Eric Campos CantónDivisión de Matemáticas Aplicadas

IPICYT

Polinomios para la generación de dinámica caótica

Una órbita transitiva

• Fiesta Académica por los 65 años de vida del Dr. Jesús Urías Hermosillo

Contenido

• Sistemas dinámicos con comportamiento caótico

• Familia de polinomios estables

• Familia monoparamétrica de atractorescaóticos

• Conclusiones y trabajo a futuro

¿Cual es el patrón subyacente?

• Para diseñar estrategias de acción efectivas, es necesario el conocimiento o reconocimiento de patrones

Edward Lorenz (1913-2008)

• Estudió matemáticas en Dartmouth College, New Hampshire, 1938.

• Maestría en Matemáticas en Harvard,1940.

• Se enlistó en la armada de los Estados Unidos.

• Segunda maestría en meteorología en el Massachusetts Institute of Technology,1943.

• Doctorado Meteorología, Massachusetts Institute of Technology, 1948.

• Utilizaron las computadoras para trabajar en la predicción del clima.

• Su modelo matemático constaba de 12 ecuaciones.

• Modelo simplificado de 3 estados.5

6

El sistema de Lorenz

dxay ax

dt

dyxz cx y

dt

dzxy bz

dt

Donde x, y, z son estados del sistema,a, b, c son parámetros del sistema dondea=10, b=8/3, c=28.

7

Sistema de Lorenz

• Sensibilidad a las condiciones iniciales: la diferencia entre los valores iniciales de estas curvas en 0.000127.

8

Puntos de equilibrio

• 𝑥 = 𝑓 𝑥 ;Donde 𝑥 ∈ ℝ𝑛

F(x)=00 = 0,0,0 𝑇

𝑃, 𝑄 = ± 𝑐 − 1 𝑏,± 𝑐 − 1 𝑏, 𝑐 − 1𝑇

𝐽 =−𝑎 𝑎 0𝑐 − 𝑧 −1 −𝑥𝑦 𝑥 −𝑏

−𝜆3 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝜆2 − 𝑎𝑏 + 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝜆 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑥𝑦− 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑏𝑐 = 0

Atractor de Lorenz

10/56

a=10, b=8/3, c=28. Λ𝑄,𝑃 = −13.8546; 0.094 ± 10.1945𝑖

Λ𝑂 = -22.8277; -2.6667; 11.8277

El concepto de caos

• La primera vez que se usó el término caos en matemáticas fue en 1975 en la revista American Mathematical Monthly, en el artículo de L. Li y J. Yorke «Period three implies chaos».

• En dicho artículo se demostró que si una función continua real de variable real tiene un punto periódico de periodo tres, entonces tiene puntos periódicos de todos los periodos.

Sistema de Rössler

12

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑦 − 𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥 + 𝑎𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑏 + 𝑧 𝑥 − 𝑐

Puntos de equilibrio

• 𝑃 =𝑐+ 𝑐2−4𝑎𝑏

2,−𝑐− 𝑐2−4𝑎𝑏

2𝑎,𝑐+ 𝑐2−4𝑎𝑏

2𝑎

𝑇

• 𝑄 =𝑐− 𝑐2−4𝑎𝑏

2,−𝑐+ 𝑐2−4𝑎𝑏

2𝑎,𝑐− 𝑐2−4𝑎𝑏

2𝑎

𝑇

• 𝐽 =0 −1 −11 𝑎 0𝑧 0 𝑥 − 𝑐

• −𝜆3 + 𝑎 + 𝑥 − 𝑐 𝜆2 + 𝑎𝑐 − 𝑎𝑥 − 𝑧 − 1 𝜆 +𝑎𝑧 + 𝑥 − 𝑐 = 0

Atractor caótico de Rössler

𝑎 = 0.2; 𝑏 = 0.2; 𝑐 = 5.7

Λ𝑄 = 0.097108 ± 0.995786𝑖, -5.68718

Λ𝑃 = −0.0000046 ± 5.4280259𝑖, 0.1929830

𝑄 = 0.0070, −0.0351, 0.0351 𝑇, 𝑃 = 5.6930, −28.4649, 28.4649 𝑇

Generador Caótico

L

LL

L

iR

VVF

dt

dVC

riVVdt

diL

idt

dVC

212'

