Auxiliar 11 - MA3801 - AnalisisDepartamento de Ingeniera Matematica, Universidad de Chile

Martes 04 de Junio, 2013

Profesor de Catedra: Carlos Conca R.Profesores Auxiliares: Francisco Arana - Matas Godoy Campbell - Ignacio Vergara S.

Pregunta 2.

b) Sea f : R+ R una funcion continua. Para cada n N denotemos fn a la funcion definida en [0, 1]por fn(t) = f(nt). Muestre que la familia de funciones {fn | n N} es relativamente compacta enE = C([0, 1],R) dotado de la metrica uniforme si y solo si f es constante. Que puede decir de lafamilia {gn E |n N} donde gn(t) = f(t/n)?

Solucion: () Obvio.(): Supongamos que f no es constante, entonces existen x 6= y tales que f(x) 6= f(y).Consideremos las sucesiones xn = x/n, yn = y/n, ambas convergen a 0. Notemos que en tal caso:

|fn(xn) fn(yn)| = |f(xn n) f(yn n)| = |f(x) f(y)| nEsto asegura que f NO puede ser equicontinua (pues como f(x) 6= f(y) entonces para todo n:|f(x) f(y)| = m > 0).As, necesariamente f debe ser constante (pues ademas en tal caso {fn(t) | n N} para todo t [0, 1]es acotado trivialmente).Para {gn : n N} dada por gn(t) = f(t/n) la cosa es diferente:Notemos primero que {gn(t) : n N} es acotado para todo t [0, 1] al tener f continua en el compacto[0, 1].Basta ver que {gn} es una familia equicontinua:Es decir, dado > 0 buscamos > 0 tal que si |x y| < entonces |gn(x) gn(y)| < para todo n (asrecorremos el conjunto de funciones!). Equivalentemente:

|gn(x) gn(y)| =f (x

n

) f

( yn

) < En este caso es directo, como f es continua, sabemos que para tal existe = () tal que si |x y| < entonces |f(x) f(y)| < , basta usar ese pues para todo n:x

n yn

= 1n|x y| |x y| <

y por lo tanto f (xn

) f

( yn

) < por lo tanto {gn} es una familia equicontinua, y por Arzela-Ascoli se concluye que la familia es relati-vamente compacta en E dotado de la metrica uniforme.

c) Sea M {f : [0, 1] R} tal que:

f M f(0) = 0, |f(s) f(t)| s t, s, t [0, 1] y 10

f(t)dt = 0

Pruebe que M contiene una funcion f que maximiza la cantidad 10|f(t)|dt.

Solucion: Usaremos Arzela-Ascoli: Primero veamos que M es una familia equicontinua: Sea f M ysea > 0 dado:Buscamos > 0 tal que si |x y| < entonces |f(x) f(y)| < , para ello notemos que, como f M :

|f(x) f(y)| |x y|

1

2as, tomando = 2 se tiene que:

|f(x) f(y)| |x y|

2 =

dada la arbitrariedad de > 0 y de f M se concluye la equicontinuidad.Para ver que {f(x) : f M} es acotado para todo x [0, 1] basta notar que, por definicion de M , todaf en este conjunto cumple

|f(x)| = |f(x) f(0)| x 0 = x 1por lo tanto, {f(x) : f M} es acotado para todo x [0, 1]. As, M es relativamente compacto (en elespacio de las continuas dotado de la norma uniforme) por Arzela-Ascoli.Ahora noremos que M es cerrado, en efecto:Sea (fn) sucesion en M que converge uniformemente a f , veamos que f M : como fn converge unif.a f , converge puntualmente, en virtud de esto, como fn(0) = 0 para todo n, entonces f(0) = 0 por

convergencia puntual. Bajo el mismo argumento |fn(x) fn(y)| |x y| para todo n, y para todo

x, y fijos, por convergencia putnual |f(x)f(y)| |x y| para todo x, y. Finalmente, la convergenciauniforme asegura que la integral de f tambien es 0 (visto en auxiliar con Francisco).Por lo tanto M es cerrado.Para concluir, notemos que la funcion F : M R dada por F (f) = 1

0|f(t)|dt es (uniformemente)-

continua, en efecto:Dado f, g M :

|F (f) F (g)| = 1

0

|f(t)|dt 10

|g(t)|dt 1

0

|f(t) g(t)|dt f g 1 = f gAs, como F es continua en M compacto, entonces alcanza su maximo en M , es decir:

Existe f M tal quemaxfM

10

|f(t)|dt = 10

|f(t)|dtque era lo deseado.