UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE MATEMATICAS

DESARROLLO DE UN ALGORITMO PARA EVALUAR EL SUMINISTRO DE AGUA SUBTERRANEA

TQUE

E

S

I

S

PARA OBTENER

EL TITULO DE

LICENCIADO EN MATEMATICAS P R E S E N T A: NORA ISABEL PEREZ QUEZADAS

DIRECTORA DE TESIS: M. EN C. CARMEN HERNANDEZ RENDON

MEXICO, D.F.

DICIEMBRE DE 2004

A mi madre

Por darme la vida, su amor, su apoyo, su ejemplo.

A mi padre, a mis hermanos y sobrinos

Por todo su apoyo.

Agradecimientos

Agradezco a la Universidad Veracruzana por haberme permitido ser parte de la gente que se ha formado y desarrollado en ella. A la Facultad de Matemticas de esta universidad, porque fue ah donde realice mis estudios de licenciatura y donde pase momentos que recordar siempre. De igual forma a todos mis maestros de la facultad por sus conocimientos y porque me dieron las bases para seguir creciendo y desarrollndome. A los maestros de la comisin revisora de esta tesis por sus comentarios y sugerencias, y por toda la ayuda que me brindaron. Igualmente a la Universidad Nacional Autnoma de Mxico por permitirme ahora, ser parte de esta prestigiada institucin. Al Instituto de Geofsica de esta universidad por todo el apoyo brindado y porque en l, durante este tiempo he tenido un lugar donde seguir creciendo y aprendiendo cosas nuevas. Un agradecimiento especial al Dr. Ismael Herrera Revilla por todo su apoyo en la realizacin de esta tesis, por atender mis dudas al respecto de los temas desarrollados aqu y por sus sugerencias que sin duda mejoraron este trabajo. Un agradecimiento especial a la Fis. Alejandra Corts Silva por el apoyo invaluable que, antes, durante y despus de este trabajo me ha dado, lo cual deja ver en ella a una gran persona con la que siempre estar agradecida. Quiero agradecer a la M en C. Carmen Hernndez Rendn quien dirigi la elaboracin de esta tesis, por ensearme y ayudarme a entender muchas de las cosas que fue necesario aprender al hacer este trabajo.

ndice1. Introduccin 1.1. Motivacin . . . . . . . . 1.2. Simulacin en hidrologa 1.3. Sobre esta tesis . . . . . 1.3.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 6 8 9 9 10 11 12 16 17 17 20 20 22 25 26 27 27 27 28 29 29 31 31 32 32 37

2. Bases fsicas 2.1. Mecnica de uidos en medios porosos . . 2.1.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. El uido como un medio continuo . 2.1.3. Propiedades fsicas de los uidos . . 2.2. Agua subterrnea . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Clasicacin de acuferos . . . . . . 2.2.2. Propiedades fsicas de los acuferos: 2.3. Descripcin del ujo en medios porosos . . 2.3.1. Ley de Darcy . . . . . . . . . . . .

3. Conceptos bsicos de la teora de las Ecuaciones Diferenciales Parciales 3.1. Clasicacin de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Condiciones iniciales y de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Condiciones de Dirichlet: . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Condiciones de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Condiciones de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Problemas bien planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Las ecuaciones de balance 4.1. Masa y Movimiento . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuaciones de balance . . . . . . . . . . 4.2.1. La Ecuacin de Balance Global . 4.3. Derivacin de la ecuacin general de ujo 4.3.1. Balance de Masa . . . . . . . . . 4.4. Descripcin de la ecuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Descripcin del algoritmo computacional 38 5.1. El Mtodo de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1

6. Experimentos numricos 6.1. Experimento 1 . . . . . 6.2. Experimento 2 . . . . . 6.3. Experimento 3 . . . . . 6.4. Experimento 4 . . . . . 7. Conclusiones 8. Apndice 8.1. Programas . . . . . . . 8.1.1. Programa 1 . . 8.1.2. Programa 2 . . 8.1.3. Programa 3 . . 8.1.4. Programa 4 y 5 9. Bibliografa

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42 42 46 48 50 56

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58 58 58 63 67 72 79

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1.1.1.