12

1

)(

F(V1)

15

Convertidor No Lineal

16

Parámetros del circuito:

Generador caóticoC = 100.2 nF,C’ = 201.0 nF,L = 63.8 mH,r = 138.9 ΩR=1018 Ω

Convertidor no linealR1= 2.7 kΩ,R2 = R4 = 7.5 kΩ,R3 = 50Ω,R5 = 177 kΩ,R6 = 2 kΩ,Amp. Op. TL082,diodos 1N4148

17

Cambio de variables

yzxFd

dz

yxzd

dy

yd

dx

))((

Donde =r(C/L)1/2, =(LC)1/2/RC’,=C/C’.

x = V1, y = iL(L/C)1/2, z = V2 y =t/(RC)1/2.

F(X)

18

Modelos empíricos• F(v) = k f(v)

• Modelo 1:

• Modelo 2: .2.1,2

.,

||),1(

,

)( 2

s

s

s

s

Vs

Vxs

Vxxx

Vxs

xf

.03.0,8.1,5.0

.2/)(),/(2,/)(

.,

||),(

,

)(

,/)))(()(sgn()(

22

1

2

1

cba

abpyabaqacad

bxa

bxapxq

axx

xf

dcaxfdaxxf

s

19

w

20

Modelo del Convertidor No lineal

)()( xfkxF

DD

D

DD

Vxsi

awRR

VRxbRwRb

Vxsix

a

b

VxsiaRwR

VRxbRRwb

xf

)(

])1[(

||1

))1((

])1)(1[(

)(

31

113

31

113

.452

45

425

42

RRR

RRb

RRR

RRa

21

yzxkfd

dz

yxzd

dy

yd

dx

))((

Generador caótico

𝑓(𝑥) =

𝑚1𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑉𝐷𝑚𝑜𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑉𝐷𝑚1𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 < −𝑉𝐷

• Siempre se tienen tres puntos fijos y solamente controlando uno de ellosse define el tipo de oscilación.

• Ubicados en S0 =(0, 0, 0) y simétricamente en S1,2 = (s, 0, s) que seencuentra en la intersección de f(x) con (1/k)x.

Múltiples enroscados

23

Sistemas lineales por partes

• 𝑥 =

𝐴1𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑉𝐷𝐴0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑉𝐷𝐴1𝑥 − 𝐵 𝑠𝑖 𝑥 < −𝑉𝐷

𝐴0 =0 1 0−1 −𝛿 1𝛾𝑘𝑚0 −𝜎 −𝛾

, 𝐵 =00𝛾𝑏

,

𝐴1 =0 1 0−1 −𝛿 1

−𝛾𝑘𝑚1 −𝜎 −𝛾

25

• 𝐽 =0 1 0−1 −𝛿 1

𝛾𝑘𝑓′(𝑥) −𝜎 −𝛾

• 𝑓′ 𝑥 =

𝑚1 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎

𝑚0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎𝑚1 𝑠𝑖 𝑥 < −𝑎

Estabilidad local del sistema

)'1()1()()( 23 kfg

Λ1 = −1.3065, 0.3700 ± 1.5488𝑖

Λ0 = 1.1821,−1.2694 ± 2.1609𝑖

Puntos de equilibrio silla-foco en ℝ3

• Valores propios Λ = 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3

• 𝜆1 ∈ ℝ,

• 𝜆2, 𝜆3 ∈ ℂ

• Tipo I: punto de equilibrio silla-foco inestable

𝜆1 < 0 y 𝑅𝑒 𝜆2,3 >0

• Tipo II: punto de equilibrio silla-foco estable

𝜆1 > 0 y 𝑅𝑒 𝜆2,3 <0

Atractor caótico

27

Type IType I Type II

∑ Λ1 =−1.3567

∑ Λ0 =−1.3567

Sistema inestable disipativo en ℝ3

• Considere al siguiente sistema𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥,

donde 𝑥 ∈ ℝ3, 𝐴 ∈ ℝ3×3, con valores propios 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, tal que ∑𝑖=1

