pasividad en sistemas de control rev 2
DESCRIPTION
Control basado en PasividadTRANSCRIPT
PASIVIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL Ing. Raúl Roque Yujra
Santa Cruz Bolivia
Resumen
La pasividad es una propiedad fundamental de muchos sistemas físicos, los cuales pueden ser
definidos rigurosamente en términos de disipación y transformación de energía. Esta es una
propiedad de entrada-salida inherente, en este sentido se cuantifica y califica el balance de
energía de un sistema, el cual al ser estimulado por una entrada externa genera una salida. La
pasividad por consiguiente relaciona la propiedad de estabilidad en el sentido entrada-salida, que
es: decimos que el sistema es estable si para una entrada de energía al sistema esta produce una
energía de salida acotada. Esto contrasta con la Estabilidad de Lyapunov, que trata sobre la
estabilidad interna de un sistema, que es: cuan distante esta el estado de un sistema de su valor
deseado (punto de operación), en otras palabras, cuan diferente es el comportamiento del sistema
con respeto al desempeño deseado.
En este reporte se presenta a manera de introducción el concepto de pasividad y el control
basado en pasividad (Passivity Based Control). Esta es una metodología que consiste en
controlar un sistema con la intención de hacer que el sistema de lazo cerrado sea pasivo. Este
campo de estudio constituye ya desde hace 20 años una dirección activa de investigación y por lo
tanto en este reporte se da a conocer los conceptos involucrados [Ortega et al, 1998]. Por otro
lado, en los últimos años se ha utilizado el concepto de moldeo de energía para extenderse al
moldeo de potencia, cuya aplicación ya tiene algunos desarrollos en el campo del control de
procesos químicos, termodinámicos, hidraulicos [Favache, Dochain, 2009], [Dirksz, Scherpen,
2010] [Garcia–Canseco, Jeltsema, 2010] y redes RLC no lineales [Jelsema D. 2005]
1 Introducción
1.1 Pasividad: Un concepto de transformación de energía
Para entender mejor el concepto de pasividad, se requiere tener en mente la noción de estado de
un sistema y pensar que es una simple pieza de la naturaleza la cual interactúa con su medio
ambiente para transformar algunas entradas en algunas salidas y de esa manera contribuir con el
balance de su propia naturaleza. El concepto de pasividad en control encuentra sus orígenes y
puede ser fácilmente explicada en términos de circuitos eléctricos [Desoer Vidyasagar, 1975].
Considere la red eléctrica básica mostrada en la fig. 1, esta ilustra a un sistema desde el punto de
vista de entrada-salida.
)(tv
)(ti
L )(tv )(ti
)a )b Fig.1 Red Eléctrica: Perspectiva de caja negra
La carga eléctrica L es una impedancia, la cual transforma la entrada de voltaje )(tv en una
corriente )(ti de salida. Este fenómeno es fácilmente explicado considerando que por definición;
el voltaje )(tv es un diferencial de potencial entre dos cargas q y q , ubicadas alguna distancia
la una de la otra. Sea q la carga de referencia (tierra o masa del circuito), y por simplicidad se
asume que 0q y qq . Ahora, debido a la fuerza magnética entre ellas la carga q se mueve
e induce una corriente. Esto se puede considerar como la medida de la velocidad de carga (esto
es dtdqi . En términos de energía, la energía potencial eléctrica de una partícula cargada se
transforma en una energía cinética magnética. Una interesante analogía de este fenómeno es un
objeto de masa M en caída libre. Este objeto experimenta la fuerza gravitacional la cual induce
su velocidad, en este caso la energía potencial gravitacional es transformada en una energía
cinética mecánica. Regresando al ejemplo, si se considera que la carga en el circuito mostrado en
la fig. 1 es puramente resistiva, es obvio que alguna cantidad de energía se perderá como calor,
mientras que otra fracción es transformada en energía cinética (para la masa en caída libre
podemos también pensar que cierta cantidad de energía desprendida por el calor generada por la
fricción de la masa con el aire). Matemáticamente hablando, si el termino Lti )(2 es la potencia
consumida por la carga 0L en el tiempo t, mientras que )()( titv es la potencia suministrada
por la fuente; entonces, la energía almacenada disponible en el circuito para el tiempo
transcurrido T , satisface la ecuación de balance de energía:
2
0 0
( ) (0) ( ) ( ) ( )T T
T L i t dt v t i t dt H H ; (1)
mostrando evidencia de que la disipación de energía es una cantidad no positiva (segundo
término del lado derecho de la ecuación), entonces se obtiene que lo almacenado disponible es
menor que el inicial sumada a la energía suministrada. En otras palabras: no puede extraerse
más energía de salida en un circuito pasivo que la suministrada inicialmente. Este es un principio
básico del formalismo de pasividad. Ciertamente en la teoría de circuitos eléctricos se dice que es
un elemento pasivo, si sólo consume energía [Desoer, Vidyasagar, 1975].
Considérese un segundo ejemplo ahora una red RLC como se muestra en la fig. 2(a).
)(tv
)(ti
L
)(tv )(ti
)a)b
R
C
RLC
Aplicando la ley de Kirchoff se obtiene que el voltaje de entrada es:
t
dttdi
LdiC
Rtitv0
)()(
1)()( ; (2)
Multiplicando a ambos lados por la corriente y tomando en cuenta que dtdqti )( el balance de
voltaje queda como:
)()(
)(1)()()(0
2 tidttdi
Ltidddq
CRtititv
t
)()(
)()0()(
)()()( 2 tidt
tdiLti
Cqtq
Rtititv
Ahora integrando de 0 a t
)(
)0(
)(
)0(0
2
0
)0()()()()(
ti
i
tq
q
tt
idiLdqC
qtqdiRdiv ; (3)
podemos identificar que:
)(
)0(
)0()())0(())((
tq
q
dqC
qtqqtq CC VV ;
)(
)0(
))0(())((ti
i
idiLiti LTTL
donde ))(( tqCV corresponde a la energía potencial eléctrica y ))(( tiLT la energía cinética
magnética almacenados en el capacitor e inductor respectivamente.
2
0 0
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( (0)) ( ( )) ( (0))t t
C c L Lv i d R i d q t q i t it t t t t V V T T ;
2
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) (0)t t
v i d R i d tt t t t t H H ;
2
0 0
( ) (0) ( ) ( ) ( )t t
t v i d R i dt t t t t H H ;
Comparando (1) y (3) se observa que la energía almacenada disponible en el tiempo t es
determinado por la energía almacenada en los elementos inductivo y capacitivo en ese instante,
teniendo que restar la energía que se disipa a través de elemento resistivo R.
En términos matemáticos el circuito RLC de la fig. 2 define un operador, el cual realiza un
mapeo de la entrada )(tv en la salida )(ti . Para el operador RLC se define que [Loria, 1998]:
RLC es pasivo, si existe tal que : :)0()0()()(0
LL VTt
dvi
RLC es estrictamente pasivo de entrada si: Tt
dvdvi0
2
0
)()()(
RLC es estrictamente pasivo de salida si: 2
0 0
( ) ( ) ( )t T
i v d R i dt t t t t b
Como se pudo observar anteriormente, el concepto de pasividad se extiende de forma natural a
muchos sistemas físicos. Este es un punto de inicio para que el lector mantenga en mente de
forma rigurosa las definiciones de pasividad, como una propiedad de un sistema al cual no se le
suministra energía pero si el sistema lo consume.
