pep 1 2014-1 hidraúlica

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERA EN OBRAS CIVILES

Avda. Ecuador 3659 Estacin Central Santiago Chile Web: www.oocc.cl

HIDRULICA - PEP #1 Semestre 2014-1 / Prof. Carlos Reiher

Nombre: _________________________________________________________ 1. Para el anlisis de una canaleta rectangular de ancho b que conduce los flujos vertidos desde un estanque, se pide que analice los siguientes aspectos:

a) Determine una expresin que relacione ze (cota de agua en el estanque) y Q (el caudal evacuado). Seale cual es la cota mnima a partir de la cual se produce escurrimiento en la canaleta.

b) Determine las velocidades de escurrimiento y nmeros de Froude a lo largo de la canaleta, para una altura del estanque ze = ze0.

c) Determine la implicancia, en trminos del caudal circulante y de los regmenes de escurrimiento, de colocar una compuerta al inicio de la canaleta (inicio del tramo de cota z1), con una abertura a0.

Indicaciones: Suponga que no existe control hidrulico desde ms aguas abajo del final de la canaleta (cada libre). Considere despreciables las prdidas de energa friccionales, as como las prdidas singulares en cambios de cota de fondo. As mismo, considere que el canal es horizontal, y que la velocidad de escurrimiento es despreciable en el estanque. Recuerde que en compuertas, se pueden considerar despreciables las prdidas singulares de energa, y que la altura de escurrimiento aguas abajo de sta queda dado por un valor hT = a, donde corresponde a un coeficiente de contraccin (constante igual a 0.611) y a es la apertura de la compuerta.

Datos: b = 2.5 [m]; z1 = 0.5 [m]; z2 = 0.3 [m]; z3 = 0.6 [m]; ze0 = 0.8 [m]; a0 = 0.1 [m]

Estanque

Ze

Inicio de la canaleta

(ubicacin de la compuerta en parte c)

(1) (2) (3)

z1 z2

z3




2. En la figura se muestra un canal que pasa de ser un acueducto circular de dimetro D, a una seccin trapecial de ancho b y taludes k, y finalmente termina siendo una seccin rectangular de ancho b, donde se emplaza una compuerta que controla el escurrimiento. Se desea analizar los regmenes de escurrimiento y la capacidad de este canal, realizando las siguientes estimaciones:

a) Determine el caudal mximo que puede circular por esta conduccin, de modo que la altura en las secciones trapecial y rectangular no supere un valor Hmax, ni se alcance una altura superior a 0.8 D en la seccin circular. Analice esta condicin considerando una apertura de la compuerta a0 (considere que la compuerta controla el escurrimiento).

b) Determine cul sera el caudal mximo en esta conduccin, sujeto a las mismas restricciones, en caso de que la compuerta se encuentre totalmente abierta.

Indicaciones: Suponga despreciables las prdidas de energa singulares en los cambios de seccin, as como las friccionales a lo largo del escurrimiento. Considere el canal horizontal en la zona de anlisis. Supongo que no existen otros controles hidrulicos cercanos desde aguas arriba ni aguas abajo al sector en estudio. Adems, considere despreciables las prdidas de energa en la compuerta, considerando que si sta controla el escurrimiento, definir una altura h4 = a, donde corresponde a un coeficiente de contraccin (constante igual a 0.611) y a es la apertura de la compuerta. Datos: b = 1.5 [m]; k = H:V = 1:2; D = 1.5 [m]; Hmax = 1.2 [m]; a0 = 0.5 [m]

(1)

Q

Planta (parte a)

(2)

D b

(3)

Compuerta

(4)




Pauta P1

a) ze en funcin de Q Para determinar la relacin entre el caudal circulante y la cota del estanque, debe plantearse un balance de energa entre este ltimo y cualquier seccin del canal: B0 = B1 = B2 = B3 ze = z1 + E1 = z2 + E2 = z3 + E3 Adicionalmente, debe considerarse que en la canaleta debe haber un control hidrulico que define los regmenes de escurrimiento, no hay control hidrulico desde aguas abajo del final de sta, por lo que se debe tener control en (1), (2) (3); siendo un canal de ancho constante, el control vendr dado por la seccin con el fondo ms alto, en este caso la (3): E3 = Ec (Energa crtica de la canaleta)

q: caudal por unidad de ancho de la canaleta Dado el balance de energa, E3 = ze - z3, por lo tanto: ze - z3 = 3/2 (q / g)

