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10 de Agosto del 2014

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIO EXTENSIN BARINAS

SAIA NUCLEO SAN FELIPE

Integrantes: Valero Amrica C.I. 13.984.216 Dismery Martnez C.I. 22.319.860

Carrera: Ingeniera Industrial Profesor: Mariangela Pinto

Curso: Investigacin de Operaciones I

INTRODUCCIN

La problemtica de la planeacin de proyectos no ha sido una problemtica

reciente, si no que desde tiempos pasados nuestros antepasados han enfrentado

emprendimientos de gran envergadura que significaron una problemtica desde el

punto de la planificacin. Se han logrado perfeccionar herramientas que permiten

a los administradores de dichos proyectos, realizar una labor ms eficiente

permitiendo una ptima aplicacin de los recursos en las mismas y logrando una

maximizacin de los mismos.

Si admitiramos que la ejecucin de un proyecto o elaboracin se puede

subdividir en planear, programar y controlar, y hablando de manera clsica,

podemos considerar las tcnicas PERT o Programa de Evaluacin y Revisin

Tcnica y el CPM o Mtodo del Camino Crtico, que son los ms usuales para un

primer cometido. En general estas tcnicas resultan tiles para una gran variedad

de proyectos que contemplen la investigacin y desarrollo de

nuevos productos y procesos, la Construccin de plantas, edificios, y carreteras,

el diseo de equipo grande y complejo, el diseo e instalacin

de sistemas nuevos, el diseo y control de epidemias, y otras mltiples

aplicaciones en las cuales se requiera una planificacin adecuada.

Por tanto, en los proyectos como estos, los administradores

deben programas, coordinar las diversas tareas o actividades a desarrollar un

proyecto, las cuales no necesariamente son secuenciales, y aun en este caso

estas actividades son interdependientes, aunque si bien es cierto que, algunas

actividades en paralelo que originan una tercera.

ANTECEDENTES

Dos son los orgenes del mtodo del camino crtico: el mtodo PERT,

desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de Amrica, en 1957, para

controlar los tiempos de ejecucin de las diversas actividades integrantes de los

proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los

intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de

tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.

El mtodo CPM, el segundo origen del mtodo actual, fue desarrollado

tambin en 1957 en los Estados Unidos de Amrica, por un centro de

investigacin de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el

control y la optimizacin de los costos de operacin mediante la planeacin

adecuada de las actividades componentes del proyecto.

Ambos mtodos aportaron los elementos administrativos necesarios para

formar el mtodo del camino crtico actual, utilizando el control de los tiempos de

ejecucin y los costos de operacin, para buscar que el proyecto total sea

ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

DEFINICIN

El mtodo del camino crtico es un proceso administrativo de planeacin,

programacin, ejecucin y control de todas y cada una de las actividades

componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crtico y

al costo ptimo.

USOS

El campo de accin de este mtodo es muy amplio, dada su gran

flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeo. Para obtener

los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes

caractersticas:

a. Que el proyecto sea nico, no repetitivo, en algunas partes o en su

totalidad.

b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mnimo,

sin variaciones, es decir, en tiempo crtico.

c. Que se desee el costo de operacin ms bajo posible dentro de un tiempo

disponible.

Dentro del mbito aplicacin, el mtodo se ha estado usando para la

planeacin y control de diversas actividades, tales como construccin de presas,

apertura de caminos, pavimentacin, construccin de casas y edificios, reparacin

de barcos, investigacin de mercados, movimientos de colonizacin, estudios

econmicos regionales, auditoras, planeacin de carreras universitarias,

distribucin de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fbrica,

planeacin de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de poblacin,

entre otros.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan

los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de

las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribucin de

probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se

conocen en forma determinsticas y se pueden variar cambiando el nivel de

recursos utilizados.

La distribucin de tiempo que supone el PERT para una actividad es una

distribucin beta. La distribucin para cualquier actividad se define por tres

estimados:

(1) el estimado de tiempo ms probable, m;

(2) el estimado de tiempo ms optimista, a; y

(3) el estimado de tiempo ms pesimista, b.

La forma de la distribucin se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo

ms probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones

normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la

incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,

disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribucin definida, la media (esperada) y la desviacin estndar,

respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse

por medio de las frmulas de aproximacin.

El tiempo esperado de finalizacin de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crtica. De modo similar,

suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son

independientes (realsticamente, una suposicin fuertemente cuestionable), la

varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta

crtica. Estas propiedades se demostrarn posteriormente.

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los clculos

se hacen con la suposicin de que los tiempos de actividad se conocen. A medida

que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el

progreso. Si ocurre algn retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr

que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignacin de

recursos.

Podremos resumir las diferencias de los mtodos que se basan en la

manera en que se realizan los estimativos de tiempo.

PERT

Probabilstico.

