perelman, yakov - cálculo mental

7/31/2019 Perelman, Yakov - Clculo Mental

1/11

Captulo 21

Calculo rpido

(Procedimientos fciles de clculo mental)

Aqu se han recogido algunos procedimientos de clculo mental rpido, simples

aprender. Los que utilicen estos procedimientos deben recordar que su dominio eficaz

su aplicacin mecnica, sino completamente consciente y, adems, un entrenamiento


2/11

prolongado. Pero una vez aprendidos los procedimientos que recomendamos, pu

clculos mentales rpidos con la misma seguridad que se escribieran.

Multiplicacin por un nmero dgito

Para multiplicar mentalmente un nmero por un factor dgito (por ejemplo, 27 *empezando por multiplicar no las unidades, como en el clculo escrito, sino las

multiplicando (20 * 8 = 160), despus se multiplican las unidades (7 * 8 = 56) y lu

ambos resultados (160 + 56 = 216).

Otros ejemplos:

34 * 7 = 30 * 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238

47 * 6 = 40 * 6 + 7 * 6 = 240 + 42 = 282

Conviene saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9:

x 2 3 4 5 6 7 8 9

11 22 33 44 55 66 77 88 99

12 24 36 48 60 72 84 96 108

13 26 39 52 65 78 91 104 117

14 28 42 56 70 84 96 112 126

15 30 45 60 75 90 105 120 135

16 32 48 64 80 96 112 128 144

17 34 51 68 85 102 119 136 153

18 36 54 72 90 108 126 144 162

19 38 57 76 95 114 133 152 171

Sabiendo esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por ejemplo, 147 * 8, as:

147 * 8 = 140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.

Cuando uno de los nmeros que se multiplica puede descomponerse en factores d

cmodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por ejemplo:

225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 + 1350.

Multiplicacin por un nmero de dos cifras

La multiplicacin por un nmero de dos cifras se procura simplificar para el c

reducindola a una multiplicacin ms habitual por un nmero dgito.


3/11

Cuando el multiplicando es dgito, se considera mentalmente que es multiplicador y la

se hacen como se dijo en el 1. Por ejemplo:

6 * 28 = 28 * 6 = 120 + 48 = 168.

Si los dos factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y

ejemplo:

29 * 12 = 29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.

41 * 16 = 41 * 10 + 41 * 6 = 419 + 246 = 656.

( 41 * 16 = 16 * 41 = 16 * 40 + 16 - 640 + 16-656)

Resulta ms conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que

expresadas con nmeros menores.

Si el multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con facilida

dgitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta circunstancia para disminu

factores, aumentando el otro las mismas veces (comprese con el 3). Por ejemplo:

45 * 14 = 90 * 7 = 630.

Multiplicacin y divisin por 4 y por 8

Para multiplicar, mentalmente, un nmero por 4, se duplica dos veces. Por ejemplo:

112 * 4 = 224 * 2 = 448. 335 * 4 = 670 * 2 = 1340.

Para multiplicar, mentalmente, un nmero por 8, se duplica tres veces. Por ejemplo:

217 * 8 = 434 * 4 = 868 * 2 =1736.

Otro procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en aadirle un cero al m

rstale el duplo de dicho multiplicando (es decir, en definitiva se multiplica por 10 - 2)

217 * 8 = 2170 - 434 = 1736.

Resulta an ms cmodo proceder as:

217 * 8 = 200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.


4/11

Para dividir un nmero por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por ejemplo:

76 : 4 = 38 : 2 = 19. 236 : 4 = 118 : 2 = 59.

Para dividir un nmero por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por ejemplo:

464 : 8 = 232 : 4 =116 : 2 = 58.

516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64,5.

Multiplicacin por 5 y por 25

Para multiplicar, mentalmente, un nmero por 5, se multiplica por 2 , es decir, s

nmero un cero y se divide por dos. Por ejemplo:

74 * 5 = 740 : 2 = 370.

243 * 5 = 2430 : 2 =1215.

Cuando el nmero que se multiplica por 5 es par, resulta ms cmodo dividir primera

aadir despus un cero a la cantidad obtenida. Por ejemplo:

74 * 5 = 74/2 * 10 = 370.

Para multiplicar un nmero por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, s

mltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le aaden dos ceros. Por ejemplo:

72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800.

Si al dividir el nmero por 4 queda resto,

cuando el resto es 1 se le aade al cociente 25

2 50

3 75

La base, en que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 : 4

= 50; y 300 : 4 = 75.