1.2 Pasividad en Teoría de Sistemas
La idea expuesta en la sección previa, ilustrada en el ejemplo del circuito eléctrico RLC, puede
ser extrapolada a otros sistemas dinámicos, en el cual el intercambio de energía con el medio
ambiente juega un rol principal, en otras palabras: un sistema pasivo no puede almacenar más
energía que la suministrada por una fuente y la diferencia es energía disipada. Esto debe ser
claro, luego la interpretación que la pasividad está relacionada a la física del sistema y en
particular a sus propiedades de estabilidad en el sentido de entrada-salida [Van der Schaft, 1999].
Una propiedad fundamental de los sistemas pasivos: en lo que respecta a una interconexión
realimentada de sistemas pasivos como un proceso de intercambio de energía, la pasividad
permanece invariante sobre una interconexión de realimentación negativa[Ortega, et all, 1998], es
decir: La interconexión realimentada de dos sistemas pasivos, tiene como resultado un nuevo
sistema pasivo.
Hasta ahora, si el balance total de energía es positivo, en el sentido de que la energía generada
por un subsistema, es disipada por otro subsistema, luego el lazo cerrado será estable en el
sentido del concepto de entrada-salida. (ver proposición 21). Esta propiedad es intuitivamente
clara si se recuerda el hecho, que al introducir otro circuito RLC al circuito de la figura 1, sea
este en paralelo o en serie, se obtiene una red pasiva, la misma que dispone una impedancia
equivalente que es pasiva.
Una consecuencia importante de la invarianza sobre la interconexión realimentada es que el
sistema pasivo es fácil de controlar (si la energía esta disponible). En este caso, con una simple
ganancia constante y la modificación de las propiedades disipativas, la constante puede ser
elegida lo mas grande posible para disponer de un dominio de estabilidad mas grande (valores
aceptable de entradas y salidas y buenas condiciones iniciales de estado). Esto explica el interés
de la pasividad como un bloque pasivo construido para el control de sistemas no lineales [Loria,
1998]. A demás, dado que la pasividad es independiente del estado, ella proporciona una
generalización al caso de sistemas no lineales modelados por ecuaciones diferenciales variables en
el tiempo. Del hecho que la estabilidad de un sistema lineal realimentado e invariante en el
tiempo, depende de la cantidad de ganancia y el desplazamiento de fase inyectado en el lazo, la
medida de la señal de amplificación (ganancia del operador) y la señal de desplazamiento (de ello
la pasividad) puede ser en algunos casos asociados a cantidades físicas. Estas propiedades
fundamentales continúan motivando a investigadores e ingenieros, para hacerla su herramienta
fundamental para el diseño de sistemas de control [Ortega, et al, 1998].
1.3 Control Basado en Pasividad
El termino de control basado en pasividad (PBC) fue insertado en 1989, en el contexto del
control adaptivo de robots manipuladores [Ortega, Spong, 1989], para definir una metodología
de diseño de controladores, que pueda hacer que el sistema de lazo cerrado sea pasivo,
observándolo como un mapeo de una nueva entrada externa. Este objetivo al parecer es muy
natural con el contexto, dado que la dinámica del robot se define como un mapeo pasivo de las
entradas de torques a velocidades de salida. Este enfoque, puede ser visto como una extensión de
la técnica de moldeo de energía (energy shapping) mas la inyección de amortiguamiento, que fue
introducida para resolver el problema de regulación de posición realimentando el estado
completo en sistemas robóticos actuados [Ortega, Spong, 1989]. Para este problema particular
concentramos la atención sobre la energía potencial a las funciones de disipación para proceder
de acuerdo a dos ideas básicas. Ver el ejemplo del péndulo en la sección 3.3.1 para discusión
detallada de estos puntos.
Primeramente la etapa de dar forma a la energía, la cual consiste en modificar la energía
potencial del sistema, de tal manera que la nueva función de energía tenga un mínimo global
único en el equilibrio deseado. Esto tiene su motivo y parte del hecho conocido, que el equilibrio
estable de un sistema mecánico corresponde a la función de energía potencial mínima. En
segundo lugar, la etapa de inyección de amortiguamiento que consiste en la modificación de las
propiedades de disipación del sistema, de tal manera de obtener un sistema estrictamente pasivo
[Ortega, et al, 1998].
La generalidad del control basado en pasividad, permite el tratamiento de diferentes problemas,
tales como: realimentación de salida (esto cuando no todos los estados están disponibles para la
medición), control de seguimiento a referencia (para seguir una trayectoria de referencia). Sin
embargo en el presente trabajo se ilustra la metodología de control basado en pasividad sólo con
un simple ejemplo para un sistema mecánico, el lector debe tener en mente que como la
pasividad tiene sus orígenes en la teoría de circuitos eléctricos, el control basado en pasividad es
más apropiado para sistemas eléctricos y electromecánicos, tal el caso de convertidores de
potencia, máquinas eléctricas, etc. Sin embargo su aplicación no esta restringida a otro tipo de
sistemas que no sean loas anteriores ya que en la actualidad se han reportado trabajos
relacionados a sistemas químicos, termodinámicos, etc..
1.4 Organización del Reporte
En la siguiente sección se introduce la maquinaria matemática necesaria para estudiar pasividad
en sistemas de control. En particular se da las definiciones precisas de los conceptos discutidos
anteriormente. También se realiza el estudio detallado de algunos sistemas pasivos, en este caso
mecánicos y eléctricos, con el fin de establecer un enlace entre ambos tipos de sistemas. En la
sección 3, se menciona algunos teoremas sobre estabilidad de sistemas pasivos y de forma breve
pero con descripción precisa el enfoque de control basado en pasividad.
2. PASIVIDAD: En términos matemáticos.
Aquí se introduce las definiciones precisas de pasividad y algunos teoremas importantes.
2.1 Dominio de la Frecuencia
Para sistemas lineales invariantes en el tiempo, un camino simple para revisar si un sistema es
pasivo es: se dice que H es real positiva (PR ), si su función de transferencia satisface
0)( jwHRe para todo w . Ahora un sistema lineal es estrictamente real pasivo si existe
0 , tal que satisface )(jwHRe para todo w . Para sistemas lineales las propiedades
mencionadas son sinónimos de pasivo y estrictamente pasivo respectivamente.
Un hecho muy bien conocido acerca los sistemas lineales, es aquel que se refiere a las condiciones
necesarias para la pasividad del sistema son: en primer lugar, el sistema debe ser de fase mínima
y finalmente de grado relativo 0 ó 1. En otras palabras los ceros deben ser no negativos,
mientras que la diferencia entre los grados de los polinomios del numerado entre el denominador
debe ser 0 (en este real positivo) ó 1 (estrictamente real positivo). Se mencionó al inicio del
reporte, que la pasividad era fácil de explicar en términos de la teoría de circuitos eléctricos, al
respecto los siguiente resultados son fundamentales y bien reflejan los conceptos de disipación de
energía, discutidos en la sección introductoria en términos de realidad positiva.
Teorema 1. (Brune) Sea )(sH una función de transferencia, esta puede ser sintetizada como la
impedancia de un circuito RLC, si y solo “s” es racional y real positiva[Narendra, 1990].
