pitágoras, camino de la raíz

SOLUCIONES PRIMITIVAS DE

CARLOS GIRALDO OSPINA

Lic. Matemticas, USC

Santiago de Cali, Colombia

MATEMTICA INSLITA

DERECHOS DE AUTOR REGISTRADOS Y RESERVADOS

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SOLUCIONES PRIMITIVAS DE

CONCEPTOS PRELIMINARES

2. Una solucin no primitiva de

se transforma en solucin primitiva dividiendo cada uno de los trminos de (x, y, z) por el mximo factor comn de sus trminos.

Ejemplo: (168, 270, 318) es una solucin no primitiva cuyo mximo factor comn es 6. Dividiendo por 6 obtenemos (28, 45, 53) que constituye una solucin primitiva.

3. Al proceso de transformacin de una solucin no primitiva se denominar PRIMITIZAR con el fin de obviar el uso excesivo de variables y mantener el nombre de las mismas.

4. El concepto PRIMITIZAR se emplear en el proceso tendiente a desaparecer los denominadores numricos o literales aunque la terna resultante contenga soluciones no primitivas.

Si multiplicamos cada trmino de (x, y, z) por

entonces la nueva terna (cr, cs, t) tambin satisface la ecuacin.

5. Los teoremas que contengan las funciones para determinar las ternas (x, y, z), sean o no sean primitivas, se denominarn Teoremas Triangulares (TT). Los que contengan solamente soluciones primitivas se denominarn Sp (soluciones primitivas).

Empezaremos demostrando la equivalencia de reas, empleando la estrategia de Mades (Desconozco si aparece registrada entre las ms de 300 demostraciones que mencionan los textos consultados).

Lo relativo a los lados constituye el temario denominado TRANSFORMACIN DE LA ECUACIN MADNICA EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE SIMULTNEA.

EQUIVALENCIA DE REAS

En todo tringulo rectngulo la suma de los cuadrados de los catetos.

equivale al cuadrado la hipotenusa

De acuerdo con el grfico anterior, demostrar el Teorema de Mades no requiere palabras y bastan 4 cortes para armar el cuadrado de la hipotenusa con los cuadrados de los catetos: se cortan dos tringulos, el verde y el rojo de la izquierda. En papel plegable el problema se resuelve con TRES cortes. Los dos cuadrados aparecen al lado izquierdo.

Hay otras formas generales de mostrar (demostrar sin palabras) dicho teorema. Mediante el esquema anterior la demostracin analtica es la ms elemental y corta, en trminos visuales y formales, dado que las justificaciones son las mnimas. Si nos entregan los dos cuadrados recortados entonces bastan dos cortes, o UNO, para armar el cuadrado de la hipotenusa.

TRANSFORMACIN DE LA ECUACIN MADNICA

EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE SIMULTNEA.

En las siguientes pginas trataremos de transformar cada variable de la terna (x, y, z) en funciones simultneas que dependan de una sola e igual variable independiente y, en consecuencia, el Teorema de Mades en lo relativo a la equivalencia de reas cumplir los mismos requisitos.

Damos comienzo a la solucin de una de las inquietudes matemticas que ms han preocupado a quienes han transitado por la maraa de las relaciones geomtricas y numricas pretendiendo atar todo al conjunto de los denominados nmeros naturales.

TEOREMAS TRIANGULARES

TEOREMA TRIANGULAR CERO: TT0

Sean 1.

2.

3.

x, y, z nmeros reales.

Obtenemos:

4.

.... ........................................................................................ reemplazando 2. en 3.

5.

.................................................................. sustituyendo 4. y 2. en 1.6.

................................ .................. desarrollando y simplificando en 5.7.

.......................................................... aplicando a 6. la frmula de resolucin de las ecuaciones de segundo grado.

.

8.

............................................................................ sustituyendo 7. en 2.

9.

............................................. .................... reemplazando 7. en 3.Por lo tanto, las ecuaciones 7. 8. y 9. que en lo sucesivo se denominarn TEOREMA TRIANGULAR CERO (TT0), se expresarn as:

Observaciones: El TT0 constituir la herramienta con la cual realizaremos las transformaciones anunciadas en el presente captulo

La frase reemplazando 2. en 3. significa que la expresin del numeral 2 se reemplaza en la expresin del numeral 3. De igual forma se interpretarn las frases similares.

