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University Physics, Chapter 23 January 9, 2014 1

Potencial Eléctrico

Hemos estado estudiando el campo eléctrico Tema siguiente: el potencial eléctrico Tenga en cuenta la similitud entre la fuerza de la gravedad y

la fuerza eléctrica La gravitación puede ser descrita en términos de un

potencial gravitacional y vamos a demostrar que el potencial eléctrico es análogo

Veremos cómo el potencial eléctrico se relaciona con la energía y el trabajo

Vamos a ver cómo podemos calcular el potencial eléctrico a partir del campo eléctrico y viceversa

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Energía Potencial Eléctrica (1)

La fuerza eléctrica, como la fuerza de la gravedad, es una fuerza conservativa

Para una fuerza conservativa, el trabajo es independiente del camino

Cuando una fuerza electrostática actúa entre dos o más cargas dentro de un sistema, podemos definir una energía potencial eléctrica, U, en términos del trabajo realizado por el campo eléctrico, We, cuando el sistema cambia su configuración desde una configuración inicial a una configuración final. Change in electric potential energy = -Work done by electric field

is the initial electric potential energy is the final electric potential energy

f i e

i

f

U U U WUU

∆ = − = −

January 9, 2014 University Physics, Chapter 23 3


Energía Potencial Eléctrica(2)

Al igual que para la energía potencial gravitatoria o mecánica, hay que definir un punto de referencia al cual se pueda asignar el cero de la energía potencial eléctrica

Se define la energía potencial eléctrica sea cero cuando todas las cargas están infinitamente distantes

Podemos entonces escribir una definición más sencilla del potencial eléctrico tomando la energía potencial inicial cero,

The negative sign on the work:

• Si E hace trabajo positivo U < 0 • Si E hace trabajo negativo U > 0

0fU U U W∆ = − = = −

Moderador

Notas de la presentación

E does positive work if E and D are in the same direction E does negative work if E and D are in opposite directions.


Campo eléctrico constante Echemos un vistazo a la energía potencial eléctrica cuando movemos una

carga q una distancia d en un campo eléctrico constante

The definition of work is

For a constant electric field the force is … so the work done by the electric field on the charge is

W F d= ⋅

cosW qE d qEd θ= ⋅ =

Note: angle between and E dθ =

F qE=


Constant Electric Field - Special Cases

If the displacement is in the same direction as the electric field

• Una carga positiva pierde energía

potencial cuando se mueve en el sentido del campo eléctrico.

• If the displacement is in the direction opposite to the electric field

Una carga positiva gana energía potencial cuando se mueve en sentido opuesto al campo eléctrico.

qEdUqEdW −=∆= so so W qEd U qEd= ∆ = −

so W qEd U qEd= − ∆ =


Definición de Potencial Eléctrico

La energía potencial eléctrica de una partícula cargada en un campo eléctrico depende no sólo del campo eléctrico, sino también de la carga de la partícula

Queremos definir una cantidad que sea independiente de la carga de prueba

Definimos el potencial eléctrico como Unlike the electric field, which is a vector, the electric

potential is a scalar • Units: Volt, symbol V

1V = 1J/C

UVq

= “potential energy per unit charge of a test particle”


Potencial Eléctrico V The electric potential, V, is defined as the electric

potential energy, U, per unit charge

El potencial eléctrico es una característica del campo eléctrico, independientemente de si un objeto cargado se ha colocado en ese campo (porque U ∝ q)

The electric potential is a scalar The electric potential is defined everywhere in

space as a value, but has no direction

UVq

=


Diferencia de Potencial Eléctrico, ∆V (1)

La diferencia de potencial eléctrico entre un punto inicial i y el punto final f puede ser expresada en términos de la energía potencial eléctrica de q en cada punto

Por tanto, podemos relacionar el cambio en el potencial eléctrico con el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga

f if i

U U UV V Vq q q

∆∆ = − = − =

eWVq

∆ = −


Diferencia de Potencial Eléctrico, ∆V (2)

Tomando la energía potencial eléctrica cero en el infinito tenemos

donde We,∞ es el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga para traerla desde el infinito hasta x The electric potential can be positive, negative, or zero, but it has no direction (i.e., scalar not vector)

The SI unit for electric potential is joules/coulomb, i.e., volt.

,eWV

q∞= −

Explanation: i = ∞ , f = x, so that ∆V = V(x) − 0


El voltio

The commonly encountered unit joules/coulomb is called the volt, abbreviated V, after the Italian physicist Alessandro Volta (1745-1827)

With this definition of the volt, we can express the units of the electric field as

1 J1 V = 1 C

[ ] N J/m V[ ][ ] C C mFEq

= = = =


Energía cinética de un protón (1) Un protón se coloca entre dos placas

conductoras paralelas en el vacío como se muestra. La diferencia de potencial entre las dos placas es de 450 V. El protón se libera desde el reposo cerca de la placa positiva. ¿Cuál es la energía cinética del protón cuando llega a la placa negativa?

+ -

The potential difference between the two plates is 450 V.

