parte 1- cuadernillo de discusiones y aporte...

PARTE 1- CUADERNILLO DE DISCUSIONES Y APORTE TEÓRICO

Docente: Marcelo R. Esquivel

Jefe Trab. Práct:: Daniela Nichela

Aux: Fátima Francioni

Año 2014 Cursado Bimestral y Anual

Carrera del Profesorado en Educación Física

Centro Regional Universitario Bariloche (CRUB).

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE.

“Introducción a la Matemática, Física y Química”. Carrera de Profesorado en Educación Física-

Centro Regional Universitario Bariloche-(CRUB)- Universidad Nacional del Comahue.

Docente: Marcelo R. Esquivel J.T.P: Daniela Nichela Aux: Fátima Francioni

1

“Introducción a la Matemática, Física y Química”

Introducción (¡de lectura inevitable!):

Al proponer la temática y el “formato” de esta materia, nos encomtramos con la

duda de cual sería el mensaje que se quiere transmitir y si el contenido del mismo sería

entendido por sus destinatarios. ¿Creerán los alumnos, a quienes la materia está

destinada y cuya opinión es la que cuenta, que la misma consistirá en teoría y

resolución de problemas que no tienen aplicación en la Educación Física? ¿Cuál es la

idea de aprender (o repasar conceptos aprendidos en la Enseñanza Media o Polimodal)

lo que significa una “función” o “el mol” si eso “no se aplica en Educación Física”?

Bueno, si así fuera, estaríamos partiendo de un concepto tal vez erróneo: algunas

nociones de química son necesarias para el estudio del consumo calórico en la actividad

física, así como también son útilies para conocer porqué un ambiente estepario o

montañoso sin la presencia de fuentes de agua puede ser “más extremo” que uno con la

presencia de la misma. Así como también se necesita tener noción de algunos conceptos

de física para entender el porqué el jugador que sirve en un córner corto en Hockey

sobre césped coloca una de sus manos cerca de la pipa del stick y se agacha en lugar de

pegar erguido con la espalda recta con ambas manos juntas desde el lugar de la

ejecución. (Esta noción puede ser útil para enseñar este tiro luego) o porqué es necesario

comprender determinados conceptos de matemática para ser capaz de calcular cuantas

horas de caminata estimadas nos quedan para llegar al próximo refugio haciendo “reglas

de tres” y mirando la escala en un mapa.

Es ésta entonces la idea de lo que se pretende aquí: comprender (sin memorizar...

¡Por favor!), conceptos de Matemática, Física y Química, que ayuden al alumno del

curso, futuro Profesor de Educación Física, a entender los contenidos de la materia y

aplicarlos a actividades a desarrollar en el futuro.

Sin embargo, trataremos de introducir los conceptos a partir de ideas familiares y

previamente conocidas y desarrollar a partir de esta base el concepto a discutir. Este

proceso se llevará a cabo a través de discusiones, cuyos resultados se volcarán en hojas

de actividades de llenado obligatorio durante la clase. El aporte teórico, el último paso

de cada clase, servirá para despejar las dudas que no se resuelvan durante la misma.

Nuestro registro de clase será este cuadernillo, llamado de “Discusión y Aporte

Teórico” y otro de “Actividades” donde se volcarán las actividades.

Entonces, el OBJETIVO de este curso es que se comprendan y puedan aplicarse a

situaciones sencillas, dentro del ámbito de la Educación Física, los conceptos de

matemática, física y química. Habrá por supuesto, instancias de evaluación, ya que la

misma sirve tanto a quien enseña como a quien aprende.

Hecha la introducción, veremos a continuación un resumen del contenido del

curso.

Resumen del Curso :




2

Como se dice popularmente: “para saber llegar hay que tener en claro adonde ir” o sea

que describiremos el camino que recorreremos juntos, sabiendo a que sitio queremos

llegar. Dividiremos el curso en cuatro grandes módulos, que en conjunto durarán todo

un bimestre (módulo febrero-marzo) o su versión anual (módulo mayo-octubre).

En el primer módulo veremos los siguientes conceptos: Cantidad. Magnitud. Unidad.

Tipos de magnitud, forma de medir la cantidad y su relación con los conjuntos

numéricos. Medida. Concepto elemental de error. Valores precisos y exactos. Distintos

sistemas de unidades. Unidades derivadas. Diferencia

entre masa y peso. Masa atómica Masa molecular. Mol.

Magnitudes escalares y vectoriales.

En el segundo módulo discutiremos el concepto de plano

cartesiano y representación de pares de puntos en el

mismo. Funciones. Tipos de funciones y distintas

representaciones. Funciones lineales (recta) y parábola.

Cómo determinar sus coeficientes. Sistemas de

ecuaciones lineales y funciones polinómicas. Función

valor absoluto. Función logarítmica y exponencial.

Concepto de velocidad.

En el tercer módulo analizaremos los conceptos de Funciones Trigonométricas. Fuerza

de gravedad. Analizaremos sintéticamente las leyes de Newton y los conceptos de

momento y equilibrio de fuerzas. A partir de estos conceptos discutiremos cantidad de

movimiento y realizaremos análisis de las dimensiones para no equivocarnos con cada

una de ellas. Finalmente, en el cuarto módulo del curso discutiremos conceptos que nos

conduzcan a conocer los distintos estados de la materia: sólido-líquido-gas. Entender lo

que es una solución, soluto y solvente. Estableceremos en forma sencilla como se

formula una sustancia inorgánicas y cerraremos el curso con los conceptos de reacción

química, estequiometría y energía. En la medida de lo posible, realizaremos actividades

en el laboratorio.

Para dar una idea de lo que se pretende hacer en este curso, realizaremos la primera:

DISCUSIÓN (1): “EXPECTATIVAS” ¿Qué expectativas tenemos sobre este

curso?

(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).

MÓDULO 1.

RESUMEN DEL MÓDULO:

En este párrafo, haremos un pequeño resumen de lo que veremos en este módulo, el

cual nos llevará aproximadamente 2 semanas (4 clases) en su versión bimestral (período

febrero-marzo). Entre nuestro temario analizaremos: medida, cantidad, magnitud y

unidad y sistema de unidades. Luego discutiremos el concepto de error, qué significa

y cuáles son los diversos tipos de error presentes en una actividad que incluya la

medición de una magnitud (como por ejemplo…¡ el tiempo que dura una caminata!.

Conocer este concepto nos será útil para poder establecer donde estarán las posibles

fuentes de dificultades a la hora de planificar ésta o cualquier otra actividad. También




3

analizaremos los conceptos de valor preciso y valor exacto de una medición. El

módulo se completa con los siguientes temas: sistemas de unidades y unidades

derivadas. Por último analizaremos los conceptos de masa atómica, masa molecular,

mol y cerraremos la unidad con magnitudes escalares y vectoriales.

MEDICIONES -CANTIDADES –MAGNITUDES – UNIDADES.

Antes de comenzar, deberíamos preguntarnos que es lo que se hace cuando se mide.

Pero, deberíamos preguntarnos otra cosa antes: ¿Qué es una medida?

MEDIDA:

Cuando realizamos el procedimiento de “medida” lo que tratamos de hacer es otorgarle

a una magnitud (cualquiera sea ella), una cantidad (con la que obviamente está

relacionada). Para ejemplificar este punto, observemos la Tabla 1:

Tabla 1 Cantidades, magnitudes y unidades

Medida a realizar Magnitud Cantidad

Unidad

Longitud

3

metro (m)

Superficie

9

metro cuadrado (m2)

Volumen

27

metro cúbico (m3)

Otros ejemplos, de magnitudes, cantidades y unidades podemos apreciarlos en la Tabla

2.

Tabla 2. Cantidades, Magnitudes y Símbolos

Magnitud Símbolo Unidad

Masa g gramo

Tiempo s segundo

Temperatura K grado Kelvin

Longitud m metro

Intensidad de corriente

eléctrica

A ampere

Algunas magnitudes se derivan de la combinación de las anteriores. Algunos ejemplos

de estas magnitudes derivadas se muestran en la Tabla 3.

DISCUSIÓN (2): “MEDIDAS” ¿Qué es una medida?





4

Tabla 3. Ejemplos de magnitudes derivadas


Superficie m2 metro cuadrado

Volumen m3 metro cúbico

Densidad kg/m3 kilogramo por metro cúbico

Velocidad m/s metro por segundo

Fuerza N= kg.m/s2 Newton

Presión Pa=N/m2 Pascal

Entonces, durante este “proceso de asignarle a una cantidad, una magnitud”,

necesitamos “medir”. Pero...¿Quién y qué interviene en el proceso de medición?

Observemos la figura 1, donde un personaje (que tomé prestado del libro de dos colegas

*) trata de “medir” la distancia que lo separa de la otra orilla del canal.

En la figura 1, (donde nuestro personaje hace lo que puede con esa reglita), podemos

destacar algunos detalles relacionados al proceso de medición. En el mismo, se

presentan cuatro sistemas interrelacionados:

1) Lo que se quiere medir: (el ancho del río en este ejemplo).

2) El observador (“Personaje”) quien realiza “el proceso de

medición”.

3) El instrumento de medición (la regla en este caso).

4) La unidad de medida (el metro, en este caso).

Figura 1. Nuestro personaje

trata de medir la distancia

entre las dos orillas.




5

Lo que debemos rescatar del proceso de medición, es que el mismo nos lleva a obtener

una magnitud (temperatura, volumen, etc.) la cual está conformada por una cantidad

(número) y una unidad de referencia .

Aunque existen muchos sistemas de unidades, en nuestro curso utilizaremos el SI

(Sistema Internacional) y que en Argentina se denomina SI.ME.LA (Sistema métrico

legal Argentino).

Sin embargo, este proceso de “medición”: (otorgarle a una magnitud, una cantidad en

particular) lleva acaecido un “error” en sí mismo. Eso es debido a que además del

“error” del proceso de medición, los instrumentos de medición poseen “un error” , el

observador del sistema (el que mide) también aporta su “error”. Por lo cual la medición

tiene varios “errores” inherentes al sistema de medición que no tienen nada que ver con

“hacer las cosas mal”.

Antes de analizar el concepto de error realizaremos una:

Hablando de unidades, probablemente ya hemos notado que la magnitud longitud puede

tener diversas unidades tales como m (metro), cm (centímetro) o mm (milímetro). ¿Por

qué ocurrirá esto? . Para ello pensemos en el siguiente caso.

Magnitud de la medición cantidad asociada a una unidad

Ejemplo 1

“La temperatura del agua de la laguna es de 10 ºC”. En esa frase tenemos una

cantidad (10) que, si no estuviera acompañada de la unidad correspondiente

(ºC) no nos diría nada. La magnitud temperatura está asociada a la cantidad

10 y la unidad de medida es ºC.

Magnitud: temperatura

Unidad: ºC

Cantidad particular: 10

DISCUSIÓN (3): “Magnitudes, Cantidades y Unidades”


DISCUSIÓN (4): Midiendo magnitudes, determinando sus cantidades y

colocando unidades





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La respuesta más adecuada al ejemplo anterior nos sugeriría que deberíamos utilizar el

metro, porque podemos trabajar cómodamente. Esto es debido a que trabajamos con

números enteros (1 metro, 2 metros, 10 metros) y no estaríamos sumando en grandes

cantidades y con unidades pequeñas (es decir no manejamos 100 cm, 200 cm, 1000 cm)

Si bien la unidad de medida es el metro, dependiendo de la complejidad de la medida a

realizar, podemos utilizar unidades que nos resulten “más cómodas”. Para reafirmar

conceptos del tema, realizaremos una:

¿QUÉ ES EL ERROR?

