CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLEPráctica Calificada No 3

Ciclo 2006-II

Profesores : J. Cuevas, M. Álvarez, P. Gamboa, E. Fernandini, A. VergaraySecciones : TodasDuración : 110 minutos.

Sólo serán calificadas las preguntas desarrolladas en las caras derechas del cuadernillo; las caras izquierdas se podrán usar como borrador.

En todas las preguntas se debe incluir el proceso y la respuesta debe darse enmarcada con unidades.

El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la calificación. Se permite el uso sólo de calculadoras científicas no programables.

1. a) Si halle dydx

b) Calcule

c) Si demuestre que para todo

d) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva xy = yx en el punto (4; 2).(2 ptos. c/u)

Solución:

a)

b) = =

pues y para todo x > 0

c) Derivando implícitamente respecto a x en la ecuación

Despejando la primera derivada:

1

Derivando de nuevo respeto a x:

Remplazando la primera derivada en esta expresión y simplificando:

= = =

d) Aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación xy = yx

Derivando implícitamente respecto a x:

Despejando:

Evaluando en el punto de tangencia (4; 2): = – 0.315

La ecuación de la recta tangente será: y – 2 = – 0.315 (x – 4)

2. a) Para la función y = x2 + 1 en x = 1 halle el incremento y y el diferencial dy que corresponden a un incremento x = 0,2. Muestre en una gráfica la interpretación geométrica de los resultados obtenidos.b) Halle el polinomio de Taylor de cuarto grado para aproximar la función y = e2x alrededor del punto x = 0.

(2 ptos. c/u)

Solución:

a) = = 0,44

= (2)(0.2) = 0,4

En la siguiente gráfica se muestran estos resultados. Se ha tomado un valor exagerado de x para que se aprecie mejor la diferencia entre y y dy

2

b) Polinomio de Taylor de cuarto grado:

donde:

;

Entonces, el polinomio de Taylor será:

Esto es:

3. El punto P de la figura se encuentra sobre la recta y = x y determina el cuadrado OAPB.

a) Halle el área del cuadrado en función de la longitud L de la diagonal. (1 ptos)

b) Si el punto P se aleja del origen a razón de 3 cm/s ¿Con qué velocidad aumenta el área del cuadrado en el momento en que P = (5cm; 5cm). (2 ptos)

3

P

L

x

y

y = x

O A

B

1 1 + x

ydy

x

yRecta tangente

y = x2 + 1

2

Solución:a) Sea x la abscisa del punto P y S el área del cuadrado.

Como P está en la recta y = x entonces, P = (x, x), así que:

L2 = 2x2 (Pitágoras)S = x2

Resulta:

b) Derivando en ambos miembros respecto al tiempo:

dS dLLdt dt

En el instante en que se pide en el problema, se tiene:

x = 5 cm L = cm cm/s

Por tanto: = 21.21 cm2/s

Respuesta: En el momento que se pide, el área del cuadrado está creciendo a razón de 21.21 cm2/s

4. Dada la función cuyas derivadas son:

Halle:a) Las asíntotas horizontales de la gráfica. (0.5 ptos)

b) Los puntos críticos de la primera derivada. (0.5 ptos)

c) Los intervalos donde la gráfica es creciente y donde la gráfica es decreciente. (0.5 ptos)

d) Los puntos de extremo local. (0.5 ptos)

e) Los intervalos en que la gráfica es cóncava hacia arriba y aquellos donde es cóncava hacia abajo. (0.5 ptos)

f) Los puntos de inflexión. (0.5 ptos)

g) La gráfica de f. (2 ptos)

Solución:

a)

La recta y = 1 es asíntota horizontal hacia la izquierda y hacia la derecha.

4

b) La derivada es continua en todo R porque es una función racional cuyo denominador no se anula. Los únicos puntos críticos son los que hacen cero la derivada. Esto es:

= 0

Es decir:

Cuya solución es: =

Puntos críticos:

c)Signos de f ‘(x)

f (x) es decreciente en (–; –0,41)f (x) es creciente en (–0,41; 2,41)f (x) es decreciente en (2,41; )

d) De acuerdo con la información anterior: x = –0,41: punto de mínimo localx = 2,41: punto de máximo local

e)

2 ( ) 0 2( 1)( 4 1) 0 f x x x x

De donde: x = – 1;

Esto es: x = – 1; x = 0, 27; x = 3,73

Signos de f “(x)

f (x) es cóncava hacia abajo en (–; –1)f (x) es cóncava hacia arriba en (–1; 0,27)f (x) es cóncava hacia abajo en (0,27; 3,73)f (x) es cóncava hacia arriba en (3,73; )

5

x– 0,41 2,41

-+-

x–1 3,73

+–+0,27

–

f) La función y su derivada son racionales con dominio R, por tanto ambas son continuas en todo R. Esto significa que la gráfica es continua y derivable en todo R y por tanto posee tangente en todos sus puntos. Solo resta analizar dónde cambia el sentido de la concavidad, por tanto:

La gráfica posee puntos de inflexión en x = – 1; x = 0, 27; x = 3,73

g)

Monterrico, 23 de Septiembre de 2006

6

–0,41–1 0,27 2,41 3,73

y = 1

y

x