plane jet
DESCRIPTION
Un estudio del fenómeno de transporte en un jet plano.TRANSCRIPT
-
DEDUCCION DE LA DISTRIBUCION DE VELOCIDAD EN UN CHORROTURBULENTO PLANO (PLANE JET)
Autores: MARIA GLORIA BRITEZ GIMENEZ, PAOLA GISELLE JIMENEZCACERES, MARISSA IVONNE MANCIA ALMADA, EDWINS SEBASTIAN
RUIZ DIAZ PEREZ
Orientador: Ing. Qum. DIEGO RENE GONZALEZ WEIBERLEN
TRABAJO PRACTICO Presentado a la Facultad de Ciencias Qumicas de laUniversidad Nacional de Asuncion, para la Catedra de FENOMENOS DE
TRANSPORTE I
San Lorenzo-Paraguay
NOVIEMBRE - 2014
-
INDICE
1. Descripcion del problema 1
2. Metodologa de resolucion. 22.1. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Funcion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Funcion de corriente y ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . 7
3. Resultados que plantea 11
4. Transformaciones matematicas 13
ii
-
Captulo 1
Descripcion del problema
El flujo turbulento sin existencia de una superficie que lo limita se denomina > . Uno de los probelmas mas sencillos de flujo de cizalla enturbulencia libre es el flujo en un clorro plano.
Figura 1.1: Esquema de un chorro turbulento
Encuentre una expresion para el perfil de velocidad u en funcion a parametrosconocidos y a las variables x e y.
1
-
Captulo 2
Metodologa de resolucion.
2.1. Ecuacion de continuidadPartiendo de la forma general de la ecuacion de continuidad:
t+(v) = 0 (2.1)
t+(v) = 0 (2.2)
t+(u
x+v
y+w
z) = 0 (2.3)
El sistema ocurre en el plano x y por tanto wz
= 0 y siendo el fluido de trabajoincompresible
t= 0. Dividiendo ambos miembros por , queda:
u
x+v
y= 0 (2.4)
v
y= u
x(2.5)
2.2. Ecuacion de movimientoPartiendo de la forma general de la ecuacion de movimiento:
DvDt
= P + 2v + g (2.6)
Desarrollando para el eje x.
DuDt
= Px
+ 2u + gx (2.7)
(u
t+ u
u
x+ v
u
y+ w
u
z) = P
x+ (
2u
x2+2u
y2+2u
z2) + gx (2.8)
El chorro es plano por lo tanto uz
= 0, 2uz2
= 0Para el sistema no existe gradiente de presion P
x= 0
2
-
ni actua la gravedad gx = 0 Tampoco hay fuerzas opositoras a u por tantoux
= cte, 2ux2
= 0 El sistema es estacionario por tanto ut
= 0
(uu
x+ v
u
y) =
2u
y2(2.9)
La viscosidad cinematica es, =
uu
x+ v
u
y=
2u
y2(2.10)
Combinando esta ecuacion con la transformacion 1 (4.3)
uu
x+
y(uv) uv
y=
2u
y2(2.11)
Luego combinando con la ecuacion de continuidad (2.3)
uu
x+
y(uv) u(u
x) =
2u
y2(2.12)
2uu
x+
y(uv) =
2u
y2(2.13)
Combinando esta ecuacion con la transformacion 2 (4.5)
x(u2) +
y(uv) =
2u
y2(2.14)
Esta es la ecuacion de movimiento que describe al sistema estudiado.Multiplicando por la densidad y ajustando la segunda derivada respecto a y
x(u2) +
y(uv) =
y
(u
y
)(2.15)
Luego integrando respecto a y desde - hasta +
x
+
(u2)dy +
+
y(uv)dy =
+
y
(u
y
)dy (2.16)
x
+
(u2)dy +
[uv
]+
=
[u
y
]+
(2.17)
Por simetra del sistema respecto al eje y tenemos que +
(f(y))dy = 2
+0
(f(y))dy (2.18)
De la misma forma [f
]+
= 2
[f
]+0
(2.19)
con esta premisa obtemos
x
+
(u2)dy + 2
[uv
]+0
= 2
[u
y
]+0
(2.20)
Evaluando
x
+
(u2)dy + 2
([uv
]+[uv
]0
)= 2
([u
y
]+[u
y
]0
)(2.21)
3
-
Condiciones de frontera:
Para y = 0 , v(0) = 0.
