Parte II: Análisis cuantitativo de riesgos

1) Véase Revista ABB 2/2004, págs. 66–70

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En la Parte I de esta serie sobre gestiónde riesgos1), presentamos la historia denuestro conocimiento de los riesgos e in-certidumbres e introdujimos los concep-tos básicos del proceso global de gestiónde riesgos. Resaltamos especialmente laimportancia de una adecuada cuantifi-cación de los riesgos y describimos bre-vemente el destacado papel de la teoríade probabilidades en este contexto.En el presente artículo discutimos condetalle la representación matemática delas incertidumbres y riesgos, y el tipo deinformación que se obtiene de la des-cripción cuantitativa. Dado que noexiste una sola forma de medir los ries-gos, analizamos y comparamos algunosmodos de medición usuales en los méto-dos actuales de gestión de riesgos.Por último, abordamos algunas cuestio-nes y problemas relacionados con laevaluación cuantitativa de incertidum-bres y riesgos en situaciones reales y dis-cutimos la importancia de simular esce-narios y del análisis de sensibilidad.

Incertidumbres y riesgosEn términos matemáticos, las incertidum-bres se representan como variables alea-torias, cuyo valor no puede predecirsecon exactitud. Las variables aleatorias secaracterizan por la probabilidad con queasumen sus diferentes valores. Un ejem-plo bien conocido de variable aleatoriaes el número de puntos obtenido tirandouna sola vez un dado perfecto. Este nú-mero puede ser 1, 2, 3, 4, 5 ó 6, teniendolos seis valores la misma probabilidad,1/6. Si el dado se tira muchas veces, elnúmero 6, por ejemplo, saldrá aproxima-damente en la sexta parte de las tiradas.Por consiguiente, las variables aleatoriasse caracterizan completamente por lallamada ‘distribución de probabilidad’,que especifica la probabilidad con lacual puede ocurrir cada valor posible dela variable. En el caso de variables alea-torias continuas, la distribución de pro-babilidad es una función continua, de-nominada ‘densidad de probabilidad’(véase más adelante).

Los riesgos surgen debido a las incerti-dumbres y el valor asociado a un riesgoparticular suele ser función de muchasvariables inciertas (aleatorias). A títulode ejemplo consideremos los riesgosasociados a los ingresos anuales proce-dentes de la generación y venta de elec-tricidad. En particular, si estamos intere-sados por la forma en que una reduc-ción de disponibilidad del generadorafecta a estos ingresos, las incertidum-bres relevantes son el número de inte-rrupciones del servicio eléctrico, la du-ración de estas interrupciones y el pre-cio de mercado de la electricidad en esemomento. Aplicando la teoría de proba-bilidades podemos determinar la distri-bución de probabilidad de los ingresosanuales, es decir, la información necesa-ria para estimar los riesgos correspon-dientes, suponiendo conocidas las dis-tribuciones de probabilidad de las incer-tidumbres subyacentes. (En algunos ca-

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Tutorial

Ejemplos de distribuciones de probabilidad (densidades de probabilidad):1

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

p (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

N (# Events)

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

ρ(D

)

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

D (Outage Duration )

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ρ(V

)

-5 0 5 10 15 20 25

V (Value)

Distribución de Poisson Distribución exponencial Distribución normal (de Gauss)

b) c)a)

La distribución de Poisson es un ejem-plo de distribución probabilística dis-creta, es decir, la variable aleatoria sub-yacente (número de sucesos) sólopuede asumir valores discretos (0, 1, 2,3, etc.). Sin embargo, con frecuencianos encontramos con variables aleato-rias continuas, es decir, que puedenasumir cualquier valor en un intervalodeterminado. Las propiedades de talesvariables aleatorias se describen en esecaso por la llamada ‘función de densi-dad de probabilidad’, como se ve en losejemplos de y / . La distribución ex-ponencial de se utiliza con frecuen-cia para modelizar las características ale-atorias de la duración de las interrupcio-nes o del tiempo medio entre fallos decomponentes del sistema (medido enhoras, por ejemplo). En se ilustratambién la interpretación de tales densi-dades de probabilidades: el área som-breada es igual a la probabilidad de quela duración D de una interrupción estéentre 5 y 7,5 horas. El área total por de-bajo de la curva es, por tanto, igual a launidad (la probabilidad de que la dura-ción de la interrupción tenga cualquier

