Perspectiva histórica acerca

del origen y evolución del

concepto de derivada

Juan Carlos Ponce Campuzano c©

j.ponce@uq.edu.au

UQ

2015

1

Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes.

Isaac Newton

3

Contenido

1. Introducción 7

2. El contexto de las matemáticas del siglo XVII en Europa 8

3. Primera etapa: Cálculo de máximos, mínimos y tangentes 10

4. Segunda etapa: Tangentes, áreas y razones de cambio 16

5. Tercera etapa: Ecuaciones diferenciales y series de Taylor 20

6. Cuarta etapa: Definición y rigor 22

6.1. Lagrange y la derivada considerada como una función . . . . 22

6.2. Definiciones, rigor y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . 26

7. Comentarios finales: La importancia histórica de

la evolución del concepto de derivada 30

Referencias 32

5

1. Introducción

El concepto de derivada es fundamental en el cálculo debido a sus múl-

tiples aplicaciones. Por ejemplo, se utiliza para calcular la velocidad y ace-

leración instantánea de un cuerpo en movimiento; los valores máximos y

mínimos de funciones; asimismo se usa para optimizar la producción y ga-

nancias o minimizar costos de operación.

El concepto de derivada se estudia desde niveles pre universitarios hasta

niveles avanzados de matemáticas. Básicamente, la derivada de una función

es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función

matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Esta idea

está basada esencialmente en la noción de límite como se puede apreciar en

la siguiente definición:

Sea f : [a, b] ⊂ R→ R y c ∈ R. La función f es diferenciable en el

punto c, si existe el siguiente límite:

lımx→c

f (x)− f (c)x− c

.

A este límite, cuando existe, se le denota por f ′(c).

Esta definición se encuentra en la mayoría de los libros de cálculo, sal-

vo algunas variaciones, pues es un concepto universalmente aceptado por

la comunidad matemática. Pero ¿cómo es que se concibió esta definición?

¿Cómo es que ha llegado hasta nosotros actualmente? ¿Cuál es su origen?

¿Quienes la establecieron?

Históricamente, podemos describir cuatro etapas en el desarrollo del con-

cepto actual de derivada. Primero, la derivada se utilizó, después se descu-

brió, posteriormente se exploró y desarrolló y, finalmente, se definió [10, p.

195]. Es decir, ejemplos de lo que actualmente reconocemos como derivadas

7

se usaron primeramente en un contexto particular para resolver problemas.

Entonces se identificó el concepto general inmerso detrás de estos usos, co-

mo parte de la invención del cálculo. Después muchas de las propiedades

de la derivada fueron explicadas y desarrolladas en aplicaciones matemáti-

cas y físicas. Finalmente, se estableció una definición precisa del concepto

de derivada dentro de una teoría rigurosa.

En este documento presento una historia compacta del origen y evolu-

ción del concepto de derivada. Cabe enfatizar que se trata de «una» historia

y no de «la» historia de la derivada, debido a que no cumple con los obje-

tivos de un historiador experto. La razón es que describo ideas del pasado

desde un punto de vista actual, lo cual es considerado inapropiado por los

historiadores. Sin embargo, considero apropiado, y defendible, comenzar

desde lo que ya conocemos y preguntarnos de dónde vienen esas ideas.

2. El contexto de las matemáticas del siglo XVII en Europa

En 1591 François Viète (1540-1603) inventó el álgebra simbólica. Por otra

parte, René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) inventa-

ron de manera independiente la geometría analítica en 1630. En esencia, la

geometría analítica significaba, primero, que las curvas podían representar-

se por medio de ecuaciones; segundo, que cada ecuación determinaba una

curva.

Los griegos y musulmanes ya habían estudiado ciertas familias de curvas,

pero principalmente se enfocaron en el círculo y las secciones cónicas e

incluso algunas otras curvas definidas por medio de lugares geométricos.

Muchos problemas se habían resuelto para este tipo de curvas, incluyendo

el cálculo de tangentes y áreas. A inicios del siglo XVI, con el uso del álgebra,

los estudiosos de la geometría de las curvas se encontraron con una nueva

8

gama de curvas para estudiar y analizar, dado que cada ecuación podía

ahora producir una curva. Con estas nuevas curvas, los antiguos métodos

de la geometría sintética eran insuficientes. Una pregunta que aquí surge es:

¿Cómo podríamos describir las propiedades de la tangente en un punto

arbitrario a una curva definida por un polinomio de grado 36?

