dirección general de contenidos - … 183 aprendizajes esperados: ... eje: forma, espacio y medida...

Alejandro de Icaza Peña

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Dirección General de ContenidosAntonio Moreno Paniagua

Gerencia de Secundaria y BachilleratoIván Vásquez Rodríguez

Gerencia de Arte y DiseñoHumberto Ayala Santiago

Gerencia de Asesoría PedagógicaMaría Guadalupe Sevilla Cárdenas

Coordinación de SecundariaÓscar Díaz Chávez

Coordinación de MatemáticasMa. del Pilar Vergara Ríos

Coordinación de Corrección de EstiloPablo Mijares Muñoz

Coordinación de DiseñoCarlos A. Vela Turcott

Coordinación de IconografíaNadira Nizametdinova Malekovna

Coordinación de RealizaciónGabriela Armillas Bojorges

EdiciónLeticia Martínez Ruiz

Asistencia editorialAna Elvia Francisco Solano

Corrección de estiloGuadalupe Escalante Ramírez

Edición de RealizaciónHaydée Jaramillo Barona

Edición de preprensa y control de calidadMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portada e interioresRaymundo Ríos Vázquez

DiagramaciónOverprint S. A. de C. V.

IconografíaMiguel Bucio Trejo

IlustraciónHéctor Ovando Jarquín, Alma Julieta Núñez(Grupo Pictograma), Sheila Cabeza de Vaca

FotografíaShutterstock, Glow Images, Photostock,Procesofoto y ©Retlaw Snellac

Digitalización de imágenesGerardo Hernández Ortiz

El libro Matemáticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2016 por Alejandro de Icaza Peña

D. R. © 2016 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,delegación Benito Juárez, Ciudad de México.

ISBN: 978-607-01-3044-1 Primera edición: abril de 2016

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

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E l libro Matemáticas 1, es una propuesta de trabajo producida por un equipo de per-sonas cuyo ámbito de desarrollo es el sector educativo y pretende ser una herra-mienta fl exible que acompañe en todo momento al alumno, al profesor y a los padres

de familia.

En esta obra se plantean situaciones en diferentes contextos de la vida diaria con la fi na-lidad de que los alumnos reconozcan las matemáticas como un recurso fundamental para la resolución de situaciones cotidianas, para la toma de decisiones y de utilidad en contex-tos especializados como el diseño de objetos o maquinaria que se hace a partir de relacio-nes numéricas y geométricas.

Es importante señalar que en las actividades propuestas se consideraron los intereses de los alumnos de secundaria, las experiencias de profesores y el nivel de tratamiento del contenido, ya que las matemáticas son un factor importante para la formación de los estudiantes de este nivel educativo. En el diseño de las lecciones también se consideraron las cuatro competencias matemáticas:

• Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática.• Validar procedimientos y resultados.• Manejar técnicas efi cientemente.

Uno de los propósitos de este material es fomentar en los alumnos la idea de que los resultados que obtengan en el aprendizaje de la asignatura dependerán en gran medida de que reconoz-can la importancia del trabajo colaborativo, en el cual la buena disposición a discutir los temas, confrontar resultados, escuchar opiniones diferentes, observar y trabajar en equipos son acti-tudes fundamentales tanto para validar procedimientos y desarrollarse en lo académico como en lo personal.

En este contexto el papel del docente debe ser de guía, mediador y acompañante del proceso de los escolares junto con los padres de familia.

Por todo lo anterior, les damos la más cordial bienvenida al estudio de las matemáticas en el nivel secundaria. Deseamos que los resultados que se obtengan a lo largo de este ciclo escolar sean exitosos.

El autor

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Invitación a la lectura

4El secreto de la máquina de ajedrez

Lee y subraya la respuesta correcta. Después, responde.

1. Célebres ajedrecistas con los que se demostraba la máquina de jugar ajedrez:

A) Johann Allgaier y William Lewis B) Wolfgang von Kempelen C) Napoleón I D) William Lewis

2. ¿Por qué se afirma que el número de jugadas del ajedrez es “infinito”?

3. ¿Cuál es la importancia de las matemáticas en el campo de la programación, no sólo de juegos por computadora?

¡No es broma! ¡En cierta época existieron má-quinas automáticas de ajedrez! Pero, ¿cómo concebir semejantes aparatos si el número de

combinaciones de piezas en el tablero de ajedrez es prácticamente infinito?

Se trata de un aparato inventado por el mecáni-co húngaro Wolfgang von Kempelen (1734-1804), que gozó de gran popularidad; lo presentó en las cortes austriaca y rusa y después hizo exhibiciones públicas en París y Londres.

