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EDITORIAL CENTRO CULTURAL POVEDA ISBN : 84 - 95188 - 13 - 9

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Autora : Africa Martínez San Pedro

Portada: Mª del Pilar Cachofeiro Ramos

Composición y Diagramación: Mª del Pilar Cachofeiro y Junior Emilio Hidalgo Edición al cuidado: Mª del Pilar Cachofeiro Ramos

Impreso en República Dominicana, Editora Buho, Calle José Contreras esq. Abraham Lincoln, Santo Domingo. Tel. 532-2343

Centro Cultural Poveda

© Centro Cultural Poveda. Puede reproducirse total o parcialmente este documento siempre que se haga de modo literal y se mencionen los autores.

GEOMETRIA DEL MOVIMIENTO

O. – PRESENTACIÓN

“La experiencia es la madre de la ciencia” afirma un dicho popular. Ante este dicho me pregunto. ¿Es también la experiencia la madre de la matemática?: una ciencia que se suele presentar de forma abstracta, alejada de la experiencia y demasiado segura de sí misma.

Este trabajo de Africa Martínez*, responde a mi cuestionamiento. La autora nos muestra que experiencias sencillas como mirar a través de un espejo, doblar papel o quitarle un trozo a un paralelogramo para añadírselo por otro lado sin superponerlo, miradas con “las lentes de las matemáticas”, nos introducen en una parcela de la geometría o ciencia del espacio: la de un tipo de transformaciones geométricas llamadas isometrías.

La matemática, es una actividad humana, que se inicia con la observación y percepción profunda de algunos aspectos del mundo que nos rodea:

! las formas de la naturaleza (estrellas de mar, caracolas, flores, piñas,...), el diseño de objetos (parábolas, tinacos, cartones de jugo, latas de salchichas, chichiguas, ...) o sus transformaciones mediante movimientos;

! los fenómenos predecibles (estiramiento de un muelle en relación al peso que se le coloca en un extremo, tiempo que tarda en caer una pelota lanzada desde cierta altura, ...) e impredecibles (número premiado en la lotería nacional, ...);

! la repetitividad (la sucesión de los días y de las noches, los cocos de un cocotero,...);

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! la necesidad de comparar (longitudes, superficies, ...) o de orientarse en una ciudad o navegando en el mar (sistemas de referencias);

! los juegos de reglas, etc.

A partir de la observación y percepción de algunos aspectos de la realidad, como los de los ejemplos anteriores, el matemático o la matemática procede a un proceso gradual de abstracción. Este proceso culmina en la creación de conceptos, en la elaboración de un lenguaje conciso, preciso y sin ambigüedades, en el establecimiento de reglas lógicas y en el descubrimiento y demostración de propiedades.

Pero la cara más abstracta de la matemática es siempre el punto de llegada, no el de partida. La matemática, no es sólo un desarrollo puramente lógico, como piensan muchas personas, sino una actividad humana en la que interviene la imaginación, la intuición, la percepción profunda, la asociación de ideas, el azar, y también la superación de obstáculos, la paciencia, la perseverancia y la capacidad de trabajo.

En los primeros cursos de la educación básica es necesario presentar la matemática como una actividad cercana a las experiencias de las y los estudiantes: ellas y ellos se han mirado en un espejo o en un charco de agua y han visto a otra u otro igual, mirándoles de frente e imitándole sus gestos; o han jugado a hacer tiras decorativas doblando muchas veces una tira de papel y haciéndole un recorte caprichoso, obteniendo así motivos repetidos; o han observado el movimiento de las agujas del reloj.

Estas experiencias y observaciones pueden ser un buen punto de partida para introducir las ideas de simetría, traslación y giro. Trabajando así se favorece la comprensión gradual de las operaciones que se pueden hacer con estos tres tipos de movimientos, siguiendo las fases manipulativa primero, representativa después y por último simbólica. Este es el proceso que nos propone la autora con este trabajo a través de la modificación y creación de mosaicos.

El material que el maestro o la maestra tiene en sus manos será sin duda de gran utilidad para acercar la matemática a la experiencia de las y los estudiantes. De esta manera, convertirá las actividades en juegos de reglas que favorecerán el desarrollo, así como la lógica y la creatividad.

María Luz Callejo**

* Especialista en el Área de Matemáticas. Colaboradora incondicional del Centro Poveda. Trabaja en el

Colegio Público Parque Ansaldo. San Juan (Alicante) España.