Multiplicacin por 1 1/2, por 1 1/4, por 2 1/2 y por 3/4

Para multiplicar, mentalmente, un nmero por 1 1/4, se le aade al multiplicando

ejemplo:


5/11

34 * 1 1/2 = 34 + 17 = 51. 22 * 1 1/2 = 23 + 11 1/2 = 34 1/2 ( 34,5)

Para multiplicar, mentalmente, un nmero por 1 1/4, se le aade al multiplicando su

Por ejemplo:

48 * 1 1/4 = 48 + 12 = 60. 58 * 1/4 * 58 + 14 1/2 = 72 1/2 (6 72,5).

Para multiplicar un nmero por 21/a mentalmente, al nmero duplicado se la aad

multiplicando. Por ejemplo:

18 * 2 1/2 = 36 + 9 = 45. 39 * 2 1/2 = 78 + 19 1/2 = 97 1/2 (6 97,5).

Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y dividir por dos: 18 * 21/2=90 : 2 =

Para multiplicar un nmero por 3/4 mentalmente (es decir, para hallar las 3/4 pa

nmero), se multiplica por 1 1/2 y se divide por dos. Por ejemplo:

30 * 4 = 30 215 - 22 2 ( 22 5).

Una variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su cu

la mitad del multiplicando se le aade la mitad de esta mitad.

Multiplicacin por 15, por 125, por 75La multiplicacin por 15, se sustituye por la multiplicacin por 10 y por 1 1/2 (porque

15).

Por ejemplo:

18 * 15 = 18 * 1 1/2 * 10 = 270

54 * 15 = 45 * 1 1/2 * 10 = 675

La multiplicacin por 125 se sustituye por la multiplicacin por 100 y por 1 1/4 (porqu

= 125). Por ejemplo:

26 * 125 = 26 * 1 1/4 * 100 = 2600 + 650 = 3250

47 * 125 = 47 * 100 * 1 1/4 = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875

La multiplicacin por 75 se sustituye por una multiplicacin por 100 y por 3/4 (porqu

75). Por ejemplo:


6/11

18 * 75 = 18 * 100 * 3/4 = 1800 * 3/4 = (1800 + 900)/2 = 1350

Observacin: Algunos de los ejemplos citados tambin pueden resolverse fcil

Procedimiento 6.

18 * 15 = 90 * 3 = 270

26 * 125 = 130 * 25 = 3250

Multiplicacin por 9 y por 11

Para multiplicar mentalmente, un nmero por 9, se le aade al nmero un cero y


62 * 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558

73 * 9 = 730 - 73 = 700 - 43 =657

Para multiplicar un nmero por 11 mentalmente, se le aade al nmero un cero y


87 * 11 = 870 + 87 = 957

Divisin por 5, por 1 1/2 y por 15

Para dividir mentalmente, un nmero por 5, se separa con una coma la ltima cifra

nmero. Por ejemplo:

68 / 5 = 136 /10 = 13,6

237 / 5 = 474 / 10 = 47,4

Para dividir un nmero por 1 1/2 mentalmente, se divide por 3 el duplo del nmero. Po

36 : 1 1/2 = 72 : 3 = 24.

53 : 1 1/2 =106 : 3 = 35 1/3.

Para dividir un nmero por 15 mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho

ejemplo:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 =16. 462 : 15 = 924 : 30 = 3024/30 = 304/5 = 30,8.

308 : 10 = 30,8).


7/11

Elevacin al cuadrado

Para elevar al cuadrado un nmero terminado en 5 (por ejemplo, 85) se multiplica

decenas (8) por s mismo ms una unidad (8 * 9 = 72) y se le aade 25 (en nuest

obtiene 7225). Otros ejemplos:

252; 2 * 3 = 6; 625.

452; 4 * 5 = 20; 2025.

1452; 14 * 15 = 210; 21025;

Este procedimiento se deduce de la frmula

(10 x + 5 )2 = 100 x2 + 100 x + 25 = 100 x ( x + 1) + 25.

El procedimiento que hemos indicado puede aplicarse tambin a las fracciones d

terminan en la cifra 5:

8,52 = 72,25; 14,52 = 210,25;

0,352 = 0,1225; etc.

