LUNES 7 DE ABRIL DEL 2014

VOLUMEN 1, Nº 1

250 estudiantes de institucio-

nes de educación superior de

Medellín, como la Escuela de

Ingeniería de Antioquia, la U.

de Medellín, Eafit, UPB y la

U. de Antioquia, se vincula-

ron a este evento que solo se

había hecho en la U.N.

Jorge Cossio, profesor titular

de la Escuela de Matemáticas

de la Universidad Nacional de

Colombia en Medellín y uno

de los coordinadores académi-

cos del concurso, destacó que

el propósito del evento es ayu-

dar a generar gusto por las

matemáticas. Según él, las

matemáticas no son aburridas

y son una disciplina que sirve

para interpretar el mundo y

ejercitar el pensamiento.

Y aseguró: “El concurso solo

se trata de sentarnos y divertir-

nos resolviendo integrales.

Proponemos una de las opera-

ciones que enseñamos en los

cursos de matemáticas en las

universidades, damos un tiem-

po para resolverla, y el estu-

diante clasifica o se elimina de

la siguiente ronda”.

Por su parte, Carlos Mario

Sierra, director académico de

la Sede Medellín, dijo que este

tipo de eventos tiene una im-

portancia mayúscula para la

Universidad porque permite

que se visualice a nivel regional

y nacional. “Ojalá hubiesen

concursos de estos sobre otras

temáticas, porque es una forma

magnífica de aprender”.

LA GUÍA MANGA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

El concepto es un curso de

cálculo diferencial e integral de

primero de universidad: deriva-

das y reglas de derivación,

integrales, teorema fundamen-

tal de calculo, temas de integra-

ción, serie de Taylor, derivadas

parciales, entre otros.

Sara acaba de empezar como

periodista en el diario “La Ver-

dad”. Quiere tratar temas de

actualidad, como asuntos inter-

nacionales o política, ¿pero es

suficientemente perspicaz?

Menos mal que su actual jefe,

Eduardo, le enseñará a analizar

las noticias a través del cálculo.

En La Guía Manga del Cálculo

Diferencial e Integral aprende-

rás junto con Sara que el cálcu-

lo es algo más que una asigna-

tura que hay que aprobar en la

escuela. Descubrirás que el

cálculo es una herramienta

eficaz para analizar comporta-

mientos físicos, pautas econó-

micas, y otros muchos fenóme-

nos cotidianos, como la proba-

bilidad, la estadística, las cur-

vas de oferta y demanda, la

influencia de la contaminación

en la economía, y la gradua-

ción del shochu (un licor japo-

nés).

Informes matemáticos

The Math Master

CONCURSO DE MATEMÁTICAS:

PARA APRENDER EL MIEDO A LAS MATEMÁTICAS

Jorge Cossio, profesor titu-

lar de la Escuela de Mate-

máticas, señaló que las

matemáticas no son abu-

rridas y son una disciplina

que sirve para interpretar

el mundo y ejercitar el

CONTENIDO:

USO DE LAS FUNCIONES

INTEGRALES

NOTICIAS ÁREA 1

MÉTODO DE LAS INTE-

GRALES

APLICACIÓN DE LA IN-

TEGRAL

Editado por:

Fuentes Moreno Karla

Nieto Hernández Shara

Karina

Navarro Gallegos Miguel

Harán

Valdés Carreón Fernando

La integral definida es un concepto utili-

zado para determinar el valor de las áreas

limitadas por curvas y rectas. Dado el

intervalo [a, b] en el que, para cada uno

de sus puntos x, se define una función f

(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b],

se llama integral definida de la función

entre los puntos a y b al área de la por-

ción del plano que está limitada por la

función, el eje horizontal OX y las rectas

verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre

los extremos del intervalo [a, b] se denota

como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes

propiedades:

-Toda integral extendida a un intervalo de

un solo punto, [a, a], es igual a cero.

-Cuando la función f (x) es mayor que

cero, su integral es positiva; si la función

es menor que cero, su integral es negati-

va.

-La integral de una suma de funciones es

igual a la suma de sus integrales tomadas

por separado.

