43● Noves seccions: «Empresa» i «Bits»

● «Robert P. Langlands, premi Abel 2018», per Pilar Bayer

● Conversa entre Joan Elias i Enric Fossas

● Per què els graduats actuals en Matemàtiques no opten per ser professors en etapes no universitàries?

Institutd’Estudis Catalans

Julio

l 20

18

SCM / Notícies / 43Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

XIX concurs de Fotografia Matemàtica ABEAM 2018

Coberta Notícies 43.indd 1 16/07/2018 11:34:56

Societat Catalana de Matematiques

President: Xavier Jarque i RiberaVicepres.: Enric Ventura i CapellVicepres. adj.: Iolanda Guevara

i CasanovaSecretari: Albert Ruiz i CireraTresorera: Natalia Castellana i VilaVocals: Albert Avinyo i Andres

Marta Berini i Lopez-LaraAbraham De la Fuente i Perez

Nuria Fagella i RabionetJosep Grane i ManlleuCarles Romero i ChesaManuel Udina i Abello

Delegatde l’IEC: Pilar Bayer i Isant

Comunicacions:Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuliol 2018. Numero 43Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap: Albert Avinyo i Andresalbert.avinyo@udg.edu

Disseny: Teresa Sabater

Foto de portada:Guanyadors de XIXe concurs deFotografia Matematica ABEAM2018. Mes informacio a la pagina 94

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

IndexLa Junta informa 1Editorial 2Internacional 3

La columna de l’EMS . . . . . . . . . . . . . . . . 3Reunio de presidents de les filials de l’EMS . . . . 5Council de l’EMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Noticiari 10Les universitats informen . . . . . . . . . . . . . . 10Exposicio del MMACA a Mataro . . . . . . . . . . 18Creacio de la Catedra Mir-Puig . . . . . . . . . . . 20Comissio del Meridia . . . . . . . . . . . . . . . . . 21«Contes per no descomptar-se» . . . . . . . . . . . 22

Activitats 23VII Jornadas de Teorıa de Numeros, Lleida . . . . 23DITMAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Final de la Copa Cangur . . . . . . . . . . . . . . . 25Premis Noether 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Contextualitzacio de les matematiques . . . . . . . 28School on Mathematical Modelling of Tumour Growthand Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Activitats amb ajut de la Societat . . . . . . . . . 32

Premis 36Contribucions 38

Catalunya i la logica borrosa . . . . . . . . . . . . 38Robert P. Langlands, premi Abel 2018 . . . . . . . 42Sobre el Cangur 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Converses a dues bandes 55Joan Elias i Enric Fossas . . . . . . . . . . . . . . . 55

La pregunta de la SCM/Notıcies 58Per que els graduats actuals en Matematiques noopten per ser professors en etapes no universitariesi com es pot pal·liar aquest problema? . . . . . . . 58

Empresa 66Integracio dels matematics a l’empresa . . . . . . . 66Entrevista a Aleix Valls, CEO de LiquiD . . . . . . 69

Bits 73Bits de matematiques . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Cultura 75Fermat torna al teatre . . . . . . . . . . . . . . . . 75Inside Interesting Integrals, de Paul Nahin . . . . . 80El sistema d’eixos de coordenades, de Nil Puiggros 82

Raco biografic 84Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Problemes 89Matemots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

XIXe concurs de Fotografia Matematica ABEAM 2018 94

La Junta informa

Report de la JuntaAlbert RuizSecretari de la SCM

Comencem aquest report informant d’uncanvi a la junta de la Societat Catalanade Matematiques: la professora Pilar Bayer,catedratica emerita a la Universitat de Barce-lona, ha substituıt el professor Joan Girbau,catedratic emerit a la Universitat Autonoma deBarcelona, com a delegat de l’Institut d’EstudisCatalans (IEC) a la junta de la SCM. Desde la junta, volem donar la benvinguda a laprofessora Pilar Bayer i agrair la feina feta alprofessor Joan Girbau.

L’assemblea del 22 de novembre de 2017 vaautoritzar la junta a actualitzar les quotes desoci, que s’han mantingut durant deu anys. Lajunta va acordar fixar en 40 euros/any la quotade soci ordinari (previament 36 euros/any), 20euros/any la quota d’estudiant i 80 euros/anyla institucional. Seguint tambe els acords del’assemblea, s’oferira la possibilitat de fer quo-tes distingides i donacions.

Continuem amb les accions dutes a termedes de l’anterior informe:

El 9 de febrer es va celebrar el Dia Inter-nacional de la Dona i la Nena a la Ciencia2018. Dins aquest marc, la BGSMath i laSCM van organitzar una jornada especial ambxerrades de Roser Homs, Giulia Binotto i AnaFreire, tallers a carrec de Jessica de Armas,Enric Braso, Alejandra Cabana, Clara Floren-sa, Rosario Delgado, Gemma Colldefons, NuriaFolguera, Patricia Paredes, Marina Vegue iMarina Garrote, i un monoleg d’Eduardo Saenzde Cabezon.

Entre les activitats dirigides a estudiantsd’ensenyament secundari, cal destacar la rea-litzacio el 15 de marc passat de la 23a edicio deles proves Cangur, amb la participacio de mesd’onze mil tres-cents alumnes entre Catalunya iAndorra. Actualment hi ha tres modalitats a lesproves Cangur: primaria (5e i 6e), entre primeri tercer d’ESO, i quart d’ESO i secundariapostobligatoria. De les tres modalitats, les duesprimeres es fan als centres d’estudi, mentre quea la tercera es desplacen a les seus oficials.

L’entrega dels premis es va fer el 15 de maigal Teatre Poliorama.

El 15 de marc es va fer el lliurament delpremi Emmy Noether a Jaume de Dios peltreball «Oscillatory integrals and Kayeka con-jecture». Aixı mateix, es va atorgar una menciohonorıfica Martı Salat pel treball «Lefschetzproperties in algebra and geometry». L’ac-te de lliurament va ser a la seu de l’IEC,despres del debat «El futur professional delsmatematics», amb la intervencio de JoanaCirici (investigadora postdoctoral de la Univer-sitat de Barcelona), Toni Lozano (grup AIA) iNuria Mira (professora de l’institut Maristes deRubı).

Encara en el mateix apartat, el 20 d’abriles van entregar a la seu de l’IEC els premisSant Jordi 2018, dels quals destaquem el quecorrespon a la nostra societat: el premi EvaristeGalois va ser concedit a Oscar Rivero Salgadopel treball «Punts i unitats de Stark», i unaccessit al treball «Stable solutions to nonlinearequations with fractional diffusion», presentatper Tomas Sanz Perela.

En l’apartat institucional, el 14 de maigpassat la professora Marta Sanz-Sole va pro-nunciar el discurs de presentacio com a membrenumeraria de la Seccio de Ciencies i Tecnologiade l’IEC, titulat «L’indeterminisme en el calculi en la modelitzacio matematica».

En l’apartat de comunicacio, destacar l’ac-tualitzacio de la pagina web de la SCM. Enaquesta nova versio es mostra la informaciode manera mes clara i adaptada als diferentsdispositius des dels quals s’accedeix. Es mantel’adreca http://scm.iec.cat i es prioritzen elsanuncis i notıcies actuals i futurs, alhora ques’estan traspassant els continguts de l’antigapagina.

Dins el mateix ambit, l’IEC permet alssocis accedir i editar les seves dades mitjancantla pagina web de la mateixa institucio. Elcontingut es el mateix per a tots els membresde l’IEC i la SCM esta adaptant el contingut

SCM/Notıcies 43 1

d’aquest apartat a les necessitats de la societatfilial.

Despres de resumir les activitats realitza-des, cal destacar que la SCM ha donat suport ales activitats seguents amb el fons de promociod’activitats: Dia Internacional de la Dona i laNena a la Ciencia 2018, Encuentro de Topologıai Encuentro de Jovenes Topolog@s, Geogebra,Group Theory Weekend, Planter Sondejos iExperiments i Tallers de 7 de Mates.

Finalment, en referencia a les activitatsprogramades, destaquem la trobada de lessocietats txeca, eslovena, austrıaca, eslovaca icatalana de Matematiques, que se celebraraentre el 11 i el 14 de setembre a Bratislava(Eslovaquia). Tambe hi ha prevista la trobadad’Ensenyament Matematic organitzat per lessocietats SCM, FEEMCAT i al-Khwarizmi-XEIX, que enguany es fara al setembre aMallorca.

Editorial

EditorialAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

Benvolguts socis i lectors,Ahir va ser el solstici d’estiu i dema sera

la revetlla de Sant Joan. Tot sovint, en el monmediterrani, aquest cap de setmana representala fi de moltes activitats regulars dutes aterme durant les tres estacions anteriors il’inici d’algunes altres amb un marcat caracterfestiu.

Us escric aquest editorial des del tren,tot tornant de Valencia, on he assistit a uncongres internacional sobre noves metodologiesen l’ensenyament universitari. Paraules comflipped classes, quizzes, gamification, vıdeos ensindiquen quin es el camı que actualment s’estaseguint en moltes universitats a l’hora de plan-tejar com s’han de transmetre els coneixementsa aquests nous estudiants que, com ara esta tantde moda dir, ja son absoluts «nadius digitals».Que algunes d’aquestes tecniques o estrategiesmetodologiques noves siguin propostes de llargrecorregut o be modes passatgeres, nomes eltemps ho dira.

En aquest editorial voldria donar la ben-vinguda a tres joves col·laboradors que coor-dinaran, a partir d’aquest numero, dues novesseccions de la SCM/Notıcies: Martı Prats,Aleix Ruiz i Sara Riera. A tots tres, nomes elsvull donar les gracies per acceptar els encarrecsdemanats i que la seva tasca sigui duradora enel temps i interessant per a les lectores i elslectors d’aquesta revista.

En aquest punt, voldria destacar la paraulajoves del paragraf anterior ja que, com ushe anat repetint en altres editorials, un delsobjectius que ens vam imposar en arribar alcarrec d’editor va ser intentar reduir la mitjanad’edat dels col·laboradors habituals, alta o moltalta, depen de com es miri. A poc a poc, i nosense esforcos, ho anem aconseguint.

Aixı, a partir d’ara trobareu una nova seccioanomenada Bits, escrita pel professor MartıPrats de la UAB i que vol ser una continuacio,pero actualitzada als temps d’ara, de la seccio«Webs de Matematiques» que el professor PepBurillo va coordinar de manera excel·lent finsal numero 35 d’aquesta revista.

L’altra seccio que inicia el seu recorreguten aquest numero, es la que hem anomenatEmpresa. Alguns socis de la SCM, i en parti-cular Xavier Jarque, el seu president actual,m’havien comentat repetidament que el monde l’ensenyament i la recerca estaven moltben representats en les seccions actuals de larevista, pero no pas un col·lectiu cada cop mesnombros i important: els graduats o doctoratsen matematiques que treballen en el mon em-presarial. El naixement d’aquesta seccio vol ser,en certa mesura, una primera solucio a aquestamancanca. L’Aleix Ruiz, doctor en Analisi perla UAB i actualment cap de data science enuna start-up portara una subseccio d’opinio ireflexio, mentre que la Sara Riera, matematica

2 SCM/Notıcies 43

i enginyera industrial i actual manager d’Es-trategia Corporativa a Seat, sera l’encarregadad’entrevistar matematiques i matematics cata-lans que treballen en empreses d’ambits diver-sos. En el cas de la Sara, cal destacar tambe queella, la Maria Alberich i la Maria Rosa Massason les uniques dones col·laboradores habitualsde la revista. No cal dir-vos que un altre dels ob-jectius d’aquest editor sera intentar augmentaraquesta xifra, que, ara per ara, es veritablementvergonyosa.

Des fa dos o tres anys, la SCM aprofital’entrega dels premis Noether per organitzarun acte adrecat especialment als alumnes quecursen el darrer any del grau en Matematiquesi en que tres matematics joves (un que treballaen una empresa, un altre en l’ensenyamentsecundari i un altre que fa recerca) expliquenles seves experiencies laborals. En acabar lesseves explicacions, s’obre un torn de preguntesen que els futurs graduats els plantegen dubtes

o questions sobre el camı professional que moltaviat han de triar. En les dues edicions que heassistit s’ha produıt la situacio seguent: despresde diverses preguntes adrecades a la personaque treballa en una empresa o be a la personaque esta fent recerca, un alumne (en tots doscasos, una noia) demana, i no sense certa vergo-nya, a la persona que treballa a l’ensenyamentmitja si paga la pena tots els esforcos fetsdurant la carrera per despres dedicar-se a donarclasse als instituts. En acabar l’acte, i despresde parlar amb la Iolanda Guevara sobre aquesttema, vam decidir que la questio de la seccio«La pregunta de la SCM/Notıcies» seria enaquest numero «Per que els graduats actualsen Matematiques no opten per ser professorsen etapes no universitaries i com es pot pal·liaraquest problema?».

I ja nomes em resta, ara que estic a punt derebre l’estiu, desitjar-vos un bon inici de curs elproper setembre. . .

Internacional

La columna de l’EMSMartı LahozUniversitat de Barcelona – Universite Paris 7Membre corresponsal EMS-SCM

En aquesta edicio destaquem:

• Reunio del Comite ExecutiuEl Comite Executiu de l’EMS es va reunirdel 5 al 7 de gener de 2018 a l’estaciofinlandesa de Koli per debatre l’estrategia allarg termini.

• De cara el proxim ConsellEl maxim organ de l’EMS, el Consell, esconvocara del 23 al 24 de juny de 2018a Praga. A mitjan marc es van presentarels candidats a ser delegats, que represen-ten tant els membres corporatius com elsmembres individuals. Entre altres tasques,la reunio del Consell renovara la ComissioExecutiva, escollira el nou president i unvicepresident. http://euro-math-soc.eu/ems-council-2018-prague-june-23-24

• Trobada de presidentsLa reunio tradicional dels presidents de lessocietats membres de l’EMS fou organit-zada per la Societat Matematica Irlan-desa a Maynooth, del 14 al 15 d’abrilde 2018. http://archive.maths.nuim.ie/staff/sbuckley/18EMS/index.html

• 8ECM i EWMDespres d’una reunio amb representants dela European Women in Mathematics network(EWM), el comite organitzador del congres8ECM ha reconegut la importancia dereforcar les polıtiques de no-discriminacio iha constituıt un subcomite per la igualtatd’oportunitats, presidit per Karin CvetkoVah. El format final del compromıs del’EWM amb el 8ECM es concretara elsetembre del 2018 durant la proxima trobada

SCM/Notıcies 43 3

general de l’EWM. https://sites.google.com/site/ewmgm18/

• 2018 any de la Biologia MatematicaL’EMS, en col·laboracio amb la EuropeanSociety for Mathematical and TheoreticalBiology, va declarar el 2018 Any de laBiologia Matematica.El programa va comencar a principisde gener amb un trobada conjunta aJoensuu (Finlandia) i incloura la con-ferencia sobre biologia teorica i matematica(European Conference on Mathematicaland Theoretical Biology – ECMTB) quese celebrara a finals de juliol a Lisboa(Portugal) i el programa tematic al Mittag-Leffler institute. Trobareu mes informa-cio a http://www.euro-math-soc.eu/year-mathematical-biology-2018/

• Activitats especials de l’EMS

– 7e Congres Iberoamerica de Geometria, aValladolid del 22 al 26 de gener de 2018.

– 12a Conferencia Internacional de Teoria deProbabilitat i Estadıstica Matematica, aVılnius del 2 al 6 de juliol de 2018.

– Conferencia Internacional Emil Artin, aErevan del 27 de maig al 2 de juny de 2018.

• Escoles d’estiu de l’EMS

– New Results in Combinatorial & DiscreteGeometry, al CRM del 7 al 11 de maig de2018.

– Escola d’estiu IAMP-EMS, «Universalityin probability theory and statistical mec-hanics» a Napols de l’11 al 15 de juny de2018.

– La 4a Barcelona Summer School on Stoc-hastic Analysis al CRM del 9 al 13 de juliolde 2018.

– L’escola d’estiu de l’EWM NonlocalInteractions in Partial Differential Equa-tions and Geometry al Mittag-Leffler Ins-titute del 13 d’agost a l’1 de setembre de2018.

• Premi Abel 2018: R.P. LanglandsL’academia noruega de les ciencies i les lletresha concedit el premi Abel 2018 a Robert P.Langlands de l’Institute for Advanced Study

(Princeton, EUA) «pel seu programa visiona-ri que connecta la teoria de representacions ila teoria de nombres». La cerimonia d’entregadel premi va tenir lloc a Oslo el 22 de maigde 2018.

• Distincions de l’EMSAndre Arroja Neves (U. Chicago) va serdesignat EMS Distinguished Speaker al 7eCongres Iberoamerica de Geometria a Va-lladolid.Gigliola Staffilani (MIT) va ser designadaEMS Lecturer i oferira xerrades a la Uni-versita di Roma Tor Vergata, al KTHd’Estocolm i a la trobada de l’EWM aGraz.

• Convocatoria de propostes

– Beques individuals Marie Sklodowska-Curie (H2020-MSCA-IF-2018). Termini:12 de setembre de 2018. https://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/calls/h2020-msca-if-2018.html

– Convocatoria per al cofinancament deprogrames regionals, nacionals i interna-cionals (H2020-MSCA-COFUND-2018).Termini: 27 de setembre de 2018.https://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/calls/h2020-msca-cofund-2018.html

– Convocatoria per a xarxes de formacio in-novadores (H2020-MSCA-ITN-2019). Ter-mini: 15 de gener de 2019. https://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/calls/h2020-msca-itn-2019.html

– Convocatoria ERC Proof of ConceptGrant (ERC-2018-PoC). Termini: 11de setembre 2018. https://ec.europa.eu/research/participants/portal/desktop/en/opportunities/h2020/calls/erc-2018-poc.html

• Ajudes de viatge solidariesL’any passat l’EMS va adjudicar deu ajudesper viatjar especialment reservades a investi-gadors en institucions europees, amb especial

4 SCM/Notıcies 43

prioritat en els paısos on les ajudes de viatgepoden ser mes difıcils d’obtenir. Hi ha dosperıodes de candidatura amb terminis: 31de marc i 30 de setembre. Mes informacioa: http://euro-math-soc.eu/committee/european-solidarity

• Escoles d’estiu de l’EMSL’EMS convida a proposar escoles d’estiuen matematiques. El prototip es una escola

d’una setmana de durada en una areaespecıfica de les matematiques, amb doscursos de 10 hores cadascun com a mınim.El financament de l’EMS nomes es podra uti-litzar per cobrir les despeses dels conferen-ciants i dels participants. Terminis: 30 desetembre de l’any N−1 per escoles d’estiu del’any N . http://euro-math-soc.eu/form/submit-proposal-ems-summer-schools-mathematics

Reunio de presidents de les societats filials de l’EMSXavier JarquePresident de la SCM

El divendres 13 d’abril a la tarda vaig agafarel tren des de Sant Sadurnı d’Anoia fins aCornella de Llobregat, i despres un taxi deCornella fins a l’aeroport del Prat. De camıa l’aeroport vaig tenir l’oportunitat de ferpropaganda a la taxista (que era del poble)sobre el Palau Mercader on hi ha el Museude Matematiques de Catalunya, el MMACA.Em va prometre que hi portaria el seu fill–molt interessat en matematiques i in-formatica– em va dir. No cal perdre mai l’opciode parlar be de matematiques (fins i tot piularun tuit), sobretot si es per parlar be del museu,una referencia.

A l’aeroport agafava un vol cap a Dublın ides d’alla un bus que em va portar a un petitpoblet a uns 30 quilometres, Maynooth (ullque es pronuncia «miniuth»), on hi ha la uni-versitat que porta el seu nom. L’arquitecturagotica dels edificis antics es forca espectaculari em va agradar molt passejar-hi una estonai fer algunes fotografies que vaig compartiramb la SCM via Twitter. El campus estadividit en dues parts: l’antiga amb els edificisgotics i la nova (North Campus) amb edificismoderns.

Amb tot aixo no he dit que hi vaig anara fer, a Maynooth. Com cada any, la SocietatMatematica Europea fa una trobada amb totsels presidents de les seves societats, inclosa lanostra. En aquest cas va ser la Irish Mathe-matical Society que va fer d’amfitriona i lareunio es va celebrar a la universitat esmentada.Aquesta trobada va ser una mica especial pera mi, ja que va ser la meva darrera trobada.

A la propera, hi assistira el/la proper/a presi-dent/a de la SCM, o qui es designi en la sevarepresentacio.

La reunio va comencar el dissabte al migdia,amb una petita recepcio, i es va acabar eldiumenge, tambe al migdia, justament abansde dinar. De fet, vaig aprofitar l’hora de dinarper fer-ho amb Francisco Marcellan, presidentde la Real Sociedad Matematica Espanola, iparlar, entre altres coses, de la representaciode les nostres societats al congres ICM2018(International Congres of Mathematics).Al vespre de dissabte es va fer un soparorganitzat per la societat que acull la trobadaal campus mateix de la universitat. Durant elsopar vaig compartir taula i conversa ambel president de la Danish Mathematical Society,Steen Thorbjørnsen (seguidor incondicionaldel Barca), i el president de la CroazianMathematical Society, Kraljevic Hrvoje.

Despres de sopar, uns quants vam anara un pub irlandes a fer una (de fet, dues)Guinness. Vaig conversar una bona estonaamb Stanislav Smirnov, representant de laSocietat de Matematiques de Sant Petersburg(mes endavant fare cinc centims de la sevaintervencio a la reunio defensant la candidaturade Sant Petersburg com a seu organitzadoradel proper ICM2022, enfront de l’altra can-didatura: Parıs). Em va explicar que Pere elGran (1672–1725) va voler impulsar la cienciai la matematica a la Russia del moment,fins aleshores erma cientıficament. Per aixo,personalment, va viatjar a Europa i va de-manar ajuda a Johann Bernoulli (1667–1748)

SCM/Notıcies 43 5

i Gottfried Wilhelm Leibnitz (1648–1716). Elprimer li va donar algunes indicacions i li varecomanar que fitxes un alumne seu, ni mes nimenys que Leonhard Euler (1907–1983). Aquestva arribar a Sant Petersburg quan tenia 22anys i s’hi va estar 15 anys en la seva primeraestada. L’altıssima influencia d’un personatgecom Euler va deixar petjada a la ciutat queel va acollir i actualment Euler es el nom del’institut de matematiques de Sant Petersburg(http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/).

Diumenge a la tarda agafava un avio detornada cap a Barcelona i, aplicant la funcioinversa, pels volts de les onze de la nit jatornava a ser a Sant Sadurnı d’Anoia.

Anem a la reunio. A la pagina webde l’EMS http://euro-math-soc.eu/meetings-presidents podeu consultar totsels documents (a l’hora d’escriure aquestaressenya encara no hi ha l’acta de la reunio).Per tant, jo nomes explicare aquı allo que emva cridar mes l’atencio, sense pretendre fer unrecull exhaustiu. Si voleu detalls sobre algundels temes que vam tractar, podeu consultarels documents publics i accessibles http://archive.maths.nuim.ie/staff/sbuckley/18EMS/index.html.

Potser, abans de fer aquest recull, cal avisarque el format es una mica feixuc. L’informeper part de la presidencia de tots els temesque es volen tractar fa difıcil la discussio, compassa en moltes de les reunions que tenim en lescomissions en que participem, especialmentles que tenen un gran nombre de participants(en aquesta potser erem uns 40). Es unareflexio, no pas una crıtica, que m’aplico a mimateix en les reunions que coordino. Cal buscarun equilibri entre tractar els temes pendents iaprofitar l’estona on hi som tots per debatrequestions rellevants de futur.

La primera presentacio va anar a carrecdel president de la Irish Mathematical Society(es tradicio de la trobada de presidents que

la societat que organitza l’acte expliqui laseva historia i situacio present). En termescronologics, la IMS es forca semblant a la SCM.Va neixer el 1976 i va tenir el primer Newsletter(actualment en diuen Bulletin). L’any 1988van organitzar el primer congres cientıfic (aquınosaltres anem endarrerits, ja que la primeraedicio del Barcelona Mathematical Days esdel 2014) i l’any 2016 van celebrar el 40eaniversari. La societat esta formada basicamentper professors universitaris i tenen 135 membresordinaris i 160 membres externs (estudiants,professors de secundaria i altres professionals).La IMS te una relacio intensa tant amb laRoyal Irish Academy com amb la IMSEC, quees la societat de professors de secundaria dematematiques.

Un cop trencat el gel, el president vaexposar el seu informe. Destacare els punts queem van cridar l’atencio.

• Cal insistir als joves matematics europeus,alguns membres de les societats nacionals,que es facin membres (tambe) de l’EMS.Actualment, les condicions per a joves iestudiants son molt bones, ja que gaudei-xen d’avantatges significatius en trobadescientıfiques diverses. Al mateix temps, enla propera assemblea general de l’EMS espresentara la possibilitat de fer-se soci del’EMS de per vida, amb una unica quota.

• A poc a poc, l’EMS guanya alguns membresinstitucionals. Per exemple, darrerament sen’ha fet soci l’Institut de Matematiquesd’Oxford.

• (Quan llegiu aquest article l’acte al qualfaig esment aquı ja haura passat!) Elsdies 23–24 de juny 2018 es fara la properaassemblea general de l’EMS a Praga. LaSCM estara representada institucionalmentper Enric Ventura i jo mateix. Hi ha temesd’agenda importants: l’eleccio d’un nou presi-dent i vicepresident, discussio sobre temes delECM2018 de Portoroz (Eslovenia), possiblesaplicacions per al ECM2022, organitzacio dela reunio del comite executiu de l’EMS aBarcelona, presentacio de la feina feta per lesdiferents comissions de l’EMS, etc.

• Es fa un repas a les activitats cientıfiques(co)financades per l’EMS. En particular, esfa notar que de les sis escoles d’estiu que han

6 SCM/Notıcies 43

rebut financament per part de l’EMS, quatreson al Centre de Recerca Matematica. Hiha fonts per destinar al cofinancament tantd’escoles, com d’EMS lecturers, etc. S’animatothom a participar-hi i demanar els ajuts.Novament, tota la informacio la podeu trobaral web de l’EMS. Com a regla general, per alsactes de l’any N, el termini per demanar ajutses el 30 de setembre de l’any N-1.

• Es fa un repas a les activitats de lesdiferents comissions de l’EMS i es donendetalls d’aquelles comissions que demanenun nombre mes elevat de renovacions a lapropera assemblea de Praga. No entrare endetalls; es una mica feixuc. La informacio esal web de l’EMS. En tot cas, podem dir ques’esta estudiant fer una comissio de l’EMSper a joves.

• S’estan fent els passos necessaris per demanara la UNESCO que proposi el dia 14 demarc (el dia «pi») com a Dia Mundialde la Matematica. La IMU (InternationalMathematical Union) es la que coordina laproposta, pero tot va molt (massa) lent.

• L’any 2015, a la ciutat de Porto (Portugal),l’EMS va fer un congres conjuntament ambl’AMS (Societat de Matematiques America-na) i la PMS (Societat de MatematiquesPortuguesa). L’experiencia es va considerarmolt positiva. L’EMS esta considerant obriraquestes col·laboracions a societats de ma-tematiques asiatiques, com l’australiana, lajaponesa o la xinesa. S’han iniciat conversesque tambe inclouen alguns possibles acordsde reciprocitat dels socis.

• A l’EU (parlaments, comissions, executius,etc.) s’esta discutint sobre el proper plamarc de recerca de l’EU (el que substituiral’Horizon 2020). Encara esta tot molt verd ila previsio es molt incerta.

• Hi haura canvis en la direccio de l’EMSPublishing House, ja que la persona que sen’encarrega actualment es jubila. Es fara unaproposta l’assemblea general de l’EMS dePraga.

Fins aquı el resum de l’informe del presi-dent. Certament, vam parlar de molts altrestemes pero aquests van ser els que vaig anotar

com a mes rellevants. Posteriorment, vam inici-ar el cicle de presentacions de diferents societatso actes.

La primera presentacio, defensada perStanislav Smirnov, va ser la de la SocietatMatematica de Sant Petersburg (l’altra gransocietat russa es la de Moscou). La societatte uns quatre-cents membres i te caracterde recerca. Va donar alguns detalls historics(inclosos alguns apunts sobre la conversa que heexplicat anteriorment) sobre el seu naixement iva destacar que en els darrers anys la societatha incrementat la seva internacionalitzacio des-pres d’anys on el focus principal era de caracterlocal. L’instrument basic per a aquest canvi esl’institut Euler, que esperen convertir en uncentre de recerca amb projeccio internacional.

Despres d’aquesta introduccio, la resta de lapresentacio va ser la defensa de la candidaturade Sant Petersburg per organitzar l’ICM2022.Va exposar les novetats de la candidatura i laforta aposta per la participacio de joves ambun gran nombre de beques i preus especials.Tambe va explicar un acord amb les autoritatsper poder facilitar al maxim l’obtencio de visatsper als participants.

La tercera (salto la segona, de la SocietatMatematica Portuguesa) presentacio, sobrela Societat Europea Matematica de Dones(EWM, http://www.europeanwomeninmaths.org), va anar a carrec de Caroline Series iBarbara Kaltenbacher, presidentes de laSocietat Matematica de Londres i de la SocietatMatematica Austrıaca, respectivament.L’EWM va neixer al 1986, i va ser inspiradaper la mateixa associacio als Estats Unitsd’America. Celebra un congres cada dos anysi fa poc ha format un comite cientıfic de 12dones amb l’objectiu de cuidar la representaciode les dones en els actes matematics d’arreu,aixı com ajudar en la proposta de candidatures(comites, conferenciants, etcetera) de donesmatematiques. Te un acord de reciprocitat ambl’EMS pero es una associacio diferent (per ser-ne membre cal pagar una quota) de la comissiode dones dins de l’EMS.

La quarta presentacio va anar a carrec deCatalin Gherghe, representant de la SocietatMatematica Romanesa. La rao de la presen-tacio va ser informar de la celebracio de lapropera Olimpıada Matematica Internacional.De fet, aquesta sera la 59e edicio i es dona

SCM/Notıcies 43 7

la circumstancia que la primera edicio del’Olimpıada, l’any 1959, tambe es va fer aRomania.

La sisena (salto la cinquena presentaciode la Societe de Mathematiques Appliqueeset Industrialles) va anar a carrec de CarlosVazquez, de la Sociedad Espanola de Ma-tematica Aplicada, que va presentar el congresICIAM 2019 (International Council for Indus-trial and Applied Mathematics) que es fara aValencia. Podeu trobar tota la informacio ala seva pagina web (http://www.iciam.org/event/iciam-2019-?-valencia).

Finalment, va tancar aquesta serie depresentacions Stephane Seuret de la SocieteMathematique de France per defensar la can-didatura de Parıs a l’ICM2022. Va explicar elssuports polıtics que han aconseguit de diferentspersonalitats del paıs, inclos el president deFranca, i l’experiencia de Parıs com a seud’esdeveniments d’aquesta magnitud. Podeuveure mes informacio al web (https://www.icm2022-paris.com) de la candidatura.

Be, fins aquı aquest informe. Insisteixo: lareunio de presidents es una molt bona decisiode l’EMS.

Council de l’EMSXavier JarquePresident de la SCM

El darrer cap de setmana de juny, es a dirdissabte 23 i diumenge 24 de juny, va tenirlloc l’assemblea general (Council) de l’EMS aPraga. Com us podeu imaginar, es un capde setmana molt complicat per a la delegaciocatalana, ja que coincideix amb la revetlla deSant Joan. Aixo va fer que aquest cop la nostradelegacio estigues formada exclusivament pelsrepresentats de la SCM: Enric Ventura (vice-president) i jo mateix.

Potser podem recordar que son membresde ple dret de l’assemblea de l’EMS unarepresentacio de cada una de les societats quela formen. Aixı, la SCM te dos representants idos vots. Tambe hi tenen representacio algunsinstituts de recerca i institucions catalanes,com son el CRM i alguns departaments dematematiques. I, finalment, hi ha una repre-sentacio dels membres individuals. En total,d’aproximadament 3.000 membres institucio-nals, uns 50 son de la SCM. Deixeu-me afegirque l’actual junta de la SCM esta treballant perpoder posar el dia la informacio que tenim detots els socis.Una de les raons, pero no l’unica,sera fer publicitat dels avantatges de formarpart tambe de l’EMS.

L’assemblea general de l’EMS es fa cada dosanys, i es coordina perque cada quatre anyscoincideixi amb l’inici del Congres Europeu deMatematiques. Aixı doncs, la darrera assembleava ser a Berlın, el juliol del 2016, coincidint ambl’ECM2016 de Berlın, i la propera sera el juliol

del 2020 a prop de Ljubljana (Eslovenia) ambmotiu del ECM2020 que es fara a Portoroz, a lacosta adriatica. Aixı doncs, el Council que hatingut lloc a Praga ha estat una reunio entrecongressos, pero no falta d’interes, ja que entrealtres decisions importants s’havia d’elegir elnou president.

Com sempre, la reunio va comencar eldissabte a les dues de la tarda i es va acabar eldiumenge a quarts d’una. Totes les sessions vantenir lloc a la Biblioteca Nacional Tecnologica.El dissabte, despres d’una sessio de quatrehores (amb un petit descans), vam anar asopar convidats per la Societat MatematicaTxeca. Va ser un sopar agradable on l’Enric ijo vam compartir taula amb Antonio Campillo(RSME i SCM), Iain Stewart i Martin Mathieu(Societat Matematica de London) i Jorge Bu-escu (Societat Matematica Portuguesa). Vamparlar del Brexit i del proces catala (poc), delnivell dels estudiants de matematiques en elsdiferents paısos i del financament de la recerca.La conversa va ser amable i el sopar va sercorrecte.

El Council va girar principalment sobrequatre grans eixos. L’informe del president,l’eleccio del nou president i del comite execu-tiu (vicepresident, tresorer, secretari i vocal),l’aprovacio dels pressupostos de l’EMS, i elsinformes bianuals de tots els comites de l’EMS.A mes, hi va haver un parell de temes quecomentare breument al final d’aquest resum.

8 SCM/Notıcies 43

Informe del presidentEn l’article anterior d’aquesta SCM/Notıciesja he fet un resum forca extens de l’informeque el president va exposar en la reunio depresidents de l’EMS de Maynooth, tot justun mes abans de l’assemblea general. Comque l’informe de Praga va ser molt semblant,no em repetire aquı. En tot cas, voldria po-sar de manifest altre cop que Barcelona ila comunitat catalana matematica tenen unlloc de privilegi en les activitats cientıfiquesde l’EMS.

Nou president i renovacio de la juntaexecutiva de l’EMSL’actual president, Pavel Exner, deixava elcarrec despres del seu torn. Va resultar escollit(unica candidatura) el vicepresident de la juntasortint, l’alemany Volker Mehrmann, que vapresidir el comite organitzador del 7ECM aBerlın. Volker es professor de l’institut dematematiques de TU-Berlin i la seva aread’expertesa inclou analisi numerica, modelitza-cio matematica i teoria del control. Ha tingutmoltes responsabilitats en gestio, tant a l’EMScom als congressos de l’ICIAM, i en diversesinstitucions alemanyes. En el perıode 2011–16 es va beneficiar d’una Advanced GrantERC. El fet que Volker esdevingues presidentde l’EMS obligava a escollir un/a vicepresi-dent/a de la nova junta. L’unica candidatu-ra presentada va ser la de l’expresidenta dela Societat Matematica Turca, Betul Tanbay.Actualment, es professora a la Universitat deBogazici (Istanbul), on ha estat cap de depar-tament fa poc. Es va llicenciar a Estrasburg(Franca) i va obtenir el doctorat a Berkeley(EUA). Les seves publicacions son de l’ambitde les algebres d’operadors. Un cop configuratsaquests dos llocs a la nova junta, la votaciova ser conjunta per a les posicions de tresoreri secretari. Aquı les candidatures repetien elsmembres actuals de la junta: Mats Gyllen-berg (tresorer) i Verduyn Lunel (secretari). Uncop configurats tots aquests carrecs, quedavala posicio de vocal. Aquı s’hi van presentardues candidatures: Jorge Biescu (Societat Ma-tematica Portuguesa) i Martin Mathieu (So-cietat Matematica de Londres). La votaciova donar com a guanyador en Jorge per unmarge prou ampli.

Aprovacio dels pressupostos de l’EMS

El tresorer sortint i entrant Mats Gyllenbergva presentar els numeros globals de l’EMS delsanys 2017 i 2018, pero nomes es va aprovar eldel 2017. En general, l’EMS te uns numerospositius i sanejats per la seva polıtica austera ila dificultat de fer efectius els fons destinats ales activitats de recerca. Val la pena dir, comja he fet abans, que Barcelona representa unaquantitat molt alta de les activitats de recercafinancades.

Informes bianuals de tots els comites del’EMS

L’EMS te els comites seguents: MatematicaAplicada, Paısos en desenvolupament, Edu-cacio, ERCOM, Etica, Solidaritat europea,Comite executiu, Meetings, Publicacions i dis-seminacio electronica, Millora de la visibilitatEMS i Dones. Cadascun d’ells va presentarles diverses accions portades a terme en elsdarrers dos anys; alguns son molt actius, comper exemple el de Matematica Aplicada, ambl’any internacional de la Biologia Matematica oel de Paısos en desenvolupament, en que l’EMSte uns fons provinents de la Simon’s Fundationper fer projectes a l’Africa. Mes informaciola podeu trobar a http://euro-math-soc.eu/committees. http://euro-math-soc.eu/committees

Consideracions finals

L’EMS te relacions estretes amb zbMATH,responsable dels reviews des de l’espai europeu(i, per tant, el contrapunt natural dels ReviewsAMS). De fet, els socis de l’EMS hi tenimacces gratuıt, aixı com els paısos en vies dedesenvolupament. En aquest moments te unsquatre milions de documents, i un milio d’au-tors indexats. Rep unes 40 milions de visitesd’investigadors en matematiques. En els darrersanys s’ha fet una feina intensa de millorarla presentacio de la pagina web, aixı com demillorar les seves funcionalitats. Es una bonaeina de treball.

En el seu torn de replica com a nou presi-dent de l’EMS, el professor Volker Mehrmannva posar un gran emfasi a com fer arribara la troica (Brussel·les) la importancia de lamatematica en la carrera cientıfica. Certament,

SCM/Notıcies 43 9

la matematica te el seu paper en el programade l’ERC (del qual parlarem despres), pero calposar la matematica al centre dels projectesde recerca financats mes enlla de l’ERC. Vaposar de manifest que els arguments del tipus«les matematiques son molt importants i tenenmoltes aplicacions» son ignorades pels polıticsquan prenen les decisions i cal, per tant, quela comunitat es visualitzi amb arguments moltmes solids. Aquesta sera una feina importantde l’EMS durant la seva presidencia. Un primerpas en aquesta direccio va ser presentar el pro-jecte MSO (mathematical modelling, simulationand optimization) i l’organitzacio d’un works-hop a Amsterdam amb la col·laboracio d’ungran nombre d’empreses. Pero es va constatarque, tot i que MSO era una eina positiva, noera la millor. Sembla que ara MSO evolucionaraal projecte Digital Twins, en que els modelsamb els quals es treballa volen ser mes acurats(bessons) i prou flexibles per adaptar-se a lesevolucions del germa real.

Just abans de tancar el Council, el presidentsortint, Pavel Exner, va presentar un document(del seu president, Jean Pierre Bourguignon)amb dades del funcionament de l’ERC. Duesconsideracions:

Quins son els grans numeros de l’ERC (entotes les arees del coneixement)?Deu anys d’historia, vuit mil investigadorsfinancats, i cinquanta mil predocs i postdocs,cent mil articles de recerca, vuit-centes institu-

cions implicades i setanta quatre nacionalitats,trenta per cent (mitjana) de dones en els co-mites ERC. Un pressupost per al perıode 2014-2020 (Horizon 2020) d’uns 13 bilions d’euros.

Pel que fa a matematiques i al programaERC. Hi ha un unic comite de matematiques(en el grup ciencies fısiques i enginyeries) queen el perıode 2007-2017 ha financat un totalde 377 projectes per imports que van del miliod’euros (starting/consolidator grants) als dosmilions d’euros (advanced grants).

Pel que fa a l’Estat, s’han financat 20 pro-jectes (10 starting, 4 consolidator i 6 advanced)vuit dels quals han anat a parar al CSIC.

Observem tambe institucions molt benposicionades

CNRS (32 projectes), Hebrew University of Je-rusalem (16 projectes), Tel Aviv University (14projectes), Univerity of Warwick (11 projectes)i Imperial College (10 projectes).

Pel que fa a les arees, tenim des dels 40projectes en probabilitat i estadıstica o els 37en EDP fins als 5 de logica, els 8 de topologiao els 17 en ODE.

Com era d’esperar, alguns dels financatshan obtingut reconeixement en forma de premisi medalles Field (Stanislas Smirnov, Artur Avilai Martin Hairer).

S’esta treballant pel pressupost del nouperıode, pero de moment encara tot es moltincert.

Noticiari

Les universitats informenActivitats divulgatives del Departament de Matematiques de la UABArmengol GasullCoordinador de Relacions amb SecundariaDepartament de Matematiques de la UAB

Durant aquest curs, des del nostre departamenthem fet les activitats seguents de popularitzacioi divulgacio de les matematiques: Dissabtes deles Matematiques; participacio en el programaArgo: IX Jornada «les matematiques entre

la secundaria i la universitat», assessoramenten la direccio de treballs de recerca i es-tades d’estiu Argo; activitats de preparacioper a les olimpıades matematiques i per lesproves Cangur. Estem convencuts que aquest

10 SCM/Notıcies 43

tipus d’activitats son molt beneficioses per ala Ciencia del nostre paıs. A continuacio endetallem algunes.

Dissabtes de les Matematiques

Com cada curs des del 2003–04 hem organitzatels Dissabtes de les Matematiques. Pensem queaquesta activitat es una de les mes esperadespels alumnes i professors de secundaria i esun repte enriquidor mantenir aquest interes.Enguany les xerrades que s’han ofert han estat:

• «Quina dosi de radiacio has rebut?: metodesmatematics en biodosimetria», a carrec dePere Puig.

• «Les matematiques de les poblacions», acarrec de Sılvia Cuadrado.

• «Simetries i transformacions», a carrec d’Al-bert Ruiz.

• «Matematiques d’una camera digital», acarrec de Juan Jesus Donaire.

