El misterio

del número

áureo

Fi

El misterio

del número

áureo

El misterio

del número

Se le llama también númerFidias, es un número irracional.

Este número posee características especiales y fue descubierto no como un número cualquiera sino como la relación entre dos segmentos. Esta propiedad se encuentra en algunas figuras geométricas de la naturaleza, como en las flores o en los caracoles. La proporción aurea se dice que es la proporción bella de las cosas y se ha atribuido arte y a la arquitectura.

De todos los rectángulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se trdel rectángulo áureo o de oro. Se denomina así porque la razón que existe entre su lado mayor y el menor es un número muy especiales denominarazón aurea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el único con la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonal tiene asimismo una propiedad particular. Y además se encuentra en innumerabartísticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantástico que todas las tarjetas de crédito son rectangulares de oro.

La relación es: el segmento de a + el segmento de b / el segmento a = al segmento a / el segmento b, donde el segmento b es el segmento menor.

No es necesario la utilización de instrumentos de medida como reglas solo tienes que seguir estos simples pasos:

1-Primero dibuja dos cuadrados con el ancho AB que queremos que tenga el rectángulo. Dibújalos uno junto al otro.

2-Traza la diagonal del rectángulo que has obtenido con los dos cuadrados.

3-Por el extremo inferior derecho traza una perpendicular a la diagonal anterior (en puntos) que proporciona el punto C.

4-El rectángulo que pasa por C es el rectestá.

¿Cómo saber si es un rectángulo áureo?

Se puede averiguar muy fácilmente si un rectángulo es áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión. Trazar la diagonal AC y prolongarla. Si dicha diagonal pasa por N tenemos un rectángulo áureo. Puedes probar también con un documento nacional de identidad y comprobarás que también es de oro.

Las tarjetas de crédito son todas iguales en forma y tamaño. Si las mides que sus lados miden 8,5 y 5,3 cm

Se le llama también número de oro, y se le llama número fi en honor al escultor griego, es un número irracional. Es igual a:

Este número posee características especiales y fue descubierto no como un número cualquiera sino como la relación entre dos segmentos. Esta propiedad se encuentra en algunas figuras geométricas de la naturaleza, como en las flores o en los caracoles. La proporción aurea se dice que es la proporción bella de las cosas y se ha atribuido

De todos los rectángulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se tro de oro. Se denomina así porque la razón que existe entre su

lado mayor y el menor es un número muy especiales denominado númerorazón aurea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el único con la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonal tiene asimismo una propiedad particular. Y además se encuentra en innumerabartísticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantástico que todas las tarjetas de crédito son rectangulares de oro.

Definición

La relación es: el segmento de a + el segmento de b / el segmento a = al segmento a / segmento b es el segmento menor.

¿Cómo hacerlo?

No es necesario la utilización de instrumentos de medida como reglas solo tienes que seguir estos simples pasos:

Primero dibuja dos cuadrados con el ancho AB que queremos que tenga el uno junto al otro.

Traza la diagonal del rectángulo que has obtenido con los dos cuadrados.

Por el extremo inferior derecho traza una perpendicular a la diagonal anterior (en puntos) que proporciona el punto C.

El rectángulo que pasa por C es el rectángulo áureo que queríamos dibujar, y ya

¿Cómo saber si es un rectángulo áureo?

Se puede averiguar muy fácilmente si un rectángulo es áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión. Trazar la diagonal AC y prolongarla. Si icha diagonal pasa por N tenemos un rectángulo áureo. Puedes probar también con

un documento nacional de identidad y comprobarás que también es de oro.

El rectángulo de las tarjetas

Las tarjetas de crédito son todas iguales en forma y tamaño. Si las mides que sus lados miden 8,5 y 5,3 cm respectivamente. Si efectúas la división de esas

i en honor al escultor griego

Este número posee características especiales y fue descubierto no como un número cualquiera sino como la relación entre dos segmentos. Esta propiedad se encuentra en algunas figuras geométricas de la naturaleza, como en las flores o en los caracoles. La proporción aurea se dice que es la proporción bella de las cosas y se ha atribuido al

De todos los rectángulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se trata o de oro. Se denomina así porque la razón que existe entre su

número de oro o razón aurea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el único con la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonal tiene asimismo una propiedad particular. Y además se encuentra en innumerables obras artísticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantástico que todas las tarjetas de

La relación es: el segmento de a + el segmento de b / el segmento a = al segmento a /

No es necesario la utilización de instrumentos de medida como reglas solo tienes que

Primero dibuja dos cuadrados con el ancho AB que queremos que tenga el

Traza la diagonal del rectángulo que has obtenido con los dos cuadrados.