Napoleón I jugó contra esta máquina creyendo que se enfrentaba en verdad a ella. A mediados del siglo XX, el célebre aparato fue a parar a América, pero se quemó en un incendio en Filadelfia.

La fama de otras máquinas fue menos rui-dosa. No obstante, ni siquiera en tiempos pos-teriores se perdió la fe en la existencia de tales aparatos. En realidad, ni una máquina de ajedrez actuaba automáticamente. En su interior se ocul-taba un adiestrado ajedrecista que movía las pie-zas. Este seudoautomático lo formaba un volu-minoso cajón en cuyo interior había un complejo mecanismo.

El cajón tenía un tablero de ajedrez con piezas que movía la mano de un gran muñeco. Antes de empezar el juego se permitía al público cerciorarse de que en el cajón no había más que las piezas del mecanismo. Sin embargo, en ese compartimento quedaba sitio suficiente para ocultar a un hombre de baja estatura. Ese papel fue desempeñado en su tiempo por los célebres ajedrecistas Johann Allgaier y William Lewis.

Es probable que mientras se mostraban suce-sivamente al público diferentes departamentos del cajón, la persona escondida pasara con sigilo de un lugar a otro sin ser vista.

En la actualidad hay máquinas que “juegan” ajedrez. Se trata de los juegos en computadora que permiten efectuar miles de operaciones por segun-do. Pero, ¿cómo pueden “jugar” ajedrez estas má-quinas? Esto es posible gracias a la programación que se realiza, es decir, al diseño de complejos al-goritmos con operaciones siguiendo un esquema previo y de acuerdo con un programa elaborado. El “programa” de ajedrez lo confeccionan los matemá-ticos con base en determinada táctica de juego.

A continuación te mostraremos el propósito de cada sección que integra el libro Matemáticas 1, las cuales están numeradas para que las identifi ques con mayor facilidad.

Entrada de bloque Este apartado está integrado por una doble página con un texto relacionado con uno o algunos de los contenidos a trabajar en el bloque y una fotografía que hace alusión a ellos. En él se incluyen los siguientes elementos:

BloqueHace referencia al bloque de estudio correspondiente del libro.

E l ingreso a la educación secundaria es una etapa en la que vivirás cambios im-portantes, ya que en este ciclo aplicarás

los conocimientos que adquiriste en la primaria y ampliarás lo que ya sabes de aspectos específi cos de otras asignaturas; lo cual implica enfrentar ma-yores retos académicos, que te permitirán adquirir una formación matemática.

Debido a ello, el libro Matemáticas 1, contie-ne actividades que integran desafíos y problemas matemáticos cuya resolución implica que expli-ques tus ideas, argumentes tus procedimientos, encuentres la vinculación de los contenidos ma-temáticos con otros campos del conocimiento, y

Alumnojunto con tus compañeros elabores conclusiones para validar el trabajo realizado.

Estas conclusiones son enriquecidas con la información matemática que se encuentra en las lecciones del libro y con la mediación del profesor.

La fi nalidad de este libro es serte de utilidad para tus estudios y transmitirte el gusto y el interés por el estudio de la asignatura.

Al inicio de cada bloque encontrarás una gran ima-gen a doble página que acompaña una lectura con la in-tención de que desarrolles tus competencias lectoras.

Al fi nal de cada bloque, siempre encontrarás dos secciones: una llamada Para saber más y una Evaluación del bloque.

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Aprendizajes esperados:

Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.

Máquina para jugar ajedrez. En 1974 se disputó el primer campeonato del mundo de computadoras, en Estocolmo, Suecia.

Invitación a la lectura El propósito de este apartado es propiciar el desarrollo de tu habilidad lectora mediante un texto que guarda relación con algunos de los contenidos que se trabajan en el bloque.

Aprendizajes esperadosOrientan tus procesos de aprendizaje al señalar lo que se espera que logres al fi nal del bloque.

Comprensión lectoraLas preguntas que se plantean en este apartado tienen el propósito de que los estudiantes desarrollen competencias lectoras mediante la búsqueda y recuperación de información.

FotografíaMuestra una gran imagen relacionada con el título de la sección.

Docente

E l libro Matemáticas 1, contiene actividades cuidadosamente diseñadas, estructuradas, seleccionadas y validadas en el aula escolar.

Muchas de estas se desarrollan en contextos cer-canos a los estudiantes, como una tortillería, el uso de mapas, situaciones del entorno escolar, etcétera. Con ello, se quiere comunicar que las matemáticas son úti-les en la vida diaria para resolver situaciones básicas, que van más allá de hacer las compras del mercado o de la papelería, y que sin duda, son imprescindibles para el avance científi co y tecnológico de la actualidad.