TEOREMA TRIANGULAR UNO: TT1Sean: 1. TT0

2. ....................................... ............. sustitucin con el fin de extraer raz cuadrada en 1. de

y luego poder primitizarEntonces:

3.

........ despejando h en 2. 4.

........ sustituyendo 2. en 1. de

5.

.................................................. ....................... reemplazando 3. y 4. en 2. de

6.

............................................................................ reemplazando 5. en 3. de

Primitizando 4. 5, y 6. por k se obtiene:

7.

8.

9.

Dado que (x, y, z) tiene dos soluciones, para la exposicin posterior, es suficiente con tomar la solucin siguiente:

10.

EMBED Equation.2 11.

12.

Las ecuaciones 10. 11. 12. constituyen una transformacin de

en funciones de una sola variable y se resumirn as:

Nota: La demostracin del TT1 se puede realizar mediante simple sustitucin de 1. 2. y 3. en 4. En este caso no estara involucrado el proceso anterior y constituira una verificacin algebraica.TRANSFORMACIN DEL TT1Sean

1.

EMBED Equation.2 2.

3.

4.

5

Entonces:

6.

.............. despejando s en 5. 7.

............ sustituyendo 5. en 1.

8.

... reemplazando 6. en 2. 9.

... sustituyendo 6. en 3.

Primitizando las ecuaciones 7. 8. y 9. por 2 entonces la nueva tripleta constituye solucin del

la cual satisface la ecuacin 4. Por tanto:

Si 10.

11.

12.

se cumplir: 13.

Con la finalidad de facilitar la exposicin, en lo sucesivo, las ecuaciones 10. 11. 12. y 13. se denominarn TEOREMA TRIANGULAR DOS (TT2) y se expresar de la siguiente manera:

TRANSFORMACIN DEL TT2

Sean: 1.

2.

3.

4.

5.

,

entonces:

6. ......... sustituyendo 5. en 1. 7.

........... reemplazando 5. en 2.

8.

............................................................................................. sustituyendo 5. en 1.Si en las ecuaciones 6. 7. y 8. se primitiza por r2, entonces la nueva tripleta cumplir con la ecuacin madnica y por tanto,

Si 1.

2.

3.

entonces 4. .

RESUMEN DE TEOREMAS TRIANGULARES

TRANSFORMACIN DE LOS TEOREMAS TRIANGULARES EN SOLUCIONES PRIMITIVAS DEL TEOREMA DE MADES

En esta seccin intentaremos hallar funciones x, y, z tales que cada variable de la terna

dependa, simultneamente, de la misma variable independiente con valores en el conjunto de los nmeros naturales y que, adems, dicha terna carezca de factores comunes diferentes de la unidad.

Recordamos al lector que la terna

constituye una solucin primitiva del Teorema de Mades cuando

.

Anticipamos que solo determinaremos algunas funciones para obtener soluciones primitivas en el conjunto de los nmeros naturales y las mismas se denotarn como

.

La obtencin de funciones que generen soluciones de

en el conjunto de los nmeros naturales fue una de las preocupaciones fundamentales de la Escuela Pitagrica. Imagino que si los Pitagricos hubiesen logrado su cometido en el propsito planteado entonces el andamiaje de la matemtica actual sera ms complejo y las relaciones numricas habran despertado mayor fascinacin en la mayora de las personas.

- Cmo hallar, en el conjunto de los naturales, dos cuadrados que al sumarlos el resultado sea otro cuadrado y que, adems conformen una

? .

La solucin se encuentra en los Teoremas Triangulares. Veamos el proceso a continuacin

SOLUCIN PRIMITIVA 1:

Sea

1.

EMBED Equation.2 2.

3.

4.

Si en

sustituimos s por n entonces se obtiene la

en el conjunto de los nmeros naturales as:

: 1.

2.

3.

4.

TEOREMA

:

es solucin primitiva de

Demostracin

Sean 1.

2.

3.