-La integral del producto de una constan-

te por una función es igual a la constante

por la integral de la función (es decir, se

puede «sacar» la constante de la integral).

-Al permutar los límites de una integral,

ésta cambia de signo.

-Dados tres puntos tales que a < b < c,

entonces se cumple que (integración a

trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al

que se aplican dos funciones f (x) y g (x)

tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

crochips ópticos, lo que permitirá

muchas aplicaciones prácticas,

como el desarrollo de ordenado-

res analógicos completamente

ópticos o nuevos sistemas de

procesamiento óptico de imáge-

nes. El artículo técnico es Ale-

xandre Silva et al., “Performing

Mathematical Operations with

Metamaterials,” Science 343:

160-163, 10 Jan 2014. Más infor-

mación con énfasis en el procesa-

miento de imágenes en Ari

Sihvola, “Enabling Optical Ana-

log Computing with Metamate-

rials,” Science 343: 144-145, 10

Jan 2014.

En sistemas ópticos se pueden

implementar operaciones mate-

máticas utilizando lentes en una

configuracón apropiada. Para su

diseño se usan las técnicas de

óptica de Fourier, que permiten

Los metamateriales ópticos

permiten diseñar medios ópti-

cos con un índice de refracción

efectivo a medida. Gracias a

ello se pueden diseñar sistemas

de procesamiento completa-

mente ópticos que ejecuten

funciones matemáticas sobre

los pulsos ópticos incidentes.

Alexandre Silva (Univ. de

Pennsylvania, Filadelfia,

EEUU) y varios colegas publi-

can en Science simulaciones

numéricas de varios diseños

que implementan derivadas

parciales (de primer y de segun-

do orden), integrales y convolu-

ciones de la curva envolvente

de pulsos ópticos.

En principio, nada impide que

los nuevos diseños puedan ser

realizados en laboratorio, e

incluso implementados en mi-

implementar cualquier fun-

ción. El problema es que inte-

grar en microchips ópticos

estos dispositivos es difícil,

pues su tamaño es grande

comparado con la longitud de

onda de la luz.

El nuevo artículo resuelve

estos problemas con dos pro-

puestas alternativas, por un

lado, usar metamateriales con

una microestructura en una

escala inferior a la longitud de

onda de la luz incidente y, por

otro lado, el uso de capas al-

ternas diseñadas para imple-

mentar determinadas funcio-

nes de Green espaciales. Am-

bas opciones ofrecen gran

flexibilidad y son prometedo-

ras, tanto en el espectro óptico

(infrarrojo, visible o ultraviole-

ta).

OPERACIONES MATEMÁTICAS SOBRE PULSOS ÓPTICOS USANDO METAMATERIALES

THE MATH MASTER

Desde su origen, la noción de integral ha res-

pondido a la necesidad de mejorar los métodos

de medición de áreas subtendidas bajo líneas y

superficies curvas. La técnica de integración se

desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,

paralelamente a los avances que tuvieron lugar

en las teorías sobre derivadas y en el cálculo

diferencial.

INTEGRAL DEFINIDA

PÁGINA 2

Vamos a darle al tema una vuelta de tuer-

ca más. Dada una función definida me-

diante una integral, ¿qué ocurre si la fun-

ción que aparece dentro de la integral

depende ? Es decir, si nuestra tiene esta

forma:

donde la función depende de (que es la

variable de ) además de depender de ,

¿cómo calculamos su derivada?

Para este caso necesitamos utilizar la

conocida como Fórmula de Leibniz, que

nos dice cómo calcular dicha derivada.

Fórmula de Leibniz

Dada la función

podemos calcular su derivada utilizando

la siguiente fórmula:

Como podemos ver, la fórmula de Leib-

niz es la generalización del TFC 1 que es

la integral de la derivada parcial

de respecto de x.

sistemas de automatización inte-

gral de viviendas y edificios, en

relación con la gestión técnica

de múltiples funciones.

Mediante el uso de maquetas y

bajo el enfoque pedagógico del

Aprender Haciendo, se dotó a

los estudiantes con herramientas

para diseñar y desarrollar pro-

yectos básicos de automatiza-

ción integral, al aprender sobre

configuración, programación e

implantación del protocolo

KNX, uno de los más extendi-

dos en el mercado.