1b

1b

1c1b

valor entre cero e infinito es el 100%).La densidad de probabilidad quizás me-jor conocida es la distribución normal (ode Gauss) , que representa con preci-sión la incertidumbre observada en mu-chos sistemas biológicos y técnicos. Porejemplo, la distribución de probabilidaddel valor de una cartera de activos o deun proyecto industrial suele aproximarsemucho a una distribución normal, sobretodo si depende de un número no dema-siado pequeño de variables aleatorias in-dependientes. En el ejemplo de , el va-lor medio (por ejemplo, proyecto) se su-pone que es 10 (verbigracia, 10 MUSD),y el área coloreada debajo de la curva(de menos infinito a cero) es igual a laprobabilidad de que el proyecto originepérdidas (tenga un valor negativo).En términos matemáticos, esas áreas(entre menos infinito y un valor dado V)representan la integral correspondientede la función de la densidad de probabi-lidad. La función resultante se denomina‘distribución acumulativa de probabilidad’

. Para cualquier valor de V, esta distri-bución especifica la probabilidad de queel valor (del proyecto) sea menor que V.

2

1c

1c

sos tenemos que tener en cuenta tam-bién las posibles correlaciones entre lasincertidumbres individuales.)

Distribuciones de probabilidadPara discutir la información contenidaen una distribución de probabilidad con-sideremos tres ejemplos típicos (véase

). La distribución de Poisson de serefiere al número de sucesos por perí-odo de tiempo observados en un lla-mado proceso de Poisson. Los procesosde Poisson se utilizan como modelo pre-ciso para muchos problemas prácticos,por ejemplo para describir la ocurrenciaaleatoria de averías o interrupciones enun proceso industrial, o el número deautomóviles que llegan a un cruce en unintervalo dado de tiempo. El ejemplomostrado en se basa en un númeromedio de 3 sucesos (por ejemplo, 3 inte-rrupciones al año). En este caso, porejemplo, la probabilidad de que no ocu-rra ningún suceso es del 5%, aproxima-damente igual que la probabilidad deobservar 6 sucesos, mientras que la pro-babilidad de que observemos 2, 3 ó 4sucesos es del 60% aproximadamente.

1a

1a1

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Tutorial

A partir de la función acumu-lativa de probabilidad pode-mos leer la mayor parte de lainformación requerida paracaracterizar cuantitativamentelos riesgos asociados a la na-turaleza aleatoria de la varia-ble correspondiente. Porejemplo, en hemos indi-cado los límites del intervalode confianza del 10% y del90% para la variable aleatoriaV. Estos límites nos informande que V tiene una probabili-dad del 10% de estar por de-bajo de 3,6 y una probabili-dad del 90% de estar por de-bajo de 16,4 (es decir, la pro-babilidad de que esté por en-cima de 16,4 es el 10%). Elcorrespondiente intervalo deconfianza del 80% viene dadopor tanto por [3,6 < V < 16,4].Sin embargo, las característicasmejor conocidas de una variable aleato-ria, su media µ y su varianza σ2, no sepueden evaluar generalmente a partir dela distribución acumulativa, sino que sehan de determinar con ayuda de la den-sidad de probabilidad. Para la distribu-ción de Poisson de , por ejemplo, µ secalcula sumando N·p(N) para todos losvalores de N, y σ2 se obtiene sumando(N – µ)2·p(N). En los ejemplos mostradosen y , estas sumas se sustituyen porlas integrales correspondientes.

