PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TRABAJO COLABORATIVO 1

JUAN GABRIEL NOREÑA. COD.

ALEXANDER LONDOÑO MILLAN. COD.

NEHEMIAS BURGOS COD. 10005056

TUTOR:

ANA ISABEL BOLAÑOS

GRUPO 299004_35

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

SEPTIEMBRE DE 2015

1. Revisar el instructivo para consulta de bases de datos de la Universidad Nacional Abierta y

a Distancia que puede descargar aquí y buscar un artículo relacionado con Procesamiento

Digital de Señales. El estudiante debe aportar al foro luego de realizar la lectura, dando su

opinión al respecto.

SIMULADOR DE DEFICIENCIAS AUDITIVAS

Juan Gabriel Noreña Ballesteros

En la actualidad hay dos tipos amplificadores auriculares, los primeros basados en amplificadores

operaciones los cuales amplifican cualquier sonido sin importa la frecuencia; y los que funcionan a base

de procesamiento digital de señales los cuales son mucho más eficientes y tiene la principal ventaja de

permitir que solo las frecuencias que sean deficientes sean amplificadas obteniendo de esta manera una

percepción del sonido que prácticamente es natural.

Los amplificadores de sonido a base de procesamiento digital de señales no solo marcaron una gran

mejoría en la solución de problemas, si no que permitieron el estudio a fondo de los problemas de audio

de diferentes personas con diferentes tipo de enfermedad ya que esta nueva tecnología permitió simular

de manera gráfica cada problema y de esta manera se pudo investigar y solucionar.

Nehemías Burgos

Sin lugar a dudas el enfoque principal de la lectura es la transformada de Fourier, que en este caso se

aplica a la industria pero tiene muchas aplicaciones en el campo laboral de las ingenieras como son la

electrónica, la eléctrica como principales pero que también puede tener otros campos de aplicación.

La trasformada de Fourier la podemos analizar y calcular por medio de programas de como Matlab o

Scilab en los cuales se pueden visualizar las señales para comprobar el análisis matemático.

La utilización de la trasformada de Fourier nos lleva a la simplificación de esfuerzos al permitir

simplificar muchos pasos que por otros medios son más inexactos y con un mayor grado de error, es por

ello que se debe aplicar no solo como un modelo matemático sino como una herramienta que nos facilita

los cálculos más precisos al ala hora de solucionar un problema.

Alexander Londoño Millán.

Quiero manifestar que la lectura a parte de su importancia dejo una sensación de ver como un modelo

matemático como lo es la Transformada de Fourier es aplicable en este caso a la industria, es decir un

típico ejemplo de las muchas aplicaciones que se pueden llevar a cabo por medio de procesamiento de

imágenes para un análisis sencillo de Fourier y como es una herramienta no solo de cálculo y análisis

sino de procesamiento de información que nos permite apoyada en otras herramientas llegar a otra

realidad la digitalización, podemos darnos cuenta que el hombre tiene una capacidad inmensa para

manipular las variables presentes en la naturaleza y como el apoyo en el desarrollo tecnológico logra

facilitar lo que se propone. Lo claro es que la Transformada de Fourier puede tratar sistemas cuasi

periódicos para una buena representación basada en las frecuencias que la componen, esta condición es

elemental cuando queremos utilizar la TF para fines específicos, lo que nos lleva a determinar que el uso

de esta transformada nos permite simplificar esfuerzos en estudios complejos. Si nos quedamos solo

como modelo matemático y no miramos su aplicación y las facilidades que nos presta en los cálculos

muy seguramente nos estaríamos perdiendo de una excelente herramienta. Es gratificante descubrir que

la teoría estudiada se vuelve práctica en la industria llevándola a cabo con las herramientas que se tiene a

disposición en el curso. Es posible el análisis y caracterización matemática de muchos fenómenos de la

vida real, lo cual hace de estas técnicas de una herramienta muy importante para el estudio y desarrollo

en cualquier rama de la tecnología.

2. Determine la convolución de la secuencia

, -

0, en otro caso

Con

, -

0, en otro caso

La ecuación de convergencia determina que: LTI y[n] a una entrada x[n] es igual a la Convolución de x[n] con la respuesta al impulso h[n] Por lo tanto:

Invertimos secuencia h[k] para obtener h [-k]:

h [-k]

-desplazamos h [-k] n muestras a la derecha.

-si n>0 o hacia la izquierda si n<0 para formar h [n-k].