La automatización de cualquier

proceso productivo influye de

Renca, enero de 2014. Ahondar

en mecanismos de ahorro energé-

tico, seguridad, confort, comuni-

caciones y mantenimiento de

instalaciones fue el objetivo del

segundo curso de “Domótica con

Sistemas de Control KNX y Ra-

dio Frecuencia”, organizado por

el Área de Electricidad y Electró-

nica de INACAP Renca.

De un total de casi 40 postulan-

tes, ocho alumnos de la Sede

consiguieron un cupo gracias a

su destacado rendimiento en sus

programas de estudio y participa-

ron en la capacitación teórico-

práctica que buscaba transmitir la

incidencia y características de los

forma decisiva en el incremen-

to de la productividad, acor-

tando tiempos y aumentando

la calidad del producto final.

Este curso es de gran relevan-

cia, ya que “complementa su

formación profesional en el

ámbito de sistemas domóticos

y de automatización de edifi-

cios (inmótica). A futuro,

además les permitirá realizar

un curso resumido para la

obtención de la certificación

KNX Partner, lo cual es muy

positivo”, afirma el Director

de Carrera Área Electricidad y

Electrónica de INACAP Ren-

ca, Mario Sanhueza Cruzat.

INACAP RENCA REALIZA SEGUNDO CURSO DE DOMÓTICA Y AUTOMATIZACIÓN DE EDIFICIOS CON SISTEMAS KNX

nes online y esperar el resultado. Así,

‘Mathway’ no sólo nos muestra todas las

operaciones necesarias para resolver un

problema, sino que también incluye una

breve explicación de cómo se hace y la

representación gráfica del ejercicio reali-

zado, si la tuviera. Por otro lado, pode-

mos seleccionar ejemplos de problemas

ya resueltos en el extenso listado facilita-

do y dividido en las diferentes ramas de

las matemáticas. Junto a la resolución de

operaciones matemáticas, también se

ofrece un glosario de términos, una exce-

lente colección de fórmulas y teoremas y

un servicio de calculadora. ‘Mathway’

cuenta con una versión app gratuita para

Android, iPhone, iPod Touch y iPad.

DESCUBRE PI Y REALIZA OPERACIONES MATEMÁTICAS CON ‘MATHWAY’

‘Mathway’ es una herramienta gratuita

que permite resolver problemas de mate-

máticas básicas, álgebra, trigonometría y

cálculo, desde operaciones sencillas co-

mo, por ejemplo, integrales de funciones

trigonométricas. No es necesario regis-

trarse, basta con elegir el tipo de ejercicio

que queremos realizar, incluir los datos

matemáticos en el editor de operacio-

PÁGINA 3 VOLUMEN 1, Nº 1

DERIVADA DE UNA INTEGRAL II: LA FÓRMULA DE LEIBNIZ

Desde muy pequeños aprendemos a me-

dir longitudes, áreas y volúmenes, lo cual

nos provee información valiosa sobre el

mundo que nos rodea, sirviendo de base

para la solución de múltiples problemas

de la vida real. Este proceso de medición

se puede generalizar al mundo de las

funciones matemáticas, dando lugar a

la teoría de la medida, dentro de la cual

se pueden enmarcar conceptos como el

de probabilidad y el de integral. En este

trabajo se expone el desarrollo detallado

de los principales teoremas relacionados

con la Integral de Riemann y la integral

de Lebesgue, presentando una construc-

ción en forma de árboles, en donde

se muestran los caminos necesarios

para realizar las demostraciones ex-

puestas. Por Robinson Ernesto Calvo

Cano.

A partir del teorema funda-

mental del cálculo integral es

posible definir un método para

calcular la integral definida de

una función f (x) en un inter-

valo [a, b], denominado regla

de Barrow:

Se busca primero una función

F (x) que verifique que F (x) =

f (x).

La relación entre derivada e

integral definida queda esta-

blecida definitivamente por

medio del denomina-

do teorema fundamental del

cálculo integral, que establece

que, dada una función f (x), su

función integral asociada F (x)

cumple necesariamente que:

Se calcula el valor de esta

función en los extremos del

intervalo: F (a) y F (b).