** Coordina el Área de Matemáticas del Centro Poveda.

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CONTENIDO

0.- PRESENTACIÓN 1

CONTENIDO 3

I.- INTRODUCCIÓN 5

II.- MOVIMIENTOS GEOMÉTRICOS 7

1.- La Traslación 7

2.- La Rotación 10

3.- La Simetría o Reflexión 14

III.- MODIFICACIONES GEOMÉTRICAS: Formación de Mosaicos 19

1.- Modificaciones por Traslación 20

2.- Modificaciones por Giro 25

3.- Modificaciones por Simetría y Giro 32

IV.- CREACIÓN DE CELOSÍAS 38

V.- BIBLIOGRAFIA 46

VI.- ANEXOS 47

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I. - INTRODUCCIÓN

“La simetría, ya sea que se defina en un

sentido amplio o restringido, es una idea por medio de la que el ser humano de todas las épocas ha tratado de comprender y crear la belleza, el orden y la perfección”.

Hermann Weyl1

Tenemos la firme convicción de que a los conceptos matemáticos, y muy especialmente a los geométricos, hay que llegar después de una primera fase de experimentación y manipulación reflexiva para luego poder abstraer, generalizar y ampliar aquellas referencias asumidas en un principio.

La temática de este trabajo es ver la variedad de situaciones, que este mundo atrayente y creativo de las transformaciones geométricas nos presenta.

La mayoría de las propuestas didácticas coinciden en la conveniencia de tratar inicialmente las transformaciones en términos de acciones (deslizar, plegar y girar), mediante la manipulación de materiales y representar su resultado por medio de dibujos.

1 WEYL, H. (1975) La Simetría. (Promoción cultural . Barcelona)

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Si las acciones tienen una fuerte componente intuitiva, pueden servir para realizar

descubrimientos relativos a las transformaciones y para provocar las predicciones de las

y los estudiantes.

La introducción de cada movimiento ha de hacerse mediante palabras e ideas que

aporten un significado más rico para las y los estudiantes. Para simetría: reflexión y

doblez; para giro: rotación; para traslación: deslizamiento y desplazamiento.

La simetría puede introducirse desde los primeros niveles de la educación básica,

utilizando el apoyo del espejo, con el que las y los estudiantes más jóvenes descubrirán

con los reflejos e imágenes, este mundo maravilloso e interesante de las

transformaciones.

Después de presentar las simetrías, los giros y las traslaciones se analizan

diferentes propuestas prácticas para reconocer y crear.

La aplicación de estos conocimientos al estudio y creación de mosaicos es otra

propuesta de este trabajo.

Para estudiar la obtención de los mosaicos utilizamos un método gráfico que puede

ayudar a visualizar el proceso. Sobre una trama se dibuja la figura obtenida después de

haber sido modificada y de aplicar sobre ella cualquiera de los movimientos estudiados.

También se puede usar una hoja de acetato. En este caso, solamente aparecerá

el diseño del mosaico, sin verse el soporte de la trama.

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II. - MOVIMIENTOS GEOMÉTRICOS

El movimiento juega un papel importante en muchas de las actividades que realizamos a diario. Continuamente estamos ante situaciones en las que los objetos que nos rodean se mueven, se desplazan, giran en alguna dirección o se reflejan.

1. - La Traslación

Vamos a pensar en la traslación como en un deslizamiento sobre el plano. En la vida diaria tenemos muchos ejemplos de deslizamientos:

! cuando abrimos una gaveta.

! cuando se abren o se cierran las verjas en las casas.

! cuando se practican deportes como el patinaje.

Por ejemplo: En la figura siguiente el cuadrilátero se ha deslizado en sentido horizontal hasta una nueva posición.

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En la traslación del tamaño, la forma y la orientación de la figura permanecen. Se observan que AA’, BB’, CC’ y DD’ son paralelas. La traslación se puede realizar en cualquier dirección.

Actividades

Traslada la figura que tienes dibujada 6 unidades hacia la derecha, 9 unidades hacia arriba y 5 unidades en diagonal según indica la flecha.

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Dibuja una figura y trasládala 3 unidades hacía la izquierda y 4 unidades hacia abajo.

Para hacer estos ejercicios se puede empezar utilizando el geoplano de 25 puntos y gomillas. Después se hacen los dibujos.

Copia el siguiente mosaico sobre un material que sea transparente (papel vegetal o acetato) y desplaza la copia que has hecho: Verás que el mosaico vuelve a coincidir.

En los siguiente mosaicos, busca las direcciones a lo largo de las cuales se puede deslizar, para que vuelva a coincidir con el original.

