parceladores tercer periodo

7/27/2019 Parceladores tercer periodo

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FRACCION DECIMAL

Una Fraccin decimal es una fraccin en la cual el denominador (el nmero de abajo) esuna potencia de diez (como 10, 100, 1000, etc.).

Podemos escribir fracciones decimales con un punto decimal (y sin denominador).Esto puede facilitar mucho los clculos de operaciones como suma, y multiplicacin enfracciones.

Ejemplos:

43/100 es una fraccin decimal y por lo tanto puede ser escrita como 0.43.51/1000 es una fraccin decimal y por lo tanto puede ser escrita como 0.051.

DECIMALESUn decimal es la notacin particular de una fraccin decimal.

Fraccin Decimal Lectura

0,1 Una decima

0,01 Una centsima

0,001 Una milsima

0,0001 Una diezmilsima

Un numero decimal consta de dos partes separadas por una como llamada coma decimal.La parte entera se escribe a la izquierda de la coma y la parte decimal, a la derecha de lacoma.

Ejemplo:El numero 2,3

El "2", esa es la parte entera. El 3 es la parte decimal.

Para leer nmeros decimales, se lee la parte entera seguida de la palabra coma y acontinuacin se lee la parte decimal conforme al valor de posicin de las cifras que estaposea.

Ejemplo:

El numero 19,235 se lee diecinueve coma doscientos treinta y cinco milsimas


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Las dcimas ocupan el primer lugar a la derecha de la coma, las centsimas el segundolugar , las milsimas el tercer lugar y as sucesivamente.

CONVERSIN DE DECIMALES

Convertir Decimales a Fracciones

Para convertir un Decimal a una Fraccin sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los nmeros de arriba y abajo por 10 una vez por cada nmeroluego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos nmeros luego del decimal, multiplcalospor 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fraccin

Ejemplo:Expresar 0,75 como fraccin

Paso 1: Escribe:

0,751

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dgitos luegode la coma):

(Ves como el nmero de arriba se convierteen un entero?)

Paso 3: Simplifica la fraccin:

100

0,75

=

75

1 100

100
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25

75=

3

100 4

25

Respuesta =

convertir de fraccin no decimal a decimal

Para convertir una Fraccin en Decimal manualmente, sigue estos pasos:

Paso 1: Encuentra un nmero que puedas multiplicar por la parte de abajo de la fraccin

para hacer que sea 10, o 100, o 1000, o cualquier 1 seguido por varios 0s.

Paso 2: Multiplica tambin la parte de arriba por ese nmero.

Paso 3: Entonces escribe el nmero de arriba, poniendo la coma en el lugar correcto (unespacio desde la derecha por cada cero en el nmero de abajo)

Ejemplo:Expresar 3/4 como Decimal

Paso 1: Podemos multiplicar 4 por25 para que sea 100Paso 2: Multiplica el nmero de arriba tambin por 25:

25

3=

75

4 100

25

Paso 3: Escribe 75 con la coma a 2 espacios desde la derecha (porque 100 tiene 2ceros);

Respuesta = 0,75


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Convertir Decimales a Fracciones

Para convertir un Decimal a una Fraccin sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los nmeros de arriba y abajo por 10 una vez por cada nmeroluego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos nmeros luego del decimal, multiplcalospor 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fraccin

Ejemplo:

Expresar 0,75 como fraccin

Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dgitos luegode la coma):

100

0,75=

75

1 100

100

(Ves como el nmero de arriba se convierte

en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fraccin:

25
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75=

3

100 4

25

Respuesta = 3/4

Nota: 75/100 se llama una fraccin decimal y 3/4 es llamada una fraccin comn!

CLASIFICACION DE DECIMALES

Decimal exacto

La parte decimal de un nmero decimal exacto est compuesta por una cantidad finita detrminos.

Peridico puro

La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

Peridico mixto

Su parte decimal est compuesta por una parte no peridica y una parte peridica operodo.

No exactos y no peridicos

Dada una fraccin podemos determinar qu tipo de nmero decimal ser, para lo cual,

tomamos el denominador y lo descomponemos en factores.Si aparece slo el 2, o slo el 5, o el 5 y el 2; la fraccin es decimal exacta.

Si no aparece ningn 2 5, la fraccin es peridica pura.

Si aparecen otros factores adems del 2 el 5, la fraccin es peridica mixta.


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REPRESENTACION DE DECIMALES EN LA RECTA NUMERICA

Aqu representamos a los nmeros decimales en la recta numrica.Para representar el nmero decimal 0,7 observamos que es un nmero comprendidoentre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los nmeros 0 y 1 en 10 partes iguales ytomamos 7 de esas partes contando a la derecha (pues 0,7 es un nmero positivo) desdeel 0.

Para representar el nmero -0,3 que est comprendido entre 0 y -1 dividimos el segmento

entre los nmeros -1 y 0 en diez partes iguales y tomamos 3 de esas partes contando a laizquierda desde el 0, por ser un numero decimal negativo.

Para representar el nmero 2,5 que es un nmero comprendido entre 2 y 3, dividimos elsegmento entre los nmeros 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partescontando a la derecha desde el 2.

Para representar el nmero -3,4 que est comprendido entre -3 y -4 dividimos elsegmento entre los nmeros -4 y -3 en diez partes iguales y tomamos 4 de esas partescontando a la izquierda desde el -3.

OPERACIONES CON DECIMALES

Sumar decimales

Para sumar decimales sigue estos pasos: Escribe los nmeros, uno bajo el otro, con los puntos decimales alineados. Aade ceros para que los nmeros tengan la misma longitud. Suma normalmente, y recuerda poner el punto decimal en la respuesta.

Ejemplo: suma 1,452 y 1,3


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Alinea los decimales: 1,452

+ 1,3

"Rellena" con ceros: 1,452

+ 1,300

Suma: 1,452

+ 1,300

2,752Ejemplo: suma 3,25, 0,075 y 5

Alinea los decimales: 3,25

0,075

+ 5.

