POLINOMIOS. HOJA 1

1.- Dados los polinomios P(x) = 4x3 - 3x2 + 1 y Q(x) = 3x2 - 3x + 2 , calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) c) 3P(x) - 2Q(x) d) P(x) . Q(x)

2.- Dados los polinomios P(x) = x3 – x2 - 3x + 1, Q(x) = - 2x2 - 2x + 4 y R(x) = 2x3 - 6x2 + 6x – 1, calcula:

a) P(x) – Q(x) + R(x) b) P(x).Q(x) - R (x) c) Q(x).(2P(x) - R(x)) d) R(x) : Q(x)

3.- Dado el polinomio P(x) = - x2 + 3x – 4, calcula los valores numéricos P( - 2), P(0) y P(4).

4.- Calcula las siguientes identidades notables:

a) ( 5x + 2 )2 b) (7 – 3x)2 c) (a + 2b)2 d) (4x2 - 5)(4x2 + 5) e) ( 3y3

2 )2

5.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios:

a) (- 2x5 + 3x3 – x + 4) : (x2 + 2x) b) (2x4 – 5x3 + 6x2 - 7) : (2x + 3)

c) (3x4 + 15x3 – 14x2 + x + 6) : (- x2 – 3x + 2) d) (x5 – 3x4 + 7x3 – 6x2 + 17x - 3) : (x3 + 2x)

6.- Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:

a) (2x3 – 6x2 + 5x - 8) : (x + 1) b) (3x3 + 15x - 10) : (x - 3)

c) (- 2x4 + 2x3 – x + 2) : (x + 2) d) (5x2 + 3x) : (x - 1)

7.- Halla, sin hacer la división, el valor de m para que 5x3 – 12x2 + 5x + m sea divisible por x – 2.

8.- Dado el polinomio x4 + 6x3 – 3x2 + mx + 1, determinar m para que al dividirlo por x + 3 se obtenga 100

como resto.

9.- Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

a) P(x) = x3 + 6x2 – x – 6 b) Q(x) = 2x3 + 6x2 – 8x – 24 c) R(x) = x5 – 5x3 + 4x

10.- Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x4 + 8x3 – 14x2 – 20x b) 25x2 – 4 c) 4x2 + 12x + 9

d) 3x3 – 30x2 + 75x e) x3 – 3x2 – x + 3 f) 2x5 + 11x4 + 2x3 – 15x2

11.- Desarrolla y simplifica:

a) (x - 1)(x2 + x)2 – (x5 – 5x4 + x3 – x2) b) (2x – 3)2 – (2x2 + 4x + 1)(x – 2)

c) (x2 – 2x + 3)(2x + 1) – (4x – 1)2 d) 22x1x1x6)(3x1x3

2

Soluciones hoja 1

1.- a) P(x) + Q(x) = 4x3 – 3x + 3 b) P(x) - Q(x) = 4x3 – 6x2 + 3x - 1 c) 3P(x) - 2Q(x) = 12x3 – 15x2 + 6x – 1 d) P(x) . Q(x) = 12x5 – 21x4 + 17x3 – 3x2 – 3x + 2

2.- a) P(x) – Q(x) + R(x) = 3x3 – 5x2 + 5x – 4 b) P(x).Q(x) – R (x) = - 2x5 + 10x3 + 6x2 – 20x + 5

c) Q(x).(2P(x) - R(x)) = - 8x4 + 16x3 + 34x2 – 54x + 12

d) Cociente: C(x) = - x + 4, Resto: R(x) = 18x – 17

3.- P(-2) = - 14, P(0) = - 4 y P(4) = - 8.