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2. - La Rotación

La rotación o giro es otro de los procedimientos para conseguir las transformaciones geométricas. Tenemos ejemplos de giros en muchas de nuestras actividades cotidianas:

! el movimiento de las agujas de un reloj

! al abrir una puerta

! el movimiento del timón al manejar un carro

Para realizar una rotación en el plano hay que fijar un punto — centro de giro — y sobre él girar la figura. También hay que concretar el ángulo de giro que se quiere aplicar.

En la rotación permanece el tamaño y la forma de la figura, pero no la orientación. El centro de giro puede ser un punto de la figura o puede ser un punto externo a ella.

En esta figura el centro de giro es el vértice A

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Los giros a los que ha sido sometido el rombo tienen su centro en el punto Q externo a la figura.

Girando el dibujo de la derecha 90º, 180º y 270º se obtiene el diseño siguiente :

270º 180º

90º

Dibuja los diseños que obtienes al girar las siguientes figuras :


Orden de Giro

Hay figuras que al girar sobre un punto vuelven a coincidir consigo mismas. A ese punto le llamamos centro de giro y decimos que la figura es simétrica por rotación. Dependiendo del número de veces que ella figura coincide al girarla 360º, la clasificamos diciendo que tiene simetría de giro de orden 2, de orden 3, de orden 4, etc.

Ejemplos:

CBA

Figura A: simetría de giro de orden 2

Figura B: simetría de giro de orden 3

Figura C: simetría de giro de orden 4

¿Cuál es el orden de simetría de giro en las siguientes figuras?

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Dibuja una figura que tenga simetría de giro de orden 4, otra de orden 3, de orden 6, etc.

Dada la figura:

Complétala con nuevos polígonos para que se cumplan las siguientes condiciones:

! que tenga un centro de giro de orden 4

! que tenga un centro de giro de orden 2

Dibuja las figuras que aparecen si el punto P es el centro de giro para cada una de ellas.

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3. - La Simetría o Reflexión

Este concepto, como el deslizamiento y el giro, también está muy presente en la vida diaria.

Por una parte, todo el entorno está lleno de formas que poseen al menos, un eje de simetría: muchas hojas de los árboles, algunos animales (mariposas, estrellas de mar, etc.), nuestro propio cuerpo.

Por otra parte, todas las personas estamos familiarizados con este concepto ya que cada vez que nos miramos al espejo, lo que vemos es una reflexión o simetría de nuestra imagen.

En el plano, la figura simétrica a una dada, respecto a una línea, es la que veríamos en un espejo colocado verticalmente sobre la línea. A esta línea se le llama eje de reflexión.

P P`

En la reflexión las propiedades de tamaño y forma permanecen, pero la figura obtenida no puede coincidir con la original ni por traslación ni por giro.

Si colocas el espejo en la línea de puntos. ¿Qué imagen de las tres propuestas se observará?:

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Dibuja las figuras simétricas a las dadas:

Dibuja el reflejo que aparecerá si colocas un espejo encima de la línea de puntos:

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Decimos que una figura tiene simetría axial (o eje de simetría) si podemos marcar una línea, de tal forma, que si plagamos la figura a lo largo de esa línea, las dos mitades coinciden.

Otra forma de comprobarlo consiste en colocar un espejo verticalmente a la figura, sobre el eje de reflexión; la mitad de la figura que queda a la vista y la imagen que se ve en el espejo, deben formar la figura original.

Comprobación por doblez

Comprobación con el espejo

A continuación tenemos una serie de figuras en las que se ha dibujado un eje de simetría. Comprueba con el espejo que es cierto. En algunas figuras puedes encontrar más ejes de simetría.

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Dibuja todos los ejes de simetría que tienen las siguientes figuras:

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Transformaciones por Simetría

¿De qué forma tienes que colocar el espejo sobre la figura del recuadro para obtener las siguientes?

1 3

2

3 5

3

4

1 2

5

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II.- MODIFICACIONES GEOMÉTRICAS: Formación de Mosaicos

Desde que los antiguos romanos adornaron sus palacios con MOSAICOS, han sido muchos los matemáticos y artistas que han investigado las posibilidades de teselar el plano con los polígonos conocidos.

Cuando se tesela el plano con un solo tipo de polígonos obtenemos los Mosaicos Regulares.

Si el plano lo cubrimos con combinaciones de polígonos, pero en cualquiera de sus vértices concurren siempre los mismos polígonos, obtenemos los Mosaicos Semirregulares.