The change in potential energy of the proton is ∆U, and ∆V = ∆U / q (by definition of V), so ∆U = q ∆V = e[V(−)−V(+)] = −450 eV


Energía cinética de un protón(2)

En Física Nuclear y en Física de Altas energías se utiliza

generalmente el eV como unidad de energía Un eV es la energía adquirida por un carga e que acelera a través de

un potencial eléctrico de 1 voltio

The proton in this example would gain kinetic energy of 450 eV = 0.450 keV.

191 eV 1.6022 10 J−= ⋅

initial final Conservation of energy

∆K = − ∆U = + 450 eV

Because the proton started at rest,

K = 1.6x10-19 C x 450 V =

7.2x10-17 J

University Physics, Chapter 23

Equipotential surface from eight point charges fixed at the corners of a cube

January 9, 2014 14

Equipotential Surfaces and Lines

En presencia de un campo eléctrico, el potencial toma un valor en cada punto x V(x) = potential function

Los puntos próximos que tienen el mismo potencial eléctrico forman una superficie equipotencial i.e., V(x) = constant value

Si una partícula cargada se mueve sobre una superficie equipotencial, no se realiza trabajo

Las superficies equipotenciales existen en 3D.

A menudo se nos aprovecharemos de simetrías en el potencial eléctrico para representar las superficies equipotenciales como líneas equipotenciales en un plano


Si una partícula cargada se mueve perpendicularmente a las líneas de campo eléctrico, no se realiza trabajo

Si el trabajo realizado por el campo eléctrico es cero,

entonces el potencial eléctrico debe ser constante

Por lo tanto, las superficies equipotenciales deben ser siempre perpendicular a las líneas de campo eléctrico

General Considerations

∆V = −

We

q= 0 ⇒V is constant

0 if W qE d d E= ⋅ = ⊥


Campo eléctrico constante Las líneas de campo eléctrico: líneas rectas paralelas a E Superficies equipotenciales: Planos perpendiculares a E Líneas equipotenciales: Rectas perpendiculares a E


Carga puntual

Las líneas de campo eléctrico: líneas radiales que emanan del punto de carga Superficies equipotenciales: esferas concéntricas Líneas equipotenciales: Círculos concéntricos

Positive charge Negative charge


Dos cargas puntuales opuestas

Las líneas de campo eléctrico se originan en la carga positiva y terminan en la carga negativa

Las líneas equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico

Las líneas rojas representan potencial positivo Las líneas azules representan el potencial negativo Cerca de cada carga, las líneas equipotenciales se parecen a las de una carga puntual


Dos cargas puntuales idénticas

Las líneas de campo eléctrico se originan en la carga positiva y terminan en el infinito

Las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico

Hay potenciales sólo positivos Cerca de cada carga, las líneas equipotenciales se asemejan a las de una carga puntual


Obtener el potencial a partir del campo

Trabajo dW realizado sobre una carga q por una force F en un desplazamiento ds:

Trabajo W realizado por la fuerza eléctrica sobre la partícula cuando se mueve en el campo E desde un punto inicial i hasta un punto final f

Diferencia de potencial:

Potencial en el punto x:

dW F ds qE ds= ⋅ = ⋅

f

iW qE ds= ⋅∫

fef i i

WV V V E dsq

∆ = − = − = − ⋅∫

(Convention: i = ∞, f = x) ( )

xV x E ds

∞= ⋅∫


Ejemplo (1)

Dado E uniforme, encontrar la diferencia de potencial Vf −Vi al mover una carga de prueba q0 a lo largo del camino icf, donde cf forma un ángulo de 45 º con el campo. Idea: Integrate along

the path connecting i and c, then c and f. (Imagine that we move a test charge q0 from i to c and then from c to f.) ( ) ( ) ( ) ( )c f

f i f c c i i cV V V V V V E ds E ds− = − + − = − ⋅ + − ⋅∫ ∫

E ds⋅


Ejemplo(2)

12

0 (ds perpendicular to E)

cos(45 ) distance

c f

f i i c

c

i

f f

c c

V V E ds E ds

E ds

E ds E ds E

− = − ⋅ − ⋅

⋅ =

⋅ = ° = × ×

∫ ∫

∫

∫ ∫

distance = sqrt(2) d by Pythagoras

f iV V Ed− = −El resultado es el mismo que si hubiéramos tomado el camino directo de i hasta f, sin pasar por c, porque el campo E es conservativo!!


Potencial creado por una carga puntual (1) We’ll derive the electric potential for a point source q, as a

function of distance R from the source • That is, V(R)

Remember that the electric field from a point charge q at a distance r is given by

The direction of the electric field from a point charge is always radial • V is a scalar

We integrate from distance R (distance from the point charge) along a radial to infinity:

2ˆ( ) kqE r r

r=

2R RR

kq kq kqV E ds drr r R

∞∞ ∞ = = = − = ∫ ∫ •


Potencial creado por una carga puntual(2)

El potencial eléctrico V creado por una carga q puntual a una distancia r es

Positive point charge

Negative point charge ( ) kqV rr

=


Potencial creado por varias cargas puntuales (1)

Calculamos el potencial eléctrico de un sistema de n cargas puntuales sumando las funciones potenciales de cada carga

Esta suma produce un potencial eléctrico en todos los puntos en el espacio : una función escalar

El cálculo del potencial eléctrico de un grupo de cargas puntuales es por lo general mucho más simple que el cálculo del campo eléctrico porque es un escalar

1 1

n ni

ii i i

kqV Vr= =

= =∑ ∑


Potencial creado por varias cargas puntuales(2)

Assume we have a system of three point charges: q1 = +1.50 µC q2 = +2.50 µC q3 = -3.50 µC

q1 is located at (0,a) q2 is located at (0,0) q3 is located at (b,0) a = 8.00 m and b = 6.00 m

Question: What is the electric potential at point P located at (b,a)?


