pauta_solemne ii_2_teojuegos_2013.pdf

Universidad Diego PortalesEscuela de Ingeniera ComercialTeora de JuegosSemestre 2-2013Prof. Felipe Balmaceda M. Cristian Troncoso V.Ayud. Cristian Orellana O. - Pablo Hueichapan

Pauta Sugerida Solemne 2

1. (30 puntos) Considere el juego simultaneo:

2

1

L

L A

3,2 0,0

R

2

R B

4,1 0,0 0,0 1,4

1 1

A AB B

(a) (10 puntos) Escriba el conjunto de todas las estrategias posibles para cada jugador e identi-fique (esto es, escriba los jugadores que participan, las acciones disponibles para cada jugadory los pagos asociados) todos los subjuegos del juego.

(a) Estrategias:

(i) Jugador 1 = {(L,A); (L,B); (R,A); (R,B)}(ii) Jugador 2 = {(L,A); (L,B); (R,A); (R,B)}

(b) Subjuegos

(i) Originados tras historia h1 = {L}: Jugadores: Jugador 2 Acciones: {L,R} Pagos: U1(L,L) = 3 U2(L,R) = 0 U2(L,L) = 2 U2(L,R) = 0 Informacion completa y perfecta.

(ii) Originados tras historia h2 = {R}: Jugadores: Jugador 1 y Jugador 2. Acciones: Jugador 1= {A,B}. Jugador 2= {A,B}.

1

Pagos: U1(R, (A,A) = U2 (R,L(B,B) = 4 0 = U1(R, (A,B)) = U1(R, (B,A)) =U2(R, (A,B)) = U2(R, (B,A)) U1(R, (B,B)) = U2(R, (A,A)) = 1.

Informacion completa e imperfecta(b) (10 puntos) Escriba la forma normal del juego y encuentre el conjunto de los equilibrios de

Nash.Equilibrios de Nash: {[(RA), (LA)]; [(LA), (LB)]; [(LB), (LB)], [(RA), RA)], [(RB), (RB)]}.

Jug 1

Jug 2(L,A) (L,B) (R,A) (R,B)

(L,A) (3, 2) (3, 2) (0, 0) (0, 0)(L,B) (3, 2) (3, 2) (0, 0) (0, 0)(R,A) (4, 1) (0, 0) (4, 1) (0, 0)(R,B) (0, 0) (1, 4) (0, 0) (1, 4)

(c) 10 puntos) Cuales de los equilibrios de Nash son equilibrios perfectos en subjuegos (EPS)?Usando induccion hacia atras:

(a) En t = 2,

(i) Subjuego originado tras historia h1 = {L}: Jugador 2 escoge optimamente L con pagos (3,2).

(ii) Subjuego originado tras historia h2 = {R}: Equilibrios de Nash = {(A,A); (B,B)}.

(b) En t = 1:

Jugador 1 escoge L. Su pago es de 3.

Jugador 1 escoge R. Su pago es: (i) 4 si equilibrio en continuacion es(A,A); (ii) 1 si equilibrio en continuacion es (B,B).

(c) Equilibrios perfecto en subjuegos:

Jugador 1 juega (L,B) y jugador 2 juega (L,B).

Jugador 1 juega (R,A) y jugador 2 juega (L,A).

Solo 2 de los 5 equilibrios de Nash califican como equilibrios perfectos en sub-juegos.

2. (40 puntos) Considere el dilema del prisionero:

C DC 2, 1 0, 0D 1, 1 1, 2

(a) (10 puntos) Para cuales factores de descuento la estrategia de gatillo vista en clases imple-menta cooperacion como un EPS en el dilema del prisionero repetido al infinito?

2

La estrategia a considerar es:

S =

En t = 1, jugar C.

En t > 1, jugar (i) C si ambos jugadores han jugado C siempre en el pasado; y

(ii) jugar D si algun jugador ha jugado D en algun periodo pasado.

(i) Considere cualquier t tal que historia en que ambos jugadores han escogidoC en el pasado.

De acuerdo con el principio de la unica desviacion solo se debe considerardesviaciones unilaterales en t.

Como (C,C) es un equilibrio de Nash del juego simultaneo jugado ent, no existen desviaciones unilaterales beneficiosas para algun jugadorindependiente del valor de .

Luego (S, S) induce un equilibrio de Nash en esta clase de subjuegos.(ii) Considere cualquier t tal que historia es que algun jugador ha escogido D en

algun periodo pasado.

Estrategia induce (D,D) en esta clase de subjuegos. Como (D,D) es un equilibrio de Nash del juego simultaneo jugado en t,

no existe desviacion unilateral para algun jugador independiente de .

(S, S) es un EPS para todo (0, 1).(b) (10 puntos) Considere la conocida estrategia Tit-for-Tat donde (i) los jugadores cooperan

en el primer periodo y (ii) los jugadores siempre imitan la accion jugada por su oponente enel ultimo periodo. Para cuales factores de descuento es esta estrategia un EPS?La estrategia a considerar es:

S =

{En t = 1, jugar C.