No siempre el error tiene una connotación negativa típica del lenguaje común. A veces,

solo implica la carencia del instrumental necesario para desarrollar una medición de una

“mejor calidad”. Cuando llevamos a cabo “mediciones” lo que tratamos de establecer,

es cual es el valor “verdadero” (Vv) y cuán cerca estamos de ese valor, con el

resultado de nuestra medida o sea nuestro valor experimental.(Ve)

. Lo cierto es, que esta “medición del valor verdadero” lleva aparejado

intrínsecamente un error.

Para estimar cuán cerca estamos del valor verdadero, podemos definir algunos tipos de

error:

Error absoluto (Eab): Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental

Eab = Ve – Vv . En este tipo de medida, en general se toma el valor positivo (es

decir el que tenga el signo “+”).

Error relativo (Err): Es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero.

Err = (Ve-Vv)/Vv

Error relativo porcentual (Err%): Es el valor del error relativo multiplicado por 100.

Err% = Err.100 = (Ve-Vv)/Vv

Antes de llegar a determinar cuáles son los posibles tipos de errores (los cuales pueden

ser útiles para planificar actividades en deportes de precisión como Tiro. (que es una de

las dos partes en las que se divide el Biatlon , la otra es esquí nórdico) haremos una

pequeña:

Ejemplo 3 Supongamos que queremos medir una ventana para ponerla en el

marco. El valor verdadero será de 70 cm. Dependiendo de nuestra exactitud en

la medición tendremos un error asociado. Por ejemplo con una regla, nuestra

medida será: 70 0.10 cm.

Ejemplo 2

Para medir la longitud total de una soga utilizada para rapel podemos elegir

entre una regla de 20 cm, un metro de carpintería o una regla de 10 mm.

¿Cuál elegiríamos? ¿ Por qué?

DISCUSIÓN (5): Unidades y relaciones entre unidades





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TIPOS DE ERRORES: Algunos de los errores surgidos de las experiencias pueden obedecer a los siguientes

casos:

Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos son aquellos que se cometen debido a

diversas situaciones concernientes al observador o al tipo de experimento.

Errores de apreciación: Este tipo de error, se produce cuando hay que observar la

mínima división en la escala de un instrumento. Por ejemplo, la observación de la

mínima fracción en la escala de la bureta.

Errores accidentales: Se producen cuando hay fallas en el instrumento, en el

observador o en el sistema de medición.

PRECISIÓN Y EXACTITUD:

Cuando se llevan a cabo mediciones, es común que nos propongamos realizarlas una y

otra vez para ver si estamos en “lo correcto”. Pero debemos discutir dos conceptos que

muchas veces son tomados como equivalentes: precisión y exactitud.

Lo veremos en el siguiente ejemplo, donde nuestro personaje nuevamente lleva a cabo

una acción que conduce a una medida.

PRECISIÓN EXACTITUD

Figura 2. Precisión y

Exactitud

DISCUSIÓN (6): Error y aproximación al concepto de error





8

En el lado izquierdo de la Figura 2, está tratando de matar una mosca, (sin mucha

suerte), pero siempre “pega” en el mismo lugar, si bien lo que hace no es exacto, opera

con mucha precisión . Repite el golpe en el mismo lugar, aunque la mosca, valga la

redundancia... ni se mosquee. En el lado derecho, nuestro muchacho se muestra muy

hábil y, da en el blanco con exactitud sin ningún problema. Como puede deducirse,

exactitud no es lo mismo que precisión.

ESTIMACIÓN DE LECTURA Y APRECIACIÓN DEL INSTRUMENTO

Muchas veces no tenemos “el instrumental” para hacer de nuestro experimento el más

exacto, pero podemos tratar de acercarnos al valor verdadero que presenta.

Cada instrumento de medición tiene una escala cuya menor división se conoce como

apreciación del instrumento. Una probeta tiene una apreciación de 10 ml, un

termómetro de 0.1 ºC y una regla de 1 mm

Cuando, ayudado por la escala, se pueden estimar valores intermedios de la menor

división de la escala, estamos haciendo una estimación de la lectura. La estimación de

lectura más precisa que podemos hacer es aquella igual a la mitad de la menor división

de la escala.

En la figura 3 vemos a nuestro personaje calculando la apreciación del instrumento de

medida y estimando la lectura.

Durante los párrafos anteriores estuvimos analizando lo que significa medir,

diferenciamos los conceptos de cantidad, unidad y magnitud. Vimos que cantidad era

“un número” comparado a la unidad “otro número”. Comparamos diversos “números”

cuando vimos lo que significaba el error. Sin embargo ahora veremos el significado de

esos “números”

Apreciación del instrumento =

mínima división

Estimación de lectura = la mitad

de la mínima división

Figura 3. Apreciación del

instrumento y estimación de lectura

DISCUSIÓN (7): Valor Preciso y Exacto. Estimación y Apreciación-





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NUMEROS (NATURAL –ENTERO - NEGATIVO- RACIONAL –REAL)

Supongamos que tenemos una barra de azufre, la dividimos en dos partes, la dividimos

en tres partes y la volvemos a dividir en cuatro partes...¿Dónde culmina este proceso de

partir la barra? ¿Cuál es la mínima parte en la cual se puede llegar?.

En la Tabla 4 se muestra una relación entre tamaños en una recta numérica y una

relación que puede establecerse con la barra de azufre.

Tabla 4 Partición sucesiva de una barra de azufre.

Nombre Tamaño (magnitud y cantidad)

Barra de azufre 10 cm

Trozo de azufre 2-5 cm

Partícula de azufre 300 m (a la vista del microscopio común)

Molécula de azufre ¿más grande o más pequeño que el anterior?

Átomo de azufre ¿más grande o más pequeño que el anterior?

Esta sucesión de particiones, para la cual un trozo mayor es sucesivamente dividido,

puede resultarnos familiar, pues fue un tema tratado en la discusión 7. Para

ejemplificarlo podemos tomar una analogía muy interesante: la recta numérica.

La recta numérica representa todos los números reales es decir aquellos que no son

“imaginarios” . Supongamos que tenemos una “barra de azufre numérica entre 0 y 10”

cuya representación gráfica puede observarse en la Figura 4

Partimos la “barra numérica” en varios “trozos iguales” Cada trozo puede verse en la

figura 5

Figura 4

“ Barra de azufre

numérica”

Figura 5

“Barra de azufre

numérica” y los

números Naturales

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




10

Cada uno de los extremos en los cuales se cortó la barra define un número “Natural” ,

podríamos llegar a decir que son aquellos que “salieron naturalmente al contar”: 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 10.... Tomemos entonces el primer trozo...el que va del ...al 1

El nuevo “número” que apareció es el cero. Pero... ¿que pasa si vamos hacia el “otro

lado” de la recta numérica? En ese caso....

Ahora a la “recta numérica” se agregaron los números negativos. El cero, los números

negativos y los naturales definen el grupo de los números ENTEROS.

Nuevamente tomemos la figura 6 y “acerquemos el ojo” a ese trozo de la barra de

azufre.

Si subdividimos el trozo entre “0 y 1” de nuestra barra de azufre numérica, podemos

obtener sucesivas “partículas” Esas partículas son los números fraccionarios.

Figura 6

“Nuestra barra de

azufre numérica”

El cero

0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 7 Los números

negativos, el cero y

los naturales.

Figura 8

“Nuestra barra de

azufre numérica” y

los números

fraccionarios

0 1/4 1/2 3/4 1




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El conjunto de los números (enteros + fraccionarios) conforma el conjunto de

“racionales” y se llaman así porque cualquiera de ellos puede ser “racionalizado” o

expresado como una “razón” de números enteros.

Ejemplo:

El número 4 es un entero, sin embargo las siguientes “razones” también lo representan:

8/4, 100/25...etc.

Sin embargo, también hay otras “partículas” que se llaman números “irracionales” y que

también tienen su cabida en la recta numérica. Esos números no se pueden expresar

como una razón de enteros. Ellos son , 3 , etc. Observamos algunos de ellos en la

recta numérica de la figura 9.

El ordenamiento de los números racionales e irracionales sobre una línea recta define lo

que se conoce como recta numérica de los números reales.

Ahora miremos el resumen de lo analizado en la Tabla 5.

Tabla 5

Respecto de la recta numérica Respecto de la barra de azufre

Recta numérica Barra de azufre

Segmento de la recta

(Ejemplo: entre 0 y 10)

Trozo de la barra

Números enteros, cero y negativos Partículas

Fraccionarios o Racionales, Irracionales Partículas

SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS (SI )

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 9. Los

números irracionales 3




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Durante la primera parte de este curso, estuvimos hablando de medidas, magnitudes y

unidades, conceptos todos relacionados a la medición de un proceso. Sin embargo,

cuando hablamos de una medida, que da, por ejemplo, “5 m” ¿Quién dice que la regla, o

centímetro de modista/o –costurera/o (o lo que sea) “mide” 5 cm? Lo que se hace en

realidad es buscar un patrón “inamovible” , en nuestro caso, ese patrón representa una

“cantidad” igual a 1 de una “magnitud” llamada longitud que se mantiene constante y es

igual a 1 metro (1 m).

El acuerdo de unidades: el SI o Sistema Internacional de unidades

Tratando de hallar la forma de “ponerse de acuerdo” se eligió un grupo de magnitudes

llamadas fundamentales relacionadas con sus respectivas unidades,: algunas de estas

magnitudes están listadas en la Tabla 6.

TABLA 6 MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES

Magnitud Símbolo de la unidad Unidad

Longitud m Metro

Masa kg kilogramo

Tiempo s Segundo

Temperatura K Kelvin

Estas no son las únicas medidas fundamentales, también hay otras con sus propias

unidades (¡por supuesto!!!).

Estas magnitudes y unidades fundamentales han dado lugar a otras magnitudes

llamadas derivadas. La tabla 7 presenta una lista de algunas de magnitudes derivadas.

TABLA 7 MAGNITUDES Y UNIDADES DERIVADAS


Superficie m2 Metro cuadrado

Densidad kg/m3 Kilogramo por metro cúbico

Velocidad m/s Metro por segundo

Fuerza N=kg.m/s2 Newton

Presión Pa = N/m2 Pascal

Trabajo, Energía cantidad

de Calor

J= N.m Joule

Discusión Teórica:

¿Porqué es necesaria la existencia de un patrón de medidas?

¿Cuál es el patrón de medidas de la magnitud longitud?


¿El volumen es una magnitud derivada o una magnitud fundamental?

¿Sus unidades, serán unidades derivadas o unidades fundamentales?

¿Cuáles son sus unidades derivadas?¿El volumen tiene otras unidades derivadas?




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Las cantidades de las unidades: Prefijos con múltiplos y submúltiplos y

etcéteras...

