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7/23/2019 poleas.pdf

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PROBLEMASRESUELTOSTEMA:2

1. a)Tenemosunacuerdaquepasaporunapolea.Enunextremodelacuerdacuelga

unpeso

de

5Nypor

el

otro

se

aplica

una

fuerza

de

10

N.

Hallar

la

aceleracin

del

peso.

b)Sienlugardelafuerzade10N,colgamosunpesode10N.Seriguallaaceleracin

queenelcasoa).

a)

La fuerza de 10N que se aplica a la cuerda, se transmite al peso. Aplicamos la segunda ley

de Newton al peso: Sobre el peso actan la fuerza de 10N que se aplica y el peso de 5N pero con sentido

contrario a la fuerza:

Donde

,con lo que la ecuacin es la siguiente:10 5 9.81/ Esta es la aceleracin con la que subeel peso.

b)

En el caso en que colgamos un peso de 10 N, aplicamos la 2 ley de Newton a cada uno de

los dos bloques. Llamamos P1al bloque de 10 N y P2al bloque de 5 N. Con lo que hallamos las

dos ecuaciones siguientes:


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Donde T es la tensin en la cuerda, la cual va siempre en direccin contraria al bloquerespecto al cual estamos realizando la ecuacin, y en los dos bloques es la misma tensin ya que esla misma cuerda y en la polea la cuerda circula libremente.

Si sumamos las dos ecuaciones anteriores llegamos a la siguiente ecuacin:

515 3 3.27/Ahora el bloque de 5 N asciende con una aceleracin de 3.27 m/s. Esto ocurre as porque

ahora la fuerza del bloque (10 N), el peso del bloque, debe mover ambas masas, mientras que en elcaso a) slo se mova la masa del bloque de 5 N.


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2. ElsistemamssencillodepoleassedenominamquinadeAtwoodyseutilizapara

medir laaceleracinde lagravedadgapartirde laaceleracinde losdosbloques.

Suponiendoquelacuerdaylapoleatienenunamasadespreciableylapoleacarecede

rozamiento,demostrarquelaaceleracindecualquieradelosbloquesylatensinde

la

cuerda

son:

Para poder demostrar que la aceleracin y la tensin son la frmula que anuncia el

problema empezamos aplicando la 2 ley de Newton a cada bloque por separado (suponemos que

m2> m1) :

Si sumamos las dos ecuaciones resulta la siguiente ecuacin:

Despejando T en la segunda ecuacin:

Y sustituyendo la aceleracin por la frmula que hemos hallado anteriormente:

En la segunda parte de la ecuacin se ha introducido una fraccin que no influye en el

resultado pero es til para poder simplificar y que el resultado sea idntico al que da el enunciado.

Por lo que el resultado final es:

2


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3. LapoleadeunamquinadeAtwoodexperimentaunaaceleracinahaciaarriba.

Determinarlaaceleracindecadamasaylatensindelacuerda.

Para poder realizar este problema debemos de hacer una suposicin, que el bloque m1subecon su aceleracin propia (apr) (relativa a la polea) ms la aceleracin externa (a), por lo quesuponemos que m2 > m1, esto es, (a+ apr) ser la aceleracin absoluta de m1.

Supondremos igualmente que el bloque m2 asciende tambin pero con una aceleracinabsoluta (a apr) ya que m2 descender con respecto a la polea. Es evidente que nuestrassuposiciones dependern de los valores reales de las masas, lo cual podra hacer que al sustituirdichos valores, los resultados numricos de las aceleraciones fueran negativos.

Si aplicamos la 2 ley de Newton a cada bloque por separado obtenemos las siguientesecuaciones:

(ya que hemos supuesto que ambas masas ascienden, las tensin ser mayor que los pesos)

Si restamos la segunda ecuacin a la primera obtenemos la siguiente ecuacin: Para hallar aprbasta con despejarla de la ecuacin anterior, y el resultado es el siguiente:

Como podemos observar la aceleracin relativa de los bloques con respecto a la polea es la

misma que en el problema 2 pero con (g + a) en lugar de g.

Teniendo el resultado de aprpodemos hallar la aceleracin total de cada bloque.

Para el bloque m2obtenemos:


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En la primera parte de la ecuacin se ha introducido una fraccin que no influye en elresultado pero es til para poder simplificar.