4.- a) 25x2 + 20x + 4 b) 49 – 42x + 9x2 c) a2 + 4ab + 4b2

d) 16x4 – 25 e) 29y4y9

4

5.- a) Cociente: C(x) = - 2x3 + 4x2 – 5x + 10 Resto: R(x) = - 21x +4

b) Cociente: C(x) = x3 – 4x2 + 9x - 2

27 Resto: R(x) =

2

67

c) Cociente: C(x) = - 3x2 – 6x +26 Resto: R(x) = 91x – 46

d) Cociente: C(x) = x2 – 3x + 5 Resto: R(x) = 7x – 3

6.- a) Cociente: C(x) = 2x2 – 8x +13 Resto: R = - 21

b) Cociente: C(x) = 3x2 + 9x + 42 Resto: R = 116

c) Cociente: C(x) = -2x3 + 6x2 – 12x + 23 Resto: R = - 44

d) Cociente: C(x) = 5x + 8 Resto: R = 8

7.- m = - 2

8.- m = - 69

9.- a) Raíces: x1 = - 6, x2 = -1, x3 = 1 b) Raíces: x1 = - 3, x2 = - 2, x3 = 2

c) Raíces: x1 = - 2, x2 = - 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 2

10.- a) 2x(x + 1)(x - 2)(x+5) b) (5x + 2)(5x - 2) c) (2x+3)2

d) 3x(x - 5)2 e) (x - 1)(x + 1)(x - 3) f) x2(x - 1)(x + 5)(2x + 3)

11.- a) 6x4 – 2x3 b) – 2x3 + 4x2 – 5x + 11

c) 2x3 – 19x2 + 12x + 2 d) 2x2 – 3x – 11

ECUACIONES Y SISTEMAS. HOJA 2 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) x2 + 2x – 3 = 0 (x1 = - 3 ; x2 = 1) 9) 12

8x2x2

13x

2

13x

(x1 =

2

1; x2 =

2

3)

2) x2 – 6x – 7 = 0 (x1 = -1 ; x2 = 7) 10) (x – 1)2 = 4x2 + 1 (x1 = 0; x2 = 3

2 )

3) 5x2 – 8x + 5 = 0 (No tiene solución real) 11) 9x2 + 6x + 1 = 0 (x = - 3

1 sol. doble )

4) 4x2 – 12x + 9 = 0 (x = 2

3 sol. doble) 12) 2x2 + 18 = 0 (No tiene solución real)

5) 7x2 – 21x = 0 (x1 = 0 ; x2 = 3) 13) 5x(x + 4) = 0 (x1 = - 4; x2 = 0 )

6) 2x2 – 18 = 0 (x1 = - 3 ; x2 = 3) 14) 3x2 + 2x – 3 = 2x2 + 7 – x (x1 = - 5 ; x2 = 2)

7) 6

x1

3

1x

2

12x2

(x1 =

2

1 ; x2 =

3

2) 15) 2x(2x – 5) + 18 = x(7 – x) - 12 (No tiene solución real)

8) (x + 5)(x2 - 4) = 0 (x1 = -5; x2 = - 2; x3 = 2)

2.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado:

a)

043

132

yx

yx (Sol.: x = 4 y = -3) b)

yyx

yx

53

52

3

(Sol.: x = 4 y = 2 )

c)

112

53

yx

yx (Sol.: x = 3 y = - 4) d)

55

23

15

2

yxx

xyx

(Sol. : x = 2 y = - 1)

e)

823

735

yx

yx (Sol.: x = 2 y = - 1) f)

32

51

52

13

3

2

yx

yx

(Sol. : x = 2

23 y = 6 )

g)

yx

yx

3

245 (Sol.: x =

11

6 y =

11

2 )

PROBLEMAS. HOJA 3

1.- Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo isósceles de perímetro 15 cm.

(Solución: Los catetos miden 4’39 cm. y la hipotenusa 6’22 cm.)

2.- El doble del cuadrado de la edad de un hijo es la edad de su padre. Dentro de 10 años, la edad del padre será triple

de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

(Solución: El padre tiene 32 años y el hijo 4)

3.- Si aumentamos 5 cm la base y acordamos 5 cm la altura de un cuadrado, obtenemos un rectángulo de 144 cm2 de

área. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

(Solución: El lado del cuadrado mide 13 cm)

4.- En un instituto hay 300 alumnos entre chicos y chicas. Han ido de excursión 155 alumnos, siendo el 60 % de los

chicos del instituto y el 40 % de las chicas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en el instituto?