Medida de riesgosEl propósito principal de la cuantifica-ción de riesgos e incertidumbres es ob-tener una base sólida para la toma dedecisiones. Como hemos visto, toda lainformación disponible sobre una varia-ble incierta (aleatoria) está contenida,en principio, en la correspondiente dis-tribución acumulativa (o también en sudensidad de probabilidad). Sin em-bargo, una distribución acumulativa espoco práctica para quien ha de adoptardecisiones y, por consiguiente, se nece-sitan medidas concisas de riesgos (pre-ferentemente ‘un número único’).

1c1b

1a

2

Supongamos que nos preocupa el riesgode que el valor de una cartera de inver-siones (o de un proyecto planificado)cambie en una dirección desfavorable. Lamedida más sencilla de este riesgo vienedada por la media (valor previsto) de lasposibles pérdidas. Fuera del sector finan-ciero, ésta es frecuentemente la únicamedida cuantitativa de riesgo que se es-tima. Sin embargo, la pérdida prevista essólo una de las medidas de riesgo que sehan de considerar en un proceso globalde gestión de riesgos. Dicha medida re-presenta un coste inherente a cualquieractividad comercial y afecta, por lo tanto,a los ingresos netos previstos, pero noproporciona información sobre la proba-bilidad y la magnitud de pérdidas supe-riores a las previstas. No obstante, la in-formación correspondiente es importantepara determinar el capital requerido paracubrir tales pérdidas.Medidas de riesgo que proporcionan másinformación a este respecto, por ejemplolos límites de confianza, pueden eva-luarse desde la distribución acumulativade la cantidad pertinente . Ultimamentese ha prestado gran atención al llamado

2

Valor en Riesgo (VaR) [1][2],que se ha convertido en un es-tándar de medición de riesgosde aceptación general.El valor en riesgo se definecomo la máxima pérdida pre-vista (durante un períododado) que no se excederá conuna determinada probabilidad.Por consiguiente, para definircompletamente una medidaVaR hemos de especificar elperíodo en el que se conside-ran los cambios producidos enel valor ∆V, así como la proba-bilidad α (nivel de confianza)de que una pérdida potencialno exceda el valor VaR. VaR está determinado por laecuación implícita siguiente:Prob [∆V < – VaR] = 1 – α, donde Prob se refiere a ladistribución acumulativa deprobabilidades de ∆V, que es

el cambio en el valor de la cartera o del proyecto durante un período detiempo dado. En se ilustra la defini-ción de VaR para un nivel de confianzadel 95%.El valor en riesgo ha pasado a ser unimportante instrumento de gestión deriesgos en el sector financiero. Según el‘Acuerdo sobre el Capital’ del Comité deBasilea sobre Supervisión Bancaria [3],hoy se exige a los bancos que calculendiariamente el VaR para un intervalo detiempo (período de mantenimiento) de10 días y un nivel de confianza del99%. Sin embargo, el concepto VaRjuega también un papel cada vez másimportante fuera del sector financiero yse han definido medidas análogas paradiversos riesgos de mercado, por ejem-plo, el Beneficio en Riesgo y el ValorCrediticio en Riesgo.Por otro lado, el concepto VaR tambiéntiene limitaciones. En particular, general-mente no proporciona información sobrela magnitud prevista de pérdidas superio-res al límite VaR. Aunque tales pérdidassólo se producen con una pequeña pro-babilidad (igual a 1 – α), puede ser muy

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1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Pro

b (V

alue

< V

)

-5 0 5 10 15 20 25

V

Distribución probabilística normal acumulativa (correspon-diente a la densidad de probabilidad de la Figura 1(C)).

2

Las líneas de trazos verticales indican los límites de confianza del 10 y el 90% para V.

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Tutorial

peligroso no saber ‘el daño que puedeproducirse si las cosas se ponen mal’.

