Pauta SugeridaExamen FinalOtono-2014

Profesores: Felipe Balmaceda y Cristian Troncoso.Auxiliares: Pablo Hueichapan, Cristian Orellana y Gonzalo Salazar.

Instrucciones: La pregunta 5 es obligatoria para los alumnos del Prof. Felipe Balmaceda (los alumnos de la

seccion del Prof. Cristian Troncoso NO deben resolver esta pregunta), y la pregunta 6 es optativa para todos aquellos

que quieran sumar puntos extras. La pregunta 6 no es facil por ende recomendamos no abarcarla hasta haber

intentado las otras preguntas. Para obtener un puntaje bueno debe leer cuidadosamente las preguntas, entenderlas y

no olvidar los detalles. Siempre se necesita suerte, pero al final del da lo que paga es estudiar de verdad, pero igual

le deseamos SUERTE, especialmente a aquellos que estudiaron lo necesario para que les vaya bien.

1. (15 points) Tres amigos planean ver un partido del mundial en la casa del primero de ellos.Cada uno, independientemente, debe decidir si comprar 2 snacks. Para que todo salga perfecto,los tres necesitan 4 snacks en total. Traer mas snacks no aumenta el beneficio de ninguno deellos, dado que solo sobraran y habra que votarlos. Pero tener menos que 4 snacks arruinarala velada. Una velada arruinada da una utilidad de 0 a cada uno, y una velada exitosa da unautilidad de 10 a cada uno. Cada snack tiene un costo de 7 unidades de utilidad (utiles).

(a) (5 points) Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash en estrategias puras.

Solution:

Solo el caso a es correcto la pregunta dice claramente Cada uno, independientemente,debe decidir si comprar 2 snacks. no se como llegaron a la conclusion que todos sonvalidos

i. Primer tipo: Jugadores deciden comprar 2 snacks o no comprar ningun snack.

J1

J22 snacks NC snacks

2 snacks 4,4,4 4, 10,4NC snacks 10,4,4 0, 0,14

J3, 2 snacks

J1

J22 snacks NC snacks

2 snacks 4,4, 10 14, 0, 0NC snacks 0,14, 0 0, 0, 0

J3, NC snacks

EN: Ningun jugador compra snacks = {(NC snacks,NC snacks,NC snacks)}ii. Segundo tipo: Jugadores eligen entre comprar 1 snack y compar 2 snacks.

1

J1

J22 snacks 1 snack

2 snacks 4,4,4 4, 3,41 snack 3,4,4 3, 3, 14

J3, 2 snacks

J1

J22 snacks 1 snack

2 snacks 4,4, 3 4, 3, 31 snack 3,4, 3 7,7,7

J3, 1 snack

EN: {(1 sck, 1 sck, 2 scks), (1 sck, 2 scks, 1 sck), (2 scks, 1 sck, 1 sck)}iii. Tercer tipo: Jugadores escogen entre no comprar ningun snack, comprar un

Snack y comprar dos Snacks.

J1

J2NC snacks 1 snack 2 snacks

NC snacks 0, 0,14 0,7,14 10,4,42 snacks 7, 0,14 3, 3,4 3,4,41 snack 4, 10,4 4, 3,4 4,4,4

J3, 2 snacks

J1

J2NC snacks 1 snack 2 snacks

NC snacks 0, 0,7 0,7,7 0,14,72 snacks 7, 0,7 7,7,7 3,4, 31 snack 14, 0,7 4, 3, 3 4,4, 3

J3, 1 snack

J1

J2NC snacks 1 snack 2 snacks

NC snacks 0, 0, 0 0,7, 0 0,14, 02 snacks 7, 0, 0 7,7, 0 7,14, 01 snack 14, 0, 0 14,7, 0 4,4, 0

J3, NC snacks

EN: {(NC snacks,NC snacks,NC snacks)}

(b) (10 points) Encuentre los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

Solution:

i. Primer tipo: Como existe un unico equilibrio de Nash en estrategias puraspara este juego, no existe equilibrio en estrategias mixtas.

ii. Segundo tipo: Dado que existen 3 equilibrios de Nash en estrategias puras, es

2

de esperar que no exista equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

iii. Tercer tipo: Existe un unico equilibrio de Nash en estrategias puras, por lotanto, no existe equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