Por lo que el resultado de la aceleracin absoluta del bloque m2queda as:

2 Para el bloque m1obtenemos:

En la primera parte de la ecuacin se ha introducido una fraccin que no influye en el

resultado pero es til para poder simplificar.

Por lo que el resultado de la aceleracin absoluta del bloque m1queda as:

2 Para obtener la tensin utilizamos la ecuacin que obtuvimos con la 2 ley de Newton

aplicada para el bloque m2:

2 Una vez obtenido esta ecuacin slo que simplificar, por lo que el resultado de la tensinsera el siguiente:

2 2 Podemos observar que esta tensin tambin coincide con la del problema 2 perocambiando (g + a) en vez de g.


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4. Deunapoleacuelgaunacuerdasinrozamiento;enunodelosladoshayunmono,y

enelotrounapesaexactamenteigualalpesodedichoanimal.Sedeseasaberloque

ocurresiaqueldecidetrepar.

Se pueden pensar dos cosas, que el mono suba normal y la pesa se quede quieta, o que el

mono se que en el mismo sitio y sea la pesa la que suba. Ninguna de estas dos situaciones ocurre.

En realidad, la fuerza extra que el mono ejercer para trepar elevar tanto a la pesa como a

l mismo, de modo que ambos se elevan a la vez. Lo que pasa es que si el mono recorre una

distancia d sobre la cuerda, l solo se elevar d/2, debido a que los otros d/2 los ha subido el

peso permaneciendo mono y peso siempre enfrentados.

Si en lugar de la pesa hubiera otro mono del mismo peso y ambos se pusieran a trepar a la

vez, ahora s subiran a la velocidad a la que trepan debido a que la cuerda no se movera.

Adaptadode lacuestin6.24del libroPorqu?1700CuestionesdeFsicadeF.

SenentyJ.Aguilar.


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5. Enelsistemarepresentadoenlafigura,dosbloquesdemasasm1=10kgym2= 6

kg estn unidos por un cable inextensible de masa despreciable. Las poleas se

suponenlisasysinpeso.Sepidedeterminarlaaceleracinqueadquierecadaunode

loscuerposylastensionesdelascuerdas.

Los sistemas de puntos materiales conectados por

ciertos vnculos o ligaduras se llaman sistemas

holnomos (condicin de rigidez). En este caso, la

ligadura es la longitud constante del cable. Los

sistemas holnomos pueden tener uno (como en

este caso) o ms grados de libertad.

La longitud de cable es,

2 Y si derivamos dos veces con respecto al tiempo e igualamos a cero

2 0 2 0(donde la notacin con el punto significa derivada respecto del tiempo)

Segn esta ecuacin, cuando el bloque m1 se mueva y se desplace hacia la derecha con una

aceleracin a, el bloque m2 desciende con una aceleracin " ". Por tanto:2

Como norma general podemos afirmar que cuando un cuerpo est en una polea mvil su

aceleracin ser la mitad.

Si aplicamos la 2 Ley de Newton al bloque m1que slo est sometido a la tensin T1de la

cuerda:

[1]Para el bloque m2obtendramos:

[2]Si despejamos T2:

2

2

X1

X2

b


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Ahora, segn el diagrama, para la polea mvil inferior de pesodespreciable, se cumple:

2 [3]Entonces ahora, con las ecuaciones obtenidas [1] y [2] podemos sustituir

en la ecuacin [3],

2 12 Y si despejamos podemos obtener la aceleracin,

2 6 9 , 82 1 0 2,56 Entonces podemos afirmar, con el resultado de a1y sustituyendo en nuestras ecuaciones [1] y [2]que,

1,3 25,6 51,1

T2


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6. Enelsistemadelafigura,lasmasasdelosbloquessonm1=8kg,m2=12kgym3=

20 kg. La cuerda que los une se supone inextensible y demasa despreciable y las

poleasseconsideran lisasysinpeso.Elcoeficientederozamientodinmicoentreel

bloque y la superficie del plano inclinado es = 0,15. Se pide determinar laaceleracin

de

los

bloques

y

las

tensiones

de

las

cuerdas.