(Solución: En el instituto hay 175 chicos y 125 chicas)

5.- Una cadena de supermercados ha encargado la fabricación de un detergente que empaquetará con la marca de la

propia cadena. El fabricante les recomienda que este producto sea el resultado de la mezcla de dos detergentes que él

ya comercializa a 1’60 € y a 1’10 € el kg., respectivamente. Si se quiere que el precio del nuevo detergente sea de 1’25

€ el kg., ¿qué cantidad de cada tipo de detergente debe contener un paquete de 5 kg. del nuevo producto?

(Solución: Debe contener 1’5 Kg. de 1’6€/Kg. y 3’5 Kg. de 1’1 €/Kg.)

6.- Por la compra de cinco camisas y un pantalón nos cobran 144€. En cambio, si compramos solo tres camisas y el

pantalón nos cobran 98€. ¿Cuánto cuesta cada camisa y el pantalón?

(Solución: Cada camisa cuesta 22’5 € y el pantalón 31’5 € )

7.-Tenemos 13 € en monedas de 2 € y de 50 céntimos, si en total hay 14 monedas, ¿cuántas hay de cada tipo?

(Solución: Tenemos 4 monedas de 2 € y 10 monedas de 50 céntimos)

8.- Una persona invierte en un producto financiero una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de beneficio. Por otra

inversión en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió 10000 €, y que los

beneficios de la primera inversión superan en 300 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada producto?

(Solución: Invirtió 2 353 € al 3’5 % y 7 647 € al 5%)

9.- Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto

dinero lleva cada uno? (Solución: Pablo tiene 70 € y Alicia 90 €)

10.- En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada

clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

(Solución: Había 30 moscas y 12 arañas)

11.- Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años solo será el doble. ¿Cuáles

son las edades de mi padre y de mi hermano?

(Solución: Mi hermano tiene 15 años, mi padre 35)

25 m

7 m

C

A

B8cm

11'6 cm

C

A

B32 mm

60 mmC

A

B

TRIGONOMETRÍA. HOJA 4 1.- Calcula, utilizando la calculadora, las siguientes razones trigonométricas (expresa el resultado redondeado

a diezmilésimas):

a) sen 2º 7’ 3’’= d) cos 45’ 45’’ =

b) cos 21º 53’’ = e) sen 82º 15’ 37’’=

c) tg 62º 34’ 10’’ = f) tg 51º 51’ 51’’=

2.- Calcula, utilizando la calculadora, los siguientes ángulos, conocidas las siguientes razones

trigonométricas:

a) sen α = 0’1729

b) sen A = 0’9813

c) cos β = 0’7654

d) sen δ = 0’9999

e) tg γ = 27’3239

f) tg B = 0’6543

3.- Halla las razones trigonométricas del ángulo en el siguiente

triángulo

4.- Halla las razones trigonométricas del ángulo B en cada uno de estos triángulos

a)

b)

c)

Soluciones hoja 4

1.- a) sen 2º 7’ 3’’ = 0’0369 d) cos 45’ 45’’ = 0’9999

b) cos 21º 53’’ = 0’9335 e) sen 82º 15’ 37’’= 0’9909

c) tg 62º 34’ 10’’ = 1’9267 f) tg 51º 51’ 51’’= 1’2737

2.- α = 9º 57’ 23’’ A = 78º 54’ 8’’ β = 40º 3’ 27’’

δ = 89º 11’ 23’’ γ = 87º 54’ 14’’ B = 33º 11’ 48’’

3.- sen = 5

4 cos =

5

3 tg =

3

4

4.- a) c = 24’68 m sen B = 0’28 cos B = 0’9872 tg B = 0’2836

b) b = 8’4 cm sen B = 0’7241 cos B = 0’6897 tg B = 1’05

c) a = 68 mm sen B = 0’4706 cos B = 0’8824 tg B = 0’5333

TRIGONOMETRÍA. HOJA 5 1.- Calcula el resto de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos (sin calcular los ángulos):

a) sen α = 0’ 37 b) cos β = 7

5 c) tg A = 3’4

2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (A = 90º):

a) C = 35º c = 8 cm. c) B = 57º 9’ 15” c = 7 cm.

b) b = 4 cm. c = 9 cm.