Considera que la variable de tiempo es una variable desconocida de la cual

solo se tienen datos estimativos.

El tiempo esperado de finalizacin de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crtica.

Suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son

independientes, (una suposicin fuertemente cuestionable), la varianza del

proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crtica.

Considera tres estimativos de tiempos: el ms probable, tiempo optimista,

tiempo pesimista.

CPM

Determinstico. Ya que considera que los tiempos de las actividades se

conocen y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar

y monitorear el progreso. Si ocurre algn retardo en el proyecto,

se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa

cambiando la asignacin de recursos.

Considera que las actividades son continuas e interdependientes, siguen un

orden cronolgico y ofrece parmetros del momento oportuno del inicio de

la actividad.

Considera tiempos normales y acelerados de una determinada actividad,

segn la cantidad de recursos aplicados en la misma.

VENTAJAS DE PERT Y CPM

Ensea una disciplina lgica para planificar y organizar un programa

detallado de largo alcance.

Proporciona una metodologa Standard de comunicar los planes del

proyecto mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).

Identifica los elementos (segmentos) ms crticos del plan, en que

problemas potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa

propuesto.

Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o

situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias

en relacin a los plazos de cumplimiento de los programas.

Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.

En otras palabras: CPM es un sistema dinmico, que se mueve con el

progreso del proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS

presente del plan de accin.

METODOLOGA

El Mtodo del Camino Critico consta de dos ciclos:

1. Planeacin y Programacin.

1.1.- Definicin del proyecto

1.2.- Lista de Actividades

1.3.- Matriz de Secuencias

1.4.- Matriz de Tiempos

1.5.- Red de Actividades

1.6.- Costos y pendientes

1.7.- Compresin de la red

1.8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y econmicos

1.9.- Matriz de elasticidad

1.10.- Probabilidad de retraso

2. Ejecucin y Control.

2.1.- Aprobacin del proyecto

2.2.- Ordenes de trabajo

2.3.- Grficas de control

2.4.- Reportes y anlisis de los avances

2.5.- Toma de decisiones y ajustes

Definicin del Proyecto

En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de

lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles,

capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecucin del

proyecto no forma parte del mtodo. Es una etapa previa que se debe desarrollar

separadamente y para la cual tambin puede utilizarse el Mtodo del Camino

Critico. Es una investigacin de objetivos, mtodos y elementos viables y

disponibles.

Lista de Actividades

Es la relacin de actividades fsicas o mentales que forman procesos

interrelacionados en un proyecto total. En general esta informacin es obtenida de

las personas que intervendrn en la ejecucin del proyecto, de acuerdo con la

asignacin de responsabilidades y nombramientos realizados en la Definicin del

Proyecto.

Las actividades pueden ser fsicas o mentales, como construcciones,

tramites, estudios, inspecciones, dibujos, etc. En trminos generales, se considera

Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de

personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de

iniciacin y terminacin. Esta lista de actividades sirve de base a las personas

responsables de cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecucin.

Ejemplo de Realizacin de Proyecto

Jefes de Mantenimiento y Produccin.

1. Elaboracin del proyecto parcial de ampliacin.

2. Calculo del costo y preparacin de presupuestos.

3. Aprobacin del proyecto.

4. Desempaque de las maquinas nuevas.

5. Colocacin de las maquinas viejas y nuevas.

6. Instalacin de las maquinas.

7. Pruebas generales.

8. Arranque general.

9. Revisin y limpieza de mquinas viejas.

10. Pintura de mquinas viejas.

11. Pintura y limpieza del edificio.

Ingeniero Electricista

1. Elaboracin del proyecto elctrico.

2. Calculo de los costos y presupuestos.


4. Instalacin de un transformador nuevo.

5. Instalacin de nuevo alumbrado.

6. Instalacin de interruptores y arrancadores.

Ingeniero Contratista

1. Elaboracin del proyecto de obra muerta.

2. Clculo de los costos y presupuestos.


4. Cimentacin de las mquinas.

4. Pisos nuevos.

5. Colocacin de ventanas nuevas.

Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliacin de una fbrica.

Matriz de Secuencias

Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:

a.- Por antecedentes

Por antecedentes, se les preguntar a los responsables de los procesos

cuales actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que

aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las

actividades tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser

actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente ser cero (0).

b.- Por secuencias

En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la

ejecucin, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que

aparecen en la lista. Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias

iniciando con la actividad cero (0) que servir para indicar solamente el punto de

partida de las dems. La informacin debe tomarse una por una de las actividades

listadas, sin pasar por alto ninguna de ellas.

En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las indicaciones

que le ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentacin de la red. Estas

anotaciones se hacen a discrecin, ya que esta matriz es solamente un papel de

trabajo.

Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer despus una

matriz de secuencias, pues es sta ltima la que se utiliza para dibujar la red. Esta

matriz no es definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores en

relacin con la existencia y disponibilidades de materiales, mano de obra y otras

limitaciones de ejecucin.

Matriz de Tiempos

En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los

responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo ptimo (o) y el

tiempo psimo (p).

El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la ejecucin

de las actividades, basado en la experiencia personal del informador. El tiempo

ptimo (o) es el que representa el tiempo mnimo posible sin importar el costo o

cuanta de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la

posibilidad fsica de realizar la actividad en el menor tiempo. El tiempo psimo (p)

es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente

como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios,

causas no previstas, etc. Debe contarse slo el tiempo en que se ponga remedio

al problema presentado y no debe contar el tiempo ocioso.

Se puede medir el tiempo en minutos, horas, das, semanas, meses y aos,

con la condicin de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los

tiempos anteriores servirn para promediarlos mediante la frmula PERT

obteniendo un tiempo resultante llamado estndar (t) que recibe la influencia del

ptimo y del psimo a la vez.

Esto es, tiempo estndar igual al tiempo optimo, ms cuatro veces el tiempo

medio, ms el tiempo psimo, y esta suma dividida entre seis (6). Esta frmula

est calculada para darle al tiempo medio una proporcin mayor que los tiempos

ptimo y psimo que influyen. Esta proporcin es de cuatro (4) a seis(6).

Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se renen en una

sola llamada matriz de informacin, que sirve para construir la red medida.

Red de Actividades

Se llama red la representacin grfica de las actividades que muestran sus

eventos, secuencias, interrelaciones y el camino crtico. No solamente se llama

camino crtico al mtodo sino tambin a la serie de actividades contadas desde la

iniciacin del proyecto hasta su terminacin, que no tienen flexibilidad en su

tiempo de ejecucin, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las

actividades de la serie provocara un retraso en todo el proyecto.

Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de actividades que

indica la duracin total del proyecto. Cada una de las actividades se representa

por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.

Se llama evento al momento de iniciacin o terminacin de una actividad.

Se determina en un tiempo variable entre el ms temprano y el ms tardo posible,

de iniciacin o de terminacin.

A los eventos se les conoce tambin con los nombres de nodos.

Evento Evento

I j

El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de

una actividad ser el evento inicial de la actividad siguiente.

Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No

interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarn de acuerdo con las

necesidades y comodidad de presentacin de la red. Pueden ser horizontales,

verticales, ascendentes, descendentes curvas, rectas, quebradas, etc.

En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una

interrelacin o continuacin con otra se dibujar entre ambas una lnea punteada,

llamada liga, que tiene una duracin de cero.

La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para

poder iniciar la actividad siguiente.

Varias actividades pueden terminar en un evento o partir de un mismo

evento.

(a) Incorrecto, (b) Correcto.

Al construir la red, debe evitarse lo siguiente:

1. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento.

Esto produce confusin de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial

o el evento final en dos eventos y unirlos con una liga.

2. Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad

debe empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando se

presenta este caso, a la actividad base o inicial se le divide en eventos basndose

en porcentajes y se derivan de ellos las actividades secundadas.

(a) Incorrecto, (b) Correcto.

3. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el

evento inicial o con el evento final.

LIMITACIONES DEL CPM

El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con incertidumbre mnima en los tiempos de la terminacin del proyecto. Para menos proyectos de la rutina hay ms incertidumbre en los tiempos de la terminacin, y lmites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad.

METODO PERT (Programa de Evaluacin y Revisin Tcnica)

En CPM se asume que la duracin de cada actividad es conocida con certeza. Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es valido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duracin de cada actividad es una variable aleatoria. Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. Duracin de la actividad bajo las condiciones ms favorables

b = Tiempo Pesimista. Duracin de la actividad bajo las condiciones ms desfavorables

m = Tiempo Normal. El valor ms probable de la duracin de la actividad.

La forma de la distribucin se muestra en la siguiente Figura. 6 tiempo ms probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribucin definida, la media (esperada) y la desviacin estndar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de las frmulas de aproximacin.

El tiempo esperado de finalizacin de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crtica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realsticamente, una suposicin fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crtica.

PASOS EN EL PROCESO DE PLANEAMIENTO DEL PERT

1. El planeamiento del PERT implica los pasos siguientes: 2. Identifique las actividades y duracin especfica, 3. determine la secuencia apropiada de las actividades, 4. construya un diagrama de red, 5. determine el tiempo requerido para cada actividad, 6. determine la trayectoria critica, 7. Ponga al da la carta del PERT segn como progresa el proyecto.

IDENTIFIQUE LAS ACTIVIDADES Y LOS PRECEDENTES

Las actividades son las tareas requeridas para terminar el proyecto. Los precedentes son los acontecimientos que marcan el principio y el final de una o ms actividades. Es provechoso enumerar las tareas en una tabla que en pasos ms ltimos se pueda ampliar para incluir la informacin sobre secuencia y duracin.