Podemos comprobar por el dibujo que:

2donde la aceleracin de m3es la mitad porque est en una polea mvil (ver problema anterior)

Aplicamos la 2 Ley de Newton a cada bloque suponiendo que m1 desciende*:

[1]

[2] 30 [3]

Igual que en el problema anterior, para la polea mvil se cumple la relacin de tensiones:

2 Entonces, con esta relacin y sustituyendo las aceleraciones obtenidas obtenemos,

2 2 30 2 Si despejamos a3obtendramos,

2 30 2 30 24 0,45 Con este resultado y sustituyendo en las ecuaciones anteriores podemos obtener,

0,9 71,2 102,7 205,4

30


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*Nota:Elhechodepresuponerquem1desciendesepuedededucircomparando lasfuerzasque

hacenqueelsistemasemuevahacialaizquierdayhacialaderecha.Hacialaizquierdaactan:el

pesodem1(8g=78.4N)yla componentedelpesodem2endireccindelplano(12gsen30=58.8

N).Estoes,78.4+58.8=137.2N.Hacialaderechaactaslolamitaddelpesodem3yaqueste

estsobre

la

polea

mvil,

m3g/2

=98N.

Como

137.2

N

>98

N,

el

balance

neto

hace

que

el

sistemasemuevahacialaizquierda,estoes,m1descienda.

Intentar evaluarpreviamente el sentido del movimiento en losproblemas con rozamiento es

importante ya que, debido al rozamiento, las ecuaciones de Newton no sepueden invertir en

signosiseeligeunsentidoerrneo.


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7.Unbloquede60kgsedeslizapor lapartesuperiordeotrobloquede100kgcon

unaaceleracinde3m/s2porlaaccindeunafuerzahorizontalFde320N. Elbloque

de 100 kg se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, pero hay

rozamientoentrelosdosbloques.

a)Determinarelcoeficientederozamientocinticoentro los

bloques.

b)Determinarlaaceleracindelbloquede100kgduranteel

tiempoqueelbloquede60kgmantieneelcontacto.

a)

El bloque superior se encuentra sometido a la fuerzaFy a la fuerza de rozamiento con elbloque inferior. Por tanto, la 2 Ley de Newton aplicada al bloque superior ser:

60 32060 60 3Ahora, despejando el rozamiento:

0,24b) El bloque inferior slo se encuentra sometido al rozamiento con el bloque superior que es

la nica fuerza en direccin del movimiento que acta sobre l. Si aplicamos la 2 Ley de

Newton al bloque inferior:60 100 1,41


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8.Unbloquede2kgestsituadosobreotrode4kg,queasuvezseapoyasobreuna

mesasinrozamiento.Loscoeficientesderozamientoentre losdosbloquesson, , .a)

Cul

es

la

fuerza

mxima

Fque

puede

aplicarse

al

bloquede4kgdetalmodoqueelbloquede2kgno

deslice?

b)SiFeslamitaddeesevalormximo,determinarla

aceleracindecadabloqueylafuerzaderozamiento

queactasobrecadaunodeellos.

c) Si F es el doble del valor determinado en a),

calcularlaaceleracindecadabloque.

a) Si los dos cuerpos estn unidos es como si tuviramos un solo bloque de masa (m1 + m2).

LuegoF= (m1 + m2) a= (2 + 4) aVemos que el bloque superior se mantiene fijo al inferior por la fuerza de rozamiento

esttica que es quien le proporciona la aceleracin a y la nica fuerza que acta sobre l (endireccin del movimiento). Luego si aplicamos la 2 ley de Newton al bloque superior, tenemos:

2 2 0,3 2 2 4 17,64 Otra forma de entender el problema es mediante el concepto de fuerza ficticia o de inercia.As, cuando el conjunto de ambos bloques se acelera hacia adelante con aceleracin a, entoncesel bloque superior va a sentir una reaccin o fuerza ficticia (fuerza de inercia) hacia atrs del valor.Entonces, el problema ser una situacin de equilibrio esttico entre (hacia atrs) y elrozamientoc m1g(hacia delante): Como,

y obtendramos el mismo valor de F que

antes.

b) Si , 8,77 como 8,77 N < 17.64 N sabemos que los dos bloques se van a moverjuntos.

con 1,47 /. La fuerza de rozamiento es simplemente la que mueve al bloquesuperior, esto es, le proporciona la aceleracin de 1,47 m/s:

2,74

(ojo, estafuerza de rozamiento no es la mximaposible (cm1g = 5,88 N) sino slo la que se

necesitaparaproporcionarlaaceleracinnecesariade1,47m/salbloquesuperior).