Podeu accedir-hi a http://www.uab.cat/web/divulgacio-1194422462322.html. Laprimera d’elles va coincidir amb un Dissabtede la Fısica, i el mateix dia es va pronunciarla conferencia: «Bateries i piles de combustiblede paper: l’energia neta del futur», a carrecde Neus Sabate, del Centre Nacional deMicroelectronica. Les dos seguents es vancomplementar amb els seus corresponentstallers, dels quals adjuntem una fotografia.La quarta xerrada va continuar amb unainteressant visita al Centre de Visio perComputador, institut d’investigacio situat almateix campus de la UAB.

Olimpıada Matematica

Com ja sabeu, l’Olimpıada Matematica es unconcurs internacional que se celebra anualmentdes de l’any 1965, i en que es competeixresolent problemes d’alta dificultat pero en elsquals nomes s’utilitzen tecniques de nivell debatxillerat. En general, va adrecat a alumnesde batxillerat, tot i que tambe hi pot participaralumnat de l’ESO.

Aquest concurs te tres fases: la catalana,l’espanyola i la internacional.

Des de fa anys el nostre departamentcol·labora en la preparacio dels alumnes cata-lans a traves del programa RePMat (sessionsde resolucio de problemes matematics). Defet, l’objectiu principal es que els assistentsa les sessions (adrecades majoritariament aalumnes de batxillerat i ultim cicle de l’ESO)gaudeixin pensant problemes de matematiques,i, a mes, aprenguin a desenvolupar estrategies iincorporin noves tecniques per resoldre’ls.

Durant aquest curs, les sessions han tingutlloc des d’octubre fins a maig, cada dijous lectiude 17.30 a 20.30 hores, a les aules de la Facultatde Ciencies i Biociencies. Han estat coordinadesper la professora Dolors Herbera, juntamentamb els predoctors Odı Soler i Joan Claramunt.

SCM/Notıcies 43 11

Cada sessio s’inicia plantejant algun proble-ma per discutir a classe, en que es dona maximaprioritat a la intervencio de l’alumnat en la sevaresolucio. Tot seguit, s’introdueix una mica deteoria segons el programa establert (aritmetica,geometria, combinatoria, etc.), per acabar lasessio amb exemples de la seva aplicacio i,si escau, amb la resolucio d’alguns problemesrelacionats amb la teoria explicada.

A mes, durant el transcurs d’algunes ses-sions es realitzen altres activitats relacionadesamb el mon de les matematiques. Per exemple,aquest curs les activitats han estat:

• Xerrada sobre criptografia i la maquina Enig-ma, a carrec de la professora Rosa Camps;

• Estudi del cub de Rubik, per comprendre’ldes d’un punt de vista matematic, i veurecom les eines desenvolupades al llarg delcurs ajuden a entendre’l millor, i fins i totarribar a deduir-ne la resolucio! Tambe s’hanimpartit dues xerrades relacionades, una acarrec del professor Albert Ruiz i l’altra acarrec de l’alumne de segon any del grauen Matematiques de la nostra universitat,Sergi Sabat.

Sessions d’aprofundiment en matematiques i pro-ves Cangur

Aquestes sessions es fan des d’octubre fins amarc a les aules de la Facultat de Cienciesi Biociencies, s’adrecen als alumnes del segoncicle d’ESO i el seu responsable es el professorJosep Gascon.

En aquestes sessions es porten a terme dostipus d’activitats que els participants treballenen petits grups:

• La primera part de cada sessio es dedica aestudiar un problema matematic que es elgermen d’un petit camp de problemes. Enparticular, s’han estudiat petits camps deproblemes sobre: compatibilitat entre l’areai el volum d’un cos, construccions amb reglai compas, sistemes de numeracio, aproxima-cions del nombre pi, tipus de simetriad’una figura, la induccio matematica, po-liedres regulars, justificacio dels criteris dedivisibilitat, la rao auria, paradoxes ma-tematiques, etc.

• En la segona part de cada sessio els par-ticipants resolen problemes de l’estil de lesproves Cangur. En les primeres sessions espresenten problemes estructurats en tipusobtinguts d’una analisi previa dels problemesapareguts en les proves Cangur dels ultimsanys (divisibilitat, nombres reals, proporcio-nalitat, reconstruccio geometrica, problemesde comptar, llenguatge algebraic, etc.) per talde no presentar-los com a problemes aıllatsi descontextualitzats. En una segona fase,els alumnes s’enfronten als problemes talcom apareixen en les proves Cangur (com-pletament aıllats). En definitiva, les sessionsno estan concebudes exclusivament com apreparacio de les proves Cangur, malgratque alguns dels participants es presenten aaquestes proves. Es preten que els alumnesportin a terme una activitat matematica fle-xible en que la modelitzacio tingui un paperimportant i no quedi reduıda a la seleccio(quasi instantania) de la resposta mesprobable.

IX Jornada «Les matematiques entre la se-cundaria i la universitat: matematiques i historia»

Aquesta trobada va tenir lloc el 5 d’abril ala tarda. Va ser organitzada com sempre enel marc de programa Argo de l’Institut deCiencies de l’Educacio, amb un doble objectiu:en primer lloc, parlar de matematiques a travesde retalls de la seva historia i, en segon lloc,discutir sobre la millor manera d’introduir lahistoria de les matematiques a les aules.La jornada va ser un exit de participacio, ambl’assistencia de professors tant de secundariacom d’universitat.

L’activitat va comencar amb les tres interes-sants xerrades:

• «Evolutes», a carrec d’Agustı Reventos,del Departament de Matematiques de laUAB.

• «Historia sense contorns», a carrec de XavierRoque, del Centre d’Historia de la Ciencia dela UAB.

• «La historia com a enriquiment de l’acti-vitat matematica», a carrec de Xavi Vile-lla, professor de l’INS Vilatzara de Vilassarde Mar.

12 SCM/Notıcies 43

Va continuar amb una taula rodona,moderada per Xavier Roque, en que vanparticipar Josep Pla (professor emerit de laUB), Ferran Cedo (professor de la UAB),Sergi del Moral (professor de l’INS Les Vinyes

de Castellbisbal) i Marina Vegue (Centre deRecerca Matematica). Per a mes informaciohttp://www.uab.cat/web/programa-argo/programa-argo-professorat/professorat/2017-2018-1345748753542.html

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB el curs 2017–2018Antoni Benseny i Xavier MassanedaCoordinadors d’activitats per a secundariaFacultat de Matematiques, UB

Aquest semestre farcit d’activitats comencaamb una exposicio original. Com a cloenda de1a Jornada de Didactica de les Matematiques,celebrada a la Facultat el novembre del 2017,la Biblioteca de Matematiques i Informatica vapublicar l’exposicio virtual «Pere Puig Adam(1900-1960), matematic barcelonı i alumnede la Universitat de Barcelona». L’exposiciocontenia diversos apartats, amb l’aproximaciobiografica a Puig Adam, il·lustrada ambdocuments procedents de l’Arxiu Historic de laUniversitat de Barcelona, el recull bibliograficde la seva obra, una relacio d’obres sobre la sevavida i obra, i altres recursos com el Decaleg dela matematica mitjana i un repertori de citesque destaquen especialment la seva vessantpedagogica.

Continuant amb les activitats de divulgacio,la Unitat de Cultura Cientıfica i Innovacio dela UB va organitzar l’11 de maig, a l’EdificiHistoric, la quarta Festa de la Ciencia UB.Aquesta jornada de divulgacio cientıfica, lames festiva de la UB, te com a objectiu feraccessible a tots els publics la recerca que esduu a terme a la universitat. Durant tot el matıvan fer diverses activitats –des d’una gimcanafins a tallers, xerrades i jocs– en que es vadestacar la feina dels investigadors de tots elscamps del coneixement i es va explicar de quinamanera repercuteix la recerca en el progres dela societat.

Amb la intencio de donar a coneixer alsnostres alumnes les possibles sortides laboralsdel estudis que s’imparteixen a la facultat eldia 2 de maig tingue lloc la xerrada «Big Datay Machine Learning aplicados a la empresa»,a carrec de la Sra. Angeles Ferrer, de Manage-ment Solutions.

Ens plau tambe informar de la sessio depresentacio de la membre numeraria de la

Seccio de Ciencies i Tecnologia de l’Institutd’Estudis Catalans, Dra. Marta Sanz-Sole, quese celebra el dia 14 de maig, a la seu de l’Institutd’Estudis Catalans. El discurs de recepcio estitula «L’indeterminisme en el calcul i en lamodelitzacio matematica».

Com en els darrers anys, continuem re-forcant el suport academic i economic a lapresencia d’alumnes de la nostra facultat adiverses competicions matematiques. Els dies15 i 16 de desembre de 2017 vam participara la 54a Olimpıada Matematica. El 15 denovembre va tenir lloc el Torneig de Tar-dor, especialment preparat per als alumnes deprimer i segon any, i el 25 del mateix mess’inicia el Tauler de Problemes. Tambe, i envista de l’exit de les tres edicions anteriors,hem repetit la Competicio Universitaria deMatematiques Lluıs Santalo, una prova enmemoria del matematic gironı, duta a termeel dia de la Matefest-Infofest (vegeu ressenyames avall). Aquesta competicio tambe servı pertriar els membres de l’equip que representara lafacultat a la 25a Competicio Internacional pera Estudiants Universitaris de Matematiques,a Bulgaria.

Activitats per a estudiants i professors de se-cundaria

La facultat segueix posant especial atencioa diverses activitats de divulgacio cientıficadestinades, principalment, a l’alumnat d’ense-nyament secundari. Aquestes activitats es com-plementen amb altres iniciatives d’orientaciocientıfica i/o professional adrecades a l’alumnatde la facultat. Les detallem tot seguit.

• Xerrades taller. Els dies 17 i 24 de gener esva portar a terme la xerrada taller titulada«Sistemes de recomanacio i la seva integracio

SCM/Notıcies 43 13

en interfıcies 2D i 3D», preparada per lesdoctores Inma Rodrıguez i Maria Salamo.Al llarg de la darrera decada, aquests tipusde sistemes estan rebent una considerableatencio en sistemes en lınia i, en particular,en el context de comerc electronic.

Aquesta xerrada taller completa, pel que fa alcurs 2017-2018, la que es va celebrar els dies15 i 22 de novembre, titulada «Amuntegantpilotes», en la qual el Dr. Joaquim OrtegaCerda ens mostra com el problema de dispo-sar boles de manera optima ocupant el mınimespai possible te aplicacions, entre altres, enles comunicacions wifi.

• Acolliment de les proves Cangur. Com cadaany, la nostra facultat ha estat una de lesseus de les proves Cangur organitzades perla SCM el dia 14 de marc. La majoriade participants, uns dos-cents, aprofitarenaquesta ocasio per tenir el primer contacteamb el nostre centre.

• Matefest-Infofest. Aquesta jornada ludica,celebrada aquest curs el 18 d’abril, pretenpresentar una imatge positiva de les ma-tematiques i la informatica davant tota lasocietat. Amb aquesta finalitat, volem cap-tar l’atencio i la curiositat no nomes delsalumnes de secundaria, que estan convi-dats a traves dels seus centres educatius,sino tambe de qualsevol persona que hiestigui interessada.

Un tret a destacar d’aquesta festa es quees organitzada enterament per estudiantsde la facultat. Els mateixos estudiants pre-paren estands, amb exposicions dinamiquesperque tothom hi pugui participar, i pro-gramen conferencies amb temes d’interes.Les conferencies d’enguany han estat: «Crip-tografia: des de l’escriptura secreta finsal Bitcoin», a carrec de Zaira Pindado;«Fem un fractal!», de Ricard Bague; «Lesmatematiques de la musica», a carrec deRoser Homs; «Les millors anecdotes de lahistoria de les matematiques», de ClaudiAlsina; «Matematiques i l’evolucio de lesespecies», de Marta Casanelles; «Pensar,imaginar, sentir i gaudir», a carrec de SantiVilches i Maite Gorriz, i «Rodes, cicloi-des, moviment relatiu i efectes malabars»,de Josep Rey.

Enguany hem continuat amb les activitatsdestinades especıficament als estudiants degrau iniciades l’any passat amb tant ambd’exit: HackAGame (competicio per equipsde programacio de jocs), premi Santalo es-mentat mes amunt, i diverses xerrades detemes d’interes. Tambe hem fet coincidir laMatefest-Infofest amb el final del Tauler deProblemes iniciat a la tardor.Podeu trobar tota la informacio referent ala Matefest-Infofest a http://mat.ub.edu/matapps/matefest/.

• Jornada de portes obertes. El mateix dia 18d’abril, coincidint amb la Matefest-Infofest,es va celebrar la Jornada de Portes Obertes,adrecada a alumnes de batxillerat i ciclesformatius de grau superior i altres personesinteressades a cursar qualsevol dels graus ques’imparteixen a la facultat. A mes, es vandonar a coneixer els diversos serveis univer-sitaris de que poden disposar els alumnes dela UB.

• Trobada anual amb professorat de se-cundaria. Aprofitant un cop mes la Matefest-Infofest, es va celebrar tambe la trobadaanual amb professorat de secundaria, en laqual hi va haver un intercanvi d’opinionssobre l’oferta d’activitats de la facultat, aixıcom altres questions referents a l’enllac entresecundaria i la universitat.

• Suport a treballs de recerca de secundaria.L’objectiu d’aquest programa, iniciat ja fadeu anys, es oferir suport des de la facultattant al professorat tutor interessat a dirigirels treballs com a l’alumnat que els porta aterme.

• Preparacio de l’Olımpiada Matematica.Per vuite any consecutiu, la Facultat deMatematiques i Informatica de la UB haofert unes sessions de preparacio de resoluciode problemes per a les proves de l’OlimpıadaMatematica. Aquestes sessions, coordinadesper primer cop pel Dr. Jordi Marzo, vanadrecades a tots els estudiants interessats aparticipar en la fase catalana de l’OlimpıadaMatematica. Les proves de la fase catalana dela 54a Olimpıada Matematica, emmarcadaen la 59th International MathematicalOlympiad (IMO 2018), tingueren lloc els dies15 i 16 de desembre de 2017.

14 SCM/Notıcies 43

• Participacio al programa Escolab. Per ter-cer any consecutiu, la nostra facultat hacol·laborat en el programa Escolab, creatper l’Ajuntament de Barcelona i destinat aacostar el mon de la recerca als estudiantsde secundaria. Les activitats de l’Escolabconsisteixen en tallers o visites que permetenveure la gran diversitat de laboratoris queexisteixen avui i entrar en contacte directeamb els seus equips i les seves lınies derecerca. La Dra. Laura Igual va oferir eltaller «Com sera la medicina del futur?Analisi automatica d’imatges mediques» i laDra. Maite Lopez va oferir el taller «1+1:programant formigues».

• Participacio al programa Bojos per lesMatematiques. Dins el marc del programaBojos per la Ciencia creat per la Fundacio

La Pedrera, la FEEMCAT i la SCM harenovat aquesta proposta conjunta iniciadal’any passat, adrecada als estudiants delprimer any de batxillerat de la modalitatde Ciencies i Tecnologia. El programa Bojosper les Matematiques te com a objectiubasic fomentar la vocacio cientıfica d’aquestsjoves i, en especial, el seu entusiasme per lesmatematiques. Cinc de les sessions d’aquestprograma s’han dut a terme a la UB i,majoritariament, a carrec de professorat dela UB.

Trobareu informacio sobre totes aquestesactivitats, la forma de participar-hi i els ter-minis per a cadascuna d’elles a la pagina dela facultat a http://www.mat.ub.es/futurs_ub/activitats.

Activitats de primavera de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de la UPCJaume SolerVicedega de Relacions Internacionals i Promocio de l’FME

Vida academica

El curs 2017–2018 de la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica (FME) de la UPCha estat dedicat a la figura de David Hil-bert. El curs es va inaugurar el setembre del2017 i al llarg del segon quadrimestre hantingut lloc la Jornada Hilbert i la cloenda delcurs. La Jornada Hilbert del mes de febrerva constar de tres conferencies: «Hilbert iels metodes de l’analisi funcional. Historia,context i evolucio», a carrec de Joan Sola-Morales i Rubio, professor del Departament deMatematiques de la UPC; «Vincles conceptualsentre els tres problemes metalogics de Hilbert»,a carrec de Josep Pla i Carrera, professoremerit de la Universitat de Barcelona i magisterhonoris causa per l’FME, i «¿Por que lollaman fısica cuando quieren decir geometrıa?»,pronunciada per Clara Grima, professora delDepartamento de Matematica Aplicada I de laUniversidad de Sevilla. A mes, es va celebarel lliurament de premis als guanyadors delConcurs Hilbert, activitat conjunta de l’assig-natura Historia de la Matematica i la BibliotecaFME.

La cloenda del curs va incloure la con-ferencia «David Hilbert: la formacion del genio(1888–1900)», a carrec de Jose Marıa Almira,professor del Departament d’Enginyeria i Tec-nologia de Computadors de la Universitat deMurcia.

Des de principis d’any, s’han pronunciataltres conferencies a l’FME. La primera, ambel tıtol «Quantitative Methods in Sports: Evo-lution and Application», coorganitzada amb laFIB i l’ETSETB en el marc del grau en Cienciai Enginyeria de Dades de la UPC. El conferen-ciant va ser Sergi Oliva, enginyer i doctor enInformatica per la UPC, que actualment ocupael carrec de Director of Analytics & Strategydels Philadelphia 76ers.

A principis de maig es va fer la xerrada-esmorzar «Historia de la matematica: resultat,textos i contextos», a carrec de Josep Pla iCarrera. Aquesta ha estat una nova activitatproposada per l’FME, per parlar de manera dis-tesa i informal sobre historia de la matematica.L’objectiu de l’exposicio era veure com lalectura dels textos matematics ens ensenya deprimera ma que sabien exactament els nostres

SCM/Notıcies 43 15

avantpassats (egipcis, mesopotamics i grecs delsegle vi al iv). I, potser tan important comel que sabien, com ho sabien: quines questionses plantejaven i a quina mena de respostesarribaven.

En el marc del Col·loqui FME-UPC, s’hancelebrat dues conferencies. «Regularity of freeboundaries in obstacle problems», a carrecde Xavier Ros Oton, exestudiant de l’FME idoctor en Matematiques per la UPC. XavierRos ha treballat a la University of Texas aAustin, i actualment treballa a la Universitat deZurich. L’objectiu de la xerrada va ser presentari motivar diversos problemes de frontera lliureen equacions en derivades parcials, explicarresultats coneguts i presentar una idea generalde la recerca actual i dels problemes oberts enaquest context.

L’altra conferencia va ser «The level setmethod for motion by mean curvature», acarrec de Tobias Holding. Tobias Holding esprofessor del MIT, ha estat professor al CourantInstitute i el 2010 va rebre el premi OswaldVeblen, juntament amb William Minicozzi, pelseu treball sobre superfıcies mınimes.

Activitats socials

En el context actual de visibilitzacio i impuls dela dona en l’ambit de la ciencia i la tecnologia(celebracio del Dia Internacional de la Dona i laNena en la Ciencia l’11 de febrer passat), l’FMEha volgut contribuir al debat posant el focusen les dones matematiques a la UPC. A talefecte es va convidar especialment professores iestudiants de l’FME de grau, master i doctoratper posar en comu reflexions, temes i propos-tes relacionades amb les Matematiques i les«matematiques», en un ambient distes, mentre

prenien un aperitiu. L’activitat «El vermut deles matematiques» va tenir lloc el 7 de marci l’endema es va projectar a la sala d’actes del’FME la pel·lıcula North Country, amb motiudel Dia Internacional de la Dona.

FME i Empresa

Des de fa un temps l’FME organitza, cap afinals de curs, el Forum FME-Empresa perposar en contacte empreses amb estudiants dela facultat. Enguany hi havia 32 empreses,xifra que va obligar a reestructurar el formatdel forum. Es va habilitar el vestıbul de lafacultat, on es van instal·lar els estands deles empreses durant tot el matı. Tambe hi vahaver unes micropresentacions individuals deles empreses d’uns cinc minuts de durada i demanera simultania al forum.

Activitats relacionades amb la docencia

El 10 d’abril es va inaugurar el seminari«Contextualitzacio de les matematiques a lescarreres tecnologiques de la UPC», amb unaconferencia del professor Claudi Alsina. Aquestseminari preten tenir una periodicitat quinzenali vol impulsar el debat i la reflexio sobre elscontinguts de les assignatures de matematiquesi la seva docencia en estudis tecnologics. De mo-ment s’han dut a terme tres xerrades: «Fluxosen xarxes», a carrec del professor Josep Ferrer(Departament de Matematiques UPC), «Lesmatematiques de Google», a carrec de RafaelBru (Universitat Politecnica de Valencia) i«Numerical Factory: un tast numeric sobrel’ensenyament de les matematiques a les engi-nyeries», a carrec d’Antoni Susın (Departamentde Matematiques UPC).

Teatre

Cada any, el grup de teatre grup Fem Tea-tre FME ofereix alguna representacio. Aquestmes de maig han posat en escena dues obresclassiques: La Sirena varada, d’Alejandro Caso-na, i Melocoton en almıbar, de Miguel Mihura.Tot i la proximitat dels examens, els estudiantsde l’FME han trobat temps per assajar iinterpretar aquestes dues obres, amb resultatexcel·lent.

16 SCM/Notıcies 43

Activitats relacionades amb secundaria i compe-ticions

Des del comencament del curs actual han estaten marxa les activitats de preparacio per ales olimpıades matematiques i per a la provaCangur, els tallers per a secundaria i batxilleratque ofereix l’FME i les activitats que acullels dissabtes: Anem x + Matematiques i elprojecte Estalmat-Catalunya. La cloenda delcurs Estalmat es va fer el 26 de maig a l’FME.

El 13 de gener, el professor Claudi Alsina vainaugurar les sessions del programa Bojos perles Matematiques 2018 amb la sessio «AntoniGaudı: Boig per la Geometria». Les 21 sessionsque segueixen estan repartides entre la UPC,la UAB i la UB, i hi col·laboren professorsde les tres universitats i tambe professors desecundaria.

El dia 11 de maig va tenir lloc l’acte delliurament del premis de la 15a edicio delpremi Poincare, que convoca anualment l’FME.Enguany s’hi van presentar una seixantena detreballs, tots ells de molt nivell. El jurat vaconcedir tres premis i vuit accessits. Els treballsguanyadors son: «La funcio factorial: divisibili-tat de coeficients binomials i convergencia deseries p-adiques», de Sılvia Casacuberta Puig,alumna d’Aula Escola Europea (Barcelona);«Analisi matematica del sistema dinamic con-sistent a aplicar el metode de Newton a lafuncio sinus», de Mariona Sanchez Alcazar,alumna de La Salle Montcada (Montcada i

Reixac), i «Sobre la resolucio de les equacionsalgebraiques», de David Arribas Viera, alumnede l’INS Santa Eugenia (Girona). El premiPoincare compta amb la col·laboracio de laFundacio Cellex.

A mitjan febrer l’FME va acollir la 5a ediciodel concurs BarcelonaTech-MathContest, lide-rat pel professor Jose Luıs Dıaz Barrero i queva aplegar prop de 40 alumnes de secundariad’arreu de l’Estat. En aquesta competicio esconvida a participar els nois i noies que hanquedat ben classificats a les fases locals de lesdiferents comunitats autonomes de l’OlimpıadaMatematica Espanyola. La prova conte proble-mes del camp de les matematiques elementalsi temes d’algebra, combinatoria, geometria iteoria de nombres. Es va aprofitar el concursper seleccionar l’equip femenı que va represen-tar Espanya a l’European Girl’s MathematicalOlympiad, que es disputar a Florencia el mesd’abril d’enguany. Aquesta activitat comptaamb la col·laboracio del CFIS i de la FundacioCellex.

El mes de maig es va celebrar la 4a ediciode la BarcelonaTech Mathematics Competitionfor University Students. Aquesta competicios’adreca a estudiants d’universitat que estiguininteressats per les matematiques i que esti-guin completant el seu primer, segon, tercer oquart any d’educacio universitaria. Consisteixen una sessio de cinc hores, amb cinc pro-blemes dels camps de l’algebra, analisi (reali complex), combinatoria, geometria i teoriade nombres.

Pel que fa a la programacio, a finals de maigels estudiants preuniversitaris que prenen parta l’Olimpıada Informatica de Catalunya i quevan resultar classificats en dues proves anteriorsvan participar a la final que acull l’FME. Ames de participar a la competicio final, van as-sistir a la conferencia «Informatica i biologia»,pronunciada per Vıctor Lopez, llicenciat enMatematiques i enginyer en Informatica per laUPC i finalment es van poder relaxar una micaamb la gimcana organitzada pels estudiants del’FME.

SCM/Notıcies 43 17

Exposicio MMACA «Experiencies matematiques: prohibit no tocar!»Lluıs MoraCoordinacio APaMMs-MMACA

A l’Ateneu de la Fundacio Iluro de Mataro esva inaugurar el 17 de gener passat l’exposicio«Experiencies matematiques: prohibit no to-car!». En aquest acte hi van participar repre-sentants de totes les entitats que han treballatconjuntament per poder portar aquesta mostraa la ciutat de Mataro: APaMMs, Tecnocampus,Fundacio Iluro, els Serveis Territorials d’Ense-nyament Maresme-Valles Oriental, Ajuntamentde Mataro i, evidentment, el MMACA.

L’acte d’inauguracio va constar de duesparts. La primera va consistir en una breu visitaamb explicacio d’alguns dels moduls que formenl’exposicio als representants de les entitatsesmentades, i la segona va ser la conferencia«Geometria amb bombolles de sabo», a carrecd’Anton Aubanell, oberta a tot el public mata-ronı que va omplir l’espai. Podeu veure el vıdeod’aquesta inauguracio a l’adreca web: https://www.youtube.com/watch?v=NjdBIC3c4cQ.

Ara be, l’activitat en l’exposicio ja haviacomencat un parell de dies abans, el dilluns

dia 15, amb la visita dels docents dels centresque havien inscrit els seus grups d’estudiantsper visitar l’exposicio, formada per 41 modulsmatematics, i participar en els tallers quel’acompanyaven: les cupules de Leonardo i elsjocs d’estrategia.

L’exposicio va ser visitada per un total de70 grups de 18 centres d’ESO i 101 grups de23 centres d’educacio primaria de Mataro irodalia. En total, van manipular els modulsde l’exposicio i van participar en els tallersuns cinc mil estudiants. En les visites elsvan acompanyar vuit monitors, formats pelMMACA, tots estudiants de diferents graus delTecnocampus.

Aquest exit de public va fer que l’exposicio,que inicialment havia de tancar les portes el 9de marc, ho acabes fent el dia 18 del mateixmes.

18 SCM/Notıcies 43

Com ja hem dit abans, l’exposicio estavaformada per 41 moduls: 16 de geometria, mi-ralls i poliedres, 10 de topologia i combinatoria,11 de calcul i 4 d’estadıstica. Amb tot aquestmaterial s’oferia una visio molt completa de lamajoria dels blocs de contingut matematic quees treballen als centres educatius i es facilitavala introduccio de materials manipulables en eltreball matematic ordinari a l’aula.

Un dels complements de l’exposicio van sercinc xerrades conferencia, adrecades a tothomque tingues interes a ampliar el seu bagatgematematic i que tambe eren utils als docentsper certificar unes hores de formacio.

La primera va ser impartida per Lluıs Morai es titulava «Les dades suggereixen. . . », fraseamb la qual es recomanable comencar qualsevolconclusio que s’hagi obtingut d’un treball ambdades, ates que aquestes poden canviar segonsel context i el lloc on s’han obtingut. La utilitatd’aquestes dades es que ens ajuden a prendredecisions per resoldre problemes o a respondrepreguntes, mai a l’inreves, amb la idea deconfirmar idees preestablertes.

La segona, «Les matematiques a la magiai viceversa» va ser impartida per Sergio Bel-monte, en que va mostrar la relacio entre lamanera de treballar de les matematiques i delsmagics. La magia es converteix, aixı, en unaaplicacio ludica de les matematiques i en unaaltra manera creativa de gaudir-ne.

En «Una ma de contes matematics», CarmeAymerich va mostrar la relacio que s’esta-bleix entre la literatura i les matematiques,de manera semblant a la que hi ha entre lesparaules contar i comptar. En moltes histories,els personatges que hi apareixen han de resoldreproblemes i plantejar-se preguntes. A mes, ensva mostrar com es pot aliar amb la TV permostrar contes matematics.

La quarta conferencia estava relacionadaamb la musica, «Coctel matemusical: 2/3 defraccions + 1/3 d’harmonia», a carrec deJoan Jareno i Francina Turon. En aquestaconferencia, a partir del calcul amb fraccionsi amb unes gotes d’harmonia, van mostrar compodem construir l’escala musical. I tot plegatamb una mica d’acompanyament musical.

Xavier Vilella va tancar el cicle amb laxerrada «Matematiques per entendre el mon?i millorar-lo». En aquesta xerrada va donaruna possible resposta a la pregunta: per aque serveixen les matematiques? A mes, ens

SCM/Notıcies 43 19

va parlar del moment de la historia en quemoltes persones s’ho van preguntar durant anysmentre aprenien els numeros, els polıgons, lesoperacions, els canvis d’unitats, de decametresa centımetres. A mes, ens va presentar ideessobre com cal ensenyar-les perque siguin utils aqui les apren.

Gairebe cinc mil persones van visitar-la.Moltes venien acompanyades pels infants, nois inoies que havien visitat l’exposicio amb l’escola.L’efecte crida va ser important. I a fi de

complementar l’exposicio, i donar-li una micames de visibilitat, els monitors que feien lesvisites guiades de les escoles tambe van poderoferir-ne algunes a famılies i public en general.

Ja per acabar, podem dir que un grannombre de docents van qualificar l’experienciade molt positiva. En concret, van posar en relleuque l’exposicio era una gran oportunitat per alsseus estudiants per complementar les classes ique l’estructura de la mostra (visita mes taller)estava ben equilibrada.

Creacio de la Catedra Mir-Puig (UPC) per al foment de les matematiques

Pere Pascual i GainzaDirector de la Catedra

El dia 3 de febrer de 2018 la Fundacio PrivadaCellex i la Universitat Politecnica de Catalunyavan signar un conveni de col·laboracio pel quales feia efectiva la creacio de la Catedra Mir-Puig. L’objectiu de la catedra es impulsar idonar suport a activitats per al foment i ladifusio de les matematiques dirigides a jovesestudiants de tots els nivells i a la societat engeneral.

El Dr. Pere Mir Puig ha estat un entusiasta ireconegut mecenes de les ciencies del paıs, moltparticularment en el camp de la medicina perotambe, per exemple, de la fısica; sempre des dela discrecio mes absoluta. Va canalitzar bonapart d’aquest patrocini mitjancant la FundacioPrivada Cellex.

Des de fa mes de quinze anys, el Dr. Mir vaestablir una estreta col·laboracio amb la UPC alvoltant de les matematiques i el suport a jovestalents interessats per aquesta materia. Citare,com exemple recent, la creacio del BarcelonaTech Math Summer Camp, que el proper juliolcelebrara la quarta edicio.

Amb les interessants propostes de JosepGrane, aquesta col·laboracio s’ha anat estenenta la creacio i desenvolupament del programaCiMs+Cellex, del qual vam parlar en el numeroanterior de la SCM/Notıcies, i al suport denombroses iniciatives de la Societat Catala-na de Matematiques i entitats afins (des delCangur o l’Olimpıada Matematica Catalanafins als concursos de fotografia matematica,Bojos per les Matematiques, Estalmat o elMMACA, per esmentar-ne algunes), com deben segur coneixeu bona part dels membres dela comunitat.

Amb el traspas del Dr. Mir l’any 2017,la Fundacio Cellex va proposar a la UPC lacreacio d’una catedra que honores el seu record,i aixı reconeixer el mecenatge exercit en aquestsanys i, sobretot i crear un instrument quepermeti assegurar la continuıtat de les accionsimpulsades a mitja termini, tant a la UPC comen col·laboracio amb la SCM i la comunitatmatematica catalana.

Crec que aquesta es una molt bona notıciaper a tots els que treballem en la difusio

20 SCM/Notıcies 43

de les matematiques mes enlla de l’entorncurricular, i per a les noies i nois del paısque hi estan interessats. La voluntat del Dr.Mir va ser donar suport als joves talents

interessats en aquesta disciplina, amb la se-guretat que aixo redundara en el be comu.Des de la catedra treballarem per assoliraquests objectius.

La Comissio del Meridia

Anton Aubanell, Maria Garcıa,Josep Maria Cors, Josep Lluıs Pol

El meridia de Parıs

Francesc Arago, nascut a Estagell, un poble delRossello, va ser l’encarregat, juntament ambJean Baptiste Biot, de l’expedicio (1806–1808)que continua el mesurament del meridia quepassant per Parıs va de Dunkerke a Barcelona,utilitzat l’any 1791 per l’Academia Francesa deles Ciencies per establir la longitud del metrecom a unitat de mesura.

El metre va ser definit com la deumi-lionesima part del quadrant d’un meridiaterrestre; concretament, la distancia a traves dela superfıcie de la Terra des del pol Nord finsa l’Equador passant pel meridia de Parıs, mesprecisament passant per l’observatori de Parıs.

Els treballs de l’amidament del meridia elshavien comencat Jean-Baptiste Joseph Delam-bre i Pierre Mechain. Arribats a Barcelona,Mechain va decidir continuar el meridia mesavall per perfeccionar-ne els mesuraments, perola seva mort a Castello de la Plana, l’any1804, amb nomes 5 de les 17 triangulacions ad-dicionals previstes realitzades, va interromprel’expedicio.

Mechain volia fer arribar el meridia deParıs, de longitud 2◦ 20′ 14′′ est fins a Mallorca.Per aixo calia continuar la triangulacio fins aValencia, per poder enllacar els mesuramentscap a Eivissa, Formentera i finalment Mallorca.Despres de la platja d’Ocata, al Masnou, elproper punt on el meridia de Parıs toca terraes l’illa de Sa Dragonera (Mallorca).

Amb tota aquesta historia al darrere, vaneixer la Comissio del Meridia a partir d’unacord pres en la trobada de les juntes de lessocietats matematiques dels territoris de parlacatalana (FEEMCAT, SBM-Xeix, SEMCV Al-Khwarizmi i SCM) celebrada el marc del 2016a la Vall d’en Bas, si be ja s’havia posat sobrela taula en una trobada a Mallorca l’any 2013.

El web meridia.catEl web preten documentar i recollir en un ma-teix espai tota la informacio relativa a la mesuradel meridia: documents (textos, fotografies,. . . ), mapes de situacio interactius, l’inventaridetallat de vertexs geodesics i punts elevats quees van fer servir per a la triangulacio a tot elterritori de parla catalana, des del Canigo finsa la mola de s’Esclop a Mallorca, biografies,propostes didactiques, bibliografia. . . Tambe esvolen recollir les mesures tradicionals als terri-toris de parla catalana. Tot amb una finalitatmolt plural: vol ser atractiu tant al mon del’educacio com al public general.

El portal tindra aquests quatre grans apar-tats:• Presentacio

• Documentacio

• Educacio

• DivulgacioPer exemple, en l’apartat de Educacio i

Divulgacio s’hi podra trobar l’itinerari per Bar-celona a l’entorn de l’amidament del meridiapresentat durant el C2EM (Congres Catalad’Educacio Matematica). A set llocs geolo-calitzats s’hi han introduıt un total de deuactivitats, com ara descobrir que la Torredel Rellotge del port de Barcelona es el

SCM/Notıcies 43 21

punt on es tallarien l’avinguda Meridiana iel Paral.lel, si els perllonguessim. Per quecreieu que aquestes dues avingudes portenaquests noms?

D’altra banda, es vol que el portal siguiun catalitzador a l’hora de generar activi-tats comunes de les quatre societats. Algunes

d’aquestes activitats podrien ser: un homenatgea Mechain, la recreacio de la triangulacio o lareproduccio dels instruments originals.

El portal es construira sense terminis pre-establerts per intentar posar a l’abast delprofessorat i del public en general el maximd’informacio i de propostes.

«Contes per no descomptar-se» d’Urbano Lorenzo SevaXavier RocaInstitut Ramon Berenguer IV, Cambrils

El tradicional aıllament que pateixen els di-versos ambits del coneixement —la seva clas-sificacio en departaments— es un recurs queens resulta practic. Enrere queden els anys delRenaixement, quan una sola persona podia pu-blicar avencos significatius en disciplines moltdiverses, i avui en dia el volum i les direccionson es produeixen publicacions es tan gran iprofund que amb prou feines es pot destacar enuna sola branca d’un mateix camp academic.

Va be, doncs, classificar; potser inclus esnecessari. Posar etiquetes, ordenar i estructurarson accions que intervenen en qualsevol procesde comprensio i creacio d’idees, i no es casuali-tat que els seus conceptes —els agrupaments,

les unions i interseccions, les delimitacions—siguin l’essencia de la teoria de conjunts, elfonament teoric de les matematiques.

Res en contra d’aquesta inercia de tantssegles —la de classificar i separar, la decompartimentar— pero es tambe sabut que,quan s’arriba a un determinat estadi, cal des-aprendre tot el que s’ha apres. De la mateixamanera que els musics de jazz s’obliden de lesexigencies de la partitura nomes despres dedominar-les, o multitud d’artistes es desfan delsaprenentatges tradicionals per crear universospropis i experimentals a partir d’ells, tots hemde ser capacos d’alliberar-nos d’etiquetes, de se-paracions i fronteres que nomes ens impedeixencreixer.

Pero trencar delimitacions no nomes esuna questio de rebel·lia creativa, o de fer-ho,simplement, perque ho podem fer. La pedago-gia fa temps que soste que la connexio entreconceptes —dins de la mateixa o entre diversesmateries— es un dels processos que indicaun assoliment mes alt en una determinadacompetencia. Connectar es un senyal que hemcompres, que podem trobar paral·lelismes, quesabem aplicar i enllacar.

Aquest exercici de riquesa —de connexioentre disciplines— es el que ha fet Urbano ambel seu llibre, i es el que suggereix als lectors.La literatura i les matematiques son dos delsambits que mes sovint es consideren contrariso impossibles de relacionar, i Urbano s’haproposat contradir aquesta creenca erronia,convidant-nos a viatjar entre aquests dos monsfantastics, cadascun a la seva manera.

La literatura matematica te tambe diferentsestadis: des de la simple presencia de fets oanecdotes matematiques a la literatura, fins ala presentacio mes o menys literaria d’idees

22 SCM/Notıcies 43

matematiques. Contes per no descomptar-sepertany a un tercer bloc, mes interessant queels altres dos, en que la barreja es presenta,afortunadament, mes difosa. Urbano situa les

matematiques en el nucli de la seva creacio, i lapublicacio dels seus contes (tendres i creatius,pedagogics i tambe divulgatius) es una bonanotıcia per als amants de les dues disciplines.

Activitats

VII Jornadas de Teorıa de Numeros, LleidaJosep Conde, Josep M. Miret i Jordi PujolasUniversitat de Lleida

Del 26 al 29 de juny de 2017 es van celebrar aLleida les VII Jornadas de Teorıa de Numeros,dedicades a la memoria del professor JavierCilleruelo i organitzades pel grup de Cripto-grafia i Grafs de la Universitat de Lleida. LesJornades van neixer l’any 2005 amb l’objectiude mostrar, d’una banda, els avencos dels grupsde recerca en aquest ambit de la matematicai de fomentar, d’altra, la participacio delsjoves investigadors perque tinguin un puntde trobada on exposar els resultats dels seusprimers treballs.

Les edicions anteriors van tenir lloc aVilanova i la Geltru (2005), Madrid (2007),Salamanca (2009), Bilbao (2011), Sevilla (2013)i Valladolid (2015). Aquestes jornades s’hanconsolidat com un espai de difusio de resultatscientıfics en aquest camp de la matematica i decol.laboracio entre els participants.

En aquesta edicio vam comptar amb l’as-sistencia de 55 participants, 42 d’universitatsespanyoles i la resta d’universitats d’altrespaısos, com Australia, el Canada, Colombia,Hongria i Xile. En l’acte inaugural, JosepGonzalez-Rovira i Adolfo Quiros, membres delcomite cientıfic, van glossar la trajectoria deJavier Cilleruelo, i en van destacar la valuacom a matematic i la seva qualitat humana, i

tambe van animar els participants a seguir elseu exemple.

El programa cientıfic es va estructurar envuit conferencies plenaries i vint comunica-cions distribuıdes en diverses sessions. En lesplenaries s’hi van presentar joves investigadorsamb treballs de reconegut prestigi: J. Achter(Colorado State University, EUA), F. Cas-tella (Princeton University, EUA), N. Garcıa-Fritz (University of Toronto, Canada), X. Gui-tart (Universitat de Barcelona), A. Pizarro-Madariaga (Universidad de Valparaıso, Xile),R. Pries (Colorado State University, EUA),J.M. Tornero (Universidad de Sevilla) i A. Zu-malacarregui (University of New South Wales,Australia), que va ser doctorand de JavierCilleruelo i en la conferencia inaugural va fer unentranyable repas dels seus principals treballs.

Els abstracts de totes les xerrades i comu-nicacions es poden baixar del web del congreshttp://www.jtn2017.udl.cat, on tambe espot trobar entre d’altres, la llista dels partici-pants i una galeria de fotos de la trobada.

Del programa social cal destacar la recepcioque va oferir la Paeria de Lleida, aixı com lavisita a la Seu Vella, actes que van contribuir adonar a coneixer la ciutat en una atmosfera decordialitat.

Aquests actes, juntament amb la qualitatde les ponencies, van fer d’aquesta trobadaun congres interessant i profitos. Per acabar,hem d’agrair el suport i l’ajut del Departa-ment de Matematica, de l’Escola PolitecnicaSuperior i de l’Institut de Recerca InsPIReSde la Universitat de Lleida, aixı com de laDiputacio de Lleida. I molt especialment a totsels participants que, amb el seu entusiasme, vanaconseguir que gaudıssim d’unes agradables VIIJornadas de Teorıa de Numeros.

SCM/Notıcies 43 23

Dissabte Transfronterer de les Matematiques a l’Alt EmpordaJaume AguadeUAB

L’edicio d’aquest any del Dissabte Transfron-terer de les Matematiques a l’Alt Emporda(DITMAE) —que ja es la setena— es vacelebrar, malgrat les circumstancies que van fertemer per la seva continuıtat, el primer dissabtede febrer al Centre de Formacio Integrat FerranSunyer i Balaguer de Figueres.