Los griegos sabían como trazar tangentes para cierto tipo de curvas. Ellos

habían definido una tangente como la línea que toca una curva en un solo

punto pero sin cortarla. Esta definición resultaba apropiada para la circun-

ferencia pero no lo era para otro tipo de curvas. Por ejemplo, en el siglo III

a.C., Apolonio de Pérgamo (262-190 a. C.) definió la tangente a una sección

cónica y procedió a determinarla en cada caso. Las técnicas para el cálculo

de tangentes eran dentro de un contexto geométrico. Para curvas como la

espiral de Arquímedes estas técnicas no eran de gran utilidad. Arquímedes

(287-212 a. C) sabía trazar las tangentes a su espiral y se cree que para ello

consideró el problema desde un punto de vista cinemático, calculando la

dirección del movimiento de un punto que genera la espiral.

¿Cómo se definía entonces la tangente en el punto (0, 0) para la

curva y = x3 (Figura 1), o la tangente en un punto a una curva

con muchos puntos críticos (Figura 2)?

El estudio de las nuevas curvas implicaba nuevos retos. Surgieron tam-

bién nuevos problemas relacionados con el estudio de áreas y de longitudes

de arco. Cabe mencionar que los griegos incluso abordaron ciertos proble-

mas relacionados con el cálculo de máximos y mínimos (extremos) a los

cuales llamaron problemas isoperimétricos. Un problema clásico considerado

por ellos es el siguiente:

9

Figura 1: y = x3 Figura 2: y = 110 x2 sin 10

x + 110 x

De todas las figuras planas con el mismo perímetro, ¿cuál es la de mayor área?

La respuesta es el círculo, por supuesto, pero los griegos no contaban con

un método general para resolver este tipo de problemas. Se podría decir que

estuvieron limitados por su geometría sintética.

Los matemáticos del siglo XVII tenían la esperanza de que la nueva álge-

bra simbólica pudiera ayudar, de alguna manera, a resolver todos los pro-

blemas de extremos. Asimismo, se enfocaron también en problemas clásicos

de tangentes y áreas, los cuales fueron extendidos, y cuyas soluciones surgi-

rían del uso de las nuevas herramientas: el álgebra simbólica y la geometría

analítica.

3. Primera etapa: Cálculo de máximos, mínimos y tangentes

El método de Fermat para calcular máximos y mínimos data de la década

de 1630 [9]. Fermat ilustró su método al abordar un problema simple, cuya

solución es bien conocida:

10

Dada una línea, dividirla en dos partes de tal manera

que el producto de las partes sea un máximo.

Sea B la línea designada y A la primera parte de la línea (ver Figura 3).

Figura 3:

Entonces la segunda partes es B− A y el producto de las dos partes es

A(B− A) = AB− A2. (1)

Fermat conocía los escritos del matemático griego Pappus de Alejandría y

sabía que un problema que tiene, en general, dos soluciones deberá tener

una sola solución en el caso de un máximo. Con este resultado Fermat fue

capaz de desarrollar su método para calcular máximo y mínimos. Suponga-

mos, en el problema mencionado previamente, que existen dos soluciones.

Para esta solución, sea la primera parte de la línea designada como A + E;

la segunda parte es entonces B− (A + E) = B− A− E. Multiplicando las

dos partes juntas obtenemos

BA + BE− A2− AE− EA− E2 = AB− A2− 2AE + BE− E2. (2)

Considerando el principio de Pappus para el máximo, en lugar de dos so-

luciones, existe una sola. Así que las ecuaciones (1) y (2) son “iguales”, esto

es lo que Fermat llamó una seudo identidad:

AB− A2 = AB− A2− 2AE + BE− E2.

11

Simplificando obtenemos 2AE + E2 = BE y finalmente

2A + E = B.

Ahora, Fermat estableció, sin justificación, que el término E se debe “supri-

mir”. De esta manera él obtiene

A =B2

,

lo cual es el realidad el valor máximo que se estaba buscando.

Es importante mencionar que Fermat no consideró al término E como

un infinitesimal, ni tampoco como un límite, él no explicó porqué se podía

dividir en primer lugar por E (tratado como un número diferente de cero)

y entonces eliminarlo (como si fuera cero). Más aún, Fermat no explicó que

usaba un caso especial de un concepto más general, el cual se convertiría

más tarde en la derivada, la razón de cambio, o incluso la pendiente de la recta

tangente. Incluso, él no había comprendido la relación entre su método de

extremos y la manera de calcular una tangente. En realidad, él siguió su

tratamiento de extremos diciendo que el mismo método se podría utilizar

para encontrar tangentes [9, p. 223].

Las condiciones que guiaron a Fermat al desarrollo de su método pa-

ra calcular extremos podrían considerarse como un gran avance. Fermat

vislumbró un método funcional el cual producía resultados precisos. Por

ejemplo, Fermat aplicó su método a la óptica. Si suponemos que un rayo de

luz atraviesa por un medio hacia otro, siempre toma el camino más corto

(actualmente a esto se le conoce como el Principio de Fermat). Fermat utilizó

su método para determinar que el trayecto seguido por la luz al propagarse

de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es mínimo. A

partir de esto, demostró que la ley de Snell de refracción es una derivación

de su principio (ver [8] y [13, pp. 387-390]).