2. (30 points) Esta pregunta analiza bajo que condiciones n firmas se coluden. Considere unmercado con n firmas que producen un bien homogeneo con un costo marginal c < 1 y queenfrentan una demanda de mercado lineal igual a D(p) = 1p. La firmas compiten en precios a-la-Bertrand en cada perodo. El juego de Bertrand se juega en periodos consecutivos, pudiendoser el numero de periodos finito o infinito. Cada firma maximiza el pago descontado de lasutilidades futuras; esto es, cada firma maximiza:

pii(p) =Tt=0

t[(p c)Di(p)]

donde p = (p1t, . . . , pnt) es el vector de precios, pit es el precio cobrado por la firma i en elperiodo t, Di(p) es la demanda que enfrenta la firma i, y (0, 1) es el factor de descuento.(a) (10 points) Asuma que T es finito. Demuestre que en el unico Equilibrio Perfecto en

Subjuegos (EPS) del juego repetido cada firma fija un precio igual al costo marginalpit = c para todo i {1, . . . , n}.

Solution: Cuando un juego simultaneo se repite una cantidad finita de veces el EPSes el EN del juego simultaneo, ya que es el unico equilibrio que se dara en cada unode los juegos en el horizonte finito, y por ende el unico que sobrevivira en cada uno delos sub-juegos, y por tanto el EPS. 5 points

Para este caso del juego a la Bertrand con productos homogeneos, sabemos que lasfirmas compiten en precios, y que la demanda se repartira entre las firmas que ofrezcanal precio mas bajo el producto, as, si los precios son iguales para todas, la demandase repartira en forma uniforme entre las firmas, igualmente el beneficio, y en el casoextremo de que una firma cualquiera ponga un precio menos a la de las demas firmas,esta se llevara todo el mercado. De esta manera tenemos que:

D(pi) =

D(pi)N si pi = pj i 6= j

D(pi) si pi < pj i 6= j0 si pi > pj i 6= j

Siendo as, y dado que si mi precio es igual que el de las demas firmas, el beneficio demercado se reparte entre las firmas uniformemente, mi funcion de mejor respuesta es:2 points

FMRi =

pi = pj si c < pj pm i 6= jpi = pj si pj = c i 6= j

pi = pj + si pj < c i 6= jDonde Pm, es el precio que pone la firma si cobra como un monopolio, es un numerocercano a cero, c es el costo marginal (igual para todas las firmas) y los sufijos j ei corresponden a la firma j y la firma i, del numero de N firmas del mercado.

3

Esta funcion de mejor respuesta se explica pensando en que la firma querre ponerun precio por debajo de las demas firmas para llevarme todo el mercado y todo elbeneficio del mercado, mientras este exista, por tanto si el precio de mis rivales estaentre el precio de monopolio y el costo marginal, mi precio sera el precio que escojanlas demas, menos una pequena suma (epsilon) que dejara mi precio por debajo delde las demas, quedandome con todo el mercado. Si el precio de mis rivales es ponerun precio por debajo del valor c, de costos marginales, mi mejor respuesta es ofrecerun precio por sobre el precio de el de las demas, esto porque as yo no participo enla venta de mercado (nadie me compra por mi precio), obteniendo beneficios igualesa cero, pero como p < Cmg, el beneficio si participara del mercado sera negativo,por lo tanto mi mejor respuesta es poner un precio igual que el de las otras mas unepsilon que deje mi precio por encima de las otras. Por ultimo si el precio de las demasfirmas es P = Cmg = c, mi mejor respuesta es cobrar el mismo precio que las demas,esto porque aunque mis beneficios son cero, de igual manera yo estoy produciendo yvendiendo a parte del mercado.

Ahora bien el equilibrio de NASH en este caso es el punto donde se igualan las funcionesde mejor respuesta de cada firma, punto donde cada una de las firmas esta haciendolo mas beneficioso para ellas mismas dado lo que las demas escogieron, punto porende donde ninguna tiene incentivos a desviarse. Este punto para este caso de juegoa la Bertrand con costos marginales iguales para las empresas es en el punto dondeP = Cmg = c, esto porque si se pone un precio mayor a este, todas tendran incentivosa derivarse poniendo un precio mas bajo y tratando de llevarse todo el mercado. Si sepone un precio menor a este, todas tendran incentivos a desviarse poniendo un preciomayor para no tener beneficio economico negativo. En este punto P = Cmg = c, lasfirmas no tienen incentivos a bajar el precio, ya que aunque se pueden llevar todo elmercado, como P < Cmg, el beneficio sera negativo, y por otro lado tampoco tienenincentivos a aumentar el precio, ya que si lo aumentan no venden nada y sus beneficiosson iguales a cero, pero no producen.

