Prueba Semestral IOtono-2014

Profesores: Felipe Balmaceda y Cristian TroncosoAuxiliares: Pablo Hueichapan, Cristian Orellana y Gonzalo Salazar.

1. (25) Dos personas suben a un bus. El bus solo tiene dos asientos disponibles, uno al lado del otro. Cadauna de estas dos persona debe decidir si sentarse or quedarse parado. Sentarse solo es mas comodo quesentarse al lado de la otra persona, pero sentarse al lado de la otra persona es mas comodo que quedarseparado.

(a) (10) Suponga que a cada persona solo le interesa su propia comodidad. Modele la situacion comoun juego en forma normal (elija numeros o letras que sean consistentes con esta preferencias). Eseste juego un juego tipo Dilema del Prisionero? Encuentre el conjunto de equilibrios (esto es, todos)de Nash del juego.

Solution:J2

S NSJ1 S (, ) (, 0)

NS (0, ) (0, 0)

0 < <

Mejores respuestas: Jugador1: Sentarse si el jugador 2 se sienta. Sentarse si el jugador 2 no sesienta.

Jugador 2 : Sentarse si el jugador 1 se sienta. Sentarse si el jugador 1 no se sienta. Equilibriode Nash en estrategias puras: Sentarse, Sentarse

El juego no se asemeja al tipo de juego del Dilema del prisionero debido a que no es posiblemejorar los pagos de ambos jugadores partiendo del equilibrio, es decir, encontramos un Paretooptimo.

(b) (10) Suponga ahora que cada persona es altruista, y ordena los diferentes resultados de acuerdo ala comodidad de la otra persona, pero, por ser muy educada, prefiere quedarse parado que sentarsesi la otra persona se queda parada. Modele esta situacion como un juego en forma normal (elijanumeros o letras que sean consistentes con esta preferencias). Es este juego un juego tipo Dilemadel Prisionero? Encuentre el conjunto de equilibrios (esto es, todos) de Nash del juego.

Solution:

J2Q (1Q)S NS

J1 P S (, ) (, )(1 P ) NS (, ) (0, 0)

< 0 < <

Mejores respuestas:

Jugador1: No sentarse si el jugador 2 se sienta. No sentarse si el jugador 2 no se sienta.

Jugador 2 : No sentarse si el jugador 1 se sienta. No sentarse si el jugador 1 no se sienta.

Equilibrio de Nash en estrategias puras: No sentarse, No sentarse. Este juego se asemeja aldilema del prisionero dado que los pagos que se alcanzan en el equilibrio de Nash no corre-sponden al punto Pareto optimo, es decir, partiendo del equilibrio No sentarse, No sentarse se

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podria mejorar los pagos de ambos jugadores si es que decidieran jugar la estrategia (Sentarse,Sentarse) (puesto que > 0) llegando a un acuerdo de cooperacion.

Estrategias mixtas: Jugador 1: Valor esperado de jugar Sentarse: Q+ (1Q)Valor esperado de jugar No sentarse: Q+ 0 (1Q)Igualando valores esperados y despejando Q obtenemos: Q = ()Jugador 2:

Valor esperado de jugar Sentarsqe: P + (1 P )Valor esperado de jugar No sentarse: P + 0 (1 P )Igualando valores esperados y despejando P obtenemos: P = ()En donde las P y Q nos indican el equilibrio en estrategias mixtas para este juego.

(c) (5) Compare la comodidad de las dos personas en el equilibrio de los dos juegos. Comente.

Solution: Dados los pagos asignados en los juegos parte (a) y parte (b), se observa que siendoaltruista y educado disminuyen los pagos de equilibrio de ambos jugadores, sin embargo, en unacuerdo de cooperacion se puede llegar a obtener pagos similares a los de la parte (a).

2. (30) Suponga que hay dos estudiantes y cada uno debe escribir un numero entero contenido en {1, . . . , 100}.El estudiante que escribe el numero mas pequeno debe pagarle al profesor esa cantidad en pesos. El es-tudiante que escribe el numero mayor paga cero pesos (o sea, paga nada). Si ambos escriben el mismonumero, ambos pagan la cantidad que escribieron. Asuma que los estudiantes son neutrales al riesgo(por lo que maximizan sus pagos esperados) y solo les interesan sus perdidas y ganancias.

(a) (4) Tiene este juego estrategias estrictamente dominadas?