IntroduccinMotivacin

La matemtica ha estado presente siempre en el universo, y el hombre, al descubrirla y en su afn de conocer todo lo que le rodea se ha valido de ella para lograr su objetivo an vigente. Desde la antigedad, por medio de la observacin de los procesos de la naturaleza, el hombre elabor conceptos que le permitieron establecer relaciones entre stos y los fenmenos fsicos para conocer y entender la naturaleza y que adems estos conceptos le llevaron a elaborar teoras que permitan simplicar los mecanismos que intervenian en la vida diaria. De stos los ms importantes fueron los que le hicieron posible conocer los fenmenos y posteriormente, de alguna forma, manipularlos y predecirlos. El objetivo nal siempre era conocer y solucionar sus problemas. Posteriormente el nacimiento de todos estos conocimientos abre el paso al desarrollo de teoras ms abstractas, y con ello el surgimiento de dos puntos de vista; uno el de las matemticas llamadas puras y otro el de las que se podan aplicar. En el desarrollo de la matemtica estn presentes distintas motivaciones que lejos de ser antagnicas son complementarias. La matemtica naci con el intento de explorar las armonas y recurrencias del universo fsico, y consecuentemente se desarroll en sus distintas ramas. Una de las ms importantes es la Modelacin Matemtica, que se encarga de describir diversos sistemas en general, esto es lo que la hace universal, ya que tiene participacin en muchas disciplinas. Dentro de la teora de modelacin nos encontramos con que, al tener explcitamente un modelo, ste da informacin sobre el estado actual del sistema, adems podemos saber como se encontraba en tiempo anterior su estado nal al pasar un intervalo nito de tiempo. Por otro lado, toda esta informacin obtenida de un modelo nos sirve para experimentar tericamente el 3

comportamiento de dicho sistema bajo ciertas condiciones y modicaciones. En general podemos decir que, la simulacin es la construccin y manipulacin de un modelo de un sistema o proceso. Esto es muy importante porque se hacen experimentos sobre un modelo del sistema en lugar de hacerlos sobre el mismo sistema real y esto permite estudiar problemas que de otra manera sera imprctico o imposible estudiarlos. As, se emplea la simulacin en un modelo apropiado, se observan y evalan los resultados y se dan las conclusiones. Es claro, y no se puede dejar pasar, el observar que el desarrollo de las computadoras y de la actual ciencia de la computacin sobre la matemtica fundamental y sus aplicaciones, es muy profundo y tiene una gran importancia. En las aplicaciones de la matemtica el papel de las computadoras ha sido inmenso, sobre todo a travs de su capacidad de resolucin numrica de problemas muy complicados cuya solucin hubiera resultado irrealizable hace unos pocos aos. La participacin de las computadoras puede convertirse en una pieza clave para la realizacin de experimentos en muchas ciencias, desde las matemticas hasta las sociales, y lo mejor es que con un costo y esfuerzo mnimos. Por otro lado la Modelacin Matemtica se fundamenta en otras distintas ramas de la matemtica, como son: el lgebra lineal, el clculo vectorial, el anlisis funcional, las ecuaciones diferenciales; y a su vez tambin con las dems disciplinas de las cuales requiere conceptos y conocimientos para establecer modelos en particular. La teora de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) es una de las reas de las matemticas mas extensas e importantes y es fundamental en la modelacin. Una EDP puede modelar distintos fenmenos fsicos. Existen varios mtodos de solucin para algunas de estas ecuaciones, pero es importante observar que no todas las soluciones analticas son funciones suaves, y tambin que las soluciones numricas resuelven un gran nmero de problemas

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para los cuales es muy difcil o imposible encontrar una solucin analtica. Para encontrar una solucin numrica a una EDP existen varios mtodos, ejemplos de estos son, el Mtodo de Elementos Finitos y el Mtodo de Diferencias Finitas. Para los nes de este trabajo, se usar el segundo y se describir en uno de los captulos de esta tesis.

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1.2.

Simulacin en hidrologa

El agua es un recurso indispensable para la supervivencia del ser humano, es por ello que sus asentamientos siempre han dependido directamente de este recurso, usualmente buscando la manera mas fcil de hacerla llegar a sus comunidades. La problemtica creciente que existe en su aprovechamiento ha ocasionado un avance en el desarrollo de las tcnicas que permiten un mejor manejo de los recursos hdricos del pas. La modelacin matemtica en hidrologa est orientada al desarrollo y aplicacin de mtodos para la evaluacin de recursos de agua, as como a la planicacin de sistemas de aprovechamiento.

1.3.

Sobre esta tesis

En el desarrollo de esta tesis se resolver numricamente, por el mtodo de diferencias nitas, una ecuacin diferencial parcial que modela un problema general de ujo de agua a travs de un medio poroso. Esto se har para varias situaciones. Las condiciones iniciales se establecen de acuerdo a cada problema particular a tratar. Se aproximar la solucin de una ecuacin diferencial parcial de la forma 2U 2U + =0 (1) x2 y 2 que modela el ujo de agua a travs de un acufero, el cual dar las condiciones iniciales y de frontera apropiadas que intervendrn en el planteamiento y solucin de la ecuacin diferencial dada. La ecuacin est denida en dos dimensiones ya que consideramos que el espesor del acufero es muy pequeo en comparacin con su longitud. Bsicamente se tomarn en cuenta algunos posibles casos que se desprendern de distintas consideraciones, as tendremos 6