Aquesta activitat de difusio de les ma-tematiques en l’ambit de l’ensenyament pre-universitari va neixer el 2012 impulsada per laFundacio Ferran Sunyer i Balaguer, amb la vo-luntat d’incidir en la promocio de les vocacionsmatematiques entre els estudiants joves.

Fins l’any passat, el DITMAE era possibleper un conveni entre la FFSB, la FundacioPrincesa de Girona i l’Ajuntament de Figue-res, pero enguany aquest conveni no ha estatpossible perque la FFSB i l’Ajuntament vandecidir posar fi a qualsevol cooperacio amb laFPGi. Aquestes son les «circumstancies» quehem esmentat abans i que, afortunadament, esvan poder superar.

El Dissabte d’enguany

Es van oferir als estudiants quatre tallers—tres de batxillerat i un de quart d’ESO—amb una presencia total de 120 alumnes i 30professors de 20 centres. Cada taller consistiaen una xerrada introductoria seguida d’un tallercompetitiu —molt competitiu!— que declaravauns guanyadors. Simultaniament, els professorsque acompanyaven els seus alumnes van poderparticipar en una xerrada taller que va presen-tar Marc Guinjoan (UAB i Explorium) que es

titulava «La Copa Cangur, un concurs i unaeina per a l’aula».

Marta Casanellas (UPC) va impartir eltaller «Les matematiques de la teoria del’evolucio», en el qual els alumnes van aprendrela relacio que hi ha entre les sequencies denucleotids i els arbres filogenetics i van aplicaraquest coneixement a la tasca de reconstruirl’arbre filogenetic d’un grup d’especies.

«Equacions per al canvi climatic» es el tıtolque va escollir Eric Galbraith (ICTA, UAB iICREA) per al seu taller, en el qual els alumnesvan aprendre com les matematiques ens ajudena entendre que pot passar en un futur amb elCO2 que produım els humans.

Un tercer taller —«El camı mes curt iestrategies per trobar-lo»— va girar al voltantdels anomenats «problemes de viatjants» i elsalumnes van treballar amb algunes tecniquesque s’utilitzen per atacar aquests problemes.El disseny del Buff d’enguany —que reben totsels participants— explotava l’us que es pot ferd’aquestes tecniques amb finalitats artıstiques.

El taller per a alumnes de quartd’ESO va ser, possiblement, un dels mesespectaculars que hem fet. Els creadors delprogramari de geometria 3D amb realitat

24 SCM/Notıcies 43

virtual NeoTrie van ensenyar als alumnescom es poden utilitzar aquestes eines perfer construccions geometriques 3D d’unamanera que fins fa poc nomes podıem

imaginar. El taller el van desenvolupar JoseLuis Rodrıguez (UAL) i el seu col·laboradorDiego Cangas.

La pagina del DITMAE es ditmae.cat.

Final de la Copa CangurMiguel Caireta, Valeria Darnell i Laura MoreraOak House School i eXplorium

Quan ens van proposar l’oportunitat de parti-cipar en la fase final de la Copa Cangur 2018,no vam dubtar a dir que sı. Es tracta d’unconcurs de matematiques entre les diferentsescoles, en que participen grups de set alumnesde segon i tercer d’ESO. No era la primeravegada per a la nostra escola, Oak HouseSchool, ja que ja havıem participat quatreanys en la primera fase de la competicio.En totes les edicions l’experiencia ha sigutincreıble i unica, i per aixo tenıem tantes ganesd’anar-hi.

Estavem molt emocionats, pero ens havıemd’entrenar, perque els problemes d’aquest con-curs son bastant diferents dels que nosaltresestem acostumats a fer i no quedava gaire tempsper al dia de la competicio. Havıem participaten la primera fase els de segon amb els detercer, pero encara volıem relacionar-nos mesentre nosaltres i coneixer el que cadascu trobavames difıcil i el que sabia fer amb mes facilitat.

El dia definitiuFinalment, va arribar el 5 de marc, el grandia, la final de la Copa Cangur. Estavem moltnerviosos pero llestos per resoldre problemes de

la millor manera que sabıem. Vam sortir del’escola aquell matı per anar a Mataro, on secelebrava la final. Encara que estavem bastantnerviosos, estavem molt contents i excitats depoder participar i competir contra 22 equips detot Catalunya i del Paıs Valencia. La veritates que volıem arribar alla com mes possibleaviat millor per comencar a resoldre problemesimmediatament!

Quan vam arribar, l’atmosfera ja era di-ferent de la que hi havia en la primera fase.Es notaven els nervis de la gent a l’aire i hihavia una tensio entre els equips considerable,tot i que ningu no ho volia admetre. Erem154 alumnes preparats per resoldre problemesmatematics estrategicament!

Despres de fer l’esmorzar, la competiciova comencar. Tots ens vam posar en «modematematic» i vam llegir tots els enunciats.A mesura que n’acabavem un, continuavemresolent els altres, quan veiem que ens anavensortint, ens sentıem com genis! Els nervis japredominaven a la sala i els constants crits de«Vinga, Oak!» o «Vinga...!» nomes ens dona-ven mes ganes de seguir resolent problemes.Com sempre, vam comencar fallant problemes

SCM/Notıcies 43 25

facils per culpa de no revisar les respostes, cosaque ens posava encara mes nerviosos, i passats20 minuts ens vam espavilar, vam resoldreel nostre comodı i altres problemes de granpuntuacio, i aixı vam arribar a la cinquenaposicio. Desafortunadament, els altres equipstambe continuaven resolent, i quan ja nomesquedaven 10 minuts, la histeria ens va bloquejari no vam poder solucionar mes problemesperque ens vam quedar en blanc. Com en totesles competicions de qualsevol tipus, ens vamcomencar a culpar entre nosaltres, pero vamaconseguir refer-nos i continuar lluitant pelTop 10.

Finalment, ens vam posar a resoldre amb in-tensitat i vam acabar resolent un altre problemaper aconseguir la 8a placa; i en l’ultim minut,quan la pantalla s’apagava, ens vam arriscar en-

tregant dos problemes. Desgraciadament, totsdos estaven malament i vam caure a la 11aplaca, que no estava gens malament pero noera el que haurıem volgut. Havia sigut una horaintensa de resoldre problemes i creiem que hovam fer forca be. Vam resoldre 10 problemesdels 15 que hi havia, estavem molt contents iorgullosos del que havıem fet.

No vam saber que ens havıem classificat pera la fase internacional fins uns dies mes tard,quan vam rebre una trucada per comunicar-nos-ho. Els 15 primers grups passarien a lafase seguent contra Italia i Eslovenia. Nosal-tres ho veiem com una nova experiencia perdemostrar el que sabem i estem euforics percomencar. Se celebra el dia 30 de maig isabem que n’hem d’aprendre molt mes peroestem preparats.

Segona edicio dels premis Noether (2017)Enric VenturaVicepresident de la SCM

El 15 de marc de 2018 passat va tenir lloc,a la sala Pi i Sunyer de la seu de l’Institutd’Estudis Catalans, l’acte de lliurament de lasegona edicio del premi Noether de la SocietatCaltalana de Matematiques.

El premi Noether es un guardo atorgat perla SCM als millors treballs de fi de grau enmatematiques de les universitats catalanes. Desde la seva primera edicio el curs passat, ha estatuna iniciativa molt ben rebuda pels estudiantsde les tres universitats, UB, UAB, UPC, tal

com demostra la quantitat i qualitat delstreballs presentats. El premi esta patrocinat perla Fundacio CELLEX, a la qual agraım la sevacol·laboracio un any mes.

Els premiatsA l’edicio d’enguany, s’hi han presentat dissettreballs de fi de grau, defensats a les respecti-ves universitats durant la pasada primavera itardor del 2017. El jurat del premi, format pelsprofessors Pilar Bayer (presidenta, UB), CarlesBroto (UAB), Marta Casanellas (UPC), CarmeCascante (UB) i Pere Puig (UAB) va decidiratorgar el premi al treball «Oscillatory integralsand the Kakeya Conjecture», presentat perl’estudiant de la UAB Jaume de Dios i dirigitpels professors John B. Garnett (UCLA) i JoanVerdera (UAB); el treball relaciona diversesconjectures de l’area de l’analisi harmonica idona certs resultats parcials que requereixentecniques forca elaborades, la comprensio i lapresentacio de les quals ha estat valorada moltpositivament pels membres del jurat. Entre lesseves consideracions destaca la frase «el treballfa pales un esforc considerable de l’autor per

26 SCM/Notıcies 43

familiaritzar-se amb treballs nous i resultatsmolt actuals». Aixı mateix, el jurat decidı ator-gar tambe una mencio per al treball «Lefschetzproperties in algebra and geometry», presentatper l’estudiant de la UB Martı Salat Moltoi dirigit per la professora Rosa Maria Miro-Roig (UB); en aquest cas, el treball aportaresultats nous sobre la classificacio de sis-temes de Togliatti i estudi del seu nombreminimal de generadors.

Durant l’acte d’entrega de premis, el presi-dent de la Societat Catalana de Matematiques,Xavier Jarque, va lliurar els guardons, i elsdos premiats ens van fer una breu presentaciodels seus respectius treballs. En nom de laSocietat Catalana de Matematiques, felicitemefusivament els dos premiats per l’obtencio delspremis i per l’alta qualitat dels treballs, a l’horaque els desitgem tot el millor en la seva novaetapa professional.

Debat sobre sortides professionals

Com ja s’ha fet en edicions anteriors, s’aprofital’acte d’entrega d’aquests premis i la presenciad’un nombre considerable d’estudiants del grauper fer un debat sobre un dels temes quemes els preocupa en aquesta etapa de lavida: les sortides professionals. Vam convidartres ponents joves perque il·lustressin, ambles seves experiencies personals, les diversessortides professionals tıpiques de la carrerade matematiques. Van fer una breu presen-tacio sobre les experiencies personals i pro-fessionals viscudes en l’etapa des que vanabandonar la universitat com a estudiantsfins a l’actualitat:

• Joana Cirici va acabar el doctorat el2012 a la Universitat de Barcelona, va ferestades postdoctorals a la Universitat deMunster i a la Freie Universitat de Berlın,i actualment treballa com a investigadoraen topologia algebraica a la Universitat deBarcelona; amb un to molt fresc i proper,va explicar als assistents el seu periple pelmon de la recerca matematica i per diferentsuniversitats d’arreu, exemplificant de maneraclara que en aquest mon pots planificar eltrajecte que vols seguir i decidir en que,amb qui i on vols treballar, pero tambe calestar obert i considerar les possibilitats, devegades inesperades, que el mateix trajecteet va oferint. Aquesta capacitat d’adaptacioa les circumstancies amb naturalitat es cadavegada mes important en els temps quevivim.

• Toni Lozano va estar un temps de becarifent el doctorat a la UAB en temes de topo-logia algebraica, i despres va decidir fer el saltal mon empresarial i va entrar atreballar coma cientıfic de dades a l’empresa Aplicacionesen Informatica Avanzada; fa poc que tambetorna a treballar a la UAB com a professorassociat. Va explicar les motivacions que elvan portar a fer aquest gir en la seva carreraprofessional, i els canvis que aixo li ha supo-sat pel que fa a estil de vida, responsabilitat,horari, feina, etc. El que mes destacariadels seus comentaris es que aquesta empresava valorar positivament que fos doctor enmatematiques, i ho va remarcar especialmenten les seves condicions laborals, encara quela tematica del doctorat que va cursar notingues directament res a veure amb la feinaque l’empresa li encomana. Efectivament,fer un doctorat, a banda dels coneixementsque t’aporta en un camp molt concret dela recerca matematica, tambe t’aporta mesmaduresa i flexibilitat a l’hora d’afrontarproblemes i reptes nous; i aquesta habilitat esclau a l’hora de tenir exit en qualsevol feina.Les empreses es van adonant d’aquest fet ivaloren cada cop millor el plus que els podenaportar els doctors en matematiques en elsequips de treball. Desgraciadament, pero, enaltres paısos aixo es valora mes que no pasal nostre; encara hi ha molt per recorrer enaquest sentit.

SCM/Notıcies 43 27

• Nuria Mira, que es professora de ma-tematiques de secundaria als Maristes deRubı, va fer un elogi de la professio de mestre:sentint-la parlar quedava ben pales que, perqui sent la vocacio de mestre i la passio perensenyar i transmetre les matematiques, es-tar cada dia davant una classe de nois i noiesamb ganes d’aprendre’n es tot un privilegi,que va molt mes enlla de tenir una feina iun sou. Amb un entusiasme encomanadıs, vatrencar una llanca en contra de la tendenciasocial dels ultims anys de valorar poc la feinadels mestres i va demostrar que, per a moltsdocents, aquesta es la millor feina del mon.La comunitat educativa catalana en general,i les matematiques en particular, necessitemde persones amb la joventut, l’entusiasme il’empenta de la Nuria per continuar oferintmes i millor formacio als nostres joves, elsfuturs ciutadans del nostre paıs.

A continuacio, es va obrir un debat d’unahora aproximadament entre el public assistenti els tres ponents. Els estudiants mostraven lespreocupacions i els neguits que tenien sobrecom orientar el futur professional que els esperaen el futur immediat: com puc triar una feinaque m’agradi realment? I si no la trobo? I sino estic segur de que vull fer? Val la pena ferun master? He de marxar a l’estranger? He deseguir fent mes currıculum? Que coi hi fa unmatematic en una empresa? Que se’n valorames? I si encamino el meu futur professional capuna direccio i despres m’adono que no m’agradatant com em pensava? Molts dubtes, moltespreguntes... Es normal quan un s’enfronta perprimer cop a un canvi d’etapa tan importanti que marcara el seu propi futur professional.

No se si el debat va servir per resoldre dubtesconcrets, pero el que va quedar ben clar vaser l’optimisme dels tres ponents. Crec que nom’equivoco si afirmo que reflecteix de maneraforca fidelm la realitat en que ens trobem:els matematics catalans continuem sent uncol·lectiu molt i molt ben format i preparat, igaudim, en general, de mes habilitats i capaci-tats d’adaptacio a noves situacions que moltsaltres col·lectius; per aixo, el mercat laboralvalora molt les qualitats d’un matematic i,malgrat l’epoca de crisi, l’atur, i les dificultatseconomiques que es resisteixen a desapareixer,en general no tenim gaires problemes per trobarfeina i progressar professionalment. Afortuna-dament, avui dia podem dir, bastant satisfets,que l’atur entre matematics a Catalunya esmes petit que epsilon.

Havent acabat aquest interessant debati l’acte de lliurament de premis propiamentdit, a les vuit tocades, es va oferir un pe-tit refrigeri per a tots els assistents al patide l’IEC.

Contextualitzacio de les matematiques en les carreres tecnologiques dela Universitat Politecnica de CatalunyaMarta Pena CarreraSotsdirectora de l’ICE de la UPC

Es ben conegut que per aconseguir una mi-llor motivacio i aprofitament de l’estudian-tat conve contextualitzar les ciencies (ma-tematiques, fısica, quımica...) mitjancant apli-cacions immediates en les disciplines de la

carrera. En altres paraules, cal promoure l’ano-menat student engagement, en particular queels estudiants se sentin identificats amb laprofessio que han escollit i que trobin que tot elque aprenen es util per al seu futur professional.

28 SCM/Notıcies 43

El projecte que es presenta te com aprincipal objectiu millorar la docencia de lesciencies a la Universitat Politecnica de Catalu-nya (UPC) i il·lustrar l’ensenyament d’aquestesdisciplines a traves de diferents problemestecnologics. En una primera fase el projectese centrara en matematiques. Per exemple, esmodelitzaran matricialment problemes d’engi-nyeria i a continuacio s’aplicaran tecniques decalcul matricial per estudiar-los i resoldre’ls.Aixo requereix per part del professorat, nonomes el coneixement dels conceptes i tecniquesde matematiques o de fısica, sino tambe tenirnocions de les diferents arees de l’enginyeria enque s’apliquen.

Aquesta iniciativa s’organitza amb lacol·laboracio de l’Institut de Ciencies del’Educacio, la Facultat de Matematiques i Es-tadıstica i el Departament de Matematiques dela UPC.

La metodologia d’aquest projecte consisteixa impartir conferencies de periodicitat quin-zenal, a partir d’abril del 2018, que il·lustrinl’us de les matematiques en diverses arees tec-nologiques. La intencio es recopilar el materialque sorgeixi d’aquest projecte per introduir-loi utilitzar-lo en la comunitat universitaria. Enparticular, exercicis contextualitzats en el grauon s’imparteixen, motivadors per a l’estudian-tat, i guies amb nocions de les diferents arees

de l’enginyeria en que s’apliquen, que serveixinde suport per al professorat de matematiques.

La sessio inaugural va tenir lloc el 10 d’abrilde 2018, i va comptar amb la presencia delrector de la UPC, Francesc Torres, i del secre-tari d’Universitats i Recerca de la Generalitatde Catalunya, Arcadi Navarro. La conferenciainaugural va anar a carrec del professor de laUPC Claudi Alsina, que es titulava Invitacio ala renovacio educativa de les matematiques ales carreres tecniques”.

La resta de conferencies programades per aaquest curs 2017–18 han estat les seguents:

• «Fluxos en xarxes», a carrec del professorJosep Ferrer (Departament de Matematiquesde la UPC).

• «Engagement amb els estudiants de primerd’Enginyeria Civil», a carrec de la professoraM. Rosa Estela (Departament d’EnginyeriaCivil i Ambiental de la UPC).

• «Les matematiques de Google», a carrec delprofessor Rafael Bru (Universitat Politecnicade Valencia).

• «Numerical Factory: un tast numeric sobrel’ensenyament de les matematiques a lesenginyeries», a carrec del professor AntoniSusın (Departament de Matematiques de laUPC).

La informacio d’aquest projecte es pottrobar al web https://fme.upc.edu/ca/la-facultat/activitats/2017-2018

El projecte es reprendra el curs 2018–19,amb la imparticio de conferencies que represen-tin el nombre mes ampli de titulacions possiblesde la UPC.

Un programa similar es podria plantejaren el futur per a la contextualitzacio d’altresciencies (fısica, quımica...) en les carreres tec-nologiques de la UPC.

SCM/Notıcies 43 29

School on Mathematical Modelling of Tumour Growth and TherapyToni GuillamonComite Organitzador

Del 3 al 6 d’abril es va celebrar al CRMel curs avancat «School on MathematicalModelling of Tumour Growth and Therapy»(vegeu http://www.crm.cat/en/Activities/Curs_2017-2018/Pages/IRP-Biology-AC.aspx), dins del programa intensiu de recercaen biologia matematica, que hi ha tingutlloc d’abril a juny de 2018. L’objectiu del’activitat era mostrar els darrers avencos enmodelitzacio matematica del creixement detumors i les seves terapies. Si be la based’aquests models s’ha utilitzat profusament enbiologia matematica en les darreres decades,recentment ha experimentat un notable impulsprovocat tant per l’acces massiu a dadescom per l’aparicio de nous avencos en lamodelitzacio i tractament analıtic de modelsde multiples escales. El curs va ser impartitper quatre reconeguts especialistes en el tema:Helen Byrne (University of Oxford), ambel tıtol «Multiphase modelling in cancer»,Vincent Calvez (Ecole Normale Superieurede Lyon), sobre «Mesoscopic modelling ofpropagation phenomena», Jean Clairambault(INRIA Paris-Rocquencourt Research Centre),sobre «From single-cell molecular to cell-populational phenotypically structured modelsto optimise cancer therapeutics», i AnnaMarciniak-Czochra (Heidelberg University),sobre «Mathematical modelling of stem cellbased systems: Hierarchical structures, clonalheterogeny and mutation-selection processes».Van particpar-hi una trentena d’investigadors,majoritariament estudiants de doctorat. Acontinuacio fem un breu resum dels seuscontinguts basics.

Modelitzacio multifase en cancer

La professora Helen Byrne va obrir el seucurs parlant de problemes de frontera mobilper modelar el creixement de tumors, te-nint en compte les densitats i dinamiques denutrients i cel·lules tumorals. Va presentarmodels simples que permeten la seva analisimatematica i, a mes, una identificacio claradels factors de creixement. En una segonasessio, va dedicar l’atencio a estudiar el rol

dels macrofags en l’evolucio dels processoscancerosos, a traves de models mes complexosen que es modelen concentracions de cel·lulestumorals, substancies residuals, macrofagsnutrients i quimioatraients. Els models resul-tants, expressats en equacions en derivadesparcials, ja no son tractables analıticament,pero ofereixen resultats numerics prou interes-sants. Per exemple, permeten entendre lesvariacions de macrofags en diferents tipus detumors o estudiar l’efectivitat de combinar laterapia per macrofags amb la radioterapia. Elsmodels explicats per Helen Byrne tambe sonutils per formular hipotesis sobre les quali-tats materials dels tumors i establir un marcmultifasic per investigar els efectes bioquımics,que es podria utilitzar en bioenginyeria deteixits. En la tercera sessio, el tema es vacentrar en la influencia de factors mecanics enel creixement tumoral, per mitja de modelsbifasics, estudiant la influencia d’un flux enel moviment de les cel·lules, amb l’objectiud’identificar mecanismes que milloren l’agrega-cio cel·lular. La darrera sessio es va dedicara problemes oberts: estudi de l’aparicio odesaparicio de tumors (per reduccio d’espai,emergencia de noves subpoblacions, arribada denutrients, etc.), metodes numerics eficients,creixement vascular de tumors, bioenginyeriade teixits (amb la intencio de desenvoluparestrategies de cultiu cel·lular in vitro), incor-poracio de les terapies als models o eliminacioi agregacio de fases als models.

Models estructurats a diferents escalesper optimitzar terapies contra el cancer

El curs del professor Jean Clairambault va girara l’entorn de la resistencia als medicamentsen poblacions de cel·lules tumorals induıdaper l’administracio dels mateixos medicaments.Clairambault insereix el problema en un marcdinamic adaptatiu que representa l’evoluciofenotıpica de les poblacions cel·lulars, i quepermet seguir la distribucio instantania i elcomportament asimptotic dels fenotips resis-tents als medicaments. La primera sessio es vadedicar a fer un repas exhaustiu de models

30 SCM/Notıcies 43

d’evolucio que han servit per entendre lesterapies contra el cancer en els darrers vintanys. Es va centrar especialment en modelsde cronoterapia en poblacions cel·lulars es-tructurades per l’edat; es a dir, en problemesde control optim amb l’objectiu de dissenyarl’administracio de farmacs per reduir al maximel nombre de cel·lules tumorals. La segonasessio es va endinsar en problemes mes concrets,com ara com controlar la divisio cel·lular mit-jancant cronoterapia amb medicaments contrael cancer, per entrar, en la tercera part, apresentar una perspectiva evolutiva del canceri entrar de ple en el tema de la resistencia(autoinduıda) als medicaments, tant pel que faa la seva modelitzacio com a les possibilitatsd’optimitzar-ne el control terapeutic. Final-ment, va presentar alguns reptes transdiscipli-naris, pero amb forta component matematica,en la modelitzacio del cancer; questions queinteressen a oncolegs i a biolegs cel·lulars ievolucionistes, i que ens donen una idea dequines matematiques caldria desenvolupar perentendre i predir el control del cancer.

Modelitzacio de sistemes basats encel·lules mareLa professora Anna Marciniak-Czochra va di-vidir el seu curs en tres parts fonamentals:(1) models d’hematopoesi (formacio, madura-cio i pas a la sang dels diferents tipus decel·lules sanguınies) i emergencia de leucemies;(2) seleccio i mutacio en models d’evolucioclonal; i, (3) discussio d’estructures discretesversus contınues. En la primera part, mostramodels que preveuen els mecanismes biologicsinvolucrats en certs tipus de leucemies: l’auto-renovacio de les cel·lules mare, les transicionsentre diferents estadis de diferenciacio cel·lular,l’heterogeneıtat clonal dels cancers, les muta-cions, l’acoblament de dinamiques de cel·lulessanes i cel·lules cancerıgenes, etc. En la segonapart, es presentaren models bicompartimentalsper estudiar l’emergencia de l’heterogeneıtatclonal, l’impacte de terapies clıniques i elsprocessos de seleccio. Els models confirmenla coexistencia de diversos mecanismes deregulacio. En aquest punt, Marciniak-Czochrava incidir en la influencia dels metodesbioinformatics usats per tractar les dades quedespres s’utilitzen per modelitzar, un temaque deixa molt d’espai per al debat. En ladarrera part, va confrontar els models com-

partimentals (equacions diferencials ordinaries)amb els models continus (equacions en deri-vades parcials) de diferenciacio cel·lular. Coma conclusions generals, els models es podenusar per estudiar competicio clonal i selec-cio en leucemies i, a mes, suggereixen queuna autoregeneracio creixent de les cel·lulesmare leucemiques es un factor clau per ex-plicar la resistencia a les terapies i unaprognosi pobra.

Modelitzacio mesoscopica de fenomensde propagacioEl professor Vincent Calvez va encaminar laseva exposicio cap a models mesoscopics. Elcurs es va inicar amb un model de quimiotaxi,seguint les equacions de Keller-Segel, en quees modela el moviment esbiaixat de cel·lulescap a una font quımica. Amb aquesta for-mulacio es vol abordar la questio de si lescel·lules arribaran a formar agregacions i finsa quin punt. En aquest context, Calvez tambeva revisar models simplificats amb movimentno esbiaixat mes creixement poblacional, quedonen lloc a l’equacio de Fisher. La segonapart del curs es va dedicar a explicar teoremesd’existencia local per a models de percepciod’espai i de percepcio de temps (es a dir,on se suposa que les cel·lules «noten» lesvariacions de concentracions quımiques, be enl’espai o en el temps, respectivament). En casosespecials de models de percepcio de temps,es pot demostrar l’absencia de solucions queexplotin en temps finit, aixı com la fitacioi definicio per a tot temps de les solucions.Queden obertes questions com el decaımentexponencial en el suposit de percepcio d’espaii l’existencia d’estats estacionaris en el cas depercepcio de temps. Finalment, la darrera sessioes va dedicar a models cinetics de propagacio ia l’estudi de l’evolucio de la dispersio en frontsinvariants.

SCM/Notıcies 43 31

Activitats amb ajut de la Societat6a Jornada d’Investigadors Predoctorals Interdisciplinaria (JIPI 2018)Equip organitzador

La sisena edicio de la JIPI es va celebrar el dia19 de febrer de 2018 a l’Edifici Historic de laUniversitat de Barcelona. Aquest dia es vanaplegar investigadors predoctorals provinentsde diferents universitats i centres de recercacatalans.

Cronica

La inauguracio de la jornada va comptar ambla presencia del Dr. Xavier Roige, vicerectord’Estudis de Doctorat i Promocio de Recercade la Universitat de Barcelona; el Dr. GabrielBugeda, vicerector de Polıtiques Cientıfiquesde la Universitat Politecnica de Catalunya,i Xavier R. Hoffmann, membre del comiteorganitzador.

L’eix vertebral de la JIPI van ser les flashtalks, en que els investigadors presenten laseva recerca en format de xerrades de curtadurada i de tipus dinamic i ame. En to-tal hi va haver 45 ponents en 39 xerrades,agrupades en sessions tematiques: tecnologies,humanitats, ciencies naturals i ciencies soci-als. L’idioma vehicular de la jornada va serl’angles.1

Aquest any es van dur a terme debats iworkshops relacionats d’alguna manera ambl’ambit investigador. Com a novetat, es vanfer dues series de sessions paral.leles, cadascunaamb un debat i un workshop.

• Debat I - Let’s make research greatagain, sobre l’impacte que te la cienciatant en els mateixos investigadors com enla gent de carrer. Hem comptat amb lapresencia de la Dra. Marina Hervas, doctoraen Filosofia per la Universitat Autonomade Barcelona i directora del magazın digitalCultural Resuena, i el Dr. Alexandre Daup-hin, doctor en Fısica Teorica per la Universi-tat de Brussel·les i coordinador de l’equip dePint of Science Barcelona.

• Debat II - Keep calm! Mental health inresearchers, on es va parlar dels problemespsicologics que habitualment tenen els inves-tigadors. Amb la participacio de Nuria SuneSoler, investigadora predoctoral en Psicologiade l’Educacio de la Universitat Autonoma deBarcelona, el Dr. Robert Sewell, coordinadorde Programes Academics de l’Institut deCiencies Fotoniques (ICFO), i Nello Lampo,investigador predoctoral a l’ICFO.

• Workshop I: PhD Labour Nightmares,navigating the legal limbo: sobre la situ-acio laboral dels doctorands. Hem comptatamb la Dra. Vera Sacristan, presidenta del’Observatori del Sistema Universitari, i ambLydia Yepes i Daniel Barrientos, investiga-dors predoctorals de l’Institut d’Estudis delTreball.

• Workshop II: Women in Research:debat al voltant dels principals problemes

1La totalitat de xerrades van ser enregistrades i estan disponibles al canal de la Universitat de Barcelona, i alcanal de Youtube de les JIPI.

32 SCM/Notıcies 43

que pateixen les dones a STEM, amb laDra. Sonia Estrade, membre de la Co-missio d’Igualtat de la Facultat de Fısicade la UB.

La sessio de speed networking va continu-ar sent un dels trets significatius de les JIPI, enque els participants formen parelles, i disposende cinc minuts per presentar-se i per explicar-se els interessos en un entorn ıntim, relaxat idistret; despres d’aquests cinc minuts, canviende parella.

Gracies a la bona acollida de la sessio deposters de les edicions passades, aquest anys’ha decidit mantenir-la. Hem comptat amb untotal de 39 posters, i s’ha creat un espai per ala interaccio directa entre els participants.

Per acabar, a la taula de cloenda hivan assistir de nou el Dr. Xavier Roige, elDr. Robert Sewell, coordinador de ProgramesAcademics de l’ICFO, el Dr. Robert Castelo,coordinador de Doctorat en Biomedicina dela UPC, la Dra. M. Victoria Nogues, se-cretaria academica de l’Escola de Doctorat de la

UAB, i Lucıa Villamanan, membre del comiteorganitzador.

Valoracio

La jornada ha estat tot un exit. La participacios’ha mantingut respecte a la de l’any anterior,amb un nombre lleugerament superior a lesquatre-centes inscripcions. La interdisciplina-rietat continua sent la marca d’identitat del’acte. Un any mes hem rebut abstracts de totesles disciplines, amb una proporcio entre blocstematics cada vegada mes equilibrada. A mesa mes, el nombre d’institucions col.laboradoresha superat qualsevol xifra anterior, i aixo posade manifest el bon funcionament de la jornadade cara a l’exterior.

Els organitzadors volem expressar la valo-racio positiva de la jornada i reivindicar de noula necessitat d’un espai com les JIPI, on es potdiscutir i donar a coneixer la investigacio queduen a terme els investigadors predoctorals, queal cap i a la fi representa una gran part de laciencia que es produeix a Catalunya.

X Jornada de l’Associacio Catalana de GeoGebra. Gaudim una vegada mes amb elGeoGebraPep BujosaAssociacio Catalana de GeoGebra

El dissabte 17 de febrer de 2018, vam celebraral campus de la Ciutadella de la Universi-tat Pompeu Fabra la nostra X Jornada deGeoGebra, amb el suport de la UPF i de laSocietat Catalana de Matematiques. Aquestany, hem volgut concentrar tots les activitatsen un sol dia, matı i tarda i, d’aquesta manera,afavorir els participants que venen de mes lluny.Hem conservat l’estructura dels dos darrersanys, de tallers paral·lels i que va ser tan benvalorada en les enquestes. El programa va ser elseguent:

Dissabte 18, matı

• Conferencia: «Investigaciones en clase de ma-tematicas», per Jose Antonio Mora (InstitutGeoGebra Valencia).

• Comunicacio: «Les matematiques Vedes.Desconegudes i fins i tot oblidades. Una

lectura dels Sulva-Sutres acompanyada pelGeoGebra», per Jaume Bartrolı.

• Comunicacio: «Matematiques, disseny, Geo-Gebra», per Jordi Guardia.

• Comunicacio: «Momatre y GeoGebra», perTomas Recio.

• Taller: «Matematiques amb GeoGebra (I)»,per Pep Bujosa.

• Taller: «Iniciacio al GeoGebra 3D», per Isa-bel Sorigue i Bernat Ancochea.

• Taller: «CAS i grafics», per Carlos Gimenez.

• Taller: «La probabilitat per interpretar dadesestadıstiques», per Toni Goma.

• Taller: «L’us del GeoGebra en la resolucio deproblemes», per Jordi Font.

SCM/Notıcies 43 33

Dissabte 18, tarda

• Conferencia: «La volta catalana», per JordiDomenech (Red Nacional de Maestros de laConstruccion Tradicional) i Bernat Ancochea(Associacio Catalana de GeoGebra).

• Presentacio de treballs de recerca: «Mates ala natura», per Emma Valdes i Rut Herrero(Institut Juan Manuel Zafra, Barcelona).

• Presentacio de treballs de recerca: «Es potaprendre geometria amb un joc del mobil?»,

per Nacho Blazquez (La Salle Bonanova,Barcelona).

• Comunicacio: «Vivim la realitat a travesdel GeoGebra», per Antonia Morato i TheoSantiago.

• Taller: «Matematiques amb GeoGebra (II)»,per Pep Bujosa.

• Taller: «Fins a on podem arribar amb elGeoGebra 3D?», per Bernat Ancochea.

• Taller: «Disseny d’activitats d’aprenentat-ge», per Manel Martınez.

• Taller: «Geometria urbana», per Isabel Sori-gue i Albert Garcia Gimenez.

• Taller: «Simulacions amb GeoGebra», perJordi Font.

Els comentaris que ens han fet arribar elsparticipants han estat molt bons i valoren benpositivament el canvi d’horari i la imparticio detallers de nivells i tematica diferents, de maneraque tothom ha pogut trobar el que li anavamillor per les seves expectatives.

Matematiques com tuNatalia CastellanaUAB i Junta de la SCM

L’any 2015, l’ONU va declarar el dia 11 defebrer el Dia Internacional de la Dona i la Nenaen la Ciencia. Moltes iniciatives van tenir llocentre l’1 i el 15 de gener a moltes seus i que esvan recollir al web 11febrero.org. Aquest any,en una iniciativa conjunta de la BGSMath i laSCM, es va fer una jornada especial a l’Institutd’Estudis Catalans a Barcelona amb l’objectiude visualitzar la feina d’algunes de les donesmatematiques de la nostra comunitat i la sevarecerca, que en alguns casos te un impacte ala nostra societat. La jornada va ser pensadaper a un public en general i en especial per aestudiants de batxillerat. Totes les participantstant a les xerrades com als tallers van feruna feina excel·lent per mostrar d’una maneramolt propera la seva feina als nois i noiesque hi van assistir.

La jornada va ser inaugurada pel directorde la BGSMath, Marc Noy. Al llarg del matıes van alternar xerrades amb tallers interactiusper als participants. Les xerrades van cobrir tottipus de tematiques, des de les mes ludiques finsa les mes aplicades tant en altres ciencies comen la nostra societat.

34 SCM/Notıcies 43

Roser Homs (UB), amb el tıtol «La musicatambe compta», va comencar la jornada parlantde la relacio de matematiques i musica a travesde les escales musicals, i tot seguit, «Escalesaeries, que hi ha al darrera dels preus del bitlletsd’avio?» Giulia Binotto (UB) ens va explicarles tecniques que fan servir les companyiesper fixar els preus dels vols i dels metodesde previsio d’ocupacio, a traves de la sevaexperiencia treballant en una companyia aeria.En una lınia diferent, Marina Garrote (UPC)amb el tıtol «Matematiques i Filognetica»,va fer una xerrada sobre el paper de lesmatematiques en l’estudi de les lınies evolutivesde les especies.

No hi ha dubte de l’impacte que tenenles xarxes socials en la nostra societat, comles podem fer servir per ajudar les persones?Ana Freire (UPF) ens va explicar el projecteen el qual treballa en equips multidisciplinarisper detectar usuaris amb tendencies suıcides ales xarxes socials. I des del punt de vista deprojectes socials, quines son les eines que podenajudar la policia a investigar un delicte? Rosa-rio Delgado (UAB) ens va parlar de les einesprobabilıstiques per a la perfilacio criminal, ien particular de la seva contribucio al perfild’incendis forestals.

I, per descomptat, una mica d’historia acarrec de Clara Florensa (UAB), que amb eltıtol «Dones matematiques en la historia» vatancar aquesta part de la jornada amb algunesreflexions sobre questions de genere en el campde les matematiques.

Els tallers van tenir molt d’exit i es vanintercalar amb les xerrades. Al pati, el Museu

de les Matematiques de Catalunya va aportarel seu gra de sorra amb un taller en queels participants muntaven cupules amb fustes,les cupules de Leonardo; i les investigadoresdel CRM Nuria Folguera, Gemma Colldeforns,Marina Vegue, Patricia Paredes van portar aterm una serie d’activitats ludiques, Xperimen-tant Matematiques.

Dins les aules es van desenvolupar dostallers mes de tipus tecnologic. «El repted’Amazon», portat per Jesica de Armas iHelena Ramalhinho de la UPF, no era gensfacil... Quins algorismes hi ha al darrere delsenviaments per correu d’Amazon que permetenmillorar les rutes de repartiment i estalviarmolts diners a les empreses? Tot un descobri-ment del que hi ha al darrere de la logıstica dedistribucio que mou milers i milers de paquetsen un dia a Barcelona!

I no ens podıem deixar l’estadıstica en unjoc ben original: Star Wars, el despertar deles dades. Aquest es un projecte de divulgaciod’estadıstica que es basa en la idea d’aprendrejugant. Veient com es dissenya un experimenti participant en un concurs de preguntes enque els guanyadors s’emporten un petit premi.Parteix d’una idea original de la professoraRosa Lillo, del Departament d’Estadıstica dela Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)i s’ha fet extensiva a tot Espanya. Es posaen marxa amb la coordinacio de Biostatnet, ila col·laboracio de la Societat Catalana d’Es-tadıstica, GRBIO, UAB-Programa Argo, UPC-Planter d’Estadıstica, UAB i UPC. Aquell vaser coordinat per Alejandra Cabana i Aman-da Fernandez Fontelo (UAB), Anabel Blasco(SEA) i Nuria Perez Alvarez (UPC).

Una jornada ben especial i festiva, orga-nitzada per Luca Tancredi (BGSMath), quees va acabar amb l’actuacio del monologuistadel grup Big Van Ciencia Eduardo Saenz deCabezon.

Un gran dia en que vam poder comptaramb una gran participacio tant de membresde la nostra comunitat com d’escoles de Bar-celona que van omplir la sala i van donar aconeixer la recerca interdisciplinaria d’algunesmatematiques de la nostra comunitat.

SCM/Notıcies 43 35

PremisAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

Societat Catalana de Matematiques(IEC)

• El premi Evariste Galois 2018, concedita un treball d’investigacio, bibliografic od’assaig sobre matematiques, es va ator-gar a Oscar Rivero Salgado pel treballque porta per tıtol «Punts i unitats deStark». El jurat, format per Teresa Cres-po, Angel Calsina i Antoni Guillamon, vavalorar la complexitat del tema, l’origina-litat dels resultats i la qualitat expositivade la memoria.

El jurat tambe va decidir atorgar un accessita Tomas Sanz Parela pel treball titulat«Stable solutions to nonlinear equations withfractional diffusion».

Aquest dos premis foren lliurats el 20 d’abrilpassat a la seu de l’IEC en l’acte d’entregadels premis Sant Jordi 2018.

• El premi Emy Noether 2018, destinat apremiar els millors treballs de fi de grau delsestudiants de matematiques de les universi-tats catalanes, es va concedir al treball «Osci-llatory integrals and the Kakeya Conjecture»de Jaume de Dios, estudiant del grau enMatematiques de la UAB i amb els professorsJohn B. Garnett (UCLA) i Joan Verdera(UAB) com a tutors. El jurat tambe vadecidir concedir una mencio al treball «Lefsc-hetz properties in algebra and geometry» del’estudiant Martı Salat Molto, del grau en

Matematiques de la UAB amb la professoraRosa Maria Miro-Roig (UB) com a tutora.

Aquest premi fou lliurat el 15 de marcpassat a la seu de l’IEC en l’Acte Noether, delqual podeu trobar mes informacio en la seccio«Activitats» d’aquesta mateixa SCM/Notıcies.

Convocatoria 2019

• La SCM ha convocat la tercera edicio delpremi Emmy Noether que es dona alsestudiants del grau en Matematiques quedefensin el treball de fi de grau (TFG) entrel’1 de gener i el 31 d’octubre de 2018.L’import total dels premis, dotats per laFundacio Cellex, es de mil sis-cents eurosrepartits entre premi i mencio. El terminide presentacio de candidatures es tancarael 30 de novembre de 2018, a les 13.00hores. Mes informacio a https://premis.iec.cat/premis/premis_un.asp?id=36.

• La SCM ha convocat una nova edicio delpremi Evariste Galois, instituıt l’any 1962i ofert a un treball d’investigacio o d’assaigsobre matematiques. La dotacio del premies de mil euros i es poden concedir finsa dos accessits. En aquesta convocatoria hipoden prendre part estudiants universitarisi titulats a partir de l’1 de febrer de 2014.Els treballs han de ser inedits i redactats enllengua catalana o anglesa, amb un ampliresum en catala en la versio anglesa. Eltermini d’admissio de candidatures es tan-cara el 30 de novembre de 2018, a les 13.00hores. Mes informacio a https://premis.iec.cat/premis/premis_un.asp?id=35.

• La SCM ha convocat una nova edicio delpremi Albert Dou, instituıt l’any 2010i ofert a l’autor o als autors d’un treballpublicat o realitzat en els darrers dos anys(2016 i 2017) que contribueixi a fer visiblela importancia de la matematica en el nostremon, a transmetre el coneixement matematic

36 SCM/Notıcies 43

a un public mes ampli que els mateixosespecialistes i a promoure tot el que puguiajudar a l’extensio del prestigi de la ma-tematica en la nostra societat. La dotaciodel premi es de dos mil cinc-cents euros.El termini d’admissio de candidatures estancara el 30 de novembre de 2018, a les 13.00hores. Mes informacio a https://premis.iec.cat/premis/premis_un.asp?id=34?

Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer

El Patronat de la Fundacio Ferran Sunyer iBalaguer, en la reunio del dia 12 de marc de2018, va acordar concedir els premis i les borsesd’estudi seguents:

• El premi Ferran Sunyer i Balaguer 2018a la monografia titulada «Hardy inequalitieson homogeneous groups (100 years of Hardyinequalities)» del professor Michael Ruz-hansky, de l’Imperial College de Londres iDurvudkhan Suragan, de la NazzarbayevUniversity.

