Polinomios ortogonales9.1 Introduccion:

En la practica el comportamiento de la variable de respuesta pocas veces presenta un comportamiento lineal la gran mayoria de las ocasiones el comportamiento de las varaiables de respuesta sigue un comportamiento lineal.

Modelo de regresion lineal

y=β 0+¿ β 1 x+β 2 x2+ β 3 x3+…β n xn ¿El grado del modelo se elijira despues de analizar el diagrama de dispersion

Modelo de regresion cuadratica

y=β 0+β 1 x+β 2 x2

β 0 β 1 β 2

[n ∑ x ∑ x2

∑ x ∑ x2 ∑ x3

∑ x2 ∑ x3 ∑ x4 ][∑x

∑ xy

∑ x2 y ]Modelo de regresion cubica

y=β 0+β 1 x+ β 2 x2+β 3 x3

β 0 β 1 β 2 β 3

[ n ∑ x ∑ x2 ∑ x3

∑ x ∑ x2 ∑ x3 ∑ x4

∑ x2 ∑ x3 ∑ x4 ∑ x5

∑ x3 ∑ x4 ∑ x5 ∑ x6][ ∑ y

∑ xy

∑ x2 y

∑ x3 y]

Modelo de polinomio ortogonal

y=α 0+α 1Μ 1Ρ 1 ( x)+α 2Μ 2Ρ 2 (x )…+α nΜ nΡ n (x )

Para determinar la ecuacion de una linea recta se requiere conocer minimo dos puntos.

Para determinar la ecuacion de una regresion cuadratica se

necesita minimo tres puntos.

De lo anterior se desprende que si contamos con dos puntos el grado maximo posible de la ecuacion que podemos obtener es uno.

Si contamos con tres puntos el grado maximo posible de la ecuacion que podemos obtenr es dos, esto quiere decir que con tres puntos podemos obtener una ecuacion lineal o una ecuacion cuadratica según el comportamiento observado.

De lo anterior se concluye que el grado maximo posibles que podemos obtener de n puntos sera (n−1 ) .

En nuestro ejemplo de diseño bloques al azar (DBA) contamos con cuatro valores (valocidades de mezclado

en rpm ).

Dado que tenemos cuatro valores el grado maximo posible sera cubico.

τ (velocidadrpm ) Y i .5 5. 75

10 8 .515 7 .7520 8 .75 y=α 0+α 1Μ 1Ρ 1 ( x)+α 2Μ 2Ρ 2 (x )+α 3Μ 3Ρ 3 ( x)

Para determinar el rado de la ecuacion que mejor se ajusta en los resultados obtenidos en el experimento tendremos que realizar un analisis de varaianza de efectos.

ANALISIS DE VARIANZA DE EFECTOS

τ

Yi .

e ki

4 4 4 4

∑ ekiYi .r∑ e2 kisce k=(∑ e kiYi . )2

r∑ e2kiCMe k=scce k

gleFc=CMe2

CM εεF−tabla23

34

31

35

LINEAL-3

-1

1 3 33 80 13.6125 13.6125 1.56945.12

10.56

CUADRATICO 1

-1

-1

1 -7 16 3.0625 3.0625 0.35305.12

10.56

CUBICO-1

3-3

1 21 80 5.5125 5.5125 0.63555.12

10.56

r =4 ∑ sce2=22.1875gl ek=1 CM εε8 .6733 1,9 gl

∑ e kiYi . lineal=( (−3 ) (23 )+ (−1 ) (34 )+ (1 ) (31 )+ (3 ) (35 ) )=33∑ e kiYi .cuadratica=( (1 ) (23 )+ (−1 ) (34 )+ (−1 ) (31 )+ (1 ) (35 ) )=−7

∑ e kiYi .cubica .=( (−1 ) (23 )+ (3 ) (34 )+ (−3 ) (31 )+ (1 ) (35 ) )=21r∑ e2ki linael=4 {(−3 )2+ (−1 )2+ (1 )2+ (3 )2 }=80r∑ e2ki cuadratica=4 {(1 )2+ (−1 )2+ (−1 )2+ (1 )2 }=16r∑ e2ki cubica=4 {(−1 )2+ (3 )2+ (−3 )2+ (1 )2 }=80

sceki lineal=(∑ e kiYi . )2

r∑ e2 ki=(33 )2

80=13 .6125

sceki cuadratica=(∑ ekiYi . )2

r∑ e2ki=

(−7 )2

16=3 .0625

sceki cubica=(∑ ekiYi . )2

r∑ e2ki=(21 )2

80=5 .5125

CMe klineal=sce k

gle k=13 .6125

1=13 .6125

CMe kcuadratica=sce k

gle k=3 .0625

1=3 .0625

CMe kcubica=sce k

gle k=5 .5125

1=5 .5125

Fc lineal=CMe k

CM εε=13 .6125

8 .6733=1 .5694

Fc cuadratica=CMe k

CM εε=3 .0625

8 .6733=0 .3530

Fc cubica=CMe k

CM εε=5 .5125

8 .6733=0 .6355

De acuerdo a las condiciones del analisis de efectos se concluye que la textura de los lingotes de aluminio no depende de la velocidad de agitacion por lo que no podemos generar una ecuacion que explique la textura de dicha velocidad.

Sin embargo para explicar el procedimiento cuando si dependa supondremos un comportamiento cubico.

y=α 0+α 1 Μ1 Ρ 1 (x ) +α 2 Μ2 Ρ 2 ( x ) +α 3 Μ3 Ρ3 ( x )

α 0Media general

α 0=Y .. ..n

=12316

=7 .6875

α i (α1 α 2 α3 )

α 1=∑ e kiY i

r∑ e ki

=3380

=0 .4125

α 2=∑ e kiY i

r∑ e ki

=−716

=−0 .4375

α 3=∑ e kiY i

r∑ e ki

=2180

=0 .2625

x Media de los tratamientos

x=5+ 10+ 15+ 205

=12 .5

d Diferencia entre tratamientos

d=5

Ρ 1=( x−xd )=x−12.5

5=0 .2 x−2 .5

Ρ 2=( x−xd )

2

−(t2−112 )=(0.2 x−2.5 )−((4 )2−112 )=0 .04 x2−x+6.25−1.25=0 .04 x2−x+5

Ρ 3=(x−xd )

3

−(3 t2−120 )(x−xd )= (0.2 x−2.5 )3−[3 (4 )2−1

20 ] (0 .2x−2 .5 )

Ρ 3=0 .008 x3−0.3 x2+3 .75 x−15 .625−0.41 x+5 .125Ρ 3=0 .008 x3−0.3 x2+3 .34 x−10.5y=7 .6875+( (0 .4125 ) (2 ) (0.2 x−2.5 ) )+( (−0. 4375 ) (1 ) (0 .04 x2− x+5 ) )+

((0 .2625 ) (10 3) (0 .008x3−0 .3 x2+3 .34 x−10.5 ) )=y=7 .6875

=−2.0625+0 .165x=−2.1875+0 .4375 x−0 .0175x2

¿−9 .1875+2.9225 x−0 .2625x2+0 .007 x3

y=0.007 x3−0 .28 x2+3 .52x−5.75

δ=∑ sceSCT

=sce 1+ sce 2+ sce 3sct

δ=22 .187522 .1875

=1