Plano (geometra)

Grficade doshiprbolasy susasntotasen elplano cartesiano.

Representacin grfica informal de un plano.Engeometra, unplanoes un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitospuntosyrectas; es un concepto fundamental de la geometra junto con el punto y la recta.Cuando se habla de un plano, se est hablando del objeto geomtrico que no posee volumen, es decirbidimensional, y que contiene un nmero infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el trmino se utiliza en plural, se est hablando de aquel material que es elaborado como una representacin grfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniera, arquitectura y diseo ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.Un plano quedadefinidopor los siguientes elementos geomtricos: Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas Dos rectasparalelas. O dos rectas que se cortan.Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.Suele representarse grficamente, para su mejor visualizacin, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).En un sistema decoordenadas cartesianas, unpuntodel plano queda determinado por unpar ordenado, llamadosabscisayordenadadel punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dosnmeros realesordenados (abscisa y ordenada), y recprocamente, a unpar ordenadode nmeros corresponde un nico punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondenciabiunvocaentre unconceptogeomtrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de nmeros. Encoordenadas polarespor unnguloy unadistancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de lageometra analtica.Elreaes una medida de extensin de unasuperficie, o de unafigura geomtricaplana expresada enunidades de medidadenominadasUnidades de superficie. Para superficies planas el concepto es ms intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo unpolgono, puedetriangularsey se puede calcular su rea como suma de las reas de dichos tringulos. Ocasionalmente se usa el trmino "rea" como sinnimo de superficie, cuando no existe confusin entre el concepto geomtrico en s mismo (superficie) y la magnitud mtrica asociada al concepto geomtrico (rea).ndice[ocultar] 1Propiedades del plano 3 1.1Ecuacin del plano 1.2Posicin relativa entre dos planos 1.3Distancia de un punto a un plano 2Semiplano 2.1Postulados de la divisin de un plano 3Vase tambin 4ReferenciasPropiedades del plano 3[editar]

Interseccin de dos planos en un espacio tridimensional. Representacin isomtrica de dos planos perpendiculares.En unespacio euclidianotridimensional3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente vlidos para dimensiones mayores). Dos planos o son paralelos o se intersecan en una lnea. Una lnea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo. Dos lneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre s. Dos planos perpendiculares a una misma lnea son necesariamente paralelos entre s. Entre un plano cualquiera y una lnea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la lnea y es perpendicular al plano . Entre un plano cualquiera y una lnea perpendicular al mismo existe un nmero infinito de planos tal que contienen a la lnea y son perpendiculares al plano .Ecuacin del plano[editar]Un plano queda definido por los siguientes elementos geomtricos: un punto y dos vectores:PuntoP= (x1, y1, z1)Vectoru= (ux, uy, uz)Vectorv= (a2, b2, c2)

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma ms utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero eldeterminanteformado por los dos vectores y el punto genrico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuacin del plano es:

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La frmula para hallar la ecuacin cuando no est en el origen es:

Posicin relativa entre dos planos[editar]Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y tambin tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.Sus posiciones relativas pueden ser: Planos coincidentes: la misma direccin de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. Planos paralelos: si tienen la misma direccin los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2. Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma direccin.Distancia de un punto a un plano[editar]Para un plano cualquieray un punto cualquierano necesariamente contenido en dicho plano, la menor distancia entreP1y el planoes:

De lo anterior se deduce que el puntoP1pertenecer al planosi y solo siD=0.Si los coeficientesa,bycde la ecuacin cannica de un plano cualquiera estnnormalizados, esto es cuando, entonces la frmula anterior de la distanciaDse reduce a:

Semiplano[editar]

Plano cuadriculado.Se llamasemiplano, engeometra, a cada una de las dos partes en que unplanoqueda dividido por unarecta.Postulados de la divisin de un plano[editar]En cada pareja de semiplanos que una rectardetermina sobre un plano, existen infinitospuntostales que:1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina.2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan unsegmentoque no corta a la rectar.3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la rectar. sta, la recta, es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.Vase tambin[editar] Geometra plana Espacio eucldeo Recta Punto Superficie (matemtica) Superficie (fsica) Plano proyectivo