La propuesta didáctica del libro fomenta el traba-jo en equipos y en grupo con la intención de que todos participen en la construcción del conocimiento mate-mático. Donde la discusión, la confrontación, el in-tercambio de ideas y la explicitación de difi cultades

y dudas por parte de los alumnos, cobran un papel fundamental. En este contexto, la labor del pro-fesor debe ser de mediador y guía para que los es-colares alcancen el objetivo.

Los contenidos de este libro están organizados en cinco bloques, cada uno compuesto por un nú-mero variable de lecciones.

Al inicio de cada bloque se hace una “Invitación a la lectura”. El objetivo de las preguntas que se plantean en este apartado es que los estudiantes desarrollen competencias lectoras mediante la búsqueda y recu-peración de información; que hagan inferencias e in-terpretaciones del contenido del texto a partir de sus conocimientos previos y que construyan su capacidad crítico-valorativa al generar opiniones propias. Al mis-mo tiempo que se fomenta la habilidad lectora.

Los indicadores anteriores le permitirán evaluar el nivel de comprensión lectora de sus alumnos.

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Áreas y perímetros de polígonos regulares21

Contenido: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida

La superficie de un balón de futbol1. Resuelve de manera individual la siguiente actividad.

Armando juega futbol en el equipo de su colonia. Al sostener un balón en sus manos le llamó la atención ver que sus caras son polígonos regulares, por lo que decidió investigar cómo se hace un balón y encontró la siguiente información:

En algunos balones de futbol, sus caras, están formadas por polígonos regulares. A este cuerpo geométrico se le llama icosaedro truncado. El balón, al ser inflado, toma la forma esférica. El volumen del poliedro corresponde a 86.74% del volumen de una esfera y al ser inflado aumenta hasta alcanzar un poco más de 95%, e incluso puede rebasarlo.

a. Un balón se genera a partir del desarrollo plano que se muestra.

¿Qué polígonos identificas?

¿Cuántos de estos polígonos constituyen un balón de futbol?

¿Cómo se obtiene el perímetro y el área de un polígono regular?

¿Cómo puedes saber cuánto material se requiere para hacer un balón?

b. Considera que los pentágonos miden 5 cm de lado y 3.45 cm de apotema y los hexágo-nos, 5 cm de lado y 4.33 cm de apotema.

¿Cuál es el área total de los polígonos que conforman el balón de futbol?

Socializa tus respuestas y, con la guía del maestro, registra tus conclusiones.

Desarrollo plano

Icosaedro truncado

Balón

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Polígonos regulares7. Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades.Como recordarán, en la lección 4 calcularon el perímetro de distintas figuras geométricas.

a. Escriban la fórmula para calcular el perímetro de los polígonos y justifíquenla.

Pentágono P =

Octágono P =

Polígono de n lados P =

Al concluir, compartan sus respuestas en grupo y valídenlas con la guía del maestro.

Justifiquemos ahora la fórmula para el área de polígonos regulares.

b. Tracen ocho triángulos isósceles, cada uno debe medir 5 cm de base y 6 cm de altura. Superpón los triángulos, como se muestra a la izquierda, para construir un octágono.

c. Calcula el área de uno de los triángulos que trazaste. A = cm2

Si se obtiene el área de un triángulo del octágono y se multiplica por 8, ¿se obtiene su área total? Registren sus argumentos en su cuaderno.

Discutan cómo pueden determinar el área del octágono regular. Analicen lo que han realiza-do antes y expliciten sus ideas. Si tienen dudas, pidan apoyo al maestro.

d. Ahora calculen el área de un heptágono regular que está formado por triángulos cuya

base mide 7 cm y su altura, 7.26 cm. Área del heptágono = cm2

Un alumno realizó lo siguiente para justificar el cálculo del área de un heptágono regular.

e. Describan lo que hizo el alumno:

En relación con el heptágono, ¿cuál es la medida de la base del rectángulo?

En relación con el rectángulo, ¿qué representa la apotema del heptágono?

¿Cuál es el área del rectángulo? La fórmula para calcular el área del heptágono regular es igual a multiplicar 7 por la medida de uno de los lados por el apotema y dividir el resultado entre 2.

f. A partir de lo visto en el trazo, justifiquen lo anterior.

apotema. Es la distancia del centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.

Conoce tu libro

LeccionesCada lección presenta las situaciones didácticas necesarias para tratar de manera adecuada los contenidos.

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TítuloLas lecciones tienen un título relacionado con el contenido.

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ContenidoSe menciona el Eje, Tema y Contenido a trabajar en la lección.

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InicioSe plantean actividades que te permiten resolver problemas al aplicar lo que conoces acerca del tema que se estudia en cada lección.