En paraules del jurat: «El lloc on es trobenles desigualtats de Hardy i els grups homoge-nis es una bella area de les matematiques queno havia estat tractada de manera consistenten forma de llibre. Els autors han pres lainiciativa d’escriure aquesta monografia perrecollir i aprofundir en el coneixement deles desigualtats de Hardy i d’altres temesestretament lligats, seguint el punt de vistasobre els grups homogenis de Folland iStein». Aquesta monografia sera publicadaper Birkhauser a la serie «Progress in Mat-hematics».

• Les borses Ferran Sunyer i Balaguer2018 a:

– Marc Calvo Schwarzwalder, de la Uni-versitat Politecnica de Catalunya, per feruna estada d’un mes a la University ofOxford (Regne Unit).

– Joan Claramunt Caros, de la Univer-sitat Autonoma de Barcelona, per fer unaestada d’un mes a la Universidade Federalde Santa Catarina (Brasil).

– Ariel Duarte Lopez, de la UniversitatPolitecnica de Catalunya, per fer unaestada d’un mes en el National Instituteof Biology (Eslovenia).

– Amanda Fernandez-Fontelo, de laUniversitat Autonoma de Barcelona, perfer una estada d’un mes i mig a laUniversity of British Columbia (Canada).

– Roberto Gualdi, de la Universitat deBarcelona i la Universitat de Bordeus, perfer una estada de dos mesos al Centre deRecerca Matematica.

– Genıs Prat Ortega, del Centre de Recer-ca Matematica i la Universitat Autonomade Barcelona, per fer una estada de dosmesos a la University Medical CenterHamburg-Eppendorf (Alemanya).

• El premi Matematiques i Societat 2018a:

– A la senyora Maya Castaner per la seccio«Els talents de Barcelona», dedicada alas matematiques durant l’any 2017, delprograma La tarda de Barcelona de BTVRadio.

Convocatories 2019

• Es convoca el premi Ferran Sunyer i Balaguer2019, per a una monografia matematica decaracter expositiu que presenti els darrers

SCM/Notıcies 43 37

desenvolupaments d’una area activa en re-cerca en la qual el concursant hagi contri-buıt d’una manera important. La monografiaha de ser original, inedita i no sotmesapreviament a cap compromıs d’edicio. Ladotacio del premi es de quinze mil euros ila monografia guanyadora sera publicada enla serie «Progress in Mathematics» de l’edi-torial Birkhauser. El termini d’admissio decandidatures es tancara el 30 de novembrede 2018.

Altres premis, beques i reconeixements• El divendres 11 de maig de 2018 es va resoldre

la 15a edicio del premi Poincare en l’actede lliurament de premis, celebrat a la salad’actes de la Facultat de Matematiques de laUPC. Els treballs guanyadors van ser:

– Primer premi: «La funcio factorial: di-visibilitat de coeficients binomials i con-vergencia de series P-adiques» de SilviaCasacuberta Puig, Aula Escola Euro-pea, Barcelona.

– Segon premi: «Analisi matematica delsistema dinamic consistent a aplicar elmetode de Newton a la funcio sinus» deMariona Sanchez Alcazar, La SalleMontcada, Montcada i Reixac.

– Tercer premi: «Sobre la resolucio de lesequacions algebraiques» de David Arri-bas Viera, INS Santa Eugenia, Girona.

• S’ha atorgat per primera vegada el premiCollectanea Mathematica Best Prize. Aquestpremi es concedeix anualment al millor tre-ball publicat en la revista Collectanea Mat-hematica. El guanyador d’aquesta primeraedicio ha estat el professor K. Li pel seuarticle «Two weight inequalities for bilinearforms». Collect. Math. 68 (2017), 129–144. Elpremi es de dos mil euros i una placa comme-morativa. L’entrega del premi es fara el pro-per 3 d’octubre durant l’acte d’inauguraciodel curs de la UB. El comite de seleccio estavaformat per Loukas Grafakos, Craig Huneke,Rosa M. Miro-Roig, Jordi Pau i Josep Vives.

ContribucionsCatalunya i la logica borrosaEnric TrillasUniversitat d’Oviedo

L’anomenada logica borrosa (Fuzzy Logic enangles), va comencar amb l’article «FuzzySets» (Conjunts borrosos) que Lotfi A. Zadeh(1921–2017), catedratic de la Universitat deCalifornia a Berkeley, publica el 1965. Enaquest article, que es un dels mes citats delsegle xx, Zadeh va presentar la idea de dotarles paraules imprecises, molt abundants enel llenguatge ordinari, d’extensio a traves derepresentar-les matematicament per una funcioque, si la paraula fos precisa, seria la funciocaracterıstica del subconjunt que, segons l’a-xioma d’especificacio de la teoria de conjunts«classics», la representa a l’univers del discurs.

Zadeh, enginyer apassionat per la matematicai una de les ments creadores mes rellevantsdel segle xx (abans introduı la transformada-z per analitzar senyals discrets), obrı la portaa representar mes expressions linguıstiques queaquelles permeses per les algebres de Boole;quelcom necessari, fent servir les paraules deZadeh, per poder arribar a construir «maquinesque pensin com la gent». Un dels primers exitsde la logica borrosa arriba l’any 1975 i de lama d’Ebrahim (Abe) Mamdani (1942–2010),aleshores catedratic al Queen’s College i despresa l’Imperial College de Londres, gracies al’anomenat control borros de maquines el com-

38 SCM/Notıcies 43

portament de les quals es descrit mitjancantun sistema de regles imprecises; avui es unametodologia usual en el mon industrial de, perexemple, trens i automobils.

Conve explicar, encara que sigui breument,que es un «conjunt» borros i que es una funciode pertinenca a un d’ells. Una cosa que caldir d’entrada es que un conjunt borros no es,propiament, un ens matematic, sino un enslinguıstic; el que es un ens matematic es unafuncio de pertinenca. La teoria dels conjuntsborrosos es una col·leccio de models matematicsque intenten representar aquests «conjunts»i les operacions amb ells, de manera quecontinguin el cas particular en el qual la paraulaque determina el conjunt borros sigui precisai, per tant, es tracti d’un veritable conjunt. Siun conjunt borros especificat per una paraulaimprecisa no es un conjunt, que es? Quanuna paraula imprecisa com es jove s’aplica aun univers prou gran com es, per exemple, elconjunt de la gent empadronada a Nova York,ens permet parlar dels «joves novaiorquesos»,un ens que no es un conjunt (com es facil deprovar amb un argument de tipus «sorites»),pero que conte subconjunts com ara el dels«novaiorquesos menors de 23 anys»; es unconcepte que, ben arrelat al llenguatge, tothomfa servir sense dubtes; no es sino, podrıem dir,un col·lectiu linguıstic. Les paraules precisesespecifiquen conjunts i les imprecises col·lectiuslinguıstics, els quals degeneren a conjunts sila paraula es precisa. El col·lectiu linguısticespecificat per una paraula es un «ens nu-volos», que tambe s’anomena conjunt borros,i la descripcio de la qual prove del significatde la paraula en l’univers del discurs al quals’aplica; jove, per exemple, pot especificar unconjunt si s’aplica a un univers amb nomesquatre membres. Els conjunts borrosos, pertant, son entitats empıriques que s’estudienmatematicament gracies a una «teoria» queparteix de mesurar el significat de la paraulaque els genera i que s’acostuma a anomenarl’etiqueta linguıstica del conjunt borros. Elsignificat d’una paraula P a un univers deldiscurs X, es pot representar matematicament?Es quelcom que, necessariament, cal fer amb elsenunciats elementals «x es P» amb x ∈ X, quepermeten veure com varia al llarg de X allo quesignifica P i la qual cosa no passa propiamentamb les paraules precises; per exemple, 7 i 17

son igualment primers, pero si l’edat de Johnes 7 anys i la de Mary es 17, aleshores Johnes mes jove que Mary. Els enunciats elementalspermeten observar la relacio «menys P que» ila seva inversa «mes P que»; amb el sımbol<p (John < jove Mary) apareix el graf (X,<p)que representa el significat qualitatiu de P a Xi que, usualment i en el llenguatge, es coneixempıricament. Noteu que en l’exemple delsnombres primers es 7 <primer 17, pero tambe17 <primer 7, o sigui, es 7 =primer 17, la relacio=p («igual P que») es la interseccio de lesrelacions <p i <p−1, l’una inversa de l’altra. SiP es precisa el seu significat qualitatiu es el grafminimal (X,=p). El concepte que anomena unaparaula P es «metafısic» a X si es <p= ∅; encas contrari es «mesurable» ja que aleshores espossible mesurar el significat qualitatiu, saberfins on cada x verifica la propietat anomenadaper P , fins a on x es P , donar extensionalitat aP . Per exemple, amb P = gran a X = [0, 10],obviament es <gran=≤ l’ordre lineal de la rectareal, que es un ordre total; en general, pero,<p nomes gaudeix de la propietat reflexiva ihi ha parells d’elements x, y de X que no soncomparables amb <p, no es ni x < P y, nies y < P x. El que poden existir son elementsmaximals (z tals que no hi ha cap <p−1 z), ominimals (z tals que no hi ha cap x <p z); aixıa l’exemple de «gran» nomes hi ha un maximal,el maxim 10, i un minimal, el mınim 0. Elsmaximals son prototıpics de P i els minimalsson anti-prototıpics.

Aleshores, una mesura es una aplicaciomp : X → [0, 1] verificant les tres propietats:1) x < y ⇒ mp(x) ≤ mp(y); 2) Si z esmaximal, mp(z) = 1; 3) Si z es minimal,mp(z) = 0. Cal notar que, en general, aquestestres propietats no individuen una mesura unicasino famılies d’elles; per exemple, en el casde «gran» les mesures son totes les funcionscreixents tals que mgran(0) = 0 i mgran(10) =1, que nomes individuen una unica mesura sis’afegeix la condicio que sigui lineal. En general,cal coneixer mes condicions que o be vinguinfacilitades pel context en el qual s’usa P a X,o per hipotesis raonables sobre aquest us; caldissenyar la mesura. Cada tripleta (X,<p,mp)es un «estat» del significat de P a X, i lesmesures mp son les «funcions de pertinenca»en el conjunt borros especificat pel significatqualitatiu.

SCM/Notıcies 43 39

Esta clar que el significat es alhora depenentdel context i del proposit d’us de P a X i calnotar que si, com es usual a la practica, Pnomes es coneix per una mesura, la relacio <pno coincideix, en general, amb la relacio d’ordreparcial definida per la mesura mitjancant ladefinicio x <m Py ⇔ mp(x) ≤ mp(y), que esmes ample que<p, en virtut de la propietat 1 demp. La mesura pot fer semblar que augmenta elsignificat qualitatiu de la paraula; podrıem dirque mesurar allarga el significat. D’altra banda,com que x =p y ⇒ mp(x) ≤ mp(y)&mp(y) ≤mp(x), es mp(x) = mp(y), amb la qual cosa i siP es precisa, la mesura nomes pot prendre elsvalors 0 i 1, es a dir, es la funcio caracterısticadel subconjunt classic de X especificat per P .

Els conjunts borrosos a Catalunya

A Catalunya la logica borrosa va entrar-hicasualment a l’estiu del 1975, un temps en elqual per saber que passava calia llegir diarisestrangers. Un diari frances publica una entre-vista amb el professor Arnold Kaufmann arrande l’aparicio del seu llibre Ensembles flous;m’ho va ensenyar l’aleshores jove estudiant dematematiques Jordi Casabo i, en llegir-lo, lameva curiositat va despertar-se ja que, estudiosde l’obra del gran matematic Karl Menger, co-neixia un seu article de 1951 titulat «Ensemblesflous et fonctions aleatoires», publicat en elsComptes Rendus de l’Academia de Ciencies deParis. Un «ensemble flou» de Menger («hazyset» en angles) es el nuvol de punts ambprobabilitat positiva de pertanyer a un conjuntclassic donat. El llibre de Kaufmann no em vasatisfer, pero el concepte «ensemble flou» deque parlava, va intrigar-me i, sobretot, pel fetque no coincidia amb el de Menger. Vaig buscarel treball original de Zadeh, i el vaig demanara la British Library, i la seva lectura em va feradonar que el nou concepte no era probabilıstici tenia a veure amb el llenguatge i el raonamentordinaris; em va semblar un camp nou en el qualencara hi treballava poca gent. Vaig adonar-meque hi ha coses incertes que no son aleatories.Era una oportunitat d’encetar un tema queels logics matematics havien deixat de banda;la imprecisio no era considerada i la incertesanomes era vista a traves de la probabilitat, perosota la capa del cel hi havia mes coses per ales quals i, per exemple, la llei additiva no era

formulable de manera obvia. Ben aviat s’hi vanacostar joves investigadors, com aleshores forenClaudi Alsina, Teresa Riera, Xavier Domingo,Antonio Millan, Llorenc Valverde i, gracies auns cursets d’iniciacio a la recerca que feiema la Universitat Politecnica de Barcelona,tambe s’hi va presentar Miguel Delgado de laUniversitat de Granada. El nucli de Barcelonai el que sorgı a Granada al voltant de MiguelDelgado van ser essencials perque la recerca enlogica borrosa s’escampes per tot Espanya i,sobretot, a partir dels congressos catalans delogica organitzats a Barcelona els darrers anyssetanta i primers vuitanta del segle passat.

A mes, va haver-hi un fet que va permetreque aquestes investigacions es poguessin ferlligades, des del comencament, amb gent detot el mon. Fou la primera conferencia mun-dial de «Matematiques al servei de l’home»que, juntament amb Antoni Ballester i DavidCardus, vaig organitzar a Barcelona el juliol del1977 i a la qual, a mes de participar-hi gentde molts paısos, vam poder convidar algunsinvestigadors importants d’aleshores, com araLotfi Zadeh, Lluıs Santalo, Joseph Kampe deFeriet, Heinz Skala, Settimo Termini, etc. L’anyseguent, Lluıs Santalo va rebre el doctorat ho-noris causa de la Universitat Politecnica de Ca-talunya, pel qual vaig tenir l’honor d’apadrinar-lo i que va ser el primer que a Barcelona es vafer ıntegrament en catala amb la interpretaciode Els segadors i de l’himne argentı. Aquellcongres fou una gran oportunitat que va ferneixer, a Italia, el nom d’escola de Barcelonapel grup de gent que a la seva UniversitatPolitecnica treballavem en la logica borrosa.En particular, s’inicia una amistat entre Zadehi jo que es va mantenir constantment i fidelfins la seva mort als 96 anys, el 6 de setembrede 2017. Zadeh va viatjar a Espanya un grannombre de vegades i la comunitat espanyolade logica borrosa li deu molt; el seu darrerviatge fou el 2014 quan, amb mes de 93 anysi ja forca malalt, va anar a Madrid a rebreun dels premis Fronteras del Conocimientode la Fundacio BBVA, al jurat del qual hihavia Ramon Lopez de Mantaras mentre joera entre els qui vam proposar el candidat.Entremig fou investit doctor honoris causa perles universitats d’Oviedo, Granada i Politecnicade Madrid. Guardonat amb multitud de premisinternacionals i trenta tres doctorats honoris

40 SCM/Notıcies 43

causa, Zadeh figura en el Hall of Fame delSilicon Valley.

El nucli catala inicial, al qual ben aviates van afegir Francesc Esteva, Ramon Lopezde Mantaras, Pere Garcia i Lluıs Godo, haestat essencial perque Espanya hagi arribata ocupar un lloc important a tot el mon(que ha variat entre el tercer i el cinque) enpublicacions internacionals de logica borrosa.Fins i tot, l’European Society for Fuzzy Logicand Technologies, de la qual Francesc Estevafou el primer president, es va crear substituinta l’antiga Sociedad Espanola de Logica yTecnologıa Borrosa».

Uns dels primers «sistemes experts» ambtecniques borroses van ser els basats en el «nucliinferencial» anomenat per l’acronim Milord(motor d’inferencia logica de raonament difus)que, util per tal de raonar computacionalmentamb sistemes de regles imprecises, fou desen-volupat per un equip d’investigadors catalansdirigit per Lopez de Mantaras i que s’ha aplicata problemes diversos com es, per exemple, eldiagnostic de la pneumonia. Llastima que, comen tants altres aspectes, les nostres industriesno hagin aprofitat l’empenta teorica com hapassat a altres paısos.

D’altra banda, els intents de relligar larecerca universitaria amb la industria, com sila universitat pogues anar de la teoria a laproduccio i als mercats, amb una industriasense grans unitats de recerca i innovacio, esuna estrategia que decanta la recerca univer-sitaria cap a objectius massa fugissers i limitafortament la contractacio de doctors en laindustria. La universitat ha de treballar, enparaules de Jean Dieudonne, per l’honor del’esperit huma i prou. Crec que, basicament, esallo que els catalans que hem treballat en elcamp de la logica borrosa hem intentat fer.

Avui dia, els investigadors espanyols de lalogica borrosa i del soft computing, una hibri-dacio de metodologies computacionals que hapermes abordar problemes tecnologics comple-xos en els quals la imprecisio i la incertesa soncrucials i que uneix les tecniques borroses ambels algorismes genetics, les xarxes neuronalsartificials i els metodes probabilıstics, treballenjuntament amb investigadors d’arreu del mon.

Entre ells, la feina dels que ho fan a Catalunyaes important i, si cal destacar l’investigadorteoric catala amb mes fama internacional,citaria Lluıs Godo de l’Institut d’Investigacioen Intel·ligencia Artificial del CSIC, al cam-pus universitari de Bellaterra que ara dirigeixRamon Lopez de Mantaras i que, durant moltsanys, va dirigir Francesc Esteva qui, ja emerit,ha treballat i ho segueix fent juntament ambLluıs Godo. Si cal destacar-ne un de mesaplicat que no purament teoric, tornaria aRamon Lopez de Mantaras i, per exemple, pelsseus fructıfers intents d’afegir expressivitat a lamusica sintetitzada per ordinador.

Personalment, crec que puc estar contentper haver ajudat a despertar l’interes per lalogica borrosa primer a Catalunya i despresa Espanya. Haver treballat, abans de fer-hoen la logica borrosa, en el camp dels espaismetrics probabilıstics de Menger i Schweizer,em va permetre introduir en el camp fuzzyles t-normes i les t-conormes amb les quals,en mes de setanta articles publicats juntamentamb Claudi Alsina , la majoria dels quals encongressos i revistes internacionals, vam poderestudiar una notable quantitat de propietatslogiques que els conjunts borrosos verifiquenen algebres que vam trobar gracies a haverapres, tambe estudiant aquells espais, a resoldreequacions funcionals i alguna de les quals foud’un tipus nou. Uns treballs dels quals primer esva derivar l’estudi de la idea d’indistingibilitati, molt despres, el del conjectural raonamentordinari o de sentit comu; mes endavant, emvan obrir la porta cap a l’analisi formal del«fenomen natural» de la creativitat.

Tot i els reconeguts exits internacionalsdels seus investigadors, la logica i les tecniquesborroses no han estat mai lınies prioritariesde recerca a cap lloc d’Espanya llevat, pot-ser, d’Euskadi; en particular, diguem-ho aixı,«l’escola catalana», no s’ha beneficiat mai d’unsuport especial per part dels governs de Catalu-nya. Encara que mai hagi faltat un financamentordinari i fins i tot s’hagi comptat amb dinersdels programes marc de la UE, ha estat unallastima; sobretot perque la transversalitat deles tecnologies borroses i el soft computingpermeten llur aplicacio a camps molt diferents.

SCM/Notıcies 43 41

Robert P. Langlands, premi Abel 2018Pilar BayerUniversitat de Barcelona

El dia 20 de maig, el president de l’AcademiaNoruega de les Ciencies i de les Lletres, OleM. Sejersted, anunciava que el premi Abel 2018havia estat concedit a Robert Phelan Langlands«pel seu programa visionari que connecta lateoria de la representacio amb la teoria denombres».

En la seva setzena edicio, el comite deseleccio del premi havia estat presidit pelprofessor John Rognes, del Departament deMatematiques de la Universitat d’Oslo;i integrat per les professores Alice ChangSun-Yung, del Departament de Ciencies de laUniversitat de Princeton; Irene Fonseca, delDepartament de Ciencies Matematiques delCol·legi Mellon de Ciencies, Pittsburgh; Marie-France Vigneras, de l’Institut de Matematiquesde Jussieu, Parıs; i pel professor Ben J. Green,de l’Institut de Matematiques de la Universitatd’Oxford.

Tres dies despres s’impartiren les tradi-cionals Abel lectures. En aquesta ocasio vanser a carrec del mateix Langlands, que dis-serta «On the geometric theory»; de JamesArthur, professor de la Universitat de Toron-to, que presenta «The Langlands program:arithmetic, geometry and analysis», i d’EdwardFrenkel, professor de la Universitat de Berkeley,que oferı la seva visio personal de «Lan-glands Program and Unification». Es tracta detres magnıfiques exposicions, d’estils diferents,que es poden seguir a www.abelprize.no/artikkel/vis.html?tid=73149.

Robert P. Langlands

Nascut al Canada l’any 1936, Robert P.Langlands realitza els seus estudis de mate-matiques als EUA, a la Universitat de BritishColumbia i a la Universitat de Yale. Es doctoraen aquesta darrera amb una tesi sobre repre-sentacio de grups de Lie. Ha estat professorde la Universitat de Princeton; de la Univer-sitat Tecnica de l’Orient Mitja, localitzada aAnkara; de la Universitat de Yale; i de l’Institutd’Estudis Avancats de Princeton (IAS). Actual-ment es professor emerit de l’IAS. Entre d’altresdistincions, esta en possessio del premi Wolf deMatematiques 1995-1996 i del premi Shaw deCiencies Matematiques 2007, ambdos ex aequoamb Andrew Wiles.

Langlands es una de les ments ma-tematiques mes imaginatives i agosarades delnostre temps. La seva aportacio principal a lamatematica consisteix en un corpus coherent deconjectures que es coneix amb el nom de pro-grama de Langlands. En el decurs dels anys, lespropostes d’aquest programa han fet possiblesmolts avencos en teoria de nombres i, de bensegur, continuaran sent una font d’inspiracio enla recerca cientıfica de les properes decades.

De la filosofia al programa de Langlands

La primera vegada que vaig sentir parlar deLanglands va ser a la fi de la decada de 1970, ala Universitat de Regensburg. Gunter Harder,professor de Bonn, hi impartı un col·loqui sobrel’aleshores anomenada filosofia de Langlands:una serie d’intuıcions matematiques que, toti no tenir definicions ni enunciats precisos, japresagiava un futur fascinant. A grans trets, enposar en relleu el paper de la simetria en teoriade nombres, s’intuıa la possibilitat d’accedir adominis inexplorats.

A dia d’avui i despres del treball de moltagent, la filosofia de Langlands ha derivat enel programa de Langlands. Tot i que continuamantenint el seu misteri, les seves propos-tes han guanyat en comprensio i credibilitat.Des d’un vessant geometric, el programa deLanglands ha aconseguit interessar tambe lacomunitat fısica (cf. [8]).

42 SCM/Notıcies 43

Robert P. Langlands rep el premi Abel 2018 demans del rei Harald de Noruega. Fotografia:

Thoms Brun

Els orıgens

El pensament de Langlands es nodreix demoltes fonts, que provenen de la teoria denombres, l’algebra (commutativa, no commu-tativa, homologica), la geometria (algebraica,algebraica aritmetica, diferencial), els grups deLie i l’analisi harmonica.

A la practica, aixo es tradueix en unaxarxa de connexions (provades o conjecturals)de resultats matematics que son deguts a Euler,Gauss, Dirichlet, Kummer, Kronecker, Rie-mann, Dedekind, Lie, Klein, Frobenius, Hilbert,E. Noether, Weyl, Hecke, Siegel, Artin, Hasse,Weil, Maass, Eichler, Selberg, Harish-Chandra,Bott, Tate, Serre, Grothendieck, Atiyah, Shi-mura, Jacquet, Deligne i Witten, entre d’altres.

Escriure un article de divulgacio sobre unapersonalitat matematica tan singular te els seusriscos; un de no menor es que facilment potesdevenir d’una longitud excessiva. Ateses lescircumstancies, he decidit fer un apropamenta les propostes mes significatives de Langlandssense precisar-hi la definicio de la terminologia.Qui ho desitgi pot trobar els conceptes mesbasics en els dos volums [3], que contenenles exposicions del curs sobre representacionsautomorfes del grup lineal GL(2) impartit en elSeminari de Teoria de Nombres de Barcelona1996–1997.

Representacio de grups

La teoria de la representacio de grups permetmatematitzar diferents tipus de simetries, enconsiderar totes les maneres en que els elementsd’un grup actuen com aplicacions lineals d’un

espai vectorial. Mes precisament (i sense queserveixi de precedent), donats un grup topologicG i un espai vectorial V sobre un cos topologicF , una representacio de G en el grup linealGL(V ) es un homomorfisme continu

ρ : G −→ GL(V ).

Si V es un espai vectorial de dimensio finitan, aleshores GL(V ) ' GL(n, F ) i els elementsdel grup es visualitzen en forma de matrius;denotarem per Repn(G;F ) el conjunt de lesclasses de representacions modul conjugacio.Val a dir que, en general, cal considerar els casosen que V es un espai de Hilbert de dimensio nonecessariament finita i ρ(G) consta d’operadorsunitaris.

La teoria varia segons la natura dels grups idels cossos que s’hi consideren. Historicament,la teoria de les representacions complexes (F =C) dels grups finits es la primera a apareixer i esdeguda a Frobenius. En ella, pero, ja hi podemtrobar la majoria dels conceptes basics que esconsideren en les situacions mes generals.

Tota representacio complexa d’un grupfinit G es suma directa de representacionsirreductibles, amb la qual cosa Rep(G;C) =∪n≥1Repn(G;C) es una categoria semisimple.A cada representacio complexa ρ : G −→GL(n,C) d’un grup finit G se li associa uncaracter, obtingut en assignar a cada elementde g ∈ G la traca de la matriu ρ(g):

χρ : G −→ C, χρ(g) := tr(ρ(g)), g ∈ G.

Els caracters satisfan les propietats seguents:

(i) χρ(1) = n, χρ(g−1) = χρ(g).

(ii) χρ(ugu−1) = χρ(g), per a tot g, u ∈ G.

(iii) χρ1⊕ρ2 = χρ1 + χρ2 , χρ1⊗ρ2 = χρ1χρ2 .

I, la mes important de totes, classifiquen lesrepresentacions:

(iv) ρ1 ' ρ2 ⇐⇒ χρ1 = χρ2 .

Emprarem la notacio [g] = {ugu−1;u ∈ G} perdenotar la classe de conjugacio d’un elementde G i Φ(G), pel conjunt d’aquestes classes deconjugacio.

Donats un subgrup H de G i una represen-tacio ρ : G→ GL(V ), podem considerar la sevarestriccio

ResGHρ : H → GL(V ).

SCM/Notıcies 43 43

I, donada una representacio ρ : H → GL(W )d’un subgrup, podem considerar l’operaciod’induccio

IndGHρ : G→ GL(Vρ),

on Vρ = C[G]⊗C[H]W . En particular, se satisfaque RegG = IndG1 Id, on RegG es la represen-tacio regular de G, obtinguda en operar G demanera natural sobre ell mateix. Les operacionsde restriccio i d’induccio de representacionssatisfan la formula de reciprocitat de Frobenius:

〈ψ,ResGHχ〉H = 〈IndGHψ, χ〉G.

Aquı 〈u, v〉G := |G|−1∑g∈G u(g)v(g) designa el

producte hermıtic de funcions de classe.Objectes centrals de l’estudi dels grups fi-

nits son les seves taules de caracters, obtingudesen avaluar els caracters de les representacionsirreductibles en les classes de conjugacio delgrup. Les taules son quadrades: es a dir, entot grup finit G, les classes de representacionsirreductibles de G son parametritzables pelselements de Φ(G).

Les dificultats en determinar les represen-tacions d’un grup finit varien molt segons queaquest sigui abelia, simetric, alternat, simple,diedral, nilpotent, resoluble, de tipus Lie, al-gebraic lineal reductiu, etc. Si prenem, perexemple, G = GL(2,Fq), q = pf , el nombre declasses de conjugacio de G es igual a q2−1. Lesseves representacions irreductibles s’agrupen enla serie principal, que consta de 1

2(q2 + q) − 1representacions, i les representacions cuspidals,en nombre igual a 1

2(q2 − q).En el cas no finit, hi ha teories especıfiques

segons que el grup G sigui profinit, localmentprofinit, compacte, localment compacte, de Liesemisimple, de Lie resoluble, algebraic lineal,no compacte, etc. Mencio apart mereixen lesrepresentacions galoisianes en que el grup quees representa es el grup de Galois absolutGK := Gal(K|K) d’un cos K.

En relacio amb el cos F , es considerenpreferentment cossos algebraicament tancats,com ara el cos C dels nombres complexos, lesclausures algebraiques Qp dels cossos p-adics,o be les clausures algebraiques Fq dels cossosfinits. La caracterıstica del cos F es tambequelcom a tenir en compte.

Les representacions dels grups son aixımateix importants en fısica perque descriuen

com les simetries d’un sistema fısic operensobre les solucions de les equacions definidores.Des de la perspectiva historica, es importantmencionar que Bargmann estudia les represen-tacions complexes del grup de Lorentz O(1, 3)i del grup lineal GL(2,R). Prova que cer-tes representacions d’aquest darrer grup, ditestemperades, es corresponen bijectivament ambles representacions unitaries del grup de WeilWR en GL(2,C). Aquı, WR := C∗ ∪ jC∗, j2 =−1, ji = −ij, jzj−1 = z, per a z ∈ C. Lesrepresentacions temperades es classifiquen enla serie esferica principal unitaria, la serie noesferica principal unitaria i la serie discreta.

La classe dels grups de Lie reductius li-neals i connexos conte tots els grups de Lieconnexos que son compactes o be abelians.Conte tambe les famılies classiques de grupsde Lie semisimples reals o complexos, comara SL(n,C), SO(n,C), Sp(n,C), SL(n,R),SU(m,n), Sp(n,R).

A la fi de la decada de 1970, Langlandssuggerı una descripcio de les representacionsadmisibles i irreductibles dels grups de Liereductius reals G. Avancem que, dividides enels anomenats paquets L, les representacionsde G es classificarien en termes de certesrepresentacions dels grups de Weil en el grupdual de Langlands LG.

Cossos de nombres

Les equacions i els sistemes d’equacions diofan-tines estan definits per polinomis de coeficientsracionals (en el mes pur estil de Diofant d’Ale-xandria) o be de coeficients enters. La resolucioconsisteix en la determinacio de les seves soluci-ons racionals o be de les seves solucions enteres.Per a l’estudi de les equacions diofantines sovintcal estendre l’abast dels coeficients i permetre-hi nombres algebraics racionals i nombres en-ters algebraics. El nombres algebraics racionalses distribueixen en els cossos de nombres; esa dir, en extensions finites de Q contingudesen C; la seva unio proporciona una clausuraalgebraica Q de Q. Sabem, per Dedekind,que els cossos de nombres K contenen anellsd’enters algebraics, AK , de propietats similarsa les del subanell Z de Q. Els anells AK tenenuna teoria de la divisibilitat que es tradueixen la factoritzacio de manera unica dels seusideals (no trivials) en producte d’ideals primers.

44 SCM/Notıcies 43

Aquesta propietat determina que els cossos denombres posseeixin funcions zeta, ζ(K, s), ditesde Dedekind, expressables en forma de producted’Euler d’un nombre infinit de termes. El casmes paradigmatic es el de la funcio zeta deRiemann, ζ(s), que es presenta quan K = Q,i que reflecteix propietats demostrades o con-jecturals dels nombres primers.

L’estudi aritmetic dels cossos de nombress’inicia amb Fermat, Gauss i Kummer. A bandade Q, els cossos de nombres mes senzills detractar son els cossos quadratics, [K : Q] = 2.La seva consideracio, expressada en un llen-guatge diferent, es remunta a les Disquisicionsaritmetiques de Gauss en tant que conte di-verses demostracions de la llei de reciprocitatquadratica. L’exemple seguent es proporcionatpels cossos ciclotomics, presents tambe en lesDisquisicions i ampliament tractats per Kum-mer. Segons un famos teorema de Dirichlet,l’estudi de la funcio ζ(Q(ζm), s) del cos de lesarrels m-esimes de la unitat permet provar l’e-quidistribucio dels primers p coprimers amb men progressions aritmetiques modul m. Recor-dem dels cursos d’algebra que G(Q(ζm)|Q) '(Z/mZ)∗.

En el primer terc del segle XX s’assolirenels resultats de la teoria de cossos de classes.Els teoremes d’aquesta teoria proporcioneninformacio aritmetica de les extensions finitesi galoisianes de cossos de nombres, L|K, degrup de Galois G(L|K) abelia; en particular,dels cossos de nombres abelians sobre Q. Einesfonamentals en aquest estudi son, a mes deles funcions zeta esmentades, les funcions L deDirichlet, L(s, χ), definides per a caracters deDirichlet; les funcions L d’Artin, L(s, ρ), asso-ciades a representacions galoisianes complexes;les funcions L de Hecke, L(s, ψ), definides pera caracters de Hecke; i les funcions L p-adiquesde la teoria local.

L’estudi de les funcions L conduı, en par-ticular, a la llei de reciprocitat d’Artin, quegeneralitza la llei de reciprocitat quadratica ialtres lleis de reciprocitat classiques descober-tes previament. Aquestes lleis de reciprocitattenen cura del comportament dels ideals delsanells d’enters dels cossos de nombres. Laseva formulacio es pot sintetitzar en termesd’una igualtat de funcions L: quan L|K es unaextensio abeliana de cossos de nombres, totafuncio L d’Artin de L|K es una funcio L de

Hecke. Una consequencia molt important dela teoria es que cada cos de nombres galoisiaK|Q, de grup de Galois G abelia o no, es unamaquina de distribuir nombres primers p de Z.En efecte, els nombres primers no ramificatsen K (que son tots llevat d’un nombre finit)s’equidistribueixen en les diferents classes deconjugacio del grup de Galois G(K|Q), d’acordamb el teorema de densitat de Txebotarev. Laclasse de conjugacio en G(K|Q) que corres-pon a un primer p es l’anomenat element deFrobenius, FrobK(p). Com a consequencia, entota representacio ρ de G(K|Q), el polinomicaracterıstic de ρ(FrobK(p)) estara definit id’ell se’n podra extreure la informacio numericaproporcionada pels seus coeficients.

La presentacio de la teoria de cossos de clas-ses pot ser analıtica (fent us d’analisi complex,real, p-adic i adelic) o cohomologica (en quel’eina principal es donada per la cohomologiagaloisiana). La teoria preveu versions localsi versions globals, que en gran part forenclarificades en la tesi de John Tate, premi Abel2010.

Motius aritmetics

Des del punt de vista de la geometriaaritmetica, l’estudi aritmetic dels cossos denombres correspon a l’estudi aritmetic dels es-quemes afins (Spec(AK), AK), de fibra generica(Spec(K),K). Els motius aritmetics son blocscohomologics constituents de varietats o esque-mes aritmetics i representen els trossos mespetits que tenen definides les seves propies fun-cions L. Les varietats i els esquemes aritmetics,definits sobre cossos de nombres o cossos locals,posseeixen aixı mateix les seves funcions zeta iles seves funcions L, dites motıviques. Les mesconegudes son les de Hasse-Weil, que parteixende representacions galoisianes proporcionadespels grups de cohomologia `-adica.

La natura de les equacions definidores deles varietats aritmetiques ens porta a considerarfamılies d’aquests objectes com a espais rıgids(com ho son els enters Z dins de la rectareal R). En deformar-les, tot considerant-lesdefinides per coeficients reals o complexos, esperd el caracter aritmetic i s’obtenen famıliesde varietats algebraiques.

Problemes classics de teoria de nombresvaren propiciar a partir del segle xix l’estudi de

SCM/Notıcies 43 45

funcions especials, com ara les funcions theta,les funcions modulars i les formes modularso, mes generalment, les funcions automorfes iles formes automorfes. Es tracta de seccionsde fibrats de varietats (possiblement singulars)de la forma X = Γ\H definides a partirde subgrups aritmetics Γ de grups de Liereals G que operen en espais H localmentsimetrics. Aquestes varietats reben el nom devarietats de Shimura, de Hilbert, de Siegel, etc.A banda del laplacia, sol actuar-hi l’algebra delsoperadors de Hecke. Les simetries comporten endarrera instancia l’existencia de models definitssobre cossos de nombres, l’existencia de modelsenters de fibres en principi controlables, i lade funcions L amb bones propietats analıtiques(provades o conjecturals). Avaluades en puntsespecials, les funcions que parametritzen lavarietat, convenientment normalitzades ambconstants transcendents, proporcionen nombresalgebraics que intervenen en la resolucio demolts problemes diofantins. Per exemple, enaprofundir en aquest context trobarıem lateoria de la multiplicacio complexa.

L’exemple mes senzill el proporciona la cir-cumferencia: pensada com a quocient 2πZ\R, laperiodicitat i les propietats de les funcions tri-gonometriques sinus i cosinus permeten deduirl’equacio X2 + Y 2 = 1, i la funcio exponencialavaluada en els punts de divisio proporciona lesarrels de la unitat.

En les varietats aritmetiques definides apartir de grups aritmetics conflueixen la geome-tria i l’analisi per donar una teoria de funcionssusceptible de fer-se efectiva. Els cossos defuncions passen a visualitzar-se com a cossosde funcions automorfes; es a dir, periodiquesper l’accio de Γ. I no nomes les funcionstenen periodicitats sino, tambe, les formesdiferencials de tots els ordres, que proporcionenles anomenades formes automorfes respecte deΓ. Aquestes donen lloc a les representacionsautomorfes π de grups de Lie i a les funcionsL(s, π) associades.

Reciprocitat de Langlands

La formulacio de lleis de reciprocitat generalforma part del problema 9e de Hilbert. L’exten-sio de la teoria de cossos de classes a extensionsno abelianes es en part encara conjectural.Segons Langlands, el que cal fer en aquest

cas es relacionar representacions de grupsde Galois amb representacions automorfes degrups algebraics reductius, tot preservant-ne lescompatibilitats naturals. El fet es coneix com al lei de reciprocitat de Langlands. D’acord ambLanglands, les representacions automorfes d’ungrup algebraic reductiu G definit sobre un cosglobal haurien d’estar relacionades, a travesde funcions L, amb representacions de Galoisvalorades en un grup LG, que rep avui el nomde L-grup o dual de Langlands de G.

Siguin K un cos de nombres i AK l’anellde les seves adeles (que s’obte en considerartots els cossos completats de K i els seusanells locals d’enters). En particular, segonsLanglands, certes representacions automorfes

π : GL(n,AK)→ GL(A)

estan en correspondencia bijectiva amb certesrepresentacions del grup de Weil

σ : WK → LGLn,K = GL(n,C).

El grup WK es una extensio central del grupde Galois absolut GK . Entre les representa-cions anteriors hi trobem les representacionsque factoritzen en representacions galoisianesρ : GK → LGLn,K = GL(n,C). El grup LG,dual de Langlands de G, es una extensio delgrup de Galois absolut de K per un grup deLie complex:

LG = LG0 oG(K|K).

Les representacions automorfes provenen del’analisi harmonica; les representacions galoi-sianes, de l’aritmetica. En certa manera, lallei de reciprocitat de Langlands preveu quedeterminades taules tornin a ser quadrades.

Les representacions anteriors proporcionenfuncions L i l’estudi de les lleis de reciprocitatte motivacions profundes. Cal distingir entreles funcions L motıviques: L(s, ρ), L(s, σ), i lesfunciones L automorfes L(s, π). En general, lesprimeres satisfan les propietats seguents:

1. Estan definides per productes d’Euler queconvergeixen en semiplans <(s)� 0.

2. A traves dels valors que prenen en els seuspunts crıtics, on el producte d’Euler solno estar definit, proporcionen informacioaritmetica.

En relacio amb les funcions L automorfes,fem notar que

46 SCM/Notıcies 43

1. Estan definides en C.

2. Haurien de proporcionar prolongacionsanalıtiques de les funciones L aritmetiques, ifer possible aixı la seva avaluacio en els puntscrıtics.

Donat un cos de nombres K, considerem elconjunt Π(K) de les representacions

π : GL(n,AK)→ GL(A)

automorfes i cuspidals. Conjecturalment, es teque

1? Existeix un grup GΠ(K), algebraic i reductiusobre C, tal que les classes d’equivalencia deles representacions

σ : GΠ(K) −→ GL(n,C)

estan en correspondencia bijectiva amb lesclasses dels elements isobarics de Π(K).

2? Existeix un morfisme WK −→ GΠ(K)(C)amb imatge Zariski-densa.

3? El teorema de densitat de Txebotarev esgeneraliza en una llei de distribucio deles classes de conjugacio [σ(Frobv)] delselements de Frobenius en GL(n,C).

La teoria de cossos de classes correspon alcas G = LG = GL(1). L’estudi de les formesmodulars classiques s’inclou en el deG = LG =GL(2). El grup GL(2) es l’exemple mes senzilld’un grup reductiu no abelia.

Per procedir en el cas general, Langlandsva veure la necessitat d’una formula estable detraces, que fou provada per Arthur. Juntamentamb la prova per part de Ngo de l’anomenatlema fonamental, conjecturat per Langlands,aquests resultats han conduıt a la classificacioendoscopica de les representacions automorfesdels grups de Lie classics en termes de les delsgrups lineals generals. En aquest context es teque

G LG0

SL(n) PGL(n,C)PGL(n) SL(n,C)Sp(2n) SO(2n+ 1,C)

SO(2n+ 1) Sp(2n,C)

Functorialitat de Langlands

La llei de reciprocitat de Langlands es un casparticular d’un principi mes general conegutcom a functorialitat de Langlands, que tradueixcerts homomorfismes entre L-grups LG i LG′

en termes de relacions entre representacionsautomorfes de G i de G′, compatibles amb laformacio de funcions L.

En els anys 1970, Jacquet i Langlands vanpoder establir un primer cas de functorialitatper al grup lineal GL(2) definit sobre un cosde nombres i les seves formes internes torcades.Per a tal fi, utilitzaren la formula de les tracesde Selberg i el treball de Langlands sobreel canvi base de GL(2). Langlands va provaraltres casos de functorialitat, que jugaren unpaper estrategic en la prova de Wiles delteorema de Fermat. En particular, el teoremade Langlands garanteix la prolongacio analıticade les funcions L d’Artin per als cossos denombres de grup de Galois tetraedric.