Solution: Sea si [1, . . . , 100] el numero que escribe el estudiante i, donde i = 1, 2. La funcionde mejor respuesta del estudiante i frente a la eleccion de su companero, el estudiante j 6= i,es:

Ui(si, sj) =

0 si si > sjsi si si = sjsi si si < sjDe esta forma, podemos construir la siguiente matriz de pagos, la cual describe las distintascombinaciones de estrategias que realizan los alumnos 1 y 2, donde el alumno 1 escoge entrelas filas presentes en la matriz y el alumno 2 escoge entre las columnas respectivas.

Matriz de pagos (en $)1 2 3 . . . 99 100

1 -1,-1 -1,0 -1,0 . . . -1,0 -1,02 0,-1 -2,-2 -2,0 . . . -2,0 -2,03 0,-1 0,-2 -3,-3 . . . -3,0 -3,0...

......

.... . .

......

99 0,-1 0,-2 0,-3 . . . -99,-99 -99,0100 0,-1 0,-2 0,-3 . . . 0,-99 -100,-100

Como se puede apreciar en la matriz de pagos, las mejores respuestas del alumno 1 frente alas acciones escogidas por el alumno 2 no muestran estrategias estrictamente dominantes. Deigual forma ocurre para el caso del alumno 2.

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(b) (7) Encuentre los dos equilibrios en estrategias puras de este juego.

Solution: Tal como se aprecia en la matriz de pagos presente en (a), la mejor respuesta delalumno 1, s1, frente a la mejor respuesta del alumno 2, s

2, coinciden en dos puntos, dando origen

a los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego; EN1 = {1, 100} y EN2 = {100, 1}.

(c) (4) Dado lo establecido hasta aqu, discuta brevemente porque es esperable que este juego tengaun equilibrio en estrategias mixtas.

Solution: Debido que tenemos dos equilibrios en estrategias puras, no se puede predecir loque realmente sucedera. Por lo tanto, es de esperar que cada una de las acciones se jueguecon alguna probabilidad asociada; probabilidad que nos entregara por resultado una estrategiamixta.

(d) (15) Encuentre un equilibrio simetrico (esto es, un equilibrio en el que ambos jugadores usan lamisma estrategia) en estrategias mixtas de este juego.

Solution: Debido que tenemos dos equilibrios en estrategias puras, no se puede predecir loque realmente sucedera. Por lo tanto, es de esperar que cada una de las acciones se jueguecon alguna probabilidad asociada; probabilidad que nos entregara por resultado una estrategiamixta.

Observe lo siguiente:

No importa que tipo de equilibrio sea (simetrico o no), si el jugador 1 asigna una proba-bilidad positiva a jugar el nro 1 entonces en equilibrio el pago esperado de este jugadordebe ser -1.

Como los pagos asociados a cada estrategia pura del jug 1 (o jug 2, da lo mismo) sonceros o numeros negativos, cualquiera sea la conjetura que el jug 1 se forme respecto aljugador 2, esta conjetura debe ser tal que el jug 2 asigna probabilidad positiva a jugaralgun numero distinto a 1 (en caso contrario, no habria forma de hacer indifirente al jug1).

Ahora, si el jug 1 cree que el jug 2 escogera con prob positiva un numero distinto a uno ocien (digamos el nro 2) entonces, en equilibrio, el jug 2 tambien debe poner prob positivaal nro 100. Si esto no fuera asi, seria posible para el jug 1 desviarse y jugar el nro 100con prob 1 (pues de esta forma incrementa su pago).

Creer que el jug 2 jugara algun nro distinto de 1 o 100 con probabilidad positiva no puedeformar parte de algun equilibrio. Por ejemplo, supongamos que el jug 1 cree que el jug2 escogera con prob positiva los numeros 1, 2 y 100. Si esto fuera parte de un equilibrio,el jug 2 deberia escoger el nro 100 con prob 1/100. Pero entonces, el jug 1 estaria mejorjugando el nro 3 con prob 1, puesto que su pago aumenta a -3/100 > -1.

Como lo anterior vale para cualquier numero distinto a 1 o 100, deberiamos observarque en cualquier equilibrio en estrategias mixtas, los jugadores solo ponen probabilidadpositiva en los nros 1 y 100.