12

El trabajo de Fermat se dio conocer principalmente por correspondencia

con otros matemáticos contemporáneos y su método de extremos se utilizó

ampliamente. Por ejemplo, en 1659, Johannes Hudde (1628-1704) dio una

formulación verbal general del cálculo de extremos para cierto tipo de po-

linomios [3, p. 186], lo cual se pude describir con notación moderna de la

siguiente manera:

El polinomio de la forma y = ∑nk=0 akxk, tiene un máximo o mínimo cuando

n

∑k=1

kakxk−1 = 0.

El cálculo de tangentes fue también de gran interés durante el siglo XVII.

En esta época la tangente se consideraba como una secante en la cual dos

puntos distintos se acercaban hasta llegar a coincidir. Es importante mencio-

nar que nunca se explicó completamente lo que significaba que una secante

se “convirtiera” en una tangente. Sin embargo, los métodos basados en es-

ta aproximación funcionaban. Dada una ecuación de una curva y = f (x),

Fermat, Descartes, John Wallis (1616-1703) y muchos otros matemáticos del

siglo XVII fueron capaces de calcular tangentes a curvas. Incluso Isaac Ba-

rrow (1630-1677) utilizó esta idea aunque en un contexto geométrico.

El método usado en ese entonces involucraba considerar y calcular la

pendiente de la secantef (x + h)− f (x)

hPosteriormente, haciendo el álgebra requerida para la fórmula f (x + h) en

el numerador y finalmente dividir por h.

El diagrama de la Figura 4 sugiere que cuando la cantidad h se desvanece

(hoy diríamos: tiende a cero), la secante se convierte en la tangente, así que

eliminando el término h, en la expresión para la pendiente de la secante,

13

Figura 4: Secante a una curva.

da como resultado la pendiente de la tangente. A partir de esto surgió un

patrón, o mejor dicho, un nuevo método para poder resolver problemas de

tangentes el cual se difundiría rápidamente.

Para la década de 1660, las relaciones de cálculo algebraico y geométri-

co entre los problemas de extremos y los problemas de tangente se habían

comprendido claramente. Es decir, para calcular un máximo se calculaba la

pendiente de la tangente de acuerdo con una regla (una fórmula). Clara-

mente, en esa misma década, aún no existía el concepto de derivada, pero

existía un método general para resolver este tipo de problemas.

Por otra parte, la relación de la tangente con otros conceptos geométri-

cos, tales como el área, todavía no se comprendían cabalmente, y tampoco

había una definición satisfactoria de tangente. De cualquier forma, existían

una gran variedad de métodos para resolver problemas que actualmente se

pueden resolver de manera sencilla usando el cálculo. En este contexto es

natural preguntarnos:

14

¿Cómo es que la derivada se concibió tal y como la conocemos actualmente?

A menudo se menciona que la idea de la derivada se originó principal-

mente en la física. Newton, después de todo, inventó el cálculo y estableció

un método riguroso para el estudio del movimiento. Sin embargo, ya en

la edad media, muchos físicos que seguían la tradición aristotélica se ha-

bían enfocado en el estudio del “cambio”, un concepto central en la física

de ese entonces. De hecho, se analizaron y clasificaron de manera lógica las

diferentes formas en la que una variable podría cambiar de manera unifor-

me, no uniforme, o como una combinación uniforme y no uniforme [3, pp.

73-74].

Estas clasificaciones medievales de la variación permitió que Galileo Ga-

lilei (1564-1642) en 1638, sin utilizar cálculo, realizara un estudio con gran

precisión acerca del movimiento uniformemente acelerado. Gracias a las contri-

buciones de Galileo el movimiento se comenzó a estudiar de manera cien-

tífica y rigurosa. ¿Fueron acaso estos estudios el origen y el propósito del

cálculo? Obviamente no. A pesar de la importancia de la física en el desa-

rrollo del cálculo, las cuestiones físicas no fueron el motivo del desarrollo

del cálculo. Ciertamente el contexto físico preparó el camino para el estable-

cimiento de algunas propiedades de la derivada y para la introducción del

concepto de cambio dentro de las matemáticas. Sin embargo, la principal

motivación para el concepto general de derivada no se originó en la física.

La idea principal de la derivada, así como sus aplicación, se originó para

resolver problemas en un contexto geométrico.

Posteriormente al trabajo de Fermat, la derivada (todavía no definida

rigurosamente) se desarrollaría gradualmente, relacionándose de manera

inesperada al mismo tiempo junto con otras ideas tales como extremos, tan-

15

gentes, áreas, límites, continuidad y función.

4. Segunda etapa: Tangentes, áreas y razones de cambio

Es bien conocido que Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-

1716) son considerados como los creadores del cálculo. Sin embargo, es-

ta afirmación es una excesiva simplificación de los hechos. En realidad el

cálculo es el producto de una larga evolución de ideas en la cual, ciertamen-

te, estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [16, p. 348].

