Planos en 3D

Dr. Gustavo Rodríguez Zurita

R1 plano

Planos en 3D.

0P

Punto por el que sabemos pasa el plano

Punto cualquiera sobre nuestro plano

Resta vectorial contenida en el plano

Coordenadas de punto en recta cumplen

P

0r

r

R1 plano

n

0)()()(

0

,,),,(

,,),,(

000

0

00000000

zzcyybxxa

rrn

rr

zyxrzyxP

zyxrzyxP

Resta perpendicular a normal al plano n

cban ,,

Ecuación escalar del plano pasando por P0(x0,y0,z0).

cban ,, 0000 ,, zyxP

0)()()( 000 zzcyybxxa

)(

0

0)(

0

000

000

000

czbyaxd

con

dczbyax

czbyaxczbyax

czczbybyaxax

Ecuación Lineal

Ejemplo 4.

Encontrar la ecuación del plano pasando por P(2,4,-1) con normal <2,3,4>. Hallar los interceptos.

0)()()( 000 zzcyybxxa

Usando la ecuación del plano

432

142 000

cba

zyxy por los datos, se identifica que

substituyendo

0)1()4(3)2(2 zcyx

Ejemplo 4

12432

012432

0416432

04124432

04412342

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

Distribuyendo los factores y simplificando La intersección con el eje x sale de y=z=0,2x=12, o x=6La intersección con el eje y sale de x=z=0,3y=12, o y=4La intersección con el eje z sale de x=y=0,4z=12, o z=3

plano plano

Ejemplo 5Encontrar la ecuación del plano pasando por los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)

2,1,42,3,10,2,5

4,4,22,3,16,1,3

PRPR

PQPQ

Los siguientes vectores se encuentran sobre el plano inspeccionado

Se requieren dos vectores independientes en el plano para encontrar un vector normal usando su producto CRUZ, o vectorial.

kji

kjikji

kji

kji

n

ˆ14ˆ20ˆ12

14ˆ)20(ˆ)12(ˆ162ˆ164ˆ48ˆ

14

42ˆ24

42ˆ21

44ˆ

214

442

ˆˆˆ

2,1,44,4,2

Usando los vectores se encuentra n con producto X

Ejemplo 5

507106

0100142012

0286012142012

0)2(14)3(20)1(12

zyx

zyx

zyx

zyx

Utilizando el vector P y las componentes de n

La intersección con el eje x sale de y=z=0,6x=50, o x=8.33La intersección con el eje y sale de x=z=0,10y=50, o y=5La intersección con el eje z sale de x=y=0,7z=50, o z=7.14

plano plano

Ejemplo 5

R1 R2 R3 plano R1 R2 R3 plano R1 R2 R3 plano

Visualizando los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)

Ejemplo 6

tztytx 5432

18254 zyx

2

2010

18210

1810822012

1821020128

18)5(2)4(5)32(4

t

t

t

ttt

ttt

ttt

Encontrar el punto de intersección entre la recta de ecuaciones paramétricas

y el plano con ecuación

Como el punto buscado debe cumplir con ambas expresiones, se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano para hallar t.

3)2(5)2(

8)2(4)2(

462)2(32)2(

z

y

x

Regresando a las ecuaciones paramétricas para encontrar las coordenadas correspondientes a t = -2…

…indicando que las coordenadas buscadas son

3,8,4

Ejemplo 6

tztytx 5432 18254 zyx

3,8,4

R planoR plano R plano

Ejemplo 7

Encontrar el ángulo entre los dos planos descritos por las ecuaciones

1321 zyxzyx

Encontrar las ecuaciones simétricas para la recta de intersección L.

Los ángulos entre los planos son los ángulos entre sus respectivas normales n1 y n2.

3,2,11,1,1 21 nn

Por los coeficientes de las ecuaciones:

ba

bababa

)cos()cos( De:

21

21)cos(nn

nn

Ejemplo 7

42

2143

321

321111

3,2,11,1,1)cos(

22222221

21

nn

nn

Substituyendo para el coseno:

Tomando el arco coseno de 2/√(42) se obtiene un ángulo entre planos de valor 1.257 rad o 72.025°

plano_1 plano_2

Ejemplo 7

plano_1 plano_2

Se requiere además un punto de cada plano. Puede buscarse uno cualquiera pero común a ambos, el cual pertenecerá a la recta de intersección L.Tomando z = 0 en las ecuaciones de ambos planos, se simplifican éstas. Resolviendo

0

1

33

12

222

12

1

y

x

x

yx

yx

yx

yxEl punto tiene coordenadas <1,0,0>

Con ese punto y con los números directores de las normales, las gráficas de los planos, por separado primero, son

plano_1 plano_2

Ejemplo 7Para hallar la ecuación de L, notamos que debe ser perpendicular a los dos vectores normales “simultáneamente”.

Un vector perpendicular a las dos normales puede encontrarse con su producto vectorial o CRUZ (X):

kji

kji

kji

kji

nnv

ˆ3ˆ2ˆ5

)12(ˆ)13(ˆ)23(ˆ

21

11ˆ31

11ˆ32

11ˆ

321

111

ˆˆˆ

21

Así, los números directores que pueden usarse para L son a = 5, b = -2 y c = -3.

Las ecuaciones simétricas se pueden escribir entonces como

325

1

zyx

plano_1 plano_2 R1

Ejemplo 8

Encontrar la distancia D entre el punto P1(x1,y1,z1) y el plano ax+by+cz+d = 0. Use P0(x0,y0,z0).

plano_zero R Raux

P1

D

P0

b

n

222

111

222

111

222

000111

222

010101

010101

)(

)(

)()()(

,,

cba

dczbyax

cba

dczbyax

cba

czbyaxczbyax

cba

zzcyybxxa

n

nbD

zzyyxxb

Ejemplo 9Encontrar la distancia D entre los planos paralelos

10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.

6

3

32

1

332

3

392

3

272

3

1125

12

5

)1(15

1)0(1)0(1)2

1(5

0,0,2/1

2/1

510

0

222D

x

x

zySe toma un punto con coordenadas y=0 y z=0

La coordenada x faltante resulta

Usando la fórmula de distancia D, por substitución

plano_1 plano_2

52210

1005

zyx

zyx

Ejemplo 9 bisEncontrar la distancia D entre los planos paralelos

10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.

Se toma un punto con coordenadas x=0 y z=0

La coordenada y faltante resulta

Usando la fórmula de distancia D, por substitución

plano_1 plano_2

52210

1005

zyx

zyx

6

3

27

12/5

27

1)0(1)2/5(1)0(5

0,2/5,0

2/5

52

0

D

y

y

zx

Ejemplo 10Encontrar la distancia D entre las líneas rectas oblicuas del ejemplo 3.

Puede considerarse que las rectas están en planos paralelos. La distancia entre esos planos es la distancia entre las rectas.

RA RB

szsysx

sL

tztytx

tL

4332

,

4321

,

2

1

Conclusiones