El valor de la integral definida

entre estos dos puntos vendrá

entonces dado por:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

modificado la notación de la variable

independiente de x a t. Esta función, sim-

bolizada habitualmente por F (x), recibe

el nombre de función integral o, tam-

bién, función área pues cuando f es ma-

yor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da

el área.

FUNCIÓN INTEGRAL

Considerando una función f continua en

[a, b] y un valor x Î [a, b], es posible defi-

nir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha

“Investigaciones de Matemáticas e Ingenierías”

THE MATH MASTER

LA MEDICIÓN ,UNA APROXIMACIÓN DESDE LAS MATEMÁTICAS

PAGINA 4

Interpretación geométrica de la función

integral o función área.

Isaac Barrow (1630-1677)

esfera dada posiciones angulares. Tam-

bién se podría usar sen2 directamente,

sino que tiene un cuadro de la haversine

eliminado la necesidad de calcular cua-

drados y raíces cuadradas. El término

haversine fue, al parecer, acuñado en un

texto de navegación por sólo una aplica-

ción.

De hecho, la tabla antigua que se conser-

va de los valores de seno, desde las cuarta

-quinto Siddhantas siglo de la India, era

una tabla de valores para el seno y solo

seno verso. El versine aparece como un

paso intermedio en la aplicación de la

fórmula media de ángulo sen2 = ver-

sin/2, derivada por Ptolomeo, que se

utilizó para la construcción de dichas

tablas.

La función seno ordinaria a veces históri-

camente llamado el seno recto, para con-

trastarlo con el seno verso. El significado

de estos términos es evidente si uno mira

a las funciones en el contexto original

para su definición, un círculo de la uni-

dad, que se muestra a la derecha. Para

una cuerda AB vertical del círculo uni-

dad, el seno del ángulo? AC es la distan-

cia. Por otro lado, el seno verso de? es el

CD distancia desde el centro de la cuerda

del centro del arco. Por lo tanto, la suma

de cos = OC y versin = CD es el radio

OD = 1 - Ilustrado esta manera, el seno

es vertical, mientras que el versine se

volcó sobre su lado, ambos son distancias

de C en el círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la

versine a veces se llama el Sagitta, que en

latín flecha, desde el sahem el árabe del

mismo significado. Si el arco BAD es

visto como un "arco" y la cuerda AB

como su "cadena", a continuación, el

CD versine es claramente el "eje de la

flecha".

De acuerdo adicionalmente con la

interpretación de la sinusoidal como

"vertical" y el seno verso como

"horizontal", sagita es también un

sinónimo obsoleto para el eje de absci-

sas.

Un período de un versine o, más co-

múnmente, una forma de onda haver-

sine también se utiliza comúnmente

en el procesamiento de la señal y la

teoría de control como la forma de un

pulso o una función de ventana, por-

que sin problemas "se enciende" de

cero a uno y de nuevo a cero. En estas

aplicaciones, se le da aún otro nom-

bre: filtro de coseno alzado o función

Hann.

DERIVADAS E INTEGRALES: HISTORIA Y APLICACIONES

Históricamente, el seno verso era conside-

rada una de las funciones trigonométricas

más importantes, pero se ha caído de la

popularidad en los tiempos modernos

debido a la disponibilidad de las compu-

tadoras y calculadoras científicas. Versin

es la diferencia entre dos cantidades casi

iguales, por lo que un usuario de una

tabla trigonométrica para solo el coseno

necesitaría una muy alta precisión para

obtener el versine, haciendo tablas separa-

das para la última conveniente. Incluso

con un ordenador, los errores de redon-

deo que sea recomendable utilizar la fór-

mula sen2 para los pequeños?. Otra ven-

taja histórica de la versine es que siempre

es no negativo, por lo que su logaritmo se

define en todas partes excepto para el

ángulo único en el que es-por lo tanto

cero, uno podría usar tablas logarítmicas

para multiplicaciones en las fórmulas que

implican versines.

