente el conjunto de los numero naturales. Conforme avanzamos en el estudio delas matematicas nos encontramos con los numeros negativos, que asociamos estrechamentecon deudas, perdidas y decrecimiento. Ademas se conocen propiedades de la multiplicacioncomo conmutativa y distributiva, teniendo en mente estas ideas, los estudiantes no tienenproblemas al multiplicar un numero positivo con un positivo, un negativo con un positivo yun positivo con un negativo. Pero cuando llegan a multiplicar un negativo por otro negativo,la intuicion y las ideas anteriores entran en conflicto.

Para explicar porque el producto de dos numeros negativos es positivo, podemos abordareste problema de varias formas. Usemos la nocion de un numero negativo como una deudao multa y la multiplicacion como el hecho de pagar varias veces dicha multa (en caso de sernegativo no pagarla), es ası que tenemos el siguiente ejemplo 1:

3 × 4 = 15: Si te dan tres veces cinco dolares tienes 15.

3 × (−5) = −15: Si pagas tres veces una multa de cinco dolares es como pagar unamulta de 15 dolares.

(−3) × 5 = −15: Que no te den tres veces cinco dolares es como que no te den 15dolares.

1Explicacion propuesta por el matematico ruso Israel Gelfand.

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(−3) × (−5): No pagar tres veces una multa de cinco dolares es como que te den 15dolares.

Entonces pensaremos: ¿No pagar tres veces una multa de cinco dolares es como que te den15 dolares? puede que esto no nos convenza, sin embargo, tiene mucho sentido si usamos laidea de deuda, al no pagar una multa no perdemos dinero, es decir, tenemos dinero a nuestrofavor.

Ahora usemos una idea alejada de interpretaciones fısicas o economicas. Solamente apli-caremos las propiedades de la multiplicacion que conocemos (mencionadas anteriormente),consideremos una implicacion que es siempre verdadera si a–a = 0 entonces (–n)×(a−a) = 0,si aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicacion2:

–n(a− a) = 0

−na + (−a)(−n) = 0

(−a)(−n) = na

Esta explicacion aporta cierta logica, sin ser una demostracion del todo formal, sino secumpliera la igualdad existirıa una contradiccion con la hipotesis que asumimos como cierta.Puede encajar en algo con la explicacion de ciertos profesores al preguntarles por el temaque abordamos: ((menos por menos es mas porque funciona ası)), lo que sin duda deja a susalumnos insatisfechos. Pero de este modo comprobamos que de hecho ((funciona ası)) de locontrario existirıa inconsistencia.

Finalmente, luego de estos razonamientos nos preguntaremos: ¿De verdad hemos probadoque menos por menos es mas? La respuesta a esto es variable, para muchos, alguna de estasexplicaciones (u otras) pueden satisfacerlos, pero siempre existiran alumnos escepticos. Enla actualidad, se considera que la regla de los signos es una implicacion de la definicionde numero negativo. Pero a nivel escolar (primario o secundario) hablar de definiciones,axiomas y teoremas resulta algo intrincado, es por eso la necesidad de que existan numerosasexplicaciones didacticas que abundan en Internet.

2Explicacion presentada en Treatise of Algebra (1748) por el matematico escoces Colin Maclaurin.

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