Para y = + , v() = 0.Para v(0) = 0 , v
y= 0.
Para v() = 0 , vy
= 0.
Luego la ecuacion 2.21 queda como
x
+
(u2)dy = 0 (2.22)
Integrando respecto a x queda +
(u2)dy + C = 0 (2.23)
Finalmente
M =
+
(u2)dy = constante (2.24)
Esto expresa un flujo de cantidad de movimiento constante, que puede ser convenien-temente definida como un flujo de cantidad de movimiento del fluido que ingresa alsistema. Definimos de esta manera en funcion a variables caractersiticas:
M = U2L (2.25)
As tambien la definicion del numero de Reynolds es
Re =UL
(2.26)
Reordenando el numero de reynolds
Re
L= U (2.27)
Elevando al cuadrado y reemplazando en la ecuacion 2.25
M =
(Re
L
)2L (2.28)
Simplificando
M =
(( Re)2
L
)(2.29)
4
-
2.3. Funcion de corriente La funcion de corriente es una funcion de 2 variables x e y
= f(x, y) (2.30)
Introducimos el cambio de variables (x, y) a (x, )
= f(x, ) (2.31)
Definimos ahora = xpf() ; =
y
xq(2.32)
La componente de la velocidad en x de esta forma queda
u =
y=
y(2.33)
Luego
= xpf (n) ;
y=
1
xq(2.34)
Esto conduce a una expresion de u igual a
u = xpf (n)1
xq= xpqf (n) (2.35)
Para esta expresion de la velocidad u necesitamos realizar el escalado, es decir determi-nar los valores de p y q respectivamente. Estos valores seran determinados realizandoun analisis de escala reemplazando la u en la ecuacion de movimiento del sistema y enla definicion del flujo de cantidad de movimiento.
Primeramente reemplazamos u en la definicion de M (2.24)
M = constante =
+
(xpqf (n)
)2dy (2.36)
M = constante = x2(pq) +
(f (n)
)2dy (2.37)
dn =1
xqdy ; dy = xqdn (2.38)
M = constante = x2p2q +
(f (n)
)2xqdn (2.39)
M = constante = x2p2q+q +
(f (n)
)2dn (2.40)
M = constante = x2pq +
(f (n)
)2dn (2.41)
1.constante = x2pq. +
(f (n)
)2dn (2.42)
x0.constante = x2pq. +
(f (n)
)2dn (2.43)
x0 = x2pq (2.44)
0 = 2p q (2.45)
5
-
Ahora partimos de la premisa que en el eje x las fuerzas inerciales se deben equilibrarpor tanto
uu
x=
2u
y2(2.46)
Esto en vista a que se utiliza para una busqueda de escala se pueden obviar las cons-tantes y aproximar las derivadas:
uu
x=
u
y2(2.47)
u2
x=
u
y2(2.48)
Sustituyendo la expresion de u 2.35 y obteniendo y = xq a partir de la ecuacion (2.56)se tiene (
xpqf (n))2
x=
(xpqf (n)
)(xq
)2 (2.49)Ordenando y simplificando
x2p2q1(f (n)
)2= xp3q
f (n)2
(2.50)
Tomando la igualdad de las x escaladas
x2p2q1 = xp3q (2.51)
2p 2q 1 = p 3q (2.52)2p 2q 1 = p 3q (2.53)
p+ q = 1 (2.54)
Resolviendo simultaneamente la ecuacion (2.45) con la ecuacion (2.54) se obtienen
p =1
3; q =
2
3(2.55)
Esto lleva a una expresion final de la funcion de corriente igual a
= x13f() ; =
y
x23
(2.56)
6
-