El haversine, en particular, era importan-

te en la navegación, ya que aparece en la

fórmula haversine, que se utiliza para

calcular con precisión distancias en una

THE MATH MASTER PAGINA 5

THE MATH MASTER PÁGINA 6

THE MATH MASTER PÁGINA 7

CARRERAS EN ÁREA 1

En el mes de agosto comenzará una nueva eta-

pa para los alumnos que actualmente cursan el

último año de preparatoria, ya que iniciaran su

carrera universitaria, por lo que les traemos las

opciones de carrera que los alumnos de área 1

han tomado.

De acuerdo a las encuestas, la carrera más soli-

citada en esta área es Arquitectura ya que 4 per-

sonas han tomado la decisión de cursar esta

asombrosa carrera. 3 de ellas buscarán lugar en

las escuelas publicas que ofrecen esta carrera

mientras que la última optará por la opción

privada.

En segundo lugar se encuentran empatadas

las carreras de Ingeniería Mecatrónica e In-

geniería en Sistemas Computacionales, con

2 personas de cada carrera buscando lugar

en escuelas públicas.

Las personas restantes competirán por un lu-

gar en las carreras de Actuaría, Diseño Gráfi-

co, Animación Digital, Psicología y Medici-

na.

Por último hay un individuo de esta área que

ya tiene su lugar asegurado en la UAM para

la carrera de Ingeniería Mecánica, aunque

competirá en otra opción por la carrera de

Ingeniería en Sistemas Automotrices.

THE MATH MASTER PÁGINA 8

Área 1 tiene muchas peculiaridades,

son el grupo más pequeño del Cole-

gio Salesiano con 14 alumnos en su

aula, las personas que estudian en

esta área, en su mayoría, tienen la

decisión de estudiar carreras muy

relacionadas con las matemáticas,

etc.

Pero lo que llama la atención de este

pequeño grupo es la ausencia cons-

tante de un alumno en particular:

José Carlos Farrera.

Este alumno es considerado el indivi-

duo con más faltas de toda la prepa-

ratoria IUCE, se puede decir que ha

faltado toda la segunda parte del año

escolar, sin siquiera dejar entrever

una pequeña explicación.

Compañeros de su misma área han afirmado haberlo visto algunas

veces en las mañanas, incluso con los útiles que se necesitan en ese

día como la mochila y el portafolio de Dibujo Constructivo; hasta

por el chat pregunta a sus compañeros si hay algún examen que se

deba presentar y al cuestionarle cuando irá al colegio el responde

que irá al siguiente día.

Los maestros ya solo cuentan a los alumnos para pasar lista, al

conocer la curiosa situación de José Carlos y los alumnos aún se

cuestionan ¿Por qué faltará tanto Farrera y cómo pasará de año?

EL CURIOSO CASO DE JOSÉ CARLOS FARRERA

PÁGINA 9 VOLUMEN 1, Nº 1

PRESENTACIONES DE “EL CURIOSO INCIDENTE DEL PERRO A MEDIANOCHE”

Como primer trabajo de participación

se llevaron a cabo presentaciones

creativas del famoso libro “El curioso

incidente del perro a medianoche” y a

decir verdad la mayoría no decepcio-

naron.

Los mejores trabajos fueron hechos en

video, el primero de ellos fue un noti-

ciero llamado “Segundo Noticias”,

interpretado por los alumnos Karla

Fuentes Moreno, Shara Karina Nieto

Hernández, Miguel Harán Navarro

Gallegos y Fernando Valdés Carreón.

En dicho video se presentó la historia

del libro en un corto reportaje acerca

de el giro que da la vida de Christop-

her Boone al encontrar al perro muer-

to de la Señora Shears en su patio.

El equipo conformado por Iván

Joel Aceves Ramírez, María Fer-

nanda Borel Mejía, Iván Estévez

Daza y Karla Michelle Tinajero

López realizó también un video

donde se presenta la historia co-

mo tal pero resumida, desde el

descubrimiento del perro falleci-

do hasta la incógnita de la situa-

ción de Christopher después de

pasar su examen de bachillerato.

