pitágoras
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Reseña Histórica
Teorema de Pitágoras
Derivados del Teorema de Pitágoras
Objetivos
Prácticas
Realizado por:
Dere Elizondo CamposEvelyn Núñez AlpízarRita Arce Lazcares
Derivados del Teorema de Pitágoras
Ø Conocer el Teorema de Pitágoras y sus derivados.
Ø Lograr que los discentes se familiaricen con los triángulos rectángulos.
Ø Aplicar el Teorema de Pitágoras en la solución de ejercicios.
Ø Aplicar el Teorema de las Alturas en la solución de ejercicios.
Ø Aplicar el Teorema de los Catetos en la solución de ejercicios.
Ø Aplicar el Teorema de Semejanza en la solución de ejercicios.
Ø Aplicar los Teoremas anteriores en la solución de problemas.
Menú Principal
Conocer el Teorema de Pitágoras y sus derivados.
Lograr que los discentes se familiaricen con los triángulos rectángulos.
Aplicar el Teorema de Pitágoras en la solución de ejercicios.
Aplicar el Teorema de las Alturas en la solución de ejercicios.
Aplicar el Teorema de los Catetos en la solución de ejercicios.
Aplicar el Teorema de Semejanza en la solución de ejercicios.
Aplicar los Teoremas anteriores en la solución de problemas.
Menú Principal
Pitágoras de Samos
Nació :
alrededor del 580 AC en
Samos, Ionia
Falleció :
alrededor del 500 AC
en Metapontum, Lucania
era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse
a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una
asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa,
donde enseñaba la inmortalidad del espíritu y la transmigración de las almas. Por este motivo,
puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de
carácter sino el de una comunidad religiosa, donde enseñaba la inmortalidad del espíritu y
la transmigración de las almas. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han
nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Se le considera
uno de los fundadores de la geometría y el descubridor de la octava musical. Ellos se reunían para
Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla
efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.
durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en las escuelas.
Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas.
estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas).
ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos,
siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento,
situada al sur de Italia.
lógico de sus proposiciones, cualidades que se conservan hasta nuestros días.
físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color;
la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego.
cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.
en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes.
En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y
El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono
Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las
Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento
La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades
Consideró el número como el principio de todas las cosas.
Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país,
Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela
Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí
aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de susadheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría»
mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico todavia, existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.
los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, posiblemente, por convertirse en una fuerza política
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de
También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal
Demostró el teorema que lleva su nombre, según el cual, "en un triángulo rectángulo, la suma de
Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.
Menú Principal
Pitágoras de Samos
Nació :
alrededor del 580 AC en
Samos, Ionia
Falleció :
alrededor del 500 AC
en Metapontum, Lucania
era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse
a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una
asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa,
donde enseñaba la inmortalidad del espíritu y la transmigración de las almas. Por este motivo,
puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de
carácter sino el de una comunidad religiosa, donde enseñaba la inmortalidad del espíritu y
la transmigración de las almas. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han
nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Se le considera
uno de los fundadores de la geometría y el descubridor de la octava musical. Ellos se reunían para
ra originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla
efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.
durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en las escuelas.
ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos,
siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento,
lógico de sus proposiciones, cualidades que se conservan hasta nuestros días.
físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color;
la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos
cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios,
en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
n la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y
l símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono
ebido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las
e debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento
a base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades
s posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país,
e habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela
lgunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí
aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de susadheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear
mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico todavia, existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.
los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".
a comunidad liderada por Pitágoras acabó, posiblemente, por convertirse en una fuerza política
a comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían
l pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de
ambién se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal
emostró el teorema que lleva su nombre, según el cual, "en un triángulo rectángulo, la suma de
lgunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a lasuma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Ejemplo 1Consideremos la figura adjunta y seael cateto a = ### cm y cateto b = ### cm¿Cuál es la medida correspondiente dela hipotenusa c?
Solución:50.0 65.0
2500.0 4225.0
6725.0
82.0 cm
Ejemplo 2Consideremos la figura adjunta y seael cateto a =###cm y la hipotenusa c 200.0 cm¿Cuál es la medida correspondiente delcateto b?
Menú Prinicipal
b
ca
c2 = a2 + b2
c2 = ( )2+ ( )2
c2 = +
c = c =
Otros Ejemplos
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la
200.0 33.0
Solución:40000.0 1089.0
5069.0 1225.0
3844.0
62.0 cm
b
ca
a = Catetob = Catetoc = hipotenusa
c2 = a2 + b2
c2 = a2 + b2
( )2=( )2+ b2
= + b2
b2 =
b = b =
Teorema 1 "Semejanza"
Teorema 2 "Altura"
Teorema 3 "Catetos"
Menú Principal
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa define dos triángulos rectángulos semejantes entre sí, y semejantes al triángulo rectángulo original.