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DesarrolloA lo largo de la lección se diseñaron actividades en las que tendrás oportunidad de explicitar tus ideas, probar distintos procedimientos para resolver las situaciones y desafíos matemáticos; así como validar aquellos procedimientos que, aunque igual de correctos, son más efi cientes que otros.

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GlosarioPresenta defi niciones de términos matemáticos, que durante el desarrollo de la lección pueden resultarte desconocidos.

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6. Realiza de manera individual la siguiente actividad.

a. Copia el trapecio que se muestra, recórtalo por la altura para formar un rectángulo y pégalo en el cuaderno.

Como puedes notar, la base del rectángulo es igual al promedio de las bases del trapecio.

b. Calcula el promedio de las bases en función de las literales.

¿Cómo es la altura del rectángulo respecto a la altura del trapecio?

¿Cómo son entre sí las áreas del trapecio y el rectángulo?

c. Escribe cómo calcular el área del trapecio en función de las literales.

d. Toma las medidas necesarias y calcula el área del trapecio. A =

e. Copia nuevamente el trapecio anterior, recórtalo y pégalo junto a este para formar un romboide.

¿Qué representa la base del romboide?

¿Qué representa la altura?

f. Escribe la medida del área del romboide en función de las literales.

¿Qué parte del área del romboide representa el área del trapecio?

g. Escribe una manera de calcular el área del trapecio en función del área del romboide.

A =

Comenta con un compañero la relación que hay entre el área del trapecio y las figuras en que lo transformaron. Expliquen sus argumentos y valídenlos con el maestro.

El área de cualquier romboide se calcula multiplicando la medida de su base por la de su altura: A = b × h. El área de un rombo se obtiene multiplicando la medida de su diagonal mayor por la de su diagonal menor y el producto se divide entre 2: A = D × d

2Para obtener el área de un trapecio se suman las medidas de la base mayor y de la base menor, esto se multiplica por la medida de la altura, y el resultado se divide entre 2: A= (B + b) × h

2

Un alumno hizo los siguientes trazos para calcular el área de un trapecio y de un rombo.

h. Describan en el cuaderno los trazos y cómo se relacionan con el área de los cuadriláteros.

Compartan sus ideas con otros compañeros y valídenlas con el maestro.

b

B

b + B2

d

D2

Consulta el libro Juegos matemáticos. Rompecabezas de cifras y números para agudizar el ingenio, de Derrick Niederman, de la serie Espejo de Urania de la colección Libros del Rincón. En la página 21 podrás resolver un acertijo sobre el perímetro de un diagrama muy especial.

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Problemas de proporcionalidad múltiple7. Reunidos en equipos resuelvan la siguiente situación.

a. Don Pedro es albañil. Para construir un muro de 2 m de largo y 10 m de alto, necesita 150 ladrillos.

¿Cuántos ladrillos necesita para construir un muro de 1 m de largo por 30 m de alto?

Si el muro que tiene que construir don Pedro mide 3 m de largo y 3 m de alto, ¿cuántos

ladrillos necesita don Pedro?

¿Cuántos ladrillos se requieren para construir un muro de 5 m de largo y 12 m de alto?

b. Consuelo borda tapetes. Para bordar un tapete estándar de 60 cm de largo y 25 cm de alto, invierte 10 días.

¿Cuántos días necesita para bordar un tapete de 90 cm de largo por 75 cm de alto?

Si el tapete será para una sala, y mide 120 cm de largo y 50 cm de alto, ¿cuántos días

tardará Consuelo?

c. Las siguientes propiedades determinan si dos conjuntos de cantidades son directamen-te proporcionales.

En parejas, discutan las propiedades descritas y escriban ejemplos de cada propiedad en situaciones similares a las estudiadas.

De manera individual, subraya las afirmaciones correctas.

Si la medida de la altura de un muro permanece fija (1 m) entonces el número de ladrillos es proporcional a la medida del largo del muro.Si la medida del largo de un muro permanece fija (4 m) entonces la medida de la altura y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales.Si la medida de la altura del muro permanece fija (5 m) entonces la medida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamenteproporcionales.

Si tienen dudas, coméntenlas con el maestro.

Reto

Cantidades directamente proporcionales

Si una cantidad aumenta al doble, al triple, etcétera...

... la otra aumenta al doble, al triple, etcétera.

Si una cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etcétera...

... la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etcétera.

En parejas visiten los siguientes recursos. Después compartan sus experiencias en clase.arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/2_segundo/2_Matematicas/2m_b01_t08_s01_descartes/doc/info.htmlrinconmatematico.com/foros/index.php?topic=27498.0(consulta: 21 de septiembre de 2015, 17:42 horas).