Newton y Leibniz retomaron los métodos existentes para el cálculo de

tangentes, extremos y áreas, incorporándolos dentro de dos conceptos más

generales, conceptos que actualmente conocemos como integral y derivada.

Asimismo, desarrollaron una notación que haría más sencillo, casi automá-

tico, el uso de conceptos generales.

Por ejemplo, actualmente seguimos usando la notación x de Newton y

también la notación dy/dx y∫

ydx de Leibniz. Además, de manera indepen-

diente, dieron un argumento para demostrar lo que actualmente conocemos

como el Teorema Fundamental del Cálculo:

La derivada y la integral son conceptos mutuamente inversos.

Por su parte, Newton llamó fluxión a su “derivada”, la cual consideraba

como la razón de un flujo o cambio. Mientras que Leibniz consideró a la

“derivada” como una razón de diferencias infinitesimales y le llamó cociente

diferencial. Es así que la derivada se consideraba dentro de un contexto más

general en el cálculo. Incluso se había comprendido mejor su relación con

otro concepto básico el cual Leibniz llamó “integral”.

Veamos a continuación la versión newtoniana del teorema fundamental.

Esto ilustrará cómo es que Newton presentó su cálculo en 1669, y también

16

permitirá ilustrar su potencialidad y sus defectos para la comprensión de la

derivada en ese periodo.

Sea AD la curva como se muestra en la Figura 5, con AB = x y BD = y.

Sea z igual al área ABD.

Figura 5:

Newton [17, pp. 243-247] menciona: asumiendo cualquier relación arbitraria

entre x y z, buscaré el valor de y de la siguiente manera. Una vez dicho esto,

procede a encontrar y para el caso particular z = 49 x3. Para simplificar los

cálculos basta utilizar z = x3 [10, p. 199]. Si observamos la Figura 5, la línea

auxiliar bd es tal que Bb = o es un incremento. En sus argumentos, Newton

especificó que BK = v se debe elegir de tal forma que el área BbHK sea

igual al área BbdD. De esta manera ov es igual al área BbdD. Ahora, cuando

x tiene un incremento x + o, el cambio del área z está dado por

z(x + o)− z(x) = x3 + 3x2o + 3xo2 + o3− x3 = 3x2o + 3xo2 + o3

la cual, por definición de v, es igual a ov, es decir 3x2o + 3xo2 + o3 = ov.

Dividiendo por o obtenemos

3x2 + 3xo + o2 = v. (3)

17

En este punto, Newton comenta: si suponemos que Bb disminuye infinitamente

hasta desaparecer, esto es que o sea nula, v y y en este caso serán iguales y los términos

que se multiplican por o desaparecerán [17, pp. 243-245]. Por lo que obtenemos

y = 3x2.

Efectivamente, Newton acertó en el hecho de que, como o se hace cero

(hoy diríamos «tiende a cero»), los términos que tienen a o en la expresión

(3) también se hacen cero. Al mismo tiempo, v se hace igual a y, lo cual

equivale a decir que la altura BK del rectángulo de la Figura 5 será igual a

la ordenada BD de la curva original.

A partir de la suposición de que el área ABD está dada por

z(x) =an

m + nx(m+n)/n,

Newton había deducido que la curva AD debe satisfacer la ecuación y =

axm/n. En esencia, él había derivado la función área (integral indefinida).

Posteriormente, sin mayores justificaciones, Newton estableció que:

Si y = axm/n, entonces z = nm+n ax(m+n)/n.

De esta manera, Newton introdujo otra técnica para resolver problemas

de cuadraturas. A partir de casos particulares dedujo que la cuadratura de

un fluente (una curva expresada analíticamente), se podía calcular encon-

trando una fórmula cuya fluxión correspondía a ese fluente. Newton fue

capaz de desarrollar esta técnica debido a que se había percatado de las

relaciones entre los conceptos de fluentes y fluxiones [5, p. 196]. Por su par-

te, Leibniz dio argumentos similares pero usando diferente terminología.

De esta manera, se comprendió que las derivadas están fundamentalmente

vinculadas con las áreas y las tangentes, así que el concepto de derivada

ayudó a ver que estos dos problemas son mutuamente inversos.

Claramente Newton y Leibniz no tuvieron la última palabra al respecto

del concepto de derivada. Aunque cada uno de ellos había desarrollado un

18

conjunto de propiedades útiles, todavía habían muchas preguntas sin res-

ponder. Por ejemplo, ¿qué significado tenía el cociente diferencial de Leib-

niz? Algunos discípulos de Leibniz trataron de responder esta pregunta,

principalmente Johann Bernoulli (1667-1748) y L’Hôpital (1661-1704) quie-

nes afirmaban que el cociente diferencial era una razón de infinitesimales,

después de todo, era así como se calculaba. Pero los infinitesimales no obe-

decían el axioma de Arquímedes:

Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que al

multiplicarse, pueden exceder una a otra [6, Libro V, Def. 4].