2.5 points

Como el unico equilibrio de NASH para este juego simultaneo es donde P = c, este esel unico EPS para este juego cuando se juega un numero finito de veces.

(b) (5 points) Suponga que las firmas se coluden, lo que significa que todas las firmas secomportan como si fueran una sola gran firma. Plantee y resuelva el problema que estemonopolista enfrenta en un periodo t cualquiera.

Solution: Si nos encontramos en cualquier periodo t, el factor de descuento no afectami decision de dicho periodo, por tanto el problema del monopolio se reduce a:

maxppi = (p c)D(p)

donde reemplazando D(p), queda:

pi = (p c)(1 p)

4

maximizando con respecto a mi variable de eleccion p, queda:

pi

p= 0 1 p (p c) = 0 p = 1 + c

22.5points

Q = 1 p = 1 c2

2.5points

qi =Q

N=

1

N

(1 c

2

)

(c) (15 points) Encuentre el mnimo factor de descuento que hace la colusion en el preciomonopolico sustentable como un EPS. Asuma que en el equilibrio monopolico las firmasse dividen la utilidad monopolica de forma uniforme. Use estrategias de gatillo.

Solution: Como usa la estrategia gatillo, la estrategia seria (consideramos que eljuego en este caso se juega un numero infinito de veces): 2.5 points

Si =

En t = 1 jugar pi = p

m;En t > 1 jugar pi = p

m si en todo periodo anterior se jugo pi = pj = pm,

jugar pi = c en otro caso.

i. Considere el juego siguiente a la historia (pi = pj = pm):

Si la empresa i es obediente, seguira jugando precio igual al precio monopolio,teniendo pagos para los periodos siguiente iguales a:

pim

N+

pim

N+ . . .+ n

pim

N=pim

N

(1

1 )

Donde el beneficio es el beneficio monopolico dividido por el numero de empresasdel mercado, debido a que se reparten las ganancias en partes iguales, y descon-tadas hacia el futuro por el factor de descuento de mercado.

Si la firma i es desobediente, pondra un precio mas pequeno (un poco mas pequeno,pi = p

m pm) y se llevara todo el mercado, obteniendo aproximadamente elbeneficio monopolico total, pero luego las demas firmas jugaran p = c, donde elbeneficio para todas es 0, de esta forma su pago sera: 2.5 points

pim + 0 + 0 + . . .+ 0 = pim

Luego si queremos ver si esta estrategia es un EPS, el beneficio de mantener lacolusion debera ser mayor que el de desviarse del acuerdo colusivo, as: 3 points

pim

N

(1

1 )

> pim

> 1 1N

5

ii. Ahora considere que las historias pasadas son distintas de pi = pj = pm:

2.0 points

En este caso al ser obediente, deberan jugar p = c, juego que es equilibrio de Nashpara este juego, por tanto los jugadores no tienen incentivos a ser desobedientesen este caso, dado cualquier valor de descuento, por tanto nunca se desva dadaesta situacion.

Como los pagos son simetricos para todos los jugadores, estas condiciones secumplen para todas las firmas del mercado, por lo tanto el mnimo valor que ase-gura que esta estrategia sea un equilibrio perfecto en sub-juegos es = 1 (1/N)donde N es el numero de empresas que participan en el mercado.

3. (40 points) Considere el juego del ultimatum visto en clases; esto es el jugador 1 tiene cunidades para ser repartidas entre el y su oponente. El jugador 1 le hace una oferta de repar-ticion de x1 al jugador 2, si este acepta el jugador 1 recibe x1 y el jugador 2 recibe c x1; siel jugador 2 rechaza cada uno recibe una cantidad igual a cero. Suponga que las preferenciasde cada jugador estan dadas por ui(xi, xj) = xi i|xi xj |, donde xi es la cantidad que lapersona i recibe. i 0 y para cualquier numero z, |z| es el valor absoluto. Asuma que eltamano de la torta a repartir es de c = 1.

(a) (10 points) Encuentre el conjunto de EPS de este juego.

Solution: Resolvemos usando backward induction:

En t = 2:

J2 aceptara toda oferta tal que U2(x1, x2) 0.Entonces:

x2 2|x2 x1| 0x2 2|x2 x1|

Es as como tenemos dos casos (debido a la funcion valor absoluto):

i. Caso donde x2 x1: 2.5 points

x2 x1 x2 0, 5x2 2(x2 x1)x2 2x2 2x1

2x1 2x2 x2x1(22 1) 2 1

6

ii. Caso donde x2 < x1: 2.5 points

x2 < x1 x2 < 0, 5x2 2(x2 x1)x2 2x2 + 2x1

x2 + 2x2 2x11 + 2 x1(1 + 22)

En t = 1:

Jugador 1 ofrecera:

i. x1 tal que x1 = arg max{x1 1(2x1 1)} si x1 (12 , 1].ii. x1 tal que x1 = arg max{x1 + 1(2x1 1)} si x1 [0, 12 ].