Supongamos que queremos medir la distancia que media entre nuestra casa y la

universidad. ¿Qué magnitud nos conviene utilizar? Parece una obviedad... ¡hay que

utilizar la magnitud longitud!. Pero...¿Qué unidad debemos usar? ¿Es conveniente el

m, el cm, el mm? Depende del problema me dirán...si medimos la distancia que media

entre dos casas distantes a 15 km entre sí, obviamente el km es la unidad más

conveniente...¿Por qué?

Algunos de los prefijos que indican submúltiplos o múltiplos de las unidades pueden

observarse en la tabla 8

TABLA 8. PREFIJOS QUE INDICAN MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE

LAS UNIDADES

Prefijo Símbolo Factor numérico por el

que se multiplica la

unidad.

Giga- G 109

Kilo- K 103

Hecto- H 102

Unidad 1

Deci- d 10-1

Centi- c 10-2

Nano- n 10-9

El conjunto de unidades fundamentales particulares y sus correspondientes unidades

derivadas constituyen un SISTEMA DE UNIDADES. Por Ley Nacional 19511 en

nuestro país rige el SISTEMA METRICO LEGAL ARGENTINO O SI.ME.L.A . El

SI.ME.LA. está basado en el SI (SISTEMA INTERNACIONAL).

Distintas escalas para la misma magnitud

Supongamos que estamos siempre acostumbrados a comprar un litro de leche. Sin

embargo, el litro no pertenece al S.I. de medidas, pero es una unidad por todos

conocida. La temperatura también presenta ese “problema”

Si a usted le dicen que afuera “hacen 298.15 grados” ¿Usted saldría a pasear ? No!

¡Pensaría que hace mucho calor!! El punto es, es que probablemente le estén “diciendo

la cantidad de la magnitud temperatura en grados KELVIN!!!...Si usted pregunta

cuántos grados centígrados o celsius...¡le dirán que son 25ºC! ¿Pero cómo es que una

escala se transforma en la otra? Es muy fácil para saber la temperatura en grados

Celsius o centígrados utilizamos la siguiente fórmula:

Discusión Teórica

¿Por qué no es conveniente usar como unidad el cm o el mm cuando se analizó la

distancia que mediaba entre las dos casas (párrafo anterior) ?

Discusión Teórica

¿Para qué tipo de magnitudes son válidos estos prefijos?¿Cómo se convierten estos

múltiplos entre sí?




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ºC = K - 273.15

O lo que es lo mismo: “ para obtener la cantidad de la magnitud temperatura en grados

centígrados debo sumar algebraicamente la cantidad en grados Kelvin - 273.15”.

Antes de proseguir con los temas, vamos a realizar una nueva:

Magnitudes escalares y vectoriales:

Hasta ahora discutimos los conceptos de cantidad y unidad relacionados con la

magnitud y vimos que una medida quedaba completamente definida si se estipulaba la

magnitud, la cantidad y la unidad. Pero...¿Es eso siempre así? ¿Es posible determinar

una medida con sólo brindar esos datos? Veamos el siguiente ejemplo:

Antes de continuar, haremos una pequeña:

DISCUSIÓN (8): Magnitudes y Escalas.


1. Discuta el siguiente ejemplo:

Uno de sus colegas le indica que la mesa está fuera de lugar y que habría que

empujarla, sin despegarla del piso hacia un lado. ¿Es toda la información

brindada suficiente? ¿Cuál sería la siguiente pregunta que el ayudante le haría a

la persona que le solicitó la ayuda? ¿Habría más de una forma correcta de mover

la mesa?.

Agreguemos otro ejemplo más:

2. Discuta el siguiente ejemplo:

Su automóvil se descompuso. Solicita ayuda y le pide a dos personas distintas que

lo empujen “con una fuerza de 5 Newtons”. Usted se sienta en el asiento del

conductor y ambas personas empujan, sin embargo el auto no se mueve.

¿Qué información les faltó a estas dos personas?¿La cantidad, la magnitud, la

unidad? ¿Era esa información suficiente?

DISCUSIÓN (9): “Magnitudes escalares y vectoriales”.




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APORTE TEÓRICO:

Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que para quedar claramente determinadas,

necesitan que se especifique la cantidad, la unidad, la dirección y el sentido. Como

ejemplos más conocidos podemos mencionar la magnitud fuerza y la magnitud

velocidad.

Magnitudes Escalares: Son aquellas que necesitan solamente que se especifique la

cantidad y la unidad para estar correctamente determinadas. Como ejemplos más

conocidos podemos mencionar la magnitud masa, la magnitud temperatura y la

magnitud energía.

En la Figura 10, se muestra un cuadro resumen:

Antes de continuar con el programa, vamos a reforzar algunos conceptos a través de las

siguientes:

Y también podemos aprovechar la ocasión para otra:

APORTE TEÓRICO

En las hojas de discusión 10 y 11 analizamos cuatro magnitudes:

Longitud: Es una magnitud fundamental. Su unidad SI.ME.LA es el metro.

Magnitudes

Escalares Vectoriales

Ejemplos:

Masa

Temperatura

Energía

Ejemplos:

Fuerza

Velocidad

Aceleración

Figura 10

DISCUSIÓN (11): “Concepto de Área y Volumen”.

DISCUSIÓN (10): “Concepto de longitud, tiempo y velocidad”.




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Tiempo: Es una magnitud fundamental y es una magnitud escalar. Su unidad

SI.ME.LA es el segundo.

Área: Es una magnitud escalar, derivada de la magnitud longitud. Su unidad SI.ME.LA

es el m2. Debemos considerar que el cálculo del área depende de la forma geométrica

considerada. Como ejemplo, consideremos el cálculo de algunas formas geométricas

distintas que se indican en la Tabla 9.

Volumen: Es una magnitud escalar, derivada de la magnitud longitud. Su unidad

SI.ME.LA es el m3. El cálculo de un volumen depende de la forma geométrica

considerada.

Tabla 9

Forma Geométrica Nombre Fórmula para calcular el área

Cuadrado Área = a .a

Rectángulo Área = a.b

Triángulo Área = (a. b)/2

Círculo Área = . r2

a

a

b

a

a

b

a

b

b

DISCUSIÓN (12): “Repaso de Contenidos”.




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VOLVIENDO SOBRE LA SENDA DE LO ANTERIOR...

APORTE TEÓRICO*

*Mayor información sobre los tópicos tocados en este aporte, puede encontrarse en el libro

“Pasaporte a la Química Universitaria-Una articulación con la enseñanza media” cuyos autores

son Julio J. Andrade Gamboa y Hugo L. Corso. Docentes del Área Química del CRUB y sobre

el cual está construida parte de este apunte.

Si volvemos a nuestro problema (el que dejamos en la página 11) de partir la barra de

azufre en trozos cada vez más pequeños...

¿Qué es lo que puede suceder si seguimos este proceso de cortar en trozos más y más

pequeños ?.

Pueden suceder dos cosas:

Se encontró que la materia puede ser dividida hasta un mínimo, cuya mínima expresión

es el átomo. (que viene del griego indivisible , indestructible), lo que implica que la

materia es discontinua. El átomo es la mínima expresión de la materia. Esto implica

que existen átomos distintos para obtener distintas sustancias o compuestos. Lo cual nos

lleva a la siguiente discusión.

La materia puede

ser dividida en

forma infinita

La materia puede

ser dividida

hasta un tamaño

finito.

Discusión Teórica: ¿La materia puede ser infinitamente dividida?

Materia (Barra de

Azufre)

Trozo pequeño

(partículas)

Discusión Teórica: ¿Los átomos son todos iguales? ¿Todos los elementos tienen el

mismo tipo de átomo? ¿Qué propiedad podría usarse para diferenciar unos de

otros?




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Una de las propiedades que puede usarse para indicar esto es la masa. Dos átomos

distintos tienen masas distintas, por ejemplo el átomo de plomo, tiene masa distinta de

la del átomo de azufre.

Ahora nuestra próxima pregunta podría surgir para saber cuantos tipos de átomos

distintos existen. Podríamos decir, en principio que son más de cien. Este razonamiento

podríamos discutirlo mejor en:

Ahora bien, cada uno de estos átomos diferentes entre sí caracterizan lo que se llama

elemento químico. Cada uno de los elementos químicos tiene un nombre y un símbolo,

que es único para cada uno.

Algunos ejemplos se muestran en la Tabla 10.

Tabla 10. Ejemplos de elementos químicos

Elemento Símbolo

Oro Au

Azufre S

Plata Ag

Helio He

Hidrógeno H

Ahora bien, si por ejemplo, tuviéramos una caja con átomos de oxígeno como gas, y

pudiéramos extraer los átomos hasta que quedara una mínima cantidad, nos quedarían al

menos 2 átomos. Esto sucede porque algunos elementos presentan sus átomos asociados

en grupos de 2 o más. Esta asociación de más de 1 átomo se llama molécula (en el caso

de existir como tal). De otra manera, a la mínima asociación de átomos se la denomina

unidad fórmula. Ahora bien, es posible que haya moléculas compuestas por átomos

iguales y moléculas compuestas por átomos distintos. La molécula o en su defecto la

unidad fórmula es la mínima porción de una sustancia que puede encontrarse y que

mantenga las propiedades de esa sustancia. Ejemplos de distintas moléculas se

presentan en la Tabla 11.

Tabla 11. Ejemplos de moléculas, para sustancias simples y compuestas

Nº de átomos que componen

la molécula o unidad fórmula

Nombre de la

sustancia

Tipo de sustancia

3 ( 2 de Hidrógeno y 1 de

oxígeno) Agua

Compuesta (dos tipos de

átomos)

2 átomos de oxígeno Oxígeno Simple

2 átomos de cloro Cloro Simple

2 (1 de carbono y 1 de

oxígeno)

Monóxido de

Carbono

Compuesta

2 átomos de nitrógeno Nitrógeno Simple

Discusión Teórica: ¿Cuántos átomos diferentes conoce? ¿Sabe si tienen otro

nombre? ¿Cuál es la diferencia entre átomo, molécula y sustancia?

Discusión Teórica: ¿Pueden dos elementos diferentes tener símbolos o nombres

iguales? ¿Porqué sería o no sería posible?




19

La representación simbólica de la molécula o de la unidad fórmula de una dada

sustancia se denomina FÓRMULA QUÍMICA. La fórmula química nos indica dos

cosas: (ver diagrama al pie)

Aunque en general no se coloca en la fórmula, en muchas situaciones es posible que una

sustancia dada se presente en más de un estado de agregación: sólido, líquido o gas.

Estos estados se representan con (s), (l) y (g), respectivamente.

Cantidades Químicas: Masa Atómica – Masa Molecular -Mol

Una molécula de oxígeno, está representada por su fórmula O2, la cual nos dice que la

molécula (asociación de átomos) está formada por 2 átomos de oxígeno. Si tuviéramos

un tubo lleno de O2 (oxígeno en la forma gaseosa) podríamos considerar que tenemos

un número N de moléculas (un número muy grande). ¿Cómo podríamos hacer para

medir la masa de cada molécula.? En principio, podemos considerar que la masa de N

moléculas (donde N es un número) es igual a la masa de una molécula multiplicada por

el número de moléculas, de acuerdo a la siguiente ecuación:

N.m O2(g) = M

donde M es la masa total considerada y m O2(g) es la masa de cada molécula. Ahora

bien, las moléculas son extremadamente pequeñas, y también lo son sus masas,

obviamente lo mismo ocurre con los átomos. Entonces en lugar de trabajar con los

Cantidades de Masa Absolutos, (los verdaderos) se trabaja con Cantidades Relativas.