3 𝜆𝑖 < 0. Entonces el sistema es llamado un sistema inestable disipativode tipo I (UDS-I) si uno de sus valores propios es real negativo y los otros dos son complejos conjugados con parte real positiva; y es llamado de tipo II (UDS-II) si uno de sus valores propios es real positivo y los otros dos son complejos conjugados con parte real negativa.

Sistema lineal afin basado en UDS-I

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥+B(x)

𝐵 𝑥 =

𝐵1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐷1⋮

𝐵𝑘, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐷𝑘

• Donde 𝑥 ∈ ℝ3es el vector de estados y 𝐴 ∈ ℝ3×3

determina la dinámica del sistema, Bi ∈ ℝ3, 𝑖 =1,… , 𝑘.

• Puntos de equilibrio tipo ensilladura 𝑥∗ = −𝐴−1𝐵𝑖• Variedades estable e inestable 𝑤𝑠(𝜆1) y 𝑤𝑢(𝜆2,3)

Generación de caos

30

Variedad estable e inestable

31

32

33

34

𝐸𝑐𝑢𝑎ción diferencial ordinaria lineal

•𝑑𝑛𝑥

𝑑𝑡𝑛+ 𝛼1

𝑑𝑛−1𝑥

𝑑𝑡𝑛−1+⋯+ 𝛼𝑛−1

𝑑𝑥𝑑𝑡= 0

Ecuación Jerk

• 𝑥 + 𝛼33 𝑥 + 𝛼32 𝑥 = 0

• 𝐴 =0 1 00 0 1

−𝛼31 −𝛼32 −𝛼33

• 𝛼31, 𝛼32, 𝛼33 ∈ ℝ

Ejemplo

• 𝛼31 = 0.6; 𝛼32 = 0.6; 𝛼33 = 0.6.

• 𝜆1 = −0.7948; 𝜆2,3 = 0.0974 ± 0.8634𝑖

• 𝐸𝑠 = 𝑆𝑝𝑎𝑛−0.70170.5577−0.4433

• 𝐸𝑢 = 𝑆𝑝𝑎𝑛0.65590.0639−0.4826

,0

0.56620.1103

, 𝐵 =

𝑏1𝑖𝑏2𝑖𝑏3𝑖

Atractor caótico multi-enroscado

Parte II: Estabilidad de polinomios

• Familia parametrizada de polinomios perturbados.

• 𝑝0 + 𝐾

Preliminares

• Sea 𝒫𝑛 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 +1de todos los polinomios de grado menor o igual a n.

• 𝑝 𝑡 = 𝑝 𝑡, 𝑎 = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑡𝑛

• 𝑎 = 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ1×(𝑛+1)

• 𝑎 𝑎 Δ = 𝑎 + ∑𝑗=1𝑁 𝛿𝑗𝑒

𝑗 , con 𝑒 ∈ ℝ1×(𝑛+1)

• Δ = 𝛿1, … , 𝛿𝑁• 𝑃 𝜌 = 𝑝 𝑡, 𝑎 Δ : Δ ∈ ℝ𝑁, Δ < 𝜌

La matriz Hurwitz

• Para un polinomio fijo 𝑝 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑡

𝑛

Con 𝑎𝑛 > 0, el arreglo de tamaño 𝑛 × 𝑛

𝐻 𝑝 =

𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−5𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−40 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−3

𝑎𝑛−7 … 0𝑎𝑛−6 … 0𝑎𝑛−5 … 0

0 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2⋮ ⋮ ⋮0 0 0

𝑎𝑛−4 … 0⋮ … 00 … 0

Es llamada la matriz de Hurwitz asociada a p(t).

