PLANEACIÓN DE CLASE1 N.º #02

MAESTRO EN FORMACIÓN: Karen Tatiana Quitian Ariza GRADO Décimo

MAESTRO TITULAR: Henry Darío López Bello

MAESTRA ASESORA: Myriam Sofia Rodríguez Garzón

Sesiones y fechas: Actividad 1, Semana del 27 de abril al 1 mayo de 2020 Sesión 1, Semana del 11 al 15 de mayo del 2020

Curso N.º

Estudiantes

1001 34

1002 34

1003 26

1004 35

Núcleo temático Solución de triángulos rectángulos

Objeto matemático

Actividad 1: Triángulos: Clasificación según lados y ángulos Teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos.

Sesión 1:

Ángulos notables en triángulos rectángulos Razones trigonométricas para ángulos notables

Objetivos de enseñanza

Conceptuales:

Explicar de manera asertiva la clasificación de triángulos por sus lados y por sus ángulos

Proponer alternativas para la visualización y comprensión del teorema de Pitágoras.

Explicar de manera asertiva las razones trigonométricas de triángulos rectángulos.

Proponer situaciones en contexto con las cuales se evidencie la comprensión del teorema de Pitágoras y de las razones trigonométricas.

Argumentar de manera asertiva la deducción de los ángulos notables de un triángulo rectángulo, así como sus razones trigonométricas.

Proponer alternativas para facilitar la conceptualización de las razones trigonométricas para ángulos notables.

Procedimentales:

Generar estrategias para mejorar la comprensión del teorema de Pitágoras y la razones trigonométricas.

1 Este formato está basado en el que usa la profesora Lyda Mora en el curso de Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra.

Redactar de manera adecuada ejercicios y situaciones problema, que contribuyan al desarrollo de la comprensión de solución de triángulos rectángulos.

Inducir de manera escrita a que los estudiantes apliquen el Teorema de Pitágoras, así como las razones trigonométricas asociadas a los triángulos rectángulos.

Presentar gráficamente la correspondencia entre los triángulos especiales y sus respectivos ángulos notables.

Actitudinales:

Proponer situaciones en las que los estudiantes logren evidenciar la utilidad de las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

Motivar al estudio de manera autónoma, por parte de los estudiantes. Incentivar la participación de los estudiantes en las reuniones sincrónicas. Incentivar a los estudiantes por medio de alternativas para la

conceptualización de las razones trigonométricas de los ángulos notables.

Objetivos de aprendizaje

Conceptuales:

Interpretar correctamente las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.

Reconocer la utilidad del uso de razones trigonométricas en un contexto particular.

Reconocer el significado y la importancia de las razones trigonométricas para

la solución de triángulos rectángulos.

Justificar o contradecir afirmaciones propuestas, haciendo uso de razones

trigonométricas.

Reconocer los ángulos notables de un triángulo rectángulo.

Deducir las razones trigonométricas asociadas a los ángulos notables.

Procedimentales:

Establecer relaciones entre los ángulos de un triángulo rectángulo y sus

catetos.

Calcular longitudes faltantes en un triángulo haciendo uso del teorema de

Pitágoras y/o de razones trigonométricas.

Seleccionar correctamente la razón trigonométrica necesaria para solucionar

triángulos rectángulos.

Calcular longitudes restantes de un triángulo rectángulo haciendo uso de las

razones trigonométricas de los ángulos notables.

Actitudinales:

Contrastar soluciones propuestas y hacer una puesta en común para aclarar dudas en relación con la solución de triángulos.

Respetar los argumentos de sus demás compañeros, reconociendo las diferencias.

Referentes curriculares

Estándares Básicos de Competencias

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Identifico características de locación de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas.

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanzas entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Pensamiento métrico y los sistemas de medidas

Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.

Describo tendencias que se observen en conjuntos de variables relacionadas.

Pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las

gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e

interpreto y utilizo sus derivadas. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las

ecuaciones algebraicas. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba

conjeturas. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la

representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan.

Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Derechos Básicos de Aprendizaje

Construye representaciones geométricas y numéricas de los números reales (con decimales, raíces, razones, y otros símbolos) y realiza conversiones entre ellas.

