1 Introducción

7

1 Introducción

El tratamiento digital de señales multitasa (o de tasa múltiple) se ocupa del cambio de la tasa

de muestreo de una señal discreta en el tiempo. En particular, el proceso de incrementar la tasa

de muestreo se conoce con interpolación, y la estructura multitasa utilizada en esta operación se

le llama interpolador.

El proceso se puede conseguir de varias formas, aquí se estudiará la técnica basada en

conservar la forma espectral de la señal.

Supongamos una señal de entrada [ ]x n a la cual se le añaden 1L − muestras de valor cero

después de cada muestra original, obteniendo la nueva señal [ ]ux n . A este proceso se le

denomina sobremuestreo y será el primer paso que deberemos seguir para interpolar nuestra

señal.

Veamos que pasa tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia en el proceso de

sobremuestreo (con un factor de 4L = ).

1 Introducción

8

Ilustración 1-1: Proceso de sobremuestreo en el dominio del tiempo

Ilustración 1-2: Proceso de sobremuestreo en el dominio de la frecuencia

1 Introducción

9

Como se observa en estas figuras, el efecto del sobremuestreo en el tiempo es el

anteriormente comentado, mientras que en la frecuencia se produce un plegado. Dicho plegado

hace que el espectro original se vea comprimido en frecuencia por un factor L , y que aparezcan

1L − imágenes del espectro original. En este caso, al ser 4L = , aparecen 3 imágenes

centradas en las frecuencias 2 /i L⋅ , 1, 2,... 1i L= − .

Nuestro método se basa en conservar la forma espectral de la señal, así que habrá que

eliminar las imágenes que han aparecido en el espectro. Para ello, no necesitaremos más que un

filtro paso baja1. Dicho filtro debe mantener intacto el espectro original y eliminar las imágenes,

cumpliendo una serie de especificaciones que se establecerán más adelante.

Así, el proceso completo de interpolación consiste en la conexión en serie de un

sobremuestreador y un filtro paso baja como se muestra en la siguiente estructura.

Ilustración 1-3: Esquema de un interpolador

Observemos que ocurre temporal y frecuancialmente al filtrar la señal [ ]ux n .

1 Esto es así porque se supone que la señal de entrada [ ]x n es de tipo paso baja. Si [ ]x n fuera del tipo paso banda o paso alta, el filtro sería del tipo paso banda o paso alta.

1 Introducción

10

Ilustración 1-4: Proceso de filtrado en el dominio del tiempo

Ilustración 1-5: Proceso de filtrado en el dominio de la frecuencia

1 Introducción

11

Como se observa, el resultado del proceso es el deseado. En el dominio del tiempo se aprecia

que la forma de la señal es la misma, solo que con mayor número de muestras, es decir, se han

interpolado 1L − nuevas muestras entre cada una de las originales.

También es intuitivo entender lo que ocurre en el dominio de la frecuencia. La señal

interpolada, en comparación con la señal original tiene su rango de frecuencias en zonas más

bajas del espectro normalizado pero mantiene misma forma. Podemos decir que tenemos la

misma señal, pero muestreada a una frecuencia mayor, de hecho, la frecuencia de muestreo

queda multiplicada por el factor L .

1.1 Ejemplo ilustrativo del proceso de interpolación

A continuación se ilustra un ejemplo en el que se obtienen grandes ventajas gracias al uso de

la interpolación.

En un reproductor de CD se deben convertir los datos almacenados digitalmente en audio

analógico, para que pueda ser aplicado a un altavoz. En la siguiente figura se muestra el

esquema estándar necesario para efectuar dicha conversión.

Ilustración 1-6: Conversión de una señal digital a su representación analógica

Como se observa, el proceso consta de tres fases. El convertidor digital-analógico traduce los

valores eléctricos que corresponden con palabras binarias en valores de corriente o voltaje

proporcionales a dichas palabras. El convertidor digital-analógico no produce una salida

constante, tarda un determinado tiempo de establecimiento en mantenerse estable, por lo que se

recurre al uso del “sampling and hold” (S&H). El S&H consigue que a su salida se tengan

pulsos rectangulares de anchura igual al tiempo de pulso y cuya amplitud es la de la salida del

1 Introducción

12

conversor digital-analógico. Por último, el filtro paso baja se encarga de suavizar la señal,

eliminando las imágenes de alta frecuencia no deseadas.