que las condiciones de frontera variarn para ser condiciones de Dirichlet o de Neumann. La solucin numrica de la ecuacin se llevar a cabo por el mtodo de diferencias nitas en diferencias centrales. El algoritmo correspondiente se implementar en el ambiente de programacin MATLAB. Se eligi este ambiente ya que es una poderosa herramienta de clculo, simulacin y modelado matemtico, adems de que la visualizacin grca es una de las ventajas de ste ambiente respecto a otros. El orden de los temas es el siguiente: en el segundo captulo de esta tesis, y a manera de introduccin al tema, se darn las deniciones bsicas correspondientes a los fenmenos fsicos que intervienen y se describirn los procesos que dan lugar a dichos fenmenos, se hablar de las leyes que rigen el movimiento de los uidos haciendo nfasis en las que se reeren al movimiento en medios porosos que es el movimiento correspondiente al de las aguas subterrneas. En el captulo tres se tratarn los conceptos requeridos de la teora de las EDPs, como son: solucin, tipos de EDPs, condiciones iniciales y de frontera. En el captulo cuatro se obtiene la ecuacin diferencial parcial a tratar mediante la teora de las ecuaciones de balance. En el captulo cinco se explicar el mtodo de las diferencias nitas y la solucin de la ecuacin por ste mtodo. As, en el captulo seis se describirn los problemas con los casos considerados en este trabajo donde interviene la EDP a tratar y se encontrar la solucin numrica con el algoritmo implementado en MATLAB y descrito en el apndice. Finalmente se darn las conclusiones.

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1.3.1.

Objetivos

Los objetivos de esta tesis Mostrar una aplicacin de las matemticas dentro del rea de modelacin de sistemas. Plantear un modelo de ujo de aguas subterrneas. Desarrollar un algoritmo de programacin que resuelva problemas de ujo en distintas situaciones. Elaborar un algoritmo en el ambiente de programacin mostrando que: tanto las computadoras como los lenguajes de programacin son herramientas muy tiles para tratar problemas de tipo numrico y que, en particular MATLAB, el ambiente usado en esta tesis, tiene ciertas ventajas frente a otros ambientes.

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2.

Bases fsicas

En ste captulo se introducirn los conceptos bsicos, que han sido desarrollados en otras disciplinas como la fsica y la geologa, y que son necesarios para entender el planteamiento y desarrollo del problema que se aborda en sta tesis. Para tratar un problema de este tipo, tenemos que tomar en cuenta: por el lado de la Geologa, las condiciones en las cuales se encuentra el sistema que estamos estudiando, en este caso, un acufero; la Fsica, por su parte, valiendose de las leyes que describen el comportamiento de los uidos (ya sea en reposo o en movimiento) nos da la manera general de abordar el estudio del sistema. Es importante adems que convengamos en la notacin usada en cuanto a las unidades de las mediciones fsicas: T = las unidades de tiempo. M =unidades de masa. L = unidades de medida de longitud, as L2 representa area y L3 volumen. F =unidades de fuerza.

2.1.

Mecnica de uidos en medios porosos

Esta ciencia estudia el movimiento, incluyendo como un caso particular el reposo, de los uidos a travs de un medio poroso. Un medio poroso es aquel que tiene poros (huecos o espacios vacos) entre sus partculas de las que est compuesto. La interconexin entre los poros permite que un uido pueda circular a travs del material, ver gura (1). Si se tiene un volumen V en el cual Vp es el volumen de los poros y Vm = V Vp es el volumen del material entonces denimos porosidad como sigue: 9

Figura 1: Medio Poroso Porosidad () Es la razn de volumen de poros (Vp ) con el volumen (Vm ) total. Vp (2) Vm y es una cantidad adimensional, se expresa en porcentajes. La porosidad es una medida de la abundancia de huecos de un medio determinado. = 2.1.1. Fluidos

Como es sabido, la materia se clasica por el estado en que se encuentra presente en la naturaleza, as puede presentarse como un slido, el cual, usualmente no cambia su volumen ni su forma al cambiar de recipiente donde est contenido; lquido, cambia de forma pero no de volumen; o gas, cambia de forma y de volumen al cambiar de recipiente donde est contenido. Debido a que uyen con facilidad, los lquidos y los gases reciben el nombre de uidos. 10

Un uido se dene como una sustancia que sufre una deformacin continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante no importa que tan pequeo sea ste. En cambio, cuando se le aplica la accin de un esfuerzo cortante pequeo a un slido elstico no se deforma continuamente, sino que asume una conguracin determinada ja. Los uidos como ya mencionamos se dividen en lquidos y gases. Las fuerzas intermoleculares son mayores en los primeros, por lo que, al variar la presin o la temperatura los gases cambian fcilmente su volumen a diferencia de los lquidos.

2.1.2.