Identifica y utiliza múltiples representaciones de números reales para realizar transformaciones y comparaciones entre expresiones algebraicas.

Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones.

Justifica procedimientos de medición a partir del Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y relaciones intra e Inter figurales.

Compara figuras geométricas y conjetura sobre posibles regularidades. Redacta y argumenta procesos llevados a cabo para resolver situaciones de

semejanza y congruencia de figuras. Reconoce el significado de las razones trigonométricas en un triángulo

rectángulo para ángulos agudos, en particular, seno, coseno y tangente. Explora, en una situación o fenómeno de variación periódica, valores,

condiciones, relaciones o comportamientos, a través de diferentes representaciones.

Calcula algunos valores de las razones seno y coseno para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de referencia inscritos en el círculo unitario.

Reconoce algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas en el estudio de fenómenos diversos de variación periódica, por ejemplo: movimiento circular, movimiento del péndulo, del pistón, ciclo de la respiración, entre otros.

Modela fenómenos periódicos a través de funciones trigonométricas.

Lineamientos curriculares

Se piensa desde el pensamiento numérico, en el sentido operacional, habilidades y

destrezas numéricas que puede desarrollar un estudiante, en el que se incluye como

sentido numérico, el reconocimiento de las diversas magnitudes relativas de los

números, así como el efecto de las operaciones entre ellos.

Desde los sistemas geométricos, se establece la importancia del pensamiento

espacial, a través del cual se pueden manipular representaciones mentales de los

diferentes objetos del entorno, así como sus diferentes transformaciones, bien sea

desde el plano o el espacio, pues se facilita la comprensión de contextos asociados,

mediante la exploración en diversos sistemas coordenados.

Desde el pensamiento métrico y los sistemas de medidas, se resalta su inmediata

interacción con la vida diaria y el entorno, lo cual permite asociarlo a situaciones de

utilidad y aplicaciones prácticas donde cobren sentido las matemáticas.

Por último, desde el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos,

se asocia a la interacción con el análisis, organización, y modelación matemática a

partir de situaciones problema. Que son fácilmente representadas por medio de

gráficas de tipo cartesiano, icónicas y pictóricas, además de representaciones por

medio de fórmulas y expresiones analíticas.

MARCO DE REFERENCIA MATEMÁTICO

Nota: Este marco se está construyendo permanentemente.

Medidas de Ángulos

Sistema sexagesimal: Un grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia mediante sectores circulares. De esta manera, una circunferencia abarca 360°, con lo que este ángulo recibe el nombre de ‘completo’. Al ángulo definido por media circunferencia se le denomina ‘llano’ y mide 180°. La mitad de un ángulo llano se denomina ‘recto’ y mide 90°.

Los ángulos menores que el ángulo recto se denominan ‘Agudos’ y los ángulos mayores ‘Obtusos’. Se encuentran también los ángulos ‘Suplementarios’ si su suma es 90° y ‘complementarios’ si su suma es 180°. (Fonseca Montero, 2016) Radianes: Un radián es el ángulo tal que el arco de una circunferencia que este abarca mide exactamente lo mismo que el radio utilizado para trazarlo. Se denota por 𝒓𝒂𝒅.

Paso de grados a radianes Paso de radianes a grados

𝛼 grados =𝜋

180∙ 𝛼 ℎ 𝑟𝑎𝑑 =

180

𝜋∙ ℎ

Clasificación de Triángulos

Los triángulos se pueden clasificar con relación a sus lados, caracterizándolos de la siguiente manera: Equilátero, es el que tiene todos sus lados congruentes, Escaleno, cuyos lados y ángulos son de diferentes magnitudes e Isósceles, que tiene dos de sus ángulos y lados correspondientes congruentes.