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Mosaicos Uniformes son los que están formados por baldosas ordenadas de tal manera que aparecen más de un tipo de vértices.

Algunos artistas plásticos del siglo XX ha recogido la herencia del arte islámico para desarrollar un estilo propio en la creación y formación de mosaicos.

Un claro exponente lo tenemos en la obra de M.C. Esher, que aplicando modificaciones sobre los polígonos elementales y utilizando alguno de los movimientos geométricos estudiados anteriormente, consiguió una gran belleza en la formación de mosaicos.

1. - Modificaciones por Traslación

Alteramos un orden del cuadrado. Se traslada la alteración al lado opuesto. Se obtiene una forma — una tesela — que sigue teselando el plano como hemos visto que ocurría con los mosaicos regulares.

Igual área

Ejemplos:

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Las alteraciones se pueden complicar y embellecer, hasta obtener diseños como los siguientes:

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En los polígonos siguientes traslada la deformación que se ha dibujado, al lado opuesto. El área de la nueva figura ha de ser igual a la de un cuadrilátero base.

En las tramas siguientes dibuja alguno de los mosaicos que se pueden obtener con algunos de los polígonos deformados.

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Crea tus propios mosaicos deformando el polígono base y dibujando el diseño que obtienes en cada una de las tramas.

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2.- Modificaciones por Giro

Si queremos alterar un triángulo equilátero no nos es posible hacerlo con el movimiento estudiado anteriormente, pues los lados no son paralelos. En este caso, la transformación la tenemos que hacer mediante giros.

Ejemplos:

Se deforma Se gira la deformación Esta figura

Un lado sobre otro lado tesela el plano

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En el siguiente ejemplo aparece un cuadrado modificado por giro. La figura que obtenemos es asimétrica pero a pesar de eso tesela el plano.

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En los polígonos siguientes gira, sobre el vértice correspondiente, la deformación que se ha dibujado. El área de la nueva figura ha de ser igual a la del polígono base.

En cada una de las tramas dibuja los mosaicos que aparecen con los polígonos deformados.

21

43

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5)

6)

7)

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El giro de la deformación puede hacerse también sobre el punto medio del lado.

Ejemplo:

En cada uno de los polígonos que tienes a continuación, gira la deformación dibujada sobre el punto medio del lado. Dibuja el diseño que aparece después de los giros.

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Los triángulos siguientes han sido modificados mediante giros. Comprueba que las figuras que resultan teselan el plano y puedan formar mosaicos. Dibuja los mosaicos en las tramas correspondientes.

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Crea tus propios mosaicos deformando el polígono base y dibujando el diseño que obtienes en cada una de las tramas.

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3.— Modificaciones por Simetría y Giro

Hemos investigado, hasta ahora, cómo crear nuevas formas a partir de polígonos a los que se les aplica una deformación en uno de los lados y por giro o por traslación se deforman los otros. Vamos a investigar lo que ocurre en el tercer movimiento: la simetría o reflexión.

En un triángulo equilátero la deformación aplicada a un lado, se refleja sobre el otro. Aparece una nueva figura cuya área es distinta a la del triángulo original.

En el dibujo siguiente podemos ver que el triángulo deformado no cubre el plano, sino que al intentar formar el mosaico aparece una nueva forma.

Si intentamos deformar el tercer lado del triángulo reflejando sobre él la deformación primitiva, obtenemos una figura que tampoco tesela el plano. Al intentarlo aparece de nuevo una forma distinta.

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Aplicando solamente la simetría sobre la deformación de un lado, difícilmente podemos teselar el plano.

Intentamos completar la deformación del polígono aplicando el giro a uno de los lados deformados.

Ejemplo:

Alteración Simetría Giro

Observamos que deslizando o girando la forma que hemos obtenido no nos es posible encajarlas para cubrir el plano.

Intentamos acoplar la forma obtenida con su simétrica de esta manera conseguimos teselar el plano.

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A continuación proponemos otro ejemplo de una figura creada aplicando la simetría y el giro a la deformación, sobre el lado de un triángulo:

Alteración Simetría Giro

Aplicando el mismo recurso que en el ejemplo anterior aparece el siguiente mosaico:

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Con la tesela obtenida anteriormente podemos cubrir el plano de la forma que vemos a continuación. En ella aparecen sin cubrir en forma de triángulo y de hexágono.

En los triángulos siguientes dibuja, primero el reflejo de la deformación y después gira esa deformación sobre el punto medio del lado.