DETERMINE LA SECUENCIA DE LA ACTIVIDAD

Este paso se puede combinar con el paso de la identificacin de la actividad puesto que la secuencia de la actividad es evidente para algunas tareas. Otras tareas pueden requerir ms anlisis para determinar el orden exacto en la cual deben ser realizadas

CONSTRUYA EL DIAGRAMA DE RED

Usando la informacin de la secuencia de la actividad, un diagrama de la red se puede dibujar demostrando la secuencia de actividades seriales y paralelas.

TIEMPOS DE ACTIVIDAD DE ESTIMACION

Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. El que representa el tiempo mnimo posible sin importar el costo o cuanta de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la posibilidad fsica de realizar la actividad en el menor tiempo

b = Tiempo Pesimista. Es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc.

m = Tiempo Normal. El valor ms probable de la duracin de la actividad, basado en la experiencia personal del informador

Si Tij es la variable aleatoria asociada a la duracin de la actividad (i; j), PERT asume que Tij sigue una distribucin Beta. Sin entrar en mayores detalles de esta distribucin, se puede demostrar que el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria Tij quedan definidas por:

En PERT se asume adems que la duracin de las actividades es independiente. Por lo tanto, el valor esperado y la varianza de una ruta pueden ser estimadas segn:

= Duracin esperada de la ruta

= Variacin de la duracin de la ruta

DETERMINE LA TRAYECTORIA CRTICA

La trayectoria crtica es determinada agregando los tiempos para las actividades en cada secuencia y determinando la trayectoria ms larga del proyecto. La trayectoria crtica determina el tiempo total del calendario requerido para el proyecto. Si las actividades fuera de la trayectoria ctrica aceleran o retrasaron el tiempo (dentro de los lmites), entonces el tiempo total de proyecto no vara, la cantidad del tiempo que una actividad no critica de la trayectoria sin alterar la duracin del proyecto se denomina como tiempo flojo.

Si la trayectoria crtica del proyecto no resulta obvia, entonces puede ser provechoso determinar las cuatro cantidades siguientes para cada actividad:

ES, Principio temprano. EF, principio tardo. LS, terminacin temprana. LF, terminacin tarda.

Se calculan estos tiempos usando la poca prevista para las actividades relevantes. Los tiempos ms tempranos del comienzo y del final de cada actividad son determinados trabajando adelante a travs de la red y determinando el tiempo ms temprano en el cual una actividad puede comenzar y acabar a considerar sus actividades del precursor. Los tiempos ms ltimos del comienzo y del final son los tiempos ms ltimos que una actividad puede comenzar y acabar sin variar el proyecto. El LS y el LF son encontrados trabajando al revs a travs de la red. La diferencia en el final ms ltimo y ms temprano de cada actividad es holgura de esa actividad. La trayectoria crtica entonces es la trayectoria a travs de la red en la cual ningunas de las actividades tienen holgura.

La variacin en el tiempo de la terminacin del proyecto puede ser calculada sumando las variaciones en los tiempos de la terminacin de las actividades en la trayectoria crtica. Dado esta variacin, una puede calcular la probabilidad que el proyecto ser terminado por cierta fecha si se asume que una distribucin normal de la probabilidad para la trayectoria crtica.

Sea CP la variable aleatoria asociada a la duracin total de las actividades de la ruta crtica determinadas mediante CPM. PERT asume que la ruta crtica encontrada a travs de CPM contiene suficientes actividades para emplear el Teorema Central del Lmite y concluir que CP se distribuye normalmente.

Puesto que la trayectoria crtica determina la fecha de la terminacin del proyecto, el proyecto puede ser acelerado agregando los recursos requeridos para disminuir la poca para las actividades en la trayectoria crtica.

LA ACTUALIZACIN SEGN COMO EL PROYECTO PROGRESA

Haga los ajustes en la carta del PERT como progresa el proyecto. Mientras que el proyecto revela, los tiempos estimados se pueden sustituir por pocas reales. En casos donde hay retrasa, los recursos adicionales puede ser necesario permanecer en horario y la carta del PERT se puede modificar para reflejar la nueva situacin.

VENTAJAS DEL PERT

El PERT es til porque proporciona la informacin siguiente:

Tiempo previsto de la terminacin del proyecto. Probabilidad de la terminacin antes de una fecha especificada. Las actividades de la trayectoria crtica que afectan directamente el tiempo

de la terminacin. Las actividades que tienen tiempo flojo y que pueden prestar recursos a las

actividades de la trayectoria crtica. Fechas del comienzo y del extremo de la actividad.