Dado que para todo x1 [0, 12 ] la funcion objetivo es creciente en x1 y si 1 < 1/2entonces para todo x1 (12 , 1] la funcion objetivo es creciente en x1 entonces el optimoseria x1 = 1; Si 1 > 1/2, entonces para todo x1 (12 , 1] la funcion objetivo esdecreciente en x1, esto implica que el optimo seriax1 = 1/2. Si 1 = 1/2 entonces paratodo x1 (12 , 1] la funcion objetivo es inpedeniente de en x1 entonces el optimo seriax1 = (1/2, 1]; dado que 1 + 2 x1(2 + 2) el optimo es (5 points)

x1 =

(1 + 2)/(1 + 22) si 1 < 1/2

(1/2, (1 + 2)/(1 + 22)] si 1 = 1/2

1/2 si 1 > 1/2

(b) (5 points) Compare su resultado con el visto en clases en el cual 1 = 2 = 0. Expliquecuidadosamente a que se debe la diferencia. credito total o nada.

Solution: Con 1 = 2 = 0:

U1(x1, x2) = x1 U1(x1) = x1U2(x1, x2) = x2 U2(x2) = x2

Resolvemos va backward induction:

En t = 2: Jugador 2 aceptara cualquier oferta tal que U2(x2) 0.En t = 1: Jugador 1 ofrecera: x1 = 1, x2 = 0.

Por lo tanto el EPS: Jugador 1 oferta x1 = 1, x2 = 0 y Jugador 2 acepta.

La diferencia se debe a que ambos jugadores valoran la equidad en los pagos y porende estan dispuesto a sacrificar algo de su pago para que la diferencia en pagos entreambos no sea tan grande como en el juego donde no hay valoracion por al equidad.

7

(c) (10 points) Encuentre los valores de i y j para los que una oferta hecha por el jugador1 es rechazada en equilibrio.

Solution: Jugador 2 rechaza cualquier oferta tal que U2 < 0 acepta toda oferta conU2 > 0 y esta indiferente entre aceptar o no si U2 = 0. Entonces en equilibrio unaoferta sera rechazada con probabilidad positiva solo si U2 = 0.

Sea p2 la probabilidad de aceptacion con la cual el jugador 2 acepta la oferta entoncesel jugadors 2 estara indiferente entre rechazar y aceptar si y solo si x2 2|x2 x1| =1x12|12x1| = 0. Entonces si x1 < 1/2, x1 debe satisfacer x1(221) = 21,mientras que si x1 > 1/2, x1 debe satisfacer x1(22 1) = 2 + 1.Suponga 1 = 1 y 2 (1/2, 1], entonces cualquier oferta mayor a 2 + 1/(22 1) esrechazada y cualquier oferta menor a este valor es aceptada. Sea entoces el x1 optimoigual a 2 + 1/(22 1). Esta oferta es optima si y solo si p2(x1 1|2x1 1| =p2

2+1(221) es mayor a x1 para todo x1 < (2 + 1)/(22 1) y es mayor a 0 para todo

x1 > (2 + 1)/(22 1). La segunda desigualdad se cumple para cualquier p2 > 0 y laprimer requiere que p2

2+1(221) > x1 para todo x1 < (2 + 1)/(22 1). Dado que u1

crece con x1 para todo x1 1/2 y cae de otro modo. El jugador uno ofrece 2+1(221) yel jugador 2 acepta con probabilidad p2 >

22122+2

.

(d) (15 points) Suponga ahora que existe una poblacion infinita de jugadores que su funciones rechazar o aceptar la oferta del jugador 1. De esto una fraccion p tiene un 2 [1/2, 1)y una fraccion 1p tiene un 2 = 0. Al momento de hacer su oferta el jugador 1 no conocela identidad del jugador 2, quien antes de decidir si acepta o no la oferta del jugador 1aprende su identidad, es decir su 2. Dibuje el arbol de este juego y encuentre el conjutode SPE. Existen valores de p para los cuales una oferta es rechazada en equilibrio.

Solution:

Al igual que en las preguntas anteriores, resolvemos va backward induction:

En t = 2:

esto esta mal la solucion es p2 >22122+2

. Revisar.