Dado que este axioma era la base para la teoría de razones de los griegos,

la cual en su momento era la base para la aritmética, el álgebra y la geome-

tría del siglo XVII, los objetos no arquimedianos eran percibidos con cierta

suspicacia.

Por otra parte, en el caso de la aproximación de Newton, ¿que era exac-

tamente una fluxión? Aunque se consideraba intuitivamente como una ve-

locidad, las demostraciones que Newton estableció en su Método de fluxiones

de 1671 involucraban el uso de una “cantidad o indefinidamente pequeña”,

lo cual causó también controversia. ¿Qué es exactamente esta cantidad o

indefinidamente pequeña? ¿Es cero? Si es así, ¿cómo es que podemos utili-

zarla para dividir? Si no es cero, ¿se comete un error al eliminarla de una

ecuación?

A pesar de que las contribuciones de Newton y Leibniz fueron ata-

cadas por el uso de los infinitesimales, se admitía el hecho de que sus

descubrimientos y procedimientos conducían a resultados correctos. Los

infinitesimales fueron una herramienta muy útil y exitosa, así que las cues-

tiones acerca de su validez fueron subsanadas debido a su eficacia.19

5. Tercera etapa: Ecuaciones diferenciales y series de Taylor

En 1715, Brook Taylor (1685-1731), utilizando las propiedades de diferen-

cias finitas, escribió una ecuación expresando lo que nosotros actualmente

consideramos como f (x + h) en términos de f (x) y de sus cocientes de dife-

rencias de varios órdenes [15, p. 21]. Después, considerando las diferencias

más pequeñas, junto con un paso a límite, estableció la fórmula que todavía

lleva su nombre: Series de Taylor. La importancia de las series de Taylor fue

reconocida por Colin Maclaurin (1698-1746), Leonhard Euler (1707-1783), y

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quienes las usaron para el estudio de

funciones y para calcular soluciones aproximadas de ecuaciones. Más aún,

el estudio de las series de Taylor permitió comprender algunos elementos de

la naturaleza de la derivada. Euler utilizó dichas series con gran habilidad

para demostrar ciertas propiedades matemáticas de funciones. Cabe men-

cionar que Euler, cuando estudiaba alguna función, asumía que ésta tenía

una serie de Taylor y que además era única pero jamás dio una demostra-

ción al respecto.

Por otra parte, el concepto de derivada, tal y como lo concebía Newton,

se convirtió en un instrumento efectivo para el desarrollo de la física, en

particular, para el estudio del movimiento. Para ilustrar esto consideremos

el siguiente ejemplo:

Sea F una fuerza y x una distancia. De esta manera, el momentum1 viene

expresado por mx y, para una masa constante, mx será la razón de cambio

del momentum. Entonces, de acuerdo con la segunda ley de Newton2, tene-

1La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental

de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica,

la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante

determinado.2Newton estableció sus tres leyes del movimiento de manera verbal y derivó su física, a partir de éstas,

20

mos que F = mx. Por otra parte, la ley de elasticidad de Hooke3 establece

que F = −kx. Al igualar estas dos expresiones con respecto a la fuerza,

Euler en 1739 logró establecer y resolver la ecuación diferencial

mx + kx = 0

la cual describe el movimiento de un resorte con vibración [11, p. 482]. La

solución de esta ecuación diferencial involucraba las razones trigonométri-

cas sen y coseno. Este hecho fue de gran sorpresa para los matemáticos y

por supuesto, de gran interés para los físicos.

Una situación análoga, pero quizá más sofisticada, fue el establecimiento

y la solución de la ecuación diferencial parcial para el resorte con vibración.

En notación moderna esta ecuación se expresa de la siguiente forma:

∂2y∂2 =

T∂2yµ∂x

donde T es la tensión en el resorte y µ es la masa por unidad de longitud.

Muchos matemáticos del siglo XVIII estudiaron el comportamiento de las

soluciones de esta ecuación diferencial, entre ellos Jean Le Rond d’Alambert

(1717-1783), Daniel Bernoulli (1700-1782) y Euler. Como consecuencia esto

originó una serie de discusiones acerca de la naturaleza de la continuidad

y la expansión de la noción de función, considerada inicialmente como una

fórmula y posteriormente como una relación de dependencia entre dos va-

riables [11, p. 502-514].

por medio de la geometría sintética. La segunda ley de Newton establece que: El cambio de movimiento es

proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime

[14, p. 13]. Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser

constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en

módulo o dirección.3Esta ley establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente

proporcional a la fuerza aplicada.