"Rellena " con ceros: 3,250

0,075

+ 5,000

Suma: 3,250

0,075

+ 5,000

8,325

Restar decimales

Para restar decimales sigue estos pasos: Escribe los dos nmeros, uno bajo el otro, con los puntos decimales alineados. Aade ceros para que los nmeros tengan la misma longitud. Suma normalmente, y recuerda poner el punto decimal en la respuesta.

Ejemplo: resta 0,03 de 1,1Alinea los decimales: 1,1

- 0,03

"Rellena" con ceros: 1,10- 0,03

Resta: 1,10

- 0,03

1,07


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As que era lo mismo que 110 - 3 = 107, pero poniendo puntos decimales

Ejemplo: calcula 7,005-0,55Alinea los decimales: 7,005

- 0,55

"Rellena" con ceros: 7,005

- 0,550

Resta: 7,005

- 0,550

6,455Y esta era igual que 7.005 - 550 = 6.455

Multiplicar decimales

Slo sigue estos pasos:

Multiplica normalmente, ignorando los puntos decimales. Despus pon el punto decimal en la respuesta - tiene que haber tantas cifras

decimales como haba en los dos nmeros juntos.

En otras palabras, slo tienes que contar cuntas cifras hay despus del punto decimal enlos dos nmeros que multiplicas, y la respuesta tiene que tener esa cantidad despus desu punto decimal.

Ejemplo: Multiplica 0,03 por 1,1Empieza por: 0,03 1,1

multiplica sin puntos decimales: 3 11 = 33

0,03 tiene 2 cifras decimales,y 1,1 tiene 1 cifra decimal,as que la respuesta tiene 3 cifras decimales: 0,033

Dividir decimales

Mtodo rpido: haz una divisin larga sin el punto decimal,despus ponlo en la respuesta.

Dividir un nmero decimal por un nmero entero

Para dividir un nmero decimal por un nmero entero: Haz una divisin larga (ignora el punto decimal)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/division-larga.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/division-larga.html


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Despus pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el nmero quedividimos)

Ejemplo: Divide 9,1 por 7Ignora el punto decimal y haz la divisin larga:

13

7 )919721210

Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo:1,3

7 )9,1

La respuesta es 1,3

Dividir por un nmero decimal

Y si quieres dividir por un decimal?El truco es convertir el nmero por el que divides (el divisor) en un nmero entero,moviendo el punto decimal de los dos nmeros a la derecha:

Ahora ests dividiendo por un nmero entero, y puedes seguir como antes.Este mtodo es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos nmeros lamisma cantidad de espacios.

Ejemplo : Divide 5,39 por 1,1

No ests dividiendo por un nmero entero, as que tienes que mover el punto decimalpara que s dividas por un entero:

mover 1

5,39 53,9

1,1 11

mover 1

Ahora ests dividiendo por un entero as que puedes continuar:Ignora el punto decimal y haz la divisin larga:

04911 )539


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5053449999

0Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal deldividendo:

04,911 )53,9

La respuesta es 4,9

NMEROS ENTEROS

Los nmeros enteros estn formados por los enteros positivos, los enteros negativos y elcero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo.

1 5 31 17Nmeros enterosnegativosExpresan cantidades quesonmenores que cero

Nmeros enterospositivosExpresan cantidades quesonmayores que cero

LECTURA Y ESCRITURA DE NMEROS ENTEROS

Para diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientessmbolos: + (para los positivos) y (para los negativos).Para escribir un nmero entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.

+ 200 Se lee: "msdoscientos".

Para escribir un nmero entero negativo se coloca delante de la cantidad expresada.100 Se lee: "menos cien".

Escritura sencilla:Los nmeros positivos se escriben sin signo.Los nmeros negativos se escriben siempre con signo y entre parntesis cuando sea

necesario.

Por ejemplo: 3 + 5 + (2) + (4) + 1 = ... (Se entiende que 3, 5 y 1 son positivos).

REPRESENTACIN EN LA RECTA NUMRICA

Los nmeros enteros se pueden representaren una recta:


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Un nmero es menor cuanto ms a la izquierda se site en la recta numrica.

REPRESENTACION DE NUMEROS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO

Una vez dibujadas las coordenadas cartesianas, a cada punto del plano le correspondeuna pareja de nmeros enteros.

El primer nmero entero se corresponde con la perpendicular al eje horizontal y elsegundo numero entero con la perpendicular al eje vertical.

VALOR ABSOLUTO

Los nmeros +18 y 18 son distintos: el primero es positivo y el segundo negativo.Pero +18 y 18 tienen el mismo valor absoluto: 18El valor absoluto de un nmero entero es el que se obtiene al prescindir de su signo.


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El valor absoluto se representa mediante dos barras que encierran al nmero:| +200 | = 200 Se lee: "El valor absoluto de +200 es

200".| 200 | = 200 Se lee: "El valor absoluto de 200 es

200".

OPUESTO DE UN NMERO

Los nmeros +300 y 300 tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se dice que+300 es el opuesto de 300 y al revs: 300 es el opuesto de +300.

El opuesto de un nmero entero es el nmero con el mismo valor absoluto pero condistinto signo.

Ejemplo:

Se escribe as:op (+25) = 25 Se lee: "El opuesto de +25 es 25".op (25) = +25 Se lee: "El opuesto de 25 es +25".

COMPARACIN DE NMEROS ENTEROS

Para comparar los nmeros enteros nos fijaremos en la recta numrica.

-1 > -7 -5 < +6 +3 > +2Observa como el valor de los nmeros crece en la recta numrica de izquierda a derecha.Por eso -9 < -7 +2 < +3 -2 < +6


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OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

SUMA DE NMEROS ENTEROS

1. Si los nmeros enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y alresultado se le coloca el signo comn.

3 + 5 = 8(3) + (5) = 8

2. Si nmeros enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor lerestamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del nmero de mayor valorabsoluto.