Educación para la paz y los derechos humanos. El trabajo colaborativo, además de favorecer el aprendizaje de los contenidos matemáticos, promueve el autoconocimiento, la integración del grupo y la aceptación de las diferencias, todo lo cual fortalece los ambientes de respeto y armonía. Reflexiona sobre los aprendizajes que has adquirido al trabajar de esta manera.

Conceptos y procedimientosEn las lecciones se incluyen

defi niciones, procedimientos y explicaciones para que enriquezcas el trabajo en clase y reafi rmes o elabores tus conclusiones.

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SocializaciónAl fi nal de cada actividad, podrás

confrontar tus ideas con las de tus compañeros, escuchar puntos de vista, y gradualmente aprenderás a redactar conclusiones como producto del debate escolar. Con el trabajo diario podrás comunicar de manera clara tus argumentos matemáticos y validarlos en la clase.

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Bibliotecas Escolares y de AulaEn la sección BEA encontrarás

recomendaciones para consultar títulos de la colección Libros del Rincón, en los que se abordan temas relacionados con los que has trabajado en clase.

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Apoyo tecnológicoEn esta sección se sugieren páginas

electrónicas donde tendrás la oportunidad de ampliar tus conocimientos respecto a los contenidos estudiados. La sección puede trabajarse fuera del aula escolar, por lo cual es necesario que tengas acceso a una computadora con Internet.

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Temas de relevancia socialEn esta sección encontrarás información,

recomendaciones y aspectos para refl exionar sobre temas de relevancia social, como equidad de género, educación fi nanciera y educación para la paz, entre otros.

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RetoCada lección cierra con un reto. En él se plantean diversas situaciones, en las que

se ponen a prueba los conocimientos adquiridos.

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Elige la opción con la respuesta correcta.

1. Un submarino se sumerge a una profundidad de 305.25 metros bajo el nivel del mar. Des-pués de 5 minutos, llega a una profundidad de 220.34 m. ¿A qué profundidad quedó?

A) –525.59 m B) 525.59 m C) 84.91m D) –84.91 m

Argumenta la necesidad de utilizar números para identificar e interpretar diversos fenó-menos como la temperatura o las alturas y profundidades.

2. La suma del siguiente par de operaciones (−17) + (−31) y (−34) + (99) es igual a:

A) −48 y 65 B) 48 y 65 C) −48 y −65 D) 48 y −65

3. El resultado de las siguientes operaciones (−107) − (−31) y (409) − (−67) es igual a:

A) −76 y + 476 B) 138 y 342 C) −76 y −476 D) −138 y 342

4. La manera correcta de escribir 0.000000000000008 es:

A) 8 × 1014 B) 8 × 10–14 C) 8 × 1015 D) 8 × 10–15

5. Elige la manera de escribir con notación científica 123 000 000 000 000 000.

A) 1.23 × 1017 B) 1.23 × 10–17 C) 1.23 × 1018 D) 1.23 × 10–18

6. Selecciona la igualdad que está escrita de manera correcta.

A) 1.31 × 107 = 131 000 000 B) 131 × 107 = 13 100 000 C) 13.1 × 107 = 13 100 000 D) 13.1× 107 = 131 000 000

7. Alberto tiene un terreno cuadrangular que mide 8 649 km2 de área. ¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno?

A) 93 km B) 92 km C) 94 km D) 90 km

8. El terreno de Alberto colinda con otro terreno cuadrangular que tiene 10 816 km2 de área. ¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno?

A) 104 km B) 102 km C) 103 km D) 106 km

Argumenta el método usado para resolver los problemas 8 y 9. Comprueba tu selección aplicando un procedimiento de aproximación, el método babilónico o la calculadora, se-gún lo realizado.

Evaluación del bloque 5

Para saber más

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Para saber másLa forma ideal para una cajaEn la industria, el uso de las matemáticas es muy impor-tante. Saber cuál es la caja co-rrecta para empacar un produc-to requiere evaluar y planificar. Una fábrica debe considerar qué tanto puede contener una caja, así como la cantidad y el costo del material necesario para hacerla.Imagina que tu salón es una bodega en la que tienes que guardar cajas con juguetes.

¿Qué forma elegirías para guardar los juguetes? ¿De qué tamaño? ¿Cuántas cajas estimas que caben en el salón?

Al decidir el tipo de caja no solo necesitan fijarse en su capacidad, también deben considerar la forma de optimizar el espacio disponible para almacenarlas.

1. En parejas, resuelvan en el cuaderno.

a. Los siguientes prismas rectangulares están hechos con cubos de 1 in3.

¿Qué longitud (l), ancho (w) y altura (b) tiene cada prisma?¿Cuánto cartón se necesitaría para construir una caja que cubra cada prisma?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y corrijan sus errores.

b. Una compañía necesita empacar dados con aristas de 1 in y quiere hacer paquetes de 24 dados en cajas con forma de prisma rectangular.