El uido como un medio continuo

En la Fsica, la teora de la dinmica de los uidos es desarrollada bajo dos puntos de vista: el microscpico y el macroscpico. En el nivel microscpico se toma en cuenta la estructura molecular del medio y el movimiento unidimensional de las partculas que lo forman. En el macroscpico en cambio, se consideran las propiedades fsicas del medio. Sin embargo es importante notar que la materia no es continua, es decir que a nivel microscpico la materia tiene espacios entre las molculas que la componen y a su vez stas molculas estan compuestas por tomos que tambin estan espaciados y as sucesivamente. Por ejemplo, si se quiere describir el movimiento de un uido se pueden aplicar las leyes de Newton a cada una de las partculas y seguir su evolucin en el tiempo, pero desafortunadamente esto sera imposible de llevar a cabo incluso con el actual desarrollo de las computadoras. As en lugar de estudiar por separado la conglomeracin real de molculas se supone que el ujo es un medio continuo. En la hiptesis del continuo se considera que cada una de las propiedades del sistema est uniformemente distribuida sobre ste. As, los slidos y los 11

uidos se pueden considerar medios que poseen continuidad en todas sus propiedades y ser estudiados bajo tal suposicin. Esta hiptesis signica que es posible asignar valores denidos de las propiedades del sistema (o porcin de materia) a un punto y que los valores de esas propiedades son funciones continuas de la posicin y del tiempo. Por eso, la hiptesis del continuo es la base de la mecnica de uidos. En lo sucesivo ser necesario suponer la existencia de un elemento pequeo o partcula del uido, la cual tendr que ser sucientemente grande para contener muchas molculas.

2.1.3.

Propiedades fsicas de los uidos

En los uidos se identican algunas propiedades fsicas cuyos valores pueden estar sujetos a cambios dependiendo de otras variables como: temperatura, presin, etc. Presin (P ).-Es la fuerza normal que acta sobre un rea determinada P = Las propiedades del ujo son: F A (3)

Viscosidad ().- La viscosidad es una propiedad distintiva de los uidos se dene como la resistencia que opone un uido a deformarse continuamente cuando se le somete a un esfuerzo de corte o tambin llamado esfuerzo tangencial. Sus unidades son [M/LT]. Estos esfuerzos tangenciales que se producen en un uido no dependen de las deformaciones que experimenta sino de la rapidez con que stas se producen. Mas an, la ley de variacin entre los esfuerzos tangenciales y la

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rapidez con que ocurren las deformaciones es distinta segn el tipo de uido del que se trate. El agua es un uido de baja viscosidad.

Densidad (). Se dene como la masa por unidad de volumen m (4) V sus unidades son: [M/L3 ]. Si la densidad vara de punto a punto entonces: = dm (5) dV donde dm es un elemento innitesimal de masa y dV un elemento innitesimal de volumen. = El cambio en la densidad de un uido depende del cambio en algunos factores como la temperatura, presin o de la concentracin de alguna substancia. En el caso del agua en un acufero no consideramos otras substancias y adems la temperatura se mantiene constante, entonces podemos escribirla como una funcin que depende slo de las variaciones en la presin. = (P ) Tambin estamos considerando el hecho de que la cantidad de masa de agua que uye no cambia, es decir se mantiene constante, de la ecuacin (4) = y si adems la consideramos unitaria 1 V Esta funcin est denida para todos y cada uno de los puntos de la regin de estudio, as: = 13 1 m V

1 =V y 1 = V si derivamos d1 dV = dP dP Si la Compresibilidad se dene como:

V P Entonces se pueden establecer la siguiente relacin: V dV = P dP Cuando es constante la compresibilidad V =0 P Es decir el uido es incompresible. La compresibilidad puede usarse para distinguir los lquidos de los gases, los gases son mucho ms compresibles que los lquidos. Desde el punto de vista de la dinmica, no importa si el uido es lquido o gas, las leyes que se aplican son las mismas, pero en ocasiones, dependiendo del uido que se trate, es posible despreciar algunos efectos y simplicar su estudio. Frecuentemente, lquidos como el agua pueden considerarse incompresibles bajo ciertas condiciones. Velocidad (v).- Es la distancia recorrida por la partcula entre el tiempo que tarda en recorrerla v= 14 x t

dx dt

v=

Es conocido el hecho de que la velocidad es una cantidad vectorial. Sus L unidades son T . Otras deniciones importantes en cuanto al estudio de los uidos son: Peso especco ( ).- Se dene como el peso por unidad de volumen = peso W = V vol (6)

sus unidades son: [F/L3 ] Relacionamos ambas igualdades (3) y (5) recordando que: W = mg. Sustituyendo W en (6) y despejando a m en (4 ) y (6 ) tenemos: m = V y m= as: = g (10) V g (9) (8) (7)

y as el peso especco queda en trminos de la densidad y la gravedad. Flujo: es un uido en movimiento. Estado estacionario: Decimos que el ujo est en estado estacionario cuando la velocidad y la presin en cada punto son constantes en el tiempo.

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Figura 2: Flujo de agua en acuferos

2.2.

Agua subterrnea

Se denomina, agua subterrnea, al agua que se encuentra bajo la supercie de la tierra ocupando el espacio entre las partculas del suelo entre las supercies rocosas, como lo muestra la gura (2). El agua no siempre se mueve de los puntos de mayor altura a los de menor (2a), en general se mueve de los puntos que tiene mayor energa a los que tienen menor energa. Esa energa se denomina potencial hidrulico. En la gura (2b) el agua se mueve de abajo hacia arriba, y en la gura (2c) el agua se mueve verticalmente hacia arriba.