Potencial creado por varias cargas puntuales(3)

Answer: The electric potential at point P is

given by the sum of the electric potential from the three charges

V =

kqi

rii=1

3

∑ = kq1

r1

+q2

r2

+q3

r3

= k

q1

b+

q2

a2 + b2+

q3

a

V = 8.99 ⋅109 N/C( ) 1.50 ⋅10−6 C6.00 m

+2.50 ⋅10−6 C

8.00 m( )2+ 6.00 m( )2

+−3.50 ⋅10−6 C

8.00 m

V = 562 V

r1

r2 r3


Obtener el campo a partir del potencial(1)

dW = q E •ds Por tanto −q dV =q E •ds ⇒ E •ds = − dV Si nos fijamos en la componente del campo eléctrico a lo

largo de la dirección del ds, podemos escribir la magnitud del campo eléctrico como la derivada parcial a lo largo de la dirección de s

V = −

We,∞

q

SVEs

∂= −

∂


Energía potencial de dos cargas

Colocamos la carga q1 • No requiere trabajo, no hay ningún campo

Traemos la segunda carga (q2) del infinito hasta la distancia r de q1 • Esto requiere un trabajo q2V1(r) La energía de las dos cargas es con es decir

2 1( )U q V r= 1

1( ) kqV rr

= 1 2kq qUr

=

Si las dos cargas puntuales tienen el mismo signo, entonces tenemos que hacer un trabajo positivo para reunirlas (es decir, hay que poner la energía en el sistema) Si las dos cargas tienen signos opuestos, hay que hacer un trabajo negativo sobre el sistema (es decir, la energía se libera del sistema)


Energía potencial de tres cargas

Consider three point charges at fixed positions arranged an equal distance d from each other with the values • q1=+q • q2=-4q • q3=+2q

Question: What is the electric potential

energy U of the assembly of these charges?


Colocarq1 no cuesta trabajo

Dada q1 en su lugar, traer q2

Traer q3 requiere U = U12+ U13+ U23

U = U12

Energía potencial de tres cargas


Potencial debido a tres cargas

Consider the system of 3 charges as indicated in the figure. Relative to V=0 at infinity, what is the electric potential V at point C, the center of the triangle?

Potencial en C = k V(C)=0

C

31 2( ) , where 2cos(30 )

qq q dV C RR R R

= + + =

2( ) 0q q qV CR R R

+ − +⇒ = + + =

q1=+q, q2=-2q, q3=+q


Example: Four Charges (1)

Consider a system of four point charges as shown. The four point charges have the values q1 =+1.0 µC, q2 = +2.0 µC, q3 = -3.0 µC, and q4 = +4.0 µC. The charges are placed such that a = 6.0 m and b = 4.0 m.

Question: What is the electric potential

energy of this system of four point charges?



Start: Bring in q1 from infinity • No work required

Bring in q2 from infinity



q1

q2

q3

q4

a

1 2q qU ka

=

1 3 2 31 22 2

q q q qq qU k k ka b a b

= + ++

b

1 3 2 3 3 41 2 1 4 2 42 2 2 2

q q q q q qq q q q q qU k k k k k ka b b aa b a b

= + + + + ++ +

Moderador

Notas de la presentación

One step at a time. We have to calculate the potential for each pair.



1 31 2 1 42 2

2 3 3 42 42 2

q qq q q qU ka b a b

q q q qq qb aa b

= + + +

+ + + +

Energy of the complete assembly:

= sum of pairs

Answer: 1.2 · 10-3 J


Example: 12 Electrons on a Circle Question: Consider a system of 12 electrons

arranged on a circle with radius R as indicated in the figure. Relative to V=0 at infinity, what are the electric potential V and the electric field E at point C?

Answer:

• Draw the picture • This is a two-part question

• Part I is about the electric potential • Part II is about the electric field

The task is to find both at the center

of a circle.

Part I: The question did not ask about assembling this system of electrons. Instead, use symmetry and super-position principle for 12 point charges.

Part II: Use symmetry and consider pairs of charges on opposite sides


Example: 12 Electrons on a Circle

Part I: Superposition principle:

Part II: pair of electrons on opposite ends of the circle produce fields at the center that cancel each other.

( ) ( )12

1

12( )

i

e eV C k k

R R=

− −= =∑

( ) 0E C =

Symmetry dictates that the field be 0, otherwise, which direction would the field vector point?

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