Ejemplo 2.- Es claro que la función de transferencia 0)( RsH es una simplicidad que nos
pone a pensar que corresponde a un elemento resistivo el cual se conoce que es pasivo, tomando
el ejemplo inicial.
Ejemplo 3.- Considerando nuevamente el sistema de la figura 2.a., se aplica la transformada de
Laplace en ambos lados de la igualdad
)(1)()()( sIsC
sLsIsRIsV ; (4)
y la función de transferencia es
2
( )( )( ) 1
I s sCH sV s LCs RCs
; (5)
describe la dinámica del circuito RLC y sustituyendo jws , se obtiene
22222
22
)1()(
LwCRwRwC
sH
Re
De donde es fácil observar que 0)( jwHRe si R, C y L >0
Se concluye el ejemplo anterior, indicando que la transferencia )(sH del sistema RLC, es pasivo
(ó real pasivo). Desde otra perspectiva se dice que el sistema RLC constituye un operador
pasivo, el cual realiza el mapeo de algunas entradas )(tv en salidas )(ti y este operador es
denotado por ivH : es pasivo.
La visión de pasividad a través de circuitos eléctricos hace simple mostrar el hecho , de la
propiedad de invariabilidad sobre conexiones de realimentación. Considere lo siguiente
)(tv
)(ti
L
)(tvN )(ti
)a)b
pR
C
RLC)(tvN
cRCR
)(tv
Fig. 3. Interconexión de sistemas pasivos
Ejemplo 4. Considere otra vez el circuito RLC en serie, al cual se adiciona en serie un resistor
como se muestra en la figura 3.a. Considerando que la red resultante tiene una nueva entrada de
voltaje )(tvN y una nueva corriente de salida )(ti . Se ve inmediatamente que la función de
transferencia asociada a la red RLC tiene exactamente la forma de )(sH del ejemplo previo, con
pc RRR ; por lo tanto el nuevo circuito es también pasivo (ó real positivo).
El objetivo de este ejemplo, es mostrar que las ecuaciones de malla de Kirchoff de la red en
términos de la variable compleja de Laplace:
)()(1)()()( sRsIsC
sLsIsIRsV cpN ;
también corresponde a la ecuación de sistema con conexión realimentada mostrado en la figura
3.b. El ejemplo muestra también que, cR define un operador ISP, cRc viR : y su
interconexión con el operador pasivo RLC, del cual se obtiene que el operador resultante es
)()( titvN , es también pasivo. Esto es claro por la simple analogía con el circuito de la figura
3.a la cual es una carga equivalente pasiva (impedancia).
Basado en la anterior observación y el teorema de Brune, se puede ya decir la conjetura que al
menos , para sistema en los cuales pueden ser descritos por funciones de transferencia racionales
y propias, la pasividad es invariante bajo la interconexión de realimentación negativa. Esto
proporciona un soporte más sólido para realizar una introducción sobre la invariabilidad de la
pasividad. Para otra clase de sistemas, se enunciará resultados mas generales en las subsecuentes
secciones.
Por ahora se utilizará los conceptos de función de transferencia estrictamente real positiva de
manera de expresar las mismas para sistemas en la forma del espacio de estados.
El siguiente teorema fundamental es conocido como el Lema de Kalman-Yakubovich-Popov. El
mismo resultado es conocido en la literatura rusa como el Lema de Frecuencia [Slotine, Li, 1990].
Se presenta ahora una versión simple para sistemas lineales invariantes en el tiempo; sin
embargo el lector debe saber que este teorema tiene también su contraparte no lineal y se
dispone nuevos y recientes resultados para sistemas infinito-dimensionales.
Teorema 5. Considere el sistema en el espacio de estados
BuAxx ; (6.a)
Cxy ; (6.b)
donde nnA y nCB , . Suponiendo A es estrictamente estable (esto es que sus autovalores
son estrictamente negativos), el par (A,B) es controlable si: nBAABBRango n 1...
y el par (A,C) es observable si se cumple
nCAACCRangoTnTT 1...
Sobre estas condiciones, el operador yuH : es pasiva si y solo si nnTPP 0 tal que
0 PAPAT
CPBT Ver [Slotine, Li, 1990] para la prueba de este lema.
2.2 Estructura general Entrada-Salida
Como se pudo ver en la discusión anterior, cuando hablamos de un sistema pasivo (u operador)
uno apunta a medir la transformación de energía desarrollada en el sistema. En el caso del
circuito eléctrico anterior, las señales de entrada y salida tienen un significado físico directo, por
lo tanto la medición de energía es evidente. Sin embargo si deseamos hablar propiamente acerca
la pasividad de sistemas físicos que no sean redes eléctricas RLC, necesitamos un concepto más
general sobre medida. Entonces, debemos tener en mente que la pasividad es una propiedad de
un sistema vista como un operador que mapea entradas en salidas. En este contexto, debemos
hallar caracterizaciones y condiciones suficientes para la pasividad, que aplican a sistemas que no
sean descritos por medio de una función de transferencia sino por ecuaciones diferenciales
(posiblemente variantes en el tiempo) contrario al sistema definido en (6).
En esta sección se introduce las definiciones precisas de pasividad, las cuales reflejan el hecho de
que la pasividad es una propiedad de transformación de energía. También se extenderá al caso de
sistemas no lineales, considerando que algunos argumentos ya se hicieron más arriba de manera
de sostener las propiedades de los sistemas pasivos
Definición 6. Normas n2L y n
e2L [Van der Schaft, 1999]
La norma ne2L de una señal nnf 0: es denotada por Ttf 2)( y definida por:
12
2
20
( ) ( )T
Tf t f t dt
; (7)
y la norma n2L denotada 2)(tf está definida por:
TT
tfLim 2)(
con esta métrica podemos definir el espacio normado e2L
Definición 7. Espacio e2L . Nosotros decimos que 0:f corresponde e2L si y solo si
Ttf 2)( . [Van der Schaft, 1999]
Ejemplo:
Considere la función continua ( ) atf t e , determinar si pertenece al espacio 2L
Por definición se conoce que
2 2
0 0
( ) ( )f t dt f t dt
;
2 2
0 0
1( )2
tf t dt e dta
a
entonces 2( )f t L .
Definición 8. Producto Interno. Sea u , y 2L y 0T , entonces el producto interno está
definido 0T como
T
dttytuyu0
)()(:| ; (8)
Con estas herramientas ahora podemos extender a una estructura general de entrada-salida las
propiedades ISP y OSP definidas inicialmente para la red RLC en la sección introductoria.
Ahora tenemos lo siguiente:
Definición 9. Pasividad.
Un operador yuH : es pasivo si existe un tal que se cumple
yu | ; (9)
Definición 10. Pasividad Estricta de Salida (OSP).
Un operador yuH : es estrictamente pasivo de salida si existe un y 00 tal que
se cumple:
220| Tyyu ; (10)
Definición 11. Pasividad Estricta de Entrada (ISP).
Un operador yuH : es estrictamente pasivo de entrada si existe un y 0i tal que
se cumple:
22| Ti uyu ; (11)
2.3 Sistemas Pasivos interconectados
Probablemente la propiedad principal usada en el control basado en pasividad, es la
interconexión de sistemas pasivos, la misma que da como resultado un sistema pasivo. Por otro
lado un sistema pasivo puede descomponerse en subsistemas pasivos. Esto significa que en esta
filosofía el controlador puede ser diseñado como un sistema pasivo. Si el sistema a controlar no es
pasivo entonces se debe tratar de construir el controlador de tal manera que el sistema de lazo
cerrado sea pasivo.
