Pndulo

El pndulo (del lat. pendlus, pendiente)[1] es un sistemafsico que puede oscilar bajo la accin gravitatoria u otracaracterstica fsica (elasticidad, por ejemplo) y que estcongurado por una masa suspendida de un punto o de uneje horizontal jos mediante un hilo, una varilla, u otrodispositivo que sirve para medir el tiempo.Existen muy variados tipos de pndulos que, atendiendo asu conguracin y usos, reciben los nombres apropiados:pndulo simple, pndulo compuesto, pndulo cicloidal,doble pndulo, pndulo de Foucault, pndulo de Newton,pndulo balstico, pndulo de torsin, pndulo esfrico,etctera.Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj depndulo, metrnomo, ...), medida de la intensidad de lagravedad, etc.

1 Pndulo simple o matemticoTambin llamado pndulo ideal est constituido por unhilo inextensible de masa despreciable, sostenido por suextremo superior de un punto jo, con una masa puntualsujeta en su extremo inferior que oscila libremente en unplano vertical jo.Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, os-cila a ambos lados de dicha posicin, desplazndose sobreuna trayectoria circular con movimiento peridico.

1.1 Ecuacin del movimiento

Para escribir la ecuacin del movimiento observaremosla gura adjunta, correspondiente a una posicin gen-rica del pndulo. La echa azul representa el peso de lamasa pendular. Las echas en color violeta representanlas componentes del peso en las direcciones tangencial ynormal a la trayectoria.Aplicando la Segunda ley de Newton en la direccin delmovimiento, tenemos

Ft = mg sin = mat

donde el signo negativo tiene en cuenta que la Ft tienedireccin opuesta a la del desplazamiento angular positivo(hacia la derecha, en la gura). Considerando la relacinexistente entre la aceleracin tangencial y la aceleracinangular

at = `

obtenemos nalmente la ecuacin diferencial del movi-miento plano del pndulo simple

` + g sin = 0

1.2 Perodo de oscilacin

El astrnomo y fsico italiano Galileo Galilei observ queel periodo de oscilacin es independiente de la amplitud,al menos para pequeas oscilaciones. En cambio, aqueldepende de la longitud del hilo. El perodo de la oscila-cin de un pndulo simple restringido a oscilaciones depequea amplitud puede aproximarse por:

T 2q

`g

Para oscilaciones mayores la relacin exacta para elperodo no es constante con la amplitud e involucraintegrales elpticas de primera especie:

T = 4

s`

gKsin '0

2

= 4

s`

g

Z 2

0

dq1 sin2 '02 sin2

Donde 0 es la amplitud angular mxima. La ecuacinanterior puede desarrollarse en serie de Taylor obtenin-dose una expresin ms til:

T = 2

s`

g

"1 +

1

2

2sin2 '0

2+

1 32 4

2sin4 '0

2+

1 3 52 4 6

2sin6 '0

2+ : : :

#

1.3 Solucin de la ecuacin de movimiento

Para amplitudes pequeas, la oscilacin puede aproxi-marse como combinacin lineal de funciones trigonom-tricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ngulopuede expresarse como combinacin lineal de funcioneselpticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuentaque la energa constituye una integral de movimiento yusar el mtodo de la cuadratura para integrar la ecuacinde movimiento:

1

2 3 VASE TAMBIN

t =p

m2

R (t)0

ldpEU() =

=q

l2g

R (t)0

dpcos cos0 =ql4g

R (t)0

dqsin2 02 sin2 2

Donde, en la ltima expresin se ha usado la frmula delngulo doble y donde adems:

E = mgl cos0 , es la energa, que estrelacionada con la mxima amplitud 0 .U() = mgl cos , es la energa potencial.

Realizando en variable sin = sin2

sin 02, la solucin de las

ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

t =q

lg

R 0

dq1sin2 02 sin2

)

(t) = 2 arcsinsnp

gl t sin 02

Donde:

sn(t) , es la funcin elptica de Jacobi tiposeno.sin = sin

(t)2

sin 02

El lagrangiano del sistema es L = T V = 12ml2 _2 mgl cos , donde es el ngulo que forma la cuerda delpndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y les la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplicanlas ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuacin nal delmovimiento: l2 + gl sin = 0 . Es decir, la masa noinuye en el movimiento de un pndulo.

2 Pndulo esfricoUn pndulo esfrico es un sistema con dos grados de li-bertad. El movimiento est connado a la una porcin desupercie esfrica (de radio l) comprendida entre dos pa-ralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energaE y la componente del momento angular paralela al ejevertical Mz. La funcin lagrangiana viene dada por:

L = 12ml2( _2 + _2 sin2 ) +mgl cos

Donde es el ngulo polar y es el ngulo que forma elhilo o barra del pndulo con la vertical. Las ecuacionesde movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangianoanterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

d

dt

@L

@ _ @L

@= 0 ) l l _2 sin cos + g sin = 0

d

dt

@L

@ _ @L

@= 0 ) d

dt(ml2 _ sin2 ) = 0

La segunda ecuacin expresa la constancia de la compo-nente Z del momento angular y por tanto lleva a la rela-cin entre la velocidad de giro polar y el momento angulary por tanto a reescribir la lagrangiana como:

_ = Mzml2 sin2 ) L = K( _) +

Uef () =12ml

2 _2 +M2z

2ml2 sin2 mgl cos

Y el problema queda reducido a un problema unidimen-sional.

2.1 PerodoEl movimiento de un pndulo esfrico en general noresulta peridico, ya que es la combinacin de dosmovimientos peridicos de perodos generalmente in-conmensurables. Sin embargo el movimiento resultacuasiperidico, lo cual signica que jado una posiciny una velocidad previas del movimiento existe un tiempoT tal que el movimiento pasar a una distancia tan peque-a como se desee de esa posicin con una velocidad tanparecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente.Dada que la regin de movimiento adems resulta com-pacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un pnduloesfrico constituye un conjunto denso sobre una rea es-frica comprendida entre dos casquetes esfricos.

2.2 Solucin de la ecuacin de movimientoLas ecuaciones de movimiento pueden expresarse en tr-minos de integrales elpticas de primera especie y terceraespecie:

t =q

ml2

2

Rdp

EUef () =

Mzlp2m

Rd

sin2 pEUef ()

3 Vase tambin Oscilador armnico Doble pndulo Pndulo balstico Pndulo cicloidal Pndulo cnico Pndulo de Foucault Pndulo de Newton Pndulo de Pohl Pndulo de torsin Pndulo esfrico

4.2 Enlaces externos 3

Pndulo fsico Pndulo simple Pndulo simple equivalente Reloj de pndulo Teorema de Huygens

4 Referencias[1] pndulo, Diccionario de la lengua espaola (22. edi-

cin), Real Academia Espaola, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=p%C3%A9ndulo, consultado el 26de octubre de 2011.

4.1 Bibliografa Marion, Jerry B. (1996). Dinmica clsica de las

partculas y sistemas. Barcelona: Ed. Revert. ISBN84-291-4094-8.

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de F-sica (4 volmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.

Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Fsica4. CECSA, Mxico. ISBN 970-24-0257-3.

4.2 Enlaces externos Pndulo Invertido

Pndulo simple en movimiento armnico con oscilaciones peque-as.

4 4 REFERENCIAS

Pndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de Mxico.

Componentes del peso de la masa pendular.

Factor de amplicacin del perodo de un pndulo, para una am-plitud angular cualquiera. Para ngulos pequeos el factor valeaproximadamente 1 pero tiende a innito para ngulos cercanosa (180).

Para pequeas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, paraamplitudes ms grandes la oscilacin ya no es senoidal. La guramuestra un movimiento de gran amplitud 0 = 0; 999 (negro),junto a un movimiento de pequea amplitud 0 = 0; 25 (gris).

4.2 Enlaces externos 5

Pndulo de Foucault en el hemisferio sur.

6 5 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

5 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias5.1 Texto

Pndulo Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo?oldid=80440339 Colaboradores: Angus, Dodo, Sms, Tano4595, Ramjar,Dianai, Poniol60, FAR, Digigalos, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), RobotQuistnix, Chobot, BOT-Superzerocool, Oscar ., GermanX, ThePhotographer, Dr Juzam, Gtz, BludgerPan, Chlewbot, KErosEnE, Paintman, Arnold bogdano, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci,Davius, Dorieo, FrancoGG, Thijs!bot, Escarbot, Isha, Jurgens~eswiki, JAnDbot, Thormaster, Ingolll, CommonsDelinker, Humberto, Neti-to777, Algarabia, Stardust, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, BlackBeast, AlleborgoBot, Muro Bot, YonaBot, SieBot, PaintBot, Loveless,Bigsus-bot, Lobo, Javierito92, Jsoler13~eswiki, Reyesoft, Gato ocioso, AlreadyDead, Eduardosalg, Leonpolanco, LordT, TronaBot, Pocoa poco, Aipni-Lovrij, AVBOT, David0811, Tanhabot, FiriBot, Ialad, SpBot, Diegusjaimes, MelancholieBot, CarsracBot, Luckas Blade,MystBot, WikiDreamer Bot, Spirit-Black-Wikipedista, Nallimbot, Nixn, ArthurBot, SuperBraulio13, Jkbw, Aldo66, Ricardogpn, Ander94, Botarel, Rocafort8, Halfdrag, PatruBOT, Ripchip Bot, GrouchoBot, EmausBot, Savh, AVIADOR, HRoestBot, MadriCR, Wikitanvir-Bot, MerlIwBot, Vagobot, AvocatoBot, Selmygil, Jomali~eswiki, Addbot, Lukitas13 y Annimos: 121

5.2 Imgenes Archivo:Catedral_Metropolitana,_Mxico_D.F.,_Mxico,_2013-10-16,_DD_89.JPG Fuente: http://upload.wikimedia.org/

wikipedia/commons/e/ef/Catedral_Metropolitana%2C_M%C3%A9xico_D.F.%2C_M%C3%A9xico%2C_2013-10-16%2C_DD_89.JPG Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Diego Delso

Archivo:Foucault_pendulum_animated.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Foucault_pendulum_animated.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: DemonDeLuxe (Dominique Toussaint)

Archivo:Pend-ampl.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Pend-ampl.png Licencia: Public domain Cola-boradores: Trabajo propio Artista original: Davius

Archivo:Pend-period-ampl.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Pend-period-ampl.png Licencia: Publicdomain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Davius

Archivo:Simple_Pendulum_Oscillator.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Simple_Pendulum_Oscillator.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: burro

Archivo:_pendulum.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Pendulum.jpg Licencia: Public domain Colabo-radores: see original upload log Artista original: see original upload log

5.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Pndulo simple o matemtico Ecuacin del movimiento Perodo de oscilacin Solucin de la ecuacin de movimiento

Pndulo esfrico Perodo Solucin de la ecuacin de movimiento

Vase tambin Referencias Bibliografa Enlaces externos

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