Por lo tanto, sin perdida de generalidad podemos reducir nuestra matriz de pagos a los casosextremos 1 y 100, dado que los jugadores no tienen incentivos para cambiar sus acciones, con locual los equilibrios en estrategias puras seguiran siendo los mismos de (b), EN1 y EN2. Ahora,dado que el alumno 1 no sabe con certeza que accion escogera el alumno 2, este asignara unaprobabilidad q a que su companero juegue 1 y una probabilidad 1 q a que juegue 100. Lo

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mismo realizara el alumno 2 frente las acciones inciertas del alumno 1, pero con probabilidadr y 1 r, respectivamente.

Matriz de pagos (en $)q 1 q1 100

r 1 -1,-1 -1,01 r 100 0,-1 -100,-100

De esta forma resolvemos para el alumno 1, cuando juega 1:

1q +1(1 q) = q 1 + q = 1

Ahora, para cuando juega 100:

0q +100(1 q) = 100 + 100q

Por consiguiente, la probabilidad que el alumno 1 se encuentre indiferente entre jugar 1 o 100se obtiene igualando ambas ecuaciones:

1 = 100 + 100qq =

99

100

Dado que la matriz de pagos es simetrica, sabemos que la probabilidad de indiferencia delalumno 2 es r = 99100 . Por lo tanto, las estrategias mixtas (q, 1 q) = ( 99100 , 1100 ) del alumno 2y (r, 1 r) = ( 99100 , 1100 ) del alumno 1, forman un equilibrio de Nash, el cual es simetrico desdeque r = q.

3. (25) Tres estudiantes de la UDP-FEE comparten un departamento. Es otono y ellos saben que se avecinala temporada de gripes. Es de conocimiento comun que cada uno de ellos tiene una probabilidad de 10 %de ser contagiado de gripe por un companero de casa aleatorio. Si uno de ellos se enferma de gripe,los otros dos se enfermaran de gripe con probabilidad 1. La vacuna contra la gripe evita contagiarse degripe con certeza. El costo del tiempo de ir al vacunatorio y de la vacuna es de $20. Asimismo, cadaestudiante esta dispuesto a pagar $100 por un remedio milagroso que cure la gripe, si es que el o ella yaesta contagiada.

(a) (5) Demuestre que un companero de departamento no vacunado tiene una probabilidad igual a27.1 % de contagiarse si ninguno de los companeros se vacuna y de 19 % si uno de ellos se vacuna.

Solution: La probabilidad es la siguiente:

P (c/v = 0) = 0,1 + 0,9 0,1 + 0,9 0,9 0,1 = 27, 1 %

P (c/v = 1) = 0,1 0,9 0,1 = 19 %donde P(c/v=i) es la probabilidad de contagio (c) dado el numero de vacunas, i = [0, 1].

(b) (5) Considere un planificador central benevolente que busca maximizar la suma de las utilidades delos tres estudiantes. Cuantos estudiantes vacunara este planificador a fin de maximizar esta sumade utilidades?

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Solution: Como nos importa la suma de los beneficios, debemos calcular los beneficios queobtendria cada uno en las distintas situaciones y sumarlos a fin de ver cual es la que nos entregauna mayor utilidad. Como beneficio usamos el pago maximo que estaria dispuesto a realizarcada uno de los estudiantes por el remedio milagroso. El pago esperado para cada estudiantesi no se vacuna nadie es:

pii = 100 P (c/v = 0) 100 = 100 27, 1 = 72,9Como cada uno recibe este pago esperado, la suma de los beneficios que reciben si nadie sevacuna es de:

pii = 72, 9 + 72, 9 + 72, 9 = 218, 7

El pago esperado si uno de los estudiantes se vacuna, para los no vacunados es:

pii = 100 P (c/v = 1) 100 = 100 19 = 81

Pero el pago para el estudiante que se vacuno es:

pi = 100 20 = 80Por lo que en este caso la suma de los pagos de los estudiantes cuando solo uno se vacuna es:

pii = 81 + 81 + 80 = 242

El tercer caso es cuando dos de los estudiantes de vacunan, donde el pago esperado del individuoque no se vacuna es simplemente:

pi = 100 10 = 90Y el pago de los que si se vacunan es 80, igual que en el caso anterior. Asi la suma de lasutilidades es

pii = 90 + 80 + 80 = 250

Finalmente el pago de cada individuo si es que los tres deciden vacunarse es 80, por lo que lasuma de dicha situacion es simplemente S

pii = 80 + 80 + 80 = 240S

De esta forma el planificador central benevolente elegira la situacion donde dos de los tresindividuos se vacuna, ya que esta situacion reporta una utilidad total de 250, mayor a lautilidad de los otros casos analisados.