Por otra parte, también hay una clasificación por medio de ángulos, de la siguiente manera: Triángulo Rectángulo, tiene uno de sus ángulos recto. Triángulo Obtusángulo, tiene uno de sus ángulos obtuso. Triángulo Acutángulo, todos sus ángulos son agudos. Los triángulos acutángulos y oblicuángulos se conocen también como Triángulo Oblicuángulo.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Razones trigonométricas

Seno: 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =𝑐

𝑎=

𝐶𝑜

ℎ

Coseno: 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =𝑏

𝑎=

𝐶𝑎

ℎ

Tangente: 𝑇𝑎𝑛 𝛼 =𝑐

𝑏=

𝐶𝑜

𝐶𝑎

Cotangente: 𝐶𝑜𝑡 𝛼 =𝑏

𝑐=

𝐶𝑎

𝐶𝑜

Secante: 𝑆𝑒𝑐 𝛼 =𝑎

𝑏=

ℎ

𝐶𝑎

Cosecante: 𝐶𝑠𝑐 𝛼 =𝑎

𝑐=

ℎ

𝐶𝑜

Razones trigonométricas para ángulos notables

0° 30° 45° 60° 90°

Seno √0

2= 0

√1

2=

1

2

√2

2

√3

2

√4

2= 1

Coseno √4

2= 1

√3

2

√2

2

√1

2=

1

2

√0

2= 0

Conocimientos previos

Primera Actividad

Se espera que los estudiantes tengan conocimientos sobre el término “congruencia”, además de la clasificación de ángulos según sus medidas.

Primera Sesión

Se espera que los estudiantes reconozcan las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos, además de la aplicación del teorema de Pitágoras y su importancia en la resolución de triángulos rectángulos.

MARCO DE REFERENCIA DIDÁCTICO

Sobre los estudiantes en general: De acuerdo con Piaget, se clasifica a los estudiantes de grado décimo en la etapa de operaciones formales, puesto que dicha etapa comprende las edades desde los 12 años en adelante. Dentro de esta etapa de comienza a hablar del pensamiento “hipotético deductivo” donde la construcción de conjeturas e hipótesis juega un papel fundamental para la construcción del conocimiento. Pues es a partir de esto que los estudiantes pueden comenzar a establecer justificaciones y demostraciones válidas de acuerdo con el contexto propuesto y de esta manera establecer una relación entre su entorno y el aspecto teórico. Obstáculos:

La noción de obstáculo se entiende como un conocimiento que funciona bien en algunos contextos, pero que al ser aplicado en otros produce errores, por esta razón se concibe como un conocimiento y no como una falta de él ni como una equivocación. Los obstáculos pueden inferirse a partir de los errores en las prácticas y la dificultad experimentada por los que participan en ellas (Neira, 2012). Dificultades: Teniendo en cuenta las conclusiones de la evaluación diagnóstica presentadas por Fonseca (2016) algunas de las posibles dificultades que presentan los estudiantes en torno a la resolución de triángulos son:

Los estudiantes no comprenden el contexto en el que se les pide realizar alguna operación

Tienen dificultad a la hora de interpretar una pregunta de aplicación

No tienen claridad sobre cómo despejar incógnitas ni sobre como efectuar operaciones matemáticas

No identifican datos conocidos ni desconocidos en un problema

Los elementos conceptuales que requieren para resolver un problema no los han trabajado o no los

poseen.

Asocian criterios de semejanza con un solo ángulo del triángulo.

No identifican la notación correcta en el teorema del seno y coseno.

Errores: Los siguientes errores se evidencian en los resultados y conclusiones en la clase de resolución de triángulos de Guerrero y Vega (2016):

No tener en cuenta las características de los triángulos, es decir aplican teoremas sin verificar sobre

qué clase de triángulo están trabajando.

Errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética (razones trigonométricas y la existencia de un

triángulo).

Asociar el teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

Errores en procedimientos, el uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas operacionales”.

Relacionar la fórmula de los teoremas del seno, del coseno y Pitágoras, con la notación de los lados y

ángulos del triángulo.

Asumir los valores de los ángulos por visualización y no por la medida.

Despejar, operar términos y al remplazar datos en el teorema del seno y del coseno ya que no utilizan

propiedades como la jerarquía de operaciones.

Recursos o materiales

Primera Actividad: Se hace envío de la guía de trabajo, así como de una exploración propuesta en GeoGebra.