LIMITACIONES

Los siguientes son algunas de las debilidades del PERT:

Las estimaciones del tiempo de la actividad son algo subjetivas y dependen del juicio. En casos donde hay poca experiencia en la ejecucin de una actividad, los nmeros pueden ser solamente una conjetura. En otros casos, si la persona o el grupo que realiza la actividad estiman el tiempo puede haber diagonal en la estimacin.

Incluso si bien-se estiman los tiempos de la actividad, el PERT asume una distribucin beta para stos las estimaciones del tiempo, pero la distribucin real puede ser diferente.

Incluso si la asuncin beta de la distribucin sostiene, el PERT asume que la distribucin de la probabilidad del tiempo de la terminacin del proyecto es igual que el de la trayectoria crtica. Porque otras trayectorias pueden convertirse en la trayectoria crtica si se retrasan sus actividades asociadas, el PERT subestima constantemente el tiempo previsto de la terminacin del proyecto.

PROBLEMAS DE PERT CPM

Problema 1.

Encuentre la ruta crtica en la red que se muestra a continuacin,

considerando que la duracin (en meses) que se indica en cada actividad es

determinstica.

La ruta crtica la componen los eventos n1, n4, n5 junto con las actividades

a14 y a45. La duracin total del proyecto es 20 meses. Si por ejemplo a14 se

retrasa un mes, el proyecto se terminara en 21 meses, en vez de los 20

planeados.

Solucin

Procedemos conforme al algoritmo del mtodo PERT:

1. Estimamos los tiempos esperados para cada actividad. Por simplicidad a la

tabla anterior le adicionamos una columna para anotar estos tiempos:

2. Construimos la red de proyectos, como aprendimos cuando estudiamos la

unidad 2.

3. Realizamos los clculos hacia delante, es decir, calculamos el tiempo de

inicio ms prximo de cada evento, usando, donde la actividad precede al

evento j y .

4. Ahora hay que efectuar los clculos hacia atrs, es decir,

obtenemos iniciando en el ltimo nodo. Para esto empleamos donde la

actividad es la que sigue al nodo i y tomamos

4. Ahora hay que efectuar los clculos hacia atrs, es decir,

obtenemos iniciando en el ltimo nodo. Para esto empleamos donde la

actividad es la que sigue al nodo i y tomamos

5. Calcula el tiempo de terminacin prximo de cada actividad, que se denota

con mediante la frmula

6. Obtn la holgura total de cada actividad, con

7. La ruta crtica consta de las actividades que tienen holgura cero, por tanto,

en este caso, la ruta crtica est formada por las actividades A, C, D, E, F y G.

8. Calculamos la varianza y la esperanza del tiempo de terminacin, para lo

cual necesitamos la varianza de cada una de las actividades de la ruta crtica.

a) Varianza

Problema 2.

Consideremos el proyecto utilizado para ejemplificar la metodologa CPM.

Sin embargo, asumiremos distintos escenarios de ocurrencia asociados al tiempo

necesario para completar cada actividad, los que se resumen en la siguiente tabla:

Tiempo (Semanas)

Actividad Predecesor a m b

A - 4 6 8

B - 2 8 12

C A,B 8 12 16

D C 1 4 7

E C 4 6 8

F D,E 10 15 20

G E 6 12 18

H F,G 7 8 9

El primer paso consiste en calcular el tiempo esperado (te) asociado a cada

actividad, utilizando la frmula presentada anteriormente:

Actividad te

A 6

B 8

C 12

D 4

E 6

F 15

G 12

H 8

Notar que en este caso m = te para cada actividad, lo cual no tiene que ser

necesario. Lo importante es tener en cuenta la metodologa a utilizar. Luego, una

vez obtenido el tiempo esperado (te) para cada actividad se procede a calcular la

duracin del proyecto utilizando un procedimiento similar a CPM. Los resultados

se resumen en el siguiente diagrama:

La ruta crtica (nica) est conformada por las actividades B-C-E-F-H con

una duracin total de 49 semanas. Posteriormente se calcula la varianza para

cada actividad (aun cuando en estricto rigor slo es necesario para las actividades

crticas, es decir, con holgura igual a cero), de modo de obtener finalmente la

varianza (y desviacin estndar) de la ruta crtica.

Actividad Predecesor a m b te Desv. Est Varianza Ruta

Crtica

A - 4 6 8 6 0,67 0,44

B - 2 8 12 8 1,67 2,78 SI

C A,B 8 12 16 12 1,33 1,78 SI

D C 1 4 7 4 1,00 1,00

E C 4 6 8 6 0,67 0,44 SI

F D,E 10 15 20 15 1,67 2,78 SI

G E 6 12 18 12 2,00 4,00

H F,G 7 8 9 8 0,33 0,11 SI

Varianza RC 7,89

Desv. Est RC 2,81

Con esta informacin podemos responder a preguntas como Cul es la

probabilidad de completar el proyecto en 52 semanas o menos?. Bsicamente

esto consiste en determinar el porcentaje del rea acumulada para una

distribucin normal para determinado valor de Z.