21

Es posible citar más ejemplos, pero basta mencionar que a mediados del

siglo XVIII las series de Taylor y las ecuaciones diferenciales se habían con-

vertido en herramientas indispensables dentro de la historia las matemáticas

y en la física. El análisis realizado en este periodo es un ejemplo de la explo-

ración y desarrollo del concepto de cociente diferencial de primero, segundo

y n-ésimo orden —un desarrollo que está vinculado con la solución de los

problemas de extremos y con la caracterización de máximos y mínimos.

6. Cuarta etapa: Definición y rigor

6.1. Lagrange y la derivada considerada como una función

A pesar de que Euler realizó un trabajo excepcional en el análisis de máxi-

mos y mínimos de funciones, no fue capaz de dar una explicación precisa de

la naturaleza del cociente diferencial. La primera persona preocupada por

esclarecer este tema fue Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) quien identificó

problemas lógicos en las justificaciones que se hacían dentro del cálculo.

Lagrange escribió en 1797 que el concepto de límite Newtoniano no era su-

ficientemente claro para fundamentar una rama de las matemáticas (en este

caso el cálculo), pues consideraba que este concepto era muy restrictivo. Pa-

ra él, el cálculo debería reducirse al álgebra ya que esta última estaba mejor

fundamentada, o al menos eso se pensaba a finales del siglo XVIII [12, pp.

15-16].

El álgebra que Lagrange tenía en mente era lo que él llamaba el álgebra de

series infinitas, pues estaba convencido de que las series infinitas eran parte

del álgebra. Lagrange creía que la expansión de f (x + h) en una serie de

potencias en h era un proceso algebraico. Obviamente es algebraico cuando

transformamos la expresión1

1− x

22

en la serie de potencias

1 + x2 + x3 + x4 + · · ·

por medio de la división. De hecho, Euler había encontrado, por medio de

la manipulación de fórmulas, las expansiones de series de potencias infini-

tas para funciones tales como sen x, cos x, ex, entre muchas otras. Si estas

funciones tenían expansiones en series de potencias, quizá todo podría re-

ducirse al álgebra.

Euler, en su libro Introducción al análisis del infinito (Introductio in analysin

infinitorum, 1748), había estudiado series infinitas, productos infinitos y frac-

ciones continuas infinitas usando un método que él consideraba puramente

algebraico. Por ejemplo, Euler convirtió series infinitas en productos infi-

nitos tratándolos como un polinomio con un número infinito de términos

y pensaba que este proceso era puramente algebraico —Lagrange también

pensó que los métodos de Euler eran algebraicos. De esta manera, Lagrange

trató de dar rigor al cálculo reduciéndolo al álgebra de series infinitas.

En 1797, Lagrange estableció, y de hecho creyó que había probado, que

toda función (esto es, toda expresión analítica, finita o infinita) tenía una

expansión en series de potencias:

f (x + h) = f (x) + p(x)h + q(x)h2 + r(x)h3 + · · · (4)

excepto, posiblemente, para un número finito de valores aislados de x. La-

grange entonces definió una nueva función, el coeficiente del término lineal

en h el cual es p(x) en la expansión mostrada en (4) y la denominó la pri-

mera función derivada de f (x).

El término “función derivada” (en francés: fontion dérivée) que Lagrange

utilizó es el origen de nuestro término actual “derivada”. Asimismo, intro-

dujo una nueva notación, f ′(x), para esa función y definió f ′′(x) como la

23

primer derivada de la función f ′(x), y así sucesivamente de manera recursi-

va. Finalmente, utilizando estas definiciones, Lagrange demostró que en la

expresión (4):

q(x) =f ′′(x)

2, r(x) =

f ′′′(x)6

y así sucesivamente [12, Capítulo 2].

¿Qué hay de novedoso en la definición de Lagrange? El concepto de fun-

ción permitió liberar al concepto de derivada de previas nociones impreci-

sas. La explicación de Newton al respecto de las fluxiones como una razón

de cambio parecía involucrar el concepto de movimiento en matemáticas.

En el caso de Leibniz, el coeficiente diferencial era un cociente de pequeñas

diferencias que se desvanecían.

El filósofo irlandés George Berkeley (1685-1753), en su ataque al cálculo

de Newton y Leibniz, se burlaba de estos conceptos al llamarlos: ghosts of

departed quantities [2, Sección 2] (lo cual se podría traducir como: fantasmas

de cantidades extintas). Pero para Lagrange, la derivada era una función, así

como la n-ésima derivada era simplemente otra función, definida como el

coeficiente de h en las series de Taylor para

f (n−1)(x + h).

De hecho, la notación de Lagrange f ′(x) fue diseñada precisamente para

este propósito. No podemos aceptar totalmente la definición de derivada

de Lagrange dado que tendríamos que asumir que cada función derivable

es la suma de una serie de Taylor y como consecuencia debería tener infi-

nitas derivadas. Sin embargo, con esta definición Lagrange logró establecer

propiedades importantes de la derivada.