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c) SiF = 17,54 x 2 = 35,28 N, la 2 Ley para aplicada al bloque interior es:

2 0,2 4 de donde:

7,85 /Se ha utilizado el coef. de rozamiento cintico puesto que ahora sabemos que ambos bloques van adeslizar.

Puesto que el rozamiento cintico es la nica fuerza externa (en direccin del movimiento) queacta sobre el bloque superior, al aplicarle 2 ley de Newton tendramos:

2 0,2 2 1,96 / respecto al suelo. Esta aceleracin de 1,96 m/s es independientemente de lafuerzaF aplicada siempre que se cumpla queF> 17,54 N


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9. Un bloque de masa m descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de

rozamientoestticoes.Seaplicaunafuerzaalcuerpobajounngulo.a)DeterminarlafuerzaFnecesariaparadesplazarelbloqueenfuncindelngulo.b)Paraelngulo

enqueestafuerzaesmnima,lapendientedF/d

delacurvaFen

funcindeescero.CalculardF/dydemostrarqueestaderivadaesceroparaelnguloquesatisfacelaexpresintg =.

a) Si el bloque no se mueve 0, al aplicar la 2 ley de Newton tendremos que el sumatorio delas fuerzas es nulo, quedando: 0 0

donde N es la fuerza neta que el suelo hace sobre el bloque (o fuerza normal).

0

0 (dondela

)

(ver que tira hacia la derecha y tira hacia la izquierda)

b) F es mnima cuando el denominador es mximo:

0 (si es un extremo)Ahora despejamos

:

Esta es una expresin muy conocida que relaciona el coef. de rozamiento esttico con el

ngulo en muchos problemas de esttica (por ejemplo, como ocurre con cuerpos que reposan sindeslizar sobre un plano inclinado).


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10. Considerar una cuenta de masa que puede moverse libremente sobre unalambredelgadoycircularderadio.Sedaa lacuentaunavelocidad inicialyelcoeficiente de rozamiento cintico es . El experimento se realiza en ausencia degravedad.

a)

Determinarla

velocidad

de

la

cuenta

en

cualquier

tiempo

posterior.b)Determinarlaaceleracincentrpetadelacuenta.c) Hallarlaaceleracintangencialdelacuenta.

d) Culeslamagnituddelaaceleracinresultante?

a) Pensando el problema a nivel de fuerzas de inercia (fuerzas centrfugas), cuando la masa gira

sufre una fuerza de inercia hacia el exterior

que con el coeficiente de rozamiento

nos

dar una fuerza de rozamiento, la cual disminuir la velocidad creando una aceleracin tangencial despejamos la velocidad y nos queda: En este caso, la aceleracin es funcin de la velocidad y utilizaremos la correspondiente

ecuacin de cinemtica (ojo, no se pueden utilizar las ecuaciones de MRUA):

1 1 1

Ahora, despejamos la velocidad: b) la aceleracin centrpeta o normal es:

2

0

20

1

1

r

tvr

va

cc

c) en el apartado a) hemos visto que la aceleracin tangencial cumpla:

entonces: (siendo el signo negativo debido a que se trata deuna desaceleracin). Esto es, la aceleracin tangencial de frenado depende de la aceleracincentrfuga (es decir, de la velocidad).

Tambin podramos haber deducido la aceleracin tangencial derivando la expresin de lavelocidad obtenida en el apartado a). Mediante la aplicacin de la regla de la cadena de la

derivacin, obtenemos:


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11 d) la magnitud de la aceleracin resultante es:

1 /


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11. UnacadenaflexibledelongitudLypesoWestcolocadainicialmenteenreposo,

sobreunasuperficiesinfriccinABC,estandoDaunadistancia(La)deB.Demostrar

quecuandoelextremoDllegaalpuntoBlavelocidaddelacadenaes:

/

Primeramente, definimos una densidad lineal de peso

En cualquier instante tenemos que tener en cuenta que habr una distancia xde cadena ms

all de B que variar desde a(en el instante inicial) hasta L (en el instante final).