Esta idea será tratada con cierto detalle matemático en las secciones siguientes utilizando las
definiciones que se dieron más arriba.
2.3.1 Ejemplo introductorio
Considere el ejemplo de un sistema pasivo que no puede ser modelado por una función de
transferencia racional, entonces no satisface el teorema de Bruni. No obstante utilizaremos las
definiciones anteriores para mostrar la pasividad de estos sistemas. También se ilustrará la
invarianza de la pasividad sobre las interconexiones especialmente la realimentación
Considere un péndulo accionado por un motor de corriente directa (CC) como se muestra en la
figura 4. El modelo simple de un motor CC se obtiene considerando este dispositivo como un
circuito RL en serie con una caída de voltaje denominado fuerza contra-electro-motriz. Debemos
hacer notar que R y L representan la resistencia y la inductancia de armadura
respectivamente. Si se considera que el valor de L es muy pequeño con respecto a R (esto es
equivalente a considerar que la dinámica eléctrica del motor es mucho más rápida que la
mecánica) la dinámica puede ser escrita como:
)()()( tvR
Kt
RKK
BtJ mm
mbmmm
; (12)
Donde mJ es la inercia del rotor, mB es el coeficiente de fricción, bK y mK son constantes
denominadas de fuerza contra-electro-motriz y de torque respectivamente y m es la posición
angular del eje del motor.
Fig. 4 Péndulo accionado por un motor CC.
Hasta aquí el sistema motor tiene como entrada el voltaje )(tv y salida )(tm es lineal y puede
ser modelado mediante una función de transferencia
)()(
sVs
H mMCC
Para verificar si el sistema es pasivo podemos calcular )(jwHMCCRe . Sin embargo de aquí en
mas para desarrollos posteriores usaremos la ecuación de balance de energía como en (1).
Se verifica que la función: 2
21)( mmm J mH ;
corresponde a la energía mecánica total del motor, tomando la derivada de esta función y
reemplazando en la ecuación (12) obtenemos:
( ( )) ( ) ( )m m mt J t tq q q mH
2)()()())(( tRKK
BttvR
Kt m
mbmm
mm
mH ; (13)
Integrando de 0 a T ambos lados de la ecuación (13)
dttRKK
BdtttvR
Kdtt
T
mmb
m
T
mmT
m
0
2
0
)()()())(( 0 mH
ordenando y por el Teorema fundamental del Cálculo:
dttRKK
BTdtttvR
K T
mmb
mmm
T
mm
0
2
0
)())0(())(()()( mm HH
de las anteriores definiciones sabemos:
dtttvR
Kttv
T
mm
0
)()()(|)(
dtttT
mTm 0
22
2)()(
reemplazando 2
2)())0(())(()(|)(
Tmmb
mmmm tRKK
BTttv
mm HH ; (14)
vemos claramente a demás que de (13) se deduce:
))0(())(( mm T mm HH ;
para cualquier 0t , de donde se concluye que si 2)( Ltv y 2)( Ltm , el operador
vH mMCC : es OSP con:
m
m
KR))0((
:
mH y
m
mbo K
RBK: ;
Ahora consideremos la ecuación dinámica de un péndulo:
)())(sin()( ttqmgltqm ; (15)
donde m es la masa la cual se asume que está concentrada en el centro gravedad,
]/[8.9 2smg es la aceleración de la gravedad, )(tq es la posición angular respecto a la
horizontal, l es la distancia de centro de gravedad y el eje de rotación y )(t es el torque de
entrada. Nuevamente es simple de mostrar que este sistema define un operador pasivo
qH p : , para ello consideramos la función de energía del sistema que está definida por:
))cos(1(21),( 2 qmglqmqqp H ; (16)
cuya derivada en el tiempo es:
)sin())sin(),( qmglqmqqmglqqqmqqp H ;
entonces según (15) tenemos que:
)()(),( ttqqqp H ;
Integrando este ultimo de 0 a T:
))0(())((| 2 mpmpT Tq HH ; (17.a)
))0(),0(())(),((| 2 qqTqTqq ppT HH ; (17.b)
del sistema de péndulo se define un operador pasivo qH p : con ))0(( mp H ,
))0(),0(( qqp H .
Algunos lectores notaran que la definición de operador reduce el sentido desde el punto de vista
físico. Ciertamente parece mas coherente identificar el sistema de péndulo con un operador con
entrada física que es el torque y la salida como velocidad, las cuales son ambas cantidades
medibles y razonablemente elegidas para variables de control. La definición de operador está
hecha con el propósito de exhibir el hecho de que las entradas y salidas no necesariamente
coinciden con cantidades físicas inyectadas o medidas del sistema en cuestión. Sin embargo esto
ayudara a nuestro análisis de pasividad.
Consideremos ahora una interconexión realimentada entre el motor (actuador) y el péndulo del
se conoce que constituye un sistema pasivo. La interconexión se ilustra en la figura 5..
)(tvR
KmmMotor
Pendulol
Fig. 5 Sistema realimentado Pendulo – motor CC
Considerando que el motor y el péndulo están unidos mediante una transmisión rígida directa,
tenemos que )()( ttq m y )(tl . En este caso el torque )(tl puede ser considerado desde el
punto de vista del motor como un torque de carga el cual actúa como una entrada física extra al
motor. La ecuación dinámica del sistema interconectado está dada por
)()()()( ttvR
Kt
RKK
BtJ lm
mmb
mmm
; (18.a)
)())(sin()( ttmgltm lmm ; (18.b) No es difícil mostrar que el sistema de la figura 5, constituye un operador estrictamente pasivo
mvH : lo que se verifica utilizando las relaciones (14) y (17) y observando que:
La función de energía del sistema interconectado, esta dada simplemente por la suma de
las funciones de energía de ambos subsistemas separadamente esto es pm HH:H ;
esto es una propiedad fundamental de los sistemas interconectados pasivos y establece las bases
para el control basado en pasividad como se muestra en la sección 3.3.1.
De manera similar se puede adicionar la dinámica eléctrica que inicialmente se consideró
despreciable en el motor, observando que también define un operador pasivo desde un voltaje de
entrada a la corriente de inducido, luego la energía disipada depende de la impedancia
equivalente del inducido.
2.3.2 Marco general de propiedades Entrada-Salida
Los siguientes teoremas formalizan nuestra discusión sobre interconexiones realimentadas [Van
der Schaft, 1999]
Teorema 12. Considere el sistema entrada-salida ilustrado en la figura 6. Sea 21,: eee ,
21,: uuu y 21,yyy son ne
22L . Si 1 y 2 son ambos pasivos entonces yu : es también
pasivo. Si 1 y 2 son OPS entonces yu : es también OSP.
1u1H
2H2y
1e
2u2e
1y
Fig. 6 Sistema Entrada - Salida
El teorema anterior considera un caso especial de interconexión realimentada cuando 02 u .