4. (20 points) Los profesores A, B, y C deben votar (simultaneamente) para escoger a uno de elloscomo el director de Escuela. Las preferencias respecto a quien debe ser el director de escuelapara cada uno de los profesores son:

Profesor Preferencias

A A B CB B C AC C A B

donde x y significa que x es estrictamente preferido a y. Ningun profesor puede votar porsi mismo, y cada profesor debe votar por alguno de los restantes dos candidatos (profesores).Aquel profesor que obtenga dos o mas votos, sera nombrado Director de Escuela. En caso deempate en el numero de votos, el profesor A sera nombrado Director.

8

(a) (5 points) Existe alguna estrategia debilmente dominada para el profesor A?

Solution: Para este caso, dado las preferencias de los individuos, podemos suponerun valor de utilidad dado para cada profesor suponiendo que gane cualquiera de losprofesores, de esta forma:

Si gana el Profesor A los pagos seran = Aa, Ba, Ca, pagos de A, B y C respectivamente.

Si gana el Profesor B los pagos seran = Ab, Bb, Cb, pagos de A, B y C respectivamente.

Si gana el Profesor C los pagos seran = Ac, Bc, Cc , Pagos de A, B y C respectivamente.

Donde, respecto a las preferencias se tiene:

Aa Ab AcBb Bc BaCc Ca Cb

Podemos con esto expresar la matriz de pagos.

El jugador A escoge filas, el Jugador B columnas, y el jugador C Matrices. De estaforman tenemos:

Jug. A

Jug. BA C

B Aa, Ba, Ca Aa, Ba, CaC Aa, Ba, Ca Ac, Bc, Cc

C escoge jugar A

Jug. A

Jug. BA C

B Ab, Bb, Cb Ab, Bb, CbC Aa, Ba, Ca Ac, Bc, Cc

C escoge jugar B

Si nos fijamos en la primera matriz, donde C escoge A, si el Profesor B escoge A; eljugador A esta indiferente entre jugar B o C. Si el jugador B juega C; el jugador Aescoge B, ya que Aa > Ac.

En la segunda matriz, donde C escoge B, si el jugador B juega A, el jugador A juegaC, porque Aa > Ab, y si el jugador B juega C, el jugador A juega B, porque Ab > Ac.

Como no existe una estrategia que cumpla que:

UA(Si/SNi) Ua(Si/SNi) j 6= i

El jugador A no tiene estrategia debilmente dominada. 5 points

(b) (5 points) Existe alguna estrategia debilmente dominada para el profesor B?

Solution: Si nos fijamos en la primera matriz, donde C escoge A, si A escoge B, Besta indiferente entre escoger A o C. Si el jugador A juega C; el jugador B juega C,ya que Bc > Ba.

En la segunda matriz, donde C escoge B, si el jugador A escoge B, B esta indiferenteentre jugar A o C. Si el jugador A escoge C, el jugador B escoge C, porque Bc > Ba.

Como podemos ver:

UA(Si/SNi) Ua(Si/SNi)

9

Por lo tanto, jugar A para el jugador B es una estrategia debilmente dominada. 5points

(c) (5 points) Existe alguna estrategia estrictamente dominada para el profesor C?

Solution: Ahora nos fijamos en el pago de cada cuadrante de la matriz 1, con respectoa los cuadrantes de la matriz 2.

Si el jugador A juega B y jugador B juega A; el jugador C juega A, ya que Ca > Cb.

Si el jugador A juega B y jugador B juega C; el jugador C juega A, ya que Ca > Cb.

Si el jugador A juega C y jugador B juega A; el jugador C esta indiferente entre jugarA o B.

Si el jugador A juega C y jugador B juega C; el jugador C esta indiferente entre jugarA o B.

Como se ve, para el jugador C, jugar A es siempre mejor o igual que jugar B, por lotanto, jugar B para el jugador C es una estrategia debilmente dominada. Por lo tantono existe una estrategia estricatemente dominada. 5 points

(d) (5 points) Determine todos los equilibrios de Nash en estrategias puras para este juego.

Solution: Aplicando las reglas de eleccion que discutimos en los casos anteriores,existen dos equilibrios de Nash para este juego, EN = {(B,A,A)(B,C,A)}, donde enambos casos el Profesor A es escogido Director de Escuela. 5 points

5. (30 points) (Obligatoria para alumnos seccion 1, Prof. Felipe Balmaceda)

Suponga que los alumnos de teora de juegos deben decidir que da estudiar para el examenfinal. Existen tres das posibles: lunes, martes y miercoles. Las valoraciones asociadas a cadada son v = {45, 30, 15} y los costos son c = {10, 8, 6}. Los costos se pagan inmediatamente,mientras que los beneficios se obtienen el da jueves que es da del examen (es decir, se tienenImmediate Costs).