3 + 5 = 2

3 + (5) = 2

RESTA DE NMEROS ENTEROS

La diferencia de los nmeros enteros se obtiene sumando al minuendo el opuestodel sustraendo.

a - b = a + (-b)7 5 = 27 (5) = 7 + 5 = 12

MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROS

La multiplicacin de varios nmeros enteros es otro nmero entero, que tiene como valorabsoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de laaplicacin de la regla de los signos.Regla de los signos


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Ejemplo:

2 5 = 10(2) (5) = 102 (5) = 10(2) 5 = 10

DIVISIN DE NMEROS ENTEROS

La divisin de dos nmeros enteros es otro nmero entero, que tiene como valor absoluto

el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicacin dela regla de los signos.

Ejemplo:

10 5 = 2(10) (5) = 210 (5) = 2(10) 5 = 2

GEOMETRIA

EL PUNTO

Un punto se representa con una pequea cruz y se lo designa con una letra de imprentamayscula.

LA RECTA

Una recta se representa con una porcin de la misma y se la designa con una letra deimprenta minscula.


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EL PLANO

Un plano se representa con una porcin del mismo y se lo designa con una letra griega.

SEMIRECTATodo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una deellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectasopuestas se lo llama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de loscuales pertenece a cada semirrecta:

Semirrecta de origen O que pasa por el punto A

Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

SEGMENTOSDados dos puntos A y B, se llama segmento a la interseccin de la semirrecta de origen A quecontiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.


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RECTAS PARALEAS, PERPENDICULARES Y SECANTES

a) rectas secantes: son aquellas rectas que se intersectan en un punto.

b) rectas perpendiculares: son aquellas rectas que se intersectan en un punto, peroforman ngulos de 90 o denominados "ngulos rectos"

c) rectas paralelas: son aquellas rectas que no se intersectan en ningn punto.


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RAZONES

Se llama razn a un nmero de la forma

que se lee a es b y que significa que al nmero

a le corresponde el nmero b.

Ejemplo: En una aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el nmero de alumnos es 16Cuntas alumnas tiene el aula?

La razn 4 se lee 4 es a 7 entonces:

7

por lo tanto hay 28 alumnas

SERIE DE RAZONES IGUALES

Se llama serie de razones iguales, a la igualdad de dos o mas razones.

En smbolos:

Ejemplo:

PROPORCINSe llama proporcin a la igualdad de dos razones:

que se lee a es a b como c es a d

Ejemplo:

La proporcin

se lee 5 es 9 como 40 es a 72

La proporcin se obtiene de multiplica por 8 tanto al numerador como al denominador

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES


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Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera correspondedoble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamenteproporcionales.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden segn la siguiente tabla:

Magnitud 1 a b c d ...Magnitud 2 a b c d ...

son directamente proporcionales si se cumple que:

Ejemplo:

Un saco de patatas pesa 20 kg. Cunto pesan 2 sacos?Un cargamento de patatas pesa 520 kg Cuntos sacos se podrn hacer?

Nmero desacos

1 2 3 ... 26 ...

Peso enkg

20 40 60 ... 520 ...

Para pasar de la 1 fila a la 2 basta multiplicar por 20Para pasar de la 2 fila a la 1 dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes nmero de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de nmero de sacos a kg es 20.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde lamitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes soninversamente proporcionales.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden segn la siguiente tabla:Magnitud 1 a b c ...

Magnitud 2 a b c ...

son inversamente proporcionales si se verifica que:a.a = b.b = c.c = ...

Ejemplo:

Si 3 hombres necesitan 24 das para hacer un trabajo, cuntos das emplearn 18hombres para realizar el mismo trabajo?

.. .c'

c

b'

b

a'

a

...60

3

40

2

20

1


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En este caso a doble nmero de trabajadores, el trabajo durar la mitad; a triple nmerode trabajadores, el trabajo durar la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes soninversamente proporcionales.

Formamos la tabla:

Hombres 3 6 9 ... 18Das 24 12 8 ... ?

Vemos que los productos 3 24 = 6 12= 9 8 = 72Por tanto 18 X =72O sea que los 18 hombres tardarn 4 das en hacer el trabajo

APLICACIN DE LA PROPORCIONALIDAD

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamenteproporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a unacantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las

relaciones:

A ms ms.

A menos menos.

Ejemplo:

1. En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. Cuntos litros de agua de marcontendrn 5200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habr doble cantidad de sal; en triple, triple, etc.

Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de salson directamente proporcionales.

Si representamos por x el nmero de litros que contendr 5200 gramos de sal, yformamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 xGramos de sal 1300 5200

52001300

50 x


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Se verifica la proporcin:

Y como en toda proporcin el producto de medios es igual al producto de extremos,resulta:50 5200=1300 X

Es decir

En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con elnombre de regla de tres simple directa.

2. Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depsito 6 litros,

cuntos kilmetros podr recorrer el coche?

Luego con 6 litros el coche recorrer 120 km

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente

proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a unacantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen lasrelaciones:

A ms menos.

A menos ms.

Ejemplo:

1. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 das.Cuntos das podr alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el nmero de vacas se duplica, tendr para la mitadde das; a triple nmero de vacas, tercera parte de das, etc. Por tanto son magnitudesinversamente proporcionales.

1205

100.6

______6

100______5

xkmxl

kml

20013005200.50 x

2001300

5200.50

5200_____

1300____50

5200

130050

xglx

gl

saldeghabrlxEn

saldeghaylEn


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X = nmero de das para el que tendrn comida las 450 vacas

N de vacas 220 450N de das 45 x

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde

En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrn comer 22 das

2. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidadcada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. Culdeber ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino = 8 200 = 32 X

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la mismacantidad de vino.

REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o ms magnitudes, demodo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidasobtenemos la desconocida.Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadassucesivamente.Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa oinversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:Regla de tres compuesta directa

22450

45.220

_____450

45____220

450

45220

xdasxvacas

dasvacas

dasxparatienenvacas

dasparatienenvacas

5032

200.8

____32

200_____8

x

litrosxtoneles

litrostoneles

22450

45.220x


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Ejemplo:Proporcionalidad directa

1. Cuatro chicos en una acampada de 10 das han gastado en comer 25000 ptas. En lasmismas condiciones cunto gastarn en comer 6 chicos durante una acampada de 15das?

Doble nmero de chicos acampados el mismo nmero de das gastarn el doble.Luego las magnitudes nmero de chicos y dinero gastado son directamenteproporcionales.

El mismo nmero de chicos, si acampan el doble nmero de das gastarn el doble.Luego las magnitudes nmero de das de acampada y dinero gastado sondirectamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de chicos y n de das con lacantidad desconocida, gasto.

SABEMOS QUE

REDUCCIN A LAUNIDAD

BSQUEDA DELRESULTADO

Ejemplo: Proporcionalidad inversa

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 das en realizar un trabajo. Cuntosdas tardarn en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

Doble nmero de obreros trabajando el mismo nmero de das trabajarn la mitad dehoras al da para realizar el trabajo. Por tanto el nmero de obreros y el nmero dedas de trabajo son inversamente proporcionales.

Doble nmero de horas diarias de trabajo el mismo nmero de obreros tardarn lamitad de das en realizar el trabajo. Luego el nmero de horas diarias de trabajo y elnmero de das de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de obreros y n de horas diarias detrabajo, con la cantidad desconocida, n de das de trabajo.

SABEMOSQUE

REDUCCIN ALA UNIDAD

BSQUEDADEL

ptastangas

dasen

coschi 25000104

ptastagasdasencochi 62504

25000101

ptastagas

daen

cochi 62510

625011

ptastangas

daen

coschi 37506.62516

ptastangas

dasen

coschi 5625015.3750156

dasardant

diariashorastrabajando

obreros 30615

dasardat


obrero 45015.3061

dasardat

diariahoratrabajando

obrero 27006.45011

dasardant

diariahoratrabajando

obreros 27010

2700110


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RESULTADO

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarn 33.75 das.

POLIGONOS

Un polgono es una figura plana con lados rectos.

Los polgonos son formas bidimensionales. Estn hechos con lneas rectas, y su forma es"cerrada" (todas las lneas estn conectadas).

Polgono(lados rectos)

No es un polgono(tiene una curva)

No es un polgono(abierto, no cerrado)

CLASES DE PLIGONOS

Nombre Lados Forma ngulo interiorTringulo (o trgon o) 3 60

Cuadriltero (o tet rgono ) 4 90

Pentgono 5 108

Hexgono 6 120

Heptgono (o Sep tgono ) 7 128.571

Octgono 8 135

Nongono (or enego no ) 9 140

Decgono 10 144

Endecgono (or un decgono ) 11 147.273

Dodecgono 12 150

dasardant


obreros 75.338

270810
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/plano.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/plano.html


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CLASIFICACIN DE POLGONOS SEGN SUS NGULOS

Convexos

Todos sus ngulos menores que 180.Todas sus diagonales son interiores.

Cncavos

Si un ngulo mide ms de 180.Si una de sus diagonales es exterior.

DIAGONALES DE UN POLGONO

Una diagonal de un polgono es un segmento que une dos vrtices no consecutivos

NGULOS INTERIORES DE POLGONOS

Un ngulo interior es un ngulo dentro de una figura.


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NGULOS EXTERIORES DE POLGONOS

Un ngulo exterior es un ngulo entre un lado de una figura y la lnea que se extiendedesde el lado siguiente.

Nota: si sumas los ngulos interiores y exteriores sale el ngulo de una lnea recta, 180.

CUADRILTERO

Los cuadrilteros son polgonos de cuatro lados.La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es igual a 360.

CLASIFICACIN DE CUADRILTEROS

Paralelogramos

Cuadrilteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ngulos rectos.

Rectngulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ngulos rectos.

Rombo
http://www.vitutor.net/2/1/11.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/12.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/13.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/13.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/12.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/11.html


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Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios

Cuadrilteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se

clasifican en:

Trapecio rectngulo

Tiene un ngulo recto.

Trapecio issceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningn lado igual ni ngulo recto.

Trapezoides

Cuadrilteros que no tiene ningn lado igual ni paralelo.
http://www.vitutor.net/2/1/14.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/15.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/15.htmlhttp://www.vitutor.net/2/1/14.html


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FACTORIZACIN

Factorizar un polinomio

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando nmerosreales, si se consideran los nmeros complejos . Existen mtodos de factorizacin, para

algunos casos especiales.

Binomios

1. Diferencia de cuadrados2. Suma o diferencia de cubos3. Suma o diferencia de potencias a la n

Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto

2. Trinomio de la forma x+bx+c3. Trinomio de la forma ax+bx+c

Polinomios

FACTORIZACION DE BINOMIOS

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos trminos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Seresuelve por medio de dos parntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b),uno negativo y otro positivo.

O en una forma ms general para exponentes pares:

Ejemplo:

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus races cbicas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio


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2. El cuadrado de la primera raz, menos el producto de las dos

races, ms el cuadrado de la segunda raz

a3 + b3

Raz cbica del primer trmino a3 es a

Raz cbica del primer trmino b3 es b

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus races cbicas.