Ejemplo1Considerando la figura adjunta tenemosque: ABC y BDC son ángulos rectos.Sean los segmentos = 14.6 , = 18.0
y = 20.3 Hallar las longitudes respectivas de los segmentos de recta
Solución:Por el teorema de Semejanza sabemos que:
14.6
14.6 20.3
14.6 14.6
20.3
10.5
Por el teorema de Semejanza sabemos que:
18.0
20.3 14.6
20.3 18.0
14.6
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BD AB
DC
ADB BDC
AD
BD =
BD
CD
=
AD = *
AD =
ADB BDC
BC
DC =
AB
BD
=
BC = *
BC =
AD y BC
AD
BC
25.0
BC
DC =
AB
BD
=
BC = *
BC =
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa define dos triángulos rectángulos semejantes entre sí, y semejantes al triángulo rectángulo original.
Recordemos:
<< Volver al Menú
D
B C
A
ABC BDCABC ADBADB BDC
Otros Ejemplos
Menú Prinicipal
En todo triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es MEDIA proporcional entrelos segmentos en que se divide la hipotenusa.
Ejempl Considerando el triángulo rectángulo adjunto,Sean los segmentos 12.0 , y= 22.0
Hallar las longitud de h.
SolucióCalculemos h utilizando el teorema de la altura
12.0
22.0
22.0 12.0
264.0
16.2
Ejempl Considerando el triángulo rectángulo adjunto,Sean los segmentos 40.8 , h= 21.3
Hallar las longitud de x.
Solución:
21.321.3 40.8
21.3 21.3
40.8
11.1
<< Volver al Menú
x
h =
h
y
h =
h
h2 = h =
h =
x
h =
h
y
x =
x =
x =
Menú Principal
x
h =
h
y
x =
x =
x =
En todo triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es MEDIA proporcional entre
Recordemos:
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h
x y
ba
D
B
A C
x
h =
h
y ; h2 = y x
h = y x
h = Altura
Otros Ejemplos
Menú Principal
En un triángulo rectángulo la medida de un cateto es MEDIA proporcional entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
Ejemplo1Considerando el triángulo rectángulo adjunto,Sean los segmentos y =44.9 cm x = 30.0 cm. Determinarlas longitudes de los tres lados del triángulo.
Solución:Sabemos que c = x + y;
Calculemos "a" y "b" utilizando el teorema de los catetos
74.9 30.0 74.9
2247.9 3366.7
47.4 cm 58.0
a2 = c * x
a2 = * a =
a =
b2 = c * y
b2 = * b =
b =
En un triángulo rectángulo la medida de un cateto es MEDIA proporcional entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
cm. Determinar
Calculemos "a" y "b" utilizando el teorema de los catetos Recordemos:
44.9
3366.7
cm
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ba
h
y x
c
h = Alt ura
D
A
C
B
a2 = c * x
b2 = c * y
b2 = c * y
b2 = * b =
b =
Otros Ejemplos
Menú Principal
Teorema de Pitágoras
Teorema de Semejanza
Teorema de la Altura
Teorema de los Catetos
Problemas
Menú Principal
Ejercicios Realizados
De acuerdo con la figura, De acuerdo con la figura, calcular la longitud de C. calcular la longitud de b.
87.3 b =c = 62 a = 38
a = 56
c = 73
b = 67
De acuerdo con la figura, De acuerdo con la figura, calcular la longitud de C. calcular la longitud de b.
b = 64c = 81
62a = 56 85 b = a = 52
c =
Correctas 0Incorrectas 0
Otros Ejercicios Revisar
<< Volver Menú Prácticas
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Menú Principal
Puntuación
Correctas
Incorrectas
De acuerdo con la figura, calcular la longitud de a.