P[Tp

Figura 1.4:Red de Transporte de Nieve

Un problema que corresponde al modelo de transporte puede ser el asignar

clientes a un negocio para poder satisfacer las demandas. En tal caso los

almacenes son las fuentes, los clientes son los destinos y los costos representan

los costos de transporte por unidad.

Problema 4

Uno de los principales productos de la Compaa P&T son los duraznos en

conserva. Los duraznos son preparados en 3 enlatadoras (Washington, Oregon y

Minnesota) y luego se despachan en camiones para distribuirlos en tres

supermercados en California, Utah, South Dakota, Nuevo Mxico. Debido a que

los costos de transporte han aumentado, la administracin ha decidido hacer un

estudio sobre ellos. Para la prxima estacin se ha estimado el nmero de tarros

de conserva generado en cada enlatadora, y la cantidad que requerir cada

almacn para satisfacer a sus clientes. Los costos de trasnporte desde la

enlatadora a los almacenes se resume en la siguiente tabla.

Veamos cul sera el modelo de programacin lineal para este problema.

Sea tex2html_wrap_inline442 el nmero de camiones cargados que van desde la

enlatadora i al almacn j, el problema sera:

Este es un ejemplo de modelo de transporte. Este problema tiene una

estructura interesante. Todos los coeficientes son 1 y cada variable aparece

exactamente en 2 restricciones. Es esta estructura que hace que el algoritmo

simplex sea extremadamente eficiente al resolverlo.

Qu define a un modelo de transporte?. En general el modelo de

transporte tiene que ver con distribuir desde un grupo de centros de

abastecimiento, llamados fuentes a un grupo de centros de recepcin

denominados destinos para minimizar el costo total.

En general, la fuente i tiene una capacidad para abastecer de

tex2html_wrap_inline472 unidades, y el destino j tiene una demanda para

tex2html_wrap_inline476 unidades. El costo de la distribucin de los items desde

la fuente al destino es proporcional al nmero de unidades. Esta informacin

puede expresarse de una manera apropiada a travs de una tabla como en el

ejemplo.

Se supondr de una manera general que la oferta es igual a la demanda

total. Si esto no fuese verdad para un problema particular, se podrn crear fuentes

o destinos dummy para que esta condicin se cumpla. Esto se denomina

problema de transporte balanceado. Estos centros dummy pueden tener costos de

distribucin cero.

Supongamos que la enlatadora 3 puede llenar slo 75 camiones. Asi la

cantidad "ofrecida" es ahora 25 unidades menor. Un nodo de oferta dummy se

crea para balancear el problema, y el costo de la oferta dummy podra ser cero o

representar el costo de NO-satisfacer la demanda.

El costo de transporte tiene varias propiedades interesantes:

Factibilidad. El problema tiene una solucin factible del momento que la

oferta iguala a la demanda

Integralidad. Si las ofertas y las demandas son enteras, cada solucin

bsica (incluyendo el ptimo) ser entera. De esta manera no es necesario

resolverlo por programacin lineal entera. Cabe hacer notar que no significa

que cada destino ser abastecido por exactamente un origen!.

En el ejemplo, una solucin bsica podra ser llenar 20 camiones desde la

enlatadora 1 para enviarlos al negocio 2 y los 55 restantes al almacn 4, 80 desde

la enlatadora 2 al almacn 1 y 45 al almacn 2. Finalmente 70 desde la enlatadora

3 al almacn 3 y 30 al almacn 4. La formulacin de este problema de

programacin lineal tiene 7 restricciones adems de la no-negatividad, y una

solucin bsica tiene slo 6 variables bsicas. Esto se debe a que las restricciones

son linealmente dependientes: La suma de las primeras tres restricciones es igual

a la suma de la cuarta restriccin. En consecuencia, la regin factible definida por

las restricciones ser la misma si nosotros mantenemos slo 6 de ellas.

En general, una solucin bsica de un problema de transporte tendr un

nmero de variables bsicas igual al nmero de orgenes ms el nmero de

destinos menos uno.

Problema 5

Considere la siguiente red dirigida.

Encuentre una trayectoria dirigida del nodo A al nodo F y despus identifique otras

tres trayectorias no dirigidas del nodo A al F.

Trayectoria Dirigida de A a F:

A D C E F

Trayectorias No Dirigidas de A a F:

A C E F

A D F

A B D F

Encuentre tres ciclos dirigidos, despus identifique un ciclo no dirigido que incluya

todos los nodos.

Ciclos Dirigidos:

CE-EF-FD-DC

AD-DC-CA

DC-CE-ED

Ciclo No Dirigido:

AC-CE-EF-FD-DB-BA

Identifique un conjunto de arcos que formen un rbol de expansin.