L: Invarianza de la no singularidad

• Considere la familia de polinomios 𝒫 descrita por 𝑝 𝑡, 𝑘 = 𝑝0 𝑡 + 𝑘𝑝1(𝑡), 𝑘 ∈ 𝐾 = 𝑘−, 𝑘+ y 𝑝0estable con coeficientes positivos,

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝0 𝑡 > 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝1 𝑡 ). Entonces la

subfamilia 𝒫 𝑘+ es robustamente estable si y

solo si 𝐻 𝑝 ⋅, 𝑘 es no singular para toda 𝑘 ∈

[0, 𝑘+]. Similarmente, la subfamilia 𝒫 𝑘− es

robustamente estable si y solo si 𝐻 𝑝 ⋅, 𝑘 es no

singular para toda 𝑘 ∈ [0, 𝑘−].

T: Criterio del valor propio

Considere el polinomio 𝑝 𝑡, 𝑘 = 𝑝0 𝑡 + 𝑘𝑝1 𝑡

con p 𝑡, 0 = 𝑝0 estable con coeficientes positivos,

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝0 𝑡 > 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝1 𝑡 ). Entonces el intervalo

máximo para estabilidad robusta está descrito por

𝑘𝑚𝑎𝑥+ =

1

𝜆𝑚𝑎𝑥+ (−𝐻−1 𝑝0 𝐻 𝑝1 )

𝑘𝑚𝑎𝑥− =

1

𝜆𝑚𝑖𝑛− (−𝐻−1 𝑝0 𝐻 𝑝1 )

,

Donde H 𝑝1 es una matriz de 𝑛 × 𝑛

Hipótesis

• Sea P(t, µ) una familia de polinomios reales que satisface: – (1) grado fijo 𝑛,

– (2) sus coeficientes son continuos respecto de µ en un intervalo fijo I = [a, b].

– 𝑃 𝑡, 𝜇 = 𝑎0 𝜇 + 𝑎1 𝜇 𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑛 𝜇 𝑡𝑛.

Consideremos el plano complejo ℂ y sea 𝒮 ⊂ ℂcualquier subconjunto abierto dado. Denotemos a la frontera de 𝒮 por 𝜕𝒮 y su complemento como 𝒰 =ℂ − 𝒮.

El teorema de intersección con la frontera

• Bajo la hipótesis anterior, supóngase que 𝑃(𝑡, 𝑎) tiene todas sus raíces en 𝒮 y que 𝑃(𝑡, 𝑏) tiene al menos una raíz en 𝒰. Entonces existe al menos un 𝜌 en (𝑎, 𝑏] tal que

– (i) 𝑃(𝑡, 𝜌) tiene todas sus raíces en 𝒮 ∪ 𝜕𝒮,

– (ii) 𝑃(𝑡, 𝜌) tiene al menos una raíz en 𝜕𝒮.

El principio de exclusión del cero

• Suponga que 𝛿(𝑡, 𝑝) denota a un polinomio cuyos coeficientes dependen continuamente del vector de parámetros p ∈ ℝ𝑙 el cual varía en un conjunto Ω ⊂ ℝ𝑙 y que genera a la familia de polinomios ∆ 𝑡 ≔ 𝛿 𝑡, 𝑝 𝑝 ∈ Ω.

• Teorema: Asuma que la familia de polinomios Δ t tiene grado constante, contiene al menos un polinomio estable y que Ω es conexo por trayectorias. Entonces la familia completa es estable si y sólo si 0 ∉ Δ(𝑡∗) para toda 𝑡∗ ∈ 𝜕𝒮.

Generalización del principio de exclusión del cero

• Teorema: Consideremos la familia de polinomios 𝑃(𝜆, 𝑡) con grado constante, donde 𝜆 ∈ Ω y Ω ⊂ℝ𝑙 es un conjunto conexo por trayectorias. Supóngase que existe un elemento de la familia con 𝑛1raíces en ℂ− y 𝑛 − 𝑛1raíces en ℂ+. Entonces, la familia completa continúa teniendo 𝑛1 raíces en ℂ− y 𝑛 − 𝑛1raíces en ℂ+ si y sólo si

𝑃 𝜆, 𝑖𝑤 ≠ 0 para toda 𝜆 ∈ Ω y para toda 𝑤 ∈ ℝ.