Adición de riesgosLa mayoría de los riesgos de mercadodependen de varios factores inciertos.Aún suponiendo ahora que podamosdeterminar o estimar las distribucionesde probabilidad de los factores indivi-duales de riesgo, nos enfrentamos sinembargo al problema de añadir estosriesgos integrándolos en la distribuciónde probabilidad del riesgo total.Un método generalmente aplicable ycomúnmente utilizado para resolver ta-les problemas es la simulación de Mon-tecarlo. En el método de Montecarlo, ladistribución de probabilidad del riesgototal se determina utilizando una ex-tensa muestra de valores generados ale-atoriamente para los factores de riesgoindividuales. Estos valores se extraen delas distribuciones de probabilidad cono-cidas o estimadas de los diferentes fac-tores de riesgo, o directamente desdelos datos históricos correspondientes.Los métodos de Montecarlo tienen laventaja de que no es preciso suponerninguna forma específica para las distri-buciones de probabilidad individuales yque es fácil tener en cuenta las correla-ciones. Sin embargo, el método tiene el

inconveniente de que, por lo general,requiere un gran número de pasos paraconseguir una estimación razonable-mente precisa del VaR.No obstante, si estamos satisfechos conuna evaluación aproximada de la distri-bución de probabilidad del riesgo glo-bal, podemos utilizar métodos analíticossin consumir tiempo en simulaciones deMontecarlo. Un método frecuentementeutilizado se basa en el teorema del lí-mite central. Este teorema nos dice quela distribución de probabilidad de unasuma de variables aleatorias indepen-dientes se puede aproximar a una distri-bución normal si el número de variablesaleatorias independientes es suficiente-mente grande. Sin embargo, una distri-bución normal se caracteriza completa-mente mediante su media y su varianza,y para una suma de variables aleatoriasestos valores se calculan simplementesumando las respectivas contribucionesde cada uno de los términos.La aproximación a una distribución delriesgo global de un grupo de variablesmediante una distribución normal (deGauss) se ilustra en . Esta distribuciónse refiere a una suma de 10 factores deriesgo binarios, donde cada factorasume un valor 10 con una probabilidadde 0,2 y un valor 0 con una probabili-

4

dad de 0,8. En general, la ‘aproximaciónde Gauss’ es suficientemente precisapara una suma de cinco factores deriesgo, siempre que sus distribucionesde probabilidad no sean simétricas y nose requiera información muy precisa so-bre las colas de la distribución global.

Evaluación de distribuciones de probabilidadPara ciertos tipos de riesgo podemosutilizar datos históricos como base paranuestra evaluación de la correspon-diente distribución acumulativa. Este essin duda el caso de los riesgos de mer-cado, tales como los asociados a lasdivisas y a los tipos de interés. Para losbancos, el Comité de Basilea sobre Su-pervisión Bancaria establece de hechovarias normas vinculantes [3]) paramedir estos riesgos:

“El período de observación histórica(período de muestreo) para calcularel valor en riesgo deberá tener unaduración mínima de un año.”“Los bancos deberán actualizar susconjuntos de datos cada tres mesescomo máximo y deberán reevaluarloscuando cambien substancialmente losprecios del mercado.”

A modo de ejemplo, muestra un his-tograma de las variaciones relativas pro-

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0.14

0.12

0.10

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0.04

0.02

0.00

ρ(∆

V)

-15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5

∆V (Change in Value)

Ilustración de la definición de valor en riesgo (VaR) paraun nivel de confianza del 95%.

3

5 % -VaR (95%)

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0.9

0.8

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0.5

0.4

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0.1

0.0

Pro

b (R

isk

< R

)

-10 0 10 20 30 40 50 60 70

R

Función de distribución acumulativa para el riesgo global dediez factores de riesgo binarios. Comparación con la aproxi-mación mediante una distribución normal (curva continua).