....................................................................................................................... suposicin

4.

................................................................................................................. suposicin

5.

........ despejando en 3. 6.

........ sustituyendo 5. en 4.7. ...... operando en 6. 8. .......... despejando en 7.

9. La igualdad del numeral anterior equivale a afirmar que una fraccin propia es igual a un nmero natural, hecho que constituye un absurdo si

10.

es solucin primitiva de

........................................................................ segn 9.

Las demostraciones para las siguientes

se dejan como ejercicio al lector que desee realizarlas, las demostraciones son similares a la anterior y en algunos casos se hace necesario considerar otros aspectos de fcil percepcin.


Sea

1.

2.

3.

4.

Si en

sustituimos u por 2n entonces se obtiene la


1.

2.

3.

4.


Sea

1.

2.

3., 4.

Si en

sustituimos t por 2n + 1, r por 2, entonces se obtiene la


1.

2.

3.

4.

SOLUCIONES PRIMITIVAS

y

Si en

sustituimos t por

o por 3n + 2 y r por 6, entonces se obtienen la

y la

en el conjunto de los nmeros naturales, respectivamente, as:

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

4.

De manera similar al proceso desarrollado para obtener las soluciones primitivas anteriores, podemos continuar las transformaciones de los TEOREMAS TRIANGULARES para determinar infinidad de funciones que generen soluciones primitivas para el TEOREMA DE MADES. En particular, el proceso se aplicar al TT3. Este proceso reiterativo conduce a la formulacin del siguiente teorema:

TEOREMA

: La serie de funciones

es infinita

La demostracin de dicho teorema se deja como ejercicio al lector, la misma es relativamente sencilla.

SOLUCIONES TRIANGULARES EN N

DADO UNO DE LOS LADOS DEL TRINGULO RECTNGULO.

Dado el valor x de un cateto hallar una o varias parejas (y, z) con componentes en el conjunto de los nmeros naturales que cumplan con

EMBED Equation.2

PRIMER CASO:

Para x impar se emplearn las ecuaciones:

Ejemplo 1:

S = (7, 24, 25)

Ejemplo 2 x = 63 S = (63, 1984, 1985)

En el caso de que x sea impar hemos dado una alternativa pero pueden existir otras que quedan al arbitrio del lector encontrarlas en el evento de su existencia.

SEGUNDO CASO

Para x par se aplicarn las ecuaciones

Ejemplo 1.

x =16 ( 2tr = 16 ( tr = 8a) t = 8, r =1 S = (16, 63, 65) b) t = 4, r = 2 S = (16, 12, 20 )

Ejemplo 2.

x =24 ( 2tr = 24 ( tr = 12

a) t = 12, r =1 S = (24, 143, 145) b) t = 6, r = 2 S = (24, 32, 40)

c) t = 4, r = 3 S = (24, 7, 25)

OBSERVACIONES

1. Para hallar las ternas posibles se determina tr, luego se descompone dicho producto en sus factores primos y enseguida se determinan los pares tr a los cuales se aplican las ecuaciones

.

Se aclara que dichas ecuaciones generan soluciones primitivas y no primitivas.

2. Tambin se pueden emplear las funciones que generen soluciones primitivas resolviendo los factores adicionales a tener en cuenta.

SOLUCIONES TRIANGULARES EN N DADA LA HIPOTENUSA.

Dado el valor de la hipotenusa determinar si existen o no existen soluciones triangulares en el conjunto de los nmeros naturales.

(

significa que a z se le restan los cuadrados menores de tal forma que los resultados vlidos son aquellos equivalentes a un cuadrado.

Si mediante el proceso anterior no hallamos resultados ello significa la inexistencia de soluciones primitivas pero, es posible, que halla solucin; aspecto que debemos verificar mediante el mismo procedimiento anterior pero aplicado a

. En este evento, previo el agotamiento del anterior, podemos afirmar que la solucin no es primitiva.