En t > 1, jugar aquella accion escogida por mi contrincante en t 1.(i) Considere cualquier t en el que historia es tal que outcome en t 1 es (C,C).

Suponga que jugador 1 y jugador 2 son obedientes. En este caso el pagopara jugador 1 es 21 y para jugador 2 es

11 .

Si jugador 1 se desva unilateralmente:t t+ 1 t+ 2 t+ 3

(D,C) (C,D) (D,C) (C,D)1 0 1 0

Como pago si no se desva es 2 en cada periodo, jugador 1 no tieneincentivos a desviarse en esta clase de subjuegos, independiente de (0, 1).

Si jugador 2 se desvAa unilateralmente:t t+ 1 t+ 2 t+ 3

(C,D) (D,C) (C,D) (D,C)0 1 0 1

3

Idem para jugador 2 sobre pagos. Luego, (S, S) induce un equilibrio de Nash en esta clase de subjuegos

independiente de .

(ii) Considere cualquier t en el que la historia es tal que outcome en t 1 es(C,D).

Si ambos jugadores son obedientes:t t+ 1 t+ 2

(D,C) (C,D) (D,C)

Pago para jugador 1 es 11 y para jugador 2 es 11 . Si jugador 1 se desvia unilateralmente:

t t+ 1 t+ 2(C,C) (C,C) (C,C)

Pago es 21 . Si jugador 2 se desvia unilateralmente:

t t+ 1 t+ 2(D,D) (D,D) (D,D)

Pago es 21 . Luego, ningun jugador se desviara si 11 21 . Como esto es imposible

(porque (0, 1)), la estrategia (S, S) no es puede ser un EPS para ningunvalor de .

(c) (10 puntos) Considere una estrategia donde los jugadores juegan D en cada periodo par y Cen cada periodo impar. Para cuales factores de descuento es esta estrategia un EPS?La estrategia a considerar es:

S =

{En t=par jugar D independientemente de la historia.

En t=impar jugar C independientemente de la historia.

(i) Considere cualquier t par y cualquier historia.

Si ambos jugadores son obedientes:t t+ 1 t+ 2 t+ 3 t+ 4

(D,D) (C,C) (D,D) (C,C) (D,D)

Pago para jugador 1 es 112 +

212 y para jugador 2 es

212 +

12 .

Como < 1 entonces pago para jugador 1 es menor que pago para jugador2.

Si jugador 1 se desva unilateralmente:t t+ 1 t+ 2 t+ 3 t+ 4

(C,D) (C,C) (D,D) (C,C) (D,D)

4

Pago es estrictamente menor que su pago al ser obediente puesto queambas corrientes son iguales salvo pago en t, el que el pago de desviarsees menor.

Si jugador 2 se desva:t t+ 1 t+ 2 t+ 3 t+ 4

(D,C) (C,C) (D,D) (C,C) (D,D)

Similar para jugador 2 (pagos son iguales a partir de t+ 1 y pago en t esmenor en caso de desviarse).

Luego, (S, S) induce equilibrio de Nash en todo subjuego en donde t espar.

(ii) Considere cualquier t impar y cualquier historia.

Si ambos jugadores son obedientes:t t+ 1 t+ 2 t+ 3

(D,C) (C,D) (D,C) (C,D)1 0 1 0 J11 0 1 0 J2

Pago para abos jugadores es 112 .


(D,D) (C,D) (D,C) (C,D)1 0 1 0 J1

Corrientes de pagos son iguales por lo que jugador 1 no tiene incentivosa desviarse independiente de

Si jugador 2 se desva:t t+ 1 t+ 2 t+ 3

(C,C) (C,D) (D,C) (C,D)1 0 1 0 J2

Idem para jugador 2. Como (S, S) induce un equilibrio de Nash en esta clase de subjuegos, (S, S)

es un equilibrio perfecto en subjuegos (EPS) para todo valor de (0, 1).(d) (10 puntos) Considere una estrategia donde los jugadores juegan (C,D) en cada periodo par

y (D,C) en cada periodo impar. Para cuales factores de descuento es esta estrategia un EPS?Las estrategias a considerar son:

S1 =

{Jugar C si t es par independiente de historia.

Jugar D si t es impar independiente de historia.

S2 =

{Jugar D si t es par independiente de historia.

Jugar C si t es impar independiente de historia.

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(i) Considere cualquier t par y cualquier historia.

Si ambos jugadores son obedientes:t t+ 1 t+ 2 t+ 3

(C,D) (D,C) (C,D) (D,C)0 1 0 1 J10 1 0 1 J2

Pago para cada jugador es 112 .


(D,D) (D,C) (C,D) (D,C)1 1 0 1 J1

Como corriente de pagos en caso de desviacion es mayor a corriente depagos en caso de seguir S, no existe (0, 1) tal que (S, S) constituye unEPS.