Acufero: Un acufero es un medio formado por rocas o sedimentos que se encuentra bajo la supercie de la tierra y que tiene dos caractersticas importantes: (a) contiene agua (b) permite que cantidades signicativas de agua se muevan a travs de l. Gasto(Q): es el volumen de uido que atraviesa cualquier rea en la 3 unidad de tiempo [ L ]. T Q= 16 V t

2.2.1.

Clasicacin de acuferos

De acuerdo con su estructura y su formacin geolgica los acuferos se clasican en: Acufero libre Se llama as al que est conectado directamente con la supercie y por abajo tiene una capa impermeable Acufero connado: Est acotado por arriba y por abajo mediante capas geolgicas impermeables. Acuitardo: Se llama as cuando solo permite el ujo de agua verticalmente hacia arriba.

2.2.2.

Propiedades fsicas de los acuferos:

Los acuferos tienen algunas propiedades que permiten clasicarlos en distintos tipos. La propiedad ms importante de los acuferos es la conductividad hidrulica, que indica la capacidad de ste para conducir el agua bajo gradientes hidrulicos; sta depende tanto de las propiedades del uido como del medio y se expresa de la siguiente manera. Conductividad hidrulica (K) K= donde: L g = aceleracin de la gravedad [ T 2 ] 17 kg (11)

k = permeabilidad del medio [L2 ] M =densidad [ L3 ] M =viscosidad [ LT ] La permeabilidad (k) se dene como la capacidad del sistema para transmitir un uido y sus unidades son de rea [L2 ]. De acuerdo con la conductividad hidrulica, los acuferos se clasican en Acufero Isotrpico: Se llama as cuando la conductividad hidrulica K de un punto en un acufero es la misma para cualquier direccin. Acufero Anisotrpico: En este caso, la conductividad hidrulica K de un punto en un acufero vara con la direccin. Acufero Homogneo: Un medio, en este caso un acufero es homogneo si la propiedad o las propiedades son las mismas en cada uno de sus puntos. Acufero Heterogneo: Si la propiedad varia con la posicin el acufero es heterogneo. Transmisividad ( T ) Es una propiedad que indica la facilidad de un 2 acufero para dejar pasar el agua a travs de su espesor. Sus expresa en ( L ). T Su frmula: T = Kb (12) donde: K = conductividad hidrulica b = espesor del acufero Carga hidrulica (h): Es la fuerza por unidad de rea ejercida por una columna de lquido a una altura determinada. 18

El Coeciente de Almacenamiento (S) en un acufero connado se dene como la variacin en el volumen de agua por unidad de rea. Es una cantidad adimensional y se expresa: S= V Ah (13)

donde: V = variacin del volumen de agua A = unidad horizontal de rea h = variacin de la carga hidrulica

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Figura 3: Ley de Darcy

2.3.2.3.1.

Descripcin del ujo en medios porososLey de Darcy

La principal ley de ujo de agua subterrnea en un medio poroso, fue establecida por un ingeniero francs H. Darcy en 1856 quien observ el paso de agua a travs de varios materiales dentro de un conducto con una longitud y rea de seccin transversal especca. En la gura (3) se describe el experimento de Darcy es decir el ujo de un lquido a travs de un medio poroso en una columna vertical o ltro. Se conoce el ujo o gasto, Q, que entra y viaja a travs de la columna y el rea A de la seccin transversal. Se mide la distancia entre los niveles de agua y los dos manmetros (tubos hacia arriba). De aqu se deriva la ley de Darcy y nos dice que el volumen de agua que uye por unidad de tiempo es proporcional al rea y a la diferencia de alturas (de entrada y salida) e inversamente proporcional a la longitud recorrida y la ecuacin se escribe de la siguiente manera: 20

Q=

KA(h1 h2 ) KAh = L L

(14)

donde: Q = volumen de agua que uye por unidad de tiempo [L3 /t] h =diferencia entre los niveles de agua [L] L = longitud lineal del recorrido del ujo [L] A = seccin transversal de area [L2 ] K = conductividad hidrulica [L/T ] es decir: La ley de Darcy nos dice que: "la velocidad del ujo es proporcional al gradiente hidrulico" es decir: dh Q = K (15) A dl el signo negativo indica que el agua uye en la direccin de la prdida de altura, a v le llamaremos velocidad de Darcy. U= Si el area A es unitaria A = 1 entonces tenemos que: dh dl

U = Q = K

(16)

En dos dimensiones y con K constante tenemos dh dh U = K , = Kh dx dy

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3.

