PID

Andrea Cárdenas

SISTEMAS DE CONTROLDocente: Ing. Mónica Endara

Es una estructura de control que es casi universalmente utilizada en la industria. Se trata de la familia de controladores de estructura fija llamada familia de controladores PID

Estos controladores han demostrado ser robustos y extremadamente beneficioso ( costos, mantenimiento, soporte ) en el control de muchas aplicaciones de importancia en la industria

PID

Historiadamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del control PID, Sin embargo, no fue hasta el trabajo de Minorsky de 1922, sobre la conducción de barcos, que el control PID cobro verdadera importancia teórica.

Hoy en día, a pesar de la abundancia de sofisticadas herramientas y métodos avanzados de control, el controlador PID es aun el mas ampliamente utilizado en la industria moderna, controlando mas del 95% de los procesos industriales de lazo cerrado

Diferentes Tipos de Control por Retroalimentaciones Un ejemplo simple de control

CONTROLADOR PID

Un controlador PID ( Proporcional integral Dedicativo) es un sistema de control que, mediante un elemento final de control ( actiador), es capaz de mantener una variable o proceso en un punto deseado dentro del rango de medición del sensor que la mide. Es uno de los métodos de control mas frecuente y precioso dentro de la regulación automática

Funcionamiento

El controlador lee una señal externa que representan el valor que se desea alcanzar. Esta señal recibe el nombre de punto de referencia, la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal que proporciona el sensor.

Para hacer posible esta compatibilidad y que, a su vez, la señal pueda ser entendida por un humano, habrá que establecer algún tipo de interfaz.

El controlador resta a señal de punto actual a la señal de punto de consigna, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado y el valor medio.

La señal de error es utilizada por cada una de las TRES componentes de un controlador PID propiamente tal, para generar las 3 señales que, sumadas, componen la señal que el controlador va a utilizar para gobiernan al actuador.

La señal resultante de la suma de estas tres señales, se llama variable manipulada y no se aplica directamente sobre el actuador, si no que debe ser transformada para ser compatible con el actuador que se usa

Las tres componentes de un controlador PID son:Acción proporcional. Acción integral y acción derivativa.

El peso de la influencia que cada una de estas partes tiene en la suma final, viene dado por:• La constante proporcional• La constante integral y• La constante derivativa

PROPORCIONAL

INTEGRAL

DERIVADA

ACCION PROPORCIONAL

Una ventaja de esta estrategia de control, es que solo requiere del calculo de un parámetro (ganancia K) y, además, genera una respuesta bastante instantánea. Sin embargo, el controlador proporcional posee una característica indeseable, que se conoce como error en estado estacionario.(offset)

Proporcional Control- Ejemplo

El controlador proporcional ( KP) reduce el tiempo de rizado, incrementa el overhsoot y reduce el error de estado estable

>> kp=300;num=[kp];den=[1 10 20+kp];t=0:0.01:2;figure;step(num,den,t);kp=100;num=[kp];den=[1 10 20+kp];t=0:0.01:2;hold on;step(num,den,t);legend('kp=300','kp=100');hold off;grind

Acción integrativa

La acción integral de una respuesta proporcional a la integral del error. Esta acción elimina el offset, pero se obtiene una mayor desviación del set point, la respuesta es más lenta y periodo de oscilación es mayor que en el caso de la acción proporcional.

El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna. o “ set point “

Características indeseable, que se conoce como error en estado estacionario ( offset)

En este tipo de control, la salida m(t) del controlador, es proporcional a la integración del error e(t). O sea:

Donde:m(t) es la señal de salida del controladorE(t) es la señal de errorK es una constante, llamada “ganancia integral “

Acción derivativa

La acción derivativa da una respuesta proporcional a la derivada del error ( velocidad de cambio dl error). Añadiendo esta acción de control a las anteriores, se elimina el exceso de oscilación. No elimina el offset. Se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error, ( si el error es constante, solamente actúan los modos proporcionales e integral).

En este tipo de control, la salida m(t) del controlador, es proporcional a la derivada del error e(t). O sea:

Donde:M(t) es la señal de salida del controladorE(t) es la señal de errorKd es una constante, llamada “ganancia derivada”

Ejemplo control proporcional Derivativo

kd=10;kp=300;num=[kd kp];den=[1 10+kd 20+kp];t=0:0.01:2;figure;step(num,den,t);kd=20; kp=300;num=[kd kp];den=[1 10+kd 20+kp];t=0:0.01:2;hold on;step(num,den,t);legend('kd=10','kd=30');hold off;grid

Acción de control proporcional integral derivativa:

Esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

La función de transferencia del controlador, queda como:

¿Cuando utilizarlo ?

En general, si se tiene un sistema de primer orden, se suele utilizar control PI ( ya que la acción derivativa no tiene mayor efecto) y si el sistema es de segundo orden, se suele utilizar control PID.

Para sistemas de orden mayor o con retardos muy grandes el control PID no es eficiente

Las características de los controladores P, I y D

Control de lazo abierto

Num=1

Den=[ 1 10 20].