4

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Tutorial

Jakob Bernasconi

ABB Switzerland Ltd.Corporate Research

jakob.bernasconi@ch.abb.com

Bibliografia

[1] see, eg, ‘Value at Risk’, by Thomas J. Linsmeier and Neil D. Pearson, Financial Analysts Journal, Vol. 56, No. 2, March/April 2000, pp. 47-67

[2] A good source for information about VaR and quantitative risk management in general is the GloriaMundi website (‘All about Value at RiskTM’):

http://www.gloriamundi.org

[3] Basel Committee Publications No. 24, ‘Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks’, January 1996,

modified in September 1997,http://www.bis.org/publ/bcbs24a.htm

ducidas en los tipos de cam-bio USD/CHF al cierre delmercado durante 1993. Parafacilitar el cálculo de los lími-tes VaR, tal histograma de da-tos históricos a menudo seaproxima mediante una distri-bución normal con la mismamedia y la misma varianza.Sin embargo, según muestrael ejemplo, esta aproximaciónsubestima los cambios muypequeños y, lo que es másimportante, los cambios muygrandes. Es bien conocidoque las distribuciones de pro-babilidad de los riesgos demercado incluyen lo que seconoce como ‘colas gruesas’,es decir, grandes cambios quese producen con frecuenciasuperior a la prevista por unadistribución normal, y existenindicios de que en algunosriesgos técnicos (por ejemplo, los apa-gones eléctricos) sucede el mismo fenó-meno. Para estimar la probabilidad deque se produzcan grandes pérdidas odaños, es importante, por consiguiente,tomar muy en cuenta estas observacio-nes.Fuera del sector financiero se puede dis-poner de datos históricos en algunos ca-sos específicos (por ejemplo, datos deinterrupciones y de rendimiento paraciertos componentes o sistemas), perocon mucha mayor frecuencia las caracte-rísticas probabilísticas de los diferentesriesgos se han de evaluar sin datos esta-dísticos fiables. Por regla general, en ta-les casos hemos de basar nuestros análi-sis principalmente en el criterio de ex-pertos. Sin embargo, los expertos gene-ralmente no especificarán los riesgos entérminos de una distribución de probabi-

lidad, sino más bien en términos de cos-tes potenciales y de la probabilidad conque se materializarán realmente estoscostes (o en términos de los efectosmínimo, más probable y máximo de unriesgo determinado). A partir de estascaracterísticas habremos de inferir mástarde, quizás con la ayuda de alguna in-formación adicional, una adecuada distri-bución de probabilidad o, al menos, unaestimación de la media y de la varianzade los diferentes factores de riesgo.

Simulación de escenariosDado que frecuentemente sólo se dis-pone de una estimación aproximada yno muy fiable de los diferentes riesgos,¿qué utilidad tiene realizar un análisiscuantitativo detallado?La mayoría de los gestores de riesgoscoinciden en que siempre es mejor dis-

poner de algunos datos cuanti-tativos que no disponer de in-formación en absoluto. Sinembargo, en situaciones en lasque sólo disponemos de esti-maciones aproximadas o supo-siciones sobre nuestros ries-gos, es evidente que tienepoco sentido realizar un análi-sis matemático muy preciso.En estos casos es mucho másimportante complementar laevaluación correspondientecon simulaciones de escena-rios. Con la ayuda desimulaciones podemos anali-zar, por ejemplo, los efectosde modelar incertidumbres ydeterminar la sensibilidad denuestros resultados respectode diferentes suposiciones.Puesto que nunca se puedeneliminar completamente las in-certidumbres propias de una

extrapolación de las estimaciones deriesgos futuros, las simulaciones de es-cenarios tiene un papel importante encualquier procedimiento de análisiscuantitativo de riesgos. Además, las si-mulaciones a menudo son la única posi-bilidad de determinar el efecto de suce-sos extremos (‘stress testing’) o, de exa-minar los efectos relativos de diferentesestrategias de defensa.El uso de simulaciones de escenarios sepresentará en la parte III de esta serie,donde ilustraremos las posibilidades ylimitaciones del análisis cuantitativo deriesgos con un proyecto industrial, ficti-cio pero representativo.

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40

35

30

25

20

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5

0

N (d

ays)

-2.8 -2.0 -1.2 -0.4 0.4 1.2 2.0 2.8

day-to-day change (%)

Histograma de los tipos diarios de cambio relativoUSD/CHF durante 1993.

5

La curva continua corresponde a la aproximación mediante unadistribución normal de probabilidad con el mismo valor medio y lamisma desviación estándar.