Conceptos bsicos de la teora de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Una cantidad fsica puede ser expresada por una funcin de dos o ms variables. Si queremos saber el comportamiento de tal funcin sin conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una ecuacin tal que sta este en funcin de sus derivadas parciales. Existen distintos fenmenos que pueden ser descritos por una misma ecuacin. En general: Denicin 1 Una Ecuacin en Derivadas Parciales (EDP) es una relacin de la forma: (17) F (x, t, u, ux1, , ..., uxn1 , ut , ..., D u) = 0 donde: u = u(x, t) es una funcin de la variable independiente x = (x1 , ..., xn1 ) Rn1 y de la variable temporal t R, adems de ser la incgnita; y = (1 , ..., n ) es un multindice perteneciente a Zn Rn , + de tal forma que D u denota una derivada parcial iterada de u de orden || = 1 + 2 + ... + n , en la que derivamos 1 veces con respecto a la variable t y j veces en cada una de las variables xj . D u := ux1 x2 ...xn+11 2 n+1

||

Observemos que || es el orden de la derivada D u. Por denicin si = (0, 0, ..., 0) entonces D u u. Podramos simplemente denotar a t como la variable xn , puesto que es una ms de las variables consideradas. Sin embargo, de acuerdo con nuestra concepcin del universo, es conveniente distinguir la variable temporal de las dems.

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La notacin que usaremos ser como sigue: Consideremos una funcin u que depende solo de dos variables independientes x e y. Usualmente se escribe de la siguiente forma

u = u(x, y) lo cual, en este caso, designa a u como una funcin de las variables independientes x e y. Las derivadas parciales las escribiremos como sigue: u u 2u 2u ; uy = ; uxx = 2 ; uyy = 2 ; ... x y x y

ux =

con lo anterior podemos representar a una EDP en forma general como en (17), donde F es una funcin de las variables indicadas y al menos una derivada parcial existe. As una EDP es una ecuacin que tiene como incgnita a una funcin de dos o ms variables y que involucra a una o ms de sus derivadas parciales.

El orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuacin. La linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coecientes dependen slo de las variables independientes entonces a la ecuacin se le denomina lineal, es decir, si F puede ser expresada como una combinacin lineal de u y sus derivadas. Si adems dependen de la propia funcin o de alguna de sus derivadas parciales entonces la ecuacin es no lineal. En esta tesis nos ocuparemos de una ecuacin diferencial parcial lineal y de segundo orden.

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Denicin 2 Una EDP de segundo orden en las variables independientes x e y en la funcin incgnita u(x, y) es una expresin de la forma: F (x, y, u, ux , uy , uxx , uyy , uxy ) = 0 donde al menos una derivada parcial existe. (18)

Denicin 3 Por solucin de la ecuacin (18) entendemos una funcin u denida en un conjunto abierto R2 u : R de manera que u C 1 () y (1) (x, y, u(x, y)) G R3 ; (2) Cualquiera que sea (x, y) se verica la ecuacin (18) La Ecuacin Diferencial Parcial est denida para todos los puntos (x, y) que estan dentro de alguna regin R2 llamada el dominio de la EDP. La solucin analtica de una EDP la cual puede ser escrita como

u = u(x, y) denota una funcin que cuando se sustituye en la EDP genera una identidad. Por supuesto cuando se busca la solucin de una EDP es necesario considerar condiciones auxiliares, es decir condiciones iniciales y de frontera, apropiadas. Adems todos los problemas razonables, bien planteados, tienen una nica solucin y sta depende continuamente de las condiciones auxiliares. Un problema bien planteado, puede considerarse uno para el que una pequea perturbacin en las condiciones iniciales conduce a un pequeo cambio en la solucin. 24

La ecuacin (18), usualmente se derivada en el mbito de la Mecnica, y establece una relacin entre la incgnita u, sus derivadas parciales hasta un cierto orden y el punto (x, y) espacio temporal ya que usualmente la variable independiente y representa el tiempo. La funcin u representa una cantidad fsica, como por ejemplo: temperatura, concentracin de un contaminante, intensidad de una seal acstica, deformacin de una estructura, etc.

3.1.

Clasicacin de las EDP

FORMA GENERAL DE UNA ECUACION DE SEGUNDO ORDEN La EDP de segundo orden en dos variables independientes x y y con coecientes constantes tiene la forma:

Auxx + Buxy + Cuyy = Dux + Euy + F

(19)

Una ecuacin diferencial parcial (Allen, Herrera, Pinder; 1988) es: hiperblica si parablicas si elptica si d = B 2 AC > 0 d = B 2 AC = 0 d = B 2 AC < 0

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3.2.

Condiciones iniciales y de frontera

Por otra parte adems de la ecuacin diferencial parcial por resolver, las condiciones iniciales y de frontera juegan un papel importante en la solucin y en general en la modelacin de cualquier fenmeno fsico. Un primer problema asociado con las EDP que se plantea es, si al conocer el valor de la funcin en el instante t = 0,

u(x, 0) = u0 (x)

(20)

se puede predecir el valor de la funcin en tiempo futuro, es decir en t > 0. Esto signica encontrar una funcin u(x, t) tal que se veriquen (18) y (20) para x Rn y t > 0. Este problema se denomina problema de valor inicial o problema de Cauchy. Aqu u0 (x) es una funcin conocida. En el problema de Cauchy se supone que el medio fsico ocupa todo el espacio y se observa la evolucin del sistema en t > 0. En algunas situaciones el problema de Cauchy es una buena aproximacin del fenmeno real. Por otro lado si , es un dominio 2-dimensional, es la regin de estudio donde est denida la funcin u, y su frontera entonces las condiciones de frontera apropiadas para una EDP de segundo orden pueden ser de tres tipos, su forma general es la siguiente. u (x, y, t)u f (x, y, t) n

(x, y, t)

(21)

Donde (x, y) ; , son coecientes conocidos; y f (x, y, t) es especicada.