50a =
c = 75
b = 56
De acuerdo con la figura, calcular la longitud de a.
b = 43
25a =
c = 50
Puntuación
Correctas 0--------------------------------------------------
Incorrectas 0
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Puntuación
Correctas
Incorrectas
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de a, sabiendo que 1.2 , h=3.8 longitud de b, sabiendo que y
a =4.0 b = 13.0
b =
a = ###
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de c, sabiendo que ### longitud de b, sabiendo que y
b = ###
c =87.1 a = ###
a = 46.0
Corre 0Incor 0
h
X
Y
h
CY
X
h
C Y
X
h
C
X
Otros Ejercicios
<< Volver Menú Práctica Menú Principal
Revisar
Puntuación
Correctas
Incorrectas
50
Puntuación
Correctas
Incorrectas
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de b, sabiendo que y ### , h= 9.0 longitud de c, sabiendo que h ###
104.621.0 c =
a = 61.0
b = ###
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de b, sabiendo que y ### , h= 9.1 longitud de a, sabiendo que x 7.7 , h=###
b = ###
15.016.0 a =
b =
Puntuación
h
X
Y
Y
h
C
X
Y
Menú Principal
Correctas 0--------------------------------------------------
Incorrectas 0
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de h, sabiendo que x 1.2 longitud de x, sabiendo que
2.8 h = 9.6
x =
c= 7.6
b = 18
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de h, sabiendo que y### longitud de x, sabiendo que
c = 46.3b = 62
###x =
21.0h =
Correctas 0Incorrectas 0
<< Volver Menú Práctica
Otros Ejercicios Revisar
h
YX h
X
Y
h
Y
Xh
X
Y
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Menú Principal
Puntuación
Correctas
Incorrectas
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la 12 longitud de y, sabiendo que 37
58.2y =
a = 44
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la 42 longitud de y, sabiendo que 21
a = 25 ###y =
h
X
Y
h
YX
Menú Principal
Puntuación
Correctas 0--------------------------------------------------
Incorrectas 0
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de a, sabiendo que 28.6 longitud de b, sabiendo que 19.3
c = ###
c = 27.5b=
###
a =52.0
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de a, sabiendo que ### longitud de b, sabiendo que 43
c = ###
a =###
60.0b =
c = 50.8
Corr 0Inco 0
Otros Ejercicios Revisar
<< Volver Menú Práctica
h X
Yh
X
Y
h
YX
h
Y X
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Menú Principal
Puntuación
Correctas
Incorrectas
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de c, sabiendo que 26.0
c =###
a = ###
De acuerdo con la figura, calcular la De acuerdo con la figura, calcular la longitud de c, sabiendo que###
b = ###
c =###
Puntuación
Correctas 0
h
Y
X
h
X
Y
--------------------------------------------------Incorrectas 0
Se tiene un terreno de forma triangular, el cual Un estudiante debe caminar hacia el Colegiose quiere sembrar de hortalizas para exportación. en línea recta, luego cruza hacia el norte, formando un Para sembrarlo se necesita colocarle una cerca, ángulo recto, cuando llega al colegio ha caminado una a 50 m de altura. El triángulo tiene un ángulo de distancia desde su casa dnoventa grados. Si los dos catetos mid 11.0 caminar si cruza en diagonal de su casa al colegio?m y 21.0 m ¿Cuánto mide su hipotenusa?
24 Respuesta 91.26
Un ingeniero está diseñando un techo de un edificio, Dos jóvenes se encuentran en una piscina en forma el cual tiene forma de triángulo rectángulo, si la de rectángulo, su diagonal midealtura del techo sobre la hipotenusa mi 5.1 m. lados, mideSi uno de los segmentos en que está divide a la la misma esquina, uno nada por la diagonal de la base hipotenusa mid 3.09 m. ¿Cuánto mide el y el otro por sus lados, ¿Cuánto mas ha recorrido unootro segmento? del otro, al llegar a la esquina opuesta?
9 Respuesta 7.1 Respuesta
Cor 0Inco 0
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Otros Ejercicios Revisar
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Puntuación
Correctas
Incorrectas
Un estudiante debe caminar hacia el Colegio 52.0 men línea recta, luego cruza hacia el norte, formando un ángulo recto, cuando llega al colegio ha caminado una distancia desde su casa d 127.0 m. ¿Cuánto debecaminar si cruza en diagonal de su casa al colegio?
Respuesta
Dos jóvenes se encuentran en una piscina en forma de rectángulo, su diagonal mide 18.9 m y uno de los
10.0 m. Los dos jóvenes se encuentran en la misma esquina, uno nada por la diagonal de la base y el otro por sus lados, ¿Cuánto mas ha recorrido unodel otro, al llegar a la esquina opuesta?
Respuesta
Puntuación
Correctas 0
----------------------------------------------------------
Incorrectas 0
Correctas 0Incorrectas 0
Puntuación
Correctas 0--------------------------------------------------
Incorrectas 0----------------------------------------
Total 0
Total de Porcentaje
Correctas
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Total de Porcentaje
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