24

Por ejemplo, usando el criterio de Euler4 para usar series truncadas, La-

grange dio una caracterización más útil de la derivada de una función:

f (x + h) = f (x) + h f ′(x) + hH, donde H tiende a cero con h.

Lagrange interpretó la frase “H tiende a cero con h” en términos de de-

sigualdades. Es decir, él escribió que:

Dados D y h, estos se pueden elegir de tal manea tal que f (x + h)− f (x)

está entre h( f ′(x)− D) y h( f ′(x) + D).

Esta afirmación se acerca a la moderna definición delta-epsilon de la deri-

vada y Lagrange la utilizó para demostrar diversos teoremas. Por ejemplo,

demostró que una función es creciente en un intervalo, si su derivada es

positiva en ese intervalo. Incluso Lagrange estaba seguro de que el uso de

esta afirmación implicaría que el cálculo diferencial se podría utilizar en

un amplio rango de problemas en mecánica, en geometría y para resolver

problemas de máximos y mínimos.

En el trabajo de Lagrange de 1797, entonces, la derivada se definía con

base en las series de Taylor —una definición quizá extraña para nosotros. Sin

embargo, la derivada fue descrita al satisfacer lo que nosotros reconocemos

como la desigualdad delta-epsilon y Lagrange aplicó esta desigualdad para

resolver problemas de tangentes y de extremos. Claramente aquí la derivada

era una función más que una razón o una velocidad.

Por supuesto, todavía era demasiado asumir que una función tiene una

serie de Taylor, si quisiéramos definir sólo una derivada. De hecho, Lagran-4Euler en su trabajo Institutiones calculi differentialis de 1755 estableció el siguiente criterio para usar un

número finito de términos de una serie de potencias sin considerar su residuo: Dada y una función de x y ω

una cambio en x,

δ = Pω + Qω2 + Rω3 + · · ·

Si el incremento ω, el cual se agrega a la cantidad variable, es muy pequeño, los términos Qω2, Rω3, . . .

también se hacen pequeños, hasta que Pω exceda a la suma de todo el resto [7, Sección 122].

25

ge había cometido algunos errores, uno de ellos era al respecto de las series

infinitas. Como Augustin Louis Cauchy (1789-1857) lo había puntualizado

en 1821, el álgebra de cantidades infinitas no se puede extender automática-

mente a procesos infinitos. Asimismo, Cauchy observó que la manipulación

de las series de Taylor no era una prueba del todo completa. Por ejemplo, la

función

f (x) = e−1/x2

tiene una serie de Taylor para valores cerca de x = 0, pero la función no

está definida en cero. Por estas razones, Cauchy rechazó la definición de

Lagrange de derivada y estableció su propia definición.

6.2. Definiciones, rigor y demostraciones

En 1823, Cauchy definió la derivada de f (x) como un límite, cuando este

existe, del cociente de diferencias

f (x + h)− f (x)h

cuando h tiende a cero [4, p. 22-23]. Sin embargo, Cauchy consideraba al “lí-

mite” de manera muy diferente a sus predecesores, en un sentido algebrai-

co. Es decir, cuando Cauchy tenía que demostrar algo en donde necesitaba

la noción de límite, utilizó desigualdades algebraicas. Por ejemplo Cauchy

estableció lo siguiente:

Si f (x) es continua en [x, x + i], entonces

mın[x,x+i]

f ′(x) ≤ f (x + i)− f (x)i

≤ max[x,x+i]

f ′(x).

La primera parte de la prueba de Cauchy es la siguiente:

26

Sean δ y ε dos números pequeños; el primero se elige de tal forma que

para todo valor absoluto de h sea menor que δ y para cada valor de x, la

razón ( f (x + i)− f (x))/i será siempre mayor que f ′(x)− ε y menor que

f ′(x) + ε.

Esto último se puede considerar como una caracterización de la derivada

en términos de desigualdades. De esta manera, retomando algunas ideas

de Lagrange, como el nombre y la notación, Cauchy enfatizó la naturaleza

funcional de la derivada, pero sobre todo, adaptó y mejoró los métodos que

Lagrange había utilizado para probar resultados relacionados con la deri-

vada. Por otra parte, introdujo la definición de integral definida, enfatizando

que era necesario establecer su existencia independientemente de la antidi-

ferenciación —esto se debe al hecho de que, durante el siglo XVIII, el cálculo

de áreas (integración) se consideraba como un proceso inverso de la deri-

vación (antidiferenciación). Supongamos que f (x) es una función continua

definida en un intervalo [x0, X]. Consideremos la partición de este intervalo

x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn = X y la suma

Sn =n

∑i=1

f (xi−1)(xi − xi−1)

(llamada actualmente “suma de Cauchy”). Si los valores absolutos de las

diferencias xi+1− xi disminuyen indefinidamente, el valor de Sn tiende a un

cierto límite S. A este límite Cauchy lo llamó “integral definida” y lo denotó

por ∫ X

x0

f (x)dx.5

Una vez establecidos, de manera independiente, la integral y la derivada,

Cauchy prosiguió a vincular ambos conceptos por medio de una serie de

resultados que eventualmente conducirían a lo que conocemos actualmente5Notación propuesta por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) [11, p. 957].