26

3.2.1.

Condiciones de Dirichlet:

Cuando 0, la ecuacin (21) se reduce a: (x, y, t)u f (x, y, t) Y especifca condiciones tales que los valores que la funcin u toma en la frontera son conocidos a travs de una funcin f .

3.2.2.

Condiciones de Neumann

Ocurren cuando 0 en la ecuacin (21) (x, y, t) u f (x, y, t) n

es decir se conoce el valor de la derivada de la funcin u con respecto a la normal a lo largo de la frontera. El tercer tipo de condiciones son las

3.2.3.

Condiciones de Robin

Cuando , 6= 0 la ecuacin (21) especifca condiciones de frontera de Robin. Y son una combinacin de las dos anteriores. Tenemos informacin de la funcin u en la frontera.

27

3.3.

Problemas bien planteados

Usualmente se tiene que hallar una solucin que verique ciertas condiciones auxiliares. Un problema de este tipo puede tener una solucin, ninguna solucin o incluso innitas soluciones. Esto nos induce necesariamente a considerar el adecuado planteamiento de los problemas, para obtener resultados que describan en buena medida la realidad y permitan adems efectuar predicciones. Si el modelo representa adecuadamente el fenmeno fsico que se estudia cabe esperar que posea solucin nica. Por otro lado, se puede estar seguro de que la solucin existe y es nica pero esto no es suciente para armar que el problema est bien planteado. Tenemos que esperar tambin, que un pequeo cambio en las condiciones auxiliares no produzca grandes cambios en la solucin. Como en la mayor parte de las ocasiones, las EDPs tienen que resolverse numricamente, lo que siempre implica aproximaciones y errores de redondeo si no se cumple lo anterior el modelo sera de muy poca utilidad. As, diremos que un problema para una cierta EDP est bien planteado si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1.- El problema posee una solucin 2.- Esta solucin es nica 3.- La solucin es estable, es decir depende continuamente de las condiciones auxiliares. Para las EDP de segundo orden han sido estudiadas y se conocen resultados para saber qu tipos de problemas estan bien planteados.

28

4.4.1.

Las ecuaciones de balanceMasa y Movimiento

La materia es todo lo que existe en el universo y se haya constituido por partculas elementales mismas que generalmente se encuentran agrupadas en tomos y molculas de constante movimiento y colisin. Sin embargo, como se mencion antes, en la teora del continuo establecida en la Mecnica de Fluidos, se ignora la existencia de la estructura molecular y se considera una distribucin continua de materia es decir, los cuerpos llenan todo el espacio que ocupan. Con base en lo anterior surgen dos niveles de apreciacin de los fenmenos fsicos, el nivel microscpico y el nivel macroscpico. Usaremos este ltimo ya que para nuestros nes y de acuerdo con la mecnica del medio continuo el nivel macroscpico no toma en cuenta la estructura molecular. Bajo la suposicin de que la materia es impenetrable y que puntos distintos de materia en un cuerpo nunca ocupan el mismo punto en el espacio escribimos matemticamente este axioma de continuidad o hiptesis del continuo, que implica la existencia de una correspondencia uno a uno entre puntos materiales o partculas X, y los puntos x en el espacio que ocupan. As tenemos la siguiente relacin: x = p(X, t) = (x1 (X, t), x2 (X, t), x3 (X, t)) obtenemos as la posicin del punto material X en el tiempo t. Por el Teorema de la Funcin Inversa, existe una funcin inversa que da las coordenadas materiales en trminos de las coordenadas espaciales (22)

p1 (x, t) = X 29

Figura 4: Posicin de la partcula en el paso del tiempo La funcin anterior se llama el movimiento del cuerpo. Adems p es diferenciable para todo tiempo excepto tal vez para un cierto conjunto de puntos singulares. Estrictamente hablando p es una funcin mientras que x denota una posicin en el espacio. Hay dos tipos de propiedades que presenta la materia, las propiedades intensivas y las propiedades extensivas. (Allen, Herrera, Pinder;1988). Denicin 4 Las propiedades intensivas son funciones denidas para cada tiempo en cada una de las partculas de un sistema continuo. Pueden ser funciones escalares o funciones vectoriales. No dependen del volumen. Denicin 5 Las propiedades extensivas son funciones que a cada cuerpo de un sistema continuo y a cada tiempo t le asocian un nmero real o un vector en R3 . Estas si dependen del volumen. Las propiedades intensivas se pueden describir desde dos puntos de vista, el enfoque Lagrangiano y el enfoque Euleriano. En uno de ellos se especifca qu pasa con el punto material identicado por sus coordenadas materiales X. Esta es la forma Lagrangiana. Como una 30

alternativa podemos enfocarnos sobre qu est pasando en un punto especco x en el espacio por el cual se mueven los puntos materiales. A este segundo enfoque se le llama la forma Euleriana y a menudo se usa para describir el movimiento de los cuerpos en los cuales las trayectorias de los puntos materiales son difciles de describir en la prctica. El ujo de un uido es un ejemplo de movimiento complicado en los cuales el enfoque Euleriano es apropiado.