Esta estructura es particularmente importante dado que ella es un típico caso de una planta 1
en lazo cerrado con un controlador 2 . En este caso la entrada 1u juega un rol de señal externa
al lazo cerrado. Note también que esta entrada puede ser a su vez la salida de otro bloque
pasivo. En este sentido puede construirse un nuevo sistema pasivo teniendo como núcleo un
bloque pasivo. Por lo tanto estos teoremas son importantes para el control basado en pasividad.
Teorema 13. Considere el sistema de lazo cerrado de la figura 6, con 02 u . Si asumimos que
2,1,: 22
22 in
enei LL entonces n
eu 22 L si cualquiera de las siguientes afirmaciones sea
verdadera
Si 111 : ye es pasivo y 212 : yy es ISP ó
Si 111 : ye es OSP y 212 : yy es pasivo.
Bueno hasta aquí tenemos establecido formalmente y con generalidad, las condiciones bajos las
cuales la interconexión realimentada de sistema pasivos da como resultado un sistema pasivo. Sin
embargo, es también útil saber que las interconexiones no solo conservan las propiedades de
pasividad de los subsistemas, más en ciertos casos, la pasividad puede ser fortalecida. Para
ilustrar esta idea, se analizaremos brevemente la técnica denominada transformación de lazo.
2.3.3 Transformación de Lazo
Para mostrar mejor la utilidad de esta técnica, primero necesitamos subrayar un hecho simple
pero importante sobre los sistemas pasivos.
Considere el sistema ilustrado en la figura 6, con solo una sola entrada, es decir 02 u .
Hecho 14. Asumiendo que el sistema 2 es ISP y tiene ganancia finita 2L esto es, que existe
0 c tal que TT
ecy2122 , entonces el mapeo 2 es también OSP.
Esta observación sigue directamente escribiendo 2
2222
212
21221 22|
Ti
Ti
Ti yc
eeye
;
literalmente, la importancia de este hecho reside en que el sistema 2 es más disipativo que 1
por lo tanto cuando se desarrolla la interconexión algo de la disipación del sistema 2 es
propagada hacia el sistema 1 . Mas precisamente considere el sistema interconectado ilustrado
en la figura 7, el cual es equivalente que la figura 6, con 02 u .
1e1y pasivo:1
k
1u
1´
2y
k
ISP:2
Fig. 7 Sistema interconectado
Vamos a desarrollar algunos cálculos simples para exihibir las nuevas propiedades del sistema
interconectado con realimentación como la figura 7. Para 111 : ye y utilizando las
propiedades de pasividad de 1 , tenemos que
TTTTTykykyyyuykyyuye
211211212121121211 |||| ;
Lo que significa que la transformación de lazo ha hecho que el mapeo ´1 sea OSP. El precio que
hay que pagar para esto es que la ISP de 2 sea ha debilitado
TTiTTTykyykyyykyyy
2121222112212121 |||
por lo tanto se impone que 2ik .
Es importante recordar en este punto que el coeficiente k es utilizado solamente para el análisis,
y es sin pérdida de generalidad una restricción que hay que satisfacer 2ik . Nótese también
que el sistema físico no ha sufrido ningún cambio con la transformación del lazo.
Utilizando el hecho 14, obtenemos que el sistema Figura 6 con 1 pasivo y 2 ISP y de ganancia
finita 2L , es equivalente a la interconexión de un OSP más un OSP y un sistema ISP. Esta
observación es algunas veces fundamental en el análisis de estabilidad de sistema pasivos y
consecuentemente en el control basado en pasividad.
3. Estabilidad y estabilización de sistemas pasivos
3.1 Estabilidad 2L
Una definición relajada de la estabilidad 2L , es que un operador 2L es estable, si mapea entradas
2L en salidas 2L . Sin embargo en un sentido más estricto también puede ser interesante la
medición cuantitativa de estabilidad.
Definición 15. Estabilidad 2L . El sistema en el espacio de estados se dice que es estable 2L
con ganancia finita 2L , si existe una constante positiva tal que para toda condición inicial
)0(0 xx existe una constante )( 0x tal que se cumple
TT tuty 22 )()( ;
Proposición 16.
Si yu :1 es OSP entonces tiene una ganancia finita 2L .
Prueba.
La prueba de esta proposición es directamente observando que la OSP implica la existencia de
0 y tal que: 2
20
0
220
121|
TTT yuyuy
;
por lo tanto
22
0
220 2
1TT uy por lo tanto la ganancia 2L es
0
1
3.2 De la Estabilidad 2L a la Estabilidad de Lyapunov
Los conceptos fundamentales para relacionar la estabilidad de entrada-salida con la estabilidad
en el sentido de Lyapunov son: la detectabilidad de estado cero y la observabilidad de estado
cero.
Definición 17. Detectabilidad de Estado cero
Un sistema en el espacio de estado )(xfx , nx es detectable de estado cero a partir de la
salida )(xhy si para todas las condiciones iniciales nx )0( tenemos que: 0)(0
txLimy
t
Definición 18. Observabilidad de Estado cero
Un sistema en el espacio de estado )(xfx , nx es observable de estado cero a partir de la
salida )(xhy si todas las condiciones iniciales nx )0( tenemos que 0)(0 txy
Ahora rigurosamente hablando y pensando en los sistemas físicos estas propiedades pueden ser
consideradas como propiedades de propagación de la disipación de la energía. Estas establecen
que se seguirá la convergencia asintótica del estado x de un sistema, si su salida )(xhy es
adecuadamente seleccionada. En general, estas propiedades pueden ser difíciles de verificar y en
algunas ocasiones imposibles para algún tipo de salidas. Los siguientes lemas son particularmente
utilizados para establecer un enlace ente la convergencia asintótica de una salida )(xhy y el
estado x .
Lema 19. Sea upGy )( , donde )(pG es una función de transferencia exponencialmente estable,
estrictamente propia de dimensión mn y dtdp . Entonces ny 2L implica que nnu LL2 ,
nu 2L , )(ty es continua y que 0)( ty cuando t . Si adicionalmente tenemos que
0)( tu cuando t entonces 0)( ty .
Lema 20. Si el sistema yu : es OSP, nny LL2 , ny L y el sistema es detectable de
estado-cero desde la salida, entonces, si 0u las trayectorias de estado 0)( tx cuando
t .
Vamos a finalizar esta sección con una proposición la cual resume los resultados recordados aquí,
que son fundamentales en el control basado en pasividad.
Asumiendo sistemas afin;
2,1,)(
)()(: ixhy
uxgxfx
iii
iiiiii
son pasivos u OSP, con función de almacenamiento )( 11 xH y )( 22 xH respectivamente
tt
dssysusyxHtxH0
110
211111 )()()())0(())(( ; (19)
tt
dssysusyxHtxH0
220
222222 )()()())0(())(( ; (20)
entonces la siguiente preposición es verdadera
Proposición 21.
i) Suponiendo que 1 y 2 son pasivos (OSP respectivamente), entonces el sistema
interconectado por realimentación ),( 21 de la figura 6, define un operador pasivo
(OSP respectivamente) de la forma ),(),( 2121 yyee .
ii) Suponiendo que 1H y 2H satisfacen las expresiones (19) y (20) teniendo un mínimo local
estricto 1x y
2x respectivamente, entonces ),( 21 xx son puntos de equilibrio estables el
sistema realimentado con 021 ee .
iii) Suponiendo que 1 y 2 son OSP y detectables de estado-cero y 1H y 2H satisfacen
(19) y (20) y propiamente tienen un único mínimo global en 01 x y 02 x
respectivamente, entonces )0,0( es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente
estable del sistema realimentado ),( 21 el cual 021 ee .