3.- Calcula la altura de un edificio sabiendo que, desde el punto que está el observador, ve el punto más alto del edificio con un ángulo de elevación de 34º, y que la distancia del observador al pie del edificio es de 30 m. 4.- La sombra que proyecta un árbol cuando los rayos del sol tienen una inclinación de 23º es de 12’5 m. Calcula la altura del árbol. 5.- Un globo aerostático está sujeto al suelo por un cable de 60m. Si el ángulo de elevación del globo es de 40º, ¿a qué altura se encuentra el globo?. 6.- Cuando se recorren 150 m. sobre una carretera, la altitud sobre el nivel del mar aumenta en 18m. ¿Cuál es la inclinación de la carretera?, ¿qué porcentaje aparecerá en la señal de la pendiente de la carretera? 7.- Halla la anchura del río de la figura 8.- La anchura de una calle es de 20m. Colocándonos en el centro de la misma se ven dos edificios, uno a cada lado, bajo ángulos de 60º y 45º respectivamente. Calcula la altura de los edificios. 9.- Calcula el área del siguiente triángulo 10.- La escultura de Práxedes Mateo Sagasta de la Glorieta colocada sobre un pedestal esta hecha a tamaño real. Si nos alejamos 4 m. del pedestal, se ve la parte más alta escultura bajo un ángulo de 53º, y los pies de la estatua bajo un ángulo de 41º, ¿cuánto medía Práxedes Mateo Sagasta?.

Soluciones hoja 5

1.- a) sen α = 0’ 37 cos α = 0’93 tg α = 0’4

b) cos β = 7

5 sen β =

7

24 tg β =

5

24

c) sen A = 0’95 cos A = 0’28 tg A = 3´4 2.- a) B = 55º a = 13’95 cm. b = 11’43 cm. b) a = 9’85 cm. B = 23º 57’ 45” C = 66º 2’ 15” c) B = 32º 50’ 45” a = 12’91 cm. b = 10’84 cm. 3.- El edificio mide aproximadamente 20’24 m. 4.- La altura del árbol es de 5’31 m. 5.- El globo se encuentra a 38’57 m. 6.- La inclinación de la carretera es de 6º 53’ 32”. En la señal de pendiente de la carretera aparecerá un 12 %. 7.- El río tiene 42’54 m. de anchura. 8.- Un edificio mide 10m. y el otro 17’32 m. 9.- S = 18 cm2 10.- Sagasta medía aproximadamente 1’83 m.

FUNCIONES. HOJA 6 1.- Realiza el estudio gráfico de la siguiente función: 2.- Representa las siguientes funciones cuadráticas a) y = x² − 5x + 3 b) y = 2x² − 5x + 4 c) y = x² − 2x + 4

d) y = − x² − x + 3 e) y = −x² + 4x f) y = x²+ 1

3.- El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x € una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B(x) = –x2 + 10x – 21

a) Representa la función B(x) b) Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máximo beneficio, ¿a cuánto

asciende el beneficio?. c) ¿Cuál es el precio del producto con el que no se obtienen beneficios?

4.- El arco de un pórtico tiene forma parabólica cuyo trazado lo da la función

f(x) = x3

4x

9

2 2

a) Represéntala gráficamente b) Determinar la altura y anchura máxima de del arco. 5.- Representa las siguientes funciones:

a) f(x) = x

4 b) g(x) =

x

3- c) f(x) =

x

1-

6.- Representa las siguientes funciones:

a) f(x) = x3 b) g(x) = x0'5 c) f(x) = x

3

1

7.- Una asociación cultural va a contratar un autobús para una excursión. El precio del autobús es de 500 € y lo tienen que pagar los socios que vayan a la excusión.

a) Completa la siguiente tabla:

Nº de socios 10 20 25 50

Precio por socio

b) Halla la función que da el precio que debe pagar cada socio dependiendo de los que vayan a la

excursión, ¿qué tipo de función es? c) Representa la función obtenida, eligiendo la escala y unidades adecuadas.

8.- Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que expresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente.