Los estudiantes pueden ser de tres tipos: Consistente temporalmente (TC), Ingenuo (N) ySofisticado (S). Los tipos N y S tienen preferencias sesgadas hacia el presente con un parametro = 12 . Los alumnos no descuentan el futuro, es decir, = 1.

(a) (10 points) Si es que solo pueden estudiar un da, que da estudiara cada tipo? Expliquela intuicion del resultado.

Solution:

El consistente temporalmente (TC), dado que es indiferente frente a los pa-gos/costos que se reportan en el tiempo, buscara maximizar sus beneficios. Deesta forma, tenemos que (sabemos que la tasa de descuento es = 1): (2 puntospor explicar el tipo consistente temporalmente)

Lunes (lun) Martes (mar) Miercoles (mie)

v 45 30 15c 10 8 6

pi 35 22 9

10

Por lo tanto, el individuo maximiza su beneficio estudiando durante el da lunes(pilun > pimar > pimie).

El ingenuo (N) por su parte: (4 puntos por explicar el tipo ingenuo)Para un individuo de tipo ingenuo, sabemos que en un modelo con preferencias(, = 1) resultara que para todo t, este creera que si espera se comportaracomo un TC en el futuro, resultando en una percepcion incorrecta sobre sucomportamiento futuro, valga la redundancia. Es as como describimos la tablapresente a continuacion: ti refleja el periodo en donde se encuentra parado eltipo que esta tomando la decision, por ejemplo si i = 2, el ingenuo se encontraraen el da martes, por lo cual cualquier decision pasada no le interesa, solo sepreocupa por el futuro.

pit t1 t2 t3lun 45(12) 10 = 12,5mar 30(12) 8(12) = 11 30(12) 8 = 7mie 15(12) 6(12) = 4, 5 15(12) 6(12) = 4, 5 15(12) 6 = 1, 5

Comenzamos con el tipo ingenuo parado en t1 (lunes) donde visualiza que elcosto que percibira hoy por escoger ese da para estudiar y el beneficio duranteel da jueves luego de rendir el examen, es de 12, 5. Este individuo analiza, a suvez, como podran favorecerle los pagos futuros, si son mayores o no, es por elloque calcula el beneficio que obtendra por estudiar el martes o miercoles. Es ascomo se da cuenta, estando en el da lunes, que si estudia cualquier otro da subeneficio siempre sera menor; lo anterior no provoca que el individuo pospongasu estudio del da lunes.

Segun la literatura de inconsistencia temporal, cuando estamos en presencia deimmediate costs, los problemas de auto-control para los ingenuos los llevan arealizar la actividad de manera tarda en comparacion al tipo TC. Tambienhace alusion, segun sea el caso (como el presente ejercicio), que se puede dar lasituacion en que el tipo ingenuo se termine comportando como un TC al finaldel da (N TC).

El sofisticado (S): (4 puntos por explicar el tipo sofisticado)El tipo sofisticado, al igual que el ingenuo, presenta preferencias sesgadas hacia elpresente y problemas de auto-control, pero a diferencia del ingenuo, el sofisticadosabe que tendra problemas de auto-control en el futuro y, por lo tanto, predecirasu comportamiento futuro de forma correcta (es consciente de su propia incon-sistencia). De esta manera, el maximizara su beneficio analizando el problemava backward induction.

La siguiente tabla posee la misma interpretacion que para el caso del ingenuo,solamente que ahora, el tipo sofisticado, parte analizando si estuviera parado elda miencoles.

11

pit t3 t2 t1lun 45(12) 10 = 12,5mar 30(12) 8 = 7 30(12) 8(12) = 11mie 15(12) 6 = 1, 5 15(12) 6(12) = 4, 5

El sofisticado sabe que adelantara su beneficio de estudiar el lunes, por lo cualel cree que ira el martes. De esta manera, analizamos los pagos con el fin dedefinir cuando asistira realmente. Es as como nos damos cuenta que estudiar elmartes representa un mayor beneficio que hacerlo el miercoles. Dado lo anterior,el sofisticado analizara la posibilidad de estudiar el lunes con el fin de ver si esmejor que hacerlo durante el martes; por consiguiente, nos damos cuenta queel pago de repasar el da lunes versus el pago del martes es mayor, ergo el tiposofisticado terminara haciendolo durante el lunes.