El último equipo conformado por

Andrea Alisson Alvis Ibarra, Ga-

briel Mijares, Luis Ángel Luna

Ramírez y María Paula Zamora

Vázquez realizó una adaptación

teatral de marionetas que, sincera-

mente, dejó un poco que desear.

El alumno Enrique Iván Ordoñez

Bravo realizó un comic del libro

que, desafortunadamente, no pu-

dimos observar.

THE MATH MASTER PÁGINA 10

CAMPEONES EN ÁREA 1

Los Juegos Intersalesianos, en su

edición 39, finalizaron el pasado 5

de abril de 2014 en las instalaciones

del Colegio Salesiano Ángela Sego-

via de Serrano, lugar donde se die-

ron cita las diferentes comunidades

Salesianas del país para las compe-

tencias deportivas de Fútbol, Bas-

quetbol, Voleibol y Atletismo, en

sus ramas Femenil y Varonil.

Este año el Colegio Salesiano de

Santa Julia se llevó varios premios

y nuestros alumnos de Área 1 lle-

gan como campeones en varios de-

portes.

Miguel Harán Navarro Gallegos consi-

guió el primer lugar con el equipo de

Basquetbol, superando en la final al

equipo de Querétaro con marcador fi-

nal de 42-34.

Mientras que los alumnos Iván Joel

Aceves Ramírez, Luis Ángel Luna Ra-

mírez y Fernando Valdés Carreón lo-

graron la hazaña del tercer lugar en Fút-

bol, logro que no se conseguía desde

hace mucho tiempo a nivel Preparato-

ria, superando al equipo local, CASS,

por un marcador de 2-0 con goles de

Daniel Salazar.

Sin lugar a dudas Área 1 puede presu-

mir que tiene 4 campeones de los Jue-

gos Intersalesianos, que serán recorda-

dos por siempre

THE MATH MASTER PÁGINA 12

THE MATH MASTER PÁGINA 13

SUSTITUCION

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de

variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada

simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de ta-

bla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la

derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva

directa.

Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua en I en tal caso:

FRACCIONES PARCIALES

El método de las fracciones parciales

consiste en reducir un cociente de

polinomios en fracciones más sim-

ples, que permitan obtener de mane-

ra inmediata una integral o una

transformada de Laplace Inversa. El

requisito más importante es que el

grado del polinomio del denomina-

dor sea estrictamente mayor que el

grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es

de la forma donde:

P(x) y Q(x) son polinomios

El grado de P(x) es menor que el de Q(x) Definimos fracciones parciales a la

función F(x) en la cual dicha fun-

ción depende de un numerador y un

denominador. Para que sea una

fracción parcial el grado del deno-

minador tiene que ser mayor al gra-

do del numerador.

En ocasiones, el cálculo de una integral

definida en un intervalo resulta tan com-

plicado que se hace casi irresoluble. En

estos casos, se puede aplicar un método

de integración numérica aproximada,

consistente en dividir el intervalo de defi-

nición en un conjunto de subintervalos

iguales, de manera que se trazan sus imá-

genes sobre la curva y se unen todos pun-

tos imagen mediante segmentos rectilí-

neos.

Siendo f (x) la función de origen, y [a, b]

el intervalo de integración, que se puede

dividir en n subintervalos iguales de am-

plitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < ¿ <<

xn = b, la región limitada por la curva de

f (x) puede obtenerse aproximadamente a

partir de la siguiente expresión:

Esta ley se llama regla de los trapecios.

Evidentemente, cuanto mayor es el nú-

mero de intervalos escogido, más cerca

estará el valor obtenido del área real si-

tuada bajo la curva.

La integral de f (x) en el inter-

valo [a, b] coincide con el

valor del área R.

Por convenio, dicha área se

dice que es positiva cuando f

(x) ³ 0 en el intervalo, y negati-

va si f £ 0 en [a, b]. Cuando la

función tiene signo variable,

las partes de la misma situa-

das por encima del eje hori-

zontal añadirán valor positivo

al área global, y las que discu-

rran por debajo sumarán valo-

res negativos a la misma.

La integral de una función

continua entre los dos extre-

mos de un intervalo [a, b] y tal

que f (x) ³ 0 " x Î [a, b] coinci-

de con el área comprendida

entre dicha función, el eje

horizontal y las dos rectas que

delimitan los intervalos, de

ecuaciones x = a y x = b.