La respuesta es que es un sistema más sencillo de trabajo. Para simplificar este análisis

se elige un átomo (el más liviano o alguno en particular) y las masas del resto de los

elementos se comparan con la masa de éste. Como ejemplo se muestran las MAR

(masas atómicas relativas) de algunos elementos en la Tabla 12. En cualquier tabla

periódica puede encontrarse las Masas Atómicas Relativas de todos los elementos.

FÓRMULA QUÍMICA

QUE ATOMOS

ESTÁN

INVOLUCRADOS

CUANTOS ATOMOS

ESTÁN

INVOLUCRADOS

Discusión Teórica: Supongamos que tenemos la siguiente fórmula CH4. ¿Es

posible qué átomos y cuántos átomos están involucrados en la molécula. ¿Es una

sustancia simple o compuesta?

Discusión Teórica: ¿Porqué cree que se trabaja con masas atómicas y masas

moleculares relativas en lugar de trabajar con masas absolutas?




20

Tabla 12. Masas Atómicas Relativas (MAR)

Elemento MAR (Masa Atómica Relativa)

H 1

O 16

Na 23

N 14

Fe 56

Con los datos que hasta ahora tenemos no podemos establecer el valor verdadero de las

masas estudiadas, sólo sabemos el valor relativo.

Entonces para relacionarlos podemos definir la unidad de masa atómica (uma) como la

masa de un átomo de Hidrógeno. El valor de una uma es:

1 uma = 1, 66 x 10-24

g.

Lo cual nos da una idea de los valores verdaderos de las masas atómicas.

A partir del concepto anterior de MAR (Masa Atómica Relativa) es posible definir

entonces la Masa Molecular Relativa (MMR), ya que la suma de las masas de cada

elemento contenido en una molécula será igual a la masa molecular. Como ejemplo

podemos citar:

Masa Molecular Relativa de H2O = 1 x 2 átomos de H + 16 x 1 átomos de O = 18.

Masa Molecular Relativa de CO = 12 x 1 átomo de C + 16 x 1 átomo de O = 28.

Nota: Hace algunos años, se había elegido la masa del átomo de H como la masa de

referencia, pero esa referencia fue cambiada hace años atrás por la masa representada

por la doceava parte de la masa del isótopo de C12.

Ahora bien, así como la masa atómica relativa es utilizada para trabajar “cómodamente”

sin necesidad de utilizar números muy pequeños (del tipo de 1,66 x 10-24

g). Para

trabajar con cantidades de átomos en lugar de utilizar el valor verdadero, (que es un

número muy grande) se eligió trabajar con un valor mayor que representa una cantidad

dada de átomos. Este valor es el mol

1 mol = ( 1 g/ 1, 66 x10 –24

g ) = 6, 022x 1023

átomos

El mol es una CANTIDAD , tanto como lo es la docena (12 unidades ) o el maple (30

unidades).

Para fijar los conceptos discutidos, haremos una discusión:

DISCUSIÓN (14) ): “Conceptos de química”




21

MÓDULO 2.


En este módulo discutiremos los siguientes conceptos: Plano cartesiano.

Representación de pares de puntos en el plano cartesiano. Concepto de Vector. Módulo

y dirección de un vector. Concepto de Función. Función lineal y determinación de sus

coeficientes. Parábola y determinación de sus coeficientes. Sistemas de ecuaciones

lineales 2 x 2. Función valor absoluto. Función logaritmo y Función Exponencial. Como

venimos haciendo en el primer módulo, realizaremos discusiones sobre cada tema en el

cuadernillo correspondiente.

APORTE TEÓRICO

Plano de ejes ordenados (Cartesiano).

Tomemos dos ejes (líneas rectas) y coloquémoslos perpendicular uno con otro sobre un

plano determinado. (Figura 11). El todo resultante se denomina plano de ejes ordenados

o cartesiano. Convencionalmente, al eje horizontal se lo denomina eje de abcisas y al eje

vertical eje de ordenadas. Denominemos a las variables de cada eje como (“x”) e (“y”)

(aunque podrían llamarse de cualquier otra forma). El eje donde se sitúan los valores de

las (“x”) se denomina el eje de abcisas y el eje de las (“y”) se denomina eje de

ordenadas. El punto definido, por el cruce entre ambos ejes, se denomina origen.

Representación de puntos en el plano cartesiano.

Para tener una representación de los puntos en el plano cartesiano, debemos dar dos

datos: (abcisa, ordenada) . El primer dato nos permite situarnos en el eje de abcisas y el

segundo en el eje de ordenadas.

Ejemplo: (Figura 12).

El punto (4, 5) y el punto (-4, -5) son representados en el plano cartesiano de la figura

12.

Figura 11

Abcisas (eje “x”)

Ordenadas (eje “y”)

Origen (0, 0)




22

Para verificar conceptos y discutir posibles dudas, vamos a realizar dos:

Concepto de Vector.

Podemos representar un vector como una diferencia entre dos puntos. El extremo del

vector se indica por una flecha y el origen por un punto. En la Figura 12, se muestra el

ejemplo de dos vectores:

Origen: punto (0,0) y extremo punto (2,2)

Origen: punto (0,0) y extremo punto (-3,3)

La diferencia entre ambos también le otorga sentido y dirección al vector. Cualquier

magnitud relacionada con un vector (magnitud vectorial) necesita para ser claramente

definida: la cantidad, la unidad, la dirección y el sentido.

(-3,3)

(2,2)

(0,0)

(4,5)

(-4,-5)

Figura 12

Discusión (14): Plano cartesiano y representación de puntos

Discusión (15): Aplicaciones en el plano cartesiano




23

El módulo (la cantidad) de un vector está dado por la siguiente fórmula:

V= )()( 21

2

21

2

yyxx

donde (x1,y1) es el punto origen y (x2,y2 ) es el punto extremo.

Mientras que la diferencia entre esos dos puntos (punto extremo – punto origen) define

la dirección y sentido. Como se muestra a continuación:

reo = (x2, y2) – (x1, y1)= (x2-x1); (y2-y1)

Como ejemplo de lo anterior, podemos realizar los cálculos de los vectores que se

muestran en la Figura 12.

Punto origen Punto extremo Módulo Dirección y sentido

(0,0) (2,2) 8 (2,2)

(0,0) (-3,3) 18 (-3,3)

Concepto de Función:

En el módulo anterior se discutió el concepto de números reales. Veremos ahora el

concepto de función relacionado con esta clase de números. Podemos empezar diciendo

que existen relaciones entre dos conjuntos numéricos en las cuales los elementos del

primer conjunto se relacionan con un único elemento del segundo conjunto. Cuando se

establecen relaciones de este tipo, éstas se denominan relación funcional o función.

Nosotros trabajaremos con funciones cuyo dominio y recorrido (algo así como el

conjunto de números del cual se parte y al cual se llega, respectivamente) son conjuntos

de números reales.

Podemos definir la función de la siguiente forma:

f: / x : f(x) = expresión de x.

(la frase arriba se lee “ f es una función real de variable real en la cual a cada x

correspondiente a los reales, le corresponde un valor dado por una “expresión de x” .

Como ejemplo (más simplificado) podemos asignar el siguiente:

f(x) = x.

donde a cada y (representado por f(x) le corresponde el valor de x considerado. Esto es:

Discusión Teórica: Si se invierten los órdenes de los dos puntos...¿ se mantienen

la dirección y el sentido invariantes en el vector ?

1

2

11

1

2

11 Figura 13

Discusión (16): Concepto de vector.




24

Lo cual nos lleva a la siguiente:

Función lineal:

f: x a.x + b; que se puede expresar como: f(x) = y = a.x + b. En esta función, el

valor del coeficiente b se corresponde con el punto donde la recta corta el eje de las

ordenadas, mientras que la pendiente de la curva se corresponde con el valor de a.

Como ejemplo, se muestra la figura 14, donde se indican los elementos

correspondientes a esta recta.

y = 4/3.x + 2

Discusión Teórica: ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones?

¿Por qué?

1) 2) 3)

Ordenada = 2 Pendiente = 4/3

3

4

Figura 14




25

Ejemplos de función lineal:

Número de recta Ordenada Pendiente Expresión de la recta

1 2 -1 y = -1x + 2

2 -2 2/4 y = 2/4.x - 2

3 -3 0 y = - 3

Para despejar dudas y afirmar conceptos realizaremos una:

Función valor absoluto:

Esta función está definida por los siguientes valores:

f(x) = y = x donde el módulo representa el valor positivo de cualquier x perteneciente

a los reales.

Ejemplos del concepto de módulo de un número. El módulo está relacionado con la

distancia de ese número al origen, por lo tanto, el valor es siempre positivo.

Figura 15

Recta 1

Recta 2

Recta 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Discusión (17): Concepto de Función y Función lineal.




26

La distancia entre el valor –4 y el O es 4 , así como la distancia entre el valor 4 y 0 es 4,

entonces la distancia de cualquier número al origen se define como el módulo. Por lo

tanto, la función módulo de x se define como:

f(x) = x, donde cada x tiene su valor respectivo de módulo, el cual está caracterizado

por su valor positivo. Como ejemplo, se puede ver esta función en la Figura 15.

Función cuadrática: (Parábola).

f: x ax2 + bx + c para a 0. (consideremos que a todos los coeficientes pertenecen

al conjunto numérico de los reales).

¿Cómo sería la gráfica de esta función?

De acuerdo a los signos y a los valores de los coeficientes (a, b y c) podemos deducir

cómo es la gráfica de la ecuación que define la función cuadrática.

Figura 16

y = x

Discusión Teórica: De acuerdo a la función valor absoluto de x: ¿ Cuáles son los

valores de esta función para x = -3 y para x = 3 ?




27

Coeficiente* Relación con Signo

a Amplitud y dirección de las

“ramas”

+ (ramas “arriba”)

- (ramas “abajo”)

b Posición en el eje de abcisas + y – (desplazamiento en x)

c Posición en el eje de ordenadas + y – (lugar donde corta a “y”)

* (siempre con el coeficiente a positivo y el signo de y positivo).

Se muestran algunos ejemplos a continuación:

y = 2 x2 – 1 (se indica en la Figura 16 como parábola 1)

y = - 2 x2 + 1 (se indica en la Figura 16 como parábola 2)

Funciones del tipo polinomio

Hasta ahora hemos visto dos tipos de funciones polinómicas: la función lineal, donde el

polinomio es de primer grado (la mayor potencia que tiene la función) y la función

cuadrática, donde el polinomio es de segundo grado (donde la mayor potencia que tiene

Parábola 1

Parábola 2

Figura 17




28

la ecuación es al cuadrado). Existen también otros tipos de funciones donde la relación

funcional tiene mayores órdenes de reacción. Este tipo de relación funcional está

definido por la siguiente expresión:

f: x anxn +a n-1x

n-1+.....+ a0

donde los coeficientes an, a n-1, a n-2 …, a0 son números reales y la variable “x” está

elevada a distintos valores naturales (n, n-1, n-2, etc.)