Ejemplos:1. z = 9 tenemos: Valores posibles de r: {r} = {1, 2} ( { t } = (No existe solucin triangular en N para z = 9 y

2. z = 17 tenemos: Valores posibles de r: {r} = {1, 2, 3, 4} ( { t } = { 1, 4 } ( t = 4, r = 1

Existe solucin triangular en N para z = 17 y

EMBED Equation.2

3. z = 65 tenemos:

Valores posibles de r: {r} = {1, 2, ... 8 } ( { t } = {1, 4, 7, 8} (

. Existe solucin triangular en N para z = 65 y

4. Si z = 15 entonces no encontraremos solucin primitiva pero si la solucin no primitiva

mediante el empleo de

. Este resultado es posible hallarlo mediante el proceso de solucin primitiva empleando uno de los factores primos de z y luego amplificando los valores obtenidos.

TEOREMA DE SOLUCIN TRIANGULAR EN NPara todo cateto de valor dado en el conjunto de los nmeros naturales existe solucin triangular en N, pero no hay solucin para todo valor de la hipotenusa.

Demostracin

Sean1. Todo nmero x (cateto par) es expresable como el producto de tres factores:

2. Todo nmero impar (cateto impar) equivale, al menos, a la diferencia de dos cuadrados.

Si obtenemos:

3. Si ( no existe solucin primitiva para los mencionados valores de z. Si suponemos que existe alguna solucin no primitiva para dichos valores, entonces , en cuyo caso tampoco hay solucin para ninguno de los dos valores. Todo nmero natural no es expresable como la suma de dos cuadrados.

Si z =15, entonces no encontraremos solucin primitiva pero si la solucin no primitiva

mediante el empleo de

h.q.d.SOLUCIN TRIANGULAR EN N PARA LA HIPOTENUSA.

Dado el valor de la hipotenusa, existe solucin triangular en el conjunto de los nmeros naturales si, al menos, uno de sus factores primos satisface la ecuacin en N, siendo a el factor primo.

Ejemplo:

Si z = 15, entonces a=5 satisface la ecuacin y, por tanto, existe solucin en N para z = 15. Dicha solucin se puede hallar resolviendo el tringulo para el cual a es la hipotenusa y multiplicando sus lados por 3. En general por z/a.La demostracin y dems inquietudes al respecto quedan a cargo y riesgo del lector.

De acuerdo con la definicin de solucin primitiva y de conformidad con las ecuaciones

se concluye que la hipotenusa no debe ser par, es decir, los catetos deben ser primos relativos y de paridad diferente, lo cual implica que solo para valores impares de z existir solucin primitiva de y, por tanto, t y r deben ser primos relativos, uno impar y el otro par.

Lo anterior permite prever que los nicos valores de z ( 100 para los cuales existen soluciones primitivas son:

en total 14 nmeros, dos de los cuales (65 y 85) generan dos soluciones distintas cada uno. Observamos que de los 14 nmeros hay 11 primos y 3 compuestos.PROPIEDADES DE LAS

CUANTIFICACIN DE SOLUCIONES PRIMITIVAS PARA XCon lo estudiado hasta aqu estamos en condiciones de cuantificar el nmero total de soluciones primitivas dado un determinado valor de x.Sean:

n : Total de factores primos de r, si r carece de factores primos repetidos.

: Total de soluciones primitivas.

: Total de soluciones no primitivas. Entonces:

1. Para x = 2r, r = 2u, se cumple , .

2. Para x = 2u obtenemos

si u es impar cualquiera.

La demostracin y dems inquietudes al respecto quedan a cargo y riesgo del lector.

PROBLEMA

Una vez conocidas las funciones que permiten obtener soluciones del TEOREMA DE MADES en el conjunto de los nmeros naturales, podemos hacernos dos preguntas:

1. Tiene solucin en el conjunto de los nmeros naturales la siguiente ecuacin

2. En caso afirmativo, Qu algoritmo permite obtener las mencionadas soluciones?

Es posible hallar una frmula que permita encontrar soluciones enteras para el tringulo rectngulo?

Cul sera esa frmula si los tres nmeros no deben tener factor comn?

De acuerdo con textos cuneiformes el Teorema de Pitgoras era conocido hace ms de 3600 aos: ms de l000 antes de que la Escuela Pitagrica se adjudicara su paternidad.