Soluciones hoja 6 1.-

1. Dom f = (- ∞ , 6) 2. Im f = (- 4 , 4] 3. Función discontinua 4. Puntos de corte con los ejes: Eje OY: (0 , 0) Eje OX: (0 , 0) ; (4 , 0) 5. Crecimiento y decrecimiento:

Función decreciente en (- ∞ , 0) U (2 , 6)

Función creciente en (0 , 2) 6. Máximos y mínimos relativos:

La función tiene mínimo en el punto (0 , 0)

La función tiene máximo en el punto (2 , 4) 7. Función no simétrica 8. Función no periódica 9. Tendencias: cuando x tiende a - ∞, entonces y tiende a 0 (si x→ - ∞ y → 0)

2.-

3.- a)

b) Para obtener el beneficio máximo hay que vender el producto a 5 €, el beneficio asciende a 4 000 €. c) No se obtienen beneficios si se vende el producto a 3 € o 7 €. 4.- a)

b) El arco alcanza una anchura máxima de 6 m. y una altura máxima de 2 m.

5.-

6.-

7.- a)

b) x: número de socios y: precio por socio x

500y Función de proporcionalidad inversa

c)

8.- x: tiempo (minutos) y: nº de células

Función exponencial: x2y

Nº de socios 10 20 25 50

Precio por socio 50 25 20 10

Tiempo (minutos) 0 1 2 3 x

Nº de células 1 2 4 8 x2

PROBABILIDAD. HOJA 7

1.- Calcula la probabilidad de obtener cruz al lanzar al aire una moneda de un euro. 2.- Calcula la probabilidad de obtener un número múltiplo de 4 al lanzar al aire un dado con forma de dodecaedro y con las caras numeradas del 1 al 12 3.- En una caja hay 80 tornillos, de los que 5 son defectuosos, y se extrae uno al azar. Calcula la probabilidad de que sea uno de los defectuosos. 4.- En una bolsa hay 6 bolas rojas, 4 azules, 7 verdes, 2 amarillas y una negra. Extraemos una al azar. Halla la probabilidad de que:

a) Sea azul. b) No sea negra. c) Sea roja o verde. d) No sea amarilla ni negra. e) Sea blanca

5.- El delantero de un equipo de fútbol mete dos goles de cada 5 balones que tira a puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima vez que tire a puerta meta gol?. 6.- En un instituto, los alumnos y las alumnas están distribuidos por cursos del modo siguiente:

1º ESO 2º ESO 3º ESO 4º ESO 1º BACH. 2º BAH

210 250 260 220 140 120

Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea de 3° ESO. b) Sea de ESO. c) Sea de Bachillerato. d) No sea de 1º ni 3º ESO. e) Sea de 1º o 3º ESO. 7.- En un cajón tenemos desordenados 8 calcetines negros y 6 calcetines marrones, si extraemos dos calcetines al azar, calcula:

a) La probabilidad de que los dos sean negros. b) La probabilidad de que sean uno de cada color. c) La probabilidad de que los dos sean del mismo color.

8.- Consideramos el experimento aleatorio que consiste en extraer, con devolución, dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de: a) Las dos cartas sean de oros. b) Una carta sea de oros y otra de espadas. c) Las dos cartas sean del mismo palo.

Soluciones hoja 7

1.- P (cruz) = 2

1

2.- P (múltiplo de 4) = 4

1

12

3

3.- P (tornillo defectuoso) = 16

1

80

5

4.- a) P (bola azul) = 5

1

20

4 b) P (bola no negra) =

20

19

c) P (bola roja o verde) = 20

13 d) P (bola no amarilla ni negra) =

20

17

e) P (bola blanca) = 020

0

5.- P (gol) = 5

2

6.- a) P (3° ESO) = 0'2260

13

1200

260 b) P (ESO) = 0'78

60

47

1200

940

c) P (Bachillerato) = 0'2260

13

1200

260

d) P (ni 1º ni 3º ESO) = 0'61

120

73

1200

730

e) P ( 1º o 3º ESO) = 0'39120

47

1200

470

7.- a) P (dos calcetines negros) = 0'3113

4

13

7

14

8

b) P (un calcetín de cada color) = 0'5391

48

13

8

14

6

13

6

14

8

c) P (dos calcetines del mismo color) = 0'4791

43

13

5

14

6

13

7

14

8

8.- a) P (dos cartas de oros) = 0'0616

1

40

10

40

10

b) P (una carta de oros y otra de espadas) = 0'13

8

1

40

10

40

10

40

10

40

10

c) P (dos cartas del mismo palo) = 0'254

1

40

10

40

104