Para despejar dudas y discutir conceptos vamos a realizar una:

Además de las funciones discutidas previamente, existe otros muchos tipos de funciones

que pueden ser no muy conocidas. Estas son las funciones logaritmicas y exponenciales.

FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

La gráfica correspondiente a la función logaritmo neperiano se muestra en la figura 18.

Debemos notar que, a diferencia de las funciones que analizáramos previamente, esta

función no está definida para valores reales de X iguales o menores que 0. (no es

posible, por ejemplo, obtener el valor de “y” para x=-0.6. En la misma figura, se

muestra la función de logaritmo decimal. Al igual que en el caso anterior, la función no

está definida para valores de “X” menores o iguales a 0.

Discusión (18): Función Cuadrática y Concepto de función polinómica.




29

Entre otras funciones útiles para distintas aplicaciones de la Educación Física es la

funcion exponencial, cuya gráfica se muestra en la Figura 19.

A diferencia del tipo de función anterior, esta función está definida para valores

negativos de X sin embargo no da como resultados valores negativos de y, es decir no

hay ningún valor de “x” en base e que nos de algún “y” con signo negativo. De la

gráfica de la Figura 19 es posible observar que a medida que el valor de “x” tiende a ser

más y más negativo (que va hacia la izquierda) el valor de la función tiende a ser cero.

Para clarificar el tema, haremos una:

Discusión (19): Función Exponencial y logaritmica.




30

MÓDULO 3.


En este módulo discutiremos los siguientes conceptos: Sistemas de ecuaciones lineales

2 x 2. Concepto de velocidad y aceleración. Relaciones trigonométricas (seno , coseno,

tangente) en un triángulo rectángulo. Determinación de una de las incógnitas teniendo a

las demás como dato. Además veremos:

Primera Ley de Newton. Segunda Ley de Newton. Concepto de Fuerza. Tercera Ley de

Newton. Descomposición de una fuerza en sus componentes. Análisis dimensional para

relacionarlas. Momento de una fuerza. Como hiciéramos en los dos módulos anteriores,

realizaremos discusiones sobre cada tema en el cuadernillo correspondiente.

APORTE TEÓRICO

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 x 2.

Antes de discutir el tema: trataremos de ponernos de acuerdo sobre qué se discute a

través de la discusión de los siguientes casos:

CASO 1:

En la hoja de actividades y en la figura 18, usted tiene a su disposición un mapa de la

zona “Laguna Oscura-Paso de las Nieves. Los lugares de interés están señalados por

puntos. El mapa presenta un cuadriculado, para facilitarle la tarea.

Suponga que tiene dos grupos de excursionistas:

El primer grupo debe recorrer la senda que tiene la siguiente expresión: 2x + 2y = 4

Si se marca la senda se podrá observar que “recorrido” puede llegar a hacer este grupo.

Para este fin, utilizando la hoja de actividades y como ejemplo la Figura 20, puede

determinar en el mapa cuáles de los siguientes puntos visita este grupo:

Montaña gris (5,3)

Valle perdido (-2,4)

Refugio negro (1,3)

Río Azul (2,0)

y

x

2x + 2y = 4 Figura 20




31

Acá podemos detenernos, mirar la ecuación de la senda y realizar una:

Ahora tenemos un segundo grupo de excursionistas (GRUPO 2), cuya senda tiene la

siguiente ecuación: x – y = 2.

Nuevamente, marcando la senda en el mapa que se muestra en la Figura 21, podemos

ver el “recorrido” que hace este grupo. Utilizando la hoja de actividades, responder:

¿Cuáles de los siguientes puntos visita este segundo grupo?

Montaña gris (5,3)


Refugio Negro (1,3)

Río Azul (2,0)

Este es un buen momento para detenernos y llevar a cabo una:

CASO 2

Suponiendo que el GRUPO 1 tiene el mismo recorrido que el caso anterior, pero en

cambio el GRUPO 2 camina por una senda cuyo recorrido tiene la siguiente expresión:

2x + 2y =8. Ambas ecuaciones se muestran en la Figura 22.

¿Cuáles de los siguientes puntos visita el grupo 2?

DISCUSIÓN TEÓRICA:

¿Le es familiar este tipo de ecuación?

¿Qué representa esta ecuación en el plano de las variables x e y ?

¿A qué potencia están elevadas las variables x e y ?


¿Con cuántas rectas trabajó en este caso?

¿Existe uno o más puntos donde ambos grupos pueden encontrarse?

Si existe, indicar cuál es:

x

2x + 2y = 4

x - y = 2

y

Figura 21




32

Montaña gris (5,3)


Refugio Negro (1,3)

Río Azul (2,0)

Aprovechando que los excursionistas se han tomado 5 minutos de descanso,

aprovecharemos para realizar una:

CASO 3

Suponiendo que el GRUPO 1 tiene un recorrido cuya expresión es igual a los casos 1 y

2, pero en cambio el GRUPO 2 tiene una senda cuyo recorrido tiene la siguiente

expresión: x + y = 2, las cuales se muestran en la Figura 23

Indicar cuáles de los siguientes lugares visita el grupo 2.

Montaña gris (5,3)


Refugio Negro (1,3)

Río Azul (2,0)


¿Existe un punto donde ambos grupos pueden encontrarse?

¿Con cuántas ecuaciones que representan una recta y con cuántas variables se

trabajó en este caso?

¿Qué relación tienen entre sí las rectas que representan a cada recorrido en este

caso?

x

2x + 2y = 4

2x + 2y = 8

y

Figura 22

x1

2x + 2 y = 4

x + y = 2

Figura 23




33

Ha llegado entonces, el momento de una nueva:

3- PUESTA EN COMÚN DE LOS CASOS Y DISCUSIÓN: (Resolución Gráfica y

Numérica)

CASO 1:

Senda que recorre el grupo 1 2x + 2y = 4 (toca Valle perdido y Río azul)

Senda que recorre el grupo 2 x - y = 2 (toca Río Azul y Montaña Gris)

En este caso ambas ecuaciones representan rectas, ambas variables están elevadas a la

primea potencia. Existen 2 variables. La intersección de cada recta se produce en un

punto (Río Azul).

Este sistema puede ser resuelto en forma numérica despejando la misma variable de

cada ecuación:

I) y = 2 - x

II) y = x - 2

Igualando I y II y despejando x1 de la expresión resultante, obtenemos el valor de esta

última:

x = 2

Reemplazando este valor en I o en II podemos obtener x. x = 0

Este punto, (2,0) es común a ambas rectas y es el punto intersección. En el mapa este

punto es Río Azul.

CASO 2:


Senda que recorre el grupo 2 2x + 2y = 8 (toca Refugio Negro)

En este caso se trabajó con dos ecuaciones y con dos variables. No existen puntos donde

ambos puedan encontrarse, son rectas paralelas.

En este caso, por un procedimiento análogo al anterior, la resolución numérica nos

muestra que:

DISCUSIÓN TEÓRICA: ¿Existe algún punto en el diagrama en el cuál ambos grupos coincidan?

¿Con cuántas ecuaciones y cuantas variables se trabajó en este caso?

¿Qué relación tienen entre sí, las rectas que representan el recorrido de cada

grupo?




34

I) y = 2 - x

II) y = 4 - x

No existe ningún valor de y , que verifique simultáneamente ambas ecuaciones, lo que

puede observarse en el gráfico del caso 2 donde las rectas descriptas por ambas

ecuaciones son paralelas.

CASO 3


Senda que recorre el grupo 2 x + y = 2 (toca Valle perdido y Río azul)

Ambas rectas coinciden por lo cual tienen infinitos puntos en común, se trabajó con dos

variables y 2 ecuaciones.

Si en este caso realizamos un tratamiento igual al anterior, podemos observar que:

I) y = 2 - x

II) y = 2 - x

Cualquier valor elegido para x verifica ambas ecuaciones, ya que describen la misma

recta.

APORTE TEÓRICO

Aunque no me extenderé mucho ni agotaré aquí el tema de sistemas lineales, debo decir,

para información propia y de todos ustedes, que los sistemas lineales poseen una

estrecha relación con las transformaciones lineales, sin embargo, su tratamiento

riguroso exige formalismos más allá del alcance de este curso. Una explicación más

detallada que involucra el formalismo de definir sistemas de ecuaciones lineales sobre la

base de su estrecha relación con las transformaciones lineales y un detallado análisis de

los espacios de soluciones de sistemas homogéneos puede hallarse en la bibliografía.

Entonces, en este sencillo esquema de aprendizaje definiremos que una ecuación lineal

es de primer grado, si sólo se incluyen las potencias de primer orden de las variables.

(las potencias superiores no están presentes) y que el proceso de obtención de los

valores de las incógnitas se llama resolución de la ecuación.

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener n ecuaciones y m incógnitas, de forma

general lo podemos presentar como:

a11 x1 + a12 x2 + .... a1m xm = b1

. .

. .

. .

an1x1 + ................+ anm.xm. = bn




35

donde los anm, representan los coeficientes que acompañan a las m incógnitas y los bm

son los términos independientes de cada una de las n ecuaciones.

El alcance de este curso, se cierra para sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2, es decir,

de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, lo que nos conduce a trabajar con sistemas del tipo:

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Y nuestro interés en los mismos reside, en que muchos sistemas físicos y químicos

involucran el tratamiento de dos ecuaciones cuyas incógnitas (a resolver) son comunes a

ambas ecuaciones. Para cerrar el tema, haremos una:

Concepto de velocidad:

Supongamos que tenemos la siguiente función, que se muestra en la Figura 24. En el eje

de ordenadas representamos distancia y en el eje de las abcisas tiempo.

En la gráfica, se representa el tiempo recorrido por un grupo de excursionistas en

función de la distancia. Conociendo ya , por haberlo discutido en clase, podemos

elaborar la siguiente:

Discusión (20) : Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 x 2.

longitud, km

Tiempo (h).

Figura 24

Discusión Teórica: ¿Es una función, la representación de la figura 24?

¿Qué coordenadas tiene el punto de partida? ¿Cuál es el punto más

alto?




36

A partir de los datos del gráfico, podemos calcular la velocidad con la que se realizó

esta caminata.

El primer tramo se realizó entre los puntos (0,3) y (3,7). Podemos calcular el tiempo

recorrido como una resta en el eje de las abcisas: (3h –0h) = 3h. También podemos

calcular la distancia que se recorrió en el tiempo, como una resta en el eje de las

ordenadas: (7 km –3 km) 4 km. Conociendo que la velocidad es una magnitud derivada

y que se deriva del cociente de la longitud y el tiempo, podemos calcular la velocidad

con la que se realizó este primer tramo:

(y2 – y1)/(x2 – x1) = (7 km – 3 km)/(3 h – 0 h)= 4/3 km/h.

Con esta velocidad, se recorrió el tramo 1. Calculamos para los otros dos tramos:

Tramo Punto de

origen del

tramo

Punto

final del

tramo

Tiempo de

recorrido (eje x)

Longitud

Recorrida (eje y)

Velocidad:

1 (0 ,3) (3,7) 3h –0h = 3 h 7 km –3 km = 4 km (4/3) km/h

2 (3,7) (6,5) 6h –3h= 3 h 5 km –7 km= -2km (-2/3) km/h

3 (6,5) (13,5) 13h-6h= 7h 5 km – 5 km = 0 km 0 km/h

Para analizar la situación haremos la siguiente:

Podemos notar que cada tramo tiene un significado diferente:

El primer tramo implica que se recorre el terreno con una velocidad constante de 4/3

km/h. En el segundo tramo, lo que se observa es que si la velocidad es constante pero

negativa, las personas van en sentido contrario a la de la subida y en el tercer tramo, lo

que se observa es que las personas se detuvieron.

