CONTROL DE NIVEL UN TANQUE A TRAVES UN SISTEMA DE CONTROL PID

Juan Alberto LondoñoDaniel Colorado LondoñoDiego Alejandro Herrera

Facultad de ingeniería juanlondono151776@correo.itm.edu.co

diegoalejandroherrerajaramillo@live.comdanielcolorado165635@correo.itm.edu.co

Instituto Tecnológico Metropolitano

Resumen. En este documento se plantea el modelo matemático para el control de nivel de un tanque con regulación de en la salida, emulando válvulas proporcionales, con servomotores controlados por PWM y al mismo tiempo acoplados a válvulas exponenciales, para las cuales es necesario hallar los intervalos donde su comportamiento entregue una respuesta lineal y mediante el uso de la interfaz de Labview el usuario tendrá la facilidad de ingresar un set point dependiendo de la necesidad de esté, además para tener una lectura más fácil y precisa se anexará un visualizador.

Palabras claves: Función de transferencia, control, Servo motor, PWM, set point, Labview, proporcional.

Abstract. Abstract. In this paper a semi physic model of a tank level system with regulated flow by the output valve is established, simulating proportional valves, with servo motors controlled by PWM assembled to exponential valves, which is necessary to find out the linear behavior and the customer can reset the set point using a Labview interface depending on the needs besides to an easier reading a display will be added.

Keywords: Transfer function, Control, Servo motor, PWM, Set point, Labview, Valves.

1) Introducción.

A un contenedor de forma cónica se aplicará un control de nivel, con la finalidad de entender el funcionamiento de este. Ya que cuando el nivel del agua sea superior o inferior al set point ingresado por el usuario, el sistema de control procederá a ejecutar la fase de regulación según el error, hasta que diferencia de la entrada del sistema y la retroalimentación del sistema sea cero.

En la industrial el control de nivel para un tanque es común encontrarlo en los procesos donde se requiere mantener constante el nivel de un tanque, bien sea para asegurar mezclas perfectas, flujos de entradas o salidas para evitar desbordamiento o vaciado de este, evitar que una bomba hidráulica succione en vacío

La importancia de dicho trabajo es poder aplicar de manera concisa los conocimientos aprendidos previamente en la cátedras tales como: el control PID, respuesta en el tiempo ante una excitación, variables de estado tal como lo dicta el control moderno, el cual permite analizar el proceso interno que describe cada uno de los factores que pueden afectar el control del sistema.

2) Objetivos

Objetivo general: Controlar la planta en cuestión mediante la implementación de la teoría

adquirida en el semestre

Objetivos específicos: Hallar la función de transferencia del sistema Simular el sistema y hacer una comparación de datos obtenidos respecto a

los datos teóricos, datos experimentales y datos gráficos Encontrar y analizar el modelo matemático de un control de nivel

3) Marco Teórico

Función de transferencia: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

También se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión (1):

(1)

Donde H(s) es la función de transferencia (también notada como G(s)); Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

(2)

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

(3)

Y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):

(4)

Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.

Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

(5)

Sistema de control:

Orden 1(uno): En este caso tenemos dos tipos de entradas, la señal escalón y la señal rampa, ahora debemos tener presente que:

Función de transferencia para orden 1(uno):

G (s )=Y (s )X (s)

= KΤs+1

O G (s )=Y (s )X (s)

= K∗e−θs

Τs+1

Orden 2(dos): En este caso tenemos en cuenta la señal escalón:

Función de transferencia para orden 2(dos):Forma Normalizada:

G (s )=Y (s )X (s)

=K (Wn)2

s2+2E (Wn ) s+(Wn)2 ;

Dónde:K = GananciaWn = Frecuencia naturalE = Factor de amortiguamiento:

Aquí debemos tener en cuenta que hay 4(cuatro) casos particulares:

Espacios de estados

Es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden.

Variables de estado

Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. Estas variables de estado deben ser linealmente independientes.

Las Variables de Estado pueden tener o no sentido físico, pueden o no ser medibles Para un mismo sistema dinámico las Variables de Estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado

Controlabilidad

La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo.

Observabilidad

La observabilidad es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad son matemáticamente duales

PWM

Modulación por ancho de pulso (PWM) (pulse width modulation) de una señal o fuente de energía, es una técnica en la que se modifica el ciclo de trabajo de una señal periódica (una sinusoidal o cuadrada), ya sea para transmitir información a través de un canal de comunicaciones o para controlar la cantidad de energía que se envía a una carga.

4) Modelos matemáticos y Desarrollo

A continuación detallaremos el análisis teórico de un control de nivel de tanque, Nuestro sistema se trata de un tanque regulado en la salida por una válvula accionada con un servomotor

Primero que todo se debe determinar de qué tipo es el flujo, sea laminar o turbulento.A continuación se demostrará el tipo de flujo del sistema .