2.4. Funcion de corriente y ecuacion de movimientoConvenientemente se redefine la funcion de corriente interoduciendo la viscocidad
cinematica, esto lleva a =
12x
13f() (2.57)
=1
312
y
x23
(2.58)
Por definicion uu =
y(2.59)
u =
y(2.60)
=
12x
13f (n) ;
y=x
23
312
(2.61)
u =1
3x
13f (n) (2.62)
Por definicion vv =
x(2.63)
v = x
x
x
x(2.64)
x=
1
3x
23
12 ;x
x= 1 ;
=
1
3x
13
12f (n) ;
x= 2
3
x(2.65)
v = 13
12x
23
[f(n) 2f (n)] (2.66)
Cambiando de coordenadas y reemplazando la u y la v se obtienen las siguientes deri-vadas
2u
y2=
1
27x
531f () (2.67)
y
(u v
)=
1
27x
53
[f ()
(f () + 2f ()
) f ()
(f 2f ()
)](2.68)
y(u2) = 2
27x
53f ()
[f () + 2f ()
](2.69)
Las transformaciones realizadas para obtener estos terminos se encuentran desa-rrolladas en el apartado Cambio de coordenadas (4.9)
Reemplazando estos terminos en la ecuacion de movimiento (2.14)
227x
53f ()
[f ()+2f ()
]+
1
27x
53
[f ()
(f ()+2f ()
)f ()
(f2f ()
)].....
= 1
27x
531f ()
Multiplicando ambos miembros por 27x53
2f ()[f ()+2f ()
]+
[f ()
(f ()+2f ()
)f ()
(f2f ()
)]= f ()
(2.70)
7
-
Distribuyendo y simplificando
f () + f()f () + (f ())2 = 0 (2.71)
Combinando con la transformacion 3 (4.6)
f () +d
d(f()f ()) = 0 (2.72)
d
dn(f ()) +
d
d(f()f ()) = 0 (2.73)
d
dn(f ()) +
d
d(f()f ()) =
0 (2.74)
f () + f()f () = C (2.75)
Esta constante se determina con las condiciones de frontera
n = 0 , f() = 0
n = 0 , f () = 0
n = 0 , f () = 0
Luegof () + f()f () = 0 (2.76)
En este punto se realiza una nueva transformacion, definiendo las nuevas variables
= ; f() = 2F () (2.77)
Siendo una constante libre que sera determinada mas adelante, tenemos:
f () = 23F () (2.78)
f()f () = 43F ()F () (2.79)
Reemplazando en la ecuacion 2.76 se tiene
23F () + 43F ()F () = 0 (2.80)
F () + 2F ()F () = 0 (2.81)
d
dF 2() = 2F ()F () (2.82)
Luego reordenando
F () +d
dF 2() = 0 (2.83)
d
d(F ()) +
d
d(F 2()) = 0 (2.84)
Integrando d
d(F ()) +
d
d(F 2()) =
0 (2.85)
F () + F 2() = K (2.86)
8
-
Designando arbitrariamente 1 a la constante K por la libertad de la constante
F () + F 2() = 1 (2.87)
d
dF () = 1 F 2() (2.88)
dF
dF () = 1 F 2() (2.89)F ()
1 F 2()dF =d (2.90)
=
F0
F ()
1 F 2()dF =1
2ln
(1 + F ()
1 F ())
(2.91)
= tanh1(F ()) (2.92)
tanh() = F () (2.93)
Luego, trabajando con las definiciones en (2.77) se obtiene
f()
=f()
f()
= 2sech2() = 22sech2() (2.94)
Convinando este a su vez con la ecuacion para u (4.7)
u =1
3x13
f () =2
3
2
x13
sech2() (2.95)
Introduciendo esta distribucion horizontal de la velocidad en la ecuacion 2.24 para Mconstante
M =
+
(u2)dy =
+
(
(2
3
2
x13
sech2()
)2)dy (2.96)
M =
+
(
(2
3
2
x13
)2(sech2()
)2)dy (2.97)
M =
(2
3
2
x13
)2 +