2. El cuadrado de la primera raz, ms el producto de las dos

races, ms el cuadrado de la segunda raz

a3 - b3

Raz cbica del primer trmino a3 es a

Raz cbica del primer trmino b3 es b

a3

- b3

= (a - b)(a2

+ ab + b2

)

Ejemplo:

1). 125 - w18z36

Raz cbica del primer trmino 125 es 5

Raz cbica del primer trmino w18z36 es w6z12

125 - w18z36 = (5 - w6z12) [(5)2 + (5)(w6z12) + (w6z12)2]

125 - w18z36 = (5 - w6z12) (25 + 5w6z12 + w12z24)

2). 27a3 + 8b6c9

Raz cbica del primer trmino 27a3 es 3a

Raz cbica del primer trmino 8b6c9 es 2b2c3


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27a3 + 8b6c9 = (3a+ 2b2c3)[(3a)2 - (3a)(2b2c3)+ ( 2b2c3)2]

27a3 + 8b6c9 = (3a+ 2b2c3) (9a2 - 6ab2c3 + 4b4c6)

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS A LA N

La suma de dos nmeros a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempreque n sea un nmero impar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia tambin es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar.Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de estageneralizacin.

FACTORIZACION DE TRINOMIOS

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifica por tener tres trminos, de los cuales dos tienen races cuadradas exactas, yel restante equivale al doble producto de las races del primero por el segundo. Parasolucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los trminos dejando de

primero y de tercero los trminos que tengan raz cuadrada, luego extraemos la razcuadrada del primer y tercer trmino y los escribimos en un parntesis, separndolos porel signo que acompaa al segundo trmino, al cerrar el parntesis elevamos todo elbinomio al cuadrado.


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Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C

Se identifica por tener tres trminos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno deellos es el trmino independiente. Se resuelve por medio de dos parntesis, en los cualesse colocan la raz cuadrada de la variable, buscando dos nmeros que multiplicados dencomo resultado el trmino independiente y sumados (pudiendo ser nmeros negativos)den como resultado el trmino del medio.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C

En este caso se tienen 3 trminos: El primer trmino tiene un coeficiente distinto de uno,la letra del segundo trmino tiene la mitad del exponente del trmino anterior y el tercertrmino es un trmino independiente, o sea sin una parte literal, as:

Para factorizar una expresin de esta forma, se multiplica el trmino independiente por elcoeficiente del primer trmino(4x2) :


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Luego debemos encontrar dos nmeros que multiplicados entre s den como resultado eltrmino independiente y que su suma sea igual al coeficiente del trmino x :

Despus procedemos a colocar de forma completa el trmino x2 sin ser elevado alcuadrado en parntesis, adems colocamos los 2 trminos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos trminos por el coeficiente del trmino x2 :

:

Queda as terminada la factorizacin :

:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN Y SUSTRACCIN

Se identifica por tener tres trminos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero elrestante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de susraces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no

cambie.


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FACTORIZACION COMPLETA

CUBO PERFECTO DE TETRANOMIOS

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fraccin algebraica es una expresin fraccionaria en la que numerador y

denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numricas.El valor de una fraccin no se altera si se multiplican o dividen el numerador ydenominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentracin ya que sonfrecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de parntesis.

MINIMO COMUN MULTIPLO

MCM de monomios

Mnimo comn mltiplo es aquella expresin que es divisible exactamente por cada unade las expresiones dadas. As 8c b es mnimo comn mltiplo de 2c y 4c b porque8c b es divisible exactamente por 2c y por 4c b.


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Entonces el mnimo comn mltiplo es la expresin de menor coeficiente numrico y demenor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Se halla el MCM de los coeficientes, y se ponen todas las letras con el mayor exponenteque tengan.

Ejemplo 1

Hallar el MCM de c , y cb

El MCM de los coeficientes es 1, las letras se ponen todas: cb, los mayores exponentesque tienen son 2 y 2, luego queda:

c b

Ejemplo 2

Hallar el MCM de c x , y c bx

Las letras son bc y x, los mayores exponentes que tienen son: b 1, c 3, y x 3, as nosqueda:

bc x

Ejemplo 3

Hallar el MCM de 2x z, 2xz y xz u

El MCM de los coeficientes es 2, las letras son x, z y u; los mayores exponenetes quetienen son: x 2, z 3, y u 1; luego nos queda:

2x z u

MCM de polinomios

Factorice y luego coja los parntesis comunes y no comunes.

Ejemplo 1

Hallar el MCM de 2c, y 4x 8

2c, 4(x 2)

2c, 2 (x 2)

= 2 c(x 2)

= 4c(x 2)

Ejemplo 2


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Hallar el MCM de 6c b, y 3c b + 6cb

2*3c b, 3cb (c + 2)

= 2*3c b (c + 2b)

= 6c b (c + 2b)

MAXIMO COMUN DIVISOR

Mximo comn divisor de monomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se halla el m.c.d. (mnimo comn divisor) de los coeficientes:

a. Se descomponen los nmeros en sus factores primos

b. Se multiplican los factores primos comunes y con el menor exponente

c. Para representar el m.c.d., k, de los nmeros a y b, se utiliza lasimbologa (a, b) = k

2. A continuacin del m.c.d. de los coeficientes se escriben las letrascomunes y, con el menor exponente.

Ejemplos:


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Mximo comn divisor de polinomios por descomposicin en factores

Procedimiento

1. Se factoriza cada polinomio

2. Se identifican los factores comunes

3. El m.c.d. ser el producto de los factores comunes

Ejemplo: Hallar, por descomposicin en factores, el m.c.d. de:


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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma )x(B)x(A

dondeA(x) y B(x)son polinomios de variable x, y B(x) 0.

Por ejemplo,2

7x

es una expresin algebraica racional porque el numeradorA(x) = 7 esun polinomio y el denominadorB(x) =x 2 tambin es un polinomio.

Tambin es una expresin algebraica racional xxxx

7

322

3

.

Es 33

35

x

xx

una expresin algebraicaracional?..............................................................................La expresin x 2 9 es tambin racional porque x 2 9 es un polinomio y 1, sudenominador, tambin lo es.