Segun la literatura, cuando estamos en presencia de immediate costs, los prob-lemas de auto-control para los sofisticados los llevan a realizar la actividad demanera mas temprana en comparacion al tipo ingenuo. Adicionalmente, estasenala que el tipo sofisticado se puede comportar de igual forma que el ingenuoen ciertos casos, como es demostrado aqu (S N ).

(b) (10 points) Si es que deben estudiar dos das, que da elegira cada tipo? Explique laintuicion.

Solution: Para el caso del consistente temporalmente, este solamente escogera elda que le reporte el segundo mayor beneficio, este es el martes. Finalmente, el TCescogera: TC = [lun,martes]. (2 puntos por explicar el segundo da preferidopara el consistente temporalmente)

Para el caso del ingenuo y el sofisticado ocurre exactamente lo mismo. El ingenuosabe que no aplazara el lunes por nada, para estudiar. Adicionalmente, sabemos quesu pago tras haber maximizado su funcion de utilidad en t = 2 (el martes) es superioral pago que le reporta si posterga su preparacion para el da miercoles (7 > 4, 5 opiNmar|t=2 > piNmie|t=2). Es por esto que el segundo da que le representa mayores pagoses el martes. Finalmente, el ingenuo escogera: N = [lun,mar]. Transcurrido un da,ahora estamos en t2, el tipo ingenuo vuelve a realizar el mismo analisis obteniendobeneficios de 7 si estudia ese mismo da y 11 si posterga su visita para el domingo. (4puntos por explicar el segundo da preferido para el ingenuo)

Al igual que el ingenuo, el sofisticado cree que estudiara definitivamente el lunes.Ahora, que tiene que buscar el segundo da que le reporte mayor beneficio, este serael martes debido que cuando el compara este ultimo con el miercoles (creyendo queira el primero), los pagos son mayores (7 > 4, 5; parado en t = 2). Finalmente, el Sescogera: S = [lun,mar]. (4 puntos por explicar el segundo da preferido parael sofisticado)

(c) (10 points) Suponga ahora que el profesor del curso sabe que los estudiantes deben estu-diar al menos dos das para que les vaya bien. El profesor puede dar puntos extras que

12

se traducen en mayores beneficios (1 punto=1 unidad de beneficio) para cada tipo (DTC ,DN y DS) solo a aquellos que estudian el da lunes. Calcule cual es el puntaje mnimoque debe comprometer el profesor a cada tipo con tal de lograr el objetivo.

Solution:

El consistente temporalmente (TC), tiene el siguiente orden de preferencia:piTClun > pi

TCmar > pi

TCmie. Por lo tanto, independiente del descuento que se le aplique,

el TC siempre estudiara los das lunes y martes. Para este tipo, el puntajemnimo a comprometer es cero (DTC = 0). (3 puntos por explicar el pun-taje mnimo a realizarle al TC si estudia el lunes)

De igual manera que el TC, mostramos en (b) que el ingenuo (N) prefiere repasardurante el lunes y martes por sobre el miercoles. Por lo cual, independiente delpuntaje mnimo a comprometer con el tipo ingenuo (DN ), si estudia el lunes, eljamas estudiara el da miercoles, dado que el pago de realizar dicha accion du-rante ese da le reporta menos satisfaccion que la retribucion del lunes o martes.Es por ello, que para este tipo, el puntaje mnimo es cero (DN = 0). (3 puntospor explicar el puntaje mnimo a realizarle al ingenuo si estudia el dalunes)

El sofisticado (S), por su parte, prefiere estudiar el da lunes por sobre el martesy, el da martes por sobre el miercoles. Es por ello, que para este tipo, el puntajemnimo es cero (DS = 0) (4 puntos por explicar el puntaje mnimo arealizarle al sofisticado si estudia durante el lunes)

6. (30 points) (Pregunta que entrega puntaje extra) Cinco piratas se juntan para repartir un botnde 100 monedas de oro. Lo haran de acuerdo a las siguientes reglas: el pirata #1 propone unadivision de monedas (cada moneda es indivisible), por ejemplo, (55, 15, 10, 11, 9): esto significaque el se queda con 55 monedas, el pirata #2 se queda con 15, etc. Luego, los 5 piratas votanla proposicion. Si la mayora absoluta (en caso de empates se considera como propuesta noaceptada) acepta, la reparticion se lleva a cabo de acuerdo a la propuesta. En caso contrario,el pirata #1 es arrojado por la borda y ahora el pirata #2 realiza una propuesta de reparticionpara los 4 piratas restantes. Nuevamente los 4 piratas restantes votan y as susecivamentehasta que se acepte alguna proposicion o que quede un solo pirata. Ademas, si a un pirata lees indiferente entre aceptar o rechazar una reparticion dado lo que ocurrira en el futuro, votaraen contra, a menos que le ofrezcan todo el botn. Por ultimo, un pirata prefiere recibir nadaantes de que lo arrojen por la borda. Resuelva en detalle el equilibrio perfecto en subjuegos.