Concepto de aceleración:

Durante los 2 módulos anteriores discutimos diversos aspectos de la velocidad, vimos

que era una magnitud vectorial, analizamos sus unidades y sus cantidades. También

discutimos que la velocidad era una magnitud derivada de otras dos magnitudes

fundamentales: la longitud y el tiempo. Analizaremos ahora una magnitud derivada de

las magnitudes velocidad y tiempo: la aceleración.

Para ello utilizaremos el gráfico de la Figura 25.

En la gráfica se muestra una función (¿es cierto que esta gráfica define una función?).

En la gráfica se muestra la velocidad de un caminante en función del tiempo.

Consideremos lo que sucede en los diversos tramos que se muestran en la Figura 25.

Debemos prestar atención a las magnitudes que se grafican en cada uno de los ejes. En

Discusión Teórica: ¿Cuál es el significado de los números en cada tramo? ¿Es

la velocidad un vector? ¿Qué tipo de magnitud es (derivada, fundamental,

escalar, vectorial ) ?

Discusión (21) : Concepto de velocidad.




37

el eje de las abcisas se grafica el tiempo. En el eje de las ordenadas se grafica la

magnitud velocidad.

Calculemos para cada uno de estos tramos, la magnitud aceleración.

Tramo Punto de

origen del

tramo

Punto

final del

tramo

Tiempo velocidad (m/s) Aceleración:

1 (0 ,4) (3,7) 3s –0s = 3s 7 m/s – 4 m/s = 3 m/s 3 /3 (m/s2)

2 (3,7) (7,7) 7s –3s= 4s 7 m/s – 7 m/s = 0 m/s 0 (m/s2)

3 (7,7) (13,0) 13s-7s= 6s 0 m/s – 7 m/s = -7 m/s (-7/6) (m/s2)

Cada uno de los tramos en esta gráfica, también tiene su significado. En el primer

tramo, la aceleración es constante (es decir que el caminante aumenta su velocidad a

cada intervalo de tiempo), mientras que en el segundo la aceleración es cero o lo que es

lo mismo, la velocidad es constante. Mientras que en el último tramo, la aceleración

tiene signo negativo, o lo que es lo mismo, el caminante va “frenando” o disminuyendo

su velocidad conforme el tiempo transcurre.

Podemos indicar entonces que la aceleración es una magnitud. Como necesitamos los

datos de cantidad, unidad, dirección y sentido para definirla, la aceleración es una

magnitud vectorial.

Para repensar conceptos y re-discutir ideas, podemos realizar la siguiente:

Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en la Educación Física

Velocidad

(m/s)

tiempo (s)

Discusión (22) : Concepto de aceleración.

Figura 25




38

Supongamos que tenemos el siguiente mapa de refugios del parque nacional “Lago

Helado” que se muestra en la Figura 26.

Considerando que los refugios de Villa Helada, Costa Linda y Lado Sur definen un

triángulo rectángulo. Si sabemos que la cuadrícula está formada por cuadrados de 2 km

de lado. ¿Cómo podríamos saber la distancia que existe entre el refugio Lado Sur y el

refugio Villa Helada?.

Para ello deberíamos conocer algunas relaciones que se dan en un triángulo rectángulo.

Fijémonos en el triángulo abc, definido por los vértices a, b y c de la Figura 27. Este

triángulo tiene un ángulo llamado “angulo ”. El lado definido por el segmento a-b se

llama cateto adyacente. El lado definido por el segmento a-c se llama hipotenusa. El

lado definido por el segmento b-c se llama cateto opuesto. Es posible (no lo

demostraremos aquí), definir las siguientes relaciones:

senb c

a( )

c, cos

a

a( )

b

c, tg

b c

a b( )

.

Es también posible definir (no lo demostraremos aquí), que :

seg(a c) (seg (a ) + (seg(b c)) 22

b) . Esta relación, establecida por Pitágoras y que

se conoce como teorema de Pitágoras, es muy útil para calcular uno de los lados

teniendo como datos los otros dos. Junto a las relaciones previamente establecidas,

Villa Helada

Lado Sur

Costa Linda

Brazo Norte

Zona de reserva

natural estricta

Figura 26 Parque Nacional

“Lago Helado”




39

hace posible resolver muchos problemas que se pueden presentar en el campo de la

Educación Física.

A partir de estas relaciones, es posible estimar la distancia buscada. En el caso

analizado, sabemos que

Lado Costa Sur-Villa Linda = lado ab = 2 km.

Lado Costa Linda-Villa Helada = lado bc = 2 km.

Para calcular el lado restante utilizamos las relación de pitágoras.

Lado Sur - Villa Helada (Lado Sur -Costa Linda) + (Villa Helada -Costa Linda)22

Lado Sur - Villa Helada (2 km) + (2 km)22

Lado Sur - Villa Helada 8km

Para clarificar los conceptos, haremos una:

Discusión (23) : Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en Educación

Física.




40

El movimiento y la Primera Ley de Newton:

Todos alguna vez hemos viajado en un colectivo (el 70 por ejemplo), y notamos que

cuando el colectivo frena, nuestro cuerpo tiende a “seguir de largo”. O cuando estamos

en estado de reposo (mirando la tele, por ejemplo), nos cuesta “abandonar” ese estado

para “movernos”. Esa tendencia natural a permanecer en ese estado “previo”, se

denomina INERCIA (que en pocas palabras significa “tiende a no reaccionar o a

mantener el estado anterior”).

Newton fue uno de los primeros en establecer este principio, el que denominamos

Primera Ley de Newton.

La masa y la segunda Ley de Newton:

Supongamos que tenemos dos esferas en reposo de masa m1, y de masa m2 donde m1

y m2 es la masa de cada esfera en kg (¿es la masa una magnitud?).

Ambas esferas se indican en la Figura 28. Si a cada esfera se la empuja con una fuerza

F, igual en ambos casos, las esferas sufrirán un “cambio en la velocidad” ( pasarán del

estado de reposo al estado de movimiento) o lo que es lo mismo se acelerarán. Cada

esfera sufrirá una “aceleración” proporcional a la fuerza aplicada. Esta proporcionalidad

está dada por la masa de cada esfera.

Entonces, este cambio puede ser definido de la siguiente manera.

“Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de se mueve en línea recta (en un

movimiento rectilíneo y uniforme), a menos que sobre él actúe una fuerza que lo

obligue a cambiar de estado”

Discusión Teórica: ¿Conoce ejemplos de esta ley?

m1

m2

F

F

m1

m2

Figura 28

F = m.a

Produce una

aceleración




41

O lo que es lo mismo, la Fuerza es directamente proporcional a la aceleración. La

constante de proporcionalidad se denomina masa.

La Tercera Ley de Newton o el principio de acción y reacción:

Esta ley puede enunciarse de la siguiente manera: cuando un cuerpo ejerce una fuerza

sobre otro, éste ejerce una fuerza sobre el primero igual y contraria.

Para ejemplificarla, miremos la Figura 29. En esta figura, se muestra una esfera de masa

m1, cuyo peso ejerce una fuerza sobre el piso, igual y contraria que la que el piso ejerce

sobre el cuerpo.

Composición de Fuerzas utilizando un método gráfico:

Supongamos que sobre el cuerpo 1, actúan las fuerzas F1 y F2. (Figura 30). La fuerza

resultante que actúa sobre el cuerpo es la “suma” de ambas fuerzas. Esta “suma” puede

hacerse gráficamente de la siguiente manera:

Por cada extremo de los vectores que definen las fuerzas 1 y 2, se hacen pasar rectas

paralelas (en línea de puntos) a la otra fuerza (Figura 31). La fuerza resultante del

proceso, es aquella indicada por trazos gruesos.

Discusión Teórica: Si la fuerza es una magnitud vectorial...y la aceleración es

una magnitud vectorial...Cuando se ejerce una fuerza, la aceleración se

produce en el mismo sentido y dirección o en sentido y dirección distintos?

m1

piso

Figura 29

Cuerpo 1

F2

F1 Figura 30




42

Análisis Dimensional:

Como hemos visto, (repetidamente) durante estos tres módulos, cada magnitud tiene

asociada una cantidad y unidad (si es una magnitud escalar) o tiene asociados una

cantidad, unidad , dirección y sentido (si es una magnitud vectorial). Una manera de

darse cuenta de que magnitud y de qué unidades estamos hablando es a través del

análisis dimensional. Esto es: miramos las unidades para decidir que magnitud tenemos.

Ejemplo:

La velocidad es igual al cociente entre la longitud y el tiempo. Entonces las unidades de

velocidad estarán dadas en unidades de longitud divididas las unidades de tiempo.

Velocidad = , unidades

Fuerza = masa. aeleración , unidades kg. (N)

Para discutir ideas, clarificar conceptos y resolver dudas, vamos a hacer una:

Otras aplicaciones de Trigonometría en Educación Física (Composición de

Fuerzas).

Los conceptos de trigonometría aprendidos en la sección anterior, pueden ser utilizados

para el cálculo de Fuerzas. Para ello, vamos a descomponer una fuerza situada en un

plano de coordenadas (X,Y). De acuerdo a la Figura 32, la Fuerza F1 forma un ángulo

con el eje X. Si en lugar de “componer” la fuerza, la “descomponemos” en dos Fuerzas,

Cuerpo 1

F2

F1

Figura 31

Fuerza

resultante

longitud

tiempo

m

s

m

s2

Discusión (24): Leyes de Newton




43

una sobre el eje “X” y otra sobre el eje “Y”, nos quedan dos fuerzas Fx (sobre el eje x) y

Fy (sobre el eje y).

Si conocemos el valor de F1, es posible conocer los valores de Fy y de Fx, información

que puede ser útil cuando, por ejemplo, se está evaluando la Fuerza que hace un pesista

cuando entrena.

Supongamos que hay que la Fuerza F1 tiene un valor de 6 N. Y forma un ángulo de 30º

con el eje x. ¿Qué valor tendrán las Fuerzas Fx y Fy?.

Sabiendo, de las secciones anteriores, que:

senoF

F

y( º )30

1

entonces reordenando nos queda: y 1F F N N . ( º ) . .seno 30 6 05 3

Para conocer el valor de Fx, realizamos un cálculo parecido:

cosenoF

F

x( º )30

1

, reordenando nos queda: x 1F F coseno N N . ( º ) . . .30 6 086 516

Este mismo procedimiento podemos repetirlo cuando hay más de una fuerza presente.

Para verificar los conocimientos haremos una:

Conceptos útiles para Educación Física: EL MOMENTO DE UNA FUERZA.

Aunque algunos conceptos podrían resultar complejos o incluso aburridos, presentan

inherentes ventajas para comprender como se relacionan determinados hechos bio-

mecánicos (a la hora de realizar destrezas acrobáticas) en la Educación Física. Uno de

ellos es el concepto de Momento de una Fuerza. En este curso, veremos una aplicación

muy simple que se aplica a cuerpos rígidos.