Observemos la evolución de la señal en cada punto de la estructura.

Ilustración 1-7: Evolución de la señal en el dominio del tiempo

1 Introducción

13

Ilustración 1-8: Evolución de la señal en el dominio de la frecuencia

En la figura 1-8 se muestra el espectro de las señales mostradas en la figura 1-7. Se supone

que el ancho de la señal en banda base es de 20 kHz y la frecuencia de muestreo del

reproductor de CD de 44.1 kHz. El espectro de la señal muestreada es la suma de los espectros

de la señal original desplazados cada 44.1 kHz. El proceso de sustituir estos pulsos por

rectángulos de anchura igual al tiempo de pulso es equivalente a filtrarlos con un filtro de

respuesta rectangular de igual anchura en el dominio del tiempo. La respuesta frecuencial de

este filtro es un sin( / 44.1)x xπ ⋅ . Como se observa en la ilustración esta respuesta vale cero

en los múltiplos de la frecuencia de muestreo, lo que elimina las frecuencias centrales de las

copias del espectro y atenúa sus lóbulos laterales, mientras que distorsiona levemente el

espectro original en banda base.

El filtro paso baja analógico tiene varios objetivos. Primero, debe seguir atenuando las

componentes frecuenciales resultantes del proceso de muestreo que han sido parcialmente

atenuadas por el mantenedor de orden cero. Para cumplir este propósito se necesitarán órdenes

relativamente altos, lo que se traducirá en un precio relativamente elevado. Este orden elevado

se debe a la estrechez de la banda de transición, que tiene su comienzo en las últimas

1 Introducción

14

frecuencias de la señal, a 20 kHz y su fin en el comienzo de la primera copia, es decir, en 24.1

kHz. El segundo objetivo es la corrección de la distorsión introducida por el mantenedor de

orden cero sobre el espectro original. El tercer objetivo es que el filtro no introduzca distorsión

en el retraso de grupo sobre la banda de frecuencias de interés. Por último, se exige que dicho

filtro no supere un determinado precio, por ejemplo, 0.50 €. Planteado de esta forma, el

problema no tiene solución.

En este punto cuando se recurre a los filtros de interpolación. En la siguiente figura se expone

la modificación de la estructura original donde se ha introducido un interpolador de factor

4L = antes de aplicar el convertidor digital-analógico.

Ilustración 1-9: Conversión de una señal digital a su representación analógica haciendo uso de un interpolador.

Veamos que es lo que ocurre en ambos dominios con la señal a lo largo de la estructura.

1 Introducción

15

Ilustración 1-10: Evolución de la señal en el dominio del tiempo

Ilustración 1-11: Evolución de la señal en el dominio de la frecuencia.

1 Introducción

16

En esta nueva estructura, se incrementa digitalmente la frecuencia de muestreo de la señal de

entrada, pasando de 44.1 kHz a 176.4 kHz. Gracias a esto, la primera imagen que deberemos

atenuar con el filtro paso baja analógico ya no se encontrará centrada en 44.1kHz, sino en

176.4 kHz. En realidad las imágenes anteriores han sido eliminadas por el filtro paso baja del

interpolador, pero si bien resultaba costoso implementar el filtrado analógicamente, no hay

ningún problema al efectuarlo de forma digital.

Cuando volvemos a analizar los objetivos que debe cumplir el filtro paso baja analógico

vemos que han mejorado considerablemente. Primero, la banda de transición que antes partía de

20 kHz hasta 24.1 kHz se ha visto considerablemente ampliada hasta los 176.4 20 156.4− =

kHz, lo que reducirá considerablemente el orden requerido. En segundo lugar, el filtro analógico

ya no deberá preocuparse de corregir la distorsión introducida por el mantenedor de orden cero,

ya que esta se incluye en el filtro digital del filtro de interpolación. Teniendo en cuenta estas

novedades, podemos concluir que ahora si somos capaces de cumplir con el objetivo

económico, sustituyendo el costoso filtro analógico original por un filtro digital y otro

analógico, ambos de bajo coste.

Los reproductores de CD que implementan esta técnica se identifican como sobremuestreados

en relación 4-1.