3. (15 puntos) Considere el siguiente juego de 2 jugadores. El jugador 1 elige un numero x1 [1, 10]. El jugador 2 adiciona un numero que esta entre 1 y 10. El jugador 2 elige un numero y1entre x1 + 1 y x1 + 10. El jugador 1 observa este numero y elige un numero x2 entre y1 + 1 yy1 + 10 y as sucesivamente; en cada turno uno de los dos jugadores adiciona un numero entre 1y 10. El ganador del juego es el jugador que primero declara el numero 100. El ganador recibeun pago de 100 y el perdedor nada. Encuentre el EPS de este juego.

Existe un equilibrio perfecto en subjuegos (EPS) en el que el primer jugadorque mueve gana el juego.

Suponga que jugador 1 comienza. Su estrategia es:

S =

En t = 1 escoger 1

En t = 3 escoger x tal que suma es igual a 12









La estrategia para el jugador 2 es escoger cualquier numero independientementede la historia en el perAodo en que deba jugar.

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No es difcil comprobar que este par de estrategias es un EPS para el juego.4. (20 puntos) Moctezuma y Hernan interactuan de manera simultanea en un juego con la siguiente

matriz de pagos (medida en miles de pesos): Sin embargo, antes de jugar, Hernan puede decidir

Moctezuma

HernanI D

A 18, 12 0, 8B 8, 0 12, 18

(o no) tomar un billete de 5,000 y romperlo ante los ojos de Moctezuma, antes de comenzar eljuego. Describa este juego en forma extensiva y encuentre los posibles equilibrios de Nash.

Lo mas razonable es suponer que los 5,000 disminuyen los pagos de Hernan encaso de que decida romper el billete.

Sin embargo, tambien se puede suponer que romper el billete no afecta los pagosde Hernan.

Representacion secuencial (con pagos donde se asume que billete disminuye pa-gos de Hernan):

M

H

Romper

A

No Romper

M

B

7,18 3,0 -5,8 13,12

I

H

D I D

A B

12,18 8,0 0,8 18,12

H

D I D

Los equilibrios de Nash para este juego son {(NR, I), A)}y {(NR,D), B)} dondeNR = no romper.

(a) (10 puntos) La posibilidad de romper el billete es relevante?

Cuando el romper el billete afecta los pagos, el set de equilibrios de Nashno contiene algun equilibrio en que Hernan juegue romper. Luego, romperel billete es irrelevante.

En el caso en que pagos no son afectados si Hernan rompe el billete, si existeun EPS en que Hernan rompe el billete y juego D si rompe e I si no rompe,y Moctezuma juega B si rompe y A si no rompe. Por tanto, aqu romper elbillete si es relevante.

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(b) (10 puntos) Que puede hacer Moctezuma para mejorar el resultado del juego?

Puede explotar secuencialidad del juego. Si puede comprometerse de maneracreble y jugar primero, entonces existira un unico EPS en el que pago deMoctezuma es 18 (max posible).

5. (30 puntos) Comunmente personas que ocupan cargos de cierta responsabilidad dentro de lasempresas reciben un salario superior al salario promedio del mercado. Una posible razon parapagar estos salarios es otorgar mayores incentivos que eviten que los trabajadores pongan menosesfuerzo del esperado. Para ver como operan estos incentivos, suponga que que una empresaofrece un salario $ w por periodo. El beneficio (utilidad) del trabajador (por periodo) es U =salario esfuerzo. En cada periodo el trabajador debe escoger si se esfuerza o no. Esforzarse tieneun costo de $ 1,000 (por periodo) para el trabajador, mientras que no esforzarse cuesta $0. Sidurante algun periodo el trabajador decide no esforzarse, la empresa lo despide con probabilidaduno al final de ese periodo. Si el trabajador es despedido su salario (en alguna otra empresa)es $1,000 (el trabajador no debe esforzarse en este trabajo alternativo por lo que su beneficio esU = 1, 000 si es despedido). Suponga que la relacion contractual puede durar indefinidamente.El factor de descuento usado por el trabajador para descontar flujos futuros es (0, 1).(a) (10 puntos) Que condiciones sobre deben ser ciertas para que el trabajador decide es-

forzarse en cada periodo?

Si el trabajador se esfuerza en cada periodo:

t t+ 1 t+ 2 t+ 3(w 1) (w 1) (w 1) (w 1)

Su pago sera w11 . Si el trabajador decide no esforzarse en periodo t:

t t+ 1 t+ 2 t+ 3(w 1) 1 1 1

Su pago sera w + 1 .

Luego, si w11 w + 1 el trabajador se esforzara en cada periodo.(b) (10 puntos) Suponga que = 1/2. Cual es el menor valor de w (salario de eficiencia) que la

empresa debe pagar para incentivar al trabajador a esforzarse?

Si = 12 , entonces w que hace que la anterior desigualdad se cumpla con

igualdad es:

w 112

= w +1212

= 2w 2 = w + 1 = w = 3

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(c) (10 puntos) Suponga que un trabajador que actualmente gana el salario de mercado (estoes 1, 000) se acerca a la empresa que paga el salario de eficiencia calculado en (b) y ofrecetrabajar por menos. Contratara la empresa a este trabajador, por que si o por que no?

No. Si la empresa accede a contratar al trabajador por menos de 3,000 eltrabajador tendra incentivos a no esforzarse.

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