Para ello observemos la Figura 33. En la misma, se muestra un cuerpo de formas

redondeadas que puede girar alrededor de un eje (que se muestra en la figura). Si

aplicásemos dos fuerzas distintas F1 y F2, el efecto que producirían sobre el cuerpo es

también distinto. Si superpusiéramos un plano de coordenadas cartesiano, la Fuerza F1

Eje X, (N)

Eje Y, (N)

F1

Fx

Fy

Figura 32

Discusión (25): “Otras aplicaciones de trigonometría en Educación Física

(Composición de Fuerzas)”




44

haría girar el cuerpo en dirección horaria y la Fuerza F2 haría girar el cuerpo en la

dirección contraria. Entonces el efecto producido por una Fuerza sobre un cuerpo dado

depende de la posición de la línea de acción de la Fuerza. La menor distancia entre este

punto de referencia y la línea de acción de la fuerza se denomina brazo de la Fuerza. En

el caso del eje de la Figura 33, el brazo de la Fuerza F1 queda determinado por la

distancia al punto de aplicación (el eje) y el punto más cercano de la línea de acción de

la fuerza. Los símbolos l1 y l2 representan los brazos de las fuerzas l1 y l2 y las líneas

punteadas las líneas de acción de las Fuerzas F1 y F2.

Entonces el momento de la Fuerza es el producto de la Fuerza por su brazo.

M1=F1.l1 (J)

Este producto no es un producto común (como el producto entre nos cantidades

escalares ) sino que da como resultado un vector. Por lo tanto para especificarlo hace

falta establecer su cantidad, su dirección, su sentido y su unidad. Como es un producto

entre una Fuerza (N) y una distancia (m ) su unidad es el Joule (J). El vector resultante

es perpendicular al plano definido por el vector Fuerza (F1) y el vector longitud (l1). Por

lo tanto, en el caso sencillo planteado aquí, el vector momento tiene la dirección del eje

(es perpendicular a la hoja ) y si se superpone un sistema de coordenadas cartesianas, el

producto resultante resulta ser negativo. Como resultado, el cuerpo gira en sentido

“horario”. Si el vector resulta positivo, el cuerpo gira en sentido “antihorario”.

Como viéramos en las páginas anteriores, si superponemos un plano de ejes

coordenados, es posible descomponer las Fuerzas F1 y F2 y cualquier otra Fuerza, en

tres componentes, un componente paralelo al eje X, un componente paralelo al eje Y y

otro componente paralelo al eje Z. En esas condiciones si sumamos los componentes en

x y en y de cada fuerza, podemos determinar si el cuerpo se halla en equilibrio o no. Si

la suma de las fuerzas en cada eje es igual a cero, entonces el cuerpo no se acelera en

ningún sentido.

Para que el cuerpo esté en equilibrio, deben cumplirse dos condiciones:

F1x + F2x +....+ F3x = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje X)

Condición 1 F1y + F2y +.....+ F3y = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje Y)

F1y + F2y +.....+ F3y = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje Z)

Si a su vez, la suma de momentos respecto de cada eje es

Condición 2 M1 + M2 + M3 = 0 (respecto de cada eje)

En otras palabras, para que el cuerpo esté en equilibrio, la suma de los momentos

(respecto de cualquier eje) y la suma de fuerzas deben ser todos igual a 0.

Para facilitar la discusión del tema, haremos un ejemplo.

F1

Eje

F1

F2

Eje

F2

l1

l2

Figura 33




45

Supongamos que dos equilibristas (nuestro personaje y un compañero) se están

colgando de los extremos de una barra rígida que se apoya en un punto O como se

indica en la Figura 34. Conociendo la Fuerza que ejercen estos equilibristas, que se

muestran en la misma Figura y las distancias l1 (desde el extremo izquierdo hasta el

pivote) y l2 (desde el extremo derecho hasta el pivote) , calcular la resultante sobre el

pivote 0 para que la barra esté en equilibrio.

Entonces, como el cuerpo está en equilibrio:

Sumamos las fuerzas (en el eje Y) y las igualamos a cero:

F3-F1-F2=0 , entonces F3-2N-4N = 0 , F3=6N.

Sumamos los momentos y los igualamos a cero:

M(0) = F1.l1 – F2.l2 M(o) = 4N.2m – 2.N.4m= 0 J

Vemos que para que la barra esté en equilibrio, la F3 debe ser igual a 6N y con los

valores de las otras fuerzas, el momento total es cero.

Veamos un caso más complicado donde existen fuerzas en los tres ejes (tenemos fuerzas

también en los ejes X y Z. (Figuras 35.a y 35. b). En la figura 35.a se muestra la

disposición de los ejes ordenados x e y con un eje perpendicular z.

F2= 2 N

O

F1= 4 N F2= 2 N

F1= 4 N

0

F3

l2= 4m l1= 2m

Figura 34

Eje X

Eje Y

Eje Z Figura 35.a




46

En la Figura 35.b se muestra un cuerpo, similar al de la figura 34, pero sometido a

fuerzas en los tres ejes. Vamos a analizar si este sistema está en equilibrio o no, si gira o

se mueve a lo largo de una dirección y sentido.

Lo primero que haremos es determinar si la sumatoria (la suma de ) las fuerzas a lo

largo de los ejes es igual a cero.

Suma de fuerzas a lo largo del eje X: F5 – F4 = 0.; 3 N – 4 N = -1 N. Como es distinto

de cero no están en equilibrio. El cuerpo se desplaza hacia la izquierda a lo largo del eje

X.

Suma de fuerzas a lo largo del eje Y: F3 – F1 – F2 = 0; 4N – 4N – 2N = -2 N. Esta suma

es distinta de cero, no están en equilibrio en este eje. El cuerpo se desplaza hacia abajo a

lo largo del eje Y.

Suma de fuerzas a lo largo del eje Z: F6-F7 = 0; 4 N – 4 N = 0 N . Esta suma de fuerzas

es igual a cero. Están equilibradas. El cuerpo no se mueve hacia delante o atrás.

Ahora (aunque sabemos que el cuerpo no está en equilibrio), debemos determinar si

gira. Sumamos los momentos respecto del eje 0.

M(0) = F1.l1 – F2.l2 M(o) = 4N.2m – 2.N.4m= 0 J. Como la sumatoria de momentos

es igual a cero, este cuerpo no gira.

Discutiremos aspectos de este tema en:

MÓDULO 4.

Discusión (26): “Momento en Educación Física”

F2= 2 N F1= 4 N

0

F3= 4 N

l2= 4m

l1= 2m

Figura 35.b

F4= 4 N

F5= 3 N

F6 4 N

F7 =4 N




47

MODULO 4.


En este módulo discutiremos los siguientes temas: Conceptos sencillos de los distintos

estados de la materia: estados líquido, sólido y gas. Concepto de Fase. Soluto y

solvente. Mezclas y Soluciones. Unidades de concentración. Reacciones químicas y

estequiometría. Concepto de Energía.

APORTE TEÓRICO

Luego de una caminata de 2 meses y un recorrido por tres módulos, llegamos al cuarto y

último de ellos. De alguna manera, es como si llegáramos a una última etapa (que

podría ser un refugio). Si miramos alrededor de nuestro refugio, que está ubicado en las

cercanías de una laguna, podemos ver rocas, aire, el agua de la laguna, los cuales

representan los distintos estados físicos de la materia...

Los estados de la materia

El estado sólido:

Podemos tomar una roca, e intentar comprimirla con las manos, apretándola como si

quisiéramos exprimir un limón. ¿Podemos disminuir el volumen de esta roca

apretándola una y otra vez? No, los sólidos tienen, dentro de ciertos límites, forma

propia, lo cual les da también volumen propio. Esta última afirmación la podemos

verificar si colocamos agua en un vaso (de la laguna, ya que estamos descansando en la

orilla), medimos el nivel de agua al que llega y luego colocamos una roca. Vamos a ver

que el nivel del agua aumenta. Esto ocurre porque la roca, “desplaza” el agua y por lo

tanto, produce un aumento de volumen en el vaso. En el estado sólido, las moléculas o

átomos forman enlaces (algo que los une) lo suficientemente fuertes como para

mantenerlos unidos sin que se deformen cuando los comprimen o estiran. Es por eso,

que en general, los sólidos son incompresibles. El estado sólido puede presentarse en

forma ordenada o desordenada. En la Figura 36 se muestran ambos casos.

Moléculas o átomos

desordenados

Moléculas o átomos

ordenados

Figura 36.




48

En el lado izquierdo de la Figura 36, se muestra una estructura ordenada y en el lado

derecho una estructura amorfa, que significa sin forma, (por ejemplo: el vidrio).

El estado líquido:

Hablando del agua de la laguna (a temperatura ambiente del orden de 25 ºC), podemos

notar que presenta un estado que difiere de aquél de una roca. Si inclinamos el vaso que

teníamos el agua fluye, y no importa cuál es la forma de nuestro vaso o recipiente (o la

forma que tiene la laguna), el agua se adapta a esa forma. Este estado que estamos

describiendo es el estado líquido. Los líquidos, como ya describimos, poseen la

capacidad de fluir y no conservan la forma. En la figura 37 se puede ver el esquema del

“estado líquido”. A diferencia del estado sólido, las moléculas del líquido se hallan

“más sueltas” por lo que pueden moverse con mayor libertad, lo que le permite fluir. Al

igual que el estado sólido, los líquidos son generalmente incompresibles.

El estado gaseoso:

Mientras discurríamos sobre las propiedades del estado líquido, almorzamos nuestra

vianda, pero no nos cayó muy bien, razón por la cual tomamos una sal digestiva, la

echamos al vaso y (oh!, casualidad) teníamos un globo a mano para atrapar el gas

producido. Atrapado y encerrado en el globo, notamos que el gas adquiere la forma que

le demos al globo y también que si apretamos el globo, el gas se comprime. Estas son

características del estado gaseoso: no presenta forma o volumen propio, adaptándose a

la forma y volumen del recipiente que los contiene. Son fácilmente compresibles y esto

es porque los gases se presentan como moléculas o átomos en continuo estado de

agitación, chocan entre sí y con las paredes del recipiente que los contiene,

constantemente. Esto es debido a que las fuerzas de atracción entre moléculas son muy

débiles. En la figura 38 se puede observar un esquema de un gas con sus moléculas en

continuo estado de agitación.

Como no podía ser de otra forma, vamos a discutir ideas y re-pensar conceptos en:

Figura 37. El estado

líquido.

Figura 38 El estado gaseoso.




49

Habiendo discurrido sobre los estados de la materia, también podemos interiorizarnos

sobre las propiedades de la misma. Volviendo a nuestro sistema, consistente en un vaso

con agua conteniendo una roca (que se muestra en la Figura 41), podemos

interiorizarnos sobre el concepto de fase y mezcla.

FASE , MEZCLA Y SOLUCIÓN

Podemos notar que a simple vista, que el sistema no es homogéneo. La roca tiene sus

propiedades y el agua las suyas, incluso se nota claramente una superficie que las

separa. Este tipo de sistemas se denomina heterogéneo y cada una de las partes

homogéneas se denomina FASE. El sistema compuesto por ambas, en el caso de ser

distinguible, se denomina MEZCLA..