Como 0,5 = 1/2 y 0,25 = 1/4, el mtodo del Procedimiento 25. puede utilizarse tamb

al cuadrado los nmeros que terminan en la fraccin 1/2:

( 8 1/2)2 = 72 1/4

(14 1/2)2 = 210 1/4, etc.,

Cuando la elevacin al cuadrado se hace mentalmente, suele ser cmodo utilizar la fr

(a b)2 = a2 +b2 2 ab.

Por ejemplo:

412 = 402 + 1 + 2 * 40 = 1601 + 88 = 1681.

692

= 702

+ 1 - 2 * 70 = 4901 - 140 = 4761.362 =(35 + 1 )2 = 1225 + 1 + 2 * 35 = 1296.

Este procedimiento resulta cmodo cuando los nmeros terminan en 1, 4, 6 y 9.

Clculos por la frmula (a + b)*(a - b) = a2 - b2

Supongamos que hay que hacer mentalmente la multiplicacin 52 * 48.


8/11

Nos figuramos estos factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la frmula q

encabezamiento:

(50 + 2) * (50 - 2) - 502 - 22 = 2496.

De un modo semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los fa

cmodo representarlo en forma de suma de dos nmeros, y el otro, en forma de difer

mismos nmeros.

69 * 71 = (70 - 1) * (70 + 1) = 4899.

33 * 27 = (30 + 3) * (30 - 3) = 891.

53 * 57 = (55 - 2) * (55 + 2) = 3021.

84 * 86 = (85 - 1) * (85 + 1) = 7224.

Este mismo procedimiento puede utilizarse tambin eficazmente para los clculos del t

7 1/2 * 6 1/2 = ( 7 + 1/2) * ( 7 - 1/2) = 48 3/4

11 3/4 * 12 1/4 = (12 - 1/2) * (12 + 1/4) = 143 15/16.

Conviene recordar que 37 * 3 = 111

Recordando esto es fcil multiplicar mentalmente el nmero 37 por 6, 9, 12, etc.

37 * 6 = 37 x 3 * 2 = 222.

37 * 9 = 37 * 3 * 3 = 333.37 * 12 = 37 * 3 * 4 = 444.

37 * 15 = 37 * 3 * 4 = 555, etc.,

Conviene recordar que 7 * 11 * 13 = 1001

Recordando esto es fcil practicar mentalmente multiplicaciones del tipo

77 * 13 = 1001 91 * 11 = 1001 143 * 7 = 1001.

77 * 26 = 2002 91 * 22 = 2002 143 * 14 = 2002.

77 * 39 = 3003 91 * 33 = 3003 143 * 21 = 3003,etc. etc. etc.

Aqu slo se ha hecho mencin de los procedimientos mentales ms fciles y de uso

de multiplicacin, divisin y elevacin al cuadrado. Al practicarlos, el lector reflexivo

toda una serie de otros procedimientos que facilitan el trabajo de clculo.


9/11

primero si es un numero alejado de ese como 5000:7 tenes que hacer un numero que conoscas

cerca de ese como 4900 lo que queda es700 otro numero cerca 70 quedan 30 numero cerca 28

sobran 2 sumas los resultados:

700 mas 10 mas 4 =714

te sobran 2 asi que pones coma y:

20:7=2 sobran 6

60:7=8 sobran 4

40:7=5 sobran 5

50:7=7 sobra 1

10:7=1 sobran 3

30:7=4 sobran2

ahi le pones un arco a todos esos decimales (smbolo de peridico)

espero que te sirva ese largo procedimiento fue solo por el numero 7 no es asi de largo

generalmente

Desarrollo del clculo mentalEs posible que te hayas encontrado en algn momento con esta situacin: ests en el supermercado y

quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas

saber con exactitud cunto llevas gastado, bastara con una aproximacin. Esta situacin puede ser resuelta

de forma rpida utilizando el clculo mental.

Es posible conseguir resultados rpidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones:

1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa

escolar.

2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las

ms sencillas a las ms complicadas.

3. Adquirir unos mnimos conocimientos matemticos, ya que a veces puede ser necesario

descomponer nmeros complicados en otros ms sencillos que faciliten el clculo.

4. Utilizar el sentido comn en estas situaciones.

Las bases de la operacin suma

Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente vers

que muchas ya las conoces.

Conmutatividad. Es ms sencillo sumar el nmero mayor con el menor que el menor con el mayor(6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo.

Conteo ascendente. Es ms fcil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las

monedas que llevas de esta forma.

Dieces. Para sumar 10 a un nmero de una cifra, aadimos un 1 a la izquierda de dicho nmero.

Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el nmero.

Dobles ms uno. 57 + 58 se suma ms fcil doblando el 57 (114) y aadindole 1, operacin que da

115.


10/11

Nmero misterioso. Para sumar dos nmeros casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el nmero

intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16.

0

Los nueves. Para sumar 9 a cualquier nmero, sumamos 10 y restamos uno.

La familia del 10. Para sumar muchos nmeros, es ms sencillo comenzar emparejando los que

sumen diez.

Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los nmeros para poder llegar a diez conel otro sumando.

La tabla de multiplicar

Al igual que con la suma, slo tendrs que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el

colegio.

Conmutar: si sabes cunto es 7 8 sabrs cunto es 8 7. Escoge la opcin que te resulte ms fcil.

Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el nmero dos veces.

Aadir un cero: si tienes que multiplicar un nmero por diez, adele un cero a su derecha y ya

est!

Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 14, es ms fcil doblar el 25 y despus dividir entre dos

14. Es decir, 50 7 = 350.

Cero y mitad: si tienes que multiplicar un nmero por 5, simplemente multiplcalo por diez y divdelo

entre dos.

Descomposicin: si los nmeros son de varias cifras, es ms rpido descomponer uno de ellos en

sumas o restas de nmeros ms pequeos. Por ejemplo, 57 13 equivale a (57 10) + (57 3).

Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes.

Multipliquemos con los dedos de las manos

Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que tambin se

puede multiplicar de una forma rpida y segura con ellos. Si te resulta difcil multiplicar a partir de nmero 5,

slo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuacin.

Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meique.

Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los

nmeros que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por

encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el nmero de dedos que quedan por debajo de

los dedos unidos, el nmero de dedos en la mano derecha y el nmero de dedos en la izquierda. Se

multiplican estos nmeros y se suma el resultado de esta multiplicacin a la cifra obtenida anteriormente.

Como posiblemente te habrs hecho un lo, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho ms claro.

Sumas rpidas o clculo pensado aditivo

Para calcular sumas de forma rpida existen varios mtodos:

Redondeo: buscamos que uno de los nmeros acabe en cero mediante sumas y restas. Ejemplo: 57

+ 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95

Conteo: sumamos progresivamente a uno de los nmeros, de izquierda a derecha, el otro; es decir,

lo ltimo que sumaremos sern las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas...

Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718


11/11

Recolocacin: agrupamos los nmeros cuyas unidades sumen diez. Es ms fcil sumar nmeros

que acaban en cero. Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230

Descomposicin: separamos los sumandos en otros fciles de sumar, intentando que acaben en

cero o que sumen diez. Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 +

7) + 5 = 225

Estas mismas reglas sirven tambin para la resta, ya que esta operacin es la inversa de la suma.

Clculo pensado multiplicativo

Para calcular el resultado de una multiplicacin podemos recurrir a algunos mtodos que nos ayuden a

hacerlo ms rpidamente:

Imagina que coges un lpiz y un papel, y representa mentalmente la operacin.

Utiliza el Mtodo de la distribucin, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma

de otros ms sencillos. Ejemplo: 8 4.211 = 8 (4.000 + 200 + 10 + 1) = 32.000 + 1.600 + 80 + 8 =

33.688

Utiliza el Mtodo de factorizacin, que consiste en transformar cada factor en pequeos productos denmeros ms sencillos. Ejemplo: 25 48 = (5 5) (6 8) = (5 8) (5 6) = 40 30 = 1.200

Estos mismos trucos se pueden aplicar tambin a la divisin, ya que esta operacin se puede expresar como

una multiplicacin.

Resultados aproximados

Cuando nos interesa ms obtener un resultado de forma rpida que la exactitud del clculo en s mismo,

podemos recurrir a dos tcnicas que nos dan resultados aproximados. Eso s, hay que tener en cuenta que

conllevan un error que ser mayor cuanto ms nos alejemos de las cifras reales.

Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual

de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses,

obtendremos el resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta

persona percibe es de 14.493 euros.

Truncamiento: con esta operacin eliminamos decimales, que siempre dificultan la operacin delclculo matemtico. Supongamos que Iaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarn l y

su mujer Ainhoa en la compra domstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si

los cntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los cntimos son 50 o ms

aade un euro al precio.

Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costar unos 55 euros y sin

calculadora! Iaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. As

por ejemplo, si han comprado dos productos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total),

Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).

perelman, yakov - cálculo mental

Documents