Universidad Diego PortalesEscuela de Ingeniera ComercialTeora de JuegosSemestre 2-2013Prof. Felipe Balmaceda M. Cristian Troncoso V.Ayud. Cristian Orellana O. - Pablo Hueichapan

Pauta Sugerrida Solemne 1

1. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash en estrategias puras del siguiente juego.

L C RU 4, 2 0, 0 1, 1M 1, 1 3, 4 2, 1D 0, 0 3, 1 1, 0

Mejores respuestas Jugador 1 (5 puntos):

Si el jugador 1 conjetura que el jugador 2 escogera L = U. Si el jugador 1 conjetura que el jugador 2 escogera C = D o M. Si el jugador 1 conjetura que el jugador 2 escogera R = M.

Mejores respuestas Jugador 2 (5 puntos):

Si el jugador 2 conjetura que el jugador 1 escogera U = L. Si el jugador 2 conjetura que el jugador 1 escogera D = C. Si el jugador 1 conjetura que el jugador 2 escogera M = C.

De este analisis se deprende que existen 3 equilibrios de Nash en estrategias puras:(U,L), (M,C) y (D,C) (5 puntos).

2. Considere un juego de Cournot con dos firmas, una con costo marginal c1 = 3 y otra con costomarginal c2 = 5 y enfrentan una demanda lineal p = 21 2Q.(a) Determine las cantidades a producir por cada firma, el precio a cobrar y el beneficio de cada

firma en equilibrio.Prob de la firma 1:

maxq10

pi1(q1, q2) = [21 2(q1 + q2)]q1 3q1

Derivando pi1 e igualando a cero esta derivada se obtiene la funcion de respuestade la firma 1 (2 puntos):

q1 =18 2q2

4

1

El prob de la firma 2 es:

maxq20

pi2(q1, q2) = [21 2(q1 + q2)]q2 5q2

Derivando pi2 e igualando a cero esta derivada se obtiene la funcion de mejorrespuesta de la firma 2 (2 puntos):

q2 =16 2q1

4

En todo equilibrio de Nash la cantidad producida por la firma 1 debe ser unamejor respuesta a la cantidad producida por la firma 2 y viceversa. Esto es, si(q1, q2) es un equilibrio de Nash, q1 debe ser una mejor respuesta a q2 y q2 debeser una mejor respuesta a q1. Resolviendo el sistema de ecuaciones formadopor las funciones de mejor respuesta encontradas anteriormente, se obtiene queq1 = 10/3 y q2 = 7/3 (2 puntos) son las cantidades que cada firma producira enequilibrio, por lo que el precio a cobrar sera P = 29/3 (2 puntos). Por ultimo elbeneficio de cada firma en equilibrio es pi1 = 22, 2 (1 punto) y pi2 = 10, 8 (1 punto).

(b) Suponga que a la firma 2 se le ofrece una nueva tecnologa que disminuira su costo marginalal que que posee la firma 1. Cuanto es lo maximo que la firma 2 esta dispuesta a pagar poresta tecnologa?Dado que esta nueva tecnologa igualara los costos marginales de la firma 1 y2, camba la funcion de mejor respuesta de la firma 2. El problema de la firma2 sera:

maxq20

pi2(q1, q2) = [21 2(q1 + q2)]q2 3q2

Derivando pi2 e igualando a cero esta derivada se obtiene la nueva funcion derespuesta de la firma 1 (2 puntos):

q2 =18 2q1

4

Como las funciones de mejor respuesta son simetricas, q1 = q2 en equilibrio.Luego, q1 = q2 = 3 y P = 9 en este nuevo equilibrio. El beneficio de la firma2 bajo esta nueva tecnologa sera pi2 = 18 (2 puntos). Como los beneficios dela firma 2 sin la nueva tecnologa son 10,8, lo maximo que esta firma estaradispuesta a pagar por dicha tecnologa es pi2 pi2 = 18 10.8 = 7, 2 (6 puntos).