Por el extremo inferior derecho traza una perpendicular a la diagonal anterior (en

ángulo áureo que queríamos dibujar, y ya

Se puede averiguar muy fácilmente si un rectángulo es áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión. Trazar la diagonal AC y prolongarla. Si icha diagonal pasa por N tenemos un rectángulo áureo. Puedes probar también con

un documento nacional de identidad y comprobarás que también es de oro.

Las tarjetas de crédito son todas iguales en forma y tamaño. Si las mides comprobaras la división de esas dos

medidas obtienes 1’6, que es casi el número FI. Cuando en un rectángulo sus lados están en esta razón se dice que es un rectángulo áureo o de oro. Veremos quenecesidad de medir los rectángulos podemos saber si son o no áureos

Este número fue utilizado por todos los arquitectos y escultores de alrededor de 2000 a.C. pero de forma inconsciente, Euclides hizo un estudio sobre este número en el 300-265 a.C. quien la defino de esta forma:

“Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”

Otro que hizo un estudio sobre él, fue Platón en el 428

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

En 1571-1630, Johannes Kepler desarrollo un sistema que estaba basado en el número áureo que pensaba que todo el Universo tenía una relacióy dijo:

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos deno

Angulo de oro

.

.

.

El número también se puede expresar así:

medidas obtienes 1’6, que es casi el número FI. Cuando en un rectángulo sus lados están en esta razón se dice que es un rectángulo áureo o de oro. Veremos quenecesidad de medir los rectángulos podemos saber si son o no áureos

Historia

Este número fue utilizado por todos los arquitectos y escultores de alrededor de 2000 a.C. pero de forma inconsciente, Euclides hizo un estudio sobre este número en el

5 a.C. quien la defino de esta forma:

“Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”

Otro que hizo un estudio sobre él, fue Platón en el 428-347 a.C. que lo definió así:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio

1630, Johannes Kepler desarrollo un sistema que estaba basado en el número áureo que pensaba que todo el Universo tenía una relación de FI (1’6....)

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Propiedades

Propiedades algebraicas

El número también se puede expresar así:

medidas obtienes 1’6, que es casi el número FI. Cuando en un rectángulo sus lados están en esta razón se dice que es un rectángulo áureo o de oro. Veremos que sin

Este número fue utilizado por todos los arquitectos y escultores de alrededor de 2000 a.C. pero de forma inconsciente, Euclides hizo un estudio sobre este número en el

“Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”

que lo definió así:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio

1630, Johannes Kepler desarrollo un sistema que estaba basado en el n de FI (1’6....)

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos

minar una joya preciosa”

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intercepta a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cobtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrinfinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentángulo interiode los brazos de la estrella mayor, o sea aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

En la naturaleza hay muchos elementáurea y/o los números de Fibonacci:

-La disposición de los pétalos de las flores.

Triangulo de Kepler

En el pentagrama

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intercepta a otro segmento

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triconocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentángulo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

En la naturaleza hay muchos elementos que siguen están relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

La disposición de los pétalos de las flores.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intercepta a otro segmento

inco . Estos triángulos se

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del ella, con una recursividad hasta el

infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de

r, resulta igual a la longitud de cualquiera úmero de veces en que

aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

os que siguen están relacionados con la sección

-La distribución de las hojas en un tallo.

-La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.

-La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144.

-La relación entre la distancia entre las espirales del interior de la espiral de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilos. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas

-Para que las hojas esparcidas de una planta o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ).

El número áureo en el arte

-Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh.

-En la obra de Leonardo da Vinci. La relación entre los brazos, las piernas, la cabeza… está relacionada con el número áureo.

-La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo.

-En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

-En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

-El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.

-En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude Debussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).

-En la conformación de la estructura de la Torre Eiffel.

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8

A cada elemento de esta sucesión se le llama númedescrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en cbiológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y as que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci,

En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude

compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).

En la conformación de la estructura de la Torre Eiffel.

La serie de Fibonacci

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos , 1, 1, 2, 3, 5, 8...)

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Propiedades

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y as que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci,

En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude

compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera

mal llamada serie de Fibonacci) es

La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos

ro de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la

onfiguraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las