Para un tubo de PVC su rugosidad es:

ε=0.002mm=0.0002m

Se procede a hallar el coeficiente de fricción el cual es:

F= 64N R

Tenemos como incógnita el número de Reynolds

N R=ρVLμ

=VLγ

Diametro ≈1cm≈0.01m

A=π4

(0.01m)2=0.000079m2

V=QA

=

1lit /min0.000079m2

∗1min

60 seg∗1m3

1000 l

V=0.21097m /s

γ=1.003 x 10−6m2/s

N R=0.21097m /s (0.01m)

1.003x 10−6m2/s=2103.39

Al ser el N R<2400 se asume el flujo laminar

Ahora se procede a hallar el coeficiente de fricción f

f= 64NR

=0.030427

Ahora si se grafica el nivel del tanque con respecto al tiempo, dicha respuesta es casi línea.

Fig 1. Grafica de Grados VS tiempo

Ahora Teniendo en cuenta que:

Caudal de entrada = Q = 0.000017 m3/seg

Coeficiente de proporcionalidad laminar para el flujo turbulento = Kt

Columna hidrostática = H =0.19m

Entonces:

A= 0.04811m2

Rt = HQ

Kt = Q

√H

Kt = 0.000017m3 /seg

√0.19m= = 0.000039m2.5/seg

Rt = (0.19m)

0.000017m3seg

Rt= 11176.5 seg/m2

MODELADO MATEMATICO DEL PROCESO

Q1 = oferta m3/seg

Q2 = Demanda m3/seg

C= dV/dH = A=0.04811m2

H(t)= nivel del tanque (m)

Q= VA

Q=k √∆ P

A= Área total

R= resistencia hidráulica

R= Apertura / flujo

Tao = constante de tiempo

Tao = RC (seg)

Q2 (t)= VAV = √2GH

CdH ( t)dt

=Q1( t)−Q 2(t)

K = constante de proporcionalidad

V = velocidad

CdH ( t)dt

=Q1( t)−KH ( t)R

RCdH (t)dt

=RQ 1(t)−KH (t )

Tao = RC

RQ1 (t )=TaodH (t)dt

+KH (t)

PASANDOLO A LAPLACE

TaoSH(s)+KH(s) = RQ1(s)

H(s) [TaoS+K] = RQ1(s)

H(s) = RQ 1(s)TaoS+K

H (s)Q 1(s)

= RTaoS+K

- Cuando se obtiene la función de transferencia del sistema se procede a realizar los cálculos de los polos, ceros del sistema, estabilidad y tiempo de estabilidad.

- Llevando la función de transferencia a la forma estándar quedaría de esta forma:

H (s)Q1(s)

= 11176.5537.7014∗S+1

- Se usa el Teorema del valor final para determinar su estabilidad - El sistema no tiene ceros puesto que el numerador solo cuenta con un término.- Su único polo se obtiene igualando el numerador a cero

- El tiempo de estabilidad ¿4 Tao=537.7014∗43600

=0.59Horas

Fig 2. Ilustración del sistema excitado por el caudal

Fig 3. Ilustración de polos y ceros de sistema.

5) ResultadosUna vez se modela la planta y su acción de control correspondiente se empieza con la construcción de la planta física y luego de ensamblarse, se nota que hay un gran desfase entre los cálculos teóricos y lo que en la realidad está sucediendo, por lo que se opta por un método más empírico y basado en los datos que arrojaba la planta bajo condiciones deseadas para el control conocido como el método de ganancia ultima y también por el método que propone Ziegler-Nichols, por lo que la función de transferencia obtenida por este método también tuvo un cambio enorme, cabe resaltar que para dicha función de transferencia nos ayudamos de Matlab, en el que se hizo la recopilación y tabulación de datos para obtener dicho modelo matemático y por consiguiente los parámetros para el diseño del controlador PID cambiaron notablemente, a continuación se explica el proceso realizado para llevar

Función de transferencia a partir de un aforo.

Para la nueva función de transferencia se hizo un aforo de la ganancia contra la señal que excitaba la planta y ayudados de la herramienta IDENT de Matlab diseñamos el nuevo modelo matemático que describía el comportamiento de la planta.

Tabla 1. Aforo del sistema

H (s)Q1(s)

=347888,979∗e−0.3(26,2756∗S+1)

Función de transferencia estimada por IDENT de matlab.

Con ayuda del auto tuning de matlab se pueden sacar una aproximación de las constantes derivativas, proporcionales e integrales. Tales como:

KP = 0.000003953KI = 0.0000002934KD = -0.000003339

Fig 4. Interface del controlador

Fig 5. Diagrame de bloques del PID.