27

como el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones continuas. De

hecho se considera a Cauchy como el primero en dar una demostración

analítica de tan famoso teorema.

Después del trabajo de Cauchy el cálculo se vería de manera diferente

pues comenzó a establecerse una base más sólida y rigurosa, con defini-

ciones más precisas y con teoremas cuyas demostraciones estaban basadas

en esas definiciones. Además de dar pauta para una mejor fundamentación

del cálculo, el trabajo de Cauchy permitiría la creación de nuevos resultados

que, previamente, eran imposibles de formular.

Por supuesto, Cauchy no logró resolver todos los problemas relacionados

con la fundamentación del cálculo. En particular, su definición de derivada

sufría algunas deficiencias de las cuales él no se había percatado. Dado un

ε, él eligió una δ que suponía funcionar para toda x. Es decir, asumió que

el cociente de diferencias convergía uniformemente a su límite. Fue hasta

la década de 1840 que algunos matemáticos como G. G. Stokes, V. Siedel,

K. Weierstrass, e incluso el mismo Cauchy, trabajaron en la distinción entre

convergencia puntual y uniforme. Para esclarecer esta distinción, primero

era necesario aclarar y comprender algebraicamente lo que se entendía por

límite.

Karl Weierstrass (1815-1897) comenzó a dar clases en la Universidad de

Berlin en la década de 1850. En sus lecciones, Weierstrass remplazó los argu-

mentos verbales con desigualdades algebraicas para realizar demostraciones

en análisis y además usó su propia distinción entre convergencia puntual y

uniforme. Asimismo Weierstrass utilizó las técnicas delta-epsilon de Cauchy

para presentar un tratamiento sistemático y riguroso del cálculo.

El trabajo que Weierstras realizó en sus clases nunca se publicó, pero se

difundió ampliamente en Europa gracias a sus estudiantes: A. Schwartz, G.

28

Mittag-Leffler, E. Heine, S. Pincherle, Sonya Kowalevsky, Georg Cantor, solo

por nombrar algunos. Del trabajo de Weierstrass proviene nuestra definición

moderna de derivada usando epsilon y delta [3, p. 284-287].

La comprensión rigurosa que Weierstrass dio al concepto de la deriva-

da se pone de manifiesto al publicar en 1872 un ejemplo de una función

continua en todo punto y no derivable (o diferenciable) en ninguno:

f (x) = ∑∞n=0 an cos (bnπx), donde 0 < a < 1, b es un entero

impar positivo y además a, b cumplen lo siguiente:

ab > 1 +3π

2.

Este ejemplo no solo muestra que la derivada de una función no siempre

existe, sino también muestra un completo dominio de los conceptos de de-

rivada y límite, así como de la existencia de este último [3, p. 285].

Figura 6: Función de Weierstrass en el intervalo [−2, 2].

29

7. Comentarios finales: La importancia histórica de

la evolución del concepto de derivada

Cerca de doscientos años separan a Fermat de Weierstrass. ¿Cómo es que

el concepto de derivada se desarrolló en este periodo de tiempo? Primero,

Fermat utilizó la derivada de manera implícita. Después, Newton y Leibniz

la descubrieron. Más tarde Taylor, Euler y Maclaurin, entre otros, la desa-

rrollaron. Lagrange la nombró y la caracterizó. Solo hasta el final de este

largo periodo de desarrollo, Cauchy y Weierstrass la definieron de manera

sistemática.

Si consultamos los libros de cálculo actuales, por lo general observamos

un orden usual de exposición al respecto del concepto de derivada. Primero,

se comienza con una definición, entonces se exploran algunos resultados y

finalmente se sugieren algunas aplicaciones.

El orden histórico del desarrollo de la derivada es inverso al

orden usual expuesto en los libros de texto [10, p. 206].

Conocer la historia detrás del concepto de derivada ayuda a comprender

dicho concepto. El desarrollo histórico de las matemáticas revela la creativi-

dad de los matemáticos en su trabajo arduo y sinuoso, el cual no siempre

tienen buenos resultados pero esto ha permitido la construcción paulatina

del conocimiento matemático hasta alcanzar su resplandor.

30

Línea temporal

Las fechas se refieren a la publicación de los principales tra-

bajos relacionados con la evolución del concepto de derivada.

31

Referencias

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