Solution: Resolvemos va backward induction. Primero suponemos que todos los piratashan muerto, salvo los ultimos dos (denominados como #4 y #5). En este caso, el pirata#4 no se queda con nada, y el #5 con todo. Esto debido que el ultimo desea maximizar suutilidad y bajo este esquema si el pirata #4 ofrece cualquier cantidad mayor a cero el pirata#5 la rechazara logrando quedarse con todo igualmente, ya que debido al empate esto seconsidera como una propuesta no aceptada (siento el pirata #4 tirado por la borda). Por

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lo cual, el pirata #4 siempre optara por ofrecer todo al pirata #5, quedandose con nada.(6 puntos por analizar t = 4)

Ahora suponemos que los piratas #3, #4 y #5 estan vivos. En este caso, el pirata #3 puedesobornar al pirata #4 para que este vote por el a su favor, dado que si el pirata #3 muereentonces el pirata #4 se quedara sin nada. El pirata #5 no puede ser sobornado, porqueel ganara todo si el pirata #3 muere, lo cual es un gran incentivo para este. Es por ello queel pirata #3 le dara al pirata #4 una moneda de oro como soborno (es mejor recibir unamoneda que cero en el siguiente turno), quedando el pirata #5 sin recibir ninguna moneda.(6 puntos por analizar t = 3)

Ahora suponemos que los piratas #2, #3, #4 y #5 estan vivos. En este caso, el pirata #2puede ofrecerle al pirata #4 un soborno de dos moneda de oro para que este vote por el(dado que si le ofrece una, este estara indiferente y preferira todo el botn; si eso no ocurre,rechazara la oferta, resultando en el pirata #2 muerto). Esto debe suceder ya que el pirata#4 sabe que si el pirata #2 muere, entonces el recibira una sola moneda de oro de partedel pirata #3. Con esto, sabemos que el pirata #5 debe ser sobornado con una monedade oro, ya que el pirata #2 debe tener otro voto a su favor, evitando el empate -no existeel casting vote en este ejercicio- (esto debe a que ofreciendo dos monedas al pirata #4, lasrestantes 98 pueden ofrecerse al pirata #3, con lo cual terminara rechazando la oferta dadoque en el siguiente periodo podra recibir 99 monedas de oro; descartando as el soborno aeste pirata), de esta forma el pirata #5 votara por el pirata #2 debido a que si rechaza enel siguiente turno recibira cero. Por tanto, el pirata #2 se queda con 97 monedas, el #3 sequeda cero, el #4 obtiene dos monedas y #5 con una solamente. (6 puntos por analizart = 2)

Finalmente, lo que nos permite mantener a todos los piratas con vida es el siguiente esce-nario: el pirata #1 necesita que otros dos piratas voten por el si desea quedarse en el barcoy no ser tirado por la borda. El puede sobornar al pirata #3 con una moneda de oro, ya quesi el pirata #1 muere no recibira nada. El pirata #5 puede ser sobornado con dos monedasde oro ya que si el pirata #1 muere el solo recibira una en el siguiente periodo. De estaforma, el pirata #1 ya tiene a dos piratas a su favor con lo cual termina ofreciendo ceroa los piratas #2 y #4 respectivamente, dando lo mismo los votos en contra. Este puntopuede ser resuelto por otros pagos, por ejemplo se ofrece al pirata #4 tres monedas y al#5 dos, logrando que el pirata #1 siga con vida, pero estos pagos no maximizan la utilidaddel pirata #1, ergo no deben ser considerados como equilibrios de Nash. (6 puntos poranalizar t = 1)

El EPS de este juego, resulta ser: El pirata #1 se queda con 97 monedas de oro y usa unapara sobornar al pirata #3 y dos para sobornar al pirata #5. Los piratas #2 y #4 noreciben nada (todos los piratas quedan vivos en el barco!). (6 puntos por el EPS)

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