SIMPLIFICAR UNA FRACCIN

Consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Caso 1: Mismo denominador

Ejemplo:


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Caso 2: Distinto denominador

A travs de mnimo comn mltiplo (M.C.M.) las fracciones con distintos denominadoresse transforman en fracciones equivalentes de denominador comn.

Ejemplo: Expresar en una fraccin comn

Solucin: (Caso 1)

Solucin: (Caso 2)

Encontrado el M.C.M. (15a2b2), se multiplica cada fraccin (tanto numerador comodenominador) por los trminos que falta por completar el

M.C.D.

MULTIPLICACIN DE FRACCIONES


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Sea una fraccin algebraica cualquiera que est multiplicada por otra ,

entonces:

Ejemplos:

a)

b)

c)

DIVISIN DE FRACCIONES

Sea una fraccin algebraica cualquiera que est dividida por otra , entonces:

Ejemplos:


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ECUACIONES

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamadoincgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben

seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), losque contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ellaen el derecho.

3. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficientede la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incgnita, aplicamos el criterio deloperador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguienteejemplo:

Resolver la ecuacin 2x 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entoncespara llevar el3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inversoaditivo de3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el nmero 2 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lo

pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inversomultiplicativo de 2 (que es ) a ambos lados de la ecuacin:

2x = 56

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incgnita o variable "x" es 28.


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GEOMETRIA

LNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRINGULO

Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vrtice al lado opuesto.

El ortocentro (O) de un tringulo es el punto en el que se cortan las rectas que contienenlas tres alturas.

Bisectriz: Es la recta que parte de un vrtice y que divide al ngulo interior en dosngulos iguales.

El incentro (I) de un tringulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.


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Mediana: Es la recta (AM) que une el vrtice con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro (B) de un tringulo es el punto en el que se cortan las tres medianas.

Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde su punto medioM.

El circuncentro (C) de un tringulo es el punto en el que se cortan sus tres mediatrices.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.


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FUNCIN CUADRTICA

Llamaremos funcin cuadrtica a las funciones polinmicas de segundo grado, dedominio real y codominio real.

y= f(x) = ax+bx+c con a 0.

Ejemplo:Las siguientes son funciones cuadrticas:

y=-2x2+4x-1 con a=-2, b=4, c=-1

y=5x2-4x+2 con a=5, b=-4, c=2

y=x2-3xcon a=1, b=-3, c=0

y=-x2+4 con a=-1, b=0, c=4

GRAFICA DE UAN FUNCION CUAGRATICA

La grfica de una funcin cuadrtica corresponde a una curva denominada parbola, acontinuacin se muestra la grfica de las funciones del ejemplo anterior:


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CEROS, RAICES O SALUCIONES DE LA FUNCION CUADRATICA

Las races ( o ceros) de la funcin cuadrtica son aquellos valores de x para los cuales laexpresin vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Grficamente corresponden alas abscisas de los puntos donde la parbola corta al eje x. Podemos ver a continuacin

que existen parbolas que cortan al eje x en:

PARBOLA

Llamamosparbola al lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de unpunto fijo y de una recta fija .

Veamos cuales son los elementos de la parbola:
http://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.htmlhttp://www.educared.org/wikiEducared/Imagen:Parabola.png.html


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ELEMENTOS DE UNA PARBOLA

Una funcin cuadrtica es aquella de la forma y = ax 2 + bx + c. Si la representamosgrficamente, obtenemos una parbola. Vamos a ver cmo se calculan los elementos deesa parbola:

ORIENTACIN: Para saber si una parbola est abierta hacia arriba o hacia abajo, tansolo hay que mirar el trmino ax2. Si a es positivo, est abierta hacia arriba, y si esnegativo, hacia abajo.

VRTICE: Es importante calcularlo, ya que es el mximo o el mnimo de la parbola,dependiendo de su orientacin. Si queremos dibujarla, es un punto clave. Calcularlo essencillo, ya que la coordenada x es -b/2a. Para hallar al coordenada y, basta con sustituiren la frmula el valor de la x. Por ejemplo, en la parbola y = x 2 - 4x + 5, el vrtice estaren:

EJE DE SIMETRA: El eje de simetra siempre es vertical, y pasa por el vrtice, luego suecuacin ser:x = vx es decir, x = -b/2aEn el ejemplo anterior, el eje de simetra tiene por ecuacin: x = 2

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: En el eje Y la coordenada x es cero, luego,sustituyendo este valor en la frmula, hallamos la y:y = a02 + b0 + c = c, por lo que el punto de corte es el ( 0 , c )

En el eje X, es la y la que vale cero. Sustituimos en la frmula y hallamos los valores de x:0 = ax2 + bx + c

Tenemos una ecuacin de segundo grado, que puede tener dos soluciones, una oninguna, es decir, la parbola puede cortar al eje X en dos puntos, en uno o en ninguno:


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ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c sonnmeros reales.

Ejemplo:9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 103x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS

SOLUCION DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS

ax 2 = 0

La solucin es x = 0.

ax 2 + bx = 0

Extraemos factor comn x:

Igualamos a cero el 1er factor.


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Una solucin siempre es x = 0.

La otra solucin la obtenemos al resolver la ecuacin de primer

grado resultante de igualar a cero el 2 factor.

ax 2 + c = 0

Despejamos:


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SOLUCION DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS

Una ecuacin de segundo grado completa puede expresarse en la formaax2+ bx+ c= 0, donde a, b y c son nmeros distintos de cero.Para resolver una ecuacin de segundo grado se aplica la frmula:

Esta frmula se obtiene a travs de las siguientes transformaciones de la ecuacinde partida ax2 + bx+ c= 0.