Esta distancia x ejercer una fuerza

que es la componente del peso de la cadena en

direccin paralela al plano. Esta es la fuerza que

acelerar toda la cadena completa de masa total . Por

lo tanto, al aplicar la 2 ley de Newton a toda lacadena, tendremos que la fuerza aplicada a la cadena deber ser igual a la masa total por la

aceleracin. Esto es:

Siendo el peso de la cadena que cuelga y su masa total.

Despejamos la aceleracin y nos queda:

Entonces la aceleracin es funcin del desplazamiento x y entonces usamos la

correspondiente ecuacin cinemtica que nos interesa:

2

2

2

2

Donde se ha tomado v0= 0, ya que la cadena parte del reposo.

Finalmente: como queramos demostrar.Este problema tambin se puede resolver aplicando la conservacin de la energa.


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POR ENERGAS

Seah1lo que desciende el CM del trozo de cuerda (L a)desde la situacin inicial a la final:h1= (L a) sen/ 2

Seah2lo que desciende el CM del trozo de cuerda (a) desde la situacin inicial a la final:h2= (L a) sen

La masa m1del trozo de cuerda (L a)es igual a la densidad lineal de masa de la cuerda (W/gL)multiplicado por la longitud (L a), esto es: [(W/gL) (L a)]

Luego el cambio de energa potencial de ese trozo ser:m1g h1= [(W/L) (L a)]((L a) sen/ 2)

La masa m2del trozo de cuerda (a)es igual a la densidad lineal de masa de la cuerda (W/gL)multiplicado por la longitud (a), esto es: [(W/gL) (a)]Luego el cambio de energa potencial de ese trozo ser:m2g h2= [(W/L) (a)](L a) sen

Por tanto, el cambio total en energa potencial desde la situacin inicial a la final ser la suma deambas contribuciones anteriores. Dicho cambio ser igual al cambio en energa cintica de lacuerda, esto es:m1g h1+ m2g h2= (1/2) (W/g) v2

Luego:[(W/L) (L a)]((L a) sen/ 2) + [(W/L) (a)](L a) sen= (1/2) (W/g) v2

Dividimos ambos miembros entre W. En el primer miembro, sacamos factor comn(sen/L) (L a). Resulta:

(sen/L) (L a) [(L a)/2 + 2a/2] = (sen/L) (L a) (L + a)/2 =

= (sen

/ 2L) (L - a) = (1/2) 1/g) v2

O bien:v2= (g/L) (L - a) sen

/ Que es el mismo resultado obtenido por la aplicacin de la 2 ley de Newton.

L a

a


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12. Unestudiantemontadoenunabicicletasobreunasuperficiehorizontal,recorre

un crculo de radio 20 m. La fuerza resultante ejercida sobre la bicicleta (fuerza

normalmslafuerzaderozamiento)formaunngulode15conlavertical:

a)culeslavelocidaddelestudiante?

b)

Si

la

fuerza

de

rozamiento

es

la

mitad

de

su

valor

mximo,

cul

es

el

coeficiente

de

rozamientoesttico?

a) Si aplicamos la 2 ley de Newton a la masa estudiante-bicicleta, vemos que:

0 0 donde es la fuerza de rozamiento y es la aceleracinnormal o centrpeta.

Esto quiere decir que crea la aceleracin centrpeta (sin no se podra dar la curva).Ahora: 15

Sacamos la velocidad:

mg

r

vm

tan

2

15 15 tenemos que: 7,25 /b)Hemos visto que y, segn nos dicen en el apartado b), la fuerza de rozamientoque acta (la fuerza centrpeta) es la mitad de la mxima posible

:

2 2 0,536Gracias a que (que es la fuerza centrpeta) y son proporcionales a la masa del

mvil, este factor se cancela y podemos hallar el coeficiente de rozamiento esttico .Para dicho valor del coef. de rozamiento esttico, es interesante calcular cul sera la

velocidad mxima a la que se puede dar el crculo y con qu inclinacin.