Determinen todas las maneras posibles de colocar los 24 dados de modo que formen un prisma rectangular y dibujen en su cuaderno cada una. Después, elaboren una tabla como la que se muestra en la que registren todas las posibles opciones.

¿Qué medidas tiene la caja hecha con menos material?

Longitud Ancho Altura Volumen Área de la superficie

24 in3

Para las empresas es importante almacenar de manera ordenada los productos en bodegas para optimizar el espacio disponible.

Evaluación del bloque Al fi nal del bloque se encuentra

una serie de actividades que debes resolver de manera individual, las cuales te permitirán poner en práctica lo que aprendiste en el bloque.

Se proponen preguntas abiertas y de opción múltiple, además de problemas, todos relacionados con los aprendizajes esperados.

Para saber más Esta sección se diseñó pensando

en un conjunto de actividades que te permitirán ir más allá de lo estudiado en las lecciones del libro, ya que buscan aplicar las herramientas matemáticas en la solución de problemas sociales y ambientales, además de profundizar en el estudio del álgebra, de las formas geométricas y la representación de la información.

Para resolver las actividades de esta sección, pondrás en juego lo aprendido en el bloque, con la intención de que integres saberes al resolver los problemas.

Las actividades retoman contextos interesantes como el derrame de petróleo, las campañas publicitarias, etcétera. En cada bloque se aborda un tema diferente.

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Fuentes de información En este apartado encontrarás

sugerencias escritas y electrónicas, para ti y para el profesor, con el fi n de enriquecer el trabajo realizado a lo largo del ciclo escolar.

Valoro mi avance Encontrarás este apartado al fi nal

de cada evaluación. Los indicadores te permitirán evaluar tus avances respecto a los aprendizajes esperados, tus habilidades y tus actitudes.

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9. Un robot diseñado por estudiantes mexicanos realiza la simulación de caminar en una montaña. El robot se desplaza con movimiento uniforme de 4

16 de km por cada 14 h de

recorrido. Completa la siguiente tabla.

a. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad?

b. ¿Cuánto tiempo tiene que caminar el robot para recorrer un kilómetro?

10. Al descender el robot se desplaza con movimiento uniforme de 716 de km cada 1

4 h. Completa la tabla.

a. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad?

b. ¿Cuánto tiempo tiene que caminar el robot para recorrer un kilómetro?

c. Si la bajada mide 3.5 km, ¿cuánto tiempo tardará en descender el robot en la simulación?

11. En la tienda de don Toño se venden diferentes marcas de azúcar. Azúcar “La morena” se vende en paquetes de 400 g y cuesta $16 cada uno. Azúcar “Caña pura” se vende en paquetes de 350 g a $20 cada uno.

¿Cuál conviene comprar?

12. Justifica en qué casos es útil aplicar una razón interna o externa para resolver un problema.

Valoro mi avanceReflexiona acerca del trabajo realizado en el bloque. Utiliza los términos siempre, a veces o poco, y completa la tabla.

Indicadores

Resuelvo problemas de proporcionali-dad directa del tipo “valor faltante”.

Resuelvo problemas de cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números natu-rales y decimales.

Resuelvo problemas que implican la adi-ción de números con signo.

Resuelvo problemas de manera autónoma.

Escucho a mis compañeros y mi retroa-limentación es positiva.

Argumento con base en el saber matemá-tico.

Tiempo transcurrido

Distancia

14 h 1

2 h 34 h 5

6 h 14 h1

416 km

Tiempo transcurrido

Distancia

14 h 1

2 h 34 h 5

6 h 14 h1

716 km

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Fuentes de informaciónPara el estudiante

Impresas

Amster, P. (2005). La matemática como una de las bellas artes, México, Siglo XXI (serie Astrolabio, col. Libros del Rincón).

Andradas, C. (2005). Póngame un kilo de Matemáticas. México: SM, El barco de vapor. Saber n. m. 4.

Arce, J. (2003). El matemático del Rey. España: Planeta.

Balbuena, L. (2005). Cuentos del cero. España: Nivola.

Becoña, E. (2007). Adicción a nuevas tecnologías, Madrid: Pirámide (serie Espejo de Urania, col. Libros del Rincón).

Brenifer, O. (2006). ¿Qué es saber?, México: SEP-Editorial Destino (serie Espejo de Urania, col. Libros del Rincón).

Campos, M. (2002). Andrés y el dragón matemático. España: Laertes.

Carlavilla, J. (2003). Historia de las Matemáticas en cómics. México: Proyecto Sur de Ediciones.

Collantes, J. y A. Pérez (2004). Matecuentos. Cuentamates. España: Nivola.