3.3 Control basado en Pasividad
En general , el control basado en pasividad consiste en obtener un sistema pasivo aplicando una
ley de control realimentada. A demás decimos que un sistema dado por
),,( uxtfx ; (21.a)
),( xthy ; (21.b)
donde nx , y , x , f , g y h son funciones suaves, esta pasivamente realimentado si
existe una ley de control ),,( vxtu tal que
)),,(,,( vxtxtfx ; (22.a)
),( xthy ; (22.b)
define un operador pasivo yv .
entonces la estabilidad en el sentido de Lyapunov siguen satisfaciendo las condiciones
establecidas en la sección previa.
en particular para sistema afines no lineales
)()( xugxfx ; (23.a)
)(xhy ; (23.b)
Podemos establecer los siguientes resultados ya conocidos.
Teorema 22.
Si el sistema (21) define un operador pasivo yu : con una función de almacenamiento
)(: xVV que es 1C , la cual es acotada por abajo y además es detectable de estado-cero,
entonces el controlador
)(yu ;
Con 0)0( y 0)( yy para todo 0y , estabiliza asintóticamente el origen 0x , mas alla si
la función de energía )(xV es propia, entonces el origen es globalmente asintóticamente estable.
Para una exposición más clara y debido a la restricción de espacio, en el presente reporte, se
ilustra el enfoque de control basado en pasividad mediante un ejemplo sencillo aplicado a sistema
mecánico.
Destacamos que las ideas utilizadas más abajo constituyen la razón de ser para el control de una
amplia clase de sistemas: los sistemas Euler-Lagrange. Estos incluyen una amplia variedad de
sistemas físicos tales como eléctricos, electromecánicos y mecánicos.
3.3.1 Ejemplo
Para explicar mejor el control basado en pasividad (PBC) es conveniente volver al ejemplo del
péndulo simple de la pagina 12; sin embargo para los propósitos de esta sección bastara
considerar el péndulo solamente, esto es que no se tendrá en cuenta el motor y simplemente
asumir que el péndulo tiene un par de entrada (fuerza externa) u , que actuando sobre él. Para
terminar y para una fácil referencia repetimos la expresión de la energía total (cinética y
potencial) del péndulo simple
)(
),(
22 ))cos(1(21),(
qqq
p qmglqmlqqV
T
H ;
donde q , y g es la aceleración de la gravedad. Asumimos el torque como entrada de control
u . La energía cinética es ),( qqT y la energía potencial es )(qV , usando estas funciones
podemos derivar la dinámica
uqgqml )(2 ; (24)
.donde )(qg se conoce como la fuerza gravitacional, esta fuerza se deriva de la energía potencial,
esto es:
)sin()(
:)( qmglqq
qg
V;
Ahora se calcula los puntos de equilibrio del sistema no forzado (24), es decir con 0u . Como
se discutió anteriormente y esta claro de (24), que los puntos de equilibrio corresponde a los
puntos críticos de la función de energía principal y que es la solución de la ecuación
0)sin(0)(
qmgl
qqV
Para este caso los puntos de equilibrio son TT iqq ]0,[, con ,......2,1,0,1...,i , y tomando la
segunda derivada parcial de )(qV respecto a q tenemos
)cos()(
2
2
qmglq
q
V
El cual es positivo para 0q y negativo para q , esto significa que el origen corresponde a
un mínimo de la función de energía potencial y se concluye que TTqq ]0,0[, es un punto de
equilibrio estable según Lyapunov. Por otro lado q es un máximo local y puede mostrarse
que es un equilibrio inestable según Lyapunov.
Nuestro problema de diseño es estabilizar el péndulo en un equilibrio constante TT qqq ]0,[, .
De acuerdo al procedimiento de moldeo de energía (energy shaping) más inyección de
amortiguamiento, vamos a tratar de modificar la energía potencial y la función de disipación de
Rayleigh, dejando intacta la energía cinética ya que no desempeña ningún papel en las
propiedades de estabilidad del punto de equilibrio. Es decir queremos, que el sistema de lazo
cerrado sea un sistema Euler-Lagrange con energía cinética ),( qqd T , energía potencial es )(qdV ,
y función de amortiguación )(qd F . Puesto que conocemos que el mínimo de la energía potencial
corresponde a un punto de equilibrio estable, la nueva función de energía potencial )(qdV deberá
tener un único mínimo global en la posición deseada. Una función candidata natural es 2~
21)( qkq pd V ; (25)
donde 0pk y qqq :~ . Para hacer este punto de equilibrio sea atractivo, elegimos una
función de disipación de Rayleigh deseada 2
21)( qkq dd F , 0dk , la cual induce las propiedades
de disipación correctas al sistema. Esta selección lleva a una ley de control
DIES u
u
qqq
u cd )()()( FVV
;
qkqkqgu dp ~)( ; (26)
Para una mejor comprensión de la acción pasiva de este controlador, considere el análisis de la
pasividad del sistema de lazo cerrado el cual está dado por
DIp uqkqgqgqml ~)()(2
DIp uqkqml ~2 ; (27)
seguidamente, considere la función de energía del sistema de lazo cerrado descrita 222 ~
21
21)()(),(),( qkqmlqqqqqq pdp VVHH ; (28)
luego la derivada en el tiempo de la función de energía y utilizando (27) se tiene
DIpp uqqkqmlqqqkqqmlqq 22),(H ; (29)
es decir que la entrada de control de moldeo de energía ESu ha reemplazado el equilibrio estable
según Lyapunov del péndulo a la posición deseada q , mientras conserva las propiedades de
pasividad del sistema. Nótese que integrando la igualdad anterior de 0 a T podemos concluir que
el lazo cerrado define un mapeo pasivo quDI y por otra parte si la entrada 2LDIu entonces
el sistema también es estable 2L .
Retomando la idea de que la interconexión de sistemas pasivos es pasivo, reconsideremos la
selección de la entrada qku dDI . Nótese que esto es un mapeo ISP estático qkq d . Por lo
tanto el sistema de lazo cerrado puede ser considerado como una interconexión realimentada
negativa de un mapeo pasivo quDI con un mapeo ISP qkq d y como bien sabemos el lazo
cerrado es también pasivo. Estrictamente hablando si nosotros agregamos una entrada externa
v a (27) obtenemos utilizando (29) 222 ))0(),0((| TdT qkqqqv H ;
esto es, el mapeo qv es OSP. De este último y el Lema 20, se concluye que si 0v entonces
qtq )( cuando t .