1. Algoritmo de la ruta ms corta:

N Nodos

resueltos

conectados

con nodos

no resueltos

Nodo no

resuelto

ms

cercano

conectado

Distancia

total

involucrada

n-simo

nodo

mas

cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

1 O A 4 A 2 OA

2 O

A

C

B

5

4+1=5

C

B

5

5

OC

AB

3 A

B

C

D

E

E

4+7=11

4+1+4=9

5+5=10

E 9 BE

4 A

B

E

D

D

D

4+7=11

4+1+5=10

4+1+4+1=10

D

D

10

10

BD

ED

5 D

E

T

T

4+1+5+6=16

5+5+6=16

T

T

16

16

DT

ET

2. Se identificaron dos opciones como las rutas ms cortas, ambas con distancia

total igual a 16

3. Ruta 1: O A B E D T distancia total: 4+1+4+1+6=16

4. Ruta 2: O A B D T distancia total: 4+1+5+6=16

5. Modelo de PL del problema de la ruta ms corta:

6. Minimizar

7. Sujeto a:

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Problema 7.

El trnsito de Rusia est planificando la construccin de una lnea de

sistemas de transito que conecte 7 zonas principales de la ciudad. (A, B, C, D, E,

F, G). Donde los kilmetros entre ellas se representan son un nmero en el arista

correspondiente. Cada kilmetro de construccin le costara al trnsito 4 millones.

El transito desea acortar la distancia de traslacin entre las 7 zonas pero

asegurando no gastar demasiado del presupuesto. Es decir, desean optimizar la

construccin por kilmetro recorrido.

Esto se ilustra como:

Teniendo en cuenta las distancias entre las zonas, se puede resolver de la

siguiente manera.

AD y CE son las aristas ms cortas, con peso 5, y

AD se ha elegido arbitrariamente, por tanto se

resalta.

Sin embargo, ahora es CE la arista ms pequea

que no forma ciclos, con distancia 5, por lo que se

resalta como segunda arista.

La siguiente arista, DF con distancia 6, ha sido

resaltada utilizando el mismo mtodo.

La siguientes aristas mas pequeas son AB y BE,

ambas con distancia 7. AB se elige arbitrariamente,

y se resalta. La arista BD se resalta en rojo, porque

formara un ciclo ABD si se hubiera elegido.

El proceso contina marcando las aristas, BE con

distancia 7. Muchas otras aristas se marcan en rojo

en este paso: BC (formara el ciclo BCE), DE

(formara el ciclo DEBA), y FE (formara el ciclo

FEBAD).

Finalmente, el proceso termina con la arista EG de

distancia 9, y se ha encontrado el rbol de

expansin mnima.

El total de kilmetros obtenidos son 39 y el costo resultante es 156 millones.

Qu pasara si se hubiera construido en lugar de la distancia BE, la distancia BC?

Respuesta: El costo aumentara a 160 millones.

Problema 8.

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contar con la urbanizacin de ms de 7 proyectos habitacionales que se ubicarn a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construir no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios pblicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inici la construccin de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situacin del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalacin de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Melndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, adems es el ms cercano al mismo), la instalacin de los ductos implica obras de excavacin, mano de obra y

costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilmetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuacin. Adems la capacidad de bombeo del nodo Melndez es ms que suficiente para satisfacer las necesidades de presin que necesita la red madre.

Problema planteado por, Bryan Antonio Salazar Lpez

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teora de redes construya una red de expansin que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0: Se definen los conjuntos iniciales C0 = {} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteracin indicada en el subndice y 0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteracin indicada en el subndice.

PASO 1: Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto 0, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y 0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora ser igual a 2.

PASO 2: Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto K-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto K-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende K-1= 1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.

Al actualizar los conjuntos quedan as:

C2 = {1,2} y 2 = {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin. Ahora se seleccionar un nuevo nodo j del conjunto 2que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra eleccin con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el nodo 4.


C3 = {1,2,4} y 3 = {3,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la lnea azul interrumpida ir trazando nuestro rbol de expansin final. Dado a que el arco menor es el de longitud 3, ahora se enlazar de manera permanente el nodo 5.


C4 = {1,2,4,5} y 4 = {3,6,7,8}


Ahora se enlazar de manera permanente el nodo 7.


C5 = {1,2,4,5,7} y 5 = {3,6,8}




C6 = {1,2,4,5,7,6} y 6 = {3,8}


Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazar de manera permanente el nodo 3.


C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y 7 = {8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la ltima iteracin.



C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y 8 = {}

Por ende se ha llegado al rbol de expansin mnima

rbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilmetros de ductos.

Problema 9.

Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15.000 vehculos/hora en el horario pico. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vas, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes.

La red propuesta es la siguiente. Incluye el nmero de vehculos (miles) que pueden circular por dichas vas.

