Prctico de Latex

Gonzalez Luciana

Ejercicio 1. calculas los siguientes lmites:

1. limn→∞

(1 + 1n)n

2. limn→∞

(2 + 2n)n2

3. limn→∞

2n+3n2+4n3

n4−2n

Ejercicio 2. Calcular los siguientes lmites:

(i) limn→1

f(x), si f(x) =

x2 + 5 si x > 11 si x = 12√

x2 − 4x + 4 si x > 1

(ii) limx→1

g(x), si g(x) =

x2 + 5 si x > 11 si x = 12√

x2 − 4x + 4 si x > 1

1 Continuidad de funciones

Definicin 1 Sea la funcin f : A→ R,A ⊂ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es continuaen x0, si para cada E(f(x0), ε) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que si x ∈ E(x0, δ)entonces f(x) ∈ E(f(x), ε)

Teorema 1 Sea f : A → R,A ⊂ R una funcin, entonces las dos condiciones sigu-ientes son equivalentes:

1. f es continua en a

2. f verifica:

(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)

1

(b) Existe limx→a

f(x) = L

(c) f(a) = L

Ejercicio 2. Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-valos:

1. Sea P (x) = x3 − 3x2 + 2x y Q(x) = x4 − 5x3 − 2x + 3 efectuar las siguientesoperaciones entre polinomios:

(a) P (x) + Q(x) = x3 − 3x2 + 2x + x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 + x4 + 3

(b) P (x)−Q(x) = x3 − 3x2 + 2x− x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 − x4 + 3

(c) P (x)Q(x) = x3 − 3x2 + 2xx4−5x3−2x+3 : x3 − 3x2 + 2xx4−5x3−2x+3

2. Calcular los siguientes lmites:

(a) limx→∞

n√

n3 + 3n : (n3 + 3n)1n

(b) limn→∞

n√n3+3n2n−3n3 observe la diferencia lim

n→∞

n√n3+3n2n−3n3 = 0

(c) limn to∞

(n3 + 3n)n =∞

3. Analizar la convergencia de las siguientes series:

(a)∞∑

n=1

n

√3n−54

2n2 − 5n3 =∞∑

n=1(1

23n−625

n2 − 5n3)1n

(b)∞∑

n=1( n

√(3n−54

2n2 )2 − 5n3)n =∞∑

n=1((1

4(3n−625)2

n4 − 5n3)1n )n

(c)∞∑

n=1

en+e−n

2=∞

(d)∞∑

n=1

12√sen2x−cos2x

:∞∑

n=1

12√

(senx−cos2x)

Ejercicio 3: Calcular los siguientes lmites de funciones:

(a) limx→0

senaxx

= a

(b) limx→0

sen7x3x

: 73

2

(c) limx→0

2x−3x

x= ln2− ln3

(d) limx→0

x−1

cotx= 1

(e) limx→0+

( 1x)tanx = 1

Ejercicio 4: Graficar las siguientes cnicas, teniendo en cuenta el tipo decoordenadas ms adecuado

(a) x2 + y2 = 9

(b) x2

9+ y2

4= 1

(c) x2

5− y2

3= 1

(d) −2x2 + 3x− 1 = 0

Observando las graficas obtenidas indicar loselementos notables de cada una deellas.

Ejercicio 5: Graficar las siguientes cudricas, teniendo en cuenta el tipode coordenadas ms adecuado.

(a) x2 + y2 + z2 = 9

(b) x2

5− y2

3= 2z

(c) −2x + 3x− z (cilindricas)

Ejercicio 6: Graficar la funcin f(x) = ex

x2+1, indicar la posible ecuacin de

una asntota oblicua observando el grfico.

Ejercicio 7: Obtener las raices de las siguientes ecuaciones:

(a) x3−2x+1−6 = 0, verificar el valor obtenido observandola grfica correspondiente.

(b) x3 + 3x‘2 + 2x− 6 = 0

(c) x4 − x3 − 7x2 + x + 6

3

Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones amalitica ygraficamente:

(a)

{x− 3y = 22x− 6y = 4

(b)

{−2x + 3y = −1x− 2y = 0

4