1.2 Sistemas multietapa

Anteriormente se ha estudiado el proceso de interpolación de una señal. Mediante este

proceso, a partir de una señal [ ]x n muestreada a una determinada frecuencia xF , conseguimos

otra señal [ ]y n , con idéntico contenido espectral pero con una frecuencia de muestreo

y xF F L= ⋅ . Este diseño se muestra en la siguiente figura:

Ilustración 1-12: Sistema básico de un interpolador

1 Introducción

17

El mismo resultado se obtiene dividiendo el proceso anterior en dos etapas. Cada etapa tiene

la misma estructura que el primer diseño, formada por un sobremuestreador y un filtro, como ya

se ha comentado. Si cada etapa interpola en un factor 1L y 2L respectivamente, la señal a la

salida tendrá una frecuencia de muestreo 1 2y xF F L L= ⋅ ⋅ . Este otro diseño se muestra a

continuación:

Ilustración 1-13: Interpolador de varias etapas

Esta implementación se puede extrapolar para cualquier número n de etapas, obteniendo un

factor total de interpolación de 1 2 ... nL L L L= ⋅ ⋅ ⋅ .

El objetivo de este proyecto es comparar las ventajas ofrecidas por cada implementación y

hallar la opción óptima, con el criterio de minimizar el coste computacional, medido en número

de multiplicaciones por muestra de salida. Los parámetros que podremos variar son los

siguientes:

• Tipo de filtro.

• Número de etapas.

• Distribución del factor de interpolación en cada una de las etapas.

1.3 Especificaciones

De aquí en adelante se establecen una serie de especificaciones que deben cumplir los

sistemas diseñados, a fin de poder comparar las distintas soluciones.

El factor total de interpolación es de 128L = y las especificaciones que deben cumplir los

filtros son las siguientes, donde sF es la frecuencia de muestreo de la señal de entrada.

1 Introducción

18

Banda de frecuencias Magnitud

Máximo rizado en la banda de paso

0.45 sF< ⋅ 0.1dB

Mínima atenuación en la banda de rechazo

0.55 sF> ⋅ 50dB

Ilustración 1-14: Especificaciones de los filtros

Como hemos comentado en el apartado anterior, un interpolador se puede implementar de

varias formas. Si se implementa con una sola etapa, estas especificaciones son directamente las

que tiene que cumplir el único filtro del sistema. En el caso de que se implemente como la

conexión en serie de varias etapas, las especificaciones anteriores deben ser alcanzadas

mediante los sucesivos filtrados, lo que se traducirá en unas nuevas especificaciones para cada

uno de los filtros. Estas especificaciones serán más relajadas debido a que ya sabemos de

antemano determinadas características de la señal que entra en cada etapa, como por ejemplo

que estará limitada en banda a un rango de frecuencias, pues ya ha sufrido un proceso de

interpolación que ha plegado su espectro.

Estas nuevas especificaciones se estudiarán con más detalle en el capítulo 3

1.4 Contenido del documento

En el siguiente capítulo se estudiará con más detalle las clases de filtros paso baja que se

usarán en los interpoladores, así como su diseño mediante Matlab. Las clases de filtros

contemplados serán los de Butterworth, Chebyshev, elípticos, Kaiser, Parks-McClellan y

Schuessler.

En el capítulo 3 se examinará con detenimiento el diseño de filtros de interpolación, y en

concreto la implementación en varias etapas. Se deducirán las especificaciones necesarias para

los filtros de los sistemas multietapa y se presentarán los órdenes necesarios para cada una de

estas implementaciones.

En el capítulo 4 se realiza un análisis del coste computacional de un filtro de interpolación,

medido en número de multiplicaciones por muestra de salida. Se presentarán las bases teóricas

de la técnica de descomposición polifásica y el ahorro en coste computacional que ésta nos

1 Introducción

19

permite alcanzar. Se analizará, el coste computacional en sistemas de una sola etapa y sistemas

multietapa y se presentarán datos concretos para cada caso.

En el capítulo 5 se encarga de comparar los distintos diseños y discutir como mejora el coste

computacional variando algunos parámetros del sistema. Se discutirán cuantitativamente las

ventajas de los sistemas multietapa frente a los de etapa simple, la distribución óptima del factor

de interpolación en cada etapa y cual es la mejor opción a la hora de elegir el tipo de filtro.

En el último capítulo se presentarán las conclusiones fundamentales a las que se ha llegado, a

si como unas posibles líneas futuras de trabajo.