SEMANA 5

CAPÍTULO 4: DISEÑO Y AJUSTE DE

CONTROLADORES

Gabriela Carrión Vivar, gcarriónv@est.ups.edu.ec

Universidad Politécnica Salesiana Sede Cuenca

February 8, 2015

4.1 Controlador PID

Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación quecalcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se desea obtener, para aplicaruna acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tresparámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determinala reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error,esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control su�ciente, el error de seguimiento se reducea cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. Ajustandoestas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un controldiseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descritaen términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "setpoint", y el grado de oscilación del sistema. El uso del PID no garantiza control óptimo del sistemao la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de losque provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o Ien la ausencia de las acciones de control respectivas.

4.1.1 Análisis en Matlab

Ejemplo 1

Grá�ca de la Planta (Ejemplo 1)

La ecuación 1 presenta una función de transferencia de una planta.

G(s) =15

s2 + 5s+ 15(1)

De la ecuación 1 se realiza la grá�ca con el escalón que se presenta en la �gura 1.

Figura 1: Planta Sin Control

1

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Grá�ca de la Planta (Ejemplo 2)

Primero establezco una función de transferencia para poder diseñar el controlador. La función detransferencia es:

G(s) =4

4s2 + 3s+ 4(2)

Mediante Matlab obtengo la respuesta al escalón de la función de transferencia

Matlab

%DISEÑO DE CONTROLADOR PID%Bryan Abrils=tf('s') G=4/(4*s^2+3*s+4)step(G,'r')grid on

Figura 2: Funcion de transferencia de la planta sin control

Planta Controlada

Planta Controlada (Ejemplo 1)

Aplicando el controlador PID se tiene la función de transferencia que se presenta en la ecuación 2,con realimentación.

M(s) =0,8257 ∗ s2 + 29,7 ∗ s+ 72,43

s3 + 5,826 ∗ s2 + 44,7 ∗ s+ 72,43(3)

y de la misma se obtiene la constante de los valores Kp, Kd y Ki la constante se presenta en laecuación 3.

C = 4,8288 ∗ (1 + ,03 ∗ s) ∗ (1 + 0,38 ∗ s)s

(4)

que al factorarle se obtienen la ecuación 4.

C = 0,0550 ∗ s+ 4,8288

s+ 1,9798 (5)

donde se obtienen los siguientes valores de la tabla 1.

Kp 1.9798

Kd 0.0550*sKi 4.8288/s

Cuadro 1: Valores de Kp, Kd, Ki

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Al momento que se aplica un control PID en la planta esta tiende a mejorar el tiempo delevantamiento de 0.5seg hasta un valor de 0.27seg como se presenta en la �gura, pero obteniendoun sobrepaso mayor el cual era de 7.03% a 16% como se aprecia en la �gura 4.

Figura 3: Planta con control PID, Tiempo de Asentamiento

Figura 4: Planta con control PID

Planta Controlada (Ejemplo 2) En este ejemplo se mostrara a través del interfaz de SI-SOTOOL donde se puede observar el lugar geométrico de las raíces en donde puedo diseñar elcontrolador ubicándolo en -0.0349+j0.977. cabe recalcar que se colocó un polo en el origen paraque el error en estado estable sea practicamente cero.

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Figura 5: Lugar geometrico de las raices de FT

Coloco el controlador obtenido y observo la grá�ca de la respuesta al escalón de la planta conel controlador diseño con SISOTOOL.

Matlab

%DISEÑO DE CONTROLADOR PID%Bryan Abrils=tf('s') G=4/(4*s^2+3*s+4)step(G,'r') grid onautomated tuning C=143.81*(1/(1+4e+02*s))M=feedback(G*C,1)hold on step(M,'b')

Figure 6: Respuesta al escalón de la planta con el controlador de SISOTOOL

Se observa que se reduce el Mp, pero el tiempo se ve afectado con un retardo de 1s. Ahoramediante la misma interfaz tomaremos el controlador que Matlab nos sugiera, que en este caso es:

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Figure 7: Interfaz de diseño automático de controlador de MATLAB

Matlab

%DISEÑO DE CONTROLADOR PID%Bryan Abrils=tf('s') G=4/(4*s^2+3*s+4)step(G,'r')grid onautomated tuning C=143.81*(1/(1+4e+02*s))M=feedback(G*C,1)hold on step(M,'b') Cm=3.2328*((1+1.5*s)*(1+1.5*s))/(s*(1+0.07*s))M1=feedback(G*Cm,1) hold onstep(M1,'g')

Finalmente gra�camos las tres respuestas y establecemos una comparación. La señal de rojo=Respuestaal escalón de la función de transferencia inicial. La señal de azul= Respuesta al escalón de la fun-ción de transferencia con el controlador diseñado mediante el lugar geométrico. La señal de verde=Respuesta al escalón de la función de tranferencia con el controlador sugerido por Matlab.