La ley de control PD anterior es una de las más simples que se puede obtener utilizando el
método de control basado en pasividad, sin embargo tiene el inconveniente de la carga
computacional del calculo de )(qg en línea; en general se cree que este criterio es dominante por
el hecho de la cancelación del termino no lineal )(qg mejorando la robustez del sistema ante
incertidumbre paramétricas. Por lo anterior veamos de considerar otra función de energía
potencial deseada, es decir:
2)(21)()( qqkqq pd VV ; (30)
donde )( q es una constante seleccionada para asignar un mínimo global único en qq para
)(qdV . Su calculo entonces procede por evaluación
)()()(
qqkqgqq pd V ;
al hacer este último cero
)(1)( qgk
qqp
;
para asegurar que este punto sea un mínimo global y único de la función de energía potencia
calculamos
pd kqgq
)()(2
2
V ;
Ahora para el sistema de péndulo tenemos que mglqqg
)(
(como una cuestión de hecho para
muchos sistemas Euler- Lagrange podemos asumir sin pérdida de generalidad que existe gk
tal que gkqqg
)(
para todo nq ), por lo tanto si elegimos mglkp obtenemos que
0)(2
2
qq dV , para todo nq . Esto implica que qq es un mínimo global único de la
función de la energía potencial.
La parte de la ley de control u , por moldeo de energía esta dado por
)(~)()(
qgqkqqq
u pdES VV ; (31)
y adicionando (inyectando) la misma amortiguación anteriormente desarrollada, hallamos el bien
conocido controlador PD más pre-compensación de gravedad que tiene la forma:
qkqkqgu dp ~)( ; (32)
Como anteriormente se dedujo, el sistema de lazo cerrado (24) y (32), son sistema Euler-
Lagrange completamente amortiguados con energía cinética ),( qqT , energía potencial es )(qdV ,
y función de amortiguación )(qd F . También se puede mostrar de manera similar como para el
anterior controlador, que el sistema de lazo cerrado define un operador OSP qv y qtq )(
cuando t .
3.3.2 Estabilidad de Lyapunov de controladores por modeo de energía mas inyección de
amortiguamiento (ESDI)
Hemos visto como los controladores anteriormente estudiados nos permiten obtener un sistema
de lazo cerrado OSP, teniendo como salida a la velocidad generalizada. Teniendo en cuenta
también que es la salida del mapeo original definido por el sistema de péndulo son controla(es
decir en lazo abierto). Entonces se hace sencillo el analizar la estabilidad según Lyapunov del
sistema de lazo cerrado. En este caso particular tenemos una manera sencilla, el análisis de la
estabilidad, sin embargo en general es difícil. Por simplicidad utilizamos la propiedad de
detectabilidad de estado-cero definida en la sección 3.2 de la siguiente manera:
Establecer la salida 0q en la ecuación (27) de lazo cerrado. Para el primer controlador
obtenemos que 0~ qkp y se cumple qq , por lo tanto el sistema es detectable de estado-cero.
Para el segundo controlador nosotros que:
0)()(~ qgqgqk p ;
Y por diseño la única solución de la ecuación es qq , dado que el origen es el único equilibrio
del sistema. En otras palabras 0q que implica que qq y por lo tanto el sistema es
detectable de estado-cero y en realidad es observable de estado-cero.
Notese que para cualquiera de los controladores anteriores, podemos desarrollar una
transformación de lazo, tal que el sistema de lazo cerrado pueda ser considerado como dos
mapeos OSP. Esto logra simplemente redefiniendo la entrada de control (parte denominada
inyección de amortiguamiento) como:
qku dDI 5.0 ;
para el primer controlador la parte de moldeo de energía como
qkqkqgu dpES 5.0~)( ;
Y para el segundo controlador:
qkqkqgu dpES 5.0~)( ; (33)
manteniendo el sistema sin cambios. Finalmente podemos invocar el ítem iii de la proposición 21.
3.3.3 Modelado de un convertidor CC-CC Reductor (Buck) y Control Basado en Pasividad
Modelo del convertidor reductor Buck
El modelado del sistema de estudio Convertidor reductor Buck, puede ser obtenido utilizando
la metodología de Euler-Lagrange (desde el punto de vista energetico) o mediante las leyes de los
circuitos eléctricos. Debemos también recordar que el modelo a estudiar se basa en modo de
operación en conmutación continua.
Modelo basado en Euler-Lagrange
Se define el modelo de un sistema mediante:
( , ) ( , )d L q q L q qQ
dt q q
, nq Q ; (34)
Donde q es el vector de coordenadas generalizadas y q es el vector de velocidades generalizadas,
y se define la función de Lagrange como:
( , ) ( , ) ( )L q q T q q V q ; (35)
Donde ( , )T q q es una función de energía cinética, ( )V q es una función de energía potencial del
sistema en estudio y Q son las fuerzas externas al sistema que pueden ser en general de tres
tipos, entrada de fuerzas para control, fuerzas disipativas y fuerzas perturbadoras . Para el caso
de sistemas eléctricos en particular se define ( )
qD qQ F
q
; (36)
Donde ( )D q es la función de disipación de Rayleigh del sistema y qF es un vector de funciones
forzantes generalizadas o fuentes de voltaje.
Para nuestro caso de estudio, el convertidor reductor Buck, vamos a establecer como política de
control la modulación de ancho de pulso PWM de manera que la misma conmutara de 1u a
0u periódicamente. Ahora establecemos como coordenadas generalizadas a la carga en el
inductor Lq y capacitor Cq respectivamente, por lo tanto tendremos que: Lq es la corriente en el
inductor 1z y CqC
es el voltaje en el capacitor 2z
Cuando el switch es 1u tenemos que las funciones de energía están dadas por: 2
11( )2L LT q Lq ; 2
11( )
2c CV q qC
21
1( ) ( )2C L CD q R q q ; 1
qLF E ; 1 0qCF
Ahora cuando el switch es 0u tenemos : 2
01( )2L LT q Lq ; 2
01( )
2c CV q qC
20
1( ) ( )2C L CD q R q q ; 0 0qLF ; 0 0qCF
Entonces combinando ambas posiciones según el modo de operación continua del convertidor: 21( )
2L LT q Lq ; (37.a)
21( )2c CV q qC ; (37.b)
21( ) ( )2C L CD q R q q ; (37.c)
qLF E ; (37.d)
0qCF ; (37.e)
2 21 1( ) ( )2 2L C L CL T q V q Lq q
C ; (37.f)
de donde obtenemos el modelo : 1
L cEq q
L L ; (38.a)
1 1C L Cq q q
C RC ; (38.b)
escrito en variables de estado 1 2
Tz z z
1 21 Ez zL L
; (39.a)
2 1 21 1z z zC RC
; (39.b)
Control Basado en Pasividad
Para diseñar el controlador basado en la técnica de pasividad se requiere que el modelo dado
por (39.a) y (39.b) del convertidor sea escrito de la forma matricial [Ortega et al] [García E]:
( )b b b bD z J R z ; (40)
entonces para nuestro caso tenemos 0
0 0b
LD
;0 1
1 0bJ
;
0 0
0 1/bRR
;0b
E
este diseño se desarrolla en dos partes; la primera parte se denomina moldeo de la función de
energía y el segundo es la inyección de amortiguación.
Con el moldeo de la energía la función de energía potencial es modificada hacia un nuevo punto
de equilibrio llevándolo hacia una localización deseada. Con la inyección de amortiguación se
modifica la función disipativa de Rayleigh hacia un nuevo punto de equilibrio el cual será global
asintóticamente estable [Ortega et al].
Iniciamos el diseño del controlador considerando la regulación hacia un voltaje en el capacitor y
corriente del inductor deseados respectivamente, es decir 1 2
T
d d dz z z y que satisfacen las
relaciones descritas por (39).