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13. Un ingeniero de caminos recibe la siguiente consulta. Hay que disear una

seccincurvadecarreteraquecumplalassiguientescondiciones:Conhielosobrela

carretera,cuandoelcoeficientederozamientoestticoentrelacarreterayelcaucho

esde0,08,uncocheenreposonodebedeslizarhacialacunetayuncochequecircule

a

una

velocidad

inferior

de

60

km/h

no

debe

deslizarse

hacia

el

exterior

de

la

curva.

Culdebeserelradiomnimodelacurvayelngulodeperaltedelacarretera?

Para la condicin de no deslizamiento en reposo debemos igualar la componente de pesoparalela al plano (dirigida hacia abajo) con la fuerza de rozamiento (dirigida hacia arriba).

Entonces, tenemos que:

0,08 4,57

Por la condicin en movimiento aplicamos la 2 Ley de Newton, siguiendo el esquema ycon los ejes X e Y elegidos:

Se ha tomado que la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo (como ) ya

que no queremos que el cuerpo deslice hacia arriba (cuneta).

Resolviendo el sistema:

[a]

N

mg

mgcos

mv/r

mvsen/r

mvcos/r

X

Y


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176 Puede resultar ms sencillo o intuitivo interpretar el problema desde el punto de vista de

fuerzas de inercia (en este caso centrfugas). Supondremos que la fuerza centrfuga es una fuerzareal aplicada sobre el cuerpo y resolveremos el problema de equilibrio esttico correspondiente.

Para ello, igualaremos las fuerzas que tiran del cuerpo hacia arriba [mcos] con las fuerzasque tiran hacia abajo [mgsen+ e (mg cos+ msen)]. Esto es:

mcos= mgsen+ e (mg cos+ msen)que es la misma ecuacin [a] que obtuvimos antes.

N

mg

mgcos

mv/r

mvcos/r

x

y

)sencos(sen2

r

vmmgmg e


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14.Determinar la fuerza constante que es necesaria aplicardurante0,005s auna

pelotadegolfde0,01kgdemasa,inicialmenteenreposo,paraquedejeelsueloauna

velocidadde

40

m/s.

Como:

Esto nos dice que la variacin del impulso coincide con la variacin del momento lineal.

En nuestro caso, nos dicen que la fuerza aplicada es constante y, como

0, tendremos:

0,01 400,05 80


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15. Parat=0,uncuerpodemasade3,0kgesten xmytieneunavelocidad

x + 6

y) m/s. Si acta sobre la partcula una fuerza constante

y N,

encontrar:

a)elcambioenelmomentolinealdelcuerpodespusde3s.

b)elcambioenelmomentoangulardelcuerpodespusde3s.

a) Puesto que sabemos:

y como es constante: 5 3 15 /t=3s

Tambin podamos haber calculado como:

donde

6 53 3 11 /Ahora, restando directamente los momentos lineales:

3 6 3 18 / 3 11 3 33 /

/

y hemos obtenido el mismo resultado que antes.

b) Para hallar el cambio en , hallamos primero 4 3 6 72 /Para hallar necesitamos antes : Para t= 3 segundos.

12 4 6 3 12 5

3 3 7 512

Y ahora:

53 /


24/25

7 512 0

3 3 3 0

23176,5 154,5 /Por lo tanto: 154,572 , /Podemos comprobar el resultado si observamos que como:

donde, el momento de fuerza viene dado por:

Por cinemtica, sabemos:

12 4 6 12 53 4 6 56

4 6 56 00 5 0 54 Queda, al integrar el momento de fuerza:

54

2 3

0 60 22,5 , /

que es igual que antes.


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16. Elvectorposicindeuncuerpodemasa6kgestdadopor: .Encontrar:

a)La

fuerza

que

acta

sobre

la

partcula.

b)Eltorqueconrespectoalorigendelafuerzaqueactasobrelapartcula.

c)Elmomentolinealyelmomentoangulardelapartculaconrespectoalorigen.

d)Verificarque a) Debemos hallar: donde

6 6 12 3 6 24 36 144 b) 3 6 4 3 236 144 0

432 288 108 72 288 864

c) La frmula del momento lineal es la siguiente: 66 6 12 3 36 36 72 18 / 3 6 4 3 2

36 36 72 18

144 144 54 72 72 72 288 /d) Es inmediato comprobar derivando que se cumple:

y que tambin se cumple:

poleas.pdf

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