La functorialitat unifica drasticament unaserie de resultats importants que inclouen lamodularitat de les corbes el·lıptiques definidessobre Q (Shimura-Taniyama-Weil) i la prova dela conjectura de Sato-Tate. Tambe proporcionaun suport a moltes altres conjectures pen-dents, com ara les conjectures de Ramanujan-Peterson, la de Selberg, i la de Hasse-Weilper a funcions zeta globals. L’estudi de lafunctorialitat dels grups algebraics reductiusdefinits sobre cossos de nombres ha conegutun progres considerable gracies als treballs demolts experts, inclosos els de Drinfeld, Laffor-gue i Ngo, tots tres medalles Fields. La teoriatambe ha evolucionat cap a contextos diferents,com les conjectures de Langlands sobre cossoslocals, sobre cossos de funcions, i l’anomenatprograma de Langlands geometric.

Coda: Langlands per a melomans

Des del punt de vista de l’analisi harmonica,i per analogia amb l’analisi de Fourier aplicata l’estudi del so, podem interpretar les formesautomorfes respecte d’un grup aritmetic Γ comvibracions d’una varietat X = Γ\H. Aquestesvibracions s’expressaran com a combinacio li-neal de vibracions elementals amb coeficientsdeterminats per l’amplitud dels seus harmonics.Interessaran especialment les vibracions bentemperades, donades pels vectors propis del

SCM/Notıcies 43 47

laplacia i dels operadors de Hecke que actuencom a simetries de X.

Des del punt de vista de la teoria de nom-bres, podem pensar que els motius aritmeticsjuguen en geometria aritmetica un paper analegal dels motius en la composicio musical. Femnotar que fou precisament en el context musicalon s’inspira Grothendieck per donar nom aaquests objectes matematics (cf. [26]). I po-dem interpretar els coeficients de les series Lmotıviques com l’ADN d’aquests motius.

En raonar d’acord amb aquestes analogies,la filosofia de Langlands permet sospitar quel’ADN dels motius que provenen de varietatsX altament simetriques hauria de quedar de-terminat per les vibracions ben temperadesd’aquestes varietats. Obviament, aixo no esd’esperar de qualsevol motiu aritmetic; nomesd’aquells suficientment simetrics.

Preguntes similars traduıdes a objectes delmon real serien:

1. Es pot, a partir de l’analisi harmonica de laveu d’una cantant, determinar el seu ADN?

2. Es pot, a partir de l’ADN d’una cantant,determinar el timbre, es a dir, els harmonicsde la seva veu?

Matematicament, la primera pregunta tin-dria una resposta en la lınia de les congruenciesd’Eichler-Shimura i la segona, en la de Shimura-Taniyama-Weil, totes dues integrables en elprograma de Langlands.

Com que, a la llarga, des de les partıculeselementals fins als forats negres tot acabavibrant, no es estrany que a dia d’avui escerqui l’aplicacio del pensament de Langlandsa l’estudi de la teoria de cordes, en tant queaquestes son vibracions de les partıcules ele-mentals. Des d’un punt de vista fısic, podem dirque Langlands permet reformular la preguntade si «el mon es matematic» en la de si «elmon es aritmetic».

Referencies[1] Bargmann, V., «Irreducible unitary repre-

sentations of the Lorenz group». Ann. ofMath. (2) 48 (1947), 568–640.

[2] Bargmann, V., On unitary ray representa-tions of continuous groups». Ann. of Math.(2) 59 (1954), 1–46.

[3] Bayer, P.; Travesa, A. (eds.), «Represen-tacions automorfes de GL(2)». VolumsI, xiii+213 p., i II, xiii+224 p. Notesdel Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC), 2. Barcelona, 1997. ISBN: 84-923250-2-X.

[4] Breuil, C.; Conrad, B.; Diamond, F.; iTaylor, R., «On the Modularity of EllipticCurves Over Q: Wild 3-Adic Exercises». J.Amer. Math. Soc. 14 (2001), 843–939.

[5] Gauss, C. F.: Disquisicions aritmetiques.Traduccio i proleg de Griselda PascualXufre, 1996. xxviii+654 p. Societat Cata-lana de Matematiques. ISBN 84-7283-313-5. Primera edicio: Disquisitiones arithme-ticæ. Lipsiæ, Fleischer, 1801.

[6] Harder, G.; Langlands, R. P.; Rapoport,M., «Algebraische Zyklen auf Hilbert-Blumenthal-Flachen». J. Reine Angew.Math. 366 (1986), 53–120.

[7] Jacquet, H.; Langlands, R. P., «Automor-phic forms on GL(2)». Lecture Notesin Mathematics, Vol. 114, vii+548 p.Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970.

[8] Kapustin, A.; Witten, E., «Electric-magnetic duality and the geometric Lan-glands program». Commun. Number The-ory Phys. 1 (2007), num. 1, 1–236.

[9] Labesse, J.-P.; Langlands, R. P., «L-indistinguishability for SL(2)». Canad. J.Math. 31 (1979), num. 4, 726–785.

[10] Langlands, R.,P., «The Dirac monopoleand induced representations». Pacific J.Math. 126 (1987), num. 1, 145–151.

[11] Langlands, R. P., «Problems in the theoryof automorphic forms. Lectures in modernanalysis and applications, III», p. 18–61.Lecture Notes in Math., Vol. 170, Springer,Berlin, 1970.

[12] Langlands, R. P., «Shimura varieties andthe Selberg trace formula». Canad. J.Math. 29 (1977), num. 6, 1292–1299.

[13] Langlands, R. P., «Sur la mauvaisereduction d’une variete de Shimura».Journees de Geometrie Algebrique de

48 SCM/Notıcies 43

Rennes. (Rennes, 1978), Vol. III, p. 125–154, Asterisque, 65, Soc. Math. France,Paris, 1979.

[14] Langlands, R. P., «On the zeta functionsof some simple Shimura varieties». Canad.J. Math. 31 (1979), num. 6, 1121–1216.

[15] Langlands, R. P., Automorphic represen-tations, Shimura varieties, and motives.Ein Marchen. Automorphic forms, repre-sentations and L-functions (Proc. Sympos.Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis,Ore., 1977), Part 2, p. 205–246, Proc. Sym-pos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math.Soc., Providence, R.I., 1979.

[16] Langlands, R. P., L-functions and auto-morphic representations. Proceedings ofthe International Congress of Mathemati-cians (Helsinki, 1978), p. 165–175, Acad.Sci. Fennica, Helsinki, 1980.

[17] Langlands, R. P., Base change for GL(2).Annals of Mathematics Studies, 96. Prin-ceton University Press, Princeton, N.J.;University of Tokyo Press, Tokyo, 1980.vii+237 p. ISBN: 0-691-08263-4; 0-691-08272-3.

[18] Langlands, R. P., «Orbital integrals onforms of SL(3). I». Amer. J. Math. 105(1983), num. 2, 465–506.

[19] Langlands, R. P., Les debuts d’uneformule des traces stable. PublicationsMathematiques de l’Universite Paris VII,13. Universite de Paris VII, U.E.R. deMathematiques, Paris, 1983. v+188 p.

[20] Langlands, R. P., Mathematical heritage ofHermann Weyl (Durham, NC, 1987), 25–

33, Proc. Sympos. Pure Math., 48, Amer.Math. Soc., Providence, RI, 1988.

[21] Langlands, R. P., «Representation theory:its rise and its role in number theory». Pro-ceedings of the Gibbs Symposium (NewHaven, CT, 1989), 181–210, Amer. Math.Soc., Providence, RI, 1990.

[22] Langlands, R. P., «Reflexions on receivingthe Shaw Prize». On certain L-functions,297–308, Clay Math. Proc., 13, Amer.Math. Soc., Providence, RI, 2011.

[23] Langlands, R.,P., A prologue to “Functo-riality and reciprocity” Part I. Pacific J.Math. 260 (2012), num. 2, 582–663.

[24] Langlands, R. P.; Rapoport, M., «Shimu-ravarietaten und Gerben». J. Reine An-gew. Math. 378 (1987), 113–220.

[25] Langlands, R. P.; Shelstad, D., «Orbitalintegrals on forms of SL(3). II». Canad. J.Math. 41 (1989), num. 3, 480–507.

[26] Mazur, B., «What is. . . a motive?». Noti-ces Amer. Math. Soc. 51 (2004), num. 10,1214–1216.

[27] Serre, J-P., «Sur les representations mo-dulaires de degre 2 de Gal(Q/Q)». DukeMath. J. 54 (1987), num. 1, 179–230.

[28] Taylor, R.; Wiles, A., «Ring-theoretic pro-perties of certain Hecke algebras». Ann.of Math. (2) 141 (1995), num. 3, 553–572.

[29] Wiles, A., «Modular elliptic curves andFermat’s last theorem». Ann. of Math. (2)141 (1995), num. 3, 443–551.

SCM/Notıcies 43 49

Sobre el Cangur 2018Dani Bosch/Toni GomaComissio Cangur de la SCM

Dades globals

Hem celebrat el 23e Cangur de la SCM. Aquestconcurs va comencar l’any 1995 amb 1.313alumnes de BUP. L’any 2004 va arribar alsdeu mil participants d’ESO i batxillerat i el2012 als vint mil. Des del 2016 es convocaper a alumnes de 5e i 6e de primaria i totala secundaria, i enguany ha tingut un totalde 113.247 participants (augment d’un 10,7%respecte del 2017), de 1.097 centres que sonde 314 poblacions de 42 comarques (41 deCatalunya i una de la Franja).

Si hi afegim els xics i les xiques, els al·lotsi les al·lotes que han participat en les duesconvocatories germanes del Cangur, al PaısValencia i a Balears, que tambe es fan ambl’impuls de la SCM, resulta que van participaren el Cangur en catala un total de 134.898estudiants.

La participacio a Catalunya ha tingut elrepartiment geografic que mostrem en la taulaseguent, comparada amb les dades de problacioescolar en la franja a que s’adreca el Cangur.Podeu veure que no hi ha diferencies essencial-ment significatives.

La idea clau de l’associacio internacionalLe Kangourou sans Frontieres es convocaranualment un joc-concurs a molts paısos delmon amb la participacio del maxim nombrepossible d’estudiants, sense intencio de compa-racio entre paısos.

A casa nostra, des de la primera edicio, hemintentat que el Cangur esdevingues una festa deles matematiques.

Es clar que l’aspecte de concurs tambe prenmolta importancia. A Catalunya tenim previstdonar 15 premis per nivell. En serien 120,pero pels empats en les puntuacions aquest

any han estat 136. Seguint amb la «geografiadel Cangur» ens omple de satisfaccio poderdir que s’han repartit entre 108 centres! de 60poblacions, de 25 comarques.

La comissio voldria donar una quantitatmolt mes gran de premis. Per aixo s’ator-ga una mencio a l’1% d’alumnes amb mi-llors puntuacions, empats inclosos. Han es-tat 1.192 mencions, repartides entre 509 cen-tres, de 187 poblacions de 37 comarques.Joiosa diversitat!

Creiem que aquestes dades es comentensoles. Aixo i el fet que el Cangur s’hagi desenvo-lupat amb exit ens fa dir: Gracies! Com sempre,al professorat que impulsa i organitza la partici-pacio, i de manera especial als CRP del Depar-tament d’Ensenyament, que recullen els fulls derespostes amb una eficiencia encomiable. Unadarrera dada: 75 CRP han recollit fulls de res-postes i en 72 d’aquests CRP hi ha centres ambalumnes del millor 1%.

50 SCM/Notıcies 43

Enunciats i organitzacio de la prova

Ja ens hem referit a les dues visions del Cangur.(1) Proposta que persegueix una gran parti-cipacio, cosa que actualment per als menuts,que fan el Cangur en el propi centre potserpot anar esdevenint una activitat de classe.(2) El Cangur com a concurs, amb problemes«difıcils» que posin a prova l’enginy. Sigui comsigui, reptes que motivin a «fer matematiques»d’una manera diferent de la dels exercicis declasse. En la comissio pensem que fer preval-dre una opcio per davant d’una altra ha dedependre del nivell escolar a qui es dirigeixla prova; tenim en compte que el Cangur-primaria i en el que anomenem el Cangur123 esdesenvolupen en cada centre i que, en canvi, peral Cangur de 4t i batxillerat la SCM impulsa lacelebracio en seus Cangur, moltes de les qualsen aules universitaries, on es reuneixen alumnesde diversos centres.

En la reunio internacional de Le Kangou-rou sans Frontieres en que se seleccionen elsenunciats per a la prova a partir d’una ampliacol·leccio d’enunciats proposats per les diferentsnacions, hi ha sis grups de treball, per nivells,que proposen sis proves diferents. En moltescontrades (aquesta seria la «idea oficial») esplanteja exactament la mateixa prova per ados nivells escolars. Tanmateix, des de fa anys(podrıem dir que «des de sempre», exactamentdes del segon Cangur) a Catalunya ens semblames adequat fer una prova diferenciada per ca-da nivell i, per aixo, la comissio fa adaptacionsde les propostes. Vegeu en la taula seguent lesidees principals en aquest tema.

Perque en pugueu fer una millor interpre-tacio, mes avall comentarem amb detall lespuntuacions que s’obtenen, i, en particular, elfet que les de la prova Junior proposada aprimer de batxillerat son molt baixes. Vist aixo,fem ara una pregunta (potser retorica): creieuque seria raonable proposar-la a 3r d’ESO comfan en algunes nacions? I tambe contestaremuna possible consulta que aleshores ens podrıeufer: a les nacions que ho fan, com son els resul-tats? Tot i que les estadıstiques no es coneixengaire, una paraula defineix les que hem vist:dramatiques. Potser en aquests casos tendeixena enfocar el Cangur «per a alumnes avancats»en comptes de la idea clau que hem comentatmes amunt.

Per a 4t i 2n d’ESO i per a 5e d’EP,la comissio Cangur elabora unes proves queincorporen problemes suplents i, alhora, se’nrepeteixen alguns (no tota la prova) en diferentsnivells; aixo ja succeeix en les propostes quees reben de la reunio internacional, sovint ambpuntuacions diferents, pero tambe de vegadesamb la mateixa puntuacio en els dos nivells. . . iamb algunes sorpreses.

Enunciat 1Hi ha tres caixes numerades 1, 2 i 3 en una d’elleshi ha un regal. Per endevinar en quina caixa hiha el regal, ens donen tres pistes, de les qualsnomes una es certa. A la caixa 1 hi diu «El regales aquı». A la caixa 2 hi diu «El regal no es aquı».A la caixa 3 hi diu «2 + 3 = 2 × 3». En quinacaixa trobarem el regal?

A) A la caixa 1.

B) A la caixa 2.

C) A la caixa 3.

D) No podem deduir en quina caixa hi ha el regal.

E) Nomes podem deduir que el regal no es a lacaixa 3.

SCM/Notıcies 43 51

L’enunciat anterior respon al costum deposar alguns problemes de logica, tema que noes treballa gaire a les classes pero ja sabemque el Cangur no preten tenir un enfocamentcurricular sino que vol obrir el ventall tant en latipologia dels problemes com en les estrategiesper resoldre’ls. Es va proposar, enguany, endiferents nivells.

encert error en blanc6e (prob. 7) 14,0% 74,9% 11,1%2n (prob.7) 10,7% 81,5% 7,8%3r (prob. 14) 11,7% 79,0% 9,3%4t (prob. 6) 13,6% 79,5% 6,9%

Nota: a 1r d’ESO se’n va introduir una va-riant, que tambe va tenir un grau elevat dedesencert.

Podeu veure que el resultat no va ser gensreeixit, en aquest cas, i que tenim la sorpresaque la mainada de sise ho va fer millor que elsmes grans.

Podria ser perque era l’ultim problema i hivan parar mes atencio? Ara be, en el camp deles sorpreses pel que fa als problemes repetits,vegeu aquest:

Enunciat 2La Nuria dibuixa una lınia trencada dins d’unrectangle, que determina angles de 10◦, 14◦, 33◦

i 26◦, tal com indica l’esquema de la figura.Quant mesura l’angle α?

A) 11◦ B) 12◦ C) 14◦ D) 7 E) 9◦

encert error en blanc2n (prob. 24) 43,5% 39,1% 17,4%3r (prob. 15) 14,8% 69,3% 15,9%

Ens preguntem com pot ser que passes aixoi no hi trobem resposta. Algu ens ha dit que hipot influir el (poc) tractament curricular de lageometria a 3r d’ESO. . . pero de fet nomes calaplicar que els angles d’un triangle sumen 180o.Ai! Ai! Ai!

Enunciat 3Quin es el valor de 2018 + 2018

2018 + 2018 + 2018 ?

A) 12018 B) 2

3 C) 0 D) -2018 E) 12

encert error en blanc3r (prob. 3) 48,4% 42,3% 9,3%4t (prob. 3) 51,1% 39,5% 9,4%

Vist el percentatge d’errades tambe ens fapensar: Ai les fraccions! Tant que es treballen. . .es deu fer malament?, sense procurar quel’alumnat, sobretot, pensi? La moda de leserrades? La resposta A, «es cla», amb moltadiferencia!

Analisi de puntuacions

Aspirem a assolir una certa gradualitat enel proces participatiu «i d’animacio» en elCangur. Ho aconseguim? Mirem les dades.

Nota: a 5e i 6e es posen 20 preguntes i alsaltres nivells, 30; per aixo hi ha diferencia depuntuacio. A 2n d’ESO es va haver d’anul·laruna pregunta.

La valoracio de la participacio s’ha de feratenent al que ja s’ha comentat sobre elsdiferents criteris organitzatius per a primariai per al Cangur 123 (en que el Cangur esdevecada vegada mes, una activitat «de classe»)o per al Cangur dels grans. Naturalment,aixo influeix en les puntuacions globals pero,tanmateix, amb una ullada a la taula anteriorens sorpren de seguida la comparacio entrealguns resultats.

Comencem, doncs, amb una analisi dels dosnivells de batxillerat.

52 SCM/Notıcies 43

D’entrada es veu una diferencia substancial:excel·lent mitjana a segon de batxillerat (nomessuperada a la secundaria per la de 1r d’ESO), i,en canvi, puntuacions de primer de batxilleratmolt i molt baixes. El fet que els resultatsa 1r de batxillerat siguin pitjors que a 2nbatxillerat ja ha passat altres anys; no tanexageradament com enguany, pero ho hem vistrepetidament. Tenim la sensacio que el grupde treball Junior en la reunio internacional(els representants de les nacions acostumen a«especialitzar-se» en un nivell) tendeix mesa un concurs elitista que a un joc concursd’ampli abast. Sabem que tots els grups deles reunions internacionals estan fent una tasca«d’actualitzacio» de l’enfocament que cal donarals problemes; potser els del nivell Junior no hovan tenir ben present per al Cangur 2018 i encanvi els del nivell Student, sı. Per altra banda,com podeu veure per les xifres de participacio,hi ha una «autoseleccio» en el pas de 1r a 2n debatxillerat. Creiem que tot aixo ajuda a fer queels resultats de 2n de batxillerat siguin millorsque els de 1r de batxillerat. Pero, per que a 1rde batxillerat «tan malament»?

Abans de comentar-ho volem destacar, finsi tot «destacar de manera molt rotunda»,el fet que, per primera vegada en aquestnivell, un participant (Albert Lopez Bruch,Aula Escola Europea) ha assolit l’encert to-tal. Enhorabona! Enguany tambe ha succeıta 5e, a 6e i a 2n d’ESO i, a mes, altresanys ja s’havia aconseguit a 2n de batxi-llerat i tambe a 3r i 4t d’ESO. Presentemalguns enunciats de 1r de batxillerat; el primerun altre problema de fraccions, tambe ben pocreeixit.

Enunciat 4Quin es el valor de 20

17 −2018 −

20201717 + 2020

18187 ?

A) 1 B) 0 C) 2018 D) 20 E) 101

encert error en blanc1r batx (prob.1) 38,4% 27,0% 34,6%2n batx (prob. 2) 34,7% 23,7% 41,6%

Si mirem la quantitat de respostes en blanci errades, se’ns acut dir que «aixı comencemmalament».

Enunciat 5Quants nombres de tres xifres hi ha amb lapropietat que, si eliminem la xifra del mig, elnombre de dues xifres obtingut es la novena partdel nombre original?

A) 2 B) 1 C) 4 D) 5 E) 3

encert error en blanc1r batx (prob.17) 5,5% 41,0% 53,5%

Com que es poden substituir cinc enun-ciats en cada proposta per enunciats suplents,l’anterior el va escollir la comissio catalana perintentar «suavitzar» la prova Junior. A fe deDeu que no vam encertar-ho!

Acabem amb un enunciat que va costarmolt de redactar acuradament. Ja el veiemcomplicat, pero aquest no el vam canviar...

SCM/Notıcies 43 53

Enunciat 6Els punts A0, A1, A2, . . . estan disposats sobreuna recta de manera que la longitud del segmentA0A1 es 1 i el punt An es el punt mitja delsegment An+1An+2 per a tots els enters nonegatius n. Quina es la longitud del segmentA0A11?

A) 512 B) 587 C) 171 D) 341 E) 683

...i potser es el record historic de menysencert.

encert error en blanc1r batx (prob. 23) 2,0% 26,7% 71,2%

Ja veieu que la tasca de seleccio d’enunciatses laboriosa, tot i que es posterior al treball depreparacio de la reunio i les jornades de treballdel mıting internacional.

Pensem ara en els menuts. Per a ells, elCangur ja va neixer, a casa nostra, orientat comuna activitat de classe. L’aspecte de concursi premis tambe hi es. A la comissio Cangurhem rebut comentaris (potser fins i tot enpodrıem dir «crıtiques») pel fet que hi hamassa encert. A sise hi va haver 21 encertantsde totes les respostes i la valoracio conjuntava ser aixı:

Preguntem: en una activitat que volemengrescadora i col·lectiva, «es massa» queaproximadament un de cada set-cents alumnesrespongui amb encert totes les preguntes? Opotser es adequat que ho fem aixı?

Ja hem comentat que en el problema delogica, de les portes (enunciat 1), la resposta

de l’alumnat de sise va ser millor que ladels participants d’ESO. Es bo de tenir-hoen compte. Vegem ara un enunciat que vasorprendre pel grau d’encert.

Enunciat 7Tenim quatre boles que pesen 10 g, 20 g, 30 g i40 g. Hem fet dues pesades, amb les quatre bolesi una amb tres. Quina bola esa 30 g?

A) La A B) La B C) La CD) La D E) pot ser la A o la B.

encert error en blanc6e (prob. 16) 54,5% 39,0% 6,5%

Acabarem amb una altra idea que va en lalınia que ajuda a «no pensar» que la prova desise era excessivament facil.

Excepcionalment, vam posar un problema«repetit» a sise i a segon de batxillerat.

Enunciat 7En Toni enganxa deu cubs per a construirl’estructura que es veu a la figura. Despres enpinta tot l’exterior, fins i tot la part de sota.Quants cubs tenen pintades exactament 4 cares?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Els resultats, naturalment, ben diferents.

encert error en blanc6e (prob. 15) 28,3% 63,1% 8,6%2n batx (prob. 5) 63,0% 33,6% 3,4%

54 SCM/Notıcies 43

Ja hem posat en marxa el Cangur 2019En el marc del Cangur es convoquen dosconcursos interdisciplinaris per a alumnes delsdarrers cursos de la secundaria.

• Anualment, el Concurs de Relats de con-tingut relacionat amb el mon de les ma-tematiques, que han de ser redactats, segonsles bases, en la llengua de les terres on

la gent diu «Bon dia!»; en aquest numerode la SCM/Notıcies teniu publicat el relatguanyador.

• Cada tres anys, el Concurs de Cartells Can-gur. La guanyadora ha estat Ariadna GarciaPelegrin, alumna de 2n de batxillerat del’Institut Jaume Vicens Vives, de Girona,amb el disseny que teniu tot seguit.

Jugant amb els dos concursos, proposema les persones que llegiu aquest article quebusqueu un «relat numeric» en el cartell gua-nyador.

I acabem dient que veure el nou cartellens anima a treballar. Ja estem redactantenunciats per a enviar a Vılnius (Lituania), onel proper mes d’octubre es dura a terme lareunio internacional per al Cangur 2019, ambCatalunya com una de les nacions participants.I el dia 21 de marc de 2019 se celebrara el 24eCangur de la SCM.

Converses a dues bandesJoan Elias i Enric FossasAlbert AvinyoEditor de la SCM/Notıcies

En l’editorial del numero 39 de la d’aquestarevista (juliol 2016) es feia esment d’un articleaparegut en un diari d’ampli abast on estractava el tema de l’increment de matematicsen llocs de rellevancia dins de la gestio d’em-preses multinacionals i de grans organismespublics. Per exemple, es donava la dada queen aquells moments, l’estiu del 2016, nou delscinquanta rectors d’universitats publiques espa-nyoles eren matematics. Pocs mesos despres, eldesembre del 2017, es va donar un fet curios,de les tres universitats catalanes mes grans,dues estaven dirigides per matematics: EnricFossas a la Universitat Politecnica de Cata-lunya (UPC) i Joan Elias a la Universitat deBarcelona (UB).

Aprofitant aquest fet, els vaig demanar atots dos si podıem quedar un dia i mantenir una

conversa centrada en la seva experiencia en lagestio universitaria. Els dos van acceptar la me-va proposta. El que podeu llegir a continuacioes un resum escrit i ampli d’aquesta conversa.

Joan: Hola, Enric.Enric: Hola, Joan.

J: Enric, potser podem comencar pels nostresorıgens matematics gairebe comuns. Jo vaiginiciar la llicenciatura de Matematiques el curs74–75 a la UB. Recordo que el primer cursva ser un repte personal molt important, jaque comencava uns estudis amb una fama demolta duresa. La realitat va ser diferent del quem’esperava, pero la prova la vaig superar ambexit. Crec que tu vas comencar la carrera unamica mes tard, oi?

SCM/Notıcies 43 55

E: Sı, vaig iniciar els mateixos estudis i enla mateixa universitat que tu pero dos anysdespres, al curs 76–77. . .

J: Era una universitat que estava sortint de ladictadura, una universitat en ebullicio i moltpolititzada. Van ser temps molt interessants. . .E: Recordo esmorzars i partides de cartes albar i lectures pacifistes a la placa Universitat,la legalitzacio del Partit Comunista, les assem-blees. . . com els mateixos estudiants decidıemel calendari academic o la meva participaciocom a estudiant en el disseny d’una propostaalternativa de pla d’estudis. Tambe el fet de serrepresentant estudiantil al Claustre.

J: Despres, tots dos vam coincidir fent latesi doctoral al Departament de Geometria iTopologia. . .E: Sı, jo en aquell moment tenia clara unavocacio academica cap a la qual em vaigencaminar aprofitant l’oportunitat de fer deprofessor de classes practiques.

J: Jo crec que, llavors, encara no em plante-java la carrera academica que va sorgir mesendavant. La meva motivacio per fer la tesi erai es clara: volia i vull saber mes. Es el queexplica la meva passio per les matematiques.Els joves que ara comencen el doctorat tambetenen aquest desig d’ampliar el coneixement, lapassio contınua.E: Sı, ara els alumnes tambe tenen aquestapassio pel coneixement. . . Be, la diferencia esque ara dur a terme una tesi no implicanecessariament seguir una carrera academica.Per exemple, els doctorats industrials obrenaltres vies laborals, altres portes en el mondel treball. . . Aquesta oportunitat no existia enaquell moment. . .

J: Un cop acabada la teva tesi, vas decidircanviar d’universitat?E: Sı. Acabat el doctorat em vaig incorporar ala UPC, a l’Escola Universitaria Politecnica deVilanova i la Geltru, on vaig ser cap de la Secciode Matematiques. Com que els departamentsde la Politecnica tenen professorat en diferentscentres, sovint s’estructuren internament enseccions segons criteris geografics. Cinc anysmes tard, vaig ser elegit director del Departa-ment de Matematica Aplicada i Telematica. Tuet vas quedar a la UB, pero tambe molt aviat

vas assumir carrecs de gestio. Quin va ser elprimer?

J: El primer carrec de gestio va ser el de capd’estudis de la llicenciatura de Matematiques.Aquest carrec em va permetre tenir un contactedirecte amb els problemes de l’estudiantat,de vegades molt colpidors. Tambe en aquellaepoca, vaig haver de gestionar la transicioentre dos plans d’estudis, un tema semprecomplicat. . . I tu, d’aquelles primeres decisions,quina recordes mes?

Joan Elias.

E: Entre les decisions que recordo amb es-pecial satisfaccio, com a cap de departament,hi ha la de tenir en compte l’activitat derecerca a l’hora d’assignar la docencia. Aixoera, en aquell moment, una polıtica pionerai va consistir a rebaixar l’assignacio docent aaquelles persones que tenien mes activitat derecerca i incrementar-la a aquelles que en tenienmenys. Aquesta situacio, com tantes altres, noera especıfica del nostre departament sino queafectava tota la universitat. Crec que la visioque hom te de la universitat no depen tantdel departament al qual es pertany com de laimplicacio que es te amb la universitat. En elmeu cas, ja abans de ser director de departa-ment, vaig ser membre de la junta de governde la UPC, i aixo em va proporcionar una visioforca completa de la universitat. Per exemple,aixo et permet observar que, en abstracte, lagestio es forca semblant en un departament dematematiques respecte d’un altre d’enginyeriao ciencies.

J: Jo tambe sempre he tingut aquesta sensacio.La UB es molt gran i diversa. Ara be, laFacultat de Matematiques no es diferenciade les altres facultats de ciencies. La gestio

56 SCM/Notıcies 43

o el paper de la docencia i recerca no sondiferents a matematiques que en altres ciencieso enginyeries de la Universitat de Barcelo-na. Pero es realment apassionant coneixer al-tres branques del coneixement, que significaper a elles la recerca, com es transmet elconeixement. . .E: Efectivament. La meva trajectoria professio-nal a la UPC gairebe sempre ha estat a cavall dela matematica i l’enginyeria i he pogut observarsemblances i, tambe, diferencies. La principalsemblanca es l’us del metode cientıfic i per tantlogicodeductiu en la justificacio de resultats.La principal diferencia es que en el mon del’enginyeria els treballs de recerca acostumena acabar en prototips i, per tant, apareixen totun seguit de restriccions en la seva construccioque gairebe mai es tenen presents en l’universabstracte de les matematiques.J: Jo, aquestes diferencies i d’altres, les vaigpoder viure en primera persona durant el tempsque vaig ser secretari general del Consell In-teruniversitari de Catalunya. Va ser un perıodecurt pero molt intens. Vaig poder coneixerel sistema universitari catala en conjunt, elpublic i el privat. Tambe les diferencies entreles universitats noves i les consolidades. Aixımateix, va ser molt interessant veure per dins,des de la meva independencia polıtica, la prepa-racio d’una campanya electoral i l’eleccio d’unpresident de la Generalitat. Un cop elegit el noupresident de la Generalitat, Josep Montilla, vaigtornar a la UB.E: Pero el «cuc» de la gestio universitaria vacontinuar dins teu, ja que passat un temps, vasdecidir presentar-te a rector de la UB.

Enric Fossas.

J: Jo havia abandonat «definitivament» lameva activitat de gestio o polıtica universitaria,

quan un grup de companys i companyes emvan demanar que em penses de presentar-me a rector. Com tu dius, el «cuc» de lapolıtica universitaria no havia desaparegut iamb un grup d’amics fidels vam comencara pensar seriosament en la possibilitat depresentar una candidatura. La meva formaciomatematica va tenir un paper important al’hora de prendre aquesta decisio. Crec que alsmatematics ens agraden els problemes comple-xos, com mes difıcils millor, I el problema de launiversitat, te aquestes dues caracterıstiques.I tu, Enric, aquest «cuc» gairebe sempre t’haacompanyat. . .E: Sı, es veritat. El meu interes per la polıticauniversitaria es va iniciar a la UB, on vaigser representant al Claustre, primer per alsestudiants i despres per als professors nonumeraris. Aquesta motivacio va continuar ala UPC, on vaig participar, fa gairebe trentaanys, en la fundacio de UpiC, una associacioper reflexionar sobre la polıtica universitaria.Despres d’ocupar els carrecs de director dedepartament i de director d’un institut derecerca, i de participar com a representant delpersonal docent i investigador al Consell deGovern, el col·lectiu amb el qual treballavapolıticament des de feia anys em va proposarque em presentes a rector, cosa que em feiail·lusio des que tenia 25 anys. . .J: I ara, mirant-ho ja des de la distancia, quees el que mes et va sorprendre de la gestio deldia a dia d’una universitat de les dimensions dela UPC?E: Segurament, la diversitat de temes que caltenir presents les vint-i-quatre hores del diaper aprofitar l’oportunitat de tractar-los en elmillor moment.

J: En el meu cas, ara que ja fa un cert tempsque ocupo el carrec, puc dir que les sorpreseshan estat mınimes, la meva experiencia a la UBi fora ja m’havien curat de tots els espants. Peroel que mes m’ha sorpres es la gran reputacio quete la universitat en el si de la societat. Aquestes un valor que hem de preservar i augmentar.Per exemple, des del punt de vista de la gestiouniversitaria. Els carrecs que he tingut m’hanposat en contacte, per exemple, amb la gestiod’universitats americanes i italianes. En el casamerica es parteix d’una societat molt diferenti, per tant, el model de gestio universitaria

SCM/Notıcies 43 57

tambe ho es. Pel que fa al cas italia, es messemblant al nostre pero considero que el nostrees mes eficac.E: Coneixer el funcionament d’altres univer-sitats proporciona models de referencia. Elssistemes de gestio de les universitats son moltdiferents aparentment, tanmateix, en el fons, elpes de l’academia es important o molt impor-tant en tots ells. En general, les universitats quees governen d’acord amb el dialeg progressenmolt mes que aquelles on les decisions es prenensense buscar el consens. Tot aixo independent-ment del sistema de govern de la universitat.Dit d’una altra manera, la universitat podravariar en formes i formats, pero la relaciodeixeble-mestre es mantindra en la mesuraque al mestre se li reconegui el diposit, el

manteniment i el progres del coneixement (ila tecnica). Es evident que la universitat esta,com la resta de la societat, en transformacio,pero la simbiosi entre universitat i societat escada vegada mes necessaria per assolir progres,pensament crıtic. . . , en definitiva, per construiruna societat mes justa on viure. . .

J: Tens tota la rao, el model actual d’u-niversitat es molt recent, es del segle xix,pero es un model que ha anat adaptant-seals canvis socials, economics. . . , i, ho seguiremfent. Citant Mark Twain: «Les notıcies sobre lamort de la universitat son un xic exagerades».

Potser aquesta cita de Mark Twain es unbon punt final per a aquesta conversa taninteressant. Moltes gracies a tots dos!

La pregunta de la SCM/NotıciesPer que els graduats actuals en Matematiques no opten per ser profes-sors en etapes no universitaries i com es pot pal·liar aquest problema?Quina titulacio haurien de tenir els professors de matematiques de l’ESOi el batxillerat?Iolanda Guevara i Albert AvinyoJunta de la SCM

Durant el curs 2017–2018 el Departamentd’Ensenyament de la Generalitat de Catalunyava tenir problemes seriosos per cobrir substi-tucions de determinades especialitats dels cosde professors d’ensenyament secundari, unad’elles matematiques, perque la borsa de treballde personal docent de secundaria (professorsinterins de centres publics) no disposava deprou contingent de persones per cobrir lesvacants que es produıen. La situacio vaprovocar la necessitat de contractar, fins itot, alumnes del master de formacio delprofessorat d’educacio secundaria obligatoriai batxillerat, formacio professional i ense-nyament d’idiomes, de l’especialitat de ma-tematiques. Durant el curs 2018–2019 escontinuara amb la mateixa tendencia, segons

dades del Departament d’Ensenyament de laGeneralitat.

D’altra banda, de la promocio d’alum-nes (aproximadament 90) que durant el curs2017–2018 van dur a terme l’especialitat dematematiques en el master de formacio delprofessorat d’educacio secundaria obligatoriai batxillerat, formacio professional i ensenya-ment d’idiomes, quinze eren graduats en Ma-tematiques, quinze eren graduats en Fısica ila resta, aproximadament 60, eren enginyers oaltres titulats que poden accedir a l’especialitatde matematiques a la borsa de treball depersonal docent. Aquests dos fets son els queens han portat a fer les dues preguntes demes amunt a diversos membres de la comunitatmatematica.

58 SCM/Notıcies 43

Raquel Colomer ArmenterosGraduada en Matematiques (UB) i estu-diant del Master de formacio del profes-sorat en matematiques el curs 2017–2018Pregunta 1Quan decidim fer la carrera de Matematiquesbusquem un repte, endinsar-nos en un monabstracte i desconegut, i sobretot, desenvoluparel nostre raonament logic. Passem, com amınim, quatre anys de la nostra vida ”trencant-nos el capı suposo que es, principalment, peraquest motiu que, quan acabem, volem conti-nuar buscant desafiaments i creiem que no enssera prou satisfactoria la tasca de professor.

D’una banda, contrariament a la realitat,pensem que ser professor es una feina moltmonotona. La nostra concepcio (almenys lameva i dels companys amb els quals he parlat)son aules d’aproximadament trenta alumnes,on any rere any s’imparteixen les mateixesclasses magistrals i l’unica funcio del professores explicar teoria, posar exercicis i fer examens.Potser es per l’experiencia que tenim de quananavem a l’escola o el desconeixement de comesta evolucionant actualment l’ensenyament.Al Master de formacio del professorat podemveure que tot aixo esta canviant, es busca ferclasses on el contingut el faci l’alumne, treballinen grups heterogenis i es comencen a fer treballsper projectes.

De l’altra, considerem que si quan sortimde la carrera optem per ser professors, tindremuna feina massa estable de la qual, per inercia,no sortirem. Es una sortida professional quetenim molt en compte, pero per un futurmes llunya. Personalment, sempre m’ho havia

plantejat pero no volia fer-ho just despresd’acabar la carrera. Vaig canviar de decisio iara puc veure que estava molt equivocada ambla meva concepcio, la tasca de professor es moltexigent i gens avorrida. De fet, d’aquı sorgeixun altre motiu, que es el fet que en una classe,primer has d’aprendre a ser psicoleg, i despresa ensenyar be.

Una altra de les raons es que quan acabemla carrera no coneixem gaire del mon laboral.Quan explicava a algu que estava estudiantmatematiques em preguntaven si volia ser pro-fessora, com si no hi hagues mes sortides. Quanacabem el grau, tenim el cap ple de consultories,gestories, masters, doctorats... pero la idea realde ser professors de secundaria sembla que noexisteixi. A mes, les consultories volen moltsmatematics i ofereixen practiques curricularsque convaliden credits, aixı que es la sortidames habitual.

Actualment, per ser professor de ma-tematiques necessites tenir el Master de for-macio del professorat. Un dels requerimentsd’aquest master es «estar en possessio d’untıtol de llicenciat o graduat de la brancade coneixement de ciencies, ciencies socials(ambit d’economia), o be un tıtol d’enginyer oarquitecte». D’aquı sorgeixen diversos factorsque fan que alguns titulats en Matematiquesquedin fora d’aquest master. El primer es quealgunes enginyeries permeten donar classes decertes materies amb mes d’un master, perexemple, un enginyer quımic pot fer el Masterde fısica i quımica i donar classes de fısica iquımica, o pot fer el Master de matematiques idonar classes de fısica, quımica i matematiques.En canvi, un matematic no te aquesta dobleoportunitat, es a dir, ha de fer el master enmatematiques. Aixo, juntament amb la restade branques que permeten accedir al master,fa que estigui molt demandat. El segon factores que l’acces al master es determina per lanota de l’expedient, i a Matematiques tenir unanota alta es molt complicat. D’aquesta manera,graduats en altres ambits on el grau d’exigenciaes inferior, entren al master amb millor notaque molts dels estudiants de Matematiques. Ames, el master es interuniversitari i nomes hiha 90 places anuals per a tot Catalunya. Aixıque alguns graduats actuals en Matematiquesno son professors de secundaria perque no hiha placa. De fet, menys d’un 20% dels alumnes

SCM/Notıcies 43 59

del master son matematics. Potser una possiblesolucio podria ser fer una ponderacio amb lesnotes d’acces segons el tipus de titulacio.

Pregunta 2Considero que qualsevol de les titulacions

que donen acces al Master de formacio delprofessorat en matematiques son valides per serprofessors d’ESO i batxillerat. Pero tambe escert que les matematiques que es fan a moltesd’aquestes titulacions no son suficients perpoder impartir classes. En la meva opinio, serianecessari fer un curs complementari al mastero algunes assignatures que complementessinaquestes mancances.

Jordi Deulofeu PiquetCoordinador del Master de professoratde secundaria interuniversitari de ma-tematiques

Pregunta 1Les dades dels darrers anys indiquen que certa-ment pocs graduats en Matematiques del nostrepaıs volen ser professors de matematiques i en-senyar a l’educacio secundaria obligatoria. En-tenc que hi ha fonamentalment dues causes i, ames, aquestes son totalment complementaries:d’una banda, el fet que avui els nou graduatsen Matematica reben ofertes de treball moltdiverses i atractives, sobre tot en el campde les matematiques aplicades, i aixo significaque es valora especialment la formacio rebuda,que inclou la capacitat per resoldre problemescomplexos i abstractes. En relacio amb aquestessortides professionals, hi ha una oferta ampliai atractiva de masters per especialitzar elsgraduats en l’aplicacio de les matematiques acamps molt diversos. El fet anterior ha portata que la professio de matematic/a sigui avui lade menys atur de l’Estat i aquella en la que unpercentatge mes alt de graduats treballen enuna feina directament relacionada amb els seusestudis.

D’altra banda, i en sentit contrari, el pocprestigi social, malgrat que de vegades espugui dir el contrari, que te avui la profes-sio de professor a casa nostra i la sensacioque moltes tasques que comporta l’exerci-ci de la professio estan allunyades del quehauria de ser l’objectiu fonamental: educarmatematicament els nois i noies de l’educacio

secundaria. Aquest es, al meu parer, la rea-litat del moment actual, que ens ha portataquest curs al fet, forca insolit, que no hi haprofessors de matematiques i que cal anar abuscar-los on sigui, encara que no tinguin lapreparacio necessaria.

Els fets que acabo d’exposar ens hauriende portar a reflexionar sobre els metodes deplanificacio a mitja termini (com pot ser quefa poc mes d’un any no se sospites que aixopassaria?), pero no ens haurien de sorprendresi tenim en compte que en paısos mes avancatsaquest fenomen ja fa anys que es produeix i quealguns d’aquells han anat a cercar professoraten altres paısos: puc parlar d’Anglaterra i lesinteressants condicions que oferien fins fa benpoc a alguns matematics de casa nostra peranar a treballar de professor de secundaria.