1. Se resta c en los dos miembros de la ecuacin:ax2 + bx= -c2. Se multiplican los dos miembros de la ecuacin por 4a (se puede hacerpuesto que a 0):4a(ax2 + bx) = 4a(-c) 4a2x2 + 4abx= -4ac3. Se suma b2 en los dos miembros de la ecuacin:4a2x2 + 4abx+ b2 = -4ac+ b2


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4. En el primer miembro figura el cuadrado del binomio 2ax+ b, ya que(2ax+b)2 = 4a2x2 + 4axb + b2. Por lo que se puede escribir:(2ax+ b)2 = -4ac+ b25. Extrayendo en los dos miembros la raz cuadrada, resulta:

6. Despejando x, se llega a la frmula anunciada:

Esta frmula se utiliza tambin para resolver las ecuaciones de segundogrado incompletas, sin ms que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

De esta frmula se deduce que una ecuacin de segundo grado tiene dossoluciones, llamadasx1 y x2, dependiendo del signo + - que se toma delante dela raz:

Ejemplo:

Resolver la ecuacin x2 - 5x + 6 = 0.Resolucin:

1. a = 1; b = -5; c= 6.

La ecuacin tiene dos soluciones: x= 3 y x= 2.


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FUNCIN EXPONENCIAL

La funcin exponencial es del tipo:

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponderla potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Ejemplo:x y = 2x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8


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CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Propiedades de la funcin exponencialDominio: .

Recorrido: .

Es continua.Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la grfica.

Es inyectiva a 1(ninguna imagen tiene ms de un original).Creciente si a >1.Decreciente si a < 1.Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simtricas respecto del eje OY.

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece enel exponente.

Para resolver una ecuacin exponencial vamos a tener en cuenta:

1

23 Las propiedades de las potencias.

a

0

= 1 a1 = a

am a n = am+nam : a n = am - n(am)n = am n


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an b n = (a b) nan : b n = (a : b) n

Ejemplo:

Resolver las ecuaciones exponenciales:

FUNCION LOGARITMICA

La funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Ejemplo:

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3


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x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 1

4 28 3

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION LOGARITMICA

Propiedades de las funciones logartmicas

Dominio:Recorrido:Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la grfica.Es inyectiva (ninguna imagen tiene ms de un original).Creciente si a>1.Decreciente si a


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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo deldivisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de labase.

4. El logaritmo de una raz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el ndicede la raz.


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5. Cambio de base.

ECUACIONES LOGARITMICAS

Las ecuaciones logartmicas son aquellas ecuaciones en la que la incgnita apareceafectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logartmicas vamos a tener en cuenta:

1. Las propiedades de los logaritmos.

2.

3.

4.Adems tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemoslogaritmos nulos o negativos.

Ejemplo:

Resolver las ecuaciones logartmicas

1


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2

3

4

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn todos a la mismadistancia de un punto fijo llamado centro.


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ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Centro de la circunferencia: El centro es el punto del que equidistan todoslos puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: El radio es el segmento que une el centro dela circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.Dimetro

El dimetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El dimetro mide el doble del radio.

Arco: un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide ala circunferencia.

Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.


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Semicircunferencia: Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarcaun dimetro.

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el dimetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Ejemplo:

1 Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de dimetro.

1 A partir del dimetro

2 A partir del radio

2La rueda de un camin tiene 90 cm de radio. Cunto ha recorrido el camin cuando la

rueda ha dado 100 vueltas?

r = 90 : 100 = 0.9 mL = 2 0.9 = 5.65 m5.65 100 = 565 m

CIRCULO


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Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

ELEMENTOS DE UN CRCULO

Segmento circular: porcin de crculo limitada por una cuerda y el arcocorrespondiente.

Semicrculo: porcin del crculo limitada por un dimetro y el arco correspondiente.Equivale a la mitad del crculo.

Zona circular: porcin de crculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular: porcin de crculo limitada por dos radios.
http://www.vitutor.com/geo/eso/s_7.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/eso/s_7.html


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Corona circular: porcin de crculo limitada por dos crculos concntricos.

Trapecio circular: porcin de crculo limitada por dos radios y una corona circular.

POLIGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOSPOLGONOS INSCRITOS

Un polgono est inscrito en una circunferencia si todos sus vrtices estn contenidos enella.

Todo polgono inscrito es regular.El centro de un polgono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en l.El radio del polgono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en l.

POLGONOS CIRCUNSCRITOS

Un polgono est circunscrito en una circunferencia, si todos lossus lados son tangentes a la circunferencia.

El polgono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita.


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El centro de la circunferencia inscrita equidista de todoslos lados del polgono circunscrito.La apotema del polgono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.


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SOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

En un triangulo rectngulo se tienen cinco elementos fundamentales.

Los dos ngulos agudos Los tres lados

En general se presentan dos casos:

CUANDO SE CONOCE UN LADO Y UN NGULO

Resolver el triangulo rectngulo ABC si


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CUANDO SE CONOCEN DOS LADOS

Resolver el triangulo rectngulo ABC si a=45.2m y b=20.5m.

Datos Incgnitas

C=90 A=?

a=45.2 B=

b=20.5 c=

Solucin:

A = Tan A = a/b

A = Tan A = 45.2 /20.5

A = Tan A = 2.204

A = A = Tan-1 2.204

A = 6536

B = 906536

B = 8960 6536

B = 2424

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Un tringulo oblicungulo es aquel que ti ene tres ngulos agudos, o dos ngulosagudos y un ngulo obtuso.


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Cuando se tiene un tringulo oblicungulo se pueden presentar los siguientescasos:

Se conoce un lado y dos ngulos (LAA o ALA) Se conocen dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (LLA) Se conocen los tres lados del tringulo (LLL). Se conocen dos lados del tringulo y el ngulo comprendido entre ellos (LAL)

Para resolver estos tringulos se utilizan dos teoremas que son: LA LEY DELSENO Y LA LEY DEL COSENO.