Segunda sesión: Para el desarrollo de esta sesión, se hará uso de un tablero interactivo en el cual se pretende visualizar los objetos matemáticos a tratar, así como de la herramienta geogebra.

Por otra parte, se hará uso de las manos para desarrollar la técnica de las manitos de la siguiente manera:

FORMA DE TRABAJO

PRIMERA SESIÓN

Para el desarrollo de esta sesión se tendrá en cuenta inicialmente las dudas presentadas por los estudiantes en relación con la primera guía propuesta, lo cual comprenderá el primer momento. Luego de esto, si dentro de las posibles intervenciones, no se menciona la solución del triángulo rectángulo, en el cual la longitud de sus catetos es igual a 1, se preguntará sobre sus razones trigonométricas para llevar a cabo el desarrollo del segundo momento en el cual se hablará de las razones trigonométricas de los triángulos especiales y así establecer los ángulos notables. Para un tercer momento, se retomarán los ejercicios propuestos en la guía de trabajo, los cuales fueron desarrollados con ayuda de la calculadora, se pedirá hallar la longitud exacta de los lados de dichos triángulos haciendo uso de las razones trigonométricas de los ángulos notables. Por último, si se dispone del tiempo suficiente, se presentará a los estudiantes una alternativa para recordar con mayor facilidad el seno y coseno de los ángulos notables haciendo uso de la técnica de las manitas.

Teniendo en cuenta que el desarrollo de la clase será de manera virtual, se procurará el trabajo por medio de preguntas realizadas por parte tanto del profesor titular como de la maestra en formación, en relación con esto, el rol que se busca desempeñar es el de orientadores del proceso de aprendizaje en los estudiantes, con el fin de aclarar las dudas que ellos presenten y así mismo poder establecer alternativas que contribuyan a su comprensión, pues es claro que al no tenerse un contacto de manera directa con el estudiante, pueden presentarse mayores dificultades.

Por otra parte, se propone para los estudiantes un trabajo en conjunto, pues son ellos quienes, en un primer momento al plantear sus dudas, serán los protagonistas en la clase. Si bien, el desarrollo de la guía se planteó de manera individual, la socialización o aclaración de dudas será de manera colectiva para que de esta manera se pueda establecer el diálogo y la discusión entre los integrantes del grupo. De acuerdo con lo anterior, se espera que el rol que desempeñen los estudiantes sea participativo procurando una respuesta a sus inquietudes.

DESCRIPCIÓN DE LA CLASE

PRIMERA SESIÓN

Primer Momento: Como se mencionó en la forma de trabajo de la clase, se dará el espacio para atender las dudas de los estudiantes en relación con el desarrollo de la guía propuesta.

Luego de esto se hablará de una estrategia para recordar con mayor facilidad las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Lo primero que se debe hacer es organizar las funciones trigonométricas en este orden: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

Las escribiremos de manera abreviada, así:

𝑆𝑒𝑛𝛼 = 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 𝑇𝑎𝑛𝛼 = 𝐶𝑜𝑡𝛼 = 𝑆𝑒𝑐𝛼 = 𝐶𝑠𝑐𝛼 =

Y completaremos las fracciones, escribiendo en el numerador de izquierda a derecha, la palabra 𝑪𝒐𝑪𝒂 − 𝑪𝒐𝑳𝒂 separándola por sílabas y a las razones restantes escribiremos una ℎ de esta manera:

𝑆𝑒𝑛𝛼 =𝐶𝑜

𝐶𝑜𝑠𝛼 =𝐶𝑎

𝑇𝑎𝑛𝛼 =𝐶𝑜

𝐶𝑜𝑡𝛼 =𝐿𝑎

𝑆𝑒𝑐𝛼 =ℎ

𝐶𝑠𝑐𝛼 =ℎ

Para el caso del denominador, escribiremos lo mismo, pero esta vez cambiando el sentido, es decir de derecha a izquierda, así:

𝑆𝑒𝑛𝛼 =ℎ

𝐶𝑜𝑠𝛼 =ℎ

𝑇𝑎𝑛𝛼 =𝐿𝑎

𝐶𝑜𝑡𝛼 =𝐶𝑜

𝑆𝑒𝑐𝛼 =𝐶𝑎

𝐶𝑠𝑐𝛼 =𝐶𝑜

Finalmente, nos quedarán las razones trigonométricas de esta manera:

𝑆𝑒𝑛𝛼 =𝐶𝑜

ℎ 𝐶𝑜𝑠𝛼 =

𝐶𝑎

ℎ 𝑇𝑎𝑛𝛼 =

𝐶𝑜

𝐿𝑎 𝐶𝑜𝑡𝛼 =

𝐿𝑎

𝐶𝑜 𝑆𝑒𝑐𝛼 =

ℎ

𝐶𝑎 𝐶𝑠𝑐𝛼 =

ℎ

𝐶𝑜

Ya sabemos que: 𝐶𝑜 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜, 𝐶𝑎 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 y ℎ = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎. El único término nuevo será 𝐿𝑎 que representará el 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 o 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜, usamos esta palabra porque es más fácil de recordar.

Luego de esto, dentro de este momento se contempla la solución del siguiente triángulo:

Dado que involucra uno de los ángulos notables, en este ejercicio se pidió a los estudiantes que hallaran todas las razones trigonométricas de este triángulo, para este caso serán respecto al ángulo de 45°

Haciendo uso del teorema de Pitágoras se deduce la hipotenusa del triángulo, de la siguiente manera:

ℎ = √12 + 12

ℎ = √2

A continuación, se presentan las razones trigonométricas correspondientes a dicho triángulo:

𝑠𝑒𝑛(45) =1

√2 cos(45) =

1

√2 tan(45) = 1 cot(45) =

1

1= 1

sec(45) =√2

1= √2 csc(45) =

√2

1= √2

Segundo momento: Luego de tener las razones trigonométricas para el ángulo de 45° se presentará a los estudiantes el siguiente triángulo, el cual se realizará con ayuda de geogebra:

Reconociendo que la suma interna de los ángulos del triángulo es 180° y que la longitud de cada lado del triángulo es de 1, luego se trazará la altura correspondiente al segmento AB en el triángulo.

Teniendo en cuenta las propiedades del triángulo equilátero se puede establecer que el triángulo resultante tiene como medida del ángulo 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 30°

Por otro lado, si no se reconoce que esa medida es de 30° se recurrirá a deducirla, conociendo las medidas de los demás ángulos, de la siguiente manera: Además de esto como la medida del lado 𝐴𝐵 = 1 y el punto 𝐷 es punto medio

del segmento 𝐴𝐵 entonces el segmento 𝐴𝐷 =1

2

Luego de esto para hallar la longitud del lado 𝐶𝐷 hacemos uso nuevamente del teorema de Pitágoras: Nombremos la longitud del lado 𝐶𝐷 como 𝐶1:

Ahora establecemos las razones trigonométricas del triángulo 𝐴𝐷𝐶 con respecto a los ángulos de 30° y 60°:

𝟑𝟎° 𝟔𝟎°

𝑠𝑒𝑛(30) =1

2 cos(30) =

√3

2

tan(30) =1

√3 cot(30) = √3

sec(30) =1

√3

2

=2

√3 csc(30) =

11

2

= 2

𝑠𝑒𝑛(60) =√3

2 cos(60) =

1

2

tan(60) = √3 cot(60) =1

2

√3

2

=1

√3

sec(60) =11

2

= 2 csc(60) =1

√3

2

=2

√3

Tercer momento: Solución de los ejercicios de la guía haciendo uso de los valores exactos de los ángulos notables.