Adems, parece que los matemticos babilonios saban cmo hallar las soluciones enteras del mismo. En las pginas siguientes aprenderemos el proceso para determinar no slo las soluciones enteras sino tambin las frmulas generales que nos permitan hallar soluciones primitivas (soluciones carentes de factor comn).

Otro aspecto que conoceremos ser el de averiguar todas las soluciones enteras dado el valor entero de uno de los lados, un cateto o la hipotenusa, en este caso es evidente que no le sirve la ecuacin EMBED Equation.2 dado que tendra que determinar dos trminos desconocidos.

Esta senda no es obligatoria, olvdela y vea PITGORAS, CAMINO DEL BINOMIO. Dicho camino es breve, libre de races y ecuaciones de segundo grado; adems, le permite crear soluciones primitivas de la ecuacin pitagrica en forma automtica. Pero regrese y estudie lo que trate asuntos diferentes.

Se denomina solucin primitiva de EMBED Equation.2 a toda terna (x, y, z) tal que. EMBED Equation.2

Ejemplo: (3, 4, 5), (7, 24, 25) y (48, 55, 73) son soluciones primitivas

Ejemplo: Supongamos que EMBED Equation.2 se satisface con

EMBED Equation.3

TEOREMA DE MADES

Para todo tringulo rectngulo de catetos x, y e hipotenusa z se cumple:

A) Lados:

EMBED Equation.2

B) Equivalencia de reas:

EMBED Equation.2

El cuadrador: Formas de cortar los cuadrados de los catetos para armar el cuadrado de la hipotenusa o viceversa: demostraciones por excelencia del Teorema de Mades.

El nmero de formas es infinito

UNA ENTRE LAS INFINITAS FORMAS DE DEMOSTRACIN

EMBED Equation.2

Ejemplo:

TT0

si EMBED Equation.2 EMBED Equation.2

entonces:

EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ,

TT1

Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces: EMBED Equation.2

TT2

Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2

TT3

Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2

TT0 : Si, EMBED Equation.2 entonces:

EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2

TT1: Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces: EMBED Equation.2

TT2: Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2

TT3: Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2

RESUMEN: ALGUNAS SOLUCIONES PRIMITIVAS

EMBED Equation.2 : Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2

EMBED Equation.2 Si EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 entonces EMBED Equation.2




n

x = 2n + 1

x = 2n(n + 1)

z = y + 1

1

2

3

10

6

7

8

9

4

5

3

5

7

21

13

15

17

19

9

11

4

12

24

220

84

112

144

180

40

60

5

13

25

221

85

113

145

181

41

61

EMBED Equation.2

n

x = 4n

x = 4n2 - 1

z = y + 2

1

2

3

10

6

7

8

9

4

5

4

8

12

40

24

28

32

36

16

20

3

15

35

399

143

195

255

323

63

99

5

17

37

401

145

197

257

325

65

101

EMBED Equation.2

n

x = 4(2n + 1)

x = 4n(n + 1) - 3

z = y + 8

1

2

3

10

6

7

8

9

4

5

12

20

28

84

52

60

68

76

36

44

5

21

45

437

165

221

285

357

77

117

13

29

53

445

173

229

393

365

85

125

EMBED Equation.2

n

x = 12(3n + 1)

x = 12n(3n + 2) - 5

z = y + 18

1

2

3

10

6

7

8

9

4

5

48

84

120

372

228

264

300

336

156

192

55

187

391

3835

1435

1927

2491

3127

667

1015

73

205

409

3853

1453

1945

2509

3145

685

1033

EMBED Equation.2

n

x = 12(3n + 2)

x = 12n(3n + 4) + 7

z = y + 18

1

2

3

10

6

7

8

9

4

5

60

96

132

384

240

276

312

348

168

204

91

247

475

4087

1591

2107

2695

3355

775

1147

109

265

493

4105

1609

2125

2713

3373

793

1165

EMBED Equation.2

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

{z} = {5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 73, 85, 89, 97}

Para toda EMBED Equation.2 se cumplirn:

EMBED Equation.2

5. EMBED Equation.2 6. EMBED Equation.2 7. EMBED Equation.2

8. EMBED Equation.2

12

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pitágoras, camino de la raíz

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