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En cada uno de los triángulos siguientes se ha aplicado una deformación sobre uno de los lados (a). Esta deformación se ha reflejado sobre otro lado y se la ha aplicado un giro sobre el punto medio de ese lado (b). El tercer lado se ha transformado girando una modificación sobre el punto medio del lado (c). En la trama de la derecha dibuja los mosaicos que se forman con estas teselas.

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Crea tus propios diseños y dibuja los mosaicos que resultan.

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IV. – CREACIÓN DE CELOSÍAS

La celosía es un elemento decorativo muy utilizado en vallas y muros de edificios. Vamos a aplicar los tres movimientos geométricos estudiados en el diseño y creación de estas celosías.

Los bloques que se utilizan en las celosías son normalmente cuadrados con algún elemento decorativo en su interior.

Ejemplo:

La celosía se construye uniendo estos bloques lado con lado (traslación) formando un mosaico. Si eliminamos las líneas de los cuadrados base, queda un diseño como el de la derecha.

Podemos hacer diseños de bloques con menos elementos de simetría que los anteriores, como los siguientes:

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Con uno de los bloques anteriores podemos conseguir dos tipos de celosías. En el primer caso, los cuadrados se han trasladado horizontal y verticalmente. El segundo diseño, lo hemos obtenido por simetrías que tienen por ejes las líneas de la trama.

Con los diseños que tienes a continuación o eligiendo alguno de los anteriores, construye celosías mediante traslación o por simetría.

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Otro camino para crear celosías es a partir de una trama de 4 X 4 que sirve de base para diseñar los bloques.

Podemos comenzar trazando una línea que una dos puntos del contorno de la trama; la línea ha de ir por los puntos interiores y el bloque que resulta ha de tener centro de simetría rotacional en el centro del cuadrado. Vamos a colorear una de las dos mitades del bloque y construimos la celosía por translación o por simetría.

Ejemplo:

(Se han eliminado los puntos y las líneas de la trama)

Te presentamos las posibilidades de trazar estas líneas en la trama de “cuatro puntos”. Elige tres de ellas y dibuja las celosías que resultan, por traslación del bloque o por simetría.

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Si aumentamos el tamaño de la trama (5 X 5) y dibujamos dos líneas dividiendo el cuadrado en cuatro partes iguales, obtenemos las formas siguientes:

Elige alguno de los bloques anteriores y dibuja las celosías.

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Las celosías pueden obtenerse también a partir de hexágonos. Tomamos un bloque de forma hexagonal y dividimos su interior en tres partes iguales.

Si adosamos un bloque junto a otro obtenemos el siguiente diseño:

Ahora borramos las líneas del hexágono base y obtenemos un diseño que aparentemente poco tiene que ver con un simple hexágono.

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V. - BIBLIOGRAFÍA

ALSINA, C y otros (1989). Simetría Dinámica. Madrid. Síntesis. ALSINA, C y FORTUNY, J, M. (1992) Miralandia. Granada. Proyecto Sur. AA.VV. (1990) Geometría. Materiales de E.S.O. Valencia. Generalitat Valenciana. CALLEJO, M.C. y LEBRÓN, M.T. (1986) La Geometría en el Aprendizaje de las

Matemáticas. Col. Apuntes IPES No.44. Narcea: Madrid FISHER, R y VINCE, A. (1990) Investigando las Matemáticas. Volumen 4 . Madrid. Akal. MORA, J. A. y RODRIGO, J. (1993) Mosaicos I y II. Granada. Proyecto Sur. O´DAFFER y CLEMENS (1982) Laboratory Investigations in Geometry. Addison Wesley.

California. RANUCCI y TEETERS (1979) Creating Escher — type drawings. Palo Alto. Creative

Publications. RIVEROL, M. y ZANOCCO, P. (1991) Geometría: Aprendizaje y Juego. Universidad

Católica de Chile: Santiago de Chile. SANTALÓ, L. S. (1993) La Geometría en la Formación de Profesores. Red Olímpica:

Buenos Aires. WEYL, H.(1975) La Simetría. Barcelona. Promoción Cultural. WILLSON, J. (1983). Mosaic and Tessellated Patterns. New York. Dover Publications.

VI. – ANEXOS


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Traslación Simetría Giro



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¿Será posible que todas estas vueltas sean necesarias para realizar una

obra tan notoriamente buena? Eso es tener fe en una idea y sentir amor

por ella. Así se llevan adelante las grandes empresas.

Pedro Poveda

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