Para resolver este triángulo se tenían varias opciones, haciendo uso del teorema de Pitágoras y haciendo uso de razones trigonométricas: Para este caso, una de las razones que asocia los datos obtenidos en este triángulo es:

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑐𝑜

𝑐𝑎 𝑡𝑎𝑛45 =

7

𝑏

Pero conocemos que el valor de 𝑡𝑎𝑛45 = 1 Por tanto, tendríamos:

1 =7

𝑏 𝑏 = 7

Teniendo en cuenta los datos que tiene este triángulo, la única opción es hacer uso de una razón trigonométrica, ya que a diferencia del caso anterior no cuenta con los datos suficientes para hacer uso del teorema de Pitágoras. Para este caso podemos hacer uso de

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑐𝑜

𝑐𝑎 𝑡𝑎𝑛60 =

𝑐

2 2√3 = 𝑐

Por último, nuevamente tenemos la opción de elegir entre hacer uso del teorema de Pitágoras o razones trigonométricas, dado que en el ejercicio anterior hallamos uno de los lados restantes del triángulo. Sin embargo, usaremos

𝐶𝑜𝑠𝜃 =𝑐𝑎

ℎ 𝐶𝑜𝑠60 =

2

𝑎

1

2=

2

𝑎 a= 4

Cuarto momento: Estrategia de las manitas para calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables. Se pedirá a los estudiantes que levanten su mano izquierda y la ubiquen de frente a su cara manteniendo la mano abierta para asignarle a cada dedo el valor de un ángulo como se muestra en la siguiente figura:

Con fin de facilitar la correspondencia de los ángulos y los dedos, esta figura será mostrada a los estudiantes. Para hallar el seno o coseno de un ángulo se debe cerrar el dedo que le corresponde dicho valor del ángulo. Ejemplo: si esconde el dedo medio como se muestra en la siguiente figura, indicaría el ángulo de 45° para hallar el seno y el coseno.

Luego de esconder únicamente un dedo de la mano haciendo referencia al ángulo al cual desea hallarle el seno o el coseno, se debe contar cuantos dedos quedan sin esconder. Si se desea hallar el valor del seno del ángulo, se deben contar la cantidad de dedos restantes, desde el dedo cerrado hacia abajo. Por otro lado, desde el dedo doblado hacia arriba se hará referencia al coseno, la cantidad de dedos que quedaron levantados se coloca en la siguiente fórmula:

√𝑥

2

Donde 𝑋 es la cantidad de dedos que quedaron sin esconder arriba o abajo del dedo cerrado, así, obteniendo los siguientes resultados para el seno y para el coseno de los ángulos especiales.

0° 30° 45° 60° 90°

Seno √0

2= 0

√1

2=

1

2

√2

2

√3

2

√4

2= 1

Coseno √4

2= 1

√3

2

√2

2

√1

2=

1

2

√0

2= 0

Estos resultados se compararán con los resultados hallados en la resolución de los triángulos, teniendo en cuenta que se debe racionalizar el denominador en algunos casos para que la respuesta se pueda expresar de la misma manera.

EVALUACIÓN

La evaluación se hará de acuerdo con la establecida por la institución, de manera cualitativa, teniendo en cuenta los respectivos enfoques que allí se proponen en cuanto a avances, alcances y dificultades de cada estudiante; así como los componentes de la evaluación: autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación. Para la autoevaluación y la coevaluación se plantearán los siguientes aspectos para tener en cuenta:

Alcance de los desempeños Ritmo de trabajo Manejo del tiempo escolar Participación responsable Valoración y promoción de su desarrollo integral y el de otros

En cuanto a la heteroevaluación, se establecerá una de acuerdo con el proceso de los estudiantes desde la perspectiva de la maestra en formación, teniendo en cuenta la pertinencia de las participaciones y su disposición a lo largo de las clases, así como el dominio del tema o los avances que presenta frente al este.

BIBLIOGRAFÍA

Fonseca Montero, E. E. (2016). La resolución de triángulos y sus aplicaciones. Una unidad didáctica para

estudiantes de grado décimo. Bogotá.

Guerrero, Y. & Vega, N. (2016). Estudio de las dificultades y errores en la resolución de triángulos utilizando el teorema del seno y coseno. Encuentro distrital de educación matemática EDEM. Bogotá, Colombia.

Montealegre, R. (2016). Controversias Piaget- Vygotsky en psicología del desarrollo. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá D.C., Colombia.

Neira, G., Rojas, P., Romero, J., Lurduy, J. & Guacaneme, E. (2012). Pensamiento, epistemología y lenguaje matemático. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia.

Swokowski, E.W. (2009). Algebra y trigonometría con geometría analítica.