A curt termini veig difıcil resoldre el pro-blema pero, d’acord amb el que he dit, nomesaccions decidides per prestigiar la professiopoden revertir la situacio a mitja termini. Ien tot cas, no haurien d’accedir a la professioalumnes que no haguessin cursat els estudisnecessaris, ja que, si durant els propers anysaccedeixen a ensenyar matematiques professorspoc preparats, estarem causant un dany alsistema que pot ser difıcil de superar.

Pregunta 2Seria senzill respondre que la millor titulacioes la de matematic, pero aquesta respostaaugmentaria encara mes el problema de lafalta de professors i, per tant, encara que enteoria sigui la mes adequada, es inviable a curttermini.

60 SCM/Notıcies 43

Pensant, encara, en termes d’una situa-cio ideal, crec que el millor seria un grauen Matematiques de tres anys i un masterprofessionalitzador de dos cursos, model quesegueixen actualment diversos paısos europeus.Si, tanmateix, hem de seguir amb un model coml’actual de 4+1, considero que seria adequat queen el grau s’incloguessin materies rellevants pera l’ensenyament de les matematiques, com sonla historia de les matematiques, la resolucio deproblemes, la modelitzacio i tambe una visioaprofundida de les matematiques elementalsdes d’un punt de vista superior. Encara queactualment molts d’aquests elements s’inclouenen el master, en els anomenats complements deformacio el temps que es disposa per fer-ho estotalment insuficient.

D’altra banda, la meva experiencia coma professor del master de formacio del pro-fessorat des dels seus inicis, em diu que elsgraduats en Fısica i alguns enginyers com elsde telecomunicacions o camins (pero no pastots) tenen els coneixements necessaris perser bons professors de matematiques. Altrestitulacions que avui poden donar acces ala professio, moltes vegades no proporcionenla formacio matematica adequada, ja que esconegut que en algunes d’elles (per exemple,arquitectura o economia) els credits de ma-tematiques realitzats son cada vegada menors.En aquest sentit, la inclusio d’una prova d’accesde coneixements matematics basics, en que esvalora principalment la capacitat per resoldreproblemes i raonar matematicament, tal comes fa actualment al master de professorat dematematiques, em sembla una bona solucio.

Voldria acabar dient que en el mon d’avuicada vegada es mes important analitzar latrajectoria formativa dels estudiants que volenser professors, mes que obrir o tancar portes apartir d’un grau o un altre. Fa pocs dies vaighaver de respondre a una estudiant graduadaen Biologia, que despres havia fer un masterrelacionat amb la fısica i, finalment, un doctoraten matematiques, en el sentit que la sevaformacio no li permetia «oficialment» realitzarel master de professorat (el requisit unic es elgrau realitzat) per ensenyar matematiques.

Estic convencut que una formacio com laque acabo d’exposar pot ser molt adequa-da per ensenyar matematiques en l’educaciosecundaria, avui; unes matematiques en que,

d’acord amb el currıculum vigent, l’assolimentde competencies, la resolucio de problemesi l’us de contextos constitueixen el nucli del’ensenyament.

Raul Fernandez HernandezProfessor de matematiques de l’InstitutVidreres

Pregunta 1Crec que molt pocs estudiants del grau esplantegen, d’entrada, dedicar-se a la docencia.Sı que es cert que molts estudien les assig-natures de didactica, per no tancar-se portes,pero sempre amb la idea de dedicar-te a ferrecerca en matematiques, i en un momentdonat, quedar-te de professor a la universitat, icom a pla B, fer de professor a secundaria.

En el meu cas va ser aixı, inicialmentno tenia cap intencio de ser professor desecundaria, pero tot i aixı, vaig fer l’assignaturade didactica, i en el darrer any vaig fer elCAP (antic tıtol, anterior a l’actual masterde professorat). Vaig comencar el doctorat iho compaginava amb classes a la universitat.Aquesta situacio es ideal, si no fos pel sou, queet permet mantenir-te mentre fas el doctorat,pero no et deixa fer gaires plans de futur.

Llavors podrıem dir que el meu pas a ladocencia a secundaria va ser, inicialment, perdiners (sona molt poc glamuros, pero es larealitat). Tothom em deia que a secundaria eramolt diferent de la universitat, i es cert, ladocencia es diferent, ni millor ni pitjor.

SCM/Notıcies 43 61

Ara, amb el pas del temps, he trobat quem’encanta aquesta professio, i que gracies aaquella decisio economica vaig trobar la feinade la meva vida.

Hem parlat molt d’aquest tema amb elscol·legues del grup cubic de didactica de lesmatematiques, i la solucio que mes em fa elpes es fer un grau especialitzat en docencia (odidactica, millor dit) de la matematica. Seriacom fer un grau diferent de l’actual, posantmolt mes emfasi a com explicar els conceptesque es donen a secundaria, que no pas a adquirirmolts coneixements en totes les branques de lesmatematiques, com fa el grau actual. Hi hauriael grau en Matematiques i, d’altra banda, elgrau de professor de matematiques. Amb opciode fer els dos graus de manera dual.

Clarament, amb l’obtencio d’aquest grau deprofessor en matematiques quedaria exempt defer el master de professorat.Pregunta 2Tambe es un tema que se n’ha parlat molt, ila veritat es que no tinc una resposta clara.Amb el temps he conegut molt bons professorsde matematiques amb carreres molt diferents;per tant, crec que no hi ha cap titulacioidonia, perque tambe conec mals professors dematematiques amb la carrera de Matematiques.

El que tinc clar son unes aptituds que ha detenir tot bon professor de matematiques: s’had’estimar la seva assignatura.

No descarto que tenir el tıtol de Ma-tematiques et dona una perspectiva moltamplia que fa millorar molt les classes de ma-tematiques, sobretot en nivells de batxillerat.Tenir clar quins resultats de batxillerat sondemostrables amb una mica de feina i quinsson poc assumibles et dona un valor extra al’hora de respondre segons quins dubtes debatxillerat. En aquest sentit, i ara sı mullant-me una mica, crec que aquesta perspectiva,d’entrada, ja la poden tenir els matematics,fısics i alguns enginyers. Aixo no vol dir quela resta de titulats no pugin adquirir aquestaperspectiva, pero d’entrada crec que no latenen.

Si parlem d’ensenyament a l’ESO, la respos-ta no es tan clara. Entren uns conceptes que aqualsevol titulacio cientıfica s’arriba. Es mes,crec que per donar classes a l’ESO, sobretotels dos primers cursos, es mes important laformacio en didactica que no pas la formacio

en els continguts, els quals, s’han de coneixer,per descomptat, pero no amb un nivell d’apro-fundiment molt elevat. De fet, els contingutsde l’ESO tampoc donen per aprofundir moltacademicament.

El que queda mes o menys clar es quecal defugir de la frase que cada cop meses llegeix a les xarxes socials: «El professorno cal que en sapiga de la seva materia, elcontingut esta tot per internet, i nomes calque sigui un facilitador». Aquesta afirmaciola trobo totalment falsa, i tant que n’ha desaber de la seva materia!, i com mes, millor,sobretot a mesura que anem augmentant denivell educatiu.

Ignasi Garcia PlataDirector general de professorat i personalde centres publics. Departament d’Ense-nyament de la Generalitat de Catalunya

Pregunta 1La manca de professorat en algunes especia-litats de l’ensenyament secundari, com es elcas de les matematiques, les especialitats dela formacio professional industrial o la llenguacatalana i castellana esta motivada per raonsdiferents i no exclusivament demografiques. Defet, manca professorat en aquestes materies,pero no en ciencies socials, per posar unexemple. En cada cas les circumstancies sondiferents i s’han de trobar solucions ajustadesa cadascuna d’elles. Aixı, en les llengues, ladificultat se situa en la manca d’alumnat que

62 SCM/Notıcies 43

opti per estudis filologics; en el cas de lesmatematiques o les enginyeries, el problema solser que l’alumnat que cursa aquests graus teunes expectatives professionals que no passenper la docencia. Son titulacions amb sortidesmolt diversificades en el mercat laboral quecondicionen les decisions dels estudiants. Lapregunta, per tant, es com atraure aquestsestudiants a la docencia. S’han de preveuresolucions a curt, mitja i llarg termini i hande sorgir d’un treball en col·laboracio entre elDepartament d’Ensenyament i les universitats.N’apuntem algunes vies:

• Potenciar la informacio sobre la docenciacom a sortida professional i donar mes pu-blicitat del master de professorat. Es impor-tant crear expectatives sobre aquesta sortidaprofessional entre uns estudiants que, quancursen el grau, no solen tenir prou definit elfutur laboral.

• Facilitar informacio als estudiants de grausobre les condicions laborals docents: sou,jornada laboral i lectiva i flexibilitat de lajornada. Son punt forts que no se solen donaren altres ambits laborals.

• Per acabar, fer evident l’interes d’aquestasortida professional explicant cap a on s’o-rienta la funcio docent en l’actualitat. Caldestacar l’atractiu de la feina i la passioamb la qual es pot viure, tal com ja ho fantants docents. Paısos amb sistemes educatiusavancats, com Finlandia, tenen professionalsamb un altıssim nivell que opten per aquestasortida pel valor que la societat dona a l’edu-cacio i pel prestigi que representa treballar enun entorn professional dinamic i innovador.El mon educatiu es conscient que actuacom a motor social orientat a construir unasocietat equitativa, social i democraticamentavancada.El nostre sistema educatiu, especialmentdes de l’aprovacio de la Llei d’educacio(LEC), impulsa multitud d’experiencies pe-dagogiques en que els termes equitat, qua-litat, ensenyament personalitzat i innova-cio son els elements nuclears. L’aposta perl’autonomia de centres ha afavorit la pro-liferacio de projectes educatius i la creaciod’equips docents que treballen creativamentper aplicar-los. Es tracta d’un horitzo carac-

teritzat pel treball en equip i la innovacio.De fet, una professio com la docent, altamentqualificada, creativa, cooperativa i amb bonescondicions laborals pot ser una alternativaespecialment atractiva que cal destacar entreels estudiants.Es responsabilitat del Departament d’Ense-nyament i de les universitats difondre aquestavisio del sistema educatiu i promoure ladocencia com a una opcio professional ambfutur. En el fons, tambe ha de ser un reptede paıs que ha de fer que l’educacio tinguiel maxim prestigi social i la rellevancianecessaria en els mitjans de comunicacio pervalorar experiencies pedagogiques de quali-tat.

• Cal acompanyar aquestes mesures amb l’in-crement de l’oferta de places de masters deformacio per donar resposta a la necessitatde professorat en aquesta especialitat.

Pregunta 2Actualment, hi ha diverses titulacions que per-meten accedir a la docencia de matematiques.A mes del grau en Matematiques, hi poden ac-cedir titulats en diferents enginyeries, fısiques,arquitectura, economiques... El mes importantno es comptar amb els professors que sapiguenmes matematiques, sino aquells que tinguin unnivell de matematiques optim i, alhora, siguincapacos de fer que els alumnes les aprenguin iles trobin interessants. Professorat que situı lesmatematiques en contextos que li donin sentiti que permeti la transferencia cap a nousaprenentatges. La fonamentacio pedagogica il’enfocament competencial ha de ser un elementbasic del perfil docent i de la formacio del pro-fessorat de matematiques. Per aconseguir-hocal, evidentment, disposar d’una bona formaciomatematica, pero aquesta formacio tambe lapoden garantir altres titulacions que tinguin unnombre de credits suficients d’aquesta materia.En tot cas, sembla que hi ha consens en laformula actual d’acces al master a traves dela superacio d’una prova que garanteix queles persones que s’hi vulguin incorporar desd’algunes titulacions que no son els graus deMatematiques, Fısica, Informatica, Estadıstica,Enginyeria o graus amb un mınim de 40 creditsde matematiques, els coneixements adequatsper poder exercir la docencia. La prova d’acceses una mesura que permet obrir el ventall

SCM/Notıcies 43 63

d’acces amb garanties i es una referencia ques’ha tenir en compte en altres masters.

La incorporacio a les aules de professoratprocedent d’altres titulacions tambe pot apor-tar un altre element qualitatiu, com es la poli-valencia curricular. L’enfocament competencialdel currıculum comporta, cada vegada mes,l’aplicacio d’estrategies metodologiques en quela mirada global o interdisciplinaria te mes pesespecıfic. Molts centres es plantegen disposarde docents que imparteixin mes d’una materiaa l’ESO o, almenys, en el primer cicle. El fetde reduir el nombre de docents te repercussionspositives, com a mınim, en tres aspectes: a) eldocent coneix mes be els alumnes i hi pot influird’una manera mes ajustada; b) la interrelacioentre els aprenentatges es mes directe i naturali c) l’alumnat te mes oportunitats de resoldredubtes i es fa mes evident el fil conductor entremateries afins.

Nuria Mira GomezGraduada en Matematiques (UPC) iprofessora de matematiques de MaristesRubıPregunta 1Els actuals graduats en Matematiques van seralumnes excepcionals a l’escola, van gaudir deles matematiques i destacaven a l’aula en aques-ta i en altres materies (la nota de tall d’accesa la universitat per al curs 2017–2018 superavael 10 en les tres universitats de Catalunya queofereixen els estudis de Matematiques).

A la universitat descobreixen un mon nouple de reptes, rigor, demostracions i de treball.Comparteixen l’esforc i dedicacio amb els seuscompanys. Els companys son clau de l’exit,connecten, tenen una motivacio extraordinariaper les matematiques i l’estudi es converteix enuna convivencia profunda que permet avancari creixer com a persona.

L’esforc a la universitat es real, hi hamoments durs i difıcils. I, per fi, arriba elmoment d’incorporar-se al mercat laboral.

Alguns en volen mes, en necessiten mes i esdecanten per continuar a la universitat. D’altresescullen l’empresa privada, de perfil ampli isectors diversos. S’ofereixen feines ben remu-nerades en projectes motivadors i atractius.Totes dues opcions son reconegudes socialmenti connoten un cert prestigi. A l’altra banda,

hi ha l’opcio de l’ensenyament. D’entrada, calcursar una formacio pedagogica, el Master deformacio de professorat d’educacio secundariaobligatoria i batxillerat. La durada es d’uncurs escolar i aixo podria tirar enrere aquellsqui tenen ganes d’una rapida incorporacio almercat laboral i no tenen cap experiencia enel camp de l’educacio. A mes, es una feina pocreconeguda, en que els continguts treballats ala universitat quedaran lluny del dia a dia.Potser aixo tambe es un motiu pel qual elsgraduats en Matematiques prefereixin buscaruna sortida professional mes rapida i en que elscontinguts apresos tinguin una aplicacio mesdirecta i visible.

Un professor de matematiques te l’opor-tunitat de transmetre el gust i la passio perles matematiques a tots els seus alumnes.Cada dia i a cada grup procura connectar,tambe intentara que els alumnes s’emocioninen el seu dia a dia a l’aula. I els alumnesho perceben, distingeixen perfectament quanel seu professor ho viu i sent la materiacom a seva.

Per aixo, penso que seria bo enfortir vinclesentre les escoles i universitats oferint la possi-bilitat de viure petites experiencies a les aulesde secundaria als estudiants de matematiques.D’aquesta manera, els alumnes de les escoleses podrien nodrir de l’energia d’aquells quisenten les matematiques. Sempre es positiuoferir nous punts de vista. Els universitaris

64 SCM/Notıcies 43

podrien viure una aproximacio del que es serprofessor. Les persones som l’actiu mes gran dela nostra societat i, per tant, hem de vetllarper la nostra formacio en el sentit mes ampli.A traves d’aquest tipus d’activitat es podriapotenciar el talent matematic a les aules delsnostres instituts i, de retruc, a les aules de lesnostres universitats, i alhora enriquir tota lasocietat. Perque a traves de les matematiquespodem formar persones competents, autonomesi crıtiques.

Ser professor de matematiques es una feinamolt viva, dinamica i plena de reptes, esestimulant i satisfactoria.Pregunta 2Es evident, doncs, que per ser professor calestar format. I no unicament en la propiamateria, sino tambe en el sistema educatiu,en pedagogia... en tots aquells aspectes realsque ens trobarem a les aules dia rere dia,on el nostre objectiu es col·laborar en laformacio dels nostres alumnes a traves del’ensenyament de matematiques. Aconseguintque siguin competents matematicament, quetinguin habilitat per desenvolupar i aplicar elraonament matematic per resoldre problemesdiversos en situacions quotidianes.

Per aconseguir aquest repte cal que elprofessorat estigui format en matematiques, enunes matematiques basades en el raonament ino unicament en la reproduccio metodologicad’activitats i procediments.

Per aquest motiu, crec que els futurs pro-fessors de matematiques han d’estar formatsen graus amb un alt component cientıfic i/otecnologic que garanteixi que la formacio ma-tematica que han rebut estigui basada en elraonament i el rigor.

Aixı, podrem continuar potenciant el talentmatematic a les nostres aules i en la nostrasocietat.

Joan de Sola-Morales RubioUniversitat Politecnica de Catalunya

Pregunta 1Jo puc respondre pel que he vist. He parlatd’aquest tema en diverses ocasions amb estu-diants del grau de Matematiques de la FME,pero no he fet un sondeig ben fet, ni moltmenys. Tambe dire que no estic segur de siun sondeig ben fet serviria de gaire. Ens cal,

mes aviat, alguna iniciativa seriosa i sensata,per part del Departament d’Ensenyament, deles universitats o dels mateixos ensenyants.

Una impressio que jo tinc es que els es-tudiants del grau de Matematiques, que sonbons estudiants, no tenen bons records deles classes de matematiques que van rebre al’ensenyament secundari o al batxillerat. Noparlen pas malament dels seus antics professors,pero si que denuncien un ambient en que lesganes d’aprendre i la confianca en el treballestaven forca absents. Tambe diuen que els seusantics professors havien d’estar mes pendentsde l’ordre en el funcionament normal de laclasse que no pas dels continguts, i ells no volendedicar-se professionalment a aixo.

L’altra impressio es que en aquest mo-ment els graduats en Matematiques tenen moltbones ofertes laborals que provenen del mon del’empresa. Petites empreses molt dinamiques,que barregen tecnologia punta amb una actitudmolt creativa.

Com es pot pal·liar aquest problema? No hose. Pero estic segur que una millora substancialdel sou dels ensenyants, juntament amb unacces ben competitiu, pero simple, als contrac-tes com a professor, si mes no a l’ensenyamentpublic, canviarien ben aviat la percepcio de laprofessio, tant entre els ensenyants mateixoscom en la societat en general.

SCM/Notıcies 43 65

Pregunta 2

No vull semblar carrinclo, pero per ser professorde matematiques, el primer que es necessitaes estimar les matematiques. El segon quenecessita es coneixer be les matematiques. I latercera cosa, estimar la feina de mestre o pro-fessor. M’han sortit aquestes caracterıstiquesen aquest ordre, pero accepto que aquestestres coses tambe tenen sentit en qualsevol altreordre (dels sis possibles).

Quan dic estimar, no vull dir ne-cessariament cap cosa romantica ni apassio-nada, encara que la passio mai no fa mal. Vulldir que no pot ser que els professors vagin demala gana a classe, com qui va a l’escorxador,o que vegin tota innovacio en el programa comuna dificultat insalvable.

Accepto que aquestes tres condicions quejo poso poden ser utils a l’hora de seleccionarun professor, pero que no es aixo el quese’m pregunta. Se’m pregunta per la titulacio.Exactament, se’m pregunta per la titulaciouniversitaria.

Comencem per aquı. Jo crec en la universi-tat. De vegades tinc dubtes, pero poquıssimesvegades he pensat seriosament que hi hauriaun camı alternatiu a la universitat, pel que

fa a la formacio superior. O sigui, crec queels professors de matematiques de l’ESO i elbatxillerat han de tenir formacio universitaria.

Quina formacio? En l’actual panorama detıtols, crec que han de tenir un grau i unmaster. L’ideal, per mi, seria un grau enMatematiques amb continguts generals amplis,incloent tambe algun tema molt especialit-zat, pero incloent necessariament nocions deles principals aplicacions actuals de les ma-tematiques, com ara la fısica, les tecnologi-es de la informacio i la comunicacio i lestecnologies industrials. Un grau tambe ambcontinguts culturals, com ara la historia de lamatematica, i de la ciencia i tecnologia, i tambeen aspectes relacionats amb humanitats i l’arto la musica.

Despres d’un grau en Matematiquesd’aquest tipus, jo m’imagino un masterd’ensenyament de les matematiques, de caireeminentment practic i professionalitzat.

Pero tambe haurıem d’estar oberts a altresitineraris. Per exemple, graduats en educacioprimaria o graduats en graus de ciencies o d’en-ginyeria, o altres. Segons l’itinerari, el masterhauria de tenir una orientacio o una altra,mirant de suplir les parts amb mes mancancesen la formacio rebuda.

EmpresaIntegracio dels matematics a l’empresaAleix Ruiz de VillaDoctor en matematiques (UAB)Cap de Data Science a Onna

Els matematics historicament no han tingutproblema a trobar feina. La seva manera depensar ha fet que puguin exercir en diversesposicions. Historicament, les sortides mes ha-bituals eren quedar-se a la universitat o passaral mon de l’ensenyament secundari. En els inicisdel desenvolupament de la informatica moltmatematics van anar a treballar com a progra-madors perque se’ls valorava la seva manerad’estructurar els problemes. Mes tard, hi vahaver una forta demanda en el mon financer,ja que es requerien coneixements d’algoritmes

complexos, com per exemple els de valoraciode derivats. A mes d’aquestes sortides, hi hahagut matematics en molts diversos ambitsprofessionals, des de les enginyeries fins a lapolıtica.

Malgrat tenir bona fama per resoldre pro-blemes complexos, dins de les empreses s’hanintegrat en altres departaments i raramenttenen visibilitat social i professional com acol·lectiu. En general, mes enlla de la capacitatd’estructurar els problemes, no es habitual

66 SCM/Notıcies 43

trobar una feina en que els coneixementsmatematics (metodes, tecniques, algoritmes,etcetera) siguin un avantatge competitiu. Aixoesta canviant amb el mon del data science,on es requereixen molts matematics i fısics, ion tenir coneixements optimitzacio i estadıstican’es un requeriment.

Per entendre com es pot integrar la comu-nitat matematica en el mon empresarial, calentendre primer una mica el context. Tambe calentendre, en aquest context, quines avantatgesi desavantatges surten de manera natural.

Com fan beneficis les empreses?

A grans trets, les empreses fan beneficis de tresmaneres. La primera es millorant el producteque desenvolupen: optimitzant el proces deproduccio i reduint costos, donant nous serveis,millorant-ne la qualitat, etcetera. Per aixo calun coneixement tecnic del que es ven i els seusprocessos de produccio. La segona manera esa traves d’influencia o intervencio social, comper exemple, fent campanyes de marquetingper convencer els clients de la bona qualitatdel producte. En aquesta categoria no nomeshi entraria la relacio amb el client, sino quetambe es podria considerar buscar aliances ambaltres empreses, relacionar-se amb personesinfluents, o inclus la mateixa organitzacio socialinterna de l’empresa. En aquesta estrategia messocial, l’objectiu es obtenir recursos i suportsocial del teu projecte. La tercera opcio esjust l’entremig: saber com modificar el teuproducte per satisfer les necessitats del teuclient. Aquesta estrategia, a diferencia de la so-cial abans comentada, no consisteix a intentarcanviar els teus clients, sino que busca entendreel producte i els clients per apropar l’un al’altre.

Els matematics, per la nostra formacio,tenim certes avantatges en la part tecnica.Aquı ens sentim com a casa. Pero la manerade pensar matematica ens pot confondre enl’ambit social. A vegades veiem moltes inefi-ciencies tecniques i no entenem com empresestan ineficients poden creixer tant i donar tantsbeneficis. La resposta es aleshores que estanobtenint beneficis a traves tecniques socials. Defet, es possible que historicament hagi tingutmes repercussio en els beneficis la manipulaciosocial que la manipulacio tecnica.

Hi ha algunes diferencies fonamentals entrel’ambit tecnic i el social que si no es tenen encompte no et permeten relacionar-t’hi d’unamanera fluida. Heretant del model cientıfic,els matematics treballem amb una naturalesaque funciona segons unes lleis fixes i immu-tables. Pero aquesta manera de pensar enspot confondre en l’ambit social, on les lleisde comportament estan determinades per lamateixa societat, son variables, i son alteradespels actors socials! A mes a mes, en l’ambitsocial, resulta molt mes difıcil trobar quecausa que. Si un directiu decideix organitzarl’empresa d’una manera diferent i al cap d’untemps l’empresa obte mes beneficis, es gracies ala nova organitzacio? Es perque el mercat creix?Es deu a la inercia d’altres canvis que s’havienfet anteriorment? O be a altres canvis quehan passat recentment? Respondre aquestespreguntes requeriria una analisi no trivial. Itenint en compte que s’estan prenent decisionsconstantment, entendre els efectes de les nostresaccions es una tasca molt complicada.

Una altra diferencia essencial es la prioritatque es dona al que i al com. Mentre queen ciencia l’objectiu es entendre com son lescoses, en les estrategies socials obtens bonsresultats si convences la resta de gent queles coses son (almenys parcialment) com tudius (i no necessariament com son en realitat).Aixo fa que la gent s’afegeixi o doni suportal teu projecte en forma de temps, energies,recursos, informacio, contactes, etcetera. I, peraconseguir-ho, hi ha metodologies ampliamentutilitzades que en el mon cientıfic estan malvistes. Per exemple, en polıtica es molt frequentque la gent sigui ambigua. Ho fan per notancar portes i obrir el ventall de possibilitatsa mantenir pel futur. Ser ambigu no funcionanecessariament sempre. Pero hi ha molts casosen que pot ser util. La ciencia i, en particularels matematics, fugim de l’ambiguitat, perquees una font de problemes. Es pot fer unaargumentacio similar amb el paper de fer sorollo crear contradiccions, que poden tenir unautilitat en el mon del marqueting, per exemple,pero que la tenen en molts pocs casos enmatematiques.

En la tercera possibilitat, buscar la ma-nera d’adaptar el producte als teus clients,els matematics hi poden tenir un paper moltrellevant. En el mon digital, la possibilitat

SCM/Notıcies 43 67

d’experimentar (fer canvis en pagines web oaplicacions) es molt mes alta que en el mon fısic.Moltes pagines web i apps practiquen l’A/Btesting, en que aleatoriament a cada un delsusuaris es mostren una de dues versions delproducte i, finalment, s’analitza quina de lesdues versions te resultats millors. D’aquestamanera, es poden crear hipotesis de com escomporten els usuaris i comprovar-les o refutar-les. Basant-se en l’estadıstica i les eines decausalitat, els perfils cientıfics poden dissenyar,analitzar i interpretar els efectes que poden te-nir canvis de producte en els clients, i, per tant,en els beneficis. Aquest es un canvi estrategicimportant, perque saber com es comporten elsclients deixa de ser una area d’opinio i passaa ser una area comprovable i objectivable. Pertant, deixa de pertanyer a l’area social i passaa ser de l’area tecnica.

Gestio de la complexitat

Recurrentment apareix la pregunta sobre sien el passat es vivia millor. Evidentment,no es tenien les eines i el coneixement quehi ha ara, pero d’altra banda desenvolupari mantenir aquestes eines pot tenir un costexcessiu en termes de diners, temps, lliber-tat. . . No es una pregunta facil de respondrei molt probablement dependra de cada cas.El que sı esta clar es que la vida laboral escada vegada mes complexa. S’han de tenirconeixements de mes ambits, s’han de coneixermes eines i obtenir bons resultats depen demolts mes factors. En realitat, en la vidalaboral apareixen una varietat de situacionstant de senzilles com de complexes, i la graciaesta a donar una resposta adequada a cadasituacio. Es un error intentar donar solucionssenzilles a problemes complexos, pero tambees una ineficiencia i font d’incertesa fer servirsolucions molt complexes per a problemes messenzills. Com a matematics, estem acostumatsa treballar amb problemes complexos i aixo ensdona un avantatge competitiu. Aquesta es unacondicio necessaria per accedir a tot el rang deproblemes. Pero no n’hi ha prou! Gestionar lacomplexitat vol dir ajustar la complexitat dela solucio a la complexitat del problema. Esa dir, fer servir l’eina adequada, en termes decomplexitat, per a cada problema. No aplicar,per defecte, solucions molt elaborades o solu-

cions molt simples. I cada problema es un casparticular!

Capacitat d’exploracio

En una empresa on vaig treballar, tenıemdiscussions regularment amb el departamentd’informatica. Jo volia provar tecnologies no-ves i algoritmes nous i ells tenien una visioconservadora del tema. En realitat, ells haviende mantenir un sistema que dones servei les24 hores del dia i per aixo havia de serun sistema robust, segur i estable. La faltad’entesa venia en realitat perque parlavem desde perspectives diferents. Ells se situaven enl’ambit de l’explotacio, repetir quelcom conegutdiverses vegades per obtenir-ne benefici, i joem situava en l’ambit de l’exploracio. Aquestaultima vindria a ser una versio de la recercaacademica, adaptada a l’ambit empresarial.Mentre que la recerca vol trobar coneixementsque eren desconeguts per a tothom, l’exploraciobusca trobar coneixements que son nous per al’empresa, independentment de si son conegutsper la resta de la societat o no. Explorar potvoler dir aprendre un llenguatge de programa-cio nou, pero tambe vol poder dir desenvoluparun algoritme nou (que estigui publicat o no).Les activitats d’exploracio no son propies d’undepartament, sino que poden ser transversals.Es tracta de provar noves metodologies, disse-nyar i executar experiments, buscar noves viesde negoci, etcetera. Els casos en que l’empresaassigna les activitats d’exploracio a un soldepartament solen fallar, ja que acaba sent unlaboratori aıllat que no pot integrar els nousdescobriments a la resta de l’empresa i, pertant, d’utilitat limitada. Hi ha casos en quetenir aquests tipus de laboratoris es nomes unaquestio de prestigi envers altres empreses, perono busquen que siguin realment utils aportantnous coneixements. L’exploracio esta focalit-zada en el mitja i llarg termini. Es realmentnecessaria quan l’empresa esta en un con-text que canvia regularment. Sense activitatsd’exploracio, les empreses no tenen marge demaniobra quan realment necessiten fer canvisimportants. Aquests canvis s’han de prepararamb antelacio. Aquı els matematics tambehi tenen un paper rellevant. Moltes vegadesles matematiques es pregunten si quelcomes pot fer o no i tracten de bregar amb

68 SCM/Notıcies 43

conceptes nous o desconeguts. Com a ma-tematic, acostumes a fer una gestio de lesenergies i expectatives que no et frustri obloquegi i que et permeti continuar explorantde manera sostenible.

Visibilitat

Probablement, una de les tasques pendents dela comunitat matematica al mon empresariales guanyar visibilitat. Malgrat que hi ha gentque no te un bon record de les matematiques al’escola, en totes les empreses, quan saben queets matematic, sempre hi ha algu que et diuque li agradaven molt. En general, pel que faa l’eficiencia, els matematics tenen bona fama.Mes enlla d’aixo, la comunitat matematicano te gaire visibilitat. Si en tingues mes, escontractarien mes matematics, els estudiantsdesitjarien aprendre mes matematiques i lesuniversitats podrien incrementar projectes derecerca aplicada a les empreses, i indirectament

podrien tenir mes recursos per continuar fentrecerca basica.

Com guanyar visibilitat es un tema genstrivial. A primeres pot semblar un tema demarqueting, pero amb aixo no n’hi ha prou, caltambe aprendre a fer polıtica. Molts directiusvenen d’una escola amb poca tradicio tecnica.Moltes vegades no entenen les possibilitats irestriccions tecniques. El mon digital es unexemple on el coneixement tecnic hi te moltper aportar, tant per desenvolupar noves eines iaplicacions com per entendre millor els usuaris.I, a la vegada, es necessari que els directiusentenguin noves maneres de fer i nous tipusde problemes. La polıtica es una assignaturadifıcil per a perfils cientıfics. Tal com remarcavaabans, fer soroll i ser ambigu son exemplesde practiques en polıtica que son difıcils d’en-tendre des del punt de vista cientıfic. Cal,doncs, trobar estrategies compatibles i eficientsque permetin evolucionar a la comunitat ma-tematica cap alla on es consideri necessari.

Entrevista a Aleix Valls, CEO de LiquiDSara RieraLlicenciada en Matematiques i Enginyeria IndustrialManager d’Estrategia Corporativa a Seat

L’Aleix va iniciar la seva trajectoria profes-sional al CIMNE (Centre Internacional deMetodes Numerics de l’Enginyeria), on va ferla tesi doctoral vinculada al mon de la compu-tacio. Posteriorment, va treballar en consultoriaestrategica i de negoci en que, en paraulesseves, «contrariament al que pensa molta gent,tenir un bagatge tecnic profund no es cappenalitzacio, sino un avantatge». A continuacio,va agafar la direccio de la Barcelona MobileWorld Capital (MWC) i el desenvolupamentde la plataforma del 4YFN, i actualment es elCEO de LiquiD, empresa de la qual tambe n’escofundador i que te com a objectiu ajudar lesorganitzacions a entendre els canvis de paradig-ma actuals i fer-los mes tangibles per redefinir ireconstruir conjuntament les empreses del seglexxi. LiquiD funciona com una plataforma ambles capacitats necessaries per analitzar i definirquins seran els principals canvis en la cadena

de valor i com transformar-los en oportunitatsde negoci.

Aleix, les matematiques estan per totarreu?

Actualment, mes que mai. Sempre hi havienestat pero, avui en dia, disposem de suficientsdades i alhora del coneixement necessari perentrar en una formulacio mes matematica dela nostra societat.

Com es formula la societat d’una manerames matematica?

D’alguna manera, ens hem transformat en unasocietat algorıtmica i del model: els negocis es-tan immersos en un proces de digitalitzacio quefa que camps com l’internet de les coses (IoT),el big data, el data science, el data engineering ola intel·ligencia artificial (nomes per enumerar

SCM/Notıcies 43 69

alguns exemples) tinguin cada vegada mes im-portancia. I aquestes disciplines ens permetentreure de l’armari eines molt sofisticades queara les podem transformar en matematicaquotidiana.

S’obre una finestra d’oportunitat molt im-portant per a les matematiques i el que encaraes mes esperancador es que tot just ho comen-cem a veure.

Per que creus que aquest momentum deles matematiques arriba precisament ara?

Actualment convergeixen tres elements queson fonamentals per assolir aquest punt: l’a-bundancia de dades (estem generant i recollintmes dades que mai), la capacitat de processa-ment i d’emmagatzematge d’aquestes dades apreus molt reduıts, i la capacitat computacionalper poder entendre que hi ha darrere d’aquestesdades.

Les dades han fet aflorar la importanciade les matematiques.

Les dades i l’algorıtmia; el matematic es especi-alment brillant a l’hora de dissenyar algoritmes.Pero el cert es que tampoc ho limitaria nomes aaquests aspectes, es la matematica en general.Fa poc vaig fer un curs de Stanford en lınia entemes d’intel·ligencia artificial i no t’enganyosi et dic que, de les cinc-centes pagines delllibre, tres centes te les pots saltar nomesper la formacio matematica: si recordes quevol dir la matriu de variancies-covariancies,que es una regressio lineal o que son elsmınims quadrats, es molt facil entendre elmoment actual.

I si no te’n recordes es un moment perabsorbir-ho.

Exacte. Si no te’n recordes, es un bon momentd’anar buscar la referencia i amb quatre cosestens els elements basics per endur-te la capa devalor.

Com a matematic i enginyer de camins,que t’ha aportat el perfil interdisciplinarien la teva carrera professional?

La matematica te profunditat i l’enginyeriate l’obsessio per trobar solucions. A l’hora

d’incorporar-te al mercat laboral, la ma-tematica et dona una capacitat extraordinariad’estructura i d’entendre problemes de qual-sevol ambit, i l’enginyeria et dona allo que licosta al matematic, que es el call to action:aquella necessitat de reconeixer que el problemaes podria modelitzar, i que es podria determinard’una manera molt mes universal i profundael fenomen, pero que la realitat es que «elpont el necessitem per dema i d’acord amb unpressupost».

El mon dels negocis requereix els doselements: la necessitat de tenir una visiopragmatica perque les coses passin, i passin dinsd’un temps raonable i amb la fiabilitat de poderdisposar d’una solucio, i la visematica d’enten-dre les hipotesis d’un problema i formular unatesi sobre la qual es pugui treballar per modelarel que esta passant.

En el mon empresarial en general, i enl’emprenedoria en particular, la pressiopel call to action i pel resultat immediates encara mes forta. Creus que aixo fa quehi hagi dificultat per encaixar-hi perfilsmatematics?

El mes bonic que te el mon dels emprenedorses que assumeixen que hi ha un call to actionque els serveix per validar. I aixo te un sımil,per exemple, amb el moment en que intentesdemostrar un teorema. Estas davant d’un pro-blema matematic i has de trobar una solucioo demostracio: sı que es veritat que respiresi intentes buscar punts logics, pero moltesvegades el que has de fer es posar-t’hi, explorarun camı i si veus que el camı no te sentit,tornes enrere, tornes a comencar o construeixesun altre camı a partir d’alla. Aquest proces

70 SCM/Notıcies 43

d’iteracio, molt natural en el matematic, on esva aprofundint en el problema i es va afinantcada cop mes el camı que permet arribara la solucio, es bastant similar al conceptede lean start-up: un proces de refinament enque estableixes unes hipotesis i el que fas esrapidament, i rapidament perque no tens re-cursos per perdre el temps, anar validant i anarconstruint una validacio de les hipotesis denegoci.

En el meu cas, en totes les etapes pro-fessionals, tambe les mes recents molt vincu-lades a l’emprenedoria, he vist l’encaix ambla visio matematica i d’estructuracio mentalque tinc. De fet, em considero molt mesmatematic que no pas enginyer des d’aquestpunt de vista.

Jo crec que no ets l’unic.

Es que la matematica es bonica, es apassionant,i es un cos doctrinal tancat. Jo sempre faigun sımil: a l’enginyeria t’ensenyen una caixad’eines, et van explicant cada eina com s’utilitzai et diuen: «Si aprens a utilitzar-les be i acombinar-les, aixo et permetra resoldre unaserie de problemes». Amb la matematica etdonen la capacitat d’inventar les eines quenecessitis i la capacitat d’entendre per a que. Iaixo les fa molt mes interessants des d’un puntde vista intel·lectual.

A mes, la matematica te un valor que note res mes que el coneixement huma: la veritatabsoluta. En aquest aspecte, quan entres en unavisio mes filosofica, la disciplina matematicaes extraordinaria. Proporciona unes sensacionsmolt diferents. Demostrar un teorema no te resa veure amb resoldre un problema.

Potser per aquesta visio mes filosofica,tradicionalment s’ha associat els perfilsmatematics a la investigacio, a la recercao a la docencia, sense tenir gaire presentsaltres ambits de la societat, com el monempresarial o la gestio publica. Creus quehan estat els grans oblidats o be en elsultims anys hi ha hagut un canvi moltimportant?

Estem anant cap a un mon molt mes mate-matitzat. Fara un mes, em van convidar a feruna conferencia sobre transformacio digital a

Xile com a part d’un congres sobre el futurde les assegurances i l’impacte de la digitalit-zacio en aquest ambit. Dels cinc ponents, treserem matematics. Fa deu anys era impensableque en una conferencia d’assegurances tresdels cinc ponents fossim matematics i queno estiguessim parlant dels models vida i no-vida, sino que estiguessim parlant del futurde les assegurances, d’analisis de mercat imodels sociologics, d’innovacio o, en el meu cas,de temes digitals.

I hi ha altres ambits empresarials, o perexemple la polıtica, on tambe veiem aquestapresencia mes destacada de matematics. En lagestio d’universitats, si no recordo malament,dels set rectors d’universitats que hi ha, quatreson matematics.

Jo penso que l’origen construeix en elsdos sentits. Els matematics per si mateixoss’han autoimposat durant molt de temps unavisio poc pragmatica del seu coneixement, ihi hagut una certa profecia d’autocompliment:estudiaves matematiques i et quedava el mondocent en tots els vessants (primaria i se-cundaria incloses), el mon de la recerca, i obe hi havia l’ambit cientıfic i academic. Sivolies desenvolupar-te havies d’anar a un grancentre, un Max Planck, a buscar la maximaexposicio a la comunitat. I era un cercle viciosque la mateixa comunitat tambe et reconeixiaen funcio de la valua que tenies dins d’aquestmarc.

Creus que ha anat canviant progressiva-ment o que la disrupcio actual ha estatel gran detonant?

Jo recordo que quan em vaig llicenciar, cap al2000, va haver-hi una primera gran migracio demolts matematics cap al mon de la tecnologia,sobre tot amb les implantacions dels EnterpriseResource Planing ERP (Cobol, SAP. . . ), i elsprimers grans projectes de comerc electronic.Molts dels meus companys de promocio vananar cap a grans integradors per desenvolupartots aquests sistemes de gestio empresarialbasats en els ERP.

Despres aquesta tendencia va caure, lesimplantacions d’ERP van anar desapareixent,i ara estem en un moment extraordinari.Jo penso que, ara, ser matematic es se-gurament una de les millors carreres queet pots trobar.

SCM/Notıcies 43 71

Durant la crisi financera la banca tambeva ser una bona sortida per a moltsmatematics, sobretot per temes de risc, iho segueix sent.

Exacte, sempre hi acaba havent algun llocon anar, pero es que ara qualsevol sector essusceptible de necessitar un matematic.

El matematic Edward Frenkel va dir: «Hiha una petita elit que te el poder. I elte perque sap matematiques.» Qualsevolsector busca aquest «poder». . .

Hi ha diversos llibres sobre aquest tema, n’hiha un, Weapons of math destruction, que finsi tot desafia amb el concepte math i massdestruction. Bromes a banda, els postulats sonsimilars i venen a dir que al final qui tingui elconeixement matematic acabara tenint una po-sicio avantatjada en el mon i, per tant, el gover-nar. I, de fet, que qui controla la intel-ligenciaartificial te una posicio avantatjada en el mondels negocis i en el mon social, ja esta passant:Google, Amazon, Facebook. . . a dia d’avui sonqui tenen les millors dades per construir i entre-nar aquesta intel·ligencia artificial, i ara mateix,son els qui ocupen posicions monopolıstiquesi de control de molta de l’activitat sociali de molts negocis.