-creamos los intervalos y formamos los productos

0

1

10 12 14 16 18 20

x⦋n⦌

0

1

-5 0 5

h⦋n⦌

0

1

012345678910

, - , - , -

, -

, - ∑

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, - ∑

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

Obteniendo la gráfica de la señal de salida y[n].

Señal de salida y[n]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

9 10 1112 131415 1617181920 2122 232425 2627 282930 3132

y[n]

y[n]

3. Encuentre la correlación entre las secuencias:

[ ] = 𝑢[ ] − 𝑢[ − 6] y

[ ] = 𝑢[ − 2] − 𝑢[ − 5]

Solución:

Secuencia: x [ ] = [ ] − [ – 6]

Para n=0 [0] − [0 – 6] = 6

Para n=1 [1] − [1 – 6] = 6

Para n=2 [2] − [2 – 6] = 6

Para n=3 [3] − [3 – 6] = 6

Para n=4 [4] − [4 – 6] = 6

Para n=5 [5] − [5 – 6] = 6

Secuencia: [ ] = 𝑢[ − 2] − 𝑢[ − 5]

Para n=0 [ ] = 𝑢[0 − 2] − 𝑢[0 − 5] = 3

Para n=1 [ ] = 𝑢[1 − 2] − 𝑢[1 − 5] = 3

Para n=2 [ ] = 𝑢[2 − 2] − 𝑢[2 − 5] = 3

Para n=3 [ ] = 𝑢[3 − 2] − 𝑢[3 − 5] = 3

Para n=4 [ ] = 𝑢[4 − 2] − 𝑢[4 − 5] = 3

Para n=5 [ ] = 𝑢[5 − 2] − 𝑢[5 − 5] = 3

Construimos la siguiente tabla

Formula a aplicar

, -

∑ , - , -

∑ , - , -

Llamada correlación cruzada entre dos señales

Dónde:

Cx, n = Resultado de la correlación cruzada entre las secuencias x[n], h[n].

N = Longitud de las secuencias

x [n] = Secuencia 1

h [n] = Secuencia 2

La señal h [n], se desplaza hacia la derecha obteniendo la suma de los productos de los correspondientes

pares de puntos. En cada desplazamiento se observa que el resultado de la correlación de las dos señales,

es igual a 90, y es porque la segunda señal es una señal periódica con un mismo patrón numérico de 3, y

aunque se desplace hacia la derecha, sus valores siguen siendo los mismos, ya que los números que

vienen de izquierda a derecha de la señal h [n], también son valores numéricos de valor 3.

Por lo tanto la correlación de las dos señales x [n] y h [n] es:

, -

∑ , - , -

, -

∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, -

n 0 1 2 3 4 5 k Cx,h

x [n] 6 6 6 6 6 6

h [n] 3 3 3 3 3 3 0 90

h [n+1] 3 3 3 3 3 3 1 90

h [n+2] 3 3 3 3 3 3 2 90

h [n+3] 3 3 3 3 3 3 3 90

h [n+4] 3 3 3 3 3 3 4 90

h [n+5] 3 3 3 3 3 3 5 90

h [n+6] 3 3 3 3 3 3 6 90

Cx,h 90 90 90 90 90 90

4. Considere un sistema descrito por la ecuación en diferencias

[ ] = [ − 1] − [ − 2] + 0.5 [ ] + 0.5 [ − 1]

Encuentre la respuesta de este sistema a la entrada

[ ] = (0.5)[ ]

Con condiciones iniciales (−1) = 0.75 y (−2) = 0.

R/

, - , -

, - ( ) ( ) ( )

, - , - -

, - ( ) , - ( )

DEFINICION 9.1.1 Llamamos ecuación en diferencias a una expresión del tipo

( n n n )

La solución de la misma, es toda sucesión que la cumpla.

El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de solución general. Esta solución general presenta

cierto número de parámetros, que pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales, dando lugar

a las diferentes soluciones particulares.

Ahora Vamos a construir el modelo que corresponde a la siguiente situación. Supongamos que una

población de insectos crece el triple, en cada periodo de tiempo que transcurre entre dos medidas, de lo

que creció en el periodo inmediatamente anterior.

Si llamamos y t al número de individuos en el instante t; del enunciado del ejemplo se deduce,

( )

Al simplificar se obtiene:

Que es una ecuación en diferencias de segundo orden. Si por ejemplo, conocemos el número inicial de

insectos, y0 = y(0) = 100, podemos sustituir y obtendríamos.