Denicin 6 Dada una propiedad extensiva, la propiedad intensiva que le corresponde es la funcin que aparce como integrando cuando la propiedad extensiva se expresa como una integral de volumen.

4.2.

Ecuaciones de balance

Las ecuaciones bsicas de la mecnica de uidos se expresan a travs de las leyes de balance de masa, momento y energa. En esta tesis nos serviremos principalmente de la ecuacin de balance de masa, la cual se deriva del hecho de que : "la masa no se crea ni se destruye".

4.2.1.

La Ecuacin de Balance Global

La variacin de una cantidad fsica dentro de una regin , se puede expresar de manera general de acuerdo con la siguiente ecuacin de balance global (Allen, Herrera, Pinder;1988): Z + (v) g = 0 t

(23)

(t)

donde 31

g la cantidad que se genera consume dentro del cuerpo en la unidad de tiempo es la cantidad que entra sale por la frontera del cuerpo en la unidad de tiempo v representa la velocidad es una propiedad intensiva Que un sistema satisfaga la ecuacin de balance global es equivalente a que dicho sistema cumpla con la siguiente ecuacin diferencial (Allen, Herrera, Pinder;1988): + (v) = . + g t

(24)

para todo punto x de la regin ocupada por el sistema. Esta es la Ecuacin de Balance Local. Para utilizar esta ecuacin se debe elegir a , , y g, correctamente, donde = (x, t) es la propiedad intensiva. Para derivar el modelo en este tipo de fenmenos fsicos como el que se est tratando se requiere hacer un balance de masa, esto signica establecer la relacin que hay entre la masa de agua que entra y la que esta saliendo en una cierta regin. Haciendo estas dos consideraciones se abarca el hecho de que haya cualquier posible fuente o sumidero que no son ms que entradas o salidas respectivamente. As se toma en cuenta toda entrada o salida para establecer el cambio, en este caso, del nivel de agua (o almacenamiento).

4.3.4.3.1.

Derivacin de la ecuacin general de ujoBalance de Masa

En el nivel macroscpico es vlido pensar que la densidad de un uido est denida en todo el espacio. Asi podemos denir a la masa de la siguiente 32

manera: Denicin 7 La masa, tanto de un slido como de un uido libre es igual a la integral sobre el volumen del cuerpo, de la densidad. As: M(t) = Z (x, t)dx (25)

(t)

donde M(t) es la masa del uido que encierra el cuerpo en el instante t. Por esto, la masa es una propiedad extensiva y su propiedad intensiva asociada es la densidad (x, t).

Denicin 8 En un medio poroso la masa del uido contenido en los poros est expresada en trminos de la densidad del uido y la porosidad del medio. Y entonces la expresamos de la siguiente manera: M(t) = Z (x, t)(x, t)dx (26)

(t)

donde es la porosidad. As en un medio poroso la propiedad extensiva M tiene como propiedad intensiva al producto de la densidad por la porosidad. Para encontrar la expresin que modela el ujo de un uido en un medio poroso, comenzamos identicando la propiedad extensiva de inters que en este caso es la masa del uido M(t) con su correspondiente propiedad intensiva. De la ecuacin 26 tenemos que: = (x, t)(x, t), si adems suponemos = 0 y g = 0 as, sustituyendo en 24 () + (v) = 0; t

x (t)

(27)

Como la v es la velocidad de Darcy U = v = Kh 33

() + (U) = 0; t

x (t)

(28)

Otra de las hiptesis de los modelos de ujo es que la densidad y la porosidad son funciones de la presin. Desarrollando el primer termino de la ecuacin anterior y aplicando la regla de la cadena d P d P () = + t dP t dP t hacemos =d dP

y=

1 d dP

se tiene que:

() P P = + t t t () P P = + t t t P () = ( + ) t t (29)

En hidrologa subterrnea se dene el almacenamiento especco como g Ss = ( + ) entonces: () 1 P = Ss t g t Se dene el nivel piezomtrico para el caso de acuferos como: h P = g t t as: h () = Ss t t 34

sustituyendo en la ecuacin 28 h + (U ) = 0 t

Ss

Desarrollando el segundo trmino del lado izquierdo de la ecuacin: h + U + U = 0 t

Ss

dividiendo cada trmino de la ecuacin entre h +U +U =0 t

Ss

sabiendo que 1 = In resulta: Ss h + U In + U = 0 t

El trmino U |In| se puede igualar a cero ya que |In|