Quan el poder es d’uns pocs, pot passarde tot.

Hem de fer un esforc perque la matematicacontinuı sent quelcom realment obert, public,democratic en el sentit que continuı sent unbe comu i un coneixement col·lectiu. Corremun gran risc si la matematica es transforma,de cop i volta, en un coneixement que nomesuns pocs son capacos d’arribar-hi, entendre i,evidentment, gaudir-ne.

Tenim el deure de fer la matematicaatractiva per aconseguir que aprendre’nno sigui nomes necessari, sino motivador.I aixo es un gran repte.

La matematica nomes la pot explicar unmatematic. Nomes ho pot fer aquell queautenticament ha desenvolupat un coneixementmolt profund de la disciplina. Per tant, es algu

que com a mınim te la llicenciatura. Si no, la se-va visio es totalment parcial, esbiaixada, i moltmecanica de la disciplina. I, es ben cert, que lamatematica, des de la part mecanica, es moltavorrida.

El que ens esta passant ara es que quiensenya la matematica no es capac de trans-metre el valor i la bellesa que hi ha darrerede la matematica. De fet, jo em vaig apuntara matematiques perque se’m donaven be, peroel que em vaig trobar durant quatre anys dela meva vida en aquella facultat, el que joentenia que era la matematica, s’assemblavacom un ou a una castanya. Ara, tambe esveritat que jo mai de la vida vaig tenir unprofessor de matematiques que fos llicenciaten Matematiques: sempre havien estat fısics,quımics. . . que d’alguna manera havien «patit»la matematica.

Pero aixo possiblement ho sabem els delgremi, que com deies coneixem la bellesames enlla de l’eina.

Un motiu deu ser perque els del gremi segu-rament no ho fem be, i l’altre motiu es queel sistema tampoc no acompanya. Ara que lamatematica es cada cop mes una cosa que es pottocar, hauria de ser mes facil veure’n l’impactei aconseguir motivar mes persones.

Fent mes tangibles les matematiques ensallunyem de la teoria i de l’eina, per fer-ho mes atractiu.

En efecte. L’ultima conferencia de Google I/O,on va sortir la conversa entre la intel·ligenciaartificial n’es un bon exemple. Mes tangible queaixo no hi ha res.

Avui dia un jove pot agafar la llibreriaoberta TensorFlow, agafar caracters manus-crits, i en una tarda acabar programant unaxarxa neuronal a la qual li dones un numeromanuscrit per ell mateix i la maquina sapreconeixer si es un 8 o es un 9. I hi ha altresexemples, com el Scratch, l’App Inventor, quepermeten d’una manera molt rapida, a gentmolt jove, comencar a tangibilitzar aquella partque sovint li pot faltar a la matematica enedats primerenques: i hi ha una accio-reacciomolt significativa.

72 SCM/Notıcies 43

Al final, sera tan facil que no ens caldranni els matematics per ensenyar. . .Sı, perque per transmetre la base cal tenirun coneixement matematic molt profund delsprincipis de la matematica. Si tu has estat alguque nomes ha estat usuari de la matematica,es difıcil que puguis arribar a tenir aquest co-neixement, potser perque ni n’ets conscient. Unsımil molt il·lustratiu el trobem en la musica:arribar a ser capac de compondre musicaperque realment arribes a entendre l’estructuramatematica que hi ha darrere es molt diferentd’haver-ne escoltat i un dia animar-te, agafaruna guitarra i tocar quatre acords. Realment,no ets Bach. Bach entenia l’estructura de lamusica, Bach era una matematic de la musica iva entendre perfectament com s’estructurava lamusica. Bach tenia aquell coneixement profundd’imaginar-se una simfonia dins del cap, que esel que el matematic acaba fent quan enten bela matematica.

Es veritat que en el futur les ma-tematiques cobraran encara mes re-llevancia que actualment?El futur sera matematic o no sera. Si no esmatematic, col·lapsara.

Com afectara aixo la demanda de perfilsmatematics? En quins ambits creus quetrobarem els futurs llicenciats en Ma-tematiques?

Els haurem de buscar sota les pedres.La demanda de bons matematics estara moltper sobre de la capacitat de produccio. Iaixo es molt important, perque aquı tenim lacapacitat, com a comunitat, de reafirmar-nos.El que fins a dia d’avui ha estat un exerciciexcessivament metafısic i gairebe filosofic delsmatematics, es transformara en actualitat to-tal, igual que els esta passant als filosofs. Acausa del proces de digitalitzacio hi ha moltsdebats que fins ara eren purament metafısicsi filosofics, i ara es transformen en debatsgairebe d’empresa: el cotxe autonom a quiatropella, la persona gran o el nen? Aquestdebat que fins ara estava reservat a l’entelequiadels filosofs, avui es un debat d’actualitat deprimer nivell. Els filosofs, com els matematics,han passat a la primera lınia del mon empresa-rial.

Moltıssimes gracies, Aleix, pel teu temps iper compartir amb nosaltres l’experiencia quetens i les teves opinions.

BitsBits de matematiquesMartı Prats SolerUAB

Obrim aquesta seccio de la SCM/Notıcies quem’han encarregat d’escriure l’Albert i la Nataliaamb la intencio de continuar l’antiga seccioWebs de Matematiques que Pep Burillo haviadut magistralment des del numero 22 fins al 35d’aquesta revista. Hi vam poder passejar perllocs web sobre historia de les matematiques(24 i 27), algebra, geometria i sistemes dinamics(22, 23 i 25), llistes de problemes, llibreselectronics i enciclopedies (26, 27 i 29), vamconeixer humoristes, blogs i usuaris de Twitter(28, 31 i 35), eines de treball en lınia com

son la calculadora WIRIS i la imprescindibleplataforma Sagemath Cloud (34 i 35) i fins i totun joc de balıstica no newtoniana per aprendrea representar funcions (32).

La tecnologia avui dia ha esdevingutomnipresent i progressa a un ritme tan freneticque ens fa sentir vells els dies imparells i ximplesels parells. Les eines al nostre abast configurenun conjunt finit pero cada cop mes inabastableen el temps escas que disposem. En aquestanova etapa, doncs, canviem el nom i tambe

SCM/Notıcies 43 73

tractarem d’obrir una mica el focus. Centratsencara en les eines disponibles a la xarxa,mirarem d’incorporar programes i aplicacionsde mobil que puguin resultar d’interes per ala comunitat matematica. Convidem tots elslectors de la revista a aportar idees i considera-cions a l’adreca mprats@mat.uab.cat.

ProcessingDurant la nostra tasca docent i investigadorasovint ens trobem amb la necessitat d’elaboraril.lustracions de caire matematic. Un servidor,com la majoria dels lectors d’aquesta revistaamb tota probabilitat tambe fan, recorre ha-bitualment al GeoGebra per fer tot tipus dedibuixos, ja sigui de dues o tres dimensions. Elcas es que en algunes situacions m’he trobatamb la necessitat d’usar iteracions i no hetrobat la manera de fer que el GeoGebra lesexecutes de manera prou rapida o amb unaprogramacio prou senzilla, especialment quanaquestes tenen una estructura fractal.

Un bon dia, per motius que no venen alcas, em vaig trobar assegut en una sala del’Hostal Fugaroles de Sant Hilari Sacalm enuna sessio d’introduccio al Processing 2 durantun festival d’art contemporani. Simplement notenia res millor a fer en aquell moment i emva semblar que destinar una hora a aprendrea fer videoprojeccions podia ser interessant.Doncs sı. Em va servir per il·lustrar la mevatesi doctoral, que no es poca cosa.

El Processing es un programari de codiobert destinat a l’elaboracio de videoprojecci-ons, com deia, ideat per Ben Fry i Casey Reasen un grup de recerca del MIT Media Lab el2001. Es un llenguatge multiplataforma basaten Java, pero tambe te contraparts p5.js enJavascript i Processing.py en Python, totes dedescarrega lliure des del seu lloc web.

En tot programa de Processing trobemdues funcions principals. En la funcio setup()es declaren les mides de la finestra, tipus degrafic (2D o 3D, tipus de renderitzacio,...)i s’inicialitzen les funcions. La funcio draw()corre unes 60 vegades per segon (si pot i nomodifiquem els parametres). Per exemple,

1 void setup ( ) {2 s i z e (640 , 360) ; // mides de l a f i n e s t r a

3 background (0) ; // fons negre4 }5 void draw ( ) {6 // c e r c l e en l e s coordenades de l r a t o l i :7 e l l i p s e (mouseX , mouseY , 1 0 , 1 0 ) ;8 }

va dibuixant un cercle alla on posem el ratolı,deixant-ne la traca.

El seguent codi ens dibuixa un arbre fractald’alcada variable segons la posicio del ratolı:

1 f loat ang le=PI /8 ;2 void setup ( ) {3 s i z e (640 , 360) ;4 }5 void draw ( ) {6 background (255) ; //Fons blanc7 t r a n s l a t e ( width /2 , he ight ) ; // Origen de

coordenades a l c en t r e de l a parti n f e r i o r

8 r o t a t e ( PI ) ; // D i r i g i t amunt9 branca ( height−mouseY) ; // Primera i t e r a c i o

10 }11 void branca ( f loat l on ) {12 i f ( lon > 1) {// Condic i o de parada13 pushMatrix ( ) ; //Desa s i s tema de r e f e r enc ia14 l i n e (0 , 0 , 0 , lon ) ; // Dibuixa l a branca15 t r a n s l a t e (0 , lon ) ; //Mou r e f e r enc ia16 r o t a t e ( ang le ) ; //Rota r e f e r enc ia17 branca (0 . 66∗ l on ) ; //Comenca una branca nova18 r o t a t e (−2∗ ang le ) ; //Rota enre r e19 branca (0 . 66∗ l on ) ; // Sant tornem−hi20 popMatrix ( ) ; // Restaura r e f e r enc ia a n t e r i o r21 }22 }

Com pot observar el lector, en poques lıniespodem crear figures complexes. L’exemple ante-rior esta inspirat en el tutorial de fractals de Da-niel Shifmann.3 De fet, en instal.lar Processingal nostre ordinador tambe es descarreguen una

2http://processing.org/3https://www.youtube.com/watch?v=RWAcbV4X7C8&list=PLRqwX-V7Uu6bXUJvjnMWGU5SmjhI-OXef4https://processing.org/examples/

74 SCM/Notıcies 43

pila d’exemples interessantıssims.4 El mateixShifmann ens ensenya a navegar pels conjuntsde Mandelbrot i de Julia (llegiu-lo amb accenta la a) al seu canal de Youtube.5

A mes del codi basic, que inclou multipleseines de dibuix pero tambe manipulacio alge-braica de vectors i altres eines matematiques,el programari esta equipat amb tota mena depaquets per interactuar amb imatges, vıdeos isons captats en directe pel nostre ordinador.Per que no podem explicar les transforma-

cions de Mobius amb un gravat d’Escher,una fotografia de la Sagrada Famılia o lacaptura de vıdeo dels alumnes de la classeen directe?

Els programes es poden exportar com aaplicacions o, si s’usa la versio javascript, es potincrustar l’aplicacio en una pagina web tot i quees perd forca velocitat computacional respectea la versio original. Com a exemple casola, almeu lloc web podeu trobar un recobridor deWhitney.6

CulturaFermat torna al teatrePep BujosaAssociacio Catalana de GeoGebra

Pierre de Fermat torna a aquesta seccio. Fa unparell de numeros us vaig comentar un musicalque, amb el nom de The Fermat’s Last Tango,es va estrenar a Nova York l’any 2000. Doncsbe, durant el mes d’abril i maig s’ha representat

a Barcelona una altra obra basada en el famosteorema de Fermat. El tıtol d’aquesta novaversio es El Misteri de Fermat i s’ha pogutveure al Teatre Almeria del barri de Gracia deBarcelona.

5https://www.youtube.com/watch?v=fAsaSkmbF5s6http://mat.uab.cat/%7Emprats/Whitney.html

SCM/Notıcies 43 75

El grupEl grup responsable del muntatge es el Teatrede l’Enjolit. Es una companyia que neix l’any2007 a Barcelona com a grup de treball iexperimentacio a l’Institut del Teatre. La sevaprimera obra va ser Potser Somniar (premiAdria Gual 2007 de l’Institut del Teatre).D’altres obres d’aquest grup son En la pri-mavera perpetua (2007); Si no ens paguen, nopaguem! (2013); El sete cel (2014). L’any 2015van rebre el premi de la crıtica Serra d’Or ambaquesta distincio: «Per l’aposta en els vostresmuntatges per un teatre polıtic de forta carregasocial, que reivindica la necessitat d’un teatrecompromes amb el seu temps».

Aquesta obra es, per tant, un canvi en latrajectoria del grup. Com ells mateix diuen:«Ara ens plantegem un nou repte. Un espec-tacle sobre les matematiques. A traves de lahistoria de l’ultim teorema de Fermat, volemtransmetre l’amor per la ciencia, el repteapassionant d’enfrontar-se a un enigma i, endefinitiva, descobrir un mon que sovint se’nspresenta com hermetic pero que amaga unaenorme bellesa».

L’autor i director es Albert Alemany. S’habasat, principalment, en el llibre de Simon

Singh El enigma de Fermat. Nomes quatreactors en escena (Elies Barbera, Jenny Bea-craft, Arnau Marın i Andrea Portella) que in-terpreten 25 personatges. Andrew Wiles es moltben interpretat per l’actriu Andrea Portella.Ningu representa Pierre de Fermat, tot i queesta sempre molt present.La tramaL’obra comenca amb una escena impactant.Apareixen Andrews Wiles i tres personatgesmes, vestits amb bates blanques. Van amb elsulls tapats i intenten avancar sense ensopegaren una habitacio amb mobles que els dificultenel pas. En Wiles, encara amb els ulls tapats, esdirigeix al public i diu: «Tal vegada la millormanera de descriure la meva experiencia en fermatematiques sigui la d’entrar en una habitaciofosca, molt fosca. Vaig avancant amb compte,primer ensopegant amb els mobles i, de micaen mica, vaig aprenent on esta cada moble.Finalment, despres d’uns sis mesos, trobesl’interruptor i encens el llum. De cop i volta,tot queda il·luminat i pots veure exactamenton ets». Amb aquesta frase, l’autor de la quales el mateix Wiles, comenca la funcio i jaens presenten una de les caracterıstiques de larecerca matematica que aniran desenvolupant:la perseveranca necessaria per avancar, entre lafoscor inicial, fins a trobar la idea brillant queportara cap a la solucio.

Despres d’aquesta declaracio d’intencions,l’obra tracta quatre aspectes diferents.

• El teorema de Fermat. Teoremes idemostracions.Presenten el teorema de Fermat d’una ma-nera molt entenedora i el comparen amb elteorema de Pitagores. Expliquen tambe lafamosa frase que Pierre de Fermat va escriureel 1637 al marge del llibre Aritmetica deDiofant: «He descobert una demostracio veri-tablement meravellosa d’aquesta proposicio,pero aquest marge es massa estret perquehi capiga». Aquest es l’enigma que es vamantenir durant mes de 300 anys. Tambe fanservir uns quants cubs de cartro que formenuna petita paret per exemplificar la solidesad’una estructura matematica, en que cadateorema demostrat serveix de base per a unaltre. Si traiem un cub de l’estructura perqueun teorema es fals, tota l’estructura trontollai pot caure.

76 SCM/Notıcies 43

• Repas historic dels intents de demos-tracio dels teorema.Fan un recorregut dels avencos parcials dela demostracio a traves de la historia. Enaquesta part van sortint els grans matematicsque hi van treballar. Veiem interpretacions,en molts casos, forca ironiques, de MarinMersenne, Rene Descartes, Pascal, Euler(amb el seu gos E), Sophie Germain, Cauchy,Legendre, Gauss i Ernst Kummer, entrealtres.

• Yukata Taniyama i Goro Shimura.Una altra part de l’obra esta dedicada ala relacio entre Taniyama i Shimura. Veiemquan es coneixen al Japo, quan comencen acol·laborar i quan enuncien la seva sorpre-nent conjectura. Les formes modulars i lescorbes el·lıptiques habiten regions completa-ment diferents del cosmos matematic i ninguhauria cregut que existia la mes mınimarelacio entre els dos temes. No obstant aixo,Taniyama i Shimura van suggerir que lescorbes el·lıptiques i les formes modulars sonen realitat una sola cosa. D’aquesta manerapodien unificar els mons modular i el·lıptic.En aquell moment encara ningu no ho sabia,pero aquesta conjectura seria fonamental pera la demostracio del teorema de Fermat.

• Andrew WilesUna part important de l’obra esta dedicadaa la figura d’Andrew Wiles, com no po-dia ser d’una altra manera. Ens ensenyen,amb unes projeccions forca suggerents, comdes de petit estava interessat en els llibresd’enigmes matematics i que en una ocasiova trobar, en un d’aquests llibres, l’enunciatdel teorema de Fermat. Va quedar sorpres

per la seva aparent senzillesa i del fet queencara ningu no l’havia pogut demostrar.Tambe veiem el seu pas per la Universitat deCambridge, fent la seva tesi doctoral sobrecorbes el·lıptiques. Despres aconsegueix unacatedra a la Universitat de Princeton. Quanja esta instal·lat alla, veiem com un amic liexplica que en un congres a Alemanya s’haviademostrat la relacio entre la conjectura deTaniyama-Shimura i el teorema de Fermat,de manera que qui demostres la conjecturademostraria el teorema, perque la primeraimplicava necessariament el segon. Aquestaescena es el punt de partida de la recercade Wiles. L’ultima part de l’obra ens mostrala feina individual i secreta, al seu estudi,de la demostracio de la conjectura deTayinama-Shimura que el portaria a de-mostrar directament el teorema de Fermat.Veiem la perseveranca i els esforcos per sortirde la foscor inicial fins a arribar a la llum dela demostracio. Exposa la seva demostracioa Cambridge i poc despres hi troben unainconsistencia que fa que torni al treballd’una manera desesperada fins a arribar a lademostracio definitiva. Mes de vuit anys defeina intel·lectual per resoldre un enigma demes de tres-cents anys d’antiguitat.

El final de l’obra es tambe forca impactant.Tenim en Wiles en escena, explicant al public laseva satisfaccio per la feina acabada. Ressaltala bellesa i l’harmonia de la demostracio, queson fites sempre presents en el treball ma-tematic. Surt d’escena i es projecta una part delprograma que la BBC li va dedicar. Apareix enWiles de veritat fent una reflexio sobre el queva sentir al final de la demostracio. S’emocionatant que no pot acabar la frase.

SCM/Notıcies 43 77

L’obra te un caracter divulgatiu i didacticmolt important i esta pensada, sobretot, pera joves estudiants de batxillerat i tambe peral professorat de secundaria. La seva efectiva isenzilla escenografia fa que es pugui representaren locals no gaire preparats. S’expliquen con-ceptes com teorema i demostracio, es valora larecerca de la bellesa i l’harmonia a l’hora de fermatematiques i el repas que es fa d’una partde la historia de les matematiques es mes quenotable.

Col·loquis

Vaig tenir l’oportunitat de veure l’obra duesvegades. En tots dos casos, al final de la repre-sentacio, hi va haver un col·loqui entre l’autor-director, els actors i el public. A continuacioreproduire una seleccio de preguntes i respostesd’aquests col·loquis.

Per que heu passat de fer un teatre polıtica una obra sobre matematiques?

(Autor-director) En realitat hem volgut co-mencar una nova lınia i obrir-nos a nouspublics. Veiem que en aquesta historia hi haviaun gran potencial, que podia anar dirigit a unpublic mes jove, a estudiants? Es una maneradiferent d’apropar-se a les matematiques, nohermetica sino des del joc. Tambe veiem quepodria tenir interes per a la gent aficionada a laciencia i per aixo hem fet unes funcions obertesal public en general.

D’on has tret la informacio per escriurel’obra?

(Autor-director) Descobreixo aquesta historiallegint el llibre El enigma de Fermat de SimonSingh i veig que, tot i que jo soc de lletres, vaigaprenent coses que desconeixia. A la vegada,em va seduir molt la historia en si mateixa.Vaig descobrir tambe que la simplicitat i laprofunditat que pot tenir una obra d’art, compot ser un poema o un quadre, tambe ho te unteorema. En el mon educatiu moltes vegadesse separen els conceptes entre ciencies i lletresi, en canvi, veia que es poden trobar punts encomu. Aixo em va seduir. A mes, em vaig ferla pregunta, que mou un matematic a estarvuit anys tancat per demostrar un teorema? Unteorema que no te una utilitat directa. . . Aixotambe em va cridar molt l’atencio!

Interpreteu 25 personatges i nomes souquatre actors. Com us ho feu?(Actor) Es divertit. Ens ho hem pres des dela perspectiva d’un joc. I pensant molt en elpublic que tindrıem, que tambe era nou pera nosaltres. Pensavem com podrıem atreurel’atencio de joves de 16, 17 o 18 anys i com jugaramb ells. Pero sempre intentant no tractar-losd’idiotes, com es fa de vegades.

Com ho has fet per caracteritzar elsdiferents matematics que van sortint?(Autor-director) N’hi ha alguns que son mesfidedignes com Descartes o Euler, que tenienuns egos molt forts. En canvi, amb altres hemfabulat una mica i ens hem tirat a la piscina.Hem buscat mes la complicitat, la comicitat,cercant un ritme mes de comedia, fins i totportat a l’extrem.Ressalteu el paper de la dona ma-tematica?(Autor-director) Una de les coses que m’headonat es que hi ha unes histories apassionantsdarrere dels grans matematics. Unes historiesmolt humanes pero increıbles. Em va cridarmolt l’atencio el cas de Sophie Germain, unadona de finals del xviii que no pot estudiarmatematiques perque es dona. Se les empescaper agafar la personalitat d’un home i aixıpoder seguir els cursos a la universitat. Nomesaquesta historia ja donaria per fer una altraobra. Ho he volgut remarcar.

Per aixo tambe vau decidir que el perso-natge d’en Wiles el faria una actriu?(Autor-director) No, no. La veritat es que no vaser pensat inicialment. Va ser circumstancial.

Coneixeu el musical The Fermat’s LastTango que tambe tracta el tema?(Autor-director) L’hem conegut quan la nostracreacio ja estava molt avancada. Ens vamadonar que estavem fent una cosa totalmentdiferent. Per tant, no ens va influir en res.

Esperem que es trenqui el topic queels matematics som persones estranyes.Tambe ens agrada el teatre i l’art. . .(Autor-director) Tambe ho volem mostrar. Espoden connectar les matematiques amb l’art.Nosaltres, que som del mon del teatre, si enspreguntem per que serveix estar-se vuit anystancat per demostrar un teorema, ens podem

78 SCM/Notıcies 43

preguntar tambe per que serveix lluitar pertirar endavant una obra de teatre, amb totsels esforcos que s’hi han de dedicar. Tota lapassio necessaria i el repte que representen lesdues activitats poden ser comparables. Tot esun proces creatiu. Tot es bellesa.

Com rep el contingut de l’obra la gentque no es matematica?(Actor) L’acull be perque s’esta parlant d’unahistoria d’intriga que inclou un llarg perıodede la historia. Tambe hi ha una part emo-cional que enganxa. Els joves dels institutsque, evidentment, no arriben a tots els detallsmatematics, tambe s’emocionen al final quanveuen el mateix Wiles a punt de plorar.

Quins altres valors podrıem ressaltar del’obra?

(Autor-director) Un dels valors que tambecrec que es reflecteix es el foment de la curi-ositat, de les ganes d’aprendre i de les ganesde descobrir. Crec que aixo va mes enlla de lesmatematiques i es el que voldrıem transmetre ajoves i adolescents.

De cara al curs vinent, penseu continuarrepresentant l’obra per als joves?

La idea es continuar el curs vinent. Veiemque hi ha una via interessant i que, en definitiva,es el public a qui va adrecada l’obra principal-ment.

Coneixeu l’obra Copenhaguen?(Autor-director) No la coneixem. Sabem que esva estrenar a Barcelona fa uns quants anys i

que tambe va del mon de la ciencia, pero no laconeixem.

(La pregunta es refereix a l’obra Copenha-guen de Michael Frayn. El nucli de l’argumentes basa en la famosa trobada dels fısics NielsBohr i Werner Heisenberg el 1941 a la ciutatde Copenhaguen, en qualitat de mestre i dei-xeble, i enemics per la situacio dels seus dospaısos durant la Segona Guerra Mundial. Es varepresentar al TNC l’any 2011. En un propernumero fare una reflexio sobre aquesta obra.)He notat que els matematics que apa-reixen a l’obra estan tractats amb moltaironia i amb una mica de burla. Per queheu triat aquesta manera de presentar-los?(Autor-director) Aquesta obra te dues partsmolt clares. La primera remet a un passatmes llunya i la segona, a un de mes recent.A la primera part, volem explicar el teorema ipresentar els matematics que han treballat en laseva demostracio. I hem triat potenciar la partmes comica. A la segona, hi hem volgut donarun estil mes dramatic. A mes, a la primerapart ensenyem l’artifici, surten uns personat-ges amb unes bates blanques, que poden seruns narradors o uns cientıfics que expliquenuna historia, fent teatre, es caracteritzen allamateix amb perruques i expliquen la historiacomicament. En tot moment ensenyen l’artifici.No hem tingut cap voluntat de burlar-nos-en,nomes faltaria!

Per als actors i actrius, aixo de parlarde coses que no enteneu del tot, com usha influıt a l’hora de preparar el vostrepersonatge?(Actriu) Primer has d’entendre be la parthumana que hi ha en cada personatge. Despresens hem anat informant fins a un cert punt. Esinteressant el nou llenguatge que s’obre davantteu.

ContacteJa veieu que aquesta es una obra que es potaprofitar per portar a les escoles i instituts. Sivoleu contactar amb el grup, us podeu dirigir ahttps://www.teatrenjolit.com/contacto.

SCM/Notıcies 43 79

Inside Interesting Integrals, de Paul NahinJaume SolerUniversitat Politecnica de Catalunya

El llibre de Paul Nahin Inside InterestingIntegrals no es un llibre estandard de ma-tematiques, i aixo queda clar nomes en llegirel llarg subtıtol, a l’estil dels llibres antics:A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substituti-ons, and Numerous Other Stupendously Clever,Awesomely Wicked, and Devilishly SeductiveManeuvers for Computing Nearly 200 Perple-xing Definite Integrals From Physics, Engine-ering, and Mathematics. Queda pales que esun llibre escrit per algu a qui agraden lesmatematiques i probablement amb un certsentit de l’humor.

Tots els gremis tenen les seves faccions,i el dels matematics no n’es una excepcio:algebra versus analisi, matematica abstractaversus matematica aplicada i, no hi podiafaltar, els ordinadors son indispensables versustenen la mateixa relacio amb la matematicaque una torradora de pa (sic). Generalment,en una obra escrita es passa de puntetessobre aquestes controversies intragremials, perono es el cas de Paul Nahin, enginyer deprofessio, fascinat per les integrals definides,sense manies a l’hora d’expressar les sevesopinions, pero amb el coneixement profund

de les dinamiques gremials que s’apren a lesinstitucions academiques.

L’autor avisa que fara servir tots els re-cursos que te a l’abast i aixo vol dir, enparticular, l’us d’eines de calcul numeric perfer una comprovacio dels resultats que siguiindependent de la teoria. Aquesta manerade procedir te un avantatge indiscutible: ames d’una comprovacio (innecessaria?) potserens proporcionara una llista d’integrals pro-blematiques des del punt de vista numeric, quesempre es interessant.

El prefaci esta escrit en un llenguatge viui ironic: l’autor es perfectament conscient que,d’una banda, li poden dir que no te interestrobar expressions tancades perque la majoriad’integrals s’han de calcular numericament, i,de l’altra, que no te interes trobar expressionstancades perque la teoria de la integral es moltmes que una col·leccio de receptes. Pero totseguit ens fa saber que G. H. Hardy (de quitothom recorda la frase sobre les aplicacionsde la matematica que ell mateix va escriurea Mathematician’s Apology) rarament podiaresistir la temptacio de calcular una integraldefinida. En efecte: «I tried very hard not tospend time on your integrals, but to me thechallenge of a definite integral is irresistible», vaescriure el mateix Hardy en una nota enviadaa un jovenıssim H. S. M. Coxeter en respostaa una pregunta d’aquest darrer, referent a unaintegral, publicada a la Mathematical Gazette.Coxeter explica aquesta anecdota a la introduc-cio del seu llibre Twelve Geometric Essays. Arası que Paul Nahin se’ns ha posat a la butxacaals del gremi propietari de les integrals!

Que el llibre de Paul Nahin no es tri-vial queda clar en l’exemple seguent, ex-tret del prefaci: si calculem numericament(tant si ho fem amb un paquet comercialcom si escrivim un codi C++) la integralIn =

∫∞0(∏n

k=1 cos xk) sin 4x

x dx, trobarem queper a n ≤ 30, el resultat es sistematicament1.57079632679 . . ., i s’ha de ser molt poc ima-ginatiu per no conjecturar que aquesta integralva π/2 per a tota n. Resulta, pero, que per an = 31 obtenim el resultat 1.57079632533 . . .

80 SCM/Notıcies 43

Aquesta irritant diferencia a la novena posiciodecimal, si la comentem amb els companys defeina, sera immediatament atribuıda, segons elgremi de qui ho digui, a 1) errors d’arrodoni-ment perque hem comes el pecat de fer servir unpaquet comercial en comptes d’escriure un codiC++ amb precisio quadruple, o 2) els metodesnumerics son una cosa i les matematiques unaaltra. Resulta, pero, que la integral aquesta teuna mica mes de recorregut: val exactamentπ/2 per a n ≤ 30, pero pren un valor diferent sin ≥ 31, i d’aquest fet n’hi ha una demostracio.La integral en questio esta relacionada ambla de sin(x)/x sobre tot el semieix positiu atraves d’unes transformacions trigonometriquessenzilles. Es poden trobar els detalls a NickLord, «An Amusing Sequence of TrigonometricIntegrals», The Mathematical Gazette, July2007, p. 281–285.

Un altre exemple del llibre fa referenciaa un article d’Erik Talvila publicat el 2001a The American Mathematical Monthly, ons’explica la historia seguent: una tarda avorridade diumenge l’autor de l’article estava fullejantuna taula d’integrals quan es va adonar que hihavia quatre integrals divergents conegudes queles taules donaven com a convergents. Estirantel fil, l’autor va seguir el rastre d’unes taules aunes altres, fins a les de David Bierens de Haan(1822–1895), matematic holandes que les vapublicar el 1858 amb el tıtol Tables d’integralesdefinies, probablement la primera taula d’inte-grals que mereix aquest nom. De Haan dona lareferencia de les quatre integrals... que no es capaltra que Augustin-Louis Cauchy en persona.L’error (derivar sota el signe d’integral en uncas en que no es pot fer) s’ha anat copiant d’unllibre a un altre durant gairebe 200 anys!

Al llarg del llibre, l’autor fa referencia aun llibre de tıtol similar, Irresistible Integrals(Cambridge University Press) de George Borasi Victor Moll, que tambe porta un subtıtolrevelador: Symbolics, Analysis and Experimentsin the Evaluation of Integrals. Experiments?Amb la capacitat de calcul d’avui en dia, siuna integral calculada numericament coinci-

deix amb log (2) amb 10.000 decimals, hi hauna certa probabilitat que valgui exactamentlog (2). Ja sabem que no es una demostracio,pero potser es bona idea tenir-ho present.Estem en aquesta terra de ningu que JonathanBorwein anomenava (oh, heretgia!) matematicaexperimental.

Si Cauchy hagues disposat de la nostracapacitat de calcul, hauria volgut comprovarnumericament la convergencia d’aquelles inte-grals? Naturalment, no ho podem saber, perodavant la temptacio de descartar-ho amb ungest de la ma i dir que els grans classics noestaven per fer calculs numerics, Nahin ensrecorda que entre els papers de Riemann s’hitroba un calcul de

√2, amb trenta-vuit xifres

decimals!I amb aixo resulta que Paul Nahin ha acon-

seguit reunir una col·leccio de devilishly cleverdevices que ens permeten trobar expressionstancades per a unes integrals que a primeravista son inabordables. Alguns d’aquests trucsson tant o mes diabolics perque son moltelementals. Es cert que el calcul d’expressionsexactes per a integrals definides (i podrıem direl mateix per a sumes de series, per exemple)te un interes relatiu. Hardy deia, referint-sea les 1.900 pagines de calculs del Treatiseon the Integral Calculus que, basicament, lautilitat d’aquest llibre de Joseph Edwards era«recordar-nos que el segle xix encara no haviamort». Nahin diu sense embuts que ell no estad’acord amb aquesta afirmacio lleugeramentmalevola, per mes que Hardy sigui el granG. H. Hardy FRS. Nosaltres aquı no hi afegiremres, noblesse oblige. Cent pagines de calculs abs-trusos nomes per trobar una expressio tancadaaporten poc a la matematica, pero un sneakytrick insospitat de quatre lınies. . . ? doncs ala majoria del gremi ens passa el mateix,precisament, que a l’il·lustre matematic delTrinity: ens fa venir una esgarrifanca.

En definitiva, ara que venen vacances, unllibre que es pot llegir a trossets, comencantper qualsevol pagina, on trobareu petites joiesde l’enginy matematic. Gaudiu-ne.

SCM/Notıcies 43 81

El sistema d’eixos de coordenades (primer premi del concurs de relatscurts Cangur 2018)Nil Puiggros Cuadros3er ESO, Escola Pia d’Igualada

20 de juliol. Un 20 de juliol molt mogut. Lesvacances comencen per a tothom, i el sistemad’eixos de coordenades esta ple de rebombori.Son tres funcions completament diferents lesque han iniciat aquest enrenou i les que pro-tagonitzen la historia.

Funcio Lineal.

– Pare, falta molt?

– Pare, per on anem?

– Nois ja us he dit que encara ens faltaper arribar a P (56,89), i que podeu tenirpaciencia, pero si voleu parem aquı.

– Visca! On estem, pare?

– Aixo, pare, a quin lloc parem?

– Parem a un lloc fascinant. A l’origen delnostre mon. El punt (0,0)!

– Pero si sempre parem aquı! Cada any, anantde vacances, parem aquı! I sempre passa elmateix!

– Es veritat! Sempre ens trobem gent de totamena, i, la veritat, es que a mi els turistesque baixen del 2n quadrant al 4t no em fancap gracia!

– Prou! Estic fart dels vostres renecs! A la vos-tra mare i a mi ens ha costat molt planificaraquest viatge, aixı que no ho esguerreu! Tuque n’opines, estimada?

– Doncs el mateix que tu, estimat. Em vaigpassar dies calculant el pendent que ne-cessitarıem per arribar on voleu, pero queens sortıs economic! L’unic punt de l’eixd’ordenades que no es paga es aquest, perovosaltres preferiu evitar-lo per no trobar-vos gent que «us molesta». Pero que us heucregut que sou? Una funcio afı? Prou dequeixar-se ja! Entesos?

– Entesos, mare.

– Entesos, pare.

Funcio Afı.

– I be, ara em dieu on anem?

– Sı, sı. Anem a... P (57, -69).

– Que?!

– Que passa? Que no et fa il·lusio?

– No, mare, no em fa il·lusio. Anem al 4tquadrant!

– Escolta la teva mare, fill. Ella s’esforcadurant tot l’any per treballar, i ens haaconseguit un hotel a P (0, 100). Que? Arales vacances no et semblen tan avorrides nimiserables i simples. Eh?

– Estic al·lucinat! He llegit que el punt (0,100)es tan exclusiu que poca gent arriba arepresentar-lo en el pla, ni molt menyspassar-hi. Gracies!

– I aixo no es tot, fill. El teu pare i jo hemparlat amb l’hotel perque estiguem nomesaparellats i convivint amb els de la nostraespecie: Els positius! No ens haurem ni d’a-costar als negatius! Quin fastic! No suportoaquells nombres! Perque han d’anar sempreamb el sımbol de resta al davant? Que s’hancregut? Que son una operacio?

– Mare, es que no se com dir-te aixo... Saps lanovia de qui et vaig parlar? Doncs be, es un50, com jo, pero amb un - al davant. Es un-50.

– Nooooooo! La meva descendencia sera ne-gativa! No us caseu! Us ho prohibeixo! Un-2.500! Que dira la gent del carrer? Emveura passejar a mi, a aquest 10 tan elegant,amb un vulgar i simple -2.500! Saps que? Sicontinues amb ella, no vindras de vacancesamb nosaltres!

– Doncs em quedo al 2n quadrant! Em sapgreu, pero prefereixo l’amor que viure comun positiu!

82 SCM/Notıcies 43

– Com pot ser!? Ha saltat! Com el podem havermalcriat aixı. Un -50. El que ens faltava. Aixoes culpa teva!

– Meva?

– Sı, va ser idea teva aixo de viure al 2nquadrant. Apren a conviure amb nombresnegatius! La frase que em vas dir per con-vencem. I, ara, mira on m’has portat! A undestı en que estic obligada a fer de iaia d’untrist i patetic -2.500! Al·lucino!

– Mira, fem una cosa. Anem al punt (0, 100)i alla ens relaxem, prenem unes copes i deseguida trobarem una solucio. Pero sensealterar-nos. Entesos?

– Entesos. Sobre aixo de les copes, convides tu,oi?

Funcio Constant.

– On anem?

– Tranquil...

– On anem?

– Tranquil...

– On anem?

– Tranquil...

– On anem?

– Fins a l’infinit...

– Que?!

– On volies que anessim?

– Al 1r quadrant! Ja saps que es el meu somni!

Pero no podem! Estem destinats a situar-nosen un lloc paral·lelament a l’eix d’abscisses.

– I per que?

– Per que? Vols que et torni a explicar lahistoria?

– No...

– Hi havia una vegada el nostre avantpassatanomenat Constantı...

– Ja comencem...

– Aquest avantpassat va voler desafiar les nor-mes dels eixos de coordenades i va intentardonar una volta a un d’ells. Que sonat! Coma castig, els dos deus, x i y, amb l’ajuda delseu amic secret, z, van condemnar el meurebesavi i a tota la seva descendencia haguesde fer sempre el mateix recorregut per la x,pero que no pogues avancar mai per la y. Hoentens ara?

– Sı, pare, sı. Ho entenc. Gracies per explicar-m’ho per enesima vegada.

– De res home, de res. Vinga, proxima parada:P (159,-78).

SCM/Notıcies 43 83

Raco biograficMobius (1790–1868)Eduard RecasensDoctor en Ciencies (Matematiques)

Prefaci

Abans de la unificacio alemanya, el gener del1871, el territori europeu que avui es Alemanyaestava format per un irregular mosaic d’estatsindependents que compartien una mateixa llen-gua i certes tradicions culturals. Al segle xviiii iniciat el xix, la matematica que s’ensenyavaa les escoles i a les universitats de la majoriad’aquests estats tenia un nivell molt baix i larecerca matematica estava principalment reser-vada a les academies de ciencies. Aixo, pero,comencaria a canviar a partir de la primeradecada del segle xix com a consequencia delsaires liberals que van correr per Europa apartir de la Revolucio francesa. La majoriadels estats alemanys van decidir impulsar elsestudis i la recerca tecnologica i cientıfica, i enparticular van incloure la matematica com unade les assignatures basiques en els programeseducatius, amb la novetat que es va considerarque la matematica no tan sols era una eina ins-trumental basica per a la ciencia i la tecnologia,sino tambe una disciplina de gran valor forma-tiu per desenvolupar la capacitat racional delsindividus. Aixo va fer que Alemanya augmentesconsiderablement en el nombre de matematics,recordem el nom d’alguns d’ells: Gauss, Pfaff,von Staudt, Feuerbach, Mobius, Plucker, Stei-ner, Grassmann, Hesse, Riemann, Frobenius,Dirichlet, Dedekind, Kronecker, Cantor, Bessel,Jacobi, Kummer, Weierstrass, Klein, Hilbert,aquests matematics, entre d’altres, van obrirbona part dels camins que despres seguirien elsmatematics europeus del xx.

Just a l’inici d’aquest gran desenvolupa-ment de la matematica alemanya del xix es oncal situar la figura d’August Ferdinand Mobius.

Trets biografics

Mobius va neixer a l’estat de Saxonia, a Schulp-forta, el 17 de novembre de 1790. Schulpfortaera, i encara es, una escola que ocupa unantic monestir medieval cistercenc, situat uns

50 quilometres al sud-oest de Leipzig. El parede Mobius hi treballava com a professor dedansa i, a mes hi tenia la casa. Al cap de tresanys d’haver nascut Mobius, pero, va morir. Lamare va traslladar-se a viure a la ciutat properade Naumburg i es va fer carrec de la instrucciodel seu unic fill fins que va fer 13 anys, llavors,va decidir ingressar-lo a Schulpforta. En aquestprimer perıode escolar, Mobius ja va comencara mostrar un gran interes per les matematiques.Amb tot, el 1809, com que li havien aconsellatque fes Dret, va entrar a la Universitat deLeipzig amb aquest proposit, pero, pocs mesosdespres, va deixar el Dret i va decidir ferMatematiques, allo que ell desitjava de debo.

Va tenir Moritz von Prasse de ma-tematiques, Ludwig Wilhelm Gilbert de fısicai Karl Mollweide d’astronomia. Mollweide eraun astronom de certa fama i Mobius va podertreballar amb ell com a assistent. El 1813, vaaconseguir una beca per anar a Gottingen iva poder assistir als cursos d’astronomia que

84 SCM/Notıcies 43

Gauss impartia. Entre ells dos es va establir unabona relacio i Gauss el va recomanar per ocuparun lloc a l’Obsevatori Astronomic de Leipzig.Despres de Gottingen, Mobius va visitar laUniversitat de Halle i va assistir a les clases dematematiques de J.F. Pfaff.

El 1814 va defensar la seva tesi doctoralDe computandis occultationibus fixarum perplanetas a la Universitat de Leipzig i el 1815,per aconseguir el certificat que li havia depermetre exercicir la docencia, va presentar lamemoria De peculiaribus quibusdam aequatio-num Trigonometricarum affectionibus.

El 1814 quan va morir Von Prasse, vaquedar vacant la placa de matematiques quetenia a la Universitat de Lepzig, i aleshoresMobius va pensar que podria ocupar-la peroaixo no va ser possible ja que Mollweide vadeixar l’astronomia per poder ocupar la placade matematiques.

De totes maneres Mobius havia deciditquedar-se a viure a Leipzig i volia ser professorde la seva universitat, cosa que va aconseguirpero, durant molts anys, va haver de romandreen un lloc de poca categoria academica en l’es-cala professional perque les places que sortienper promocionar estaven totes fora de Leipzig.