Este principio puede servir

también para calcular las

áreas comprendidas entre

curvas, por simples operacio-

nes aritméticas de adición y

sustracción.

Áreas formadas por dos cur-

vas. Por consideraciones geo-

métricas, el área de la intersec-

ción se calcula restando a la

integral de f (x) en el intervalo

[-1, 1] el valor de la integral de

g (x) para ese mismo interva-

lo.

CALCULANDO EL ÁREA

Este método resulta indicado particular-

mente cuando v × du es más fácil de inte-

grar que u × dv.

INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de la integración por partes se

emplea para simplificar el cálculo de la

integral de un producto de funciones que

puedan interpretarse como del tipo u

(x) × v¿ (x). La fórmula de la integración

por partes es la siguiente:

THE MATH MASTER

Aproximación del área de una función

por integración numérica.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

PÁGINA 12

THE MATH MASTER PÁGINA 14

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Cuando calculamos áreas

de un círculo o una elipse

encontraremos integrales

que tengan la forma de:

Generalmente se traza el

dibujo de un diagrama en

donde aparezca un trián-

gulo rectángulo, colocando

un que vamos a inter-

pretar como uno de los

ángulos de este triángulo.

Para evaluar la integral se colo-

can los datos recibidos en ella en

los catetos/hipotenusa corres-

pondientes, y es allí en donde

utilizamos las sustituciones trigono-

métricas

Por medio de las identidades tri-

gonométricas para expresar de

la manera que mejor conven-

ga , , ,

etc.

Es parecido a utilizar el método

de Sustitución, solo que aquí sus-

tituimos con las identidades tri-

gonométricas.

EXPRESIONES CUADRÁTICAS

En ocasiones la integración

definida o indefinida de fun-

ciones de una variable se faci-

lita mediante las llamadas

fórmulas de reducción. Son

éstas una cierta forma de po-

ner en relación integrales

que, además de depender de

una determinada variable

independiente , también

son dependientes de un pará-

metro , con otras de la

misma (o parecida) especie

en las que ese parámetro apa-

rece reducido a otro menor,

esto es, fórmulas como

Otras veces los parámetros pueden ser más de uno.

Una ecuación es una expresión algebraica que

consta de dos miembros separados por un signo de

igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación

debe tener al menos una variable o letra, llamada

incógnita. Las ecuaciones se convierten en identi-

dades sólo para determinados valores de la(s) in-

cógnita(s); una ecuación cuadrática es un tipo de

ecuación particular en la cual la variable o incógni-

ta está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo

grado. Un ejemplo sería:

THE MATH MASTER PÁGINA 15

SUSTITUCIONES DIVERSAS

Se usa cuando se presentan expresiones racionales de senx, cosx ( y por lo tanto tanx , cotx ) y donde

no se pueden usar identidades trigonométricas. El objetivo es transformarlas a expresiones racionales

con una nueva variable para utilizar el método de fracciones parciales.

Usualmente para resolver una ecuación diferencial, primero la identificamos como una ecuación de

cierto tipo (separable o lineal, por ejemplo) y a continuación desarrollamos un procedimiento formado

por pasos matemáticos específicos al tipo de ecuación que produzca una solución a la ecuación. Pero

no es poco común que nos desoriente una ecuación diferencial porque no es de ninguna clase de ecua-

ciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos analizados en este subtema pueden ser útiles

es estos casos.

Por lo común, el primer paso para resolver una ecuación diferencial consiste en transformarla en otra

ecuación diferencial por medio de una sustitución.

Tipos de sustituciones:

1. Ecuaciones homogéneas

2. Ecuación de Bernoulli

3. Reducción a separación de variables utilizando fracciones parciales

THE MATH MASTER PÁGINA 16

THE MATH MASTER PÁGINA 17

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:

1. Se trazan las curvas que limitan el área que sede sea conocer.

2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.

3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

4. Se decide que variable conviene integrar

5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados.

Ejemplos.