Step [ num, den ]

Control integral

ki=70; kp=30;num=[kp ki];den=[1 10 20+kp ki];t=0:0.01:2;figure;step(num,den,t);ki=100; kp=30;num=[kp ki];den=[1 10 20+kp ki];t=0:0.01:2;hold on;step(num,den,t);legend('ki=70','ki=100');hold offgrid

DESARROLLO

DE

APLICCIONES

DE

CONTROL PID

Métodos de sintonización para el control PID básico

Si se puede obtener un modelo matemático de la planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado.

Si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID.

El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Ziegler y Nichols

Primer método

La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental, Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S

• Tiempo de retardo L • Constante de tiempo T.• El tiempo de retardo y la constante de tiempo se

determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c(t) = K,

Regla de sintonización de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalónde la planta (primer método)

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -l/L.

Segundo método. Establecer Ti = CC y Td = 0.

Se incremente Kp de 0 aun valor crítico K,, en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método.)Por tanto, la ganancia crítica K,, y el periodo Pa correspondiente se determinan experimentalmenteZiegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valoresde los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la tabla

Regla de sintonización de Ziegler-Nichols basada en la ganancia críticaKcr y en el periodo crítico Pcr (segundo método)

Si se conoce la función de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escalón unitarioo la ganancia crítica K,, y el periodo crítico Per. A continuación, empleando los valorescalculados, es posible determinar los parámetros Kp, Ti y Td a partir de las tablas

Ejemplo Situación en la que las reglas de Ziegler-Nichols

no se aplican,

• Debido a la presencia de un integrador, no se aplica el primer método• La respuesta escalón de esta planta no tendrá una curva

de respuesta con forma de S; más bien, la respuesta se incrementa con el tiempo. Asimismo, si se intenta el segundo método el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibirá oscilaciones sostenidas, sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp. Estose aprecia a partir del siguiente análisis. Dado que la ecuación característica es

EJEMPLO Considere el sistema de control de la figura

Determinación de los valores de los parámetros Kp, Ti y Td. A continuación, obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo aproximado de 25%.Si el sobrepaso máximo es excesivo (40% o más), haga una sintonización fina y reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado de 25%.

El controlador PID tiene la función de transferencia

• la planta tiene un integrador, usamos el segundo método de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Estableciendo Ti = CC y Td = 0, obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado

Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilaciónsostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Dado que la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado

Kp = 30. Por tanto, la ganancia crítica Kcr = 30

Con la ganancia Kp establecida igual a Kcr= 30, la ecuación característica se vuelve

Frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos s = jw en la ecuación característica, del modo siguiente:

la frecuencia de la oscilación sostenida

periodo de la oscilación sostenida

De la segunda tabla determinamos Kp, Ti, y Td del modo siguiente:

la función de transferencia del controlador PID es

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1.4235.

Análisis de la respuesta escalón unitario del sistema.

La función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s)

Sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario es de aproximadamente 62%.La cantidad sobrepaso máximo es excesiva. Se reducen los parámetros del controlador ediante un sintonizado fino. Dicha sintonización se hace en la computadora. Encontramos que conservando Kp = 18 y moviendo el cero doble del controlador PID as = -0.65, es decir, usando el controlador PID Ecuacion 1 ->

sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario se reduce a, aproximadamente, 18%. Si la ganancia proporcional Kp se incrementa a 39.42, sin modificar la ubicación del cero doble (s = - 0.65), es decir, usando el controlador PID

Ecuación 2

la velocidad de respuesta entonces se incrementa, pero el valor del sobrepaso máximo también aumenta a aproximadamente 28%, como se observa en la figura. Dado que, en este caso,el sobrepaso máximo está bastante cerca del 25% y la respuesta es más rápida que el sistema conG,(s) obtenido mediante la ecuación (HI-l), consideramos aceptable la G,(s) obtenida a partirde la ecuación (10-2). En este caso, los valores sintonizados de Kp, Ti y Td se convierten en

Kp = 18,Ti = 3.077,y Td = 0.7692.

Dado que las ramificaciones dominantes de los lugares geométricos de las raíces están a lo largo de las líneas 5 = 0.3 para un rango considerable de K, variar el valor de K (de 6 a 30) no modifica mucho el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado. Sin embargo, variar la ubicación del cero doble tiene un efecto significativo en el sobrepaso máximo, porque cambia mucho el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto también se observa a partir del análisis del lugar geometrico de las raíces.

la ganancia Kp tiene un efecto mínimo

ganancia K = 30.322,

los polos en lazo cerrado en s =-2.35 k j4.82 funcionan como polos dominantes. Dos polos adicionales

en lazo cerrado están muy cerca del cero doble en s = -0.65, por lo que estos polos en

lazo cerrado y el cero doble casi se cancelan uno al otro. El par de polos dominantes en lazo cerrado

determina realmente la naturaleza de las respuestas. Por otra parte, cuando el sistema tiene

K = 13.846, los polos en lazo cerrado en s = -2.35 + j2.62 no son realmente dominantes, porque

los otros dos polos en lazo cerrado cerca del cero doble en s = -0.65 tienen un efecto considera-