3. Una linea aerea pierde dos maletas pertenecientes a diferentes viajeros. Ambas maletas sonidenticas y tiene el mismo contenido de difcil valoracion (por ejemplo antiguedades). En elencargado de la compana argumenta que la empresa es responsable por un maximo de $100 pormaleta (el no esta capacitado para valorar el contenido de cada maleta), y en funcion de obtenerun valoracion honesta de los viajeros les pide que escriban en un papel cada uno por separado unavaloracion que este contenida en [2, 100]. Ademas explica que si ambos escriben el mismo numeroel tomara este como la verdadera valoracion y les reembolsara esa cantidad a cada uno. Por otra

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parte si un escribe un numero menor al otro, ese numero sera considerado como la verdaderavaloracion y se hara el reembolso de acuerdo a este numero en conjunto con un bono c > 0 al quedeclare el menor numero y un penalty c al que declare la mayor valoracion. Usted el viajero 1.(a) Cual es tu pago cuando el otro viajero escribio una valoracion de $55 y c = 2?

Sea si [2, 100] el numero que escribe el viajero i, i = 1, 2. La funcion de pagopara el viajero 1 cuando el viajero 2 ha escrito 55 y c = 2 es (3 puntos):

U1(s1, s2 = 55) =

s1 + 2 si s1 < 55

55 si s1 = 55

55 2 si s1 > 55

(b) Cual es tu pago cuando el otro viajero escribio una valoracion de $55 y c = 50?En este caso, la funcion de pago del viajero 1 es (3 puntos):

U1(s1, s2 = 55) =

s1 + 50 si s1 < 55

55 si s1 = 55

55 50 si s1 > 55

(c) Cual es el equilibrio de Nash cuando c = 2; y cuando c = 50?En este contexto, un equilibrio de Nash es un par de numeros escritos por losviajeros tal que ningun viajero tiene incentivos unilaterales a desviarse. Supongaque (s1, s2), es un equilibrio de Nash. Considere el caso en que s1 > s2. Aqu,el pago para el viajero 1 es s2 c, puesto que el viajero 2 ha escrito el numeromenor. Si en cambio el viajero 1 se desvia y escribe un numero s1 = s2, su pagosera igual a s1 = s2, el cual es estrictamente mayor al pago que recibe escribiendos1 para todo c > 0. Usando el mismo argumento en el caso que s1 < s2 (en estecaso, la desviacion se construye para el jugador 2), se desprende que no puedeexistir un equilibrio de Nash en el que los numeros escritos sean distintos. Porlo tanto, considere el caso en el que s := s1 = s2, con s > 2. En este caso, si elviajero 1 se desva y escribe el numero s1 = s1 , con 0 < < 2, su pago seras1 + c = s1 + c > s1 siempre que c 2. Luego, el unico candidato a equilibrio deNash cuando c = 2 o c = 50 es s1 = s2 = 2. Para verificar que este par de numeroses un equilibrio de Nash, considere una desviacion (unilateral) por parte deljugador 1. Como s1 = 2, la unica posibilidad es desviarse anunciando un numeros1 mayor a 2, en cuyo caso, su pago sera s2 c (dado que s1 > s2). Como elpago obtenido si anuncia s1 = 2 es 2, dicha desviacion no puede ser beneficiosapara el jugador 1. Por simetra, tampoco existe alguna desviacion unilateralque haga al jugador 2 aumentar su pago. Se concluye que el unico equilibrio deNash cuando c = 2 es s1 = s2 = 2, y el unico equilibrio de Nash cuando c = 50 ess1 = s2 = 2. La asignacion del puntaje es 8 puntos por el analisis, 1 punto pormostrar que s1 = s2 = 2 es el equilibrio de Nash cuando c = 2, y 1 punto pormostrar que s1 = s2 = 2 es el equilibrio de Nash cuando c = 50.

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(d) Resultados experimentales con estudiantes revelan que la mediana de las valoraciones fue$74 cuando c = 2 y $49 cuando c = 50. Comente y relaciones con la respuesta anterior.Los resultados del experimento son inconsistente con equilibrio de Nash debidoa que los valores $74 si c = 2 y $49 si c = 50 involucran incentivos unilaterales adesviarse por parte de los jugadores (4 puntos).

4. En un grupo de 12 estudiantes, cada uno representa una empresa y decide si entrar o no a unmercado. Una empresa que se queda fuera obtiene 50 puntos. Mientras que si ella decide entrar,y el numero de entrantes es menor o igual a c, cada entrante obtiene 100 puntos. De otro modotodos los entrantes obtiene 0 puntos.

(a) Represente este juego en su forma normal.

Jugadores: cada uno de los 12 estudiantes.