Intervalo máximo de dinámica robusta

• Estamos interesados en el intervalo máximo 𝑘𝑚𝑖𝑛− , 𝑘𝑚𝑎𝑥

+

tal que 𝑃 𝑡, 𝑘 = 𝑝0 𝑡 + 𝑘𝑝1(𝑡) tenga 𝑛1raíces en ℂ− y 𝑛 − 𝑛1raíces en ℂ+ para toda 𝑘 ∈ 𝑘𝑚𝑖𝑛

− , 𝑘𝑚𝑎𝑥+ .

• Si consideramos que 𝑤 ∈ ℝ𝑝0 −𝑖𝑤 = 𝑃 𝑤2 − 𝑖𝑤𝑄 𝑤2

𝑝1 𝑖𝑤 = 𝑝 𝑤2 + 𝑖𝑤𝑞 𝑤2

Entonces 𝑃 𝑖𝑤, 𝑘 𝑝0 −𝑖𝑤 = 𝐺 𝑤 + 𝑘𝐹 𝑤 + 𝑖𝑘𝑤𝐻 𝑤 ,Donde 𝐹 𝑤 = 𝑝 𝑤2 𝑃 𝑤2 + 𝑤2𝑞 𝑤2 𝑄(𝑤2),𝐺 𝑤 = 𝑃2 𝑤2 + 𝑤2𝑄2(𝑤2),

H 𝑤 = 𝑞 𝑤2 𝑃 𝑤2 − 𝑝 𝑤2 𝑄 𝑤2 .

Intervalo máximo de dinámica robusta

• Definamos para un polinomio arbitrario 𝑓 𝑡el siguiente conjunto

𝑅 𝑓 = 𝜖 ∈ ℂ 𝑓 𝜖 = 0

• Sea 𝑅 𝑓 𝑅+ el conjunto de elementos reales

positivos de 𝑅(𝑓) y sean dados los siguientes conjuntos dados𝑘+ = 𝐹 𝑤 :𝑤 ∈ 𝑅 𝐻 𝑅+ ∪ 0 , 𝐹 𝑤 > 0 ,

𝑘− = 𝐹 𝑤 :𝑤 ∈ 𝑅 𝐻 𝑅+ ∪ 0 , 𝐹 𝑤 < 0 ,

Intervalo máximo de dinámica robusta

• Considere la familia de polinomios 𝑃 𝑡, 𝑘 = 𝑝0 𝑡 +𝑘𝑝1(𝑡), donde 𝑝0(𝑡)es un polinomio de grado n con 𝑛1raíces en ℂ− y 𝑛 − 𝑛1raíces en ℂ+. Consideramosque 𝑛 > deg 𝑝1(𝑡) y sean 𝐹 𝑤 , 𝐺(𝑤) y 𝐻(𝑤)los polinomios definidos anteriormente. Entonces 𝑃 𝑡, 𝑘tiene 𝑛1raíces en ℂ− y 𝑛 − 𝑛1raíces en ℂ+paratoda 𝑘 ∈ 𝑘𝑚𝑖𝑛

− , 𝑘𝑚𝑎𝑥+ donde

• 𝑘𝑚𝑖𝑛− = max −

𝐺 𝑤

𝐹 𝑤: 𝐹 𝑤 ∈ 𝑘+ ,

• 𝑘𝑚𝑎𝑥+ = min −

𝐺 𝑤

𝐹 𝑤: 𝐹 𝑤 ∈ 𝑘− ,

Parte III: Familia monoparamétrica de atractores caóticos multienroscados

• Teoría de polinomios

• Intervalo máximo de inestabilidad

• Intervalo máximo de disipatividad e inestabilidad para conseguir sistema UDS para generar sistemas dinámicos con comportamiento caótico

Disipatividad

• La suma de las raíces del polinomio p(t)=𝑎0𝑡

𝑛 + 𝑎1𝑡𝑛−1+ …+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

es negativa si y sólo si 𝑎1

𝑎0> 0.