(c) (10) Suponga que ninguno de los tres companernos se ha contagiado con gripe. El servicio de saludde la universidad anuncia que una sola clnica vacunara contra la gripe, y que lo hara durante unda particular de la semana. Los tres companeros se enteran por otros companeros (que no vivencon ellos) el da en que la clnica atendera. Cada companero debe decidir simultanea e indepen-dientemente si ir or no a la clnica a vacunarse. Encuentre el equilibrio de Nash de este juego.

Solution: Resp.- En este caso cada jugador vera cual es la situacion individual que le reportamayor pago. Usando los datos de la respuesta anterior sabemos que el pago de vacunarse es80, el de no vacunarse cuando uno de sus companeros se vacuna es 81, el pago de no vacunarsecuando dos de sus companeros se vacunan es 90, y el de no vacunarse cuando nadie se vacuna

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es de 72,9. Siendo asi, el unico equilibrio de nash para este caso es cuando 2 individuos no sevacunan y uno si. La demostracion de esto es la siguiente:

Si todos los companeros se vacunan el pago de cada uno es igual a 80, sin embargo, este noes un equilibrio de nash, porque existen incentivos para que uno de ellos cualquiera cambie deopinion unilateralmente, de vacunarse a no vacunarse obteniendo este un pago de 90. Por lotanto

S = {V, V, V }no es equilibrio de NASH

Analicemos que sucede con la estrategia de dos vacunados y uno no vacunado, el pago de paralos que se vacunan es 80, mientras que el del que no se vacuna es 90, sin embargo, esta tampocoes un equilibrio de NASH, porque los que se vacunan tienen incentivos de cambiar se decision,ya que si no se vacunan pasan a ganar 81 y no los 80 que estarian ganando si se vacunan. Porlo tanto,

S = {V, V,NV }no es un quilibrio de NASH

Analicemos la situacion de que ninguno se vacuna. En este caso los pagos de los tres companeroses de 72.9, esto no es un equilibrio de NASH, porque dada esta situacion cualquiera de los trespodria cambiar su opcion a vacunarse unilateralmente, y pasaria de los 72.9 a un pago de 80.Por lo tanto

S = {NV,NV,NV }no es un equilibrio de NASH

Finalmente el caso donde 2 no se vacunan y uno si. En este caso el pago de lo squ eno sevacunan es de 81, mientras el pago del que se vacuna es de 80. En este caso particular noexisten incentivos para que ni uno de los jugadores cambie su decision unilateralmente, estoporque si los que no se vacunan deciden vacunarse pasan de un pago de 81 a uno de 80, por loque no cambiaran, y el individuo que decidio vacunarse por otro lado, si cambiara su decisionpasara a obtener un pago de 72.9, por lo que tampoco tiene incentivos a cambiar su decision.

De esta forma existe equilibrio de NASH en la estrategia donde un estudiante decide vacunarse,y los otros dos no se vacunan, es decir los equilibrios de NASH son:

S = {V,NV,NV }

S = {NV, V,NV }

S = {NV,NV, V }

(d) (5) Compare su equilibrio (el de la parte (c)) con la solucion obtenida por el planificador central(en la parte (b)). Explique las diferencias si las hay.

Solution: Si comparamos los equilibrios, podemos notar que existe una diferencia, la quese desprende de la cooperacion y no cooperacion de los individuos. En el primer caso, delplanificador benevolente, el equilibrio encontrado es un equilibrio de cooperacion de parte delos individuos, esto porque el pago que preocupa es la suma de los pagos individuales, mientrasque en el caso de la parte c) no existe cooperacion y cada uno de los individuos toma su

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decision en base a su propio beneficio, de ahi que los resultados sean distintos, debido a que lamaximizacion del beneficio propio no es igual a la del beneficio comun.

4. (10) Explique porque es necesario considerar estrategias mixtas para asegurarse de que exista un equi-librio de Nash en juego finito en forma normal. Sea lo mas formal y breve posible.

Solution: Es necesario considerar estrategias mixtas para asegurarse de que existen equilibrios deNASH porque hay juegos con un numero finito de jugadores y numero de estrategias finitas queno tienen equilibrio de NASH en estrategias puras, sin embargo segun el teorema de NASH, todojuego con un numero finito de jugadores y un numero finito de estrategias para cada jugador, tieneal menos un equilibrio de NASH si se permite el uso de estrategias mixtas. De ahi que sea necesarioutilizar estrategias mixtas para asegurarse de la existencia de equilibrios de NASH.

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