(sech4())dy (2.98)
d() =x
23
312
dy (2.99)
dy =3
12x
23
d (2.100)
M =
(2
3
2
x13
)2 +
(sech4())3
12x
23
d (2.101)
M = 3
12x
23
(2
3
2
x13
)2 +
(sech4())d (2.102)
M = 4
123
3
+
(sech4())d (2.103)
9
-
La simetra respecto a y permite
M = 8
123
3
+0
(sech4())d (2.104)
M = 8
123
3
+0
(sech2()sech2())d = 8
123
3
+0
(1tanh2())sech2()d(2.105)
M = 8
123
3
+0
(1 tanh2())(tanh())d (2.106)
M = 8
123
3
+0
((tanh())
tanh2()(tanh()))d (2.107)
(tanh3())= 3tanh2()(tanh())
(2.108)
1
3(tanh3())
= tanh2()(tanh())
(2.109)
M = 8
123
3
+0
((tanh())
13
(tanh3()))d (2.110)
M = 8
123
3
([tanh()
]+0
13
[tanh3()
]+0
)(2.111)
M = 8
123
3
([1 0
] 1
3
[1 0
])(2.112)
M = 8
123
3
(2
3
)(2.113)
M = 16
123
9(2.114)
9 M
1612
= 3 (2.115)
=
(9
16
) 13(M
12
) 13
(2.116)
10
-
Captulo 3
Resultados que plantea
Partiendo del perfil de velocidad horizontal obtenido en la ecuacion (2.95), inclu-yendo la constante determinada en (2.116) y sustituyendo en la definicion de (2.77)y (2.56) respectivamente se obtiene
u =
(3M2
322x
) 13
sech2[(
M
482x2
) 13
y
](3.1)
Con una M definida en funcion a
M =
(( Re)2
L
)(3.2)
Donde:
u: perfil de velocidad
M : flujo de cantidad de movimiento
: densidad del fluido
: viscosidad cinematica del fluido
Re: numero de Reynolds
: viscocidad del fluido
L: longitud caracterstica.
11
-
Figura 3.1: Distribucion de la velocidad en un plane jet, para diferentes valores de xobtenido en matlab
Figura 3.2: Distribucion de la velocidad en un plane jet
12
-
Captulo 4
Transformaciones matematicas
Transformacion 1
y(uv) = u
v
y+ v
u
y(4.1)
y(uv) uv
y= v
u
y(4.2)
vu
y=
y(uv) uv
y(4.3)
Transformacion 2
x(u.u) = u
u
x+ u
u
x(4.4)
y(u2) = 2.u
u
x(4.5)
Transformacion 3
d
d(f()f ()) = f ()f () + f()f () (4.6)
Cambios de coordenadas
u =1
3x
13f () (4.7)
v = 13
12x
23
[f() 2f ()] (4.8)
Se cambiaran las coordenadas (x, y) a (x, )
Determinacion de x
(u2)
x
(u2)
=
x(u u) = 2u
u
x= 2u
(u
x
x
x+u
x
)(4.9)
u
x= 1
9x
43f () ;
x
x= 1 (4.10)
u
=
1
3x
13f () ;
x= 2
3
x(4.11)
y(u2) = 2
27x
53f ()
[f () + 2f ()
](4.12)
13
-
Determinacion de y
(u v
)
y
(u v
)= u
v
y+ v
u
y= u
v
y+ v
u
y(4.13)
u
=
1
3x
13f () ;
y=x
23
312
(4.14)
v
=
1
3
12x
23
[f () + 2f (n)
];
y=x
23
312
(4.15)
y
(u v
)=
1
27x
53
[f ()
(f () + 2f ()
) f ()
(f 2f ()
)](4.16)
Determinacion de(2uy2
)2u
y2=
y
(u
y
)=
(u
y
)=
(u
y
)=2u
2
y+u
2
y2(4.17)
2u
2=
1
3x
13f () ;
y=
(x
23
312
)2(4.18)
2
y2= 0 ;
u
=
1
3x
13f () (4.19)
2u
y2=
1
27x
531f () (4.20)
14
Descripcin del problemaMetodologa de resolucin.Ecuacin de continuidadEcuacin de movimientoFuncin de corriente Funcin de corriente y ecuacin de movimiento
Resultados que planteaTransformaciones matemticas