Hallar el área limitada por las siguientes condiciones:

THE MATH MASTER PÁGINA 18

VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de

Revolución y al eje se le llama eje de revolución.

Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se

genera haciendo girar a una función ( ) x f alrededor del eje x , se puede calcular por medio de:

donde a y b representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos.

Ejemplos.

Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar las siguientes funciones con los

límites marcados y el eje de revolución dado

THE MATH MASTER PÁGINA 19

ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS

ORDEN, GRADO Y SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

THE MATH MASTER PÁGINA 20

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER

Y SEGUNDO ORDEN)

Dependiendo del tipo de ecuación diferencial, conviene aplicar un método de resolución particular. Por su

ensilles, los más utilizados son el de la obtención de raíces del polinomio y el de separación de

variables.

Ejemplos.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

THE MATH MASTER PÁGINA 21

Nos sirve para poder resolver problemas y efectuar trabajos en los que se necesite cono-cer longitudes de curva, que por medio de regresión lineal o un programa como Excel se pueda llegar a la función y tener una precisión en el calculo de las distancias como de puen-tes. Además de que el poder conocer área, perímetro y volumen de cualquier figura, sin du-da nos ayuda. De aquí se desarrollo las imágenes en 3D. Como otros ejemplos tenemos:

En una Olla exprés se puede aplicar el cálculo diferencial como una razón de cambio y de propagación del vapor para saber cual es el tiempo estimado para tener en funcionamiento la olla antes de que salga el vapor de la tapa propagado por la presión. Para rellenar una de-terminada superficie con un material costoso, la superficie obviamente totalmente irregu-lar.

Si no se quiere comprar ese material en exceso que mejor que calcular por integrales esa superficie y ajustar la compra, para que la misma sea muy precisa.

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

Mazda

www.globalsuzuki.com

www.suzuki.co.jp

www.suzuki.com

Teléfono: 553-219-4768

Fax: 554-159-6832

Dirección: Hiroshima Japón

En el 2001, Mazda Motor Corporation exhibió el nuevo automóvil conceptual RX-8 en el North American International Auto Show, en Detriot. El RX-8 es impulsado por la iteración de un motor rotatorio Wankel. Aunque el ultimo automóvil produci-do en masa equipado con motor rotatorio que se vendió a nivel mundial fue el RX-7 y

los embarques a Estados Unidos terminaron en 1995, la Mazda Corporation tiene la

intención de restablecer el interés en automóviles de potencia rotaciorial a través de nuevos diseños como el RX-8.

“Revive el zoom zoom”

ver dónde crece y dónde decrece.

Derivada de una integral I: El TFC

El resultado que nos permite derivar una

función definida mediante una integral y

nos dice cuánto vale dicha derivada es

el teorema fundamental del cálcu-

lo (TFC). El primero que publicó una

demostración relacionada con el TFC

fue James Gregory, aunque lo que de-

mostró fue una versión restringida de este

resultado. Fue Isaac Barrow el primer que

demostró este teorema. Isaac Newton

terminó el trabajo con el desarrollo de la

teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo:

básicamente dice que la derivación y la

integración son procesos inversos. Pe-

ro además nos da una manera de calcular

integrales definidas.

Gracias a María José Martínez Sánchez

(tenista profesional) en su averiguación

se dio cuenta que la integral y la derivada

son procesos inversos, por lo que si reali-

zamos primero un proceso y luego el otro

obtendríamos la función inicial. Vamos,

digamos que nos quedaríamos igual. Pero

la cosa no es siempre así, depende de

varios detalles de la propia integral y de la

función inicial.

Es de gran importancia saberlo ya que así

sabemos estudio del crecimiento y decre-

cimiento de una función definida median-

te una integral. Como sabemos, el creci-

miento y decrecimiento de una función

derivable en un intervalo puede conocerse

mediante el estudio del signo de la prime-

ra derivada en dicho intervalo, por lo que

si nuestra función está definida mediante

una integral tendremos que derivarla para

CALCULAR LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL

ESTAMOS EN LA WEB

WWW.MAZDA.COM

María José Martínez Sánchez es

una tenista profesional nacida el 12

de agosto de 1892 en Ye-

cla (Murcia), España.