Familia paramétrica de atractoresmulti-enroscados

• Considere un sistema de control 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

donde 𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑚y el par 𝐴, 𝐵 esta en la forma canónica controlable y 𝑢 ∈ ℝ𝑚es la señal de control. Consideramos que el sistema de control para 𝑢 = 0 es un UDS-I y su polinomiocaracterístico es 𝑝0.

Familia paramétrica de atractoresmulti-enroscados

𝑥 = (𝐴 + 𝑘𝐷)𝑥 + 𝐵𝑢

donde 𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

, B=

𝑏1𝑏2𝑏3

, la matriz D es

definida en terminos de los coeficientes del polinomio p1 t = c2t

2 + c1𝑡 + 𝑐0

𝐷 =0 0 00 0 0𝑐0 𝑐1 𝑐2

• Tenemos que el polinomio característico es 𝑃(𝑡, 𝑘) para toda 𝑘 ∈ (𝑘𝐷

−, 𝑘𝐷+)

Resultados numéricos

𝐴 =0 1 00 0 1

−30 −4 −1, B=

0.150.30.4

,

𝐷 =0 0 00 0 00 0 −1/2

, 𝑢 =

3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0.375 < 𝑥1;2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0.225 < 𝑥1 ≤ 0.375;1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0.075 < 𝑥1 ≤ 0.225;0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 ≤ 0.075 .

𝑘 ∈ (−13,2), UDS-I

K=0

K=-3

K=-1

Comentarios finales

• Es posible generar intervalos de máxima robustez dinámica inestable

• Se mostró la generación de una familia monoparamétrica de osciladores caóticos con múltiples enroscados basada en familias de polinomios.

• Como trabajo a futuro es la generación de familias monoparamétricas de osciladores caóticos con múltiples enroscados en 2D y 3D

¿Qué sigue?

• Sistemas sin puntos de equilibrio

• Sistema de comunicación

• Familia de polinomios del caos

Referencias

• E. N. Lorenz (1963). "Deterministic Nonperiodic Flow". Journal of the Atmospheric Sciences 20 (2): 130–141.

• O. E. Rössler (1976), "An Equation for Continuous Chaos", Physics Letters 57A (5): 397–398.

• R. L. Devaney, A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment, Boston University, 1992.

• E. Campos-Cantón, J. G. Barajas-Ramírez, G. Solís-Perales, R. Femat (2010) "Multiscroll attractors by switching systems". CHAOS, 20 : 013116_1-6

• E. Campos-Cantón, R. Femat, and G. Chen (2012) "Attractors generated from switching unstable dissipative systems". CHAOS, 22 : 033121.

• E Campos Cantón (2015) "Chaotic attractors based on unstable dissipative systems via third-order differential equation". International Journal of Modern Physics C´, aceptado.

• B. Aguirre Hernandez; E. Campos Cantón; J. A. López Rentería; E. C. Díaz González (2015) "A polynomial approach for generating a monoparametric family of chaotic attractors via switched linear systems". Chaos Solitons & Fractals; 71 : 100-106

Agradecimientos

Al comité organizador

A los colaboradores

A los estudiantes

Por su atención Gracias

63

Sistema de Lorenz• a es el número de

Prandtl (viscosidad/conductividad térmica),

• c es el número de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura entre base y tope)

• b es la razón entre la longitud y altura del sistema.

• X: Razón de rotación del anillo.

• y : Gradiente de temperatura.

• z :Desviación de la temperatura respecto a su valor de equilibrio.

Dr. Xavier Gómez Mont

https://www.youtube.com/watch?v=A_DAk6Oltbc&feature=youtu.be

La matemática son esos ‘patrones’

que hemos podido descubrir en las ‘cosas’

Y la manera en como nos transmitimos

ese conocimiento

Los unos a los otros.

(patrón=fenómenos que se repiten en el tiempo)