Estrategias para cada jugador: Entrar (E) o No Entrar (NE).

Pagos: Para el jugador i,

ui(si, si) =

50 si si = NE

100 si si = E y #si < c0 si si = E y #si c

donde #si representa el numero de jugadores diferentes de i que decideentrar. Luego, ni, S, Ui = 12,12i=1{E,NE}, ui. 1 punto por escribir correc-tamente la funcion de pagos, y 1 punto por el resto.

(b) Cual es el equilibrio de Nash cuando c = 10, y cuando c = 5?Si c = 10, la mejor respuesta del jugador i es (2 puntos):

BRi(si) =

{NE si #si 10E si #si < 10

Entonces, considere el caso en el que hay 10 entrantes. Los que no entran son2 y para cada uno de ellos, esta es su mejor respuesta. Paro los que entraron,entrar es su mejor respuesta dado que no entrar genera 50 y entrar genera 100.Por lo tanto, el conjunto de equilibrios de Nash corresponde a todos los perfilesde estrategias donde 10 jugadores entran (3 puntos). Hay n!k!(nk)! =

12!10!2! = 66

diferentes perfiles de estrategias que generan el mismo resultado (2 puntos).En el caso en que c = 5, hay 12!5!7! = 792 posibles perfiles de estrategias que sonequilibrios de Nash, todos ellos con identico resultado.

(c) Si 8 estudiantes entran en cada caso. Hay exceso o carencia de entrantes. Comente.Si entran 8 estudiantes, hay exceso de entrada para el caso de c = 5, y carenciade entrada para el caso de c = 10. En el primer caso, hay perdidas en relacion alequilibrio de Nash y por ende las firmas quieren salir, mientras que en el segundocaso hay utilidades y por ende los no entrantes desean entrar (4 puntos).

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5. Nicole y Ricardo estan compitiendo en la eleccion de presidente del centro de alumnos de su curso.El total de alumnos en la clase es 51 (incluyendo a Nicole y Ricardo). Suponga que 30 alumnosprefieren a Ricardo como presidente mientras que el resto prefiere a Nicole. Los estudiantespueden votar por uno de los dos candidatos, y el candidato que saca la mayora de los votos gana.A todos los estudiantes solo les importa la identidad de la persona que gana y no por el margenque el/ella gana.

(a) Explique por que para cada estudiante votar por su candidato preferido es una estrategiadebilmente dominante.Suponga que mi candidato prefereido es Ricardo. Si 24 (o menos) estudiantes(distintos a mi) votan por Ricardo, entonces mi voto no cambia el resultado(Ricardo pierde independiente de si yo voto por Ricardo o Nicole), por lo quemi pago es cero (2 puntos). Ahora, si exactamente 25 estudiantes votan porRicardo, entonces mi voto es pivotal. As, votar por Ricardo lo hace el ganador,y votar por Nicole la hace la ganadora. Como mi preferido es Ricardo, entoncesvotar por Ricardo me reporta un pago estrictamente mayor al pago que obten-dra votando por Nicole (2 puntos). Por ultimo, si 26 o mas estudiantes votanpor Ricardo, entonces mi voto no cambia el resultado, por lo que me es indifer-ente votar por Ricardo o Nicole (2 puntos). Por lo tanto, votar por Ricardocuando el es mi favorito, me reporta un pago no inferior que el pago obtenido alvotar por Nicole en todos los casos, y un pago estrictamente mayor en un caso.Repitiendo este mismo analisis para el caso en que mi preferido sea Nicole, mues-tra que votar por mi candidato favorito es una estratega debilmente dominada(6 puntos por explicar en detalle lo que sucede cuando mi candidato favorito esNicole).

(b) Suponga que cada estudiante vota por su candidato preferido. Constituye esto un equilibriode Nash? Explique claramente su respuesta.Dado que votar por su candidato favorito es una estrategia debilmente dominadapara cada estudiante, debe ser cierto que si yo espero que todos los demasestudiantes voten por su candidato favorito, votar por mi candidato favoritoes mi mejor respuesta. Por lo tanto, que cada alumno vote por su candidatofavorito constituye un equilibrio de Nash para este juego (3 puntos).