Supongamos que ahora en lugar de tener una roca en el vaso con agua, echamos un

poco de sal común de mesa. Si mirásemos con una lupa o con un microscopio que

tuviera un aumento tan grande como el de un ultramicroscopio, no podríamos distinguir

la sal del agua en la cual se disuelve (Figura 42).

La sal disuelta en el agua forma una mezcla homogénea o SOLUCIÓN.

Pero... ¿Cuál es la diferencia entre solución y mezcla?

La mezcla de dos sustancias puede formar un sistema homogéneo (cada parte del mismo

tiene las mismas propiedades) o un sistema heterogéneo (no todas las partes del mismo

poseen las mismas propiedades). Esto es, si tomamos una pequeña muestra del líquido

de la figura 40 y observamos alguna propiedad, como por ejemplo la densidad o el color

esta propiedad tiene que ser exactamente igual a la de otro punto en la misma muestra.

Si sus propiedades son diferentes (Figura 41), pues entonces es una mezcla y no una

solución. Cualquier solución está formada, por un componente que está en menor

Discusión (27): Estados de la Materia

FASE

(roca) FASE

(agua)

FIGURA 41

1 FASE (SOLUCIÓN) (agua + sal)

FIGURA 42




50

cantidad y otro que lo está en mayor cantidad. El primero se denomina soluto. El

segundo solvente. En el caso de la sal disuelta en agua, el que está en menor cantidad es

la sal (soluto) y el que está en mayor cantidad es el agua (solvente). Un esquema gráfico

se muestra en la Figura 44.

SOLUTO, SOLVENTE Y CONCENTRACIÓN

Para clarificar el tema podemos intentar definir soluto y solvente de la siguiente manera:

El “ingrediente” en mayor “proporción” se llama solvente, el de menor “proporción” se

llama soluto. Entre ambos conforman lo que se denomina solución. La relación entre

las cantidades de soluto y solvente se expresa como concentración. Por razones

médicas o de rendimiento deportivo, es importante conocer la cantidad de soluto y la

cantidad de solvente que tiene una solución. Esta relación se denomina concentración.

Si miramos la figura 45, veremos que la “concentración” de la solución del lado

izquierdo no es igual a la del derecho. ¿Por qué?

Solución

Soluto Solvente

Figura 44

6 unidades

Soluto Solvente

10 unidades

Figura 45

4 unidades

Soluto Solvente

10 unidades

solución solución




51

Hay muchísimas formas de expresar una concentración, y dependen, incluso por

razones de simplicidad, del estado de agregación (sólido, líquido o gas) del soluto y del

solvente.

Ejemplo 1.

Supongamos que necesitamos echar 10 mg de sal de mesa en 1 litro de agua. ¿Cuál sería

la forma más sencilla de expresar la concentración?

En este caso, si expresamos la concentración en mg /l “miligramos de sal/litro de

solución” tendríamos solucionado nuestro problema. Porque 10 gramos de sal disueltos

en 1 lt de agua casi no cambian el volumen de la solución, por lo que la concentración

de esta es factible de expresar en mg / l.

Ejemplo 2.

Ahora supongamos que necesitamos echar 10 ml de alcohol en 1 litro de agua ¿Cuál

sería la forma más sencilla de expresar la concentración?

En este caso, si expresamos la concentración en ml / l “mililitros de alcohol / litro de

solución” tendríamos solucionado nuestro problema. Aunque los volúmenes no son

exactamente aditivos “no se suman exactamente”, es más sencillo expresar la

concentración de esta manera.

Para fijar conceptos y re-pensar definiciones, vamos a realizar una:

Concepto de reacción química:

Aunque parezca extraño, en nuestro refugio se llevan a cabo diversas reacciones

químicas, la combustión de la leña, la digestión de los alimentos, la respiración... ¿pero

qué es una reacción química?.

Una reacción química implica el cambio de las sustancias que se hallaban

presentes en el sistema inicial para transformarse en otras distintas en el sistema

final. En nuestro cuerpo, muchas de esas reacciones químicas son ayudadas por la presencia

de enzimas.

Veremos como funciona una enzima (algunas de las cuales produce nuestro cuerpo) a

través de un experimento.

Para ello utilizaremos una enzima que se encuentra en la papa (que se llama catalasa) y

que puede favorecer diversas reacciones. Entre éstas, favorece la descomposición del

agua oxigenada en agua, de acuerdo al siguiente esquema:

Discusión (28): Mezclas , Soluciones y Concentración.

2H2O2 (líquida) 2H2O(líquida) + O2(gas)

Catalasa

(proveniente

de la papa)




52

La presencia del oxígeno, la podemos observar a través de la formación de burbujas en

la mezcla formada por la papa y por el agua. Las enzimas favorecen la reacción pero no

actúan ni como reactivos ni como productos.

Al principio teníamos H2O2, luego de la reacción, tenemos H2O y también O2 . Esto

implica que hubo un cambio en el sistema.

Fijémonos que sucede con la masa total del mismo:

Lo que hicimos en el punto anterior es un balance de masa. La masa que había al

principio, tiene que estar al final . Colocarle coeficientes a cada una de las sustancias

presentes en el sistema de manera tal que la masa antes y después de la reacción

química sea la misma es lo que se conoce como estequiometría.

Conceptos Elementales sobre Energía

Aunque no la analizáramos en el punto anterior, la energía es una magnitud que puede

medirse, (o al menos observarse). Para ello, vamos a realizar una experiencia para

mostrar la “existencia” de energía cinética. Para ello vamos a colocar gotas de tinta en

dos vasos de precipitado a distintas temperaturas. Vamos a colocar unas gotas de tinta y

veremos que sucede.

Las moléculas de tinta al ser colocadas en el agua, intentarán separarse entre sí. Al estar

las moléculas de agua en agitación, moverán las moléculas de tinta a lo largo del

líquido. Lo que estamos observando es una “foto” del movimiento molecular y lo

podemos correlacionar con la temperatura que tiene el líquido.

2 H2O2

Antes Después

2 H2O

+

O2

Calculamos la masa total:

4 átomos de H = 4 g.

+

4 átomos de O = 64 g.

total = 68 g.

Calculamos la masa total:

4 átomos de H = 4 g.

+

2 átomos de O = 32 g.

+

2 átomos de O = 32 g

total = 68 g.




53

Observamos que las moléculas de tinta “se agitan” en el líquido más caliente, lo que nos

dice que ese líquido tiene sus moléculas en mayor “movimiento” Este movimiento es

provocado por agitación térmica (las moléculas se mueven chocando entre sí, debido a

la temperatura del sistema) lo que nos da una indicación del contenido de Energía

Térmica del sistema. Lo que sucede, se muestra en la Figura 46

La agitación se produce en ambos líquidos (¡porque es un líquido!), pero el movimiento

de moléculas es mayor en el líquido caliente.

Concepto Teórico sencillo sobre la Energía

Cuando nos preguntan que significa “Energía” pensamos en alguien con mucha

capacidad de moverse, decimos: ¡FULANO tiene una Energía! Asociamos el concepto

de Energía constantemente con movimiento. Sin embargo hay cosas que no se mueven

que también “poseen Energía”. De por sí, la energía representa un potencial o capacidad

de hacer un trabajo...

¿Pero..que significa potencial o capacidad en este caso? La definición implica la

posibilidad que tiene determinado sistema de hacer un trabajo si se deja que “libere esa

energía”.

Al

momento

de echar la

tinta

Agua a menor

temperatura Agua a mayor

temperatura

Luego de

unos

minutos...

Figura 46 Agitación

Térmica de las moléculas de

Tinta en Agua

Energía: Representa la capacidad o

potencial de hacer un trabajo.




54

Energía y Potencial.- Energía Cinética

Estos conceptos son usualmente confusos. Están relacionados entre sí, pero no siempre

representan las mismas cosas. Usaremos un par de ejemplos para mostrar las diferencias

entre ellos. Supongamos el siguiente caso, el que se muestra en la Figura 47.

En esta figura, este personaje ha dejado caer una pelota desde sus manos. ¿Porqué cae

esta pelota? ¿Por qué hacia abajo? ¿Por qué adquiere velocidad, si este personaje no la

arrojó, tan solo la dejó caer? Las palabras fuerza y energía se mezclan en este dibujo.

Vamos a tratar de clarificar el asunto.

La pelota cae por atracción gravitatoria, es sabido por todos nosotros que la tierra tiene

una fuerza de atracción llamada gravedad. La fuerza de gravedad es la que la obliga a

caer. (por eso se dirige hacia abajo y no hacia arriba)

Pero vemos que la pelota adquiere velocidad a medida que cae hacia el piso. Esta

energía adquirida (llamada Energía Cinética).. ¿de donde salió? Era Energía Potencial

(la que viene de la posición de la pelota ) que se transformó en Energía Cinética. A su

vez, esta Energía Cinética se puede convertir en trabajo, (como el que produce el agua

al caer en una turbina). La energía es un total que se conserva. No se gana, ni se pierde,

se transforma.

Para cerrar el curso, haremos una:

Figura 47 Energía Potencial

La energía total se conserva. No se pierde, ni se gana, sólo se

transforma.

Discusión (29): Reacciones Químicas, Estequiometría y Energía.




55

INDICE DE TEMAS

Módulo Descripción Página

Introducción 1

Resumen del curso 1

Módulo

1

Módulo 1: Resumen del módulo 2

Medidas 3

¿Qué es el error? 5

Tipos de errores 6

Precisión y exactitud 6

Estimación de lectura y apreciación del instrumento 8

Números (Natural, entero, negativo, racional, real) 9

Sistema Internacional de Medidas 11

El acuerdo de unidades: el Sistema Internacional de unidades 12

Las cantidades de las unidades: prefijos con múltiplos,

submúltiplos y etcéteras... 13

Distintas escalas para la misma magnitud 13

Magnitudes escalares y vectoriales 14

Aporte teórico 15

Cantidades químicas: Masa atómica, masa molecular, mol 19

Módulo

2

Resumen del módulo 21

Plano de ejes ordenados (cartesiano) 21

Representación de puntos en el plano cartesiano 21

Concepto de vector 22

Concepto de función 23

Función lineal 24

Función valor absoluto 25

Función cuadrática (parábola) 26

Funciones tipo polinomio 27

Funciones logarítmicas y exponenciales 28

Módulo

3


Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 30

Caso 1 30

Caso 2 31

Caso 3 32

Puesta en común de los casos y discusión (resolución) gráfica y

numérica) 33

Aporte teórico 34

Concepto de velocidad 35

Concepto de aceleración 36

Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en Educación

Física 38

El movimiento y la Primera Ley de Newton 40

La masa y la Segunda Ley de Newton 40

La tercera ley de Newton o el principio de acción y reacción 41

Composición de Fuerzas utilizando un método gráfico 41

Análisis dimensional 42




56

Otras aplicaciones de trigonometría en educación física

(composición de fuerzas) 43

Conceptos útiles para Educación Física: momento de una fuerza 43

Módulo

4


Los estados de la materia 47

El estado sólido 48

El estado líquido 48

El estado gaseoso 48

Fase, mezcla y solución 49

Soluto, solvente y concentración 50

Concepto de reacción química 51

Conceptos elementales sobre Energía 52

Concepto teórico sencillo sobre la energía 53

Energía y potencial- Energía cinética 54

parte 1- cuadernillo de discusiones y aporte...

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