Ejemplo 1

Figure 8: Respuesta al escalón de las tres señales

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Se puede observar que el diseño sugerido por MATLAB es más e�ciente que el diseño medianteel lugar geométrico ya que se obtiene una considerable mejora tanto en sobrepaso máximo comoen tiempos.

4.2 Variando Kp

Ejemplo 1

De la constante obtenida se varía el parámetro Kp el cual es de 1.9798, se disminuye a un valor de0.5 y se tiene los resultados que se presenta en la �gura 9.

Figura 9: Menor Valor de Kp

Cuando se eleva el valor de Kp el comportamiento se aprecia en la �gura 10.

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Figura 10: Mayor valor de Kp

De las grá�cas 9 y 10, se puede decir que al aumentar el valor de kp la planta tiene un me-nor tiempo de asentamiento mientras cuando se disminuye el valor de Kp la planta de tarda enestabilizarse.

Ejemplo 2

A continuación analizaremos lo que ocurre cuando varío cada uno de los parámetros del controladorPID para valores de Kp.

Valor Mp Tmax

0 0% 0.5951 0.148% 0.6092 0.65% 0.6144.5 1.95% 0.6495 2.22% 0.6567 3.32% 0.69214 7.41% 0.78640 20.9% 0.801

.

Podemos notar que conforme se aumenta o disminuye Kp, aumenta ó disminuye respectivamenteel sobrepaso máximo (Mp%) y gradualmente pero en menor medida aumenta el tiempo máximo(tmax).

4.3 Variando Kd

Ejemplo 1

De la constante obtenida se varía el parámetro Kd el cual es de 0.0550*s, se disminuye a un valorde 0.01 y se tiene los resultados que se presenta en la �gura 11.

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Figura 11: Menor Valor de Kd

Cuando se eleva el valor de Kd a 0.2*s el comportamiento se aprecia en la �gura 12.

Figura 12: Mayor valor de Kd

De las grá�cas 11 y 12, al momento que se incrementa kd el sobrepaso aumenta y el tiempo deestabilidad es mayor pero con mayor tiempo de estabilidad. Cuando se disminuye el valor de Kdel sobrepaso disminuye al igual que la estabilización.

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Ejemplo 2

A continuación analizaremos lo que ocurre cuando varío cada uno de los parámetros del controladorPID para valores de Kd.

Valor Mp Tmax

2 24.9% 0.8695 6.01% 0.7267 1.67% 0.64812 0.0345% 13.220 0.333% 12.327 0.59% 13.532 0% -40 0% -

.

Podemos notar que conforme se aumenta KD disminuye el sobrepaso máximo (Mp%) hastatender a cero con valore tendiendo a in�nito de KD y además aumenta consecuentemente el tiempomáximo (tmax) hasta que este no exista.

4.3 Variando KI

Ejemplo 1

De la constante obtenida se varía el parámetro Ki el cual es de 4.8288/ss, se disminuye a un valorde 1/s y se tiene los resultados que se presenta en la �gura 13.

Figura 13: Menor Valor de Ki

Cuando se eleva el valor de Kd a 1/s el comportamiento se aprecia en la �gura 14.

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Figura 14: Mayor valor de Ki

De las grá�cas 13 y 14, cuando se disminuye el valor de Ki no existe sobrepaso y el tiempo deasentamiento es mayor, al momento que se eleva el valor de Ki la planta tiene mayor sobrepaso ymayor tiempo de estabilización.

Ejemplo 2

A continuación analizaremos lo que ocurre cuando varío cada uno de los parámetros del controladorPID para valores de Ki.

Valor Mp Tmax

3 2.37% 6.765 0.672% 7.717 0.0798% 9.679 0.57% 0.64715 5.93% 0.55720 9.44% 0.49728 14% 0.45240 19.2% 0.393

.

Podemos notar que conforme se aumenta o disminuye KI, aumenta ó disminuye el sobrepasomáximo respectivamente (Mp%), no así el tiempo máximo (tmax) va disminuyendo gradualmente.

4.5 Diseñó del control de Adelanto

La �gura 15, presenta el lugar geométrico de la planta sin controlar.

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Figura 15: Lugar geométrico de las raíces

Al momento que se aumenta un cero al lado derecho se tiene el lugar geométrico de las raícesque se presenta en la �gura 16.

Figura 16: cero en el lado derecho

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4.6 Controlador en retraso

Al aumentar un cero al lado izquierdo se tiene el lugar geométrico de las raíces que se presenta enla �gura 17.

Figura 17: cero en el lado derecho

Observaciones:

En el control PID al variar las variables Kp, Ki, Kd se tienen diferentes resultados de la planta,ya depende del usuario o de la necesidad para variar las constantes ya que algunas aumentan elsobrepaso máximo, otras el tiempo de asentamiento, el tiempo de estabilización.