pensamiento logico

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA pensamiento lógico matemático 06/06/2022 1 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA

pensamiento lgico matemtico12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 1

EXPOSITORE SCrdova Calle Elia Anacely Castro Inga Betsy Castaeda Ocampo Carlos Alberto Carranza Serna Vctor Hugo 12/10/09PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 2

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IMPLICACIN LOGICA Y EQUIVALENCIAS PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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Existe un conjunto de equivalencias e implicaciones lgicas que pueden utilizarse como esquemas de sustitucin en procesos de razonamiento, o como esquemas de razonamientos validos respectivamente. A continuacin se muestra un breve resumen de las ms importantes:12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 4

EQUIVALENCIA LOGICASLey de Involucin( doble negacin): dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmacin ~ (~p) p

La Idempotencia: una cadena de conjunciones o disyunciones de variables redundantes se eliminan. ppp p V p p12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 5

Leyes Conmutativas: si en las preposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se permutan sus respectivas componentes, sus equivalentes significan lo mismo. pqqp pVqqVp p q q p12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 6

Leyes Asociativas: Las leyes asociativas para la conjuncin, disyuncin y bicondicional establecen que si en un esquema hay ms de una conjuncin, disyuncin y bicondicional, respectivamente, con igual alcance, ellas pueden agruparse indistintamente. (p q) r p (q r) (p V q) V r p V (q V r) (p q) r p (q r) Leyes Distributivas: p (q v r) (p q) V (p r) P v (q r) (p V q) (p V r) p (q r) (p q) (p r) 12/10/09 7 p PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO V (p r) (q v r) (p q)

Leyes de Morgan: La negacin de las preposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtienen cambiando la conjuncin por la disyuncin, o la disyuncin por la conjuncin, y negando cada uno de los componentes. ~ (p q) (~p ~q) ~ (p V q) (~p V ~q)

Las Leyes del Condicional: p q ~p V q ~ (p q) p ~q12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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Leyes del Bicondicional: (p q) (p q) (q p) (p q) (p q) V (~p ~q) Leyes de la Absorcin: p (p V q) p p (~p V q) p q p V (p q) p p V (~p q) p V q12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 9

Leyes de Transposicin: (p q) (~q ~p) (p q) (~q ~p) Leyes de Exportacin:

(p q) r p (q r) [(p p pn) r] [(p p pn-) (pn r)

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Formas normales para la Conjuncin y Disyuncin:

F.N. CONJUNTIVA TTT TPP CPC

F.N. DISYUNTIVA CvCC CvPP TvPT

(T= tautologa, C= contradiccin, P= esquema molecular cualquiera)

Elementos Neutros para la Contradiccin y Tautologa): 12/10/09 MATEMATICO p C CPENSAMIENTO LOGICOCv T T p v T11

EJEMPLO :Transformar la siguiente proposicin compuesta: P= (~p q) (p q) a su equivalente condicional ms simple. Sol. Sabemos que: ~(p q) p q ~p q p q. Luego, en P

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P P P P P P P P P P P

(p q) (p q) (p q) (~p v q) p [q (~p v q) p {[q v (~p v q)] ~ [q (~p v q)]} p {[q v (~p v q)] ~ [~q v ~ (~p v q)]} p {[(q v q) v ~p] ~ [~q v (p v ~q)]} p {[q v ~p] [~q] p (~p v ~q) [p v (~p v ~q)] [~ (p (~p v ~q))] [p v ~q] [~p v ~ (~p ~q)] (p v ~q) [~p v ~ (p q)] (p v ~q) [(~p v p) v q] (p v ~q) [T v q] (p v ~q) T ~q v pPENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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IMPLICACIONES LOGICAS :Ley del Modus Ponens: su representacin simblica es: [(p q) p ] q y su esquema clsico: p q p____ .: q

Ej: si en verano hace calor, entonces en invierno hace frio en verano hace calor__________________________ Luego: en invierno hace frio 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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Ley del Modus Tollens: su representacin simblica es: [(p q) ~q ] ~p y su esquema clsico: p q ~q____ .: ~p Ej: Si Ricardo Palma naci en Lima, entonces es limeo Ricardo Palma no es limeo____________________ Luego: Ricardo Palma no naci en Lima12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 14

Ley del Silogismo Disyuntivo: su representacin simblica es: [(p v q) ~p] q o [(p v q) ~q] p y su esquema clsico: p v q pvq ~p___ o ~q___ .: q .: p Ej: Juan es abogado o es ingeniero Juan es abogado____________ Luego: Juan es ingeniero 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 15

Ley de la Inferencia Equivalente: su representacin simblica es: [(p q) p ] q y su esquema clsico: p q p____ .: q Ej: si x es mltiplo de 2, si y solo si x es par x es mltiplo de 2__________________ Luego: x es par 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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Ley del Silogismo Hipottico: su representacin simblica es: [(pq) (qr) ] (pr) y su esquema clsico: p q q r_ .: p r Ej:

si x es un nmero real tal que x+x-6=0, entonces (x+3) (x-2)=0

si (x+3) (x-2)=0, entonces x=3 o x=2_____________ Luego: si x es un nmero real tal que x+x6=0, entonces x=-3 o x=212/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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Ley de la Transitiva Simtrica: su representacin simblica es: [(pq) (qr) ] (pr) y su esquema clsico: p q qr .:p r Ej: el viento sopla si y slo si llueve llueve si y slo si el cielo est nublado Luego: el viento sopla si y slo si el cielo est nublado12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 18

Simplificacin: se simboliza por: (p q) p o (p q) q y su esquema clsico es: pq o pq .: p .: q Ej: 5 es menor que 7 y 15 es mltiplo de 5, por tanto, 5 es menor que 7 Scrates fue un filsofo griego y Shakespeare fue un dramaturgo ingls por lo tanto, Shakespeare fue un dramaturgo ingls 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 19

Adicin: se simboliza por: p(p v q) o q(p v q) y su esquema clsico es: p____ o q_____ .:p v q .: p v q Ej: Benjamn Franklin fue inventor del pararrayos. Por lo tanto, fue inventor del pararrayos o fue un hbil poltico americano 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 20

Ley del Absurdo: se simboliza por: [p (q ~q)] ~p o [~p (q ~q)] p y su esquema clsico es: p (q ~q) o ~p (q ~q) .: ~p .: p

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PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTESPENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 22

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Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad idnticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones son equivalentes: Esto se simboliza p q Ejemplo: La proposicin compuesta p q es equivalente a la proposicin compuesta.12/10/09

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( ~ p) v q p q (~ p) v q

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Entonces en una frmula lgica podemos ahorrar tiempo y espacio si reemplazamos: p q (~ p) v q o viceversa. Las equivalencias lgicas ms importantes son:

1.p 2.p 3.p 4.p

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v v v v

pp VV Fp qqv p

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5.p v (~ p) V 6.~ (~ p) p 7.( p v q ) v r p v ( q v r ) 8.p v ( q r ) ( p v q ) ( p v r ) 9.p p p 10.( p q ) r p ( q r ) 11.p ( q v r ) ( p q ) v ( p r ) 12.p F F 13.p V p12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 25

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14.p (~ p) F 15.p q q p 16.~( p v q ) (~p) (~q) 17.~( p q ) (~p) v (~q) 18.p q (~p) v q 19.p q (~q) (~p) 20.p ( p v q ) p 21.p v ( p q ) p 22.p q ( p q ) ( q p ) 23.p q ( p q ) v [( ~ p ) (~ q )] 24.~ V F ; ~ F VPENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

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PRINCIPALES LEYES LOGICAS O TAUTOLOGIAS12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 27

Una forma proposicional es una ley lgica si y solo si cualquiera que sea la interpretacin formalmente correcta que se haga de la misma, se obtiene como resultado una verdad lgica. En lgica. En lgica, las tautologas son conocidas con el nombre de leyes o principios lgicos y son las siguientes:

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Ley de identidad (Reflexividad): Una proposicin solo es idntica a s misma. Se expresa por:

p q y p q

Ley de no contradiccin: Una proposicin no puede ser verdadera y falsa a La vez se expresa por: ~ (p ~p)12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 29

Ley del tercio excluido: Una proposicin o es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibilidad. Se expresa por:

P V ~q

Existen muchas otras tautologas igualmente importantes y que se clasifican en dos grupos: Las tautologas llamadas equivalencias notables y las llamadas implicaciones notables.12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 30

LA INFERENCIA LOGICA O ARGUMENTO LOGICO: TEOREMASPENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 31

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Primero presentamos los tipos de inferencia, la inferencia vlida en computacin y matemticas y al final una serie de reglas que se utilizan para la inferencia deductiva. La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusin. Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva,12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 32

Inductiva (de lo particular a lo general)

Aqu por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusin no necesariamente es vlida porque puede ser que el maestro algn da llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que ser verdadero lo12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 33

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los das dices mentiras, y l contesta, no es cierto, ayer en todo el da no dije una sola mentira. Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observacin de uno o ms casos y no se puede asegurar que la conclusin12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 34

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el da de hoy que est lloviendo hay nubes. Tambin se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas slo hay una posible situacin, en este caso decimos que la situacin nica es la conclusin. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son 12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 35 verdaderas entonces la conclusin tambin lo

En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia vlida. La inferencia deductiva es la nica aceptada como vlida en matemticas y computacin para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada ms delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 36

Tra n sd u ctiv a ( de particular a particula o de g e n e ra la g e n e ra l )

Con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros das y concluimos que el lunes siguiente tambin llegar tarde.

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El anterior sera de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compaero maestro que la primera vez que imparti matemticas discretas observ que todos los alumnos estudiaban, concluy que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusin es verdadera.12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 38

AbductivaEs semejante a la deductuva, tambin utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma vlida de obtener conclusiones en matemticas o en lgica y es necesario conocer ms informacin para poder verificar la validez.12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 39

El mtodo directo de demostracin

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Si tomamos una frase lgica condicional sencilla del tipo : P Q Que podemos analizar como si se cumple P entonces se cumple Q, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer anlisis mas intensivos. Si decimos : El cielo esta encapotado , va a llover estamos realizando una asociacin de causa y efecto. En la cual el cielo esta encapotado es la causa y el efecto lgico es que, va a llover. As mismo en una relacin matemtica se puede verificar esta sencilla relacin en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplir la consecuencia Q.

El mtodo directo de demostracin

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A este proceso formal se le denomina demostracin mediante el mtodo directo es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entonces su consecuencia tampoco se verificar. P Q Supngase que P Q es una tautologa, en donde P y Q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier nmero de variables propositivas, se dice que q se desprende lgicamente de p. Supngase una implicacin de la forma. (P1 P2 P3 ... Pn) Q Es una tautologa.

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Demostrar un teorema es demostrar que la condicional es una tautologa . Cualquier demostracin, sea de enunciados o matemtica debe: Comenzar con las hiptesis. Debe seguir con las tautologas y reglas de inferencias necesarias para... Llegar a la conclusin.

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Ejem. "Si trabajo y ahorro, entonces comprar una casa. Si compro una casa, entonces podr guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro". p q r; y r s; entonces s' q' Equivale tambin a probar el siguiente teorema: [(p q) r] [r s]; [s' q'] Como se trata de probar un teorema de la forma general: p1 p2 ...... pnentonces q

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Se aplica el procedimiento general para demostracin de enunciados vlidos. A continuacin se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologas o reglas de inferencia ya conocidas. 1.- (p q) r Hiptesis 2.- r sHiptesis 3.p q Silogismo Hipottico 4.q r Silogismo Hipottico 5.q s 6.s q Conclusin.12/10/09 PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO 45

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A R

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