1. Puede la red propuesta dar cavidad a un flujo mximo de 15.000 v/h de norte a sur?

2. Cul es el flujo mximo de vehculos que permite la red cada hora? 3. Qu flujo se debe canalizar sobre cada rama?

Solucin:

Norte

Sur

Solucin Final

Problema 10.

Enviar gas natural desde un campo de produccin a una ciudad a travs de

gaseoductos.

Planteamiento de Flujo Mximo

Este planteamiento no se ajusta a la formulacin estndar de programacin lineal

de costo mnimo, puesto que se desconoce f y aparece simultneamente en la

funcin objetivo y en el lado derecho de las restricciones.

Si se plantea as no es posible utilizar el algoritmo de programacin lineal, por ello

utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final

(x51), con ello ahora el planteamiento sera:

Problema 11.

Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente. Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Por: Bryan Antonio Salazar Lpez

Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solucin Paso A Paso

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogot y a la oferta de la "Planta 3", en un proceso muy lgico. Dado que Bogot se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

Nuevo proceso de asignacin



Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedar una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el mtodo.

El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda as:

Los costos asociados a la distribucin son:

En este caso el mtodo del costo mnimo presenta un costo total superior al obtenido mediante Programacin Lineal y el Mtodo de Aproximacin Vogel, sin embargo comnmente no es as, adems es simple de desarrollar y tiene un mejor rendimiento en cuanto a resultados respecto al Mtodo de la Esquina Noroeste.

Problema 12.

Tres centrales de distribucin tiene que dar electricidad a tres ciudades la

tabla de costos de transporte de electricidad es la siguiente.

Determina las variables de decisin y plantee el problema de minimizacin,

determinando la distribucin elctrica para cada ciudad, utilizando el mtodo de la

esquina norte

Variables de Decisin

Problema de Minimizacin

Solucin de Distribucin: El problema no est equilibrado, se sabe que no

est equilibrado porque la suma total de los suministros no es igual a la demanda,

conociendo esto se procede a equilibrarlo, esto se hace agregando un destino

ficticio y valores cero, tambin se demanda la diferencia entre la demanda y el

suministro.

Esquina Norte

Se procede a saturar la fila o la columna correspondiente a la esquina norte

Solucin

- Se enviaron 35 (MKwh) del origen 1 al destino 1 y el costo de envi fue de

$280

- Se enviaron 10 (MKwh) del origen 2 al destino 1 y el costo de envi fue $90

- Se enviaron 20 (MKwh) del origen 2 al destino 2 y el costo de envi fue

$240


$260


$160

- Se enviaron 30 (MKwh) del origen 3 al destino 4 y el costo de envi fue $0

Conclusiones

La aplicacin de pert-cpm deber proporcionar un programa, especificando

las fechas de inicio y terminacin de cada actividad. El diagrama de flechas

constituye el primer paso hacia el logro de esa meta. Debido a la interaccin de las

diferentes actividades, la determinacin de los tiempos de inicio y terminacin,

requiere clculos especiales. Estos clculos se realizan directamente en el

diagrama de flechas usando aritmtica simple. El resultado final es clasificar las

actividades de los proyectos como crticas o no crticas. Se dice que una actividad

es crtica sin una demora en su comienzo causara una demora en la fecha de

terminacin del proyecto completo. Una actividad no critica es tal que el tiempo

entre su comienzo de inicio ms prximo y de terminacin ms tardo (como lo

permita el proyecto) es ms grande que su duracin real. En este caso. Se dice

que la actividad no critica tiene un tiempo de holgura.

El PERT/CPM fue diseado para proporcionar diversos elementos tiles de

informacin para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone

la "ruta crtica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duracin

del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las

actividades de la ruta crtica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una

actividad de la ruta crtica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la

misma cantidad. Las actividades que no estn en la ruta crtica tienen una cierta

cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse ms tarde, y permitir que el

proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas

actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

El PERT/CPM tambin considera los recursos necesarios para completar

las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos

hacen que la programacin sea difcil. El PERT/CPM identifica los instantes del

proyecto en que estas restricciones causarn problemas y de acuerdo a la

flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no crticas,

permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.

Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y

monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en ste

y su importancia en la terminacin del proyecto se manifiesta inmediatamente para

el director del mismo. Las actividades de la ruta crtica, permiten por consiguiente,

recibir la mayor parte de la atencin, debido a que la terminacin del proyecto,

depende fuertemente de ellas. Las actividades no crticas se manipularan y

remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

BIBLIOGRAFA

http://www.monografias.com/trabajos24/pert-cpm/pert-

cpm.shtml#ixzz3A1q4rmYh

http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-el-ingeniero-

industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/teor%C3%ADa-de-redes/

http://es.slideshare.net/alvarez1285/metodo-la-esquina-

noroeste?next_slideshow=1

Pgina de bsqueda de google

planificacindeproyectos-140811184541-phpapp01.pdf

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