Lo cual nos indica que debemos saber otra medida, por ejemplo y1, para poder encontrar el resto de los

valores. En las próximas secciones aprenderemos a resolver este tipo de ecuaciones.

5. Una señal dada por x(t) = 2cos(3 ) se muestra con una frecuencia de 20 hz, comenzando en t

=0

a) ¿la frecuencia de muestreo es suficiente para la señal? (sugerencias):

Para que se verifique el teorema de muestreo, es necesario tener más de dos muestras por periodo. Esta

se cumple si Fm >2Fmax

Fm > 2B, siendo B el ancho de banda de la señal.

Entonces Fm = 20hz en el intervalo - Fm/2 < F < Fm/2

Fk = ± F0+K Fm,K = 0, ± 1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6

Las señales nunca son de banda limitada y siempre hay ruido presente

La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y también reducir la rata de muestreo al mínimo, reducir el ancho de banda del sistema, la cual se logra realizando filtraje en la señal de

entrada

Donde se ha considerado k=1, la frecuencia de 10 hz muestreada a 20hz no es suficiente para la señal

b) Encontrar las primeras seis muestras de la secuencia.

5,4,3,2,1,23

KKN

Para k = 1 se obtiene el periodo de frecuencias de seis muestras

X(n) = 2cos(

) = 0,1,2,3,4,5

2

2,

1

2,2,

1

2,

1

2,2)(

nx

c) Teniendo en cuenta que la señal muestreada se representa como x[n],¿cómo se representaría la misma

señal retrasada en cuatro periodos de muestreo?

3,2,1,23

KKN

Para k = 1 se obtiene la señal retrasada en cuatro periodo

Entonces:

X(n) = 2cos(

) = 0,1,2,3

2,1

2,

1

2,2)(

nx

6) Utilice la Transformada Discreta de Fourier (DFT, del inglés Discrete Fourier Transform) para

encontrar las muestras del espectro de frecuencia, tanto en magnitud como en fase, de la siguiente

secuencia x[n] = {2,-1,3}. Una vez encuentre las muestras del espectro, aplique la Transformada

Discreta de Fourier Inversa (IDFT, del inglés Inverse Discrete Fourier Transform) para recuperar la

secuencia original.

Discreta directa: para poder decir que se le puede aplicar la transformada discreta si la señal:

xn= es la señal

xn= valga cero para cualquier (n) negativo .

xn= valga cero para cualquier valor de (N) superior número de puntos puntos que queremos calcular

menos (-1) .

kn= número de periodos en la señal.

n= es el valor de la posición de cada una de las muestras.

Ejercicio a desarrollar.

, - * + 𝑢 𝑢 ( )

Orden =3 la sumatoria se realiza hasta n=2

(Para k=0)

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

Sumatoria ( ) ( )

Para k=1

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

De exponencial a trigonométrica

[ (

) (

)] *

√

+

√

[ (

) (

)] [

*

√

+]

(

√

)

Sumatoria

.

/

√

.

√

/ √ √

Para k=2

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

De exponencial a trigonométrica

[ (

) (

)] *

√

+

√

[ (

) (

)] *

√

+

√

Sumatoria

.

√

/ .

√

/ √

Respuestas de la función

( ) ( )

( ) √

( ) √

BIBLIOGRAFÍA

Uriz, A. ; Agüero, P. ; Denk, F. ; Tulli, J. ; Gonzàlez, E. ; Castiñeira, J. Simulador de Deficiencias

Auditivas. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI, 2011, Vol.8(2), pp.52-

62. http://ac.els-cdn.com/S1697791211700267/1-s2.0-S1697791211700267-main.pdf?_tid=4d71a90a-

4d13-11e5-bf78-00000aab0f01&acdnat=1440718280_b8ec3e6a3c2c8b13681c78b76a08489a

(2007, 06). Representación paramétrica de la transformada de Fourier de tejidos textiles. Ingeniería y

Ciencia. Recuperado 09, 2015, de

http://web.b.ebscohost.com/ehost/pdfviewer/pdfviewer?sid=4df0d248-83e2-4be2-b73f-

4b2bef583f79%40sessionmgr115&vid=0&hid=115

Irizar, A. (2010). Convolución. Curso Virtual. Pp (8-15)Navarra - España: Universidad de Navarra.

Disponible en: http://www.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema2.pdf

Ecuaciones y sistemas en diferencias, tomado de:

http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/sistemas%20dinamicos.pdf