Sea el vector de error promedio definido como: 1 1
2 2
d
dd
z ze z z z z
; (41)
Luego la dinámica del error promedio para el convertidor reductor Buck se obtiene como sigue:
( ) ( ) ( )b b b b d b b d b b d b b dD z J R z D z J R z D z J R z ;
( ) ( )( ) ( )b d b b d b b d b b dD z z J R z z D z J R z ;
( ) ( )b b b b b d b b dD e J R e D z J R z ; (42)
Esta expresión denota el proceso de moldeo de energía para el vector de error.
Para la etapa de inyección de amortiguamiento, tal como se muestra en [11] y [12] se agrega a
cada uno de los miembros la relación ( )iRe t , donde iR es una matriz que asegura la disipación
deseada, entonces tenemos:
( ) ( )b b b i b b d b b d iD e J R e Re D z J R z Re ;
0; 0
0 0i
RiR Ri
;
Entonces hemos obtenido un sistema basado en el error promedio, si este es no forzado podemos
definir una función de almacenamiento dH que puede ser definido en coordenadas de ( )e t para el
sistema obtenido, de tal manera de asegurar la estabilización del comportamiento del error hacia
la estabilidad asintótica hacia cero del error independiente del valor de ( )t , por lo que se
demanda que:
( )b b d b b d iD z J R z Re ; (43)
en general se tiene
1 2 1( )dd d i
VE Lz z R zR
;
22 10 dd d
zCz zR
;
Tomando en cuenta que se desea estabilizar el voltaje en el capacitor a un valor constante
2d dz V , entones queda la ley de control estática [García E, 2000]
1( )d i dV R VzE E R
; (44)
4. Resultados de Simulación
En este parte del reporte vamos a mostrar los resultados de simulación para las leyes de control
obtenidas mediante el método de Control Basado en Pasividad. El software de simulación es
Simulink de MatLab.
La figura 8, muestra el resultado de simulación para el control basado en pasividad para el
péndulo simple, el cual tienen los siguientes parámetros: 2m , 0.7l , 9.8g , se han obtenido
en respuestas para diferentes valores de las ganancias pk y dk ,obteniendo un buen desempeño
En una primera simulación se utilizó 4pk y 2.1dk su respuesta se muestra de color verde e
indica mayor sobrepaso; posteriormente se incrementó 6pk y finalmente se incrementó
4dk , este ultimo muestra un muy bien desempeño en tiempo de asentamiento y sobrepaso
mínimo.
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Posicion del pendulo q
0 5 10 150
2
4
6
8
10
12Senal de control u
data1u1, kp1,kd1u2,kp2,kd2u3,kp3,kd3
u1, kp1,kd1u2.kp2,kd2u3,kp3,kd3
Fig. 8 Respuesta de Simulación para péndulo simple
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020
0.5
1Corriente en Capacitor z1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020
5
10Voltaje en inductor z2
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020
0.5
1Controlador basado en Pasividad
Fig. 9 Respuesta de Simulación para convertidor Buck
Por otro lado en la figura 9, se muestra la respuesta para el convertidor de potencia Buck, en
este caso se utilizaron los siguientes parámetros: 12[ ]E V , 10[ ]L mH , 47[ ]C F , 15[ ]R
y 9[ ]dV V , para el controlador se eligió el valor 20iR . Se ve muy buena respuesta dinámica
cumpliéndose el objetivo de regulación a voltaje deseado que inicialmente es de 9[ ]dV V y
posteriormente cambia a 7[ ]dV V .
5. Conclusiones
Se ha presentado un tratamiento corto a uno de los tópicos sistemáticos sobre el diseño de
sistemas de control que poseen la propiedad de disipación de energía. Si bien la metodología
denominada moldeo de energía (energy shaping) abordada en el presente, ha sido bastante
estudiada por la comunidad científica especialmente por Ortega, Loria , Sira-Ramirez y otros.
Un objetivo primordial del presente, es el de hacer conocer estas técnicas para el diseño de
sistemas pasivos en base a la técnica de moldeo de energía (energy shaping), su aplicación al
control de robots es abordada en el trabajo de Kelly y Santibañez. Por otro lado, ya desde 2003
en el trabajo de Ortega y Canseco se hace uso de estrategias más generales para el control de
sistemas pasivos utilizando la técnica de moldeo de potencia (power shaping) y su uso no solo
en sistemas eléctricos del tipo lineal y no lineal sino se extiende a procesos químicos y
termodinámicos [Favache, Dochain]..
6. Bibliografia
Desoer, C.A. Vidyasagar. Feedback Systems: Input-Output properties. Academic Press. New York. 1975.
Loria A. Passivity in control systems. CNRS UMR 5228 Laboratoire d’Automatique de Grenoble ENSIEG. 1998.
Lozano R., Brogliato O., Egeland and Mashke. Dissipative systems analysis and control. Comunications and Control
Engieneering Springer Verlag . London.. 2000.
Roque R.. Control Adaptivo de seguimiento de trayectoria de robots manipuladores. Tesis de grado para optar al
titulo de Licenciado en Ingenieria Electronica. Facultad de Ingenieria. Universidad Mayor de San Andres. La Paz –
Bolivia. 2002
Ortega R., Loria A., Nicklasson J., Sira-Ramirez H. Passivity based control of Euler-Lagrange Systems: Mechanical,
Electrical and Electromechanical Applications. Comunications and Control Engineering. Springer Verlag. London.
1998.
Kelly R., Santibañez V.. Control de Movimiento de Robots Manipuladores. Ed Pearson. Prentice Hall . 2003.
Khalil H. Nonlinear Systems. Second Editon Prentice Hall. 1996.
Garcia-Canseco E., Jeltsema D., Scherpen J. y Ortega R. Power-based control of physical systems two case studies.
Proceeding of the 17th World Congress The international Federation of Automatic control., July 6-11, 2008.
Dirksz D., Scherpen J.. Power-based adaptive and integral control of estándar mechanical systems. 49th IEEE
Conference on Decision ans Control, December 15-17, 2010.
Favache A., Dochain D.. Power-Shaping control of an Exothermic continnuos stireed tank Reactor. University
Catholique de Louvain, Belgium. 2009.
Jeltsema D.. Modeling and Control of Nonlinear Networks: A Power-based Perspective. PhD Dissertation Thesis.
Technische Universiteit Delft. May 2005.
Ortega R., Spong M..Adaptive motion control of rigid robots: A Tutorial. Automatica. 1989.
Vidyasagar M.. Nonlinear systems analysis. Prentice Hall. New Jersey. 1993.
Nilsson T., Perez M.. Introduction to Passivity based control of Euler-Lagrange Systems. Vaxjo University. Nov
2003
Van der Shaft A.. L2-Gain and passivity techniques in Nonlinear control. Comunication and Control Engineering.
2nd Ed. Springer Verlag. 1999.
García E. M.. Tesis Doctoral: Estrategias de Control para sistemas bilineales aplicadas a los convertidores de
potencia DC-Dc. Universidad Politecnica de Cataluña. Marzo 2000
Nota.-
El presente reporte tiene como base principal el trabajo del Prof. Antonio Loria del SUPELEC de Francia, Passivity
in Control Systems de 1998, quien me dio su autorización para la traducción al castellano de su trabajo de manera
de incentivar el estudio del control basado en pasividad en Latinoamérica.