6. Tu vives en un edificio con dos vecinos (3 departamentos en total). Una conexion a internet deMovistar cuesta $65. Si tu posees tu propia conexion siempre te puedes conectar dado que puedesresetear tu conexion si esta se cae. Tambien puedes usar la conexion de tu vecino (las conexionesson wi-fi abiertas). Sin embargo, las conexiones de los vecinos no estan siempre disponibles.Existe un 30% de probabilidad que la conexion de un vecino determinado no este disponible. Notener la conexion significa que tu no podras llevar a cabo un trabajo on-line que te reportara$100.

(a) Demuestre que si solo un vecino tiene conexion y tu no tienes internet, entonces tu tendrasconexion con 70% de probabilidad. Con dos vecinos conectados la probabilidad es 91%.En el caso de que un vecino tenga conexion, la probabilidad de que yo tenga

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internet (dado que yo no tengo conexion) es igual a 1 menos la probabilidad deque la conexion de mi vecino se caiga, 30%, lo que da 70% de probabilidad (2,5puntos). Ahora, si dos vecinos tienen conexion, entonces yo tendre conexion sial menos una de las conexiones de mis vecinos funciona. La probabilidad de queambas conexiones se caigan es 0.3 0.3 = 0.09, por lo que la probabilidad de queyo tenga internet cuando dos de mis vecinos tienen conexion es 1 0.09 = 0.91,es decir, 91% (2,5 puntos).

(b) Si tu y tus vecinos deciden en conjunto cuantas conexiones comprar y compartir los costsuniformemente, cuantas conexiones compran?Sea n el numero de conexiones. El problema que enfrentan los vecinos es:

maxn{0,1,2,3}

{B(n) 65n}

donde B(n) es el beneficio de tener n conexiones. Entonces (1 puntos):

B(0) = 0

B(1) = 100 + 0.7 100 + 0.7 100 = 240B(2) = 100 + 100 + 0.91 100 = 291B(3) = 100 + 100 + 100 = 300

La solucion al problema anterior, n, es el n mas grande tal que el beneficiomarginal exceda al costo marginal (2 puntos):

B(3)B(2) = 9 y C(3) C(2) = 65 = n = 3 no es optimo. B(2)B(1) = 51 y C(2) C(1) = 65 = n = 2 no es optimo. B(1)B(0) = 240 y C(1) C(0) = 65 = n = 1 es optimo.

Por lo tanto, n = 1 es la solucion (1 punto).(c) Suponga ahora que todos deciden simultaneamente e independientemente cuantas conexiones

comprar. Encuentre el equilibrio en estrategias puras de este juego.Vecino 1 escoge filas, vecino 2 escoge columnas, y vecino 3 escoge matrices (la 1ramatriz corresponde al vecino 3 escogiendo conexion y la 2da matriz correspondeal vecino 3 escogiendo no conexion), y donde C indica conexion y NC indica NoConexion (2 puntos):

Vecino 1

Vecino 2C NC

C 35, 35, 35 35, 91, 35NC 91, 35, 35 70, 70, 35

Vecino 1

Vecino 2C NC

C 35, 35, 91 35, 70, 70NC 70, 35, 70 0, 0, 0

De las matrices anteriores se desprende que existen 3 equilibrios de Nash enestrategias puras: (NC,NC,C), (C,NC,NC), (NC,C,NC) (3 puntos).

(d) Suponga ahora que internet cuesta $35. Como cambia tu respuesta en (b) y (c).Si el costo es igual a 35, entonces la respuesta en (b) es n = 2 dado que B(2)B(1) = 51 > C(2) C(1) = 35 y B(3)B(2) = 9 < C(2) C(1) = 35 (2 puntos).

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Vecino 1

Vecino 2C NC

C 65, 65, 65 65, 91, 65NC 91, 65, 65 70, 70, 65

Vecino 1

Vecino 2C NC

C 65, 65, 91 65, 70, 70NC 70, 65, 70 0, 0, 0

De las nuevas matrices para la parte (c) se desprende que los equilibrios de Nashson: (NC,NC,C), (C,NC,NC), (NC,C,NC) (5 puntos).

(e) Algunos ISPs permite compartir costos entre los vecinos. Tiene esto sentido en relacion contu respuesta a la parte (d)?Si tiene sentido dado que el numero optimo de conexiones es 2 y en el equilibriode Nash sin costos compartidos a lo mas una conexion es consistente con laracionalidad individual (5 puntos).

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