A través de Labview se pudo hacer una sintonía fina del controlador en tiempo real, una herramienta muy útil en nuestro proyecto ya que sin necesidad de reiniciar la planta se pudo llevar el controlador a una respuesta tanto amable con la válvula como eficaz para el nivel deseado en el tanque.

Las constantes finales del PID son extremadamente grandes en comparación a las determinas experimentalmente y teóricamente, se recurrió a una sintonía fina para un funcionamiento correcto.

KP= 0.5947000KI= 0.010037KD= 0.1905

Conclusiones

La manera ideal para modelar la función de transferencia del sistema es a partir de la planta, ya que se puede observar su comportamiento y a partir de ahí hacerle el análisis obteniendo así medidas más certeras, pues a la hora de hacer una comparación entre las medidas teóricas del tanque y las medidas reales hubo un cambio bastante notorio en la función de transferencia del sistema y por ende un cambio en su comportamiento final.

Se encuentra que el parámetro derivativo en el actuador no se puede modificar más allá del establecido antes de la sintonía fina, ya que cualquier variación en ella, llevaba a la inestabilidad del sistema, dato que se reconoció al ver la oscilación incontrolada del servomotor (Actuador), por lo que se hizo una sintonía fina a los parámetros Proporcional e

Integrativo que permitieron una acción de control mucho más acertada y precisa a lo que se deseaba

A la hora de diseñar un controlador para una planta, los métodos como ganancia ultima y Ziegler-Nichols son los más rentables por cuestiones del dinero que pierde la empresa al parar la planta solamente para parametrizarla, mientras que por dichos métodos, se lograr modelar matemáticamente el comportamiento con llevar el sistema a un estado críticamente estable (Ganacia Ultima) o con observar la planta y tabular datos obtenidos (Ziegler-Nichols) y tener un modelo más aproximado incluso que por métodos teóricos, ya que por más que se incluyan todas las variables que puedan influir en el comportamiento de la planta, no siempre va a simular fielmente a la realidad.

En el análisis matemático que modela el nivel de un tanque, los datos propiamente para nuestro caso denotan un muy alto tiempo de estabilización, lo cual por conocimientos previos adquiridos en catedra podemos deducir que se debe a un flujo de entrada mínimo.

Se puede afirmar con la ayuda del software Matlab que el sistema es estable ya que tiene un polo en el semiplano negativo.

Se puede ver claramente que el sistema es de reacción lenta puesto que no posee ceros.

Se puede concluir de la figura 2 que el sistema tarda mucho tiempo en llegar a su estabilidad, por eso la gráfica luce como una línea casi recta solo que al final se comienza a notar su curvatura y paralelamente una excitación muy pequeña puede traer repercusiones como esta.

Referencias

[1] SMITH J. R. et al. 1993. Transfer Function Identification in Power Systems Applications. IEEE Transactions on Power Systems, Ago 1993. [2] FELTES J. W. et al. Deriving Model Parameters from Field Test Measurements. IEEE Computer Applications in Power, Oct 2002. [3] IEEE Std 421.5. Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies. 1992. [4] BOTERO, H; RAMÍREZ, J.M. Identification of excitation systems – Methodology and Results. International Conference on Industrial Electronics and Control Application. Quito (2005

[5] RAMIREZ, J. M. et al. Modelos Matemáticos para los Reguladores de Velocidad y los Sistemas de Excitación de la Planta de Salvajina. Energía y Computación. No 2, 2000. [6] SAAVEDRA, A. J. Modelado Para Estudios de Estabilidad de los Sistemas de Control Velocidad y Excitación de la Central de Salvajina. Tesis de Maestría, Universidad del Valle, 2002. [7] SODERSTROM, TORSTEN. System Identification. Prentice Hall. 1989. [8] DAVIS, W.D.T. System Identification for Self Adaptive Control. Wiley Interscience. 1970. [9] LANDAU, IOAN DORE. . Identification et Commande des Systemes. Edition Hermés. 1993[10] LJUNG, L. System Identification: Theory for the User. Prentice Hall 1987. [11] SMITH C AND CORRIPIO C. Principles and Practice of Automatic Process Control. John Wiley and Sons, 2 ed, 1997. [12] OROZCO, MARTHA. Diseño e Implementación de un Regulador de Voltaje para un Generador Sincrónico. Tesis de Maestría en Ingeniería - Automática. Universidad del Valle. 2005. [13] IEEE Committee Report. (Digital Excitation Applications Task Force of the Excitation Systems Subcommittee). Computer Models for Representation of Digital - Based Excitation Systems. IEEE Transactions on Energy Conversion, Sep 1996.