El 1816, va acceptar l’encarrec de la Univer-sitat de Leipzig per substituir Mollweide en lesclasses d’astronomia i aquest mateix any tambeva acceptar entrar a l’Observatori Astronomicde Leipzig en qualitat d’observador.

Gran part de la seva vida va ocupar aquestdos llocs de treball fins que el 1844, quan jatenia 54 anys, la Universitat de Lepzig el vaascendir a catedratic i quatre anys despres, el1848, va ser nomenat director de l’Observatori.Quan Mobius havia arribat a l’Observatoriper primera vegada, es trobava en pessimescondicions pero amb el temps va aconseguirrevifar-lo. Va restituir bona part del materialobsolet i va promocionar l’aficio a l’astronomiaamb la imparticio de conferencies i publicacionsde tipus divulgatiu.

Mobius va viure amb la seva mare fins queva morir, el 1820. Poc despres, va decidir casar-se amb Johanna Rothe, la qual, malaurada-ment, al cap de poc va perdre la visio. Ambella van formar una famılia composta per unafilla i dos fills.

Malgrat que en el perıode en que vaviure Mobius Europa va experimentar grans

canvis, com a consequencia de fets com laRevolucio francesa, l’expansio napoleonica, lesrevoltes liberals etcetera, la vida de Mobiusva transcorrer amb tota regularitat a la sevaestimada Leipzig, entre classes, observacionsastronomiques i recerca matematica.

Els seus contemporanis el descriuen comun home senzill, reservat i de caracter moltpacıfic, totalment dedicat a la feina i la sevafamılia. Va morir el 26 de setembre de 1868;fins aquest mateix any havia estat fent classesa la Universitat de Lepzig, tenia 78 anys.

Sobre alguns dels metodes i resultatsoriginals de MobiusEls escrits matematics de Mobius estan reco-llits en els quatre volums que formen la sevaobra completa, Gesammelte Werke, editada aLeipzig per R. Baltzer, F. Klein i W. Scheibneren el perıode 1885–1887.

Aquesta obra recull tres llibres i una granquantitat d’articles que Mobius va escriuresobre matematiques i astronomia. Els llibresson:

• Der barycentrische Calcul (1827)

• Lehrbuch der Statik (1837)

• Die Elemente der Mechanik des Himmels(1843)

El calcul baricentric: una nova eina peral tractament analıtic de la geometria

Der barycentrische Calcul: Ein neues Hulfsmit-tel zur analytischen Behandlung der Geometrie(1827).

Aquest es el tıtol complet del llibre enque Mobius presenta via l’algebra un estudide la geometria del pla i de l’espai des d’unaperspectiva projectiva. Situat a Alemanya a ladecada del 1820, tant pel tema com pel metode,el llibre era totalment innovador.

El redescobriment a inicis del segle xixdel tractament projectiu de la geometria esdeu al matematic frances Victor Poncelet. Arabe, l’iniciador d’aquesta visio projectiva de lageometria es deu a un altre matematic, tambefrances, del segle xvii, ens referim a GerardDesargues, qui, l’any 1639, va exposar la sevavisio en el llibre Brouillon Projet d’une atteinteaux evenements des rencontres du cone avecun plan. Llibre que va llegir Descartes, que va

SCM/Notıcies 43 85

felicitar Desargues pel seu contingut pero li vafer una observacio: l’intrincat llenguatge en queestava escrit dificultaria la seva comprensio i lipronosticava que, si no el canviava, seria llegitper molt pocs. Desargues no va canviar res ies va complir allo que havia previst Descartes.Van ser molt pocs els qui van introduir metodesprojectius en les seves recerques (Pascal, LaHire, Newton) i la geometria projectiva va haverd’esperar millors temps. Aquests van arribar ala tercera decada del segle xix quan, VictorPoncelet, que havia escoltat les celebres lliconsde geometria descriptiva que Gaspard Mongeimpartia a l’Ecole Polytechnique de Paris, vaintroduir metodes projectius a la geometriaordinaria i el 1822 va publicar Traitre despropietes projectives des figures, el llibre queobriria les portes a l’imperi de la geometriaprojectiva per mes de cent anys. La geometriaprojectiva va tenir una gran acceptacio entreels geometres francesos i, com que en aquellsmoments Parıs marcava la moda, la geometriaprojectiva rapidament es va estendre pel conti-nent. No es, doncs, casual que el jove FerdinandMobius, desprtes de llegir els geometres france-sos, s’interesses pel nou enfocament projectiu.

La novetat que Mobius introduı en les sevesrecerques projectives fou la introduccio delllenguatge algebraic per tractar els conceptes iresultats projectius, mentre que Poncelet haviautilitzat la via sintetica, Mobius va optar per lavia analıtica i no pas l’us del sistema cartesiade representacio, sino mitjancant el nou sistemade coordenades concebut per ell mateix, que liresultava mes util per al tractament projectiude la geometria.

En Mobius un punt P del pla es representaper tres coeficients numerics a, b, c, no totssimultaneament nuls, i, uns tres coeficients mesa′, b′, c′ representen el mateix punt P si els nouscoeficients son proporcionals als primers. Es adir, un punt del pla de Mobius, que es el plaprojectiu real, es una recta homogenia λ(a, b, c)λ 6= 0 a l’espai. D’aquesta manera, els punts del’infinit, que en el tractat sintetic de Ponceletson punts ideals afegits al pla ordinari, en eltractament analıtic de Mobius son punts comels altres.

La representacio coordenada homogeniadels punts se li va ocorrer a Mobius a partir delsestudis en estatica de l’equilibri que va fer. Vaconfirmar que qualsevol punt de l’interior d’un

triangle ABC podia ser el centre de gravetat Gdels tres vertexs A,B,C si en aquests vertexses col·locaven pesos convenients: un pes a en elvertex A, un pes b en el vertex B i un pes c enel vertex C, i que la posicio del centre degravetat G no variava si es canviaven elspesos a, b, i c per uns altres pesos que fossinproporcionals a aquests ultims.

Aixo li va fer veure que cada punt G del’interior del triangle quedava determinat peruna terna de nombres λa, λb, λc, en que λ eraun nombre arbitrari no nul. Historicament, elmerit de Mobius es el d’haver sabut transportaraquest fet fısic al camp de la geometria permitja de l’algebra.

Per poder estendre la representacio co-ordenada a tots els punts del pla, Mobiusutilitza coeficients positius i negatius. Utilitzal’expressio algebraica

aA+ bB + cC

per representar un punt generic S de coorde-nades a, b, c respecte d’una referencia formadaper tres punts no alineats A,B,C.

I es compleix la igualtat fonamental

aA+ bB + cC = (a+ b+ c)S.

Les coordenades estan determinades amenys d’un factor multiplicatiu no nul λ, aixoes, si (a, b, c) son les coordenades de S, tambeho son (λa, λb, λc), Mobius no ho escriu enforma de ternes, sino que dira que es conservenles raons entre les trıades de coordenades querepresenten un mateix punt; hem de recordarque en la primera meitat del segle xix encarano s’utilitza el llenguatge vectorial. En aquestaspecte, cal dir que Mobius es un dels primersque distingeix el segment AB del segment BA,de manera que AB + BA = 0 i estableixsentits de recorregut per calcular arees i volumsorientats.

Per treballar en l’espai tridimendsional lareferencia baricentrica estara formada pels qua-tre vertexs d’un tetraedre.

Al llarg del llibre s’estudia la rao doble dequatre punts, les transformacions projectivesentre dos espais que anomena colineacions,les coniques, la dualitat, estudia les corbesi superfıcies de l’espai expressant les quatrecoordenades d’un punt de l’espai com a funcionsracionals d’un parametre, etc.

86 SCM/Notıcies 43

Antecedents del calcul baricentric

En diferents moments de la historia s’ha uti-litzat el centre de gravetat i les propietatsde l’equilibri estatic com a eina de calculmatematic, pero no sempre s’ha utilitzat de lamateixa manera.

El testimoni mes antic el trobem en Ar-quimedes, que va calcular arees i volums genstrivials fent servir la llei de la palanca; de fet,Arquimedes va calcular les primeres integralsavant la lettre. Alguns geometres europeus delxvi i del xvii tambe van recorrer al centrede gravetat per calcular arees i volums ifins i tot l’austrıac Paul Guldin va escriureCentrobaryca, tot un tractat sobre aquestatematica.

Ara be, a l’ultim terc del segle xvii,apareixen amb quatre anys de diferencia dosllibres en que es fa servir el centre de gravetati les seves propietats, no pas per calculararees i volums, sino per trobar raons entresegments, originats per transversals en certesfigures geometriques.

Conceptualment, el calcul baricentric quepresentaven aquests dos llibres era un antece-dent clar del metode baricentric de Mobius,pero aquests dos llibres, innovadors en elmetode i els resultats, van passar desapercebutsper als matematics del xvii i del xviii.

Cronologicament, el primer llibre es Geome-tria Magna in Minimis del castellonenc JosepSaragossa, que es publica l’any 1674.

El segon llibre es De lineis rectis se invi-cem secantibus: statica constructio del milanesGiovanni Ceva, publicat l’any 1678.

Pel que fa a la fonamentacio geometrica, hiha una diferencia basica entre aquests dos lli-bres. Mentre que el llibre de Ceva es una obra degeometria que es fonamenta en les propietats del’equilibri estatic, el llibre de Saragossa es un lli-bre de geometria pura, ja que nomes es basa enels Elements d’Euclides, Saragossa construeixamb tot rigor un punt geometric, que anomenacentre mınim, les propietats geometriques delqual son clavades a les del centre de gravetatde la fısica.

Mentre Ceva associa «pesos» als punts, Sa-ragossa associa als punts «classes de rectangleshomotetics». Els «pesos» (Ceva) i els «rectan-gles homotetics» (Saragossa) fan el paper de lescoordenades homogenies de Mobius.

Es en aquest context que apareix la relacioentre segments que avui atribuım a Ceva (teore-ma de Ceva), pero aquesta mateixa relacio ja estroba quatre anys abans a la Geometria Magnain Minimis de Saragossa. Les demostracions deSaragossa i Ceva son identiques, menys en elllenguatge.

Ceva va tenir la sort que, al segle xix,el seu llibre fos conegut pel geometra francesM. Chasles qui, en el seu llibre Apercu his-torique sur l’origine et le developpement desmethodes en geometrie (1837), va destacarl’original metode de Ceva per calcular raonsde segments originats per transversals en elscostats d’una figura. Els comentaris de Chaslesvan aportar a la llum el fins llavors desconegutGiovanni Ceva. Per contra, la Geometria Mag-na in Minimis de Saragossa, ha estat descone-guda fins als nostres dies; escrita i publicada enuna Espanya tancada en si mateixa i amb unmigrat nivell matematic, va quedar totalmentarraconada ja que segurament pocs la devienllegir i encara menys entendre.

Lehrbuch der Statik (1837)

En aquest llibre, Mobius presenta un estudigeometric de l’estatica. Mobius segueix enla lınia del matematic contemporani francesLouis Poinsot, que ja havia escrit sobre lageometritzacio de l’estatica el 1804. Un resultatfonamental era que tot sistema de forces erareduıble a un sistema equivalent format per unasola forca aplicada a un punt O i un parell deforces respecte d’un eix que passa per O.

Una de les mes notables aportacions deMobius en aquest llibre es la seguent: consideraun sistema de forces a l’espai tridimensional,llavors, donat un punt M considera el feixde rectes que passen per M i es preguntacom variara el moment del sistema respectede cadascuna d’aquestes rectes, troba la rectadel feix respecte de la qual el moment delsistema tindra un valor maxim (eix) i de-mostra que tindra valor zero per a aquellesrectes del feix contingudes al pla per Mperpendicular a l’eix, «pla nul» corresponental punt M . Recıprocament, troba que cadapla de l’espai es el «pla nul» d’un dels seuspunts, a aquest punt l’anomena el punt nuldel pla considerat.

La correspondencia entre punt nul i planul es biunıvoca i defineix una correlacio en

SCM/Notıcies 43 87

l’espai tridimensional de matriu antisimetricaque s’anomena sistema nul.

En un sistema nul, a cada recta r licorrespon una recta dual r′, que es la rectainterseccio de tots els plans nuls corresponentsals punts de la recta r.

La correlacio sistema nul es un tipus de du-alitat diferent de la que Mobius havia formulatal calcul baricentric a partir d’una quadrica, enaquest cas la matriu era simetrica. Mobius noutilitza el calcul matricial, que encara esta perfer, pero fa els calculs oportuns.La banda de MobiusEl nom Mobius es forca conegut fora de lesmatematiques gracies a una bonica superfıcieno orientable d’una sola cara i un sol contorn,la banda de Mobius.

August Ferdinand Mobius va descobriraquesta superfıcie el mes de setembre de l’any1858 en el curs d’una investigacio sobre polie-dres que havia proposat l’Academia de Cienciesde Parıs. Ara be, en paral·lel hi va haver unaltre matematic, Johann Benedict Listing, unalumne de Gauss, que l’havia trobat dos mesos

abans, pero aquesta superfıcie no va rebre el seunom, sino el de Mobius.

Hi ha una dita popular en matematiquesque diu que si un teorema porta nom d’algu,es molt probable que aquest algu no sigui elprimer descobridor.

Llibres utilitzats:

[1] Crowe Michael J. (1970–1980) Dictionaryof Scientific Biography. Scribner’s Sons: NewYork.

[2] Fauvel John, Gray Jeremy. Mobius and hisband, (1993) Oxford University Press.

[3] Klein Felix. Elementary Mathematics froman Advanced Standpoint. Geometry, (2004) Do-ver edition.

[4] Mobius, Ferdinand. Der barycentrische Cal-cul (1827) Leipzig.

[5] Recasens, Eduard. J. Zaragoza’s CentrumMinimum, an Early Version of Barycentric Ge-ometry. Archive for History of Exact SciencesVolume 46 (1994), Number 4, Springer-Verlag.

88 SCM/Notıcies 43

ProblemesJuanjo RueUniversitat Politecnica de Catalunya

Despres d’unes setmanes de pluges, d’un radiant Sant Jordi ple de roses i llibres i, es clar, del’arribada del bon temps, de nou un bon grapat de problemes matematics a la SCM/Notıcies. Enaquesta ocasio estem amb una modesta celebracio: creuem el lımit dels 150 problemes proposats,fita gens menyspreable! En aquesta ocasio tindrem dos problemes de geometria sintetica (proposatsper Miquel Amengual i Joaquim Nadal), d’aquells que n’haurıem de tenir prou nomes amb unregle i un compas. Tambe en tindrem un de desigualtats de polinomis molt entretingut proposatper Xavier Ros-Oton des de Zuric. Finalment, i com es habitual en aquesta seccio, Jose Luis-DiazBarrero ens proposa una desigualtat amb nombres de Fibonacci. Segur que tots aquests problemesens faran passar una bona estona. Moltes gracies a tots per les vostres propostes, totes elles moltinteressants!D’altra banda, veguem les solucions del numero anterior. Per manca d’espai nomes publicarem unamostra de les solucions rebudes, tot i que val a dir que n’hem rebut diverses i amb idees moltdiferents. Hem rebut solucions de Joaquim Nadal, d’Esteve Casas i d’Ernest Garriga; a tots ells,moltes gracies per la feina feta i per les propostes de solucions tan maques i reeixides.Com sempre, un recordatori: feu arribar tot el material (solucions, propostes de problemes, comen-taris, etc.) a l’adreca de correu electronic seguent:

juan.jose.rue@upc.edu.

Aixı mateix, el material preparat en TEXo LaTEX (especialment les figures!) sera mes que agraıt,ja que permetra un bon estalvi de temps de cara a l’edicio.

Problemes proposats

A149. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Denotem per I l’incentre d’un triangle 4ABC.Demostreu, fent servir metodes purament eu-clidians:1. Si AI +BC = BI +CA = CI +AB, llavors4ABC es equilater.

2. Si AIBC = BI

CA = CIAB , llavors 4ABC es

equilater.

3. Si AI · BC = BI · CA = CI · AB, llavors4ABC es equilater.

A150. (Proposat per Xavier Ros-Oton, Univer-sitat de Zuric, Zuric.)Sigui p(x) = xn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0.Suposem que p te totes les arrels reals, i siguia el maxim de totes elles. Proveu que per a totx ≥ a es compleix que

p′(x) ≥ n [p(x)]n−1

n .

A151. (Proposat per Jose-Luis Dıaz Barrero,BarcelonaTech UPC, Barcelona.)Sigui n un enter no negatiu. Demostreu que

n∑k=1

√√√√(nk

)k −√k2 − 1√

k(k + 1)FkF2n≤ 4

√n

n+ 1 ,

on Fn denota l’n-essim nombre de Fibonacci,definit per F0 = 0, F1 = 1, i per n ≥ 2,Fn = Fn−1 + Fn−2.

A152. (Proposat per Joaquim Nadal i Vidal.Llagostera.)Considerem dues rectes l1 i l2 que es tallen en elpunt A, i sigui P un punt a l’interior de l’angleA. Traceu pel punt P dues rectes r1 i r2 queformin entre elles un angle recte, tal que r1(resp. r2) talla l1 (resp. l2) en el punt L (resp.M) amb la condicio que els triangles 4APL i4APM tinguin igual area.

SCM/Notıcies 43 89

Solucions

A145. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.)Dedicat a Carles Romero i Chesa. Quatre cir-cumferencies O1 (r1), O2 (r2), O3 (r3) y O4 (r4)son mutuament tangents exteriorment i la rectal es una tangent comuna a O1 (r1), O2 (r2) iO3 (r3).

1) Expressau el valor de r4 com una funcio der1 i de r2.

2) Si d es la distancia de O4 a l, provau qued = 7r4.

O2

O4O1

O3

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal,Llagostera.)Resoldrem els dos apartats alhora. Denotemper A, B, C els punts de tangencia de lescircumferencies O1(r1), O2(r2) i O3(r3) amb larecta l, respectivament. Sigui D la projeccio delcentre de la circumferencia O4(r4) sobre l, i dla longitud del segment O4D. Definim tambes = r4+d i u = r4−d. En particular, s+u = 2r4i s − u = 2d. El nostre objectiu sera trobar s iu, d’on deduirem immediatament els valors der4 i de d.Comencem calculant la longitud del segmentAB. Pel teorema de Pitagores, es clar que

AB2 + (r2 − r1)2 = (r1 + r2)2,

d’on en deduım queAB=2√r1r2. Analogament,es demostra que AC = 2√r1r3 i BC = 2√r2r3.Com ara, a mes, AB = AC + BC, tenim que2√r1r2 = 2√r1r3 + 2√r2r3. Podem per tantaıllar r3 en funcio de r1 i r2. En particular,

per al nostre proposit, ens interessara la relacioseguent (que es dedueix de l’anterior):

√r2√r3

=√r1 +√r2√

r1(1)

Ara calcularem la longitud AD. Novamentpel teorema de Pitagores, tenim que AD2 +(r1 − d)2 = (r1 + r4)2. Aıllant AD2 n’obtenimque es compleix que AD2 = (r1+r4)2−(r1−d)2

= (r4 +d)(2r1 +r4−d), d’on trobem que AD =√s√

2r1 + u. Analogament, podem trobar queBD =

√s√

2r2 + u i que CD =√s√

2r3 + u.Ara relacionem les expressions anteriors ambaquestes. En particular, com que AB = AD +BD i AC = AD + CD, tenim que:

AB = AD +BD :2√r1r2 =

√s(√

2r1 + u+√

2r2 + u), (2)

AC = AD + CD :2√r1r3 =

√s(√

2r1 + u+√

2r3 + u).

Si ara dividim aquestes dues relacions, obtenimque √

r2√r3

=√

2r1 + u+√

2r2 + u√2r1 + u+

√2r3 + u

.

De la relacio (1) ara podem substituir√r2/√r3,

amb la qual cosa tenim la relacio:√r1 +√r2√

r1=√

2r1 + u+√

2r2 + u√2r1 + u+

√2r3 + u

.

Manipulant aquesta expressio podem aıllar elvalor de u, que es igual a:

u = −3r1r22(r1 + r2 +√r1r2) ,

i per tant

2r1 + u = 2r1 −3r1r2

2(r1 + r2 +√r1r2)

=r1(2√r1 +√r2)2

2(r1 + r2 +√r1r2) .

Analogament deduım que

2r2 + u =r2(2√r2 +√r1)2

2(r1 + r2 +√r1r2) .

Usant ara aquests valors i la relacio (2) obtenimfinalment que

√s =

2√r1r2√2r1 + u+

√2r2 + u

90 SCM/Notıcies 43

=2√r1r2√

2(r1 + r2 +√r1r2),

i per tant s = r1r22(r1+r2+√r1r2) . Amb aixo ja hem

acabat, ja que

r4 = 12(s+ u) = r1r2

4(r1 + r2 +√r1r2) ,

d = 12(s− u) = 7r1r2

4(r1 + r2 +√r1r2) = 7r4,

que es el que ens demanaven que demostressim.

A146. (Proposat per Xavier Ros-Oton, Univer-sitat de Zuric, Zuric.)Sigui u(x) una funcio contınua.

1) Demostreu que si 1h(u(x + h) − u(x)) es

constant per a tot h, aleshores u(x) = ax+b.

2) Demostreu que si 1h2 (u(x + h) + u(x − h) −

2u(x)) es constant per a tot h, aleshoresu(x) = ax2 + bx+ c.

Solucio: (Solucio d’Esteve Casas, Sant Celoni.)

Comencem pel primer apartat. Fent x = 0 iprenent h qualsevol, sabem que es compleix queu(h)−u(0) = a·h, on a es un valor constant. Pertant, com que h es un numero real qualsevol,obtenim que u(h) = a · h+ b, essent b = u(0).De cara al segon apartat caldra treballar unamica mes. Per comencar, podem suposar queu(0) = u(1) = 0: en cas contrari, nomes caldriaconsiderar la funcio u1(x) = u(x) − (u(1) −u(0))x − u(0) i es clar que si aquesta resultaser un polinomi de segon grau, u(x) tambe hosera.Es tambe evident que si p(x) es un polinomi,nomes en el cas que el seu grau sigui inferioro igual a 2 la seva diferencia segona tal comesta enunciada sera constant. En particular, sisuposem que u(x+h)+u(x−h)−2u(x) = 2ah2,i u(0) = u(1) = 0 el polinomi de segon grau quecompleix l’equacio en diferencies i aquestes duescondicions ha de ser p(x) = ax2 − ax per a uncert valor a real.Ara veurem que la nostra funcio u(x) i el poli-nomi p(x) que acabem de descriure coincideixenen els nombres enters. En efecte, si fem x = 1i h = 1, obtenim u(2) + u(0) − 2u(1) = u(2)= 2a, per a un cert valor a constant. Engeneral, prenent h = 1, x = n es te queu(n + 1) + u(n − 1) − 2u(n) = 2a i per tant

u(n + 1) = 2a + 2u(n) − u(n − 1). D’aquestamanera anem determinant tots els valors deu(n) (per valors de n enter positiu) d’una formaque nomes depen de l’equacio en diferenciesque compleix. Finalment, si fem x = 0 tenimu(h) + u(−h) − 2u(0) = 2ah2, i per tant si hes un nombre positiu, es compleix que u(−h) =2ah2 − u(h). Aixı queda fixada la funcio per aqualsevol valor negatiu conegut el corresponentvalor en positiu. Per tant, per als enters (tantpositius com negatius) es compleix que u(x) =p(x).Ara veurem que la funcio u(x) i el polinomip(x) tambe coincideixen sobre els nombresracionals. Si fem x = h = 1

n , obtenim u(

2n

)+

u(0)− 2u(

1n

)= 2a

n2 . Per tant, podem expressarlinealment u( 2

n) en funcio de u( 1n) mes un

nombre racional que nomes depen de l’equacioen diferencies.En general, si fem x = k−1

n , h = 1n obtenim

u(kn

)= 2a

n2 −u(k−2n

)+2u

(k−1n

)i per induccio

veiem que u(kn

)s’expressa linealment en funcio

de u(

1n

)mes una expressio que nomes depen

de l’equacio en diferencies. Per tant 0 =u(1) = u

(nn

)s’expressa linealment com u

(1n

)mes una fraccio algebraica (de h i de a) quenomes depen de l’equacio en diferencies. Endefinitiva, u

(1n

)nomes depen d’una expres-

sio deduıda de l’equacio en diferencies u(x +h) + u(x − h) − 2u(x) = 2ah2 i, per tant,el mateix es pot afirmar de u

(mn

)sempre

que m sigui mes petit (o igual) que n. Elmateix argument serveix per demostrar que sim < n son nombres enters positius i k es unaltre nombre enter positiu, aleshores u

(k + m

n

)ve determinat unicament pel valor de u(k)i de u( 1

n).Veguem els nombres racionals negatius: larelacio u

(kn

)+ u

(−kn

)= 2a

(kn

)2, previament

establerta ens permet estendre a tots els racio-nals el fet que el valor de u

(kn

)nomes depen

de la relacio de recurrencia que compleixen perigual u(x) i p(x) i amb les mateixes condicionsinicials p(0) = p(1) = u(0) = u(1) = 0. Pertant, u(x) = p(x) per a tot valor de x racional.Finalment, a causa de la continuıtat tantde u(x) com de p(x) i el fet que el con-junt dels nombres racionals es dens en elconjunt dels nombres reals, s’obte que u(x)

SCM/Notıcies 43 91

i p(x) coincideixen en tot R: si x ∈ R iprenem qualsevol successio {xi}i≥1 de nombresracionals tals que x = limi→∞ xi, aleshoresu(x) = u(limi→∞ xi) = limi→∞ u(xi) =limi→∞ p(xi) = p(limi→∞ xi) = p(x). Aixodemostra que u(x) i p(x) coincideixen arreu,tal com volıem veure.

A147. (Proposat per Jose-Luis Dıaz Barrero,BarcelonaTech UPC, Barcelona.)Siguin a, b, c tres nombres reals positius tals quea+ b+ c = 1. Demostreu que la desigualtat

a3

x2 + 2y2 + b3

y2 + 2z2 + c3

z2 + 2x2 ≥

19 (x2 + y2 + z2)

es certa per a tots els nombres reals positiusx, y, z.

Solucio: (Solucio d’Ernest Garriga Valle. Cen-tre Sant Pau, Mataro.)Estudiarem una desigualtat mes general, d’ones deduira el resultat que volem veure. SiguinX1, . . . , Xn nombres reals positius. Per a n ≥ 2,indiquem per Tn = {(a1, . . . , an) ∈ [0, 1]n,a1 + · · ·+ an = 1} i f : Tn → R definida per

f(a1, . . . , an) =n∑i=1

a3i

X2i

.

Aquesta funcio es contınua en el compacteTn i, per tant, tindra un mınim absolut queanomenem mn. La vora de Tn, que indicaremper T vn , esta formada per la reunio, no disjunta,de copies Tn−1 ⊂ Tn on almenys un dels aies igual a 0. Posem T in = (0, 1)n (l’interior deTn) i estudiarem f sobre la parella T in i T vn .Calcularem mn fent induccio.Per trobar m2, usem la notacio X = X1, Y =X2. Primer, veiem T i2 ve donat per la relacioa + b = 1 amb (a, b) ∈ (0, 1)2, o parametritzatper g(a) = (a, 1 − a) amb a ∈ (0, 1). Calculantles derivades, obtenim un unic punt crıtic. Perexemple, imposant (f ◦ g)′(a) = 0, obtenima = X

X+Y , d’on 1− a = YX+Y i (f ◦ g)

(X

X+Y

)=

1(X+Y )2 . Ara T vn = {(1, 0), (0, 1)} i f(1, 0) = 1

X2

i f(0, 1) = 1Y 2 . Per tant, m2 = 1

(X1+X2)2 .

Suposem per induccio que mn−1 =1

(X1+···+Xn−1)2 i calculem ara mn. Mitjancantun multiplicador de Lagrange com el seguent

F (a1, . . . , an, λ) =∑ni=1

a3i

X2i−λ(a1+· · ·+an−1),

el sistema seguent

∂F

∂a1= 0, . . . , ∂F

∂an= 0, ∂F

∂λ= 0

proporciona la solucio ak =√

λ3 Xk, per a

qualsevol k entre 1 i n. A mes, de la relacioa1 + · · · + an = 1 s’obte ai = Xi∑n

k=1 Xk. Aquest

punt Pn = 1∑n

k=1 Xk(X1, . . . , Xn) es l’unic punt

candidat a donar mn en T in. Si fem el calculobtenim:

f(Pn) =n∑i=1

X3i

(∑nk=1Xk)3

1X2i

=∑ni=1Xi

(∑nk=1Xk)3 = 1

(∑ni=1Xi)2 .

Vegem ara la vora de la regio. La restric-cio de f a la vora T vn es de la formaf(a1, .., ai−1, 0, ai+1, ..an) per almenys un i ambai = 0. El mınim de f en Tn es el mınim de fen T in, ja que el mınim de f en cada part de lavora es:

1(∑nl=1l 6=iXl)2 ≥

1(∑nl=1Xl)2 .

Si indiquem j = (1, . . . , 1), X = (X1, . . . , Xn),tenim aleshores que

mn = 1(∑nl=1Xl)2

= 1〈X, j〉2

≥ 1‖X‖2‖j‖2

= 1n∑ni=1X

2i

.

Veiem tambe que la igualtat es assolible si inomes si X1 = X2 = · · · = Xn (que es quanla desigualtat de Cauchy-Schwartz utilitzadadona igualtat), i llavors ho fa en ai = 1

nper a tot i. Finalment, podem tornar a ladesigualtat desitjada com a consequencia delsnostres resultats: per als valors n = 3, X2

1 =x2+2y2, X2

2 = y2+2z2, X23 = z2+2x2, obtenim

el cas de l’enunciat.

A148. (Proposat per Joaquim Nadal i Vidal.Llagostera.)Sigui a0,0 = 1, an,k = 0 si k < 0 o k < n i an,k =12 (an−1,k−1 + an−1,k). Calculeu limn→∞ na

22n,n.

92 SCM/Notıcies 43

Solucio: (Solucio d’Esteve Casas, Sant Celoni.)Recordem en primer lloc la propietat seguentdels nombres combinatoris:(

n

k

)=(n− 1k

)+(n− 1k − 1

).

Com a consequencia directa, obtenim que

12n

(n

k

)= 1

2n

((n− 1k

)+(n− 1k − 1

))

= 12

(1

2n−1

(n− 1k

)+ 1

2n−1

(n− 1k − 1

)),

es a dir, que an,k = 12n

(nk

), ja que satisfa les

condicions inicials i la relacio de recurrencia.

De cara a la segona part, recordem la formulade Stirling, que diu que

limn→∞

n!√2πn

(ne

)n = 1.

En altres paraules, en el calcul del lımit podemsubstituir n! per nn

√2πn

en , (n!)2 per n2n2πne2n i (2n)!

per√

4πn(2n)2n

e2n = 22nn2n2√πn

e2n . Per tant, (2n)!(n!)2 pot

ser substituıt per 22n√πn

. Finalment, calculem ellımit:

limn→∞

na22n,n = lim

n→∞n

124n

((2n)!(n!)2

)2

= limn→∞

n1

24n24n

πn= 1π.

MatemotsXavier GraciaUniversitat Politecnica de Catalunya

Recordeu que es tracta d’un joc de llengua(vegeu l’article introductori al num. 33 dela SCM/Notıcies). Cal resoldre els enigmeslinguıstics seguents, a partir de la definiciodonada i les pistes incloses.

Exemple: «Criteri de convergencia que s’a-maga al jardı» (5 lletres). La resposta es«arrel», en referencia al criteri de l’arrel sobrela convergencia de series de termes positius, itambe a l’arrel de les plantes del jardı.

En cas de dubte podeu trobar-ne les respos-tes al peu de pagina.7

1. Pot ser angle, i tambe penetrant, subtil oeixerit (menys de 5 lletres)

2. El polıgon mes bel·licos (8 lletres)

3. Branca de la matematica que provoca pro-blemes al ronyo (6)

4. Regions de l’espai que omplen la benzinera(7 lletres)

5. Esser que governa sobre els axiomes delsnombres reals (6 lletres)

6. Peculiaritat d’una superfıcie o d’un cos (14lletres)

7. Fan una poesia amb els zeros de la funcio zeta(5 lletres)

8. Problema NP-difıcil que es resol anant deciutat en ciutat (8 lletres)

7 RespostesalsMatemots:8.viatjant;3.calcul;6.caracterıstica;2.pentagon;4.octants;7.rimen;5.suprem;1.agut.

SCM/Notıcies 43 93

XIXe concurs de Fotografia Matematica ABEAM 2018

Primer premi de Cinque de Primaria Primer premi d’ESO Primer Cicle

«Dos quart o una meitat» de JuliaMagallon, Escola Gravi.

«Raons» de Jan Kessels, InstitutCastellbisbal.

Primer premi de Sise de Primaria Primer premi d’ESO Segon Cicle

«Superfıcie de la petjada = sumadels quadrats» d’Alvaro Huelves,

Escola Joan Coret.

«Parells (cremallera) senars =naturals» d’Abril Jurjo, Fundacio

Aula Escola Europea.

Primer premi Batxillerat i ESPO Primer premi Professorat i PAS

«Recta lıquida descomposta enpunts» de Jorehl Torres, Institut

Quatre Camins.

«Incubat» d’Albert Ballespi iEugenia Torres, Serra de

Miramar.

94 SCM/Notıcies 43

El mmaca es troba en un punt molt important de la seva història. Durant els 10 anys de recorregut, hem treballat molt i el projecte ha crescut amb força. L'objectiu d'apropar les matemàtiques a la societat s'està complint i tenim el reconeixement generalitzat de tots els que ens coneixen.

Ara necessitem saber amb qui podem comptar per a poder afrontar els reptes futurs i continuar oferint activitats arreu del territori: necessitem persones.

Però no ens n'amagarem: també necessitem diners. Afortunadament, les donacions fetes en favor del mmaca gaudeixen d'avantatges �scals interes-santíssims de �ns al 75% de desgravació en l'IRPF.

Ara més que mai necessitem els nostres amics a la vora!

Si vols fer-nos costat, ens ho pots fer saber escrivint a mecenes@mmaca.cat

Des de febrer de 2014, l’Ajuntament de Cornellà ha cedit al mmaca la segona planta del Palau Mercader per instal·lar-hi una exposició permanent.

Disposem de 400 m2 amb sales dedicades a geometria, combinatòria, càlcul, estadística, miralls, l’esfera de la Terra i un espai dedicat especialment als primers cursos de Primària.

Apro�tant el magní�c entorn del Parc, organitzem jornades singulars a l’exterior: Aniversari (febrer), Dia Pi (març), Dia escolar de les matemàtiques (maig), Dia de Martin Gardner (octubre).

La majoria dels materials del mmaca estan dissenyats i fets a mà per nosal-tres. Utilitzem materials senzills: fusta, cordes, teles, vidre, plàstic.

Regularment programem conferències i altres activitats divulgatives.

Museu de Matemàtiques de CatalunyaPalau Mercader - Parc Can MercaderCarretera de L’Hospitalet, s/n.08940 Cornellà de Llobregat

Entrada gratuïtaDimecres de 17 a 20h

Diumenge de 10 a 14h

Grups amb reserva prèviaMatins de dilluns a divendres

Tallers per a famíliesDiumenge de 10 a 11h

Dilluns i dimecres a la tarda

reserves.cornella@mmaca.cattel. 665233448 (de 10 a 13h)

@mmaca_catwww.mmaca.cat

mmaca.cat

Us convidem a visitar-nos!Us quedareu més temps del que havíeu previst!

M L5Gavarra

L8

R5 R6 R50

R60 S8 S33

Almeda

CARRETERA DE L’HOSPITALET

mmaca

15SORTIDA

PARC CAN MERCADER

L12, L52, L82

Individual members of the EMS, member societies or societies with a reciprocity agree-ment (such as the American, Australian and Canadian Mathematical Societies) are entitled to a discount of 20% on any book purchases, if ordered directly at the EMS Publishing House.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum SEW A21

Scheuchzerstrasse 70CH-8092 Zürich, Switzerland

orders@ems-ph.orgwww.ems-ph.org

New books published by theSS

E

EM

SS

E

EM MM

European Mathematical Society

Timothée Marquis (Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium)An Introduction to Kac–Moody Groups over Fields (EMS Textbooks in Mathematics)ISBN 978-3-03719-187-3. 2018. 341 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 48.00 Euro

The interest for Kac–Moody algebras and groups has grown exponentially in the past decades, both in the mathematical and physics communities, and with it also the need for an introductory textbook on the topic.The aims of this book are twofold:- to offer an accessible, reader-friendly and self-contained introduction to Kac–Moody algebras and groups;- to clean the foundations and to provide a unified treatment of the theory.The book starts with an outline of the classical Lie theory, used to set the scene. Part II provides a self-contained introduction to Kac–Moody algebras. The heart of the book is Part III, which develops an intuitive approach to the construction and funda-mental properties of Kac–Moody groups. It is complemented by two appendices, respectively offering introductions to affine group schemes and to the theory of buildings. Many exercises are included, accompanying the readers throughout their journey. The book assumes only a minimal background in linear algebra and basic topology, and is addressed to anyone interested in learning about Kac–Moody algebras and/or groups, from graduate (master) students to specialists.

Bogdan Nica (McGill University, Montreal, Canada)A Brief Introduction to Spectral Graph Theory (EMS Textbooks in Mathematics)ISBN 978-3-03719-188-0. 2018. 168 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 38.00 Euro

Spectral graph theory starts by associating matrices to graphs – notably, the adjacency matrix and the Laplacian matrix. The general theme is then, firstly, to compute or estimate the eigenvalues of such matrices, and secondly, to relate the eigenvalues to structural properties of graphs. As it turns out, the spectral perspective is a powerful tool. Some of its loveliest applications concern facts that are, in principle, purely graph theoretic or combinatorial.This text is an introduction to spectral graph theory, but it could also be seen as an invitation to algebraic graph theory. The first half is devoted to graphs, finite fields, and how they come together. This part provides an appealing motivation and context of the second, spectral, half. The text is enriched by many exercises and their solutions.The target audience are students from the upper undergraduate level onwards. We assume only a familiarity with linear algebra and basic group theory. Graph theory, finite fields, and character theory for abelian groups receive a concise overview and render the text essentially self-contained.

Alexander V. Kosyak (National Academy of Science of Ukraine, Kiev, Ukraine)Regular, Quasi-regular and Induced Representations of Infinite-dimensional Groups (EMS Tracts in Mathematics Vol. 29)ISBN 978-3-03719-181-1. 2018. 587 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 98.00 Euro

Almost all harmonic analysis on locally compact groups is based on the existence (and uniqueness) of a Haar measure. Therefore, it is very natural to attempt a similar construction for non-locally compact groups. The essential idea is to replace the non-existing Haar measure on an infinite-dimensional group by a suitable quasi-invariant measure on an appropriate completion of the initial group or on the completion of a homogeneous space.The aim of the book is a systematic development, by example, of noncommutative harmonic analysis on infinite-dimensional (non-locally compact) matrix groups. We generalize the notion of regular, quasi-regular and induced representations for arbitrary infinite-dimensional groups. The central idea to verify the irreducibility is the Ismagilov conjecture. We also extend the Kirillov orbit method for the group of upper triangular matrices of infinite order.In order to make the content accessible to a wide audience of nonspecialists, the exposition is essentially self-contained and very few prerequisites are needed. The book is aimed at graduate and advanced undergraduate students, as well as mathematicians who wish an introduction to representations of infinite-dimensional groups.

Anne Thomas (The University of Sydney, Australia)Geometric and Topological Aspects of Coxeter Groups and Buildings (Zürich Lectures in Advanced Mathematics)ISBN 978-3-03719-189-7. 2018. 160 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 34.00 Euro

Coxeter groups are groups generated by reflections, and they appear throughout mathematics. Tits developed the general theory of Coxeter groups in order to develop the theory of buildings. Buildings have interrelated algebraic, combinatorial and geometric structures, and are powerful tools for understanding the groups which act on them. These notes focus on the geometry and topology of Coxeter groups and buildings, especially nonspherical cases, and. The emphasis is on geometric intuition, and there are many examples and illustrations. Part I describes Coxeter groups and their geometric realisations, particularly the Davis complex, and Part II gives a concise introduction to buildings. This book will be suitable for mathematics graduate students and researchers in geometric group theory, as well as algebra and combinatorics. The assumed background is basic group theory, including group actions, and basic algebraic topology, together with some knowledge of Riemannian geometry.

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iecat.net Adreca web: http://www.iecat.net/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

(cal imprimir-a, omplir-la, signar-la i enviar-la a la SCM per correu electronic, fax o correu ordinari)

Tipus de soci: Ordinari Estudiant∗ Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

Dades per a la domiciliacio bancaria

Qui signa aquest document autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat

Catalana de Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte o targeta :

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i digits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

Signatura

Envieu la butlleta d’inscripcio i l’ordre de domiciliacio, que trobareu al web de la SCM, http://blogs.iec.cat/scm/la-societat/fes-ten-soci/, per correu postal o correu electronic, emplenada i signada.Les quotes per a l’any 2018 son les seguents: 40 euros socis ordinaris, 20 euros socis estudiants i membres desocietats amb conveni de reciprocitat i 80 euros institucions.Us informem que les vostres dades seran incorporades a un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’EstudisCatalans (IEC) amb la finalitat de gestionar l’activitat a la qual us inscriviu. Les vostres dades no seran cedidesa tercers, i un cop finalitzada l’activitat es conservaran als efectes de registre historic. Podeu exercir els dretsd’acces, rectificacio, supressio, oposicio, limitacio en el tractament i portabilitat, adrecant-vos per escrit a l’Institutd’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona), o be enviant un correu electronic a l’adreca ldades.

personals@iec.cat.

� Desitjo rebre informacio sobre les activitats i les publicacions de l’Institut d’Estudis Catalans i de les sevessocietats filials.

∗Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula

43● Noves seccions: «Empresa» i «Bits»

● «Robert P. Langlands, premi Abel 2018», per Pilar Bayer

● Conversa entre Joan Elias i Enric Fossas

● Per què els graduats actuals en Matemàtiques no opten per ser professors en etapes no universitàries?

Institutd’Estudis Catalans

Julio

l 20

18

SCM / Notícies / 43Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

XIX concurs de Fotografia Matemàtica ABEAM 2018

Coberta Notícies 43.indd 1 16/07/2018 11:34:56