LEY DEL SENO

La ley del seno se utiliza para resolver un triangulo oblicungulo cuando se conoce unlado y dos ngulos (LAA o ALA) o cuando se conocen dos lados y el ngulo opuesto a

uno de ellos (LLA).El teorema del seno dice:En todo triangulo oblicungulo la medida de los lados es directamente proporcional alseno de los ngulos opuestos, es decir

Ejemplos:

1. Resolver el triangulo ABC si se sabe que:

Dibujamos el triangulo y ubicamos los datos

Para hallar el


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Utilizamos la ley del seno ya que conocemos un lado y dos ngulos

LEY DEL COSENO

La ley del coseno se utiliza para resolver un triangulo oblicungulo cuando se conoce lostres lados del triangulo (LLL) o cuando se conocen dos lados del triangulo y el ngulocomprendido entre ellos (LAL).

El teorema del coseno dice:El cuadrado de la longitud de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos lados menos el doble producto de las longitudes de estos lados por el ngulo que seforma entre ellos. Es decir.


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Para hallar los ngulos utilizamos la funcin inversa del coseno de la siguiente forma.

Ejemplo:

1. Resolver el triangulo ABC donde

Dibujamos el triangulo y ubicamos los datos

Utilizamos el teorema del coseno ya que conocemos dos lados y el ngulo formado entreellos.Hallamos el lado a de la siguiente forma:


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IDENTIDADES RAZON DE DOS FUNCIONES

IDENTIDADES PITAGORICAS

Ejemplos:

1.

2.


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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Son aquellas igualdades en las que aparecen una o ms funciones

trigonomtricas donde la incgnita es el ngulo comn de las funciones

trigonomtricas.

Para resolver una ecuacin trigonomtrica haremos las transformacionesnecesarias para trabajar con una sola funcin trigonomtrica, para elloutilizaremos las identidades trigonomtricas fundamentales.

Ejemplos:

Resuelve las ecuaciones trigonomtricas:

1.
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.htmlhttp://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html


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2.


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CONTINUIDAD

Una idea intuitiva de funcin continua se tiene al considerar que su grfica es continua, enel sentido que se puede dibujar sin levantar el lpiz de la hoja de papel.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO

Se dice que una funcin f(x) es continua en un punto x = a si y slo si se cumplen las trescondiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el lmite de la funcin en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el lmite de la funcin en el punto.

Ejemplo:

Estudiar la continuidad de en x =2

f(2)= 4


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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN EN UN INTERVALO ABIERTO (a,b)

Una funcin es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Ejemplos de continuidad en un intervalo:


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CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO CERRADO [a, b]

Una funcin f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)f es continua en a por la derecha:

f es continua en b por la izquierda:

Consecuencia

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f est acotada en dicho intervalo.

Ejemplo:

Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4].

f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2

por ser una funcin polinmica es

continua en toda .

f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una funcin polinmica es continua

en toda .

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar lacontinuidad en el punto x = 2, que es el nico dudoso por tratarse de una funcin definidaa trozos.

f(2)= 4


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Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

DISCONTINUIDAD

Se dice que una funcin y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valorde x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

CLASIFICACIN DE LA DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

La discontinuidad de una funcin puede ser clasificada en:

EVITABLE

Cuando existe el con pero no coincide con el valor de f (a) ya seaporque son distintos los valores o no existe f (a).

Ejemplo:


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Dada no existe f(2) pero si existe

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y ste esfinito.Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La funcin no est definida en x = a.

2x si x 2f(x)

4 si x 2

2. La imagen no coincide con el lmite.

Cuando una funcin presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefiniren dicho punto para convertirla en una funcin continua.

INEVITABLE

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los lmites laterales en x= a, pero son distintos.

Discontinuidad esencial:


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Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los lmiteslaterales en x = a.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene lmite por la derecha.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene lmite por la izquierda.

VARIACIN MEDIA

Dada una funcin f(x), llambamos tasa de variacin al nmero que representa elaumento o disminucin que experimenta la funcin al aumentar la variable independientede un valor "a" a otro "b".La tasa de variacin de f(x) entre a y b (siendo a


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TV[a,b]= f(b)-f(a).

La tasa de variacin media de una funcin f(x) entre a y b (siendo a


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DERIVADA DE FUNCIONES

Sea f una funcin definida en todos los puntos de un intervalo abierto que contiene lospuntos x1 y x1 + h.

(i) Se dice que f es derivable, , f es diferenciable, o f tiene derivada en x1 si:

A dicho lmite, cuando existe, se le denota . En consecuencia, se puede escribir eneste caso:


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(ii) Si f es derivable en todos los puntos x de I, a la funcin:

se le llama: funcin derivada de f con respecto a x.

Otras notaciones para la funcin derivada de f con respecto a x son las siguientes:

DERIVADA EN UN PUNTO

La derivada de una funcin f(x) en un punto x = a es el valor del lmite, si existe,del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplo:


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1. Calcular la derivada de la funcin f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

2. Hallar la derivada de la funcin f(x) = x2+ 4x 5 en x = 1.

3. Calcular la derivada de en x = 5.


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4. Hallar la derivada de en x = 1.

5. Determinar la derivada de en x = 2.

DERIVADA EN UN INTERVALO

Sea un intervalo abierto y una funcin. Si f es derivable en cada uno de lospuntos de diremos que f es derivable en .

Diremos que f es derivable en un intervalo [a, b] siempre que sea derivable en el intervaloabierto(a, b) y, adems, existan las derivadas laterales f+ (a) y f- (b).

DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD

Una de las caractersticas de las funciones diferenciales ( funciones con derivadas) esque todas ellas son continuas.


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Si f(x) existe, entonces f(x) es continua en x.

Para justificar la definicin anterior se debe probar que:

Ya se tiene que el . As solo queda probar que el

Luego, si una funcin es derivable, entonces, es continua.

Ejemplo:

Probar que cada funcin es continua en el punto dado y trazar su grfica:

a)

b)

Solucin:

parceladores tercer periodo

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