1/3; q = Q / b

Slo tiene sentido fsico cuando ze > z3; de lo contrario, el caudal circulante ser nulo. b) Velocidades mximas de escurrimiento y nmeros de Froude Se pide determinar las velocidades de escurrimiento y nmeros de Froude a lo largo de la canaleta para una altura dada del estanque (ze0); para ello, debe determinarse en primer lugar el caudal circulante, y luego las alturas de escurrimiento, a travs del balance de energa: Caudal (segn expresin de la parte a): Q = 0.38 [m/s]; q = Q / b = 0.152 [m/s/m] Seccin (1): E1 = ze - z1 = 0.3 [m] E1 = h1 + q / (2 g h1) h1 = 0.285 [m] (Se selecciona la mayor de las soluciones positivas, ya que se est aguas arriba de la crisis en la seccin 3) Seccin (2): E2 = ze - z2 = 0.5 [m] E2 = h2 + q / (2 g h2)




h2 = 0.495 [m] (Se selecciona la mayor de las soluciones positivas, ya que se est aguas arriba de la crisis en la seccin 3) Seccin (3): E3 = ze - z3 = 0.2 [m] E3 = Ec = 3/2 hc h3 = hc = 0.133 [m] (Altura crtica) Velocidades de escurrimiento: v1 = Q / (b h1) = q / h1 = 0.53 [m/s] v2 = Q / (b h2) = q / h2 = 0.31 [m/s] v3 = Q / (b h3) = q / h3 = 1.14 [m/s] Nmeros de Froude: Fr1 = (Q b) / (g b h1) = q / g h1 = 0.10 Fr1 = 0.32 (subcrtico - ro) Fr2 = (Q b) / (g b h2) = q / g h2 = 0.02 Fr2 = 0.14 (subcrtico - ro) Fr3 = (Q b) / (g b h3) = q / g h3 = 1.00 Fr3 = 1.00 (crisis) c) Caso con compuerta En caso de haber una compuerta al inicio del canal con una abertura especificada, sta impondr una condicin de escurrimiento de torrente inmediatamente aguas abajo de sta, cambiando la disposicin de los controles hidrulicos y los regmenes de escurrimiento resultantes. Haciendo un balance de energa entre el estanque (nivel ze0) y la seccin inmediatamente aguas abajo de la compuerta (seccin de cota z1): ze = z1 + E1 = z1 + h1 + q / (2 g h1) Dada la abertura de la compuerta (a0), se sabe que la altura h1 = a0 = 0.061 [m]. En la ecuacin anterior, con esto se puede estimar q = 0.132 [m/s/m]: Q = 0.33 [m/s]; hc = 0.12 [m]; Ec = 0.18 [m] Con ello, se determina que el caudal se reduce con respecto a la condicin sin compuerta; sin embargo, falta verificar que el escurrimiento es posible: para esto, la




energa debe ser mayor a la crtica en todas las secciones (en el balance de energa debe considerarse adems que no hay prdidas en la compuerta): Seccin (1): E1 = ze - z1 = 0.3 [m] > Ec Seccin (2): E2 = ze - z2 = 0.5 [m] > Ec Seccin (3): E3 = ze - z3 = 0.2 [m] > Ec Se cumple que la energa es mayor en todas las secciones, por lo que no surge ningn otro control hidrulico, producto de otro punto del escurrimiento con mayor energa crtica. Si el nico control hidrulico es la compuerta, entonces los escurrimientos en la secciones 1, 2 y 3 son de tipo supercrtico (torrente). Nota: en caso de que alguna seccin de escurrimiento no hubiese tenido energa suficiente, dado el caudal que impone la compuerta, entonces esta seccin hubiese tenido que transformarse en control hidrulico, lo cual implicara modificacin del caudal y un clculo ms detallado para estimar qu control hidrulico predomina, y eventualmente la formacin de un resalto dentro de la canaleta.




Pauta P2

a) Caudal mximo con compuerta Dada la abertura de la compuerta, existe una condicin que sta impone sobre la altura en (4) cuando sta controla el escurrimiento: h4 = a0 = 0.31 [m] Esto determina una energa en (4):

Esta energa E4 depende del caudal circulante. Adems, por condicin del problema, no hay prdidas de energa ni en la compuerta ni en los cambios de seccin, por lo que E1 = E2 = E3 = E4. Esta condicin podr ser utilizada para definir alguna otra condicin, relacionada con las restricciones de altura, con la cual pueda calcularse el caudal. Por ejemplo, si se impone que h3 = Hmax:

Igualando con E4, se llega a:

Despejando se llega a q = 1.32 [m/s/m] Q = 1.98 [m/s] E3 = E4 = 1.26 [m] Se debe verificar que pasa con este caudal en las secciones de ms aguas arriba; igualando energa con la seccin (2):

Resolviendo para h2 (buscando la mayor solucin positiva, considerando que el rgimen debe ser subcrtico aguas arriba del ro de la seccin 3): h2 = 1.23 [m]




Entonces este caudal encontrado imponiendo la condicin lmite en la seccin rectangular NO cumple para la seccin trapecial; sta ltima es ms desfavorable y por lo tanto debe aplicarse una nueva restriccin, esta vez para determinar un nuevo caudal sujeto a que h2 = Hmax: Por igualdad de energa, a partir de E2 = E4:

Despejando se llega a Q = 1.95 [m/s]

Determinando las alturas en las otras secciones: Seccin (3):

h3 = 1.17 [m] (cumple, es menor a Hmax) Seccin (1):

Resolviendo se llega a: = 4.22 [rad] h1 = 1.14 [m] h1 / D = 0.76 (cumple, es menor a 0.8) b) Caudal mximo sin compuerta Para el caso sin compuerta, sin controles hidrulicos cercanos, debe considerarse que alguna de las tres secciones (circular, trapecial o rectangular) debe ser control hidrulico (crisis), y los regmenes de las otras dos quedarn sujetos a la posicin en relacin a esta crisis. Debe imponerse crisis en la seccin ms estrecha; visualmente, sta corresponde a la seccin circular (se verificar al final si efectivamente la energa crtica es la mayor en




esta seccin). Adems, en esta seccin se impondr la condicin lmite de altura h = hc = 0.8 D: Altura crtica en (1) (se obtiene haciendo Fr=1):

3

22

g

LQFr

322

2

8/

2/

cc

c

senDg

senDQFr

= 1 D = 1.5 m

hc = 0.8 D = 1.2 m c = 4.43 rad Q = 5.33 m/s

Energa crtica: 22

2

8/2 cccc

senDg

QhE

= 1.83 m

Se iguala energa con la seccin (2) trapecial (no hay prdidas de energa ni cambio de cota de fondo), a partir de lo cual se estima la altura en sta:

Etrap = Ec circ 22

2

2 traptraptraptrap

hkhbg

QhE

= 1.83 m

htrap = 0.60 m < Hmax (Se ha escogido la menor solucin -de torrente- debido a que se encuentra aguas abajo de la crisis) Finalmente, igualando energa con la seccin (3) rectangular, se estima la altura en sta:

Erect = Ec circ 2

2

2 rectrectrect

hbg

QhE = 1.83 m

hrect = 0.78 m < Hmax (Al igual que la anterior, se ha escogido la menor solucin, rgimen supercrtico) Se puede corroborar que para este caudal, la energa crtica es mayor en la seccin circular, lo que corrobora el supuesto de crisis en sta: Seccin trapecial:

322

2 2

cc

c

hkhbg

hkbQFr

= 1 hc = 0.97 [m]; Ec = 1.36 [m]

Seccin rectangular:

300

22

chBg

BQFr = 1 hc = 1.09 [m]; Ec = 1.63 [m]

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