Collantes, J. y A. Pérez (2003). Matecuentos. Cuentos con problemas 2. España: Nivola.

Collantes, J. y A. Pérez (2005). Matecuentos. Cuentos con problemas 3. España Nivola.

Enzensberger, M. (1998). El diablo de los números. España: Siruela.

Frabetti, C. (2000). Malditas Matemáticas: Alicia en el País de los Números. Madrid: Alfaguara.

Frabetti, C. (1998). El gran juego. Madrid: Alfaguara.

Gómez, R. (2000). La selva de los números. Madrid: Alfaguara.

Guedj, D. (2000). El teorema del loro. Barcelona: Anagrama.

Guedj, D. (2002). El metro del mundo. Barcelona: Anagrama.

Guedj, D. (2002). La medida del mundo. México: Ediciones de Bolsillo.

Guzmán, M. (2007). Cuentos con cuentas. Barcelona: Nivola.

Haddon, M. (2004). El curioso incidente del perro a medianoche. Barcelona: Salamandra.

Malba, T. (1998). El hombre que calculaba. España: Catapulta Editores.

Molina, I. (2004). El señor del cero. Barcelona: Alfaguara.

Moreno, R. y J. Vegas. (2002). Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento. España: Nivola.

Millás, J. y J. Forgés. (2006). Números pares, impares e idiotas. España: Alba.

Muñoz, J. (2008). Ernesto, el aprendiz de matemago. España: Nivola.

Norman, L. (2002). El país de las mates para novatos. España: Nivola.

Norman, L. (2002). El país de las mates para expertos. España: Nivola.

Rodríguez, R. (2003). Cuentos y cuentas de los matemáticos. Barcelona: Reverté.

Roldán, I. (2003). Teatromático: divertimentos matemáticos teatrales. España: Nuvola.

Sierra, J. (2001). El asesinato del profesor de Matemáticas. México: Grupo Anaya.

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10

Lección 10Criterios de divisibilidad 82

Lección 11Divisores y múltiplos 88

Lección 12Problemas con fracciones y decimales 94

Lección 13Multiplicación y división con fracciones 100

Lección 14La mediatriz y la bisectriz 106

Lección 15Trazo de polígonos regulares 112

Lección 16Proporcionalidad directa 118

Para saber más 124Evaluación del bloque 2 126

Lección 17Multiplicación con números decimales 130

Lección 18División con números decimales 136

Lección 19Ecuaciones de primer grado 142

Lección 20Trazo de polígonos regulares y circunferencia 148

Presentación 3

Bienvenidos a Todos Juntos 4

Conoce tu libro 6

Dosifi cación 12

Lección 1Conversión de números fraccionarios y decimales 18

Lección 2Fracciones y decimales en la recta numérica 24

Lección 3Operaciones con fracciones 30

Lección 4Sucesiones con números y fi guras 36

Lección 5Fórmulas y literales 42

Lección 6Triángulos y cuadriláteros 48

Lección 7Rectas notables de un triángulo 56

Lección 8Problemas de reparto proporcional 64

Lección 9Situaciones donde interviene el azar 70


Bloque 1 16

Bloque 2 80

Bloque 3 128

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11

Lección 32Adición y sustracción de números enteros 232

Lección 33Notación científi ca 238

Lección 34Potenciación y radicación 244

Lección 35Regla de una sucesión 250

Lección 36Problemas de círculos y circunferencias 256

Lección 37Proporcionalidad múltiple 260


Fuentes de informaciónPara el estudiante 270Para el docente 271Consultadas 272

Lección 21Áreas y perímetros de polígonos regulares 154

Lección 22Factor constante de proporcionalidad 160

Lección 23Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias 166

Lección 24Tablas de frecuencias 172


Lección 25Números con signo 184

Lección 26Trazo de circunferencias 190

Lección 27La circunferencia y el círculo 198

Lección 28La regla de tres 204

Lección 29El factor inverso de proporcionalidad 208

Lección 30Resolución de problemas de conteo 214

Lección 31Gráfi cas de barras y gráfi cas circulares 220


Bloque 4 182

Bloque 5 230

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Dosifi cación

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Semanasugerida Calendarización Aprendizajes esperados Eje Tema

Bloque 11 Evaluación diagnóstica2

Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

Representa sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada y viceversa.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Números y sistemas de numeración

3

4 Problemas aditivos

5

Patrones y ecuaciones

6

7Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos8

9Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

Nociones de probabilidad

Bloque 2

10

Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.



11

12 Problemas aditivos

13 Problemas multiplicativos


Figuras y cuerpos

15 Medida



Bloque 3

17

Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.


Problemas multiplicativos

18

19 Patrones y ecuaciones

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Contenido Lección Páginas

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa1. Conversión de números fraccionarios y decimales

18-23

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación

2. Fracciones y decimales en la recta numérica 24-29

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

3. Operaciones con fracciones 30-35

Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras

4. Sucesiones con números y fi guras 36-41

Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar

5. Fórmulas y literales 42-47

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría 6. Triángulos y cuadriláteros 48-55

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo 7. Rectas notables de un triángulo 56-63

Resolución de problemas de reparto proporcional 8. Problemas de reparto proporcional 64-69

Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles 9. Situaciones donde interviene el azar 70-75

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos

10. Criterios de divisibilidad 82-87

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

11. Divisores y múltiplos 88-93

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales

12. Problemas con fracciones y decimales 94-99

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales

13. Multiplicación y división con fracciones 100-105

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo

14. La mediatriz y la bisectriz 106-111

Justifi cación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de fi guras

15. Trazo de polígonos regulares 112-117

Identifi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios

16. Proporcionalidad directa 118-123

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

17. Multiplicación con números decimales 130-135

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

18. División con números decimales 136-141

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios

19. Ecuaciones de primer grado 142-147

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Semanasugerida Calendarización Aprendizajes esperados Eje Tema

20 Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las fi guras.

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

21 Medida

22

Manejo de la información


23 Nociones de probabilidad

24 Análisis y representación de datos

Bloque 4

25

Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.

Lee información presentada en gráfi cas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráfi cas para comunicar información.




Figuras y cuerpos

27 Medida

28

Manejo de la información


29

30 Nociones de probabilidad

31 Análisis y representación de datos

Bloque 5

32

Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.


Problemas aditivos

33

Problemas multiplicativos

34

35 Patrones y ecuaciones


Medida



38 Evaluación fi nal

Dosifi cación

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Contenido Lección Páginas Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo

interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella

20. Trazo de polígonos regulares y circunferencia

148-153

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares 21. Áreas y perímetros de polígonos regulares

154-159

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas

22. Factor constante de proporcionalidad 160-165

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verifi cación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias

23. Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias

166-171

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa 24. Tablas de frecuencias 172-177

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos

25. Números con signo 184-189

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas

26. Trazo de circunferencias 190-197

Justifi cación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfi ca y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

27. La circunferencia y el círculo 198-203

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios 28. La regla de tres 204-207

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala

29. El factor inverso de proporcionalidad 208-213

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verifi car los resultados

30. Resolución de problemas de conteo 214-219

Lectura de información representada en gráfi cas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfi ca más adecuada

31. Gráfi cas de barras y gráfi cas circulares 220-225

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros 32. Adición y sustracción de números enteros

232-237

Uso de la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas

33. Notación científi ca 238-243

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales

34. Potenciación y radicación 244-249

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética 35. Regla de una sucesión 250-255

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas 36. Problemas de círculos y circunferencias 256-259

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 37. Proporcionalidad múltiple 260-265

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Invitación a la lectura

1La progresión más antigua

Lee y subraya la respuesta correcta. Después, responde.

1. El problema de progresiones “La repartición del pan” es de origen:

A) Egipcio B) Hebreo C) Ruso D) No se sabe

2. Clase de problemas que aparecen en el Papiro de Rind:

A) Aritméticos, algebraicos y geométricos B) Progresiones aritméticas C) Progresiones geométricas D) Método gráfi co

3. ¿Cuál es la importancia del estudio de las progresiones en matemáticas?

Cuando el maestro lo considere adecuado, retomen el problema en alguna lección.

El problema de progresiones más antiguo que se tiene se conoce como el problema de “La re-partición del pan”. Está registrado en el célebre

papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fi nes del siglo pasado, fue escrito unos dos mil años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matemática aún más remota que data segura-mente del tercer milenio antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos, algebraicos y geométricos que fi guran en dicho documento aparece el siguiente:

Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la primera tanto como le co-rrespondió a la tercera más que a la segunda, a la cuarta más que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron siete veces menos que las tres res-tantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?Las cantidades de trigo distribuidas entre los

cinco participantes en el reparto constituyen una progresión aritmética.

Este problema de progresiones tiene 50 siglos de antigüedad, aunque en la escuela secundaria tiene poco tiempo trabajándose. Otro antecedente es el manual de Magnitski, publicado hace doscien-tos años y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas secundarias. La fórmula de la suma de los miembros de la progresión arit-mética puede deducirse por un medio sencillo y gráfi co, empleando para ello el papel cuadriculado. En este, cualquier progresión aritmética puede ex-presarse con una fi gura escalonada